Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Современные достижения в описании взаимодействия предельно коротких импульсов с веществом 10
1. Теоретические модели одномерного распространения импульсов в изотропных средах 10
2. Способы описания распространения импульсов в оптически одноосных средах 22
3. Влияние поперечных возмущений 28
ГЛАВА 2. Нелинейные волновые уравнения и прибли жённый метод поиска солитоноподобных решений 32
1. Вывод нелинейных волновых уравнений 32
2. Комбинированный подход нахождения солитоноподобных решений 38
ГЛАВА 3. Одномерные солитоноподобные решения и их анализ 41
1. Динамика предельно коротких импульсов в изотропной среде 41
2. Распространение обыкновенно-необыкновенного импульса перпендикулярно оптической оси 48
3. Солитоноподобные режимы распространения предельно коротких импульсов под произвольным углом к оптической оси 54
ГЛАВА 4. Влияние поперечных возмущений 63
1. Влияние дифракции на нелинейное распространение оптических импульсов, включающих в себя произвольное число колебаний 63
2. Мелкомасштабные возмущения при распространении импульсов перпендикулярно оптической оси кристалла 76
3. Случай произвольной геометрии распространения 79
Заключение 84
Благодарность 86
Литература 87
- Способы описания распространения импульсов в оптически одноосных средах
- Комбинированный подход нахождения солитоноподобных решений
- Распространение обыкновенно-необыкновенного импульса перпендикулярно оптической оси
- Мелкомасштабные возмущения при распространении импульсов перпендикулярно оптической оси кристалла
Введение к работе
Оптика импульсов, содержащих несколько (вплоть до одного) периодов электромагнитных колебаний, в последние годы приобретает всё большую популярность (см., например, обзоры [1-6]). Эта область лазерной физики, как и соответствующая терминология, всё ещё проходит этап становления. К настоящему времени за столь необычными для традиционной оптики сигналами устойчиво закрепились два термина: предельно короткие импульсы (ПКИ) [2-4] (англоязычный эквивалент: extremely short pulses (ESP) или ultimately short pulses (USP)) и few cycle pulses (FCP) [1]. Последний термин чаще встречается в англоязычной литературе. Термины (ESP) и (USP) иногда применяют и к квазимонохроматическим импульсам, чтобы подчеркнуть их малую длительность тр в абсолютном смысле. ПКИ могут иметь ту же длительность, что и квазимонохроматические импульсы, но отличаются тем, что включают в себя лишь несколько колебаний поля от видимого до инфракрасного диапазона. При этом длительность ПКИ может колеблется от единиц [7] до сотен [8] фемтосекунд. К настоящему время предложены различные способы генерации и аттосекундных импульсов в ультрафиолете — мягком рентгене.
ПКИ отличаются от квазимонохроматических импульсов не только формой рис.1, но и характером взаимодействия с веществом.
а)
Ь)
Рис.1, на рисунке представлены квазимонохроматический а) и предельно короткий Ь) импульсы.
Для ПКИ нельзя ввести понятие несущей частоты, как это делают для квазимонохроматических импульсов, поскольку ширина их спектра сравнима с центральной частотой, в то время как для квазимонохроматических импульсов спектральная ширина Аса ~11тр мала по сравнению с несущей а> частотой.
Интерес к изучению ПКИ обусловлен их возможным применением в системах оптической связи. Ясно, что с укорочением импульсной длительности можно передавать всё большие объёмы информации в единицу времени. С теоретической точки зрения интерес к ПКИ связан с качественно новыми особенностями их взаимодействия с веществом. Понятно, что к описанию ПКИ неприменимы хорошо зарекомендовавшие себя в оптике квазимонохроматических импульсов приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз (ММАФ). Поэтому уравнения, описывающие динамику ПКИ, должны быть записаны непосредственно для электрического поля. Основой всех рассматриваемых теорий являются уравнения Максвелла, дополненные системой Блоха или полуфеноменологическими моделями поляризационного отклика. Поскольку для полученных таким образом эволюционных уравнений редко удаётся найти точное решение, часто используют различные приближения или численные методы [2, 5, 9]. Тем не менее, аналитические методы исследования сложных нелинейных уравнений, описывающих взаимодействие ПКИ с веществом, недостаточно развиты. Ситуация усложняется, если ПКИ распространяется в анизотропной среде. Здесь существенную роль играют чётные степени электрического поля в разложении поляризации среды. В общем случае электромагнитная волна не является поперечной в такой среде и нелинейные восприимчивости являются тензорными величинами. В некоторых работах используется скалярная модель, когда учитывается лишь одна компонента электрического поля ПКИ [10-12] Как показано в [6, 13], при распространении импульса поперёк оптической оси необходимо учитывать, вообще говоря, две компоненты электрического поля: обыкновенную
Е0 и необыкновенную Ее. В одноосном кристалле имеется два выделенных
направления, при распространении в которых поле волны оказывается строго поперечным: вдоль и поперёк оптической оси. Можно показать, что поведение ПКИ в одноосном кристалле при его распространении вдоль оптической оси эквивалентно его динамике в изотропной среде. Поэтому описание взаимодействия ПКИ с одноосным кристаллом является более общей задачей, включающей изотропный случай.
Влияние поперечных возмущений, включая дифракцию, исследовано значительно меньше, несмотря на то, что в этом имеется настоятельная необходимость в связи с возможными применениями ПКИ в системах оптической связи. До сих пор этот вопрос остаётся открытым.
Настоящая диссертации посвящена описанию как одномерной динамики, так и учёту влияния поперечных мелкомасштабных возмущений при распространении ПКИ в одноосном кристалле под произвольным углом к оптической оси.
Первая глава посвящена обзору работ, в которых рассматриваются различные модели взаимодействия ПКИ с веществом, начиная изотропными и заканчивая анизотропными средами. Рассмотрены различные режимы распространения ПКИ в таких средах как в одномерном, так и в трёхмерном случаях, когда учитываются поперечные возмущения.
Во второй главе представлена система уравнений, описывающая распространение ПКИ в частично поглощающих средах с кубической и квадратичной нелинейностью и новый комбинированный подход, позволяющий получать аналитические квазисолитонные решения сложных нелинейных уравнений.
В третьей главе аналитически исследована солитоноподобная динамика ПКИ, распространяющихся в одноосном кристалле под произвольным углом к оптической оси. Проанализированы решения, описывающие одномерную динамику импульсов, представляющих собой связные состояния
обыкновенной и необыкновенной полевых компонент. При этом обыкновенная составляющая может вмещать произвольное число оптических колебаний, вплоть до одного, а необыкновенная является однополярным видеоимпульсом
Четвёртая глава посвящена влиянию мелкомасштабных поперечных возмущений (включая дифракцию) на распространение ПКИ в одноосном кристалле. Определены области значений параметров импульса и среды, при которых распространение устойчиво. Найдено минимальное число колебаний, содержащихся в импульсе при котором дифракция не может препятствовать самофокусировке.
В заключении диссертации подведены итоги исследования, перечислены основные результаты, полученные в работе.
На защиту выносятся следующие положения:
Комбинированный подход, включающий в себя методы аналитического продолжения дисперсионных параметров на комплексную плоскость и усреднённый вариационный принцип типа Ритца-Уизема, позволяет находить приближённые солитоноподобные решения нелинейных волновых уравнений и проводить их анализ на устойчивость по отношению к поперечным возмущениям.
При числе импульсных колебаний солитона меньшем критического значения, которое определяется параметрами среды и центральной частотой спектра импульса, дифракция не способна препятствовать его самофокусировке.
В кристаллах с отрицательным двулучепреломлением могут формироваться солитоноподобные импульсы, если их спектр принадлежит области аномальной групповой дисперсии. В таких кристаллах солитоноподобные импульсы устойчивы относительно влияния мелкомасштабных поперечных возмущений, если их размер не превышает некоторого порогового значения.
4. В кристаллах с положительным двулучепреломлением спектр обыкновенной компоненты солитоноподобного импульса может принадлежать по отдельности областям нормальной и аномальной групповой дисперсии. При этом обе области отделены друг от друга спектральной щелью, а нелинейность имеет соответственно дефокусирующий и фокусирующий характеры.
Способы описания распространения импульсов в оптически одноосных средах
В вышеописанных работах рассматриваемые среды предполагались изотропными. Наличие в таких диэлектриках центра инверсии предполагает инвариантность материальных уравнений относительно пространственной инверсии г — -г. Следствием данного обстоятельства является наличие нелинейности лишь нечётных степеней в разложении поляризации по степеням электрического поля импульса. Таким образом, в изотропных средах отсутствует квадратичная нелинейность, как и нелинейность других чётных степеней. Так автором [37] при распространении ПКИ помимо кубической нелинейности учитывалась нелинейность пятой степени. В работе [38] исследовано фарадеевское вращение плоскости поляризации оптических солитонов в разреженных средах. В квантомеханическая модели среды учитывалась схема оптических а-переходов при нормальном, аномальном эффектах Зеемана, а также при эффекте Пашена-Бака. В низкочастотном нерезонансном пределе и приближении однонаправленного распространения для напряжённости электрического поля импульса получено "дифференциальное" нелинейное уравнение Шрёдингера где а, /3- коэффициенты низкочастотной дисперсии и нелинейности соответственно, а Ч = Ех + iEy. Предполагалось, что импульс распространяется вдоль магнитного поля. Автором работы получено односолитонное решение, описывающее импульс с вращающейся плоскостью поляризации. Показано, что направление фарадеевского вращения для солитона уравнения (1.24) противоположно соответствующему направлению для плоской линейной волны. В ряде работ для описания распространения импульсов в анизотропной среде использовалась скалярная модель, когда рассматривалась только одна компонента электрического поля. Так, в [10] материальный отклик среды здесь моделировался ангармоническим осциллятором с квадратичной нелинейностью Здесь X — смещение электрона из положения равновесия, к2 — константа энгармонизма, е, mej- — заряд и эффективная масса электрона, Е — электрическое поле, а)0 - собственная частота колебаний. Используя приближение однонаправленного распространения, справедливое для сред с низкой плотностью, получена система материальных и волнового уравнений. Её численное исследование показало, что импульсы с энергией много меньшей энергии стационарного импульса, при распространении разрушаются под влиянием дисперсии. Импульсы с энергией большей, чем у стационарных распадаются на ряд импульсов, движущихся как стационарные.
В [11] также как и в предыдущей работе использовалась скалярная модель, но помимо квадратичной нелинейности среды путём добавление слагаемого к3Х3 в левую часть материального уравнения (1.25). Однако в общем случае использовать скалярную модель недостаточно, поскольку восприимчивости являются тензорами в анизотропных средах. В работе [39] исследовалось распространение оптического импульса фемтосекундной длительности в одноосном кристалле. Авторами была пред ложена феноменологическая модель среды с квадратичной нелинейностью. Учитывалось, что при распространении электромагнитной волны в такой среде, необходимо описывать обыкновенную и необыкновенную составляющие электрического поля импульса и поляризации среды. Необыкновенные компоненты Ее, Ре которых лежат в плоскости главного сечения, образованной оптической осью и направлением распространения сигнала, а обыкновенные Е0, Р0 перпендикулярны данной плоскости. В предложенной феноменологической модели среда состояла из двух ангармонических осцилляторов с квадратичной нелинейностью, так что зависимость поляризации от поля импульса выражалась соотношениями где Q0, Qe -резонансные частоты осцилляторов; параметры S0, -характеризуют затухание; уоУ -коэффициенты связи между электрическим полем и поляризацией соответственно для обыкновенной и необыкновенной волны. Величины Р являются компонентами тензора второго ранга квадратичной нелинейности. Для системы (1.26), (1.27) получены стационарные решения в виде двух связанных солитонов, распространяющихся с одинаковой скоростью. Показано, что если у0=уе и Q0 =Qe, длительность солитонов произвольна. Если эти равенства не выполняются, то скорость и длительность жёстко определяются параметрами среды. Авторы работы обнаружили, что необыкновенная волна может возбуждаться сверхкороткой обыкновенной компонентой импульса. Для сред с наведённой анизотропией, влияние искусственного двулуче-преломления на нелинейную динамику ПКИ изучено в [40]. Авторами работы предложена система уравнений, описывающая распространение ПКИ перпендикулярно оптической оси, в области прозрачности среды с наведённым двулучепреломлением где //-параметр, характеризующий расстройку скоростей необыкновенной ие и обыкновенной v0 волн, коэффициенты Рое, а - определяют вклады не-линейностей, параметры 8ое - характеризуют электронную дисперсию, vm — некоторая "средняя" скорость, лежащая в промежутке между ve и v0 и определяемая выражением v 2 = (у 2 +v 2)/2, т = t — x/vm, А± -поперечный лапласиан.
Система (1.28), (1.29) имеет солитоноподобное решение связанного состояния обыкновенной и необыкновенной компонент при /л «/, (/ длинна дисперсионного расплывания, Lbs длина биения эллипса поляризации) и 8е = 80 = Здесь 0(//)-функция единичного скачка Хэвисайда, = (t-x/v0)/rp; Ет=4єу[е/(тр /30+/Зе+2а), є2 =/А/ z.ft5 - есть отношение длинны дисперсионного расплывания /л к длине биения эллипса поляризации Lbs. Для сред с естественной анизотропией в [6] получена система, описывающая динамику ПКИ, распространяющихся в одноосном кристалле под произвольным углом к оптической оси. Авторами работы найдены солитоно-подобное решение этой системы в виде однополярного импульса обыкновенной и необыкновенной компонент. В работе [41 ] рассмотрено распространение через анизотропную резонансную среду двухкомпонентных электромагнитных импульсов, имеющих обыкновенную и необыкновенную составляющие. На основе операторного варианта метода ВКБ, предложенного в [42] было показано, что благодаря постоянному дипольному моменту между обеими компонентами импульса происходит сильное нелинейное взаимодействие, когда их линейные скорости близки друг к другу. Коротковолновая обыкновенная составляющая импульса, вызывающая квантовые переходы, эффективно порождает длинноволновую необыкновенную компоненту, которая динамически сдвигает частоту квантового перехода и вызывает фазовую модуляцию частоты обыкновенной составляющей. В этом случае взаимодействие обеих компонент импульса происходит в условиях синхронизма длинных и коротких волн (СДКВ). При преобладании необыкновенной компоненты импульса над обыкновенной реализуется режим распространения, названный в [41] необыкновенной прозрачностью (НП). Соответствующие этому режиму импульсы, испытывая замедление в скорости распространения, практически не вызывают изменения населённостей квантовых уровней. Следует особо отметить работу [43], в которой исследованы особенности нелинейного распространения двухкомпонентных импульсов излучения в резонансных оптически одноосных средах, обладающих постоянным диполь
Комбинированный подход нахождения солитоноподобных решений
Как уже было отмечено в первой главе, редко удаётся получить точное решение нелинейных волновых уравнений, описывающих распространение ПКИ в нелинейной среде, поэтому приходиться использовать различные приближенные методы. Так, для анализа нелинейных уравнений в работе [50] применён усреднённый вариационный принцип (УВП) типа Ритца-Уизема, а в [22, 33] — метод аналитического продолжения дисперсионных параметров на комплексную плоскость (АПДП). Суть УВП состоит в том, что в лагранжиан L, соответствующий исследуемому уравнению, подставляется пробное решение, которое обычно выбирается исходя из экспериментальных исследований, либо из результатов численных расчётов (ниже будет приведён ещё один способ для отыскания пробных решений для уравнений, описывающих распространение импульсов с произвольным числом колебаний). Интегрируя полученное выражение по времени, получаем "усреднённый лагранжиан" Л = Ldt. Варьируя далее —00 по неизвестным величинам, приходим к системе уравнений Эйлера-Лагранжа, разрешая которую относительно неизвестных, находят искомое приближённое решение исследуемого уравнения. К сожалению, в большинстве случаев эту систему не удаётся разрешить (из-за её громоздкости) относительно неизвестных функций. Метод АПДП используется для нахождения зависимости фазовой и групповой скоростей от свободных параметров. Он был предложен для одно-параметрических солитонов в работах [58, 59], а обобщён и развит на случай двухпараметрических решений в [33, 60]. Метод основан на предположении, что импульс, рассматриваемого уравнения экспоненциально локализован как по пространственной, так и по временной переменной.
На "хвостах" импуль са, где величина поля Е мала, вполне применим подход, связанный с линейным приближением. Поэтому связь между "геометрическими" параметрами импульса (фазовой и групповой скоростями, с одной стороны, центральной частотой со спектра импульса и его длительностью г — с другой) можно найти, используя линеаризованное дисперсионное соотношение F(a ,k) = 0 (А:-волновое число в лабораторной системе отсчёта), соответствующее рассматриваемому уравнению. Совершив в котором замены вида после разделения действительной и мнимой частей, получают [22] F, [со, тр, к, I) = 0, F2 {со, тр, к, /) = 0. Данные соотношения устанавливают связь между параметрами локализованного решения. При этом групповая и фазовая скорости импульса имеют вид В [22] приведена квазичастичная интерпретация метода, согласно которой тр - имеет смысл обратного времени жизни квазичастиц в состоянии с энергией Ьсо и импульсом М, а /-средней длины их свободного пробега. Конечность тр, I, возникающая из-за взаимодействия между квазичастицами в результате нелинейности, приводит к конечным ширинам Аса и Ак спектра квазичастиц, формирующих солитоноподобное формирование. В работе [61] впервые был использован комбинированный подход, включающий в себя УВП (для нахождения связи амплитуды импульса от скоростей) и АПДП (для нахождения зависимости фазовой и групповой ско ростей от свободных параметров). Пробное решение было найдено исходя из следующих соображений. Уравнение, описывающее распространение импульсов с произвольным числом осцилляции в пределе квазимонохроматических импульсов переходит в уравнение для огибающей. Естественно предположить, что и решение, описывающее распространение ПКИ, должно переходить в решение, описывающее распространение импульсов с большим числом колебаний. Таким образом, используя УВП, можно получит пробное решение, приближённо описывающее распространение импульсов в среде.
Как было отмечено выше, система (2.6), (2.7), в случае распространения ПКИ вдоль оптической оси переходит в уравнение (1.19), описывающее динамику ПКИ в изотропном диэлектрике [33]. Следуя комбинированному подходу, найдём зависимость фазовой и групповой скоростей от свободных параметров импульса. Дисперсионное соотношение, соответствующее линеаризованному уравнению (1.19), имеет вид где к — волновое число в лабораторной системе координат. Совершая в (3.1) замены вида (2.14) и отделяя действительную и мнимую части, найдём дисперсионное соотношение к\о), г"1 J для экспоненциально локализованного импульса, а также выражения для его фазовой и групповой скоростей В качестве свободных параметров удобно использовать величины со и г . Приступим теперь к нахождению зависимости амплитуды от со и тр. Уравнение (1.19) (без правой части и Л = 0) может быть получено из плотности лагранжиана
Распространение обыкновенно-необыкновенного импульса перпендикулярно оптической оси
В случае распространения ПКИ перпендикулярно оптической оси доминирует квадратичная нелинейность, поэтому кубической нелинейностью можно пренебречь. Как было отмечено выше, Е0 - доминирующая компонента, поэтому вкладом от дисперсии необыкновенной составляющей и её собственной квадратичной нелинейности можно пренебречь как величинами более высокого порядка малости по сравнению с соответствующими характеристиками обыкновенной составляющей. Кроме того, будем учитывать только электронную дисперсию.
В квазимонохроматическом пределе полу ченная таким образом система переходит в систему Ядзимы-Ойкавы (2.8), (2.9). Односолитонное двухпараметрическое решение этой системы в лабораторной системе координат имеет вид [6] где т=(б#0/тра2УШ, Eem=6S0/t2pa2y q = n/v + k2(n2+ )/2. Скорость v определяется соотношением \/v = l/vgr -k2Q, Q-свободный параметр, имеющий смысл нелинейного частотного сдвига коротковолновой компоненты в красную область спектра. Подставляя (3.16) в (2.11), получим Вернёмся теперь к рассматриваемой системе. Следуя комбинированному подходу, запишем дисперсионное соотношение линеаризованного одномерного уравнения для обыкновенной компоненты, упрощённого в соответствии с вышеизложенным k = n0 olc + S0co . (3.18) Приступим к нахождению явного вида для Е0 и Ее. Лагранжиан системы выглядит следующим образом где E0=dU0/dt, Ee =dUe/dt. Будем рассматривать одномерное распространение Vx/ = 0. Пробные одномерные решения выберем так, чтобы в квазимонохроматическом пределе выражения для Е0 и соответствовали точным решениям системы Ядзимы-Ойкавы (3.18), (3.17). Ue=-Aeth t-zlv Подставляя (3.22), (3.23) в (3.21) и, интегрируя полученное выражение по t, получим "усреднённый" лагранжиан а необыкновенная где В квазимонохроматическом пределе сот »1 (3.25), (3.27) переходят в (3.18), (3.17), что является одним из аргументов в пользу правильности вида выбранных пробных функций (3.22), (3.23) и предложенного подхода.
Из (3.26) следует, что при А0 = О. Т.е. вся энергия переходит из обыкновенной компоненты электрического поля в необыкновенную. Заметим, что равенство (3.29) обобщает условие резонанса Захарова-Бенни (2.12) на случай, когда обыкновенная составляющая солитона не является импульсом огибающей, а может содержать малое число колебаний. Рис. 3. Профиль обыкновенной компоненты электрического поля Е0 в квзимонохрома-тическом пределе (СОТр »1) (а) и в случае импульсов в несколько периодов колебаний (сотр 1) (б); видеоимпульс необыкновенной компоненты Ее(в). Как было отмечено выше, система, описывающая распространение ПКИ под произвольным углом к оптической оси одноосного кристалла, имеет вид (2.6), (2.7). Поскольку доминирующей компонентой является обыкновенная компонента, то нелинейностью Ь3е, дисперсией 8е и собственной квадратичной нелинейностью Ъг необыкновенной компоненты в системе (2.6), (2.7) можно пренебречь как величинами более высокого порядка малости по сравнению с соответствующими характеристиками обыкновенной составляющей. Как величиной более высокого порядка малости также можно пренебрежен-но кубической нелинейностью а3 по сравнению с ЪЪо. Как и в предыдущем параграфе, метод АПДП будем применять к уравнению (2.6). Дисперсионное соотношение, соответствующее линеаризованному уравнению (2.6), имеет вид
Мелкомасштабные возмущения при распространении импульсов перпендикулярно оптической оси кристалла
Исследуем теперь влияние поперечных возмущений на импульс, распространяющийся перпендикулярно оптической оси [75-76], описываемый системой (2.6), (2.7). Принимая во внимание допущения, касающиеся распространения импульса перпендикулярно оптической оси отмеченные в главе 3, лагранжиан, соответствующий системе (2.6), (2.7) представим в виде (3.21). Пробное решение выберем из соответствия одномерным (3.22), (3.23) Здесь Ф(г, 1),/(2,7 ) подлежащие определению функции координат, параметр 1 / V следующим образом связан с групповой скоростью v Будем считать, что функциональные зависимости А0,Ае и І/v совпадают с таковыми в одномерном случае и определяются соответственно соотношениями (3.26), (3.28), (3.20). В одномерном случае Ф = г/УрН. Здесь параметр l/Vpf, связан с фазовой скоростью vph (3.19) соотношением Подставляя (4.27)-(4.29) в (3.21), после интегрирования по т пол Из (4.33) и (4.34) легко видеть, что Q {X/ D) , где Я и D—характерные продольный и поперечные масштабы импульса (в квазимонохроматическом пределе Я— длина волны). При [Я/D) — 0 имеем эйкональное приближение. Т.о., что система (1.33), (1.34) при Q = 0 описывает влияние поперечных возмущений в приближении геометрической оптики. Анализ (4.35), (4.36) и (3.26) при замене г"1 —» у показывает, что импульс системы (2.6), (2.7) устойчив по отношению к самофокусировке в случае нормальной дисперсии 50 О. Данное обстоятельство согласуется с тем известным фактом, что в области нормальной дисперсии солитоны формируются при дефокусирующей нелинейности. Учтём теперь влияние малых поперечных возмущений, включая эффекты дифракции (Q O). Для этого представим р и р в виде разложения Р — А) + Л» Ф Фъ + Ф\ гДе Р\ к Ро» Ф\ к- Фо После линеаризации относительно Pj и срх уравнения (1.33), (1.34) с учётом (4.32) - (4.36) примут вид линейной однородной системы.
Полагая далее получим алгебраическую однородную систему. После приравнивания нулю определителя данной системы найдём дисперсионное уравнение тельны в области допустимых значений со и у. Отсюда и из (4.38) следует, что солитоноподобные импульсы, распространяющиеся перпендикулярно оптической оси и описываемые системой (4.6), (4.7), устойчивы по отношению к поперечным возмущениям. Исследуем теперь влияние поперечных возмущений на импульс, описываемый системой (2.6), (2.7). Пробные решения для U0 и Ue выберем из условия их соответствия одномерным (3.22), (3.23) в виде (4.27), (4.28). Параметр \IVследующим образом связан с групповой скоростью v (см. (3.32)) Будем считать, что функциональные зависимости А0,Ае и І/v совпадают с таковыми в одномерном случае и определяются соотношениями А0 = Eomlco, Ае = Еет/у, (см. (3.37), (3.38), (3.32)). Подставляя (4.27), (4.28) в (3.33) и интегрируя по г при условии (у/со) «1 получим "усреднённый" лагранжиан. Записывая далее с его ис пользованием уравнения Эйлера-Лагранжа для Фи/, приходим к системе "гидродинамического типа" (1.33), (1.34), в которой переменные связаны друг с другом как (4.32)-(4.34). Связь Заметим, что усреднение лагранжиана по времени вовсе не затрагивает поперечные координаты.
Поэтому метод "усреднённого" лагранжиана позволяет учитывать как крупно-, так и мелкомасштабные поперечные возмущения. Критерий устойчивости по отношению к самофокусировке может быть записан в виде условия устойчивого течения данной "идеальной жидкости" дР/др 0. Отсюда и из (4.40) следует, что солитон устойчив по отношению к самофокусировке на эйкональной стадии, если спектр его обыкновенной компоненты лежит в области нормальной групповой дисперсии (CO CDC) и неустойчив — в противном случае. Объяснить это можно на основе следующих рассуждений. При со сос солитонный показатель преломления ns уменьшается с ростом амплитуды Еот \1тр (см. (3.37)), которая в центре поперечного сечения солитона выше, нежели на его периферийных участках. Согласно принципу Ферма, волновые нормали загибаются в сторону увеличе
