Содержание к диссертации
Введение
Глава I Методология построения мгоритмов прогнозирования. обзор литературы по проблеме стабильности идентификации. постановка задачи структурно-стабильной идентификации
1. Постановка задачи идентификации прогнозирующей модели.
2. Стабильные методы идентификации - обзор литературы ...
3. Влияние ошибок измерений входных переменных на качество идентификации
4. Стабильность методов идентификации к неточному заданию структуры
5. Стабильность методов идентификации к структурным неодно родностям обучающей выборки
6. Методика построения алгоритмов прогнозирования
Глава 2. Методы идентификации, стабилыше к неточному заданию структуры
1. Постановка задачи
2. Структурно-стабильная идентификация
3. Условия равномерной сходимости. Планирование объема обучающей выборки
4. Алгоритмы структурно-стабильной идентификации
5. Экспериментальное исследование алгоритмов идентификации
Глава 3. Методы идентификации, стабилшые к сгрукгушым неоднородности обучающей выборки. программная реализация на ЭВМ 55
1. Постановка задачи 55
2. Структурно-стабильная идентификация 56
3. Алгоритмы структурно-стабильной идентификации 65
4. Экспериментальное исследование структурно-стабильных алгоритмов идентификации
5. Программная реализация на ЭВМ 69
Глава 4. Алгоритмы прогнозирования для обеспечения офтальмохирургических операций 73
1. Необходимость математического прогнозирования в офтальмохирургии 73
2. Прогнозирование рефракционной эффективности операций по поводу хирургической коррекции близорукости и астигматизма 77
3. Прогнозирование закрытоугольной глаукомы 95
4. Комплекс программ прогнозирования для обеспечения офтальмохирургических операций 100
Заключение 103
Список литературы 106
Приложения III
- Стабильные методы идентификации - обзор литературы
- Структурно-стабильная идентификация
- Алгоритмы структурно-стабильной идентификации
- Прогнозирование рефракционной эффективности операций по поводу хирургической коррекции близорукости и астигматизма
Введение к работе
Актуальность темы определяется необходимостью оснащения применяемых оптико-реконструктивных операций математическими методиками прогнозирования, учитывающими индивидуальные особенности пациентов, для обеспечения высокой надежности, увеличения вероятности благоприятного исхода, а также более широкого распространения этих операций.
При выборе параметров операций по поводу хирургической коррекции близорукости и астигматизма хирургу приходится решать задачу прогнозирования рефракционного эффекта с учетом индивидуальных особенностей глаза пациента. Вследствие значительной вариабельности эффекта операции от большого числа учитываемых параметров клиницисту легкб ошибиться при решении задачи прогнозирования на основании только опыта и интуиции. Ошибка в выборе параметров операции может привести к остаточной миопии, гиперметропии, астигматизму, анизометропии и другим последствиям, требующим, в частности проведения повторных операций.
Разработка эффективных алгоритмов прогнозирования возможна при применении математического моделирования и современных методов идентификации.
Операции по поводу хирургической коррекции близорукости и астигматизма заключаются в том, что на передней поверхности роговой оболочки глаза наносят некоторое количество определенным образом ориентированных надрезов. Вследствие этого под действием сил внутриглазного давления роговица дефор мируется.
При миопии надрезы проводят симметрично вокруг центра роговицы в направлении меридианов, доводя их от края центральной зоны до лимба. Вследствие деформации роговица в центре становится более плоской, что приводит к снижению степени близорукости. Указанный эффект реализуется в течение 3-7 дней после операции. В дальнейшем из-за рубцевания надрезов рефракция роговицы несколько увеличивается, стабилизируясь к 1-3 месяцам.
При астигматизме, когда рефракция роговицы в главных меридианах различна, ориентацию и длину надрезов выбирают таким образом, чтобы в результате деформации роговицы рефракция ее в центре в главных меридианах была одинаковой. Динамика рефракции роговицы в главных меридианах была одинаковой, аналогичной случаю миопии.
Так как в результате этих операций необходимо получить дозированный рефракционный эффект, при выборе параметров операции - размера центральной оптической зоны, числа надрезов, их ориентации и глубины - необходим точный расчет с учетом индивидуальных особенностей пациента - степени миопии, астигматизма, рефракции роговицы, ее толщины, диаметров, ригидности, длины глаза, внутриглазного давления. Ошибка в выборе параметров операции может привести к остаточному астигматизму, миопии, гиперметропии и др.
Вследствие этого отсутствие методики выбора параметров операции значительно снижает эффективность хирургической коррекции аномалий рефракции глаза. Поэтому актуальной является задача создания расчетной методики для выбора параметров операции.
Создание математических методов выбора параметров хирургического воздействия возможно путем разработки достаточно точной методики прогнозирования рефракционного эффекта операции и на основе этого - алгоритма оптимизации параметров операции, обеспечивающих заданный рефракционный эффект и минимизирующий какой-либо критерий, например, критерий суммарной протяженности надрезов.
Однако, как показала практика применения расчетных методик для выбора оптимальных параметров операции хирургу более целесообразно знать прогнозные значения эффекта для нескольких совокупностей параметрв операции. Выбор параметрв операции при этом хирург осуществляет путем проигрывания ряда вариантов пргноза с рзличным сочетанием параметрв операции.
Разработка методики прогнозирования рефракционного эффекта возможна при применении математического моделирвания и современных методов идентификации. Для пострения математической модели формирвания послеоперационной рфракции глаза применимы методы биомеханики и физиологической оптики - для расчета деформации pro вой оболочки после нанесения надр зов и клинической рфракции глаза. Для повышения точности пргно-зирвания необходимо применять методы идентификации.
Для ршения задачи идентификации одними из основных являются статистические методы оценивания. Классические оптимальные методы оценивания эффективны при точном выполнении условий их оптимальности и чрезвычайно чувствительны к нарушению этих условий Выборка данных пациентов в ранний послеоперационный период содержит 10 - 15$ наблюдений, в которых рефракция pro вицы значительно снижена из-за действия переходных процессов, индуцированных оперативным вмешательством - эпителизацией, гидротацией, воспалительным отеком рговицы и др. Крме того, помимо действия основных процессов - деформации рговицы под действием сил внутриглазного давления в рзультате нарушения условий равновесия оболочки после нанесения надрезов -на рефракционный эффект влияют неосновные процессы - давление век, колебания офтальмотонуса, режим дня и др., что трудно учесть в модели.
Таким образом, при решении задачи идентификации по данным пациентов с известным исходом хирургической коррекции близорукости и астигматизма нарушено предположение о совпадении структуры объекта и математической модели. Поэтому для решения задачи идентификации необходимо применять методы, стабильные к нарушению предположений о структуре.
В связи с этим, а также в соответствии с приказом Минздрава СССР №360 "О мерах по дальнейшему улучшению офтальмологической помощи населению" была принята тема данной работы, которая включена в план исследований Совета по медицинской кибернетике и вычислительной технике МЗ РСіСР на XI пятилетку с № гос.регистрации 056410, а также научного совета Института проблем управления Мин прибора и АН СССР.
Целью исследования явилась разработка математических методов прогнозирования исходов операций по коррекции близорукости и астигматизма с учетом индивидуальных особенностей пациентов для достижения высокой точности определения параметров хирургического вмешательства, обеспечивающих дозированный рефракционный эффект.
Были поставлены следующие задачи; исследовать задачу прогнозирования рефракционного эффекта операций по коррекции миопии и астигматизма и сформулировать задачи стабильной идентификации; разработать и исследовать методы идентификации, сохраняющие высокую эффективность в условиях нарушения предположений о структуре; разработать методику построения алгоритмов прогнозирования с программной реализацией ее на ЭВМ; разработать методики прогнозирования рефракционной эффективности существующих операций по коррекции миопии и астигматизма с программной реализацией на ЭВМ. Кроме того, была поставлена задача показать универсальность методов построения прогнозирующих зависимостей, решив еще ряд задач прогнозирования в области офтальмохирургии с применением разработанных методов структурно-стабильной идентификации и построения прогнозирующих зависимостей,
В диссертации применяются методы теории статистическаго оценивания, статистических решений. Для оценки эффективности алгоритмов идентификации применено цифровое моделирование на ЭЕМ. Разработка алгоритмов прогнозирования основана на математическом моделировании с применением методов биомеханики и физиологической оптики. Программы для ЭВМ разработаны на языках "Фортран" и "Бейсик".
В первой главе диссертации исследована задача прогнозирования рефракционной эффективности операций по поводу хирургической коррекции близорукости и астигматизма в условиях структурной неопределенности, сделан обзор литературы, сформулированы задачи структурно-стабильной идентификации, разработана методология построения прогнозирующих зависимостей.
Во второй главе решена задача идентификации в условиях неточно известной структуры: определен класс алгоритмов идентификации, обеспечивающих высокую точность прогнозирования в случае несовпадения структуры объекта и математической модели, установлены условия стабильности алгоритмов, получены оценки скорости сходимости к оптимальному решению, разработаны конкретные алгоритмы идентификации и исследована их работоспособность при помощи моделирования на ЭВМ.
В третьей главе решена задача идентификации в условиях засорения обучающей выборки аномальными наблюдениями, соответствующими неизвестной функции регрессии. Приведены условия, при которых справедлива минимаксная теория. Разработаны простые алгоритмы идентификации на основании результатов главы 2 , со сколь угодно большой точностью аппроксимирующие оптимальное минимаксное решение. Проведено экспериментальное исследование алгоритмов идентификации с применением статистического моделирования. В третьей главе также описана программная реализация на ЭВМ полученных результатов.
В четвертой главе разработаны методы прогнозирования рефракционной эффективности операций по поводу коррекции миопии и астигматизма. Кроме того, в этой главе разработаны с применением результатов глав 1-3 методы прогнозирования возникновения и клинического течения закрытоугольной глаукомы.
В заключении подведены основные итоги исследования.
В приложении приведены листинги разработанных в диссертации программ
Стабильные методы идентификации - обзор литературы
Разработка эффективных алгоритмов прогнозирования возможна при применении математического моделирования и современных методов идентификации.
Операции по поводу хирургической коррекции близорукости и астигматизма заключаются в том, что на передней поверхности роговой оболочки глаза наносят некоторое количество определенным образом ориентированных надрезов. Вследствие этого под действием сил внутриглазного давления роговица дефор мируется.
При миопии надрезы проводят симметрично вокруг центра роговицы в направлении меридианов, доводя их от края центральной зоны до лимба. Вследствие деформации роговица в центре становится более плоской, что приводит к снижению степени близорукости. Указанный эффект реализуется в течение 3-7 дней после операции. В дальнейшем из-за рубцевания надрезов рефракция роговицы несколько увеличивается, стабилизируясь к 1-3 месяцам.
При астигматизме, когда рефракция роговицы в главных меридианах различна, ориентацию и длину надрезов выбирают таким образом, чтобы в результате деформации роговицы рефракция ее в центре в главных меридианах была одинаковой. Динамика рефракции роговицы в главных меридианах была одинаковой, аналогичной случаю миопии.
Так как в результате этих операций необходимо получить дозированный рефракционный эффект, при выборе параметров операции - размера центральной оптической зоны, числа надрезов, их ориентации и глубины - необходим точный расчет с учетом индивидуальных особенностей пациента - степени миопии, астигматизма, рефракции роговицы, ее толщины, диаметров, ригидности, длины глаза, внутриглазного давления. Ошибка в выборе параметров операции может привести к остаточному астигматизму, миопии, гиперметропии и др.
Вследствие этого отсутствие методики выбора параметров операции значительно снижает эффективность хирургической коррекции аномалий рефракции глаза. Поэтому актуальной является задача создания расчетной методики для выбора параметров операции.
Создание математических методов выбора параметров хирургического воздействия возможно путем разработки достаточно точной методики прогнозирования рефракционного эффекта операции и на основе этого - алгоритма оптимизации параметров операции, обеспечивающих заданный рефракционный эффект и минимизирующий какой-либо критерий, например, критерий суммарной протяженности надрезов.
Однако, как показала практика применения расчетных методик для выбора оптимальных параметров операции хирургу более целесообразно знать прогнозные значения эффекта для нескольких совокупностей параметрв операции. Выбор параметрв операции при этом хирург осуществляет путем проигрывания ряда вариантов пргноза с рзличным сочетанием параметрв операции.
Разработка методики прогнозирования рефракционного эффекта возможна при применении математического моделирвания и современных методов идентификации. Для пострения математической модели формирвания послеоперационной рфракции глаза применимы методы биомеханики и физиологической оптики - для расчета деформации pro вой оболочки после нанесения надр зов и клинической рфракции глаза. Для повышения точности пргно-зирвания необходимо применять методы идентификации.
Для ршения задачи идентификации одними из основных являются статистические методы оценивания. Классические оптимальные методы оценивания эффективны при точном выполнении условий их оптимальности и чрезвычайно чувствительны к нарушению этих условий Выборка данных пациентов в ранний послеоперационный период содержит 10 - 15$ наблюдений, в которых рефракция pro вицы значительно снижена из-за действия переходных процессов, индуцированных оперативным вмешательством - эпителизацией, гидротацией, воспалительным отеком рговицы и др. Крме того, помимо действия основных процессов - деформации рговицы под действием сил внутриглазного давления в рзультате нарушения условий равновесия оболочки после нанесения надрезов -на рефракционный эффект влияют неосновные процессы - давление век, колебания офтальмотонуса, режим дня и др., что трудно учесть в модели.
Таким образом, при решении задачи идентификации по данным пациентов с известным исходом хирургической коррекции близорукости и астигматизма нарушено предположение о совпадении структуры объекта и математической модели. Поэтому для решения задачи идентификации необходимо применять методы, стабильные к нарушению предположений о структуре.
Структурно-стабильная идентификация
В общем случае для решения задачи идентификации в условиях структурной неопределенности обучающей выборки необходима дополнительная априорная информация о структуре объектов. Однако в отдельных случаях возможна разумная постановка задачи идентификации при структурной неопределенности обучающей выборке. Важным для практики случаем является засорение обучающей выборки аномальными наблюдениями, соответствующими аномальным процессам.
Если структура аномального процесса известна с точностью до параметров, то применимы методы оценки параметров смеси распределений [ 27]
При неизвестной, но близкой к структуре основного процесса функции регрессии засорения применима постановка задачи предыдущего параграфа.
Более часто встречается на практике случай, когда структура аномального процесса значительно отличается от структуры основного процесса. Известные методы восстановления регрессии по неоднородной выборки [28, II, 26J , хорошо работающие в условиях симметричного засорения, в этой ситуации оказываются малоэффективными. Исключение составляют методы восстановления регрессии, основанные на минимизации финитной функции невязок [ю] . В условиях данной задачи эти методы могут Дать удовлетворительное решение при достаточно большой разнице между основной и аномальной структурой. Однако, при уменьшении указанной разницы метод Андрюса [Ю] быстро теряет эффективность: если использовать рекомендованные Андрюсом значения константы 1,5; 1,8; 2,1, то при определенных значениях разницы между основной и засоряющей регрессией финитность минимизируемой функции невязок прекращает играть роль отсеивания аномальных наблюдений. Если же варьировать значениями константы С , то при высоком уровне шума, точнее при малом значении константы, появляется трудность решения системы уравнений с плохо обусловленной матрицей коэффициентов.
Таким образом, актуальной является задача построения методов идентификации, сохраняющих высокую эффективность в условиях засорения обучающей выборки аномальными наблюдениями, соответствующими аномальным процессам. Такая постановка задачи идентификации возникает, в частности, при прогнозировании эффективности операций по поводу хирургической коррекции близорукости и астигматизма в ранний послеоперационный период, когда данные офтальмометрии искажены действием ряда индуцированных оперативным вмешательством процессов: воспалительного отека роговицы, гидротации, эпителизации и др. Аналогичная ситуация возникает при решении задачи прогнозирования клинического течения закрытоугольной глаукомы. В этом случае обучающая выборка состоит из данных второго, то есть, еще здорового глаза при констатированном остром приступе в первом глазу, поскольку имеет смысл только раннее прогнозирование, когда еще нет явных признаков заболевания, а как показывает клиническая практика, приблизительно в 8С$ случаев во втором глазу возникает аналогичное заболевание.
Для каждой конкретной задачи прогнозирования 7 можно ввести упорядочение по размерностям и для каждого набора данных Jt решать задачу идентификации при новой математической модели.
Во многих практических задачах идентификации важную роль играет не точность оценки параметров в рамках заданной структуры, а точность моделирования, гарантирующая наиболее точное прогнозирование значений выходных переменных. В частности, идентифицированная математическая модель для прогнозирования эффективности оптико-реконструктивной операции пригодна к применению в лечебном процессе при выборе оптимальных параметров хирургического воздействия, если ошибка прогноза не превосходит 1,0 дптр. не менее, чем в 90 - 95$ случаев. При этом из-за сложности объекта построенная из физических соображений математическая модель может значительно отличаться от структуры объекта и применение при идентификации среднеквадратичного критерия может быть не эффективно. В этом случае наиболее целесообразным критерием качества идентификации является вероятность попадания значений выходной переменной в заданный интервал отклонений от выхода математической модели.
Алгоритмы структурно-стабильной идентификации
В соответствии с алгоритмами AI, А2, A3, описанными в главе 2, для решения задачи идентификации в случае" структурных неоднородностей обучающей выборки применимы аналогичные алгоритмы с варьируемой величиной и . Алгоритм АН. На каждой итерации с номером 4 применяется алгоритм AI с параметром О . Прекращение выполнения итераций наступает при выполнении неравенства // С // А , где Л -заданное число. В отличие от задачи главы 2 применение этого алгоритма эффективно при объеме выборки, не превосходящем 100 элементов. АлгоритмА12. Точно также, как в алгоритме All на кавдой итерации применяется алгоритм А2. Прекращение выполнения итераций осуществляется также аналогично. Алгоритм AI2 работоспособен при объеме выборки, не превосходящем 200 элементов. Алгоритм AI3. В этом алгоритме на каждой итерации применяется алгоритм A3. Прекращение выполнения итераций осуществляется точно также, как и в предыдущих двух алгоритмах. Алгоритм AI3 работоспособен при объеме обучающей выборки более 200 элементов. Применение в алгоритмах A3 и AI3 оценок, основанных на максимизации достаточно гладкой функции невязок, позволяет использовать рекуррентные методы оценивания с применением, в частности, метода сопряженных градиентов.
Кроме того, для работы в режиме текущей идентификации применимы адаптивные алгоритмы, в которых обращение матриц производится рекуррентно при непрерывном поступлении информации. Аналогично работе C J можно показать, что для адаптивных алгоритмов скорость сходимости достигает предельно возможной. Ifo этому для больших объемов обучающих выбор к результаты, которые можно в принципе получить методом минимизации эмпирического риска, то есть, путем точной максимизации соответствующего функционала, не многим лучше даваемых адаптивными алгоритмами.
Для малых объемов обучающей выборки точность адаптивных алгоритмов можно повысить путем циклического повторения данных, что соответствует итерациям в неадаптивных алгоритмах. Цель экспериментального исследования структурно-стабильных алгоритмов идентификации состояла в следующем: - на конкретных примерах задач идентификации, допускающих физическую интерпретацию в области офтальмохирургии1, пр-вести сравнительный анализ эффективности разработанных в диссертации алгоритмов и известных алгоритмов; - экспериментально опрделить объемы выборок, при которых работоспособны и эффективны алгоритмы идентификации All, AI2, ЯЗ. Пример I. При эластотонометрии определяются диаметры площадки контакта каждого тонометра веса , соответственно, 5.0 Г, 7.5 Г, 10.0 Г, 15.0 Г. Зто позволяет вычислить внутриглазное давление и ригидность pro вой оболочки. Если известны радиусы кривизны рговицы в центр, толщина рговицы, то по данным эластотонометрии можно оценить модуль Юнга рговицы и коэффициент Пуассона с использованием известного ршения задачи Герца о контакте двух тел. Для решения задачи идентификации моделировались показате-ли эластотонометрии с модулем Юнга роговицы 0.5 кГ/мм , коэффициентом Пуассона 0.47, толщиной роговицы 0.55 мм и радиусом кривизны 7.7 мм.
На значения диаметров площадки контакта тонометров с роговой оболочкой накладывался шум с нулевым средним, распределенным по нормальному закону, со среднеквадратичным отклонением 0.5 мм. Кроме того, обучающая выборка была засорена с вероятностью 0.2 значениями диаметров площадки контакта, соответствующих радиусу кривизны роговицы 6.7 мм.
В качестве входных переменных были взяты значения весов тонометров, а также измеренные значения толщины роговицы, которые моделировались случайной величиной со средним 0.55 мм, распределенной по нормальному закону со среднеквадратичным отклонением 0.05 мм. На значения весов тонометров накладывался шум, имеющий нормальное распределение с нулевым средним и среднеквадратичным отклонением, равным 0.015 Г.
Таким образом, структура аномальных наблюдений отличалась от структуры основных наблюдений значениями радиуса кривизны в формуле для определения диаметра площадки контакта плоского твердого тела со сферой радиусакривизны,соответствующего радиусу кривизны роговицы в центре, которая дается решением задачи Герца.
Были сформированы пять выборок с объемами 100, 200, 300, 400, 500 элементов. Для каждой из этих выборок применялись алгоритмы All, AI2, AI3 для оценки модуля Юнга роговицы. При этом была выбрана математическая модель, соответствующая структуре основных наблюдений.
Прогнозирование рефракционной эффективности операций по поводу хирургической коррекции близорукости и астигматизма
Для хирургической коррекции стационарной миопии, астигматизма, а также миопии в сочетании с астигматизмом применяют переднюю кератотомию [42, 43, 44] . Эта операция заключается в том, что на периферии передней поверхности роговой оболочки наносят некоторое количество определенным образом ориентированных неперфорирующих надрезов. Вследствие этого под действием сил внутриглазного давления роговица деформируется.
При миопии надрезы проводят симметрично вокруг центра роговицы в направлении меридианов, доводя их от центральной оптической зоны до лимба. В результате деформации роговица становится более плоской в центре. Поэтому рефракция ее в центре уменьшается и, следовательно, изменяется клиническая рефракция глаза, что приводит к снижению степени миопии, а в некоторых случаях к получению гиперметропии. Указанный эффект уменьшения рефракции роговицы в центре реализуется в течение 3-7 дней после операции - первичный эффект. В дальнейшем происходит процесс заживления надрезов и вследствие рубцевания надрезов рефракция роговицы несколько увеличивается, стабилизируясь к 1-3 месяцам после операции.
При астигматизме, а также при миопии в сочетании с астигматизмом, когда рефракция роговицы в главных меридианах различна, ориентацию и длину надрезов выбирают таким образом, чтобы в результате деформации роговицы рефракция ее в центре в различных меридианах была одинаковой, а при миопии в сочетании с астигматизмом, кроме того, снижалась бы степень миопии. Точно так же, как и в случае радиально направленных надрезов, первичный эффект снижения степени миопии и астигматиз ма реализуется в течение 3-7 дней после операции, а в дальнейшем этот эффект снижается, стабилизируясь к I - 3 месяцам.
Так как в результате этих операций необходимо получить дозированный эффект, при выборе параметров операции необходим точный расчет с учетом индивидуальных анатомо-физиологических особенностей строения оптической системы глаза каждого пациента. Ошибка в выборе параметров операции может привести к остаточной миопии, гиперметро пии, астигматизму, ани зо метро пии.
Опыт применения расчетных методик для выбора параметров операции показввает, что в большинстве случаев хирургу необходимо знать прогнозные значения рефракционного эффекта операции для нескольких совокупностей параметров операции. Поэтому производить выбор параметров операции нужно по следующей схеме. 1. Провести обследование на диоптроне, сделать эхографию, офтальмометрию, кератопахиметрию, эластотонометрию, биометрию. 2. Задать предварительные значения параметров операции. 3. Определить прогнозные значения рефракции роговицы в главных меридианах и клиническую рефракцию глаза после операции при помощи математической модели изменения параметров оптической системы глаза, реализованной на ЭВМ. 4. Если рефракционный эффект при данной совокупности параметров операции не устраивает хирурга, задать новые значения параметров операции и возвратиться к п.1.
Применение методов теорій упругости для расчета деформации роговицы осложняется тем, что неизвестно изменение после нанесения надрезов характеристик упругости роговицы. Эту трудность можно преодолеть, оценивая характеристики упругости по данным пациентов с известным исходом операции, то есть, решая задачу идентификации. Решение же задачи идентификации осложняется тем, что данные офтальмометрии в ранний послеоперационный период в ряде случаев искажены отеком роговицы, эпителизацией и др., что приводит к появлению в выборке аномальных наблюдений, соответствующих другой структуре процессов. Для решения задачи идентификации в этих условиях применимы структурно-стабильные методы идентификации.
Это изменение модулей упругости нарушает условия равновесия роговой оболочки и под действием внутриглазного давления она деформируется. Для решения задачи идентификации использовалась математическая модель деформации роговицы, реализованная на языке "Фортран" на ЭВМ и основанная на методе Ьггца определения напряженно-деформированного состояния [46 J , выходной величиной которой является рефракция роговицы в центре после деформации. Алгоритм модели имеет следующий вид.
