Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Моделирование волн цунами и их долгосрочный прогноз 15
1.1. Модифицированный вычислительный комплекс «Цунами» для расчетов длинных волн и оценки рисков, связанных с цунами
1.1.1. Методы оценки цунами риска 17
1.1.2. Основные уравнения модели 20
1.1.3. Модифицированный комплекс «ЦУНАМИ»
1.2. Моделирование Виргинского цунами 1867 г. в Карибском море 30
1.3. Оценка цунами потенциала для Карибского моря
1.3.1. Сильные цунами в Карибском море 46
1.3.2. Потенциальные источники цунами 49
1.3.3. Анализ результатов расчета высот волн в Карибском море 51
1.3.4. Ослабление цунами с расстоянием 58
1.4. Сравнительная оценка цунамиопасности Япономорского побережья Россия 60
на основе численного моделирования
1.4.1. Исторические данные о цунами в Приморье и западном побережье Сахалина
1.4.2. Численное моделирование исторических и гипотетических цунами 64
1.5. Цунами в Черном море: анализ натурных данных и численные расчеты
1.5.1. Исторические данные о цунами в Черном море 73
1.5.2. Моделирование цунами 1966 г. около г. Анапа и сопоставление с измерениями в некоторых точках российского побережья
1.5.3. Оценка цунами риска для Российского побережья Черного моря
1.6. Моделирование цунами 1597 г. в реке Волге 83
1.7. Генерация цунами движущимися источниками 90
1.7.1. Генерация волн цунами атмосферными возмущениями 90
1.7.1.1. Линейная генерация длинных волн вариациями атмосферного давления
1.7.1.2. Нелинейная модель генерации цунами атмосферными возму- щениями
1.7.1.3. Численное моделирование генерации длинных волн в океане при прохождении циклона «Лили»
1.7.2. Генерация волн цунами при сходе подводного оползня 103
1.8. Моделирование распространения катастрофического цунами (26 декабря 108
2004 г.) в Индийском океане
1.9. Выводы 113
Глава 2. Нелинейная и нестационарная динамика краевых волн в шельфовой зоне
2.1. Распространение и фокусировка краевых волн Стокса 117
2.2. Дисперсионное сжатие краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом
2.3. Усиление краевых волн в бассейне с переменной вдоль берега топографией 147
2.4. Нелинейное уравнение Шредингера для краевых волн Стокса 161
2.5. Сопоставление эффектов самомодуляции и дисперсионной фокусировки 173
краевых волн Стокса
2.6. Рассеяние солитона над периодическим и шероховатым дном 181
2.6.1. Линейная теория трансформации импульса 182
2.6.2. Трансформация солитона над длинным препятствием 190
2.6.3. Распространение солитона над случайным дном 196
2.7. Выводы 200
Глава 3. Нелинейные модели крупномасштабных волновых движений 201
3.1. Нестационарная динамика волн Россби (в рамках уравнения Обухова - Чар- 204 ни)
3.2. Гамильтоновское описание баротропных волн Россби в параболоиде
2 3.2.1. Волны Россби во вращающемся параболоиде в приближении жесткой крышки
3.2.2. Волны Россби в параболическом слое жидкости со свободной поверхностью
3.2.3. Резонансные взаимодействия баротропных волн Россби внутри вравдающегося параболоида
3.3. Гамильтоновское описание нелинейного взаимодействия волн во вращающейся жидкости
3.4. Расширенное уравнение Кортевега - де Вриза для континентальных шельфовых волн
3.5. Нелинейные топографические волны Россби 260
3.5.1. Топографические волны Россби в канале с дном в форме ступеньки 272
3.5.2. Топографические волны Россби в канале с плоским наклонным дном 275
3.6. Выводы 280
Глава 4. Динамика нелинейных внутренних волн в стратифицированном океане
4.1. Излучательная неустойчивость волн отрицательной энергии в двухслойной жидкости
4.2. «Двумерное» уравнение Кортевега - де Вриза для внутренних волн 293
4.3. Трансформация солитонов внутренних волн в горизонтально - неоднородном океане (с приложением к арктическому бассейну)
4.3.1. Основная модель 304
4.3.2. Уединенные внутренние волны в модели Гарднера 305
4.3.3. Трансформация солитона в горизонтально неоднородном океане 314
4.4. Эволюция солитона в рамках уравнения Гарднера с переменным коэффициентом кубической нелинейности
4.4.1. Приближенная теория 318
4.4.2. Результаты численного моделирования 327
4.5. Механизмы образования внутренних волн аномально большой амплитуды 333
4.5.1. Основные уравнения 334
4.5.2. Механизм нелинейно — дисперсионного сжатия
4.5.3. Генерация бризеров и солитонов, как механизм образования аномальных волн
4.5.4. Генерация внутренних «волн-убийц» за счет модуляционной неустойчивости
4.5.5. Образование внутренних волн большой амплитуды при смене знака квадратичной и кубической нелинейности
4.6. Выводы 349
Заключение 351
Список литературы
- Модифицированный комплекс «ЦУНАМИ»
- Дисперсионное сжатие краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом
- Резонансные взаимодействия баротропных волн Россби внутри вравдающегося параболоида
- Трансформация солитонов внутренних волн в горизонтально - неоднородном океане (с приложением к арктическому бассейну)
Введение к работе
Актуальность темы и цели исследования
Исследование длинноволновых процессов в прибрежной зоне океана необходимо для решения важных геофизических задач прогноза морских природных катастроф (в частности, цунами и, так называемых, волн-убийц), оценки перестройки прибрежного и донного рельефа, объяснения структуры и изменчивости вдольбереговых течений, выбора оптимальных морских путей, расчета динамики загрязняющих веществ. В диссертации основное внимание уделено нестационарной и нелинейной динамики волн цунами, краевых, захваченных и внутренних волн с приложениями к прогнозу морских природных катастроф.
Прогноз цунами невозможен без широкого применения численных методов расчета распространения волн цунами. Они применяются для описания уже прошедших цунами и направлены, в первую очередь, на проверку механизма генерации волн цунами сейсмическими и оползневыми источниками. Это очень важно для развития системы оперативного оповещения о цунами (службы цунами), поскольку позволяют оценить опасность цунами сразу по характеристикам только что прошедшего сейсмического события. Многие события удается достаточно хорошо промоделировать, в том числе практически сразу после события, обладая минимальной информацией о параметрах землетрясения. В качестве примера укажем на Шикотанское цунами 5 октября 1994 г., которое были промоделировано непосредственно после землетрясения, и результаты этих расчетов подтвердились затем в ходе экспедиционного обследования (Иващен-ко и др., 1996; Поплавский и др., 1997). Качественно расчеты последнего разрушительного цунами, случившегося 26 декабря 2004 г. в Индийском океане, выполненные с участием автора [7], находятся в согласии с наблюдаемыми данными. Тем не менее, проблема сейсмического источника является достаточно трудной, и в последнее время распространенным становится мнение, что землетрясение играет роль триггера, инициирующее оползневые явления на подводном склоне, которые и ответственны за генерацию волн цунами (Yalciner et al, 2003). Другой важной задачей приложения численных методов является определение оптимальных условий расположения датчиков гидрофизической подсистемы оповещения о цунами, развиваемой для Тихоокеанского побережья России (Поплавский и др., 1988; Поплавский и др., 1997) и ускорения оперативного прогноза характеристик цунами в различных пунктах побережья с учетом данных уровневых станций (Королев, 2004). Третьей важной задачей является долгосрочный прогноз цунами, особенно для пунктов, слабо обеспеченных данными наблюдений. Здесь обычно задача сводится к вычислению возможных высот волн в различных пунктах побережья от возможных источников в основной сейсмической зоне (Пелиновский, 1982; Шокин и др., 1988). Такой подход оказался эффективным для разработки схемы цунами районирования Тихоокеанского побережья России (Го и др., 1988). К сожалению, для многих морей, включая все российские моря, не удается схематизировать обобщенный очаг цунами, так что расчет любого сценария развития цунами имеет академический
i"W^I
РОС НАЦИОНл. БИБЛИОТЕКА С« О»
характер. Для таких ситуаций сейчас с участием автора активно разрабатывается метод оценки цунами - риска потенциала побережья, основанный на статистическом анализе многих сценариев развития цунами.
Наиболее сильное влияние на крупномасштабные движения в прибрежной зоне океана оказывают захваченные волны. Имеются многочисленные данные наблюдений реальных цунами, например, Камчатского цунами 4 октября 1952 г. (Ishi и Abe, 1980) и цунами 25 апреля 1992 г. с эпицентром около мыса Мендосино (Западное побережье США) (Gonzalez et al., 1995), интенсивность и поведение которых в прибрежной зоне океана нельзя объяснить без привлечения теории захваченных волн С их помощью легко объясняется также неравномерность изменения высоты волны цунами вдоль побережья (Шокин и др., 1988; Пелиновский, 1996). В целом, примерно до 70% волновой энергии цунами распространяется вдоль Курильских островов в виде захваченных волн (Файн и др., 1983).
' Вблизи берега на захваченные волны приходится 95 - 98% энергии, которая может передаваться вдоль берега на большие расстояния без существенных потерь. До сих пор остается открытым вопрос о причине гораздо более высокой энергонасыщенности захваченных волн по сравнению с волнами открытого океана, несмотря на то обстоятельство, что область захвата волн, как правило, занимает лишь 5 - 10% площади океана (Munk et al., 1964). Одним из видов захваченных волн являются краевые волны. Коротко-масштабные краевые волны играют определяющую роль во многих процессах береговой динамики, таких как формирование структуры линии берега и его рельефа, процессы, связанные с морфологией дна в прибрежной зоне и др. (Ле Блон и Майсек, 1981; Рабинович, 1993; Komar, 1998; Masselink et al., 2004). В настоящее время имеется множество фактов, подтверждающих их существование в волновом поле в прибрежной зоне океана (см., например, (Huntley and Bowen, 1973; Bryan et al., 1998)). Крупномасштабные краевые волны являются важной компонентой движений воды, производимых циклонами, движущимися вдоль береговой линии (Tang and Grimshaw, 1995).
В последнее время пристальное внимание привлекают также другие виды крупномасштабных захваченных волн: волны Кельвина, шельфовые волны, топографические волны Россби и пр., которые доминируют в зоне шельфа - континентального склона в экваториальной зоне, а также вблизи фронтальных разрезов (Физика океана, 1978; Ле Блон и Майсек, 1981; Ефимов и др., 1985; Мо-нин и Красицкий; 1985). Наблюдения последних лет показали, что эти волны оказывают существенное влияние на разнообразные процессы в океане. Например, такие разнородные явления, как топографические вихри, меандрирование пограничных течений (Гольфстрима и др.), апвеллинг (подъем на поверхность холодных масс воды вблизи берега), перенос донных материалов, тесно связаны с захваченными волнами (Физика океана, 1978; Ле Блон и Майсек, 1981; Ефимов и др., 1985). Кроме того, они участвуют в формировании океанской циркуляции, приливов, штормовых нагонов, цунами и даже влияют на погоду и климат морей и океанов (см., например, (Ефимов и др., 1985; Рабинович, 1993)).
' * 4
При изучении различных проблем волновой динамики океана необходимо также рассмотреть так называемые планетарные вихри и волны, носящие имя К.Г. Россби, показавшего их фундаментальную роль в процессах глобальной циркуляции атмосферы (Rossby, 1940, 1948). Представление о важной роли волн Россби в жизни океана детализировано сравнительно недавно. Выяснилось, что существенная для многих приложений, (например, для мореплавания, рыболовства или гидроакустики) конкретная океанографическая «погода» определяется именно волнами Россби и тесно связанными с ними, сугубо нелинейными индивидуальными образованиями в виде синоптических вихрей.
Еще одним интересным объектом нелинейных волновых движений в прибрежной зоне океана являются внутренние волны, существующие в океане благодаря его раслоенности по температуре, солености и течению. Такие волны влияют на движение подводных аппаратов, распространение акустических сигналов, размывы грунта под нефтяными и газовыми платформами. Внутренние волны наблюдаются также во многих озерах. Наблюдения внутренних волн суммированы в ряде книг (Краусс, 1968; Миропольский, 1981; Морозов, 1985; Сабинин и Коняев, 1991; Imberger, 1998). Внутренние волны хорошо воспроизводятся в лабораторных условиях (см., например, (Степанянц и др., 1987; Кис-тович и Чашечкин, 1990; Стурова, 2001; Миткин и Чашечкин, 2000; Мотыгин и Стурова, 2002)). Нелинейные внутренние волны, в частности солитоны большой амплитуды, активно обсуждаются в литературе (Ostrovsky and Stepanyants, 1989; Grue et al., 2000; Holloway et al, 2001; Maderich et al., 2001).
Из всего выше сказанного становится ясной актуальность развития гидродинамической теории для описания нелинейной и нестационарной динамики длинных волн в прибрежной зоне.
Линейная теория длинных волн представляет собой достаточно хорошо разработанный и устоявшийся раздел теории волн в океане (Физика океана, 1978; Ле Блон и Майсек, 1981; Ефимов, 1985; Рабинович, 1993; Миропольский, 1981; Морозов, 1985; Сабинин и Коняев, 1991; Пелиновский, 1996), однако, нелинейные аспекты теории, особенно захваченных волн, изучены еще недостаточно. Имеющиеся трудности связаны с тем, что при изучении данного класса волн, океан проявляет себя как существенно неоднородная, а, с учетом вращения Земли, и неизотропная среда. Сейчас считается, что короткомасштабные краевые волны генерируются случайными ветровыми волнами из-за сильной нелинейности поля ветровых волн - механизм параметрической генерации и/или нелинейного детектирования (Guza and Davis, 1974; Foda and Mei, 1981; Agnon and Mei, 1988; Miles, 1990; Blondeaux and Vitton, 1995). В работе (Fredsoe and Deigaard, 1992) подчеркнуто, что до настоящего времени нет никаких количественных моделей, описывающих эволюцию берега под действием краевых волн. Следует также отметить, что большинство теоретических работ, посвященных изучению краевых волн, рассматривают бассейны с цилиндрической геометрией дна, т.е. случай, когда глубина жидкости является только функцией поперечной к берегу координаты. Реальная же ситуация более сложная, так как нужно учитывать двумерную изменчивость глубины жидкости и этому посвя-
щено только несколько работ. Например, в работе (Stoker and Johnson, 1991) изучается захват и рассеяние топографических волн устьями рек и мысами, а, недавно, в работе (Baquerizo et al., 2002) было рассмотрено рассеяние краевых волн проницаемыми прибрежными структурами, которые расположены перпендикулярно к береговой линии. Кроме того, в работах (Chen and Guza, 1998, 1999) изучено резонансное рассеяние прогрессивных краевых волн вдольбере-говой периодической топографией. При изучении нелинейных внутренних волн в настоящее время используется несколько направлений Первое из них использует уравнение Кортевега - де Вриза (Веппеу, 1966), которое, будучи одномерным по форме, описывает двумерные волновые движения жидкости. Затем, была учтена трехмерность волновых движений (Леонов, 1976) и сила Кориолиса, обусловленная вращением Земли (Островский, 1978; Grimshaw, 1985). В это же время было получено обобщенное уравнение Кортевега - де Вриза для жидкости переменной глубины (Пелиновский и Шаврацкий, 1977; Djordjevich and Re-dekopp, 1978). В последние десять лет активизировались работы по получению расширенных уравнений Кортевега - де Вриза для жидкости с произвольной и/или многослойной стратификацией (Lamb and Yan, 1996; Талипова и др., 1999; Пелиновский и др., 2000; Holloway et al., 1999, 2001; Grimshaw et al., 2002).
Исходя из всего выше сказанного, основной целью диссертации выбрано изучение нелинейной и нестационарной динамики длинных волн в прибрежной зоне с приложениями к прогнозу морских природных катастроф. В качестве первой цели выбрана разработка метода оценки цунами - риска потенциала побережья, основанного на статистическом анализе многих сценариев развития цунами. Второй целью диссертации является исследование нелинейной и нестационарной динамики захваченных волн, волн Россби и внутренних волн, приводящей к формированию аномально больших волн типа волн-убийц, хорошо известных для ветровых волн.
Научная новизна и основные положения, выносимые на защиту
Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:
-
Разработан модифицированный вычислительный комплекс «ЦУНАМИ» на основе известного международного кода «TUNAMI» для оценки рисков, связанных с цунами. Во-первых, удалось значительно уменьшить время счета за счет распараллеливания вычислений. Во-вторых, разработан новый интерфейс программы, позволяющей рассчитать характеристики цунами, обработать полученные данные и подготовить данные к презентации.
-
Предложен метод оценки цунами риска (потенциала), основанный на гидродинамическом моделировании распространения волн от удаленных источников, произвольно расположенных в акватории моря. Он позволяет исследовать сравнительную защищенность различных участков побережья. Метод применен для выделения зон с разным уровнем цунами риска в Японском, Черном и Карибском морях.
-
Развита теория генерации волн цунами движущимися источниками. Получен ряд аналитических решений линейной теории мелкой воды и нелинейно-дисперсионной теории, демонстрирующие роль нелинейности, дисперсии и резонанса в генерацию волн на воде. Показано, в частности, что для волн цунами возможен эффект «волн-убийц», связанный с дисперсионной фокусировкой волновых пакетов. Выполнены численные расчеты генерации длинных волн при прохождении циклона «Лили» в Карибском море в 2002 г.
-
Выполнено численное моделирование ряда исторических цунами в Карибском и Черном морях, а также катастрофического цунами в Индийском океане, возникшего после сильнейшего землетрясения 26 декабря 2004 г. около северной оконечности о-ва Суматра (Индонезия). Рассчитаны диаграмма направленности волн цунами и распределение высот волн вдоль побережья. Результаты расчетов сопоставлены с данными наблюдений.
-
Исследованы дисперсионные эффекты в поле краевых волн для некоторых типов подводного рельефа. Показано, что дисперсионные эффекты могут приводить к возникновению кратковременных трехмерных импульсов большой амплитуды - «краевых волн-убийц». Исследован процесс перестройки поля краевых волн при условии медленной вдольбереговой изменчивости подводного рельефа в рамках асимптотического подхода.
-
Выведено нелинейное уравнение Шредингера для краевой волны Стокса с любым номером моды. Показано, что волны любой моды являются модуля-ционно неустойчивыми. Коэффициент нелинейности спадает с увеличением номера моды, так что нелинейные эффекты при прочих равных условиях играют меньшую роль с увеличением номера моды. Исследованы процессы появления краевых «волн-убийц» в результате дисперсионного сжатия и нелинейной самомодуляции. Показано, что дисперсионное сжатие может приводить к большим амплитудам необычных волн, однако, они более часто появляются за счет нелинейной самомодуляции. Выполнена оценка времени жизни краевых «волн-убийц» (10 мин), и она находится в удовлетворительном согласии с длительностью наводнения (3 мин), произошедшего на Черном море в 2000 г.
-
Решена задача о рассеянии солитона в бассейне с периодически изменяющимся дном. В приближении кусочно-постоянного дна и короткого импульса удалось получить выражение для декремента линейного импульса и солитона в явном виде при произвольной высоте неровностей. Полученное выражение для декремента линейной волны согласуется с экспериментальными и теоретическими результатами для волны над случайно изменяющимся кусочно-постоянным дном. Показано, что декремент солитона чувствителен к особенностям донного рельефа.
-
Показана возможность образования аномальных импульсов (вихрей) в поле волн Россби, которые могут быть названы крупномасштабными «волнами-убийцами». Эти результаты получены в рамках модели Обухова - Чарни аналитически и численно. Дисперсионное сжатие пакетов волн Россби, при-
водящее к образованию аномально высоких импульсов, возможно на фоне случайного поля малоамплитудных волн Россби. 9. Дано гамильтоново описание баротропных волн Россби в тонком параболо-идном слое жидкости. Рассчитана матрица нелинейного трехволнового взаимодействия и проанализирована устойчивость квазимонохроматических пакетов волн Россби по отношению к эффектам трех- и четырехволнового взаимодействия рассматриваемых волн. Сделаны численные оценки инкрементов развития распадной и модуляционной неустойчивостей при типичных параметрах возбуждаемых волн.
-
Выполнены расчеты взаимодействия волн Кельвина и Пуанкаре с помощью гамильтонова формализма. Построенная теория позволила исследовать нелинейный механизм генерации волн Кельвина за счет взаимодействия с волной Пуанкаре Для этого процесса найдены инкременты неустойчивости возбуждаемых волн, проведено их сопоставление с известными экспериментальными данными и сравнение эффективности этого механизма неустойчивости с рассматривавшимися ранее.
-
Выведено расширенное уравнение Кортевега - де Вриза для континентальных шельфовых волн с помощью метода многих масштабов. Выполнено асимптотическое сведение полученного уравнения к уравнению Кортевега -де Вриза и уравнению Гарднера. Впервые показано, что имеются геометрии шельфа, при котором квадратичная нелинейность для шельфовых волн становится исчезающе малой, так что эффекты кубической нелинейности становятся принципиальными.
-
Выведено нелинейное эволюционное уравнение для топографических волн Россби в случае плавного изменения глубины вдоль широты. В первом порядке оно совпадает с уравнением Кортевега - де Вриза, выведенном ранее, а в высших порядках содержит дифференциальные и интегральные слагаемые. Все коэффициенты представлены в интегральной форме через решения соответствующих неоднородных краевых задач. Построенная теория проиллюстрирована на примерах волн Россби в канале с дном в виде ступеньки и плоским наклоном дна при постоянном параметре Кориолиса.
13 Доказано, что существующие в настоящее время различные версии нелинейного эволюционного уравнения для трансформации внутренних волн в неоднородном, в общем случае трехмерном, океане эквивалентны между собой. В вычислительном плане это означает возможность использования более простого лучевого уравнения Кортевега - де Вриза для решения практических задач. Исследована трансформация солитонов внутренних волн в море Лаптевых с учетом реальной горизонтально изменчивой гидрологии. Рассчитаны формы уединенных внутренних волн и выяснены условия существования солитонов предельной амплитуды (так называемых столообразных солитонов). Показано, что реальная горизонтальная изменчивость гидрологии на трассах порядка 100 км не разрушает форму солитона, а только влияет на его параметры.
-
Получено асимптотическое квазисолитонное решение уравнения Гарднера с переменным коэффициентом кубической нелинейности и выполнены численные расчеты в рамках исходного уравнения. Рассмотрены случаи как медленного, так и быстрого изменения коэффициента кубической нелинейности. Численное моделирование подтвердило сценарии трансформации со-литона, полученные в рамках асимптотических формул.
-
Показана возможность образования аномальных внутренних волн («внутренних волн-убийц») за счет нескольких механизмов, а именно: дисперсионного сжатия; генерации и взаимодействия солитонов и бризеров из импульсного возмущения; модуляционной неустойчивости слабомодулированных волновых пакетов и трансформации нелинейных внутренних волн в горизонтально-неоднородной среде. Ранее второй и четвертый механизмы не рассматривались в проблеме «волн-убийц», а они справедливы именно для внутренних волн.
Практическая значимость результатов работы
Результаты диссертационной работы использовались в следующих исследовательских проектах, выполненных под научным руководством автора диссертации:
«Нелинейные взаимодействия захваченных волн во вращающемся океане произвольного рельефа дна» (РФФИ № 00-05-64922), 2000 - 2002 гг.
«Нелинейная динамика захваченных волн в прибрежной зоне» (Минобразо-вание России № А03-2.13-401), 2003 г.
«Нестационарная динамика краевых волн в океане переменной глубины» (Минобразование России № А04-2.13-388), 2004 г.
«Extreme waves» (1NTAS 99-1637), 2000 - 2002 гг.
а также в следующем проекте, выполняемом в настоящее время
«Нелинейная эволюция захваченных волн в шельфовой зоне океана» (РФФИ
№ 03-05-64975), 2003 - 2005 гг.
Их практическая значимость заключается в следующем:
разработанный модифицированный вычислительный комплекс «ЦУНАМИ» на основе известного международного кода «TUNAMI», позволяет не только уменьшить время счета, но и существенно упростить процесс обработки полученной в результате этого информации о моделируемом цунами;
предложенный метод оценки цунами риска (потенциала), основанный на гидродинамическом моделировании распространения волн от удаленных источников, произвольно расположенных в акватории моря может быть использован при изучении сравнительной защищенности различных участков побережья. Сделанные оценки для Японского и Черного морей могут быть использованы в экспертной системе оценки риска цунами, разрабатываемых для этих регионов;
полученные теоретические результаты, показывающие возможность образования аномально больших краевых волн могут быть использованы для прогнозирования появления сильных краевых волн, которые могут интенсифи-
цировать процессы перераспределения наносов в прибрежной зоне, а также приводить к аномальным и кратковременным наводнениям локального характера, наблюдаемым в прибрежной зоне.
Апробация работы
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 41] и докладывались на следующих международных конференциях: Генеральные Ассамблеи Европейского геофизического общества (Гаага, Нидерланды, 1999; Ницца, Франция, 2000 - 2004; Вена, Австрия, 2005); Международной конференции «Потоки и структуры в жидкости» (Санкт Петербург, Россия, 1999, 2003; Москва, Россия, 2001, 2005); Двенадцатой зимней школе по механике сплошных сред, Пермь, Россия, 1999; Международной конференции ПРО-ТЭК'99, Москва, Россия, 1999; Международной школе-семинаре «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентности», Москва, Россия, 2000; Международных летних школах «Современные проблемы механики», Санкт Петербург, Россия, 2000 - 2005; Международной конференции «Взаимодействие структур жидкости», Халкидики, Греция, 2001; Международном симпозиуме по длинным волнам, Тессалоники, Греция, 2003; Конференции международного союза по геодезии и геофизики (IUGG), Саппоро, Япония, 2003; Международном симпозиуме «Актуальные проблемы физики нелинейных волн», Н. Новгород, Россия, 2003; Международном симпозиуме по наукам об океане, Портланд, США, 2004; Совместной ассамблеи геофизических обществ, Монреаль, Канада, 2004; Всесоюзной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки», Н. Новгород, Россия, 2004, 2005; Двадцать первом международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (ICTAM04), Варшава, Польша, 2004; Шестом международном симпозиуме по прибрежной механике, Владивосток, Россия, 2004; Второй межведомственной конференции «Проявление глубинных процессов на морской поверхности», Н. Новгород, Россия, 2005.
Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах Нижегородского государственного университета, Института прикладной физики РАН, Нижегородского государственного технического университета, Института океанологии РАН, научных школ академика РАН В.И. Таланова и член-корреспондента РАН Б.В. Левина.
Личный вклад автора
Автор принимал активное участие на всех этапах работы: обсуждение тематики, постановка задач исследований и их решение, а также практические приложения Автором проведено большинство аналитических исследований и численных экспериментов представленных в диссертации. Автору принадлежит основной вклад в исследовании динамики краевых волн в прибрежной зоне океана, образования волн большой амплитуды в случайных полях, динамики топографических волн Россби и шельфовых волн, а также в численной реализации модифицированного вычислительного комплекса «ЦУНАМИ», используемого в дальнейшем для оценки рисков, связанных с цунами.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из Введения, четырех глав и Заключения, где приведены основные результаты работы, списка литературы и изложена на 381 странице. Список литературы содержит 393 наименования.
Модифицированный комплекс «ЦУНАМИ»
Методы долгосрочного прогноза цунами начинали развиваться примерно 30-40 лет назад. Как известно, цунами относится к редким событиям, и здесь могут применяться классические методы экстремальной статистики, такие же, как для долгосрочного прогноза землетрясений и паводков. Фактически, они основаны на известной формуле статистического Пуассоновского процесса, согласно которой вероятность того, что в течение времени Г случится хотя бы одно событие, определяется выражением P = l-exp[-v71, (1.1.1) где v — средняя частота возникновения события. Для практических целей важно сделать прогноз цунами в зависимости от интенсивности цунами, то есть знать функцию v{H), где Н - высота волны цунами на берегу (это может быть как средняя величина высоты наката на побережье, используемая в определении магнитуды цунами, так и максимальная высота, более просто измеряемая при обследовании цунами). Чтобы найти среднюю частоту цунами для конкретных прибрежных пунктов, необходимо иметь большой массив архивных данных о цунами. Так, Виген [13] использовал 31 запись цунами в поселке Тофино (остров Ванкувер, Канада) за период 1906 - 1976 гг. для вычисления зависимости v(H) — она оказалось полиномиальной, что не противоречит теории экстремальной статистики. К сожалению, для большинства населенных пунктов число наблюдений цунами оказывается весьма малым (не более 5), и, зачастую, нет количественной информации о высоте волны; кроме того, за исторический период очень часто менялось положение населенного пункта или прибрежная география (устье реки мигрирует или меняется искусственно). Таким образом, такие оценки цунами риска, основанные только на наблюдаемых данных, удается делать для относительно больших территорий (см., например, [95]), и их трудно использовать в практических целях для конкретного населенного пункта. Именно поэтому прямое использование натурных данных, как в практике сейсмических прогнозов, не делается при долгосрочном прогнозе цунами.
Исторически первые попытки оценки цунами риска были основаны на концепции характерного цунами, вызываемого возможным сильным землетрясением в прибрежной зоне. Применительно к Тихоокеанскому побережью России основными источниками цунами являются землетрясения в Курило-Камчатском желобе, находящемся примерно на расстоянии 100 км от берега. В результате был сформулирован так называемый обобщенный очаг цунами (рис. 1.1.1), представляющий собой поднятие уровня моря на 1 м в зоне шириной 90 км. Такой очаг использовался в качестве начального условия в гидродинамических расчетах распространения цунами от очага до берега, при этом расчеты проводились в рамках весьма грубых математических моделей на грубой сетке. В результате был разработан ряд схем цунамирайонирования Тихоокеанского побережья России (см., например, [46, 94, 96, 131]). Аналогичная схема была разработана для тихоокеанского побережья США [73, 172, 205] и побережья Кубы [149].
Существенный прорыв в развитии методов долгосрочного прогноза цунами был сделан Кайстренко с соавторами [22, 23], обратившем внимание, что зависимость средней частоты возникновения цунами от высоты волны должна содержать два параметра v(H) = vJ(H/H0), (1.1.2) имеющих важный физический смысл. Так, vo характеризует частоту возникновения всех цунами, и, следовательно, должна определяться сейсмической активностью региона. Поэтому можно сразу же предположить, что она должна быть постоянной для достаточно большой территории, например, в пределах Камчатки, северных или южных Курил. В тоже время, Но характеризует среднюю высоту цунами в каждом конкретном населенном пункте и должна варьироваться от пункта к пункту вследствие переменности донной и береговой топографии. Ясно, что высота волны цунами в открытом океане, #оо более однородная, чем на берегу, ее изменчивость примерно такая же как, для частоты возникновения всех цунами. В результате, грубо можно записать Н0 = КНоо, (1.1.3) где К - коэффициент трансформации цунами от океана до берега (можно считать в первом приближении, что он не зависит от амплитуды волны). Этот коэффициент рассчитывается в рамках гидродинамической модели. В результате, частота возникновения цунами определяется двумя относительно слабо меняющимися параметрами, VQ, HQO, характе ризующими цунами в открытом океане. Теперь уже можно использовать массив исторических данных для всего региона в целом и вычислить указанные параметры, а затем с помощью гидродинамического моделирования рассчитать прогностические параметры цунами в каждом населенном пункте. Этот метод был использован в карте цунамирайонирования Тихоокеанского побережья России [23, 95].
К сожалению, и этот подход не может быть применен к большинству морей России из-за недостаточности имеющейся информации о цунами. Так, оценки цунами в Японском море, приведенные в схеме цунамирайонирования России, сопровождаются примечанием «очень грубые». Для Черного и Каспийского морей, информация о цунами вообще отрывистая, и фактически не содержит высот наблюдаемых волн. В этих условиях вообще невозможно дать научно обоснованные долгосрочные прогнозы цунами риска. Тем не менее, практическая надобность в хотя бы очень грубых прогнозах достаточно велика, и необходимо разработать методику оценки цунами риска в условиях недостаточности данных наблюдений. Такая методика сейчас разрабатывается на основе методов гидродинамического моделирования [178, 253, 288, 324, К14] - ее в зарубежной литературе называют оценкой цунами потенциала побережья от удаленных цунами — и автор диссертации здесь принимает активное участие. Суть метода основана на сравнении высот волн в различных пунктах побережья от различных источников цунами локализованных произвольно в океане. Он позволяет выделить зоны, в которых рассчитываемая амплитуда волны достаточно мала, так что такие зоны можно считать защищенными от цунами. Если при этом есть хоть какие-то данные наблюдений, то их можно использовать в качестве реперных, и говорить уже о количественных прогнозах. Ниже будет обсуждаться применение этого метода к анализу цунами потенциала для Японского, Черного и Карибского морей, основываясь на публикациях автора [К14, К37, К40].
Дисперсионное сжатие краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом
Здесь рассмотрен «местный» пример цунами, возникшего в Нижнем Новгороде в 1597 г. Вот как описано происшедшее событие в летописи [18]: «В 1597 году, 18 июня, в день св. мученика Леонтия в третьем часу ночи разразился над Нижним Новгородом гнев Божий: оторвавшись от матерой земли оползла гора в Печерском монастыре и с растущим на ней лесом вдвинулась в Волгу сажен на 50, а местами и более, вследствие чего на реке поднялось страшное волнение: стоявшие на воде под монастырем суда выбросило на берег сажен в 20 от воды и более. Когда оползень оселся, в горе образовалось множество ключей. Оползнем разрушены были каменные монастырские церкви: Вознесения Господня, Покрова Богородицы, апостола и евангелиста Иоанна Богослова, Николая Чудотворца, святых Бориса и Глеба и Сергия Чудотворца; кроме того, разрушены были святые ворота, кельи, сушила, погреба и прочие монастырские службы. Церковь Покрова Богородицы вместе с трапезою расшатало, а под горою сдвинулись с места сажени на две церкви Николая Чудотворца и Евфимия Суздальского; колокольню же с колоколами совсем повалило. Чудотворный образ Богородицы и другие иконы, церковную утварь вынесли из церквей еще за неделю перед тем, когда появились первые признаки оползня у монастырского моста. Случилось это бедствие при архимандрите Трифоне».
На рис. 1.6.1 показано нынешнее положение монастыря на высоком берегу Волги. На месте прежнего положения монастыря (к сожалению, не удалось получить хорошее панорамное изображение этого места в виду сильной его застроенности), находится церковь. Следует отметить, что Волжский откос достаточно крутой, что способствует возникновению оползней. В той же летописи упоминается, что в 1867 г. был «большой оползень над соляными амбарами». Оползневая опасность сохраняется и в настоящее время. Так, по данным Комитета охраны природы и управления природопользованием Нижегородской области [133], только за 2000 г. в Нижнем Новгороде на участках оползневых склонов рек Оки и Волги образовались три новых оползня и активизировались 33 старых. Максимум оползневой активности был отмечен в апреле 2000 г. Наиболее крупным из вновь образовавшихся оползней был оползень в Почаинском овраге (в черте города): длина 45 м, ширина 30 м, глубина захвата пород смещением 5 м. Совсем недавно (10 ноября 2004 г.) крупный оползень (10 тысяч кубометров) сошел с высокого берега Оки в районе Нижнего Новгорода. Он не дошел до воды и не привел к цунами. Однако, он еще раз подтвердил высокую опасность схода оползней в нашем регионе. При этом главными причинами возникновения оползней называются: осадки, высокое стояние уровня грунтовых вод, эрозию берега. Из описания события 1597 г. («церковную утварь вынесли из церквей еще за неделю перед тем, когда появились первые признаки оползня у монастырского моста») можно сделать вывод, что источником оползня стало повышение уровня грунтовых вод, приведшее к разжижению грунта.
Имеющейся исторической информации недостаточно, чтобы реконструировать движение оползня. Недавние археологические изыскания [36] позволяют оценить площадь, занятую оползнем (рис. 1.6.2). Его размеры приблизительно составляют 300 на 200 метров. Высота оползня неизвестна. Склон здесь достигает 40 градусов. Максимальная высота склона около 40 м. Отсюда можно сделать вывод, что объем оползня не превышал максимального значения V— 150 000 м3, а его вес не превышал М = 410 000 тонн (при плотности глинистых почв в 2700 кг/м3, см. [8]). В принципе, толщина оползня может являться свободным параметром в последующих вычислениях. Оценки скорости оползня, выполненные в [К1], показали, что скорость оползня превышает характерные скорости поверхностных волн и течения в реке, так что можно считать сход оползня мгновенным.
Моделирование распространения цунами в реке проводилось в рамках нелинейной теории мелкой воды (1.1.4) - (1.1.6), записанной в декартовых координатах. Граничные условия на речном створе далеко от рассматриваемой области (вниз и вверх по течению) соответствовали свободному уходу волны. В расчетах накат волны на берега реки учитывался, так что можно было рассчитать как высоту наката, так и дальность за-плеска. Батиметрия реки взята из [6], шаг по пространству составлял 20 м. Временной шаг выбирался из условия Куранта для устойчивости численной схемы, и он равен 0.25 с. Рис. 1.6.2. Положение оползня (обведено кружочками) на склоне реки Волга
Учитывая малый объем данных о цунами 1597 г., совместная задача движения оползня и возбуждения им волн не решалась, а источник цунами был заменен эквивалентным очагом, представляющим собой вертикальное смещение водной поверхности в начальный момент (поле скоростей отсутствует в начальный момент). Размеры очага совпадают с размерами оползня (300 м вдоль реки и 200 м поперек реки). Форма начального смещения является эллиптической (рис. 1.6.3), а его высота менялась от 1 до 20 м. Течением реки пренебрегалось, поскольку скорость течения (не более 0.5 м/с) значительно меньше скорости распространения волны.
Рассмотрим сначала результаты расчетов для начального смещения в очаге в 1 м. Распространение волны в течении 20 мин иллюстрируется рис. 1.6.4. В начальный момент волна «зажата» в узком месте (между высоким берегом Волги, откуда сошел оползень, и островом "Печёрские пески"). Примерно через 1 - 2 мин волна выходит из узкой зоны и начинает распространяться как вниз (налево на рис. 1.6.4), так и вверх по течению. Ее амплитуда уже через 5 - 10 мин падает примерно в 20 раз, и волна становится незаметной. На рис. 1.6.5 дано распределение максимальных (по времени) подъемов воды (положительных амплитуд) вдоль реки. Основная энергия возникающей волны цунами реализуется в очаговой области. Вне ее вследствие донной диссипации и рассеяния на островах амплитуда волны быстро убывает.
Распределение рассчитанных высот подъема уровня воды на берега реки и островов представлено на рис. 1.6.6. Высокая волна наблюдается только в очаговой области: около монастыря высота заплеска волны составляет почти 1 м, также как на противоположном берегу острова «Печерские пески». Вдали от очага высота волны не превышает 20 см. Качественно это соответствует историческим описаниям о наблюдении «страшного волнения» на реке и выбросе судов на берег непосредственно у монастыря. Согласно историческим данным, «суда выбросило на берег сажен в 20 от воды и более», то есть дальность заплеска примерно равна 40 м. Берег реки в этом месте достаточно крутой, так что высота наката могла достичь 20 - 30 м. Согласовав данные наблюдений с результатами расчетов, можно сделать вывод, что эффективная высота смещения уровня воды в очаге цунами была достаточно большой, скорее всего, 10 - 20 м. В расчетах начальное смещение варьировалось от 1 до 20 м, и во всех случаях, как и ожидалось, были получены те же пространственные распределения высот волн (если их нормировать на начальное значение).
Резонансные взаимодействия баротропных волн Россби внутри вравдающегося параболоида
Таким образом, в краевых волнах Стокса возможно образование аномальных волн в результате механизма дисперсионного сжатия. Этот механизм здесь изучен в рамках линейной теории прогрессивных волн, однако ясно, что он возможен также в поле стоячих краевых волн. Такие аномальные волны могут приводить к аномальным наводнениям локального характера. В литературе известны описания подобных событий. Вот одно из описаний наводнения такого типа, происшедшего в 1959 г. на восточном берегу Керченского пролива в Черном море [84]: «При полном штиле вдруг по мелководью к берегу пошла волна, увеличиваясь в размерах и, возвысившись до буруна, она выплеснулась на отлогий берег и разлилась по нему. Затем вода ушла к прежнему уровню». Приведем еще одно описание: «На северном берегу Керченского полуострова на берегу бухты Золотое Восточное 2 августа 1990 г. при полном штиле наблюдалось необычное движение воды. Группа людей находилась на песчаном пляже примерно в 7 м от уреза. При совсем спокойном море они внезапно оказались по щиколотку в воде. После этого по всему пляжу отчетливо была видна оставленная набегом воды мокрая полоса песка на удалении 8-Ю м от нормальной линии уреза» [85]. Источники этих наводнений неизвестны и связываются автором с цунами. Поскольку наводнения случились во время полного штиля и нет информации о землетрясении, то вряд ли эти события связаны с волнами цунами и ветровыми волнами. Возможно, что такие наводнения являются проявлением аномальных краевых волн, которые запечатлены на рис. 2.1.12 (эта фотография приведена на сайте [170]). Рис. 2.1.13 демонстрирует появление больших крупномасштабных волн вдоль восточного побережья США. Эти волны имеют разную частную модуляцию, что и отвечает за эффекты фокусировки.
Дисперсионное сжатие возможно для краевых волн в прибрежной зоне с любым профилем берегового дна, поскольку краевые волны обладают дисперсией. Рассмотрим, например, волновые движения над вогнутым экспоненциальным шельфом h(y) = #о(1 - ехр(-ау)) , (2.2.1) Особенностью этого профиля является конечность глубины вдали от берега: h(y) -» Но при Л: — оо. Вблизи берега этот профиль близок к линейному: h(y) » аНу (как и для волн Стокса). В результате приближение мелкой воды становится более обоснованным по сравнению со случаем откоса постоянного уклона. Уравнения движения в рамках линейной теории мелкой воды снова сводятся к волновому уравнению (2.1.3), с граничными условиями, обеспечивающими ограниченность волнового поля на берегу и на бесконечности. После разделения переменные в уравнении (2.1.3), структура свободных краевых волн, удовлетворяющих ограниченности волнового поля, находится в явном виде (см., например, [159]) Г(х) - гамма-функция, An - волновая амплитуда, а частота волны со и вдольбереговое волновое число к связаны дисперсионным соотношением п - целое число, определяющее номер моды. На высоких частотах дисперсионное соотношение имеет вид как и для волн Стокса. Важной особенностью дисперсионных кривых является существование нижнего порога для частоты и волнового числа (для всех мод, за исключением основной), вытекающее из положительности (2.2.4): так что низкочастотные краевые волны не могут распространяться вдоль берега. Дисперсионное соотношение (2.2.5) для шельфа с параметрами #о = 7 м, а = 3,14x10"2 м"1 и структура моды для к = 0,12 м"1 представлено на рис. 2.2.1. Такие значения параметров шельфа характерны для шельфа Слэптон Бич (Южный Девон), где были обнаружены краевые волны наинизшей моды [237]. модальная структура і = 0,12, м" J50 yf м 200 волновое число, м
Наличие частот отсечки и недисперсионных участков в дисперсионном соотношении заставляют выполнить независимое исследование волн в такой геометрии.
Решение задачи Коши для волнового уравнения (2.1.3) снова может быть представлено в интегральной форме. Ограничиваясь только волновой компонентой, достаточно далеко от очага, соответствующее решение имеет опять вид ряда Фурье Итак, формально мы имеем одинаковое интегральное выражение, как для волн Стокса, так и для волн над вогнутым экспоненциальным шельфом. Вся разница «сидит» в дисперсионном соотношении краевых волн. Рассмотрим сначала процесс формирования аномально больших импульсов из наиболее энергетической первой моды краевой волны (п - 0), когда структура моды есть и условием А(-к) = А (&), обеспечивающим действительность волнового поля.
Анализ интеграла (2.2.10) с помощью метода стационарной фазы в принципе проводится аналогично предыдущему параграфу, и он дан в работе [К2]. Здесь выделим случай длинных волн, который не может быть описан в рамках метода стационарной фазы, поскольку длинные волны распространяются без дисперсии. Дисперсионное соотношение для этого случая упрощается
Отметим, что дисперсионное соотношение (2.2.12) совпадает с приближенным дисперсионным соотношением длинных ветровых волн (линейное приближение Кортевега — де Вриза). Чтобы сделать аналогию полной, рассмотрим волновое поле вдоль берега, когда интеграл (2.2.10) становится одномерным
Формирование длинных волн-убийц в поле волн цунами уже изучалось в параграфе 1.7 [К30], и эти результаты могут быть использованы при анализе краевых волн-убийц. В частности, удалось найти аналитическое решение для Гауссовой аномальной волны
Трансформация солитонов внутренних волн в горизонтально - неоднородном океане (с приложением к арктическому бассейну)
В последнее время пристальное внимание привлекают крупномасштабные захваченные волны: волны Кельвина, шельфовые волны, топографические волны Россби и пр., которые доминируют в зоне шельфа - континентального склона в экваториальной зоне, а также вблизи фронтальных разрезов [19, 41, 69, 76, 93, 142]. Во второй главе уже обсуждались мелкомасштабные краевые волны, играющие важную роль в динамике прибрежной зоны, которые приводят к появлению своеобразных явлений и эффектов, таких, например, как береговые фестоны и различные течения [166 - 168, 203, 231, 232]. Вблизи берега на краевые и другие захваченные волны приходится 95 - 98% энергии, которая может передаваться вдоль берега на большие расстояния без существенных потерь. До сих пор остается открытым вопрос о причине гораздо более высокой энергонасыщенности захваченных волн, по сравнению с волнами открытого океана, несмотря на то обстоятельство, что область захвата волн, как правило, занимает лишь 5 — 10% площади океана [289]. Наблюдения последних лет показали, что эти волны оказывают существенное влияние на разнообразные процессы в океане. Например, такие разнородные явления, как топографические вихри, меандрирование пограничных течений (Гольфстрима и др.), апвеллинг (подъем на поверхность холодных масс воды вблизи берега), перенос донных материалов, тесно связаны с захваченными волнами [41, 69, 142]. Кроме того, они участвуют в формировании океанской циркуляции, приливов, штормовых нагонов, цунами и даже влияют на погоду и климат морей и океанов (см., например, [41, 112]).
При изучении различных проблем волновой динамики океана необходимо также рассмотреть планетарные вихри и волны, носящие имя Карла Густава Россби, который показал их фундаментальную роль в процессах глобальной циркуляции атмосферы [322, 323]. Представление о важной роли волн Россби в жизни океана детализировано сравнительно недавно. Изучение этих волн в теоретическом плане развивалось неравномерно. Соответствующие решения содержались еще в теории приливов Лапласа, но важные геофизические приложения этих волн появились на свет полтора столетия спустя, когда Россби обратил внимание на планетарные волны в атмосфере. Еще через два десятилетия, в конце шестидесятых годов двадцатого века были обнаружены соответствующие движения в океане. Выяснилось, что существенная для многих приложений (например, для мореплавания, рыболовства или гидроакустики) конкретная океанографическая «погода» определяется именно волнами Россби и тесно связанными с ними сугубо нелинейными индивидуальными образованиями в виде синоптических вихрей и рингов. Кроме того, волны Россби играют важную роль в перераспределении энергии в масштабах всего Мирового океана, так как энергия течений в результате их нестабильности передается главным образом волнам Россби, а они, в свою очередь, способствуют крупномасштабному обмену по горизонтали. Наблюдения показали, что в океанах существуют глобальные вихри — размером в целый океан. Это, по существу, зональные течения, в которых северная часть из-за наличия континентов замыкается на южную. Зональное течение «в чистом виде» обнаруживается там, где континентов нет (например, Антарктическое циркумполярное течение). Вихри такого происхождения испытывают действие р-эффекта, в силу которого волны и вихри Россби распространяются (дрейфуют) на запад. При этом возникает явление, которое называется западной интенсификацией океанских течений. Можно сказать, что течения приобретают дополнительный импульс в западном направлении от волн Россби. В силу гироскопического эффекта (или, что то же самое, под влиянием силы Кориолиса) это приводит к формированию таких глобальных течений, как Гольфстрим, Куросио и др. [332, 333]. Существование планетарных волн Россби обусловлено широтным изменением параметра Кориолиса, однако, над наклонным дном могут существовать волны Россби даже когда этот параметр постоянен. Такие волны называют топографическими волнами Россби - они играют важную роль в прибрежной зоне океана. Захваченные волны сейчас активно исследуются как экспериментально, так и с помощью гидродинамического моделирования.
Линейная теория этих волн представляет собой достаточно хорошо разработанный и устоявшийся раздел теории волн в океане [41, 69, 112, 144, 292, 310, 320, 326, 327]. Нелинейные аспекты теории, напротив, изучены еще недостаточно. Например, основы нелинейно-дисперсионной теории волн Россби были заложены еще в семидесятые-восьмидесятые годы двадцатого века в работах [10, 11, 15, 49, 62 - 67, 87, 114 - 122, 126, 170, 317]. Попытка исследования захваченных волн была предпринята в работе [68], в которой был предложен метод элементарных взаимодействующих мод, но в данной работе волны Кельвина оказались выпавшими из рассмотрения. Позднее нелинейные волны Кельвина были исследованы в работах [106, 145, 146]. Необходимо также отметить, что до недавнего времени были известны единичные работы [210, 309, 327], посвященные изучению нелинейных шельфовых волн. Имеющиеся трудности связаны с тем, что при изучении данного класса волн, океан проявляет себя как существенно неоднородная, а с учетом вращения Земли, и неизотропная среда со случайными параметрами. Таким образом, необходимо дальнейшее развитие нелинейной теории захваченных волн и волн Россби, причем в направлении все большего усложнения исследуемых моделей.
Данная глава посвящена развитию нелинейных моделей крупномасштабных волновых движений в океане. В параграфе 3.1 рассматривается аналитически и численно нестационарная динамика волн Россби на основе уравнения Обухова — Чарни. Показывается, что в волнах этого типа также возможно образование аномальных волн (вихрей), которые можно было бы назвать крупномасштабными «волнами-убийцами». Будет также показано, что такие аномалии могут возникать на фоне случайного поля более слабых волн Россби. В параграфе 3.2 найден Гамильтониан для баротропных волн Россби в па-раболоидных бассейнах. На этой основе исследована устойчивость квазимонохроматических пакетов волн Россби по отношению к эффектам трех- и четырехволнового взаимодействия и сделаны численные оценки инкрементов развития распадной и модуляционной неустойчивостей для типичных условий. Аналогичная задача для волн Кельвина в слое однородной вращающейся жидкости изучается в параграфе 3.3. Построенная теория позволила исследовать один из возможных нелинейных механизмов генерации волн Кельвина, а, именно, их возбуждение за счет нелинейного взаимодействия с волной Пуанкаре. Для этого процесса найдены инкременты неустойчивости возбуждаемых волн, проведено их сопоставление с известными экспериментальными данными и сравнение эффективности этого механизма неустойчивости с рассматривавшимися ранее. Наряду с этим, исследуется стабилизация распадной неустойчивости кельвиновских волн за счет фазового рассогласования возбуждаемых волн, возникающего в результате четырехволнового взаимодействия волн Кельвина. Расширенное уравнение Кортевега — де Вриза для континентальных шельфовых волн выведено в параграфе 3.4. Новым результатом здесь является нахождение условий, когда квадратичная нелинейность становится очень малой, и становятся важными кубические эффекты. Аналогичное уравнение выведено для нелинейных топографических волн Россби (параграф 3.5), причем с учетом горизонтальной плавной изменчивости параметров океана вдоль направления распространения. Приведены примеры, показывающие важность учета кубических эффектов для волн данного типа. В заключение суммированы основные результаты главы.
