Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Динамика свободной поверхности жидкостей с различными физическими свойствами в околокритическом электрическом поле .
1.1. Введение 14
1.2. Исходные уравнения 25
1.3. Малоугловое приближение 27
1.4. Амплитудные уравнения 30
1.5. Критерии взрывной неустойчивости 33
1.6. Четырехволновые взаимодействия 37
1.7. Критерии жесткой неустойчивости плоской поверхности диэлектрической жидкости во внешнем электрическом поле .43
1.8. Влияние старших нелинейностей на стабилизацию неустоичивостеи в жидких проводниках, диэлектриках и гелии 47
1.9. Выводы к главе 1 51
ГЛАВА 2. Равновесная конфигурация заряженной жидкометаллической струи .
2.1. Введение 57
2.2. Исходные уравнения и их точные решения 61
2.3. Построение равновесных профилей в координатах {х, у} 65
2.4. Зависимость амплитуды возмущения от поверхностного заряда струи 68
2.5. Выводы к Главе 2 71
ГЛАВА 3. Конвективные неустойчивости в плоских жидких проводниках с током .
3.1. Введение 80
3.2. Аналогия между задачей о конвективных неустойчивостях в жидких проводниках с током и проблемой Бенара в приближении Буссинеска 86
3.3. Перетяжечная неустойчивость границы резистивной жидкости. 91
3.4. Выводы к Главе 3 99
ГЛАВА 4. Маломодовая модель прерывания тока в жидком металле
4.1. Введение 102
4.2. Построение маломодовой модели динамики вихревых структур в эвтектике 108
4.3. Анализ поведения модели 112
4.4. Сравнение теории и эксперимента 117
4.5. Динамика вихревых структур в жидкометаллическом проводнике 119
4.5. Выводы к Главе 4 123
Заключение 125
Литература
- Малоугловое приближение
- Влияние старших нелинейностей на стабилизацию неустоичивостеи в жидких проводниках, диэлектриках и гелии
- Зависимость амплитуды возмущения от поверхностного заряда струи
- Аналогия между задачей о конвективных неустойчивостях в жидких проводниках с током и проблемой Бенара в приближении Буссинеска
Малоугловое приближение
Как видно, критическое значение напряженности электрического поля зависит от свойств жидкости и ускорения свободного падения. Для металлов Ес а 105В/см.
В своей работе Тонке впервые сделал еще одно важное предположение о том, что эволюция возмущений поверхности жидкого металла занимает конечное время. То есть, в некоторый момент времени электрическое поле и скорость на верхушке горба обращаются в бесконечность.
Следующий важный шаг в изучении поведения жидкости, находящейся в электрическом поле, был сделан Френкелем [2]. Он нашел связь между частотой и длиной волны, распространяющейся по заряженной плоской поверхности жидкого проводника в поле тяжести (рис. 1.3). Предполагалось, что амплитуда волны очень мала по сравнению с длиной волны: это фактически означает, что движение жидкости потенциальное. Для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности divv = 0 переписывается в виде уравнения Лапласа для потенциала скорости жидкости Ф: (V2 & — 0). Волна распространяется вдоль оси х по поверхности жидкости, которая в положении равновесия ограничивается плоскостью 2 = 0, где ось z направлена вертикально вверх. Вертикальное смешение точек поверхности жидкости г) = a exp[i(kx — ut)], где to — частота, к — волновое число, связано с потенциалом ее скорости на поверхности, как z=n dt где в силу малости rj можно положить 2 = 0. На бесконечности z — со электрическое поле EQ становится однородным и параллельным 2, а его потенциал соответствует постоянному значению ф = 0. Над колеблющейся поверхностью потенциал электрического поля имеет вид: а на поверхности ф\г=о = EQT]. Граничное условие для потенциала скорости на поверхности жидкости получается из уравнения Эйлера: z=o дх1 4л Подставляя в это выражение г\ = aexp[i(kx — tot) иФ = Аехр[г (А;а: — ujt)] ехр(—kz), имеем закон дисперсии волн на плоской поверхности идеально проводящей жидкости во внешнем электрическом поле [27]: =дк + -к - -к2 (1.1) Р 4:7Гр Из него видно, что если выполняется условие ЕІ Е2 = 87rv , то при любых к будет и2 0 и, следовательно, возмущения поверхности не нарастают со временем. Если же величина поля EQ, играющая роль внешнего управляющего параметра, превысит критическое значение Ес, то возникает область значений волновых чисел к, для которых и2 0, что соответствует апериодической неустойчивости, причем, в этом интервале волновых чисел всегда можно выделить такое ко, при котором функция си2(к) будет минимальна. Из всех неустойчивых мод амплитуда волны с о = \/р9Іа растет во времени быстрее всего, поэтому эту моду называют доминантной. Таким образом, условие EQ Ес является критерием неустойчивости поверхности по отношению к бесконечно малым возмущениям формы поверхности и поля скоростей (рис. 1.4).
Таким образом, линейная теория гравитационно-капиллярных волн на поверхности жидкого проводника, находящегося в электрическом поле была сформулирована Френкелем еще в 1936 году и подтверждена экспериментами [4], [28]. В ряде работ линейная теория получила свое развитие. Например, в работе [29] рассматривалась эволюция во времени формы возмущения, возникающего на поверхности жидкого проводника (изначально предполагалось, что начальное возмущение описывается функцией Гаусса), и были получены оценки времени, необходимого для вытягивания микровыступа до максимальной высоты. Оказалось, что это время почти не зависит от начальной высоты микровыступа и уменьшается с ростом электрического поля.
В работах [30,31] исследовалось влияние вязкости жидкости со свободной заряженной поверхностью на инкремент неустойчивости Тонкса-Френкеля и было показано, что диапазон волновых чисел, в котором реализуется неустойчивость, не зависти от характерного времени релаксации вязких напряжений и увеливается с ростом параметра Тонкса-Френкеля W = 47гсг/\yapg, где а — поверхностная плотность зарядов, а — поверхностное натяжение, р — плотность жидкости, д — ускорение свободного падения, то есть с ростом электрического поля.
Итак, линейная теория гравитационно-капиллярных волн в электрическом поле позволяет сформулировать критерий неустойчивости поверхности по отношению к возмущениям с относительно малой амплитудой и относительно большой длиной волны, определить по доминантной моде характерный масштаб возмущений, которые будут развиваться быстрее других, оценить пороговое значение напряженности электрического поля, при превышении которого возмущения будут развиваться. Нарастание возмущений поверхности неизбежно приводит систему в состояние, когда ее эволюция определяется нелинейными процессами.
Явления, наблюдаемые в экспериментах показывают, что развитие неустойчивости завершается формированием конусообразной структуры, получившей название "конуса Тейлора" [29]. В случае отрицательно заряженной поверхности поле на верхушке может достигать значений Р» 107В/см, что достаточно для инициации автоэлектронной эмиссии. Очевидно, что линейная теория не способна описать формирование подобных конических структур.
Влияние старших нелинейностей на стабилизацию неустоичивостеи в жидких проводниках, диэлектриках и гелии
Задача о равновесной конфигурации заряженной поверхности жидкого металла играет важную роль в понимании условий возбуждения ее неустойчивости. В 1833 году Саварт впервые экспериментально рассмотрел капиллярную неустойчивость незаряженной жидкой струи, которую в 1879 году объяснил Релей, рассмотрев бесконечно длинную цилиндрическую струю идеальной невязкой жидкости [51]. Он нашел, что в рамках линейной теории синусоидальные азимутально-симметричные возмущения с длиной волны превышающей окружность струи являются неустойчивыми. Вебер в 1933 году расширил это исследование тем, что учел вязкость среды, ограничиваясь рассмотрением азимутально-симметричных возмущений. Однако, полное описание явления расщепления струи возможно лишь с привлечением нелинейной теории [52, 53].
Гроссманн и Мюллер [54], не выходя за рамки линейной теории, исследовали неустойчивости заряженных жидких струй. Они рассматривали длинную прямую струю радиусом а несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрической геометрии с учетом поверхностного натяжения. Струя была заряжена с однородной плотностью и могла двигаться одинаково в направлениях осей. В движущейся системе координат, струю можно было рассматривать, как покоящуюся. Ось струи совпадала с направлением ее движения. В качестве исходных уравнений для данной задачи авторы брали линеаризованное уравнение Навье Стокса для заряженной несжимаемой жидкости, уравнение непрерывности, уравнение Пуассона для потенциала электрического поля струи. Равновесным состоянием в случае бесконечно длинной струп является круглая цилиндрическая струя. Авторами допускались малые отклонения от этого состояния, связанные с поверхностными возмущениями струи. Возмущение поверхности струи, другими словами говоря, отклонение от значения ее невозмущенного радиуса выбиралось, как функция угла ф, зависящая от положения z вдоль струи и также от времени t в виде разложения в ряд по азимутальным модам с целыми числами к и по волновым модам вдоль струи к, которые в случае бесконечной длины струи менялись непрерывно:
В этой работе области неустойчивости струи определяются из анализа функционала ее потенциальной энергии, точнее из знака изменения потенциальной энергии, связанного с возмущением. Потенциальная энергия струи складывается из энергии сил поверхностного натяжения и кулоновских сил. Если струя не заряжена и ведущими являются силы поверхностного натяжения, то, как и у Релея [51], струя будет неустойчива по отношению к модам к — 0 и к а 1. Это связано с тем, что с ростом волнового числа к, и, следовательно, с уменьшением длины волны возмущения (коротковолновая область) изменение поверхностной энергии струи увеличивается [54], и неустойчивость развиваться не может.
Что касается кулоновских сил, то любое возмущение поверхности будет вносить изменение в распределении плотности электрического заряда. На буграх плотность электрического заряда будет концентрироваться, а во впадинах, напротив, уменьшаться. Изменение энергии кулоновских сил, связанное с возмущением поверхности, в отличие от сил поверхностного натяжения, будет уменьшаться с увеличением волнового числа к. С другой стороны, с ростом длины волны возмущения силы поверхностного натяжения будут раскачивать неустойчивость, а кулоновские силы будут стремиться ее стабилизировать. Если в длинноволновом случае вклад сил поверхностного натяжения в изменение энергии, превысит вклад электростатических сил, то неустойчивость будет развиваться. В коротковолновом пределе, с ростом волнового числа к, напротив, уже кулоновские силы будут оказывать дестабилизирующее влияние (рис. 2.2). Так, например, в случае возмущений с азимутально-симметричными модами (к = 0) в зависимости от значений волновых чисел будут существовать области развития неустойчивости, индуцируемые как силами поверхностного натяжения, так и кулоновскими силами. Моды с к 0 при любых к, всегда дестабилизируются зарядом.
Для того чтобы сравнить влияние поверхностных и кулоновских сил на устойчивость струи авторы [54] вводят параметр распада струи / (р2Е as)/a, где РЕ — плотность электрического заряда, а — поверхностное натяжение. Этот параметр определяется как отношение кулоновской энергии равномерно заряженной цилиндрической длинной струи к ее удвоенной поверхностной энергии,
Если струя не заряжена, то для к 0 струя будет устойчива по отношению к любым деформациям [51]. Неустойчивость будет индуцироваться кулоновскими силами в чистом виде, так как увеличение плотности заряда имеет дестабилизирующее влияние за счет сдвига зарядов из вогнутостей на верхушки волн. Неустойчивость развивается, если параметр распада струи превышает критическое значение / /С(А), где /с(1) = 0, и fe(k) = к(к + 1) для к = 2,3,4,....
Для рассмотрения динамики распада струй, то есть, в поисках ответа на вопрос, как быстро распадается заряженная струя, в работе [54] авторы учитывают вязкость среды, рассматривая ее как функцию волновых чисел. При этом они опять же не выходят за рамки линейной теории и рассматривают аксиально-симметричные возмущения. Очевидно, что на саму возможность развития неустойчивости вязкость среды никак не влияет, но скорость развития неустойчивости зависит от вязкости. В случае малых значений вязкости это влияние на область возникновения неустойчивости не существенно. Для больших вязко-стей сред порог неустойчивости для аксиально-симметричных возмущений сдвигается в сторону увеличения длин волн.
Сходная проблема о распаде заряженной проводящей капли представляет интерес в связи с разнообразными приложениями в геофизике, научном приборостроении, масс-спектрометрии, химической технологии и т.п. Как известно, задача о устойчивости заряженной жидкоме-таллической капли, как относительно малых деформаций поверхности, так и относительно деления ее на две одинаковые части, была поставлена и решена Релеєм в 1882 году. Он связал устойчивость капли с устойчивостью капиллярных волн на ее поверхности. Энергия капли представляет собой сумму ее электростатической и поверхностной энергий [27]:
где а — коэффициент поверхностного натяжения жидкости, е — заряд капли, С — ее емкость, S — площадь ее поверхности. При увеличении заряда капли возникает неустойчивость по отношению к изменению ее формы: шар вытягивается в эллипсоид. При этом энергия капли W становится убывающей функцией эксцентриситета, а объем капли не изменяется. Спектр капиллярных колебаний изолированной капли проводящей жидкости определяется выражением: а и =J n(n l) n-f-2 где п — номер моды капиллярных колебаний, р — плотность жидкости, R — радиус капли. При выполнении условия - п + 2 возникает неустойчивость, амплитуда которой будет меняться со временем по экспоненциальному закону. Однако, и до этого порога в силу нелинейности соответствующих уравнений капля уже будет неустойчива по отношению к деформациям поверхности.
Зависимость амплитуды возмущения от поверхностного заряда струи
В проводнике в поле, протекающего по нему электрического тока могут возбуждаться различные кинетические и динамические неустойчивости. Исходный интерес к развитию магнитогидродинамических неустойчивостей в плазмоподобных средах был инициирован проблемой термоядерного синтеза. Затем задача об устойчивости жидких и твердых проводников, находящихся в электрическом и магнитном полях выделилась в самостоятельную проблему. Неустойчивости жидких проводников можно наблюдать при пропускании тока по жидкому металлу или в жидкометаллической струе. Характерным примером развития неустойчивости в твердых проводниках являются физические процессы, сопровождающие начальные стадии электрического взрыва проводников [56-59]. Электрический взрыв проводников — это резкое изменение физического состояния металла в результате интенсивного выделения в нем энергии при пропускании импульсного тока значительной плотности (j 106 А/см2). При этом проводник с током разбивается на поперечные страты с размером порядка его диаметра, а его эффективное сопротивление существенно увеличивается, что приводит к прерыванию электрического тока в цепи.
Развитие подобной крупномасштабной неустойчивости, в соответствии с работами [60-64], на начальных стадиях электрического взрыва проводников может отождествляться с перетяжечной магнитоги-дродинамической неустойчивостью, которой подвержена граница жид кой токонесущей среды. В процессе эволюции такая неустойчивость будет приводить к винтовому, изгибному возмущению, и затем к изменению формы проводника без искривления его оси, и даже расщепление его на нити [65]. Характерная длина волны, соответствующая наибольшему инкременту неустойчивости поверхности, для развиваемого в [65-67] подхода определяется формулой: Л = 27гг0(12тго;/гоЯ02)1/4, (3.1) где а — коэффициент поверхностного натяжения.
Теоретическое исследование магнитогидродинамических неустой-чивостей имеет длительную историю, причем наибольшее количество работ относится к неустойчивостям в плазме и связано с проблемой термоядерного синтеза. Магнитогидродинамическое описание было связано с рассмотрением поведения плазменного проводника. В рамках темы диссертации будет уместно упомянуть работы по исследованию неустойчивости плазменного пинча по отношению к возмущениям типа перетяжек [66]. В этом случае высокотемпературную плазму рассматривают в рамках идеальной магнитной гидродинамики, то есть, считается, что вязкостью и электрическим сопротивлением можно пренебречь. Магнитное поле в объем плазмы не проникает, и весь электрический ток течет по ее поверхности. Тогда движение среды можно считать потенциальным, что значительно упрощает рассмотрение эволюции пинча вплоть до исследования нелинейных стадий развития перетяжек [67]. В этой работе в адиабатическом приближении с использованием Гамильтоновского формализма была рассмотрена нелинейная эволюция полностью скинированного цилиндрического плазменного шнура. Потенциальность движения позволяет рассматривать развитие возмущений поверхности идеально проводящей жидкости по аналогии с развитием неустойчивости границы " опрокинутой" идеальной жидкостью под действием силы тяжести. Только вместо ускорения свободного падения во все выражения будет входить величина, пропорциональная квадрату тока. В этом случае с ростом волнового числа к, вектор которого сонаправлен с осью проводника, характерное время развития неустойчивости поверхности идеальной плазмоподобной среды уменьшается по закону т2 1/к (случай глубокой воды [68]). Это значит, что первыми будут развиваться мелкомасштабные структуры на поверхности проводника. Однако, в экспериментах [59] размеры страт были порядка диаметра проводника, что говорит в пользу развития крупномасштабной неустойчивости. Это означает, существует какой-то фактор, сдерживающий развитие мелкомасштабных неустой-чивостей.
Важно что, прерывание электрического тока может происходить и в случае, когда тепловые эффекты пренебрежимо малы. Так, например, в экспериментах с In-Ga эвтектикой [25,26] прерывание тока происходит, несмотря на то, что среду можно считать несжимаемой, а ее кинетические коэффициенты постоянными. Кроме того, прерывание тока через эвтектику не связано с развитием перетяжечной неустойчивости: ее граница была стабилизирована наличием упругой оболочки (это обуславливает возможность многократной коммутации). Отсюда можно заключить, что рост эффективного сопротивления среды является следствием развития в ней магнитогидродинамической конвективной неустойчивости, или, иными словами — следствием турбу-лизации плазмоподобной токонесущей среды. Все это обуславливает наш интерес к общим закономерностям развития магнитогидродина-мических конвективных неустойчивостей в вязкой несжимаемой рези-стивной плазмоподобной среде и их влиянию на ее макроскопические характеристики.
В работах [69-75] была высказана гипотеза об аналогии между развитием турбулентности при термоконвекции и на начальных стадиях электрического взрыва проводника с током. Аналогия заключалась в том, что как и в случае термоконвекции в подогреваемом снизу слое жидкости возникают гидродинамические структуры, так и на начальных стадиях электрического взрыва проводников под действием силы Лоренца в расплавленном проводнике возникают страты. Стратификация проводника связана с развитием в нем крупномасштабных вихревых структур. Эти структуры обуславливают прерывание тока через проводник вследствие его "запирания" вихревыми токами, а также приводят к локализации источников джоулева разогрева среды и формированию так называемых "горячих" точек. Подобные представления позволяют довольно полно описать изменение состояния проводника при электрическом взрыве. Также предполагалось то, что на начальных стадиях электрического взрыва проводников тепловые эффекты не играют существенной роли. В [20] было показано, что в первую очередь развиваются неустойчивости со сравнимым с диаметром проводника характерным размером Л « 2.32го, что хорошо согласуется с экспериментальными данными [59] Л « (0.65 ±0.05) мм. С другой стороны, это значение значительно превышает размер, оцениваемый по формуле (1.1): Л « 0.1 мм и соответствующий развитию перетяжечной неустойчивости.
Аналогия между задачей о конвективных неустойчивостях в жидких проводниках с током и проблемой Бенара в приближении Буссинеска
При достаточно малом значении W это уравнение описывает слегка возмущенные окружности. Более того, как видно из (4.16) и (4.17), в частном случае, когда d = 1 (он соответствует достаточно большим значениям р), траекториями являются именно окружности с радиусом vW. Таким образом мы показали, что даже при учете нелинейных членом мы имеем дело с установившимся периодическим движением с частотой ш.
Исследуем поведение эффективного сопротивления проводника при развитии в нем конвективной неустойчивости. Его величину можно получить, интегрируя напряженность электрического поля на поверхности проводника по его длине: / Reff = - J (V х H)Uo dz = Я0(1 - Z/7), где RQ — невозмущенное сопротивление проводника. Согласно предложенной модели, при превышении током І" критического значения 1С (см. выражение (4.12)), величина Z. а, следовательно, и Refj-, будет колебаться с периодом 47r/(3w mA;i2). При значительных надкритич-ностях амплитуда колебаний эффективного сопротивления может достичь « 0.6i?o, а его среднее значение — величины « 1.7Яо- Таким образом, сопротивление проводника может периодически значительно увеличиваться, что и соответствует, в нашем понимании, режиму динамического прерывания тока (см. также [25,26]).
Оценим характерные величины и сравним их с экспериментом. Согласно нашей модели для In-Ga эвтектики с р = 6.28 г/см3, ц — 1.69-КГ2 П(и = 2.69-КГ3 см2/с), а = 3.78-1016 с"1 (z/ro = 1.89-103 см2/с) пороговый ток есть 1С « 4.7 103 А, что хорошо согласуется с его экспериментальным значением, равным 5-Ю3 А.
Для оценки периода колебаний тока используем максимальное значение р, соответствующее максимуму тока на осциллограмме (Рис. 4.1): р = р(1 = 8 кА) = 8.7. При TQ = 0.25 см этому значению р соответствует равное 3 10 3 с характерное значение времени для процесса прерывания и восстановления тока. Если учесть, что возникновение перетяжки (см. Рис. 4.2) приведет к уменьшению периода колебаний (уменьшение радиуса проводника вдвое приведет к увеличению частоты в четыре раза), то времена в нашей модели хорошо согласуются с экспериментальными данными (см. Рис. 4.1). Отметим также, что намечающаяся к концу реализации на Рис. 4.1 хаотизация процесса прерывания и восстановления тока может быть легко объяснена вовлечением в процесс гораздо большего числа мод возмущений, чем три. Действительно, поскольку ф намного превосходит значение і/, то число Рейнольдса будет значительно превышать свое критическое значение, и вихревое течение в проводнике будет неустойчивым. Развитие этой неустойчивости со временем приведет к формированию спектра мелкомасштабной турбулентности и, как следствие, к хаоти-зации процесса многократной коммутации.
При наличии давления с торцов Ре (вторая группа экспериментов) мы можем для описания коммутации ввести дополнительный параметр I = сго\/27гРе, смысл которого в том, что при этом значении электри ческого тока магнитное давление на боковой поверхности проводника равняется давлению с его торцов, и перетяжка не образуется (резиновая трубка "прилипает" к внешней стеклянной трубке). Поскольку в нашей модели зарождение вихревого движения есть результат неоднородности распределения магнитного давления вдоль оси z, то понятно, что дополнительное давление с торцов трубки Ре, влияющее на ее геометрию, приведет к изменению значения порогового тока коммутации. Естественно предположить, что величина сдвига порогового тока будет пропорциональна / . Действительно, используя экспериментальное значение го и полагая коэффициент пропорциональности равным 3/2, получим оценки порогового тока коммутации: 1с(Ре = 106 Па) « 104 А; 1с(Ре = 2-Ю6 Па)«1.3-104 А; /с(Ре = 3-10б Па)«1.5-104 А, которые хорошо накладываются на экспериментальные данные.
Что касается третьей группы экспериментов, то флуктуации распределения магнитного поля, амплитуды которых максимальны в момент прерывания тока, могут приводить к "аномальному" рассеянию звука. Действительно, их амплитуду можно оценить сверху как 7-Ю3 Э, а тогда оценка альфвеновской скорости будет: ид = Н/у/Апр « 7 102 см/с, что лишь на два порядка уступает скорости звука cs « 105 см/с. Другой причиной рассеяния могут быть флуктуации поля скоростей: в соответствии с разделом 4.1 мы можем оценить амплиту ду возмущенной скорости, как v Ф/TQ vm/ro Ю4 см/с, что лишь незначительно меньше чем cs.
