Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Связанные и резонансные состояния квазичастиц в конденсированных сржах 9
1.1. Теоретические методы для описания саязанных состояний квазичастиц 10
1.1.1. Условия существования связанных состояний квазичастиц в пределе слабой связи 10
1.1.2. Связанные и гибридные состояния квазичастиц в условиях сильной связи 18
1.1.3. Связанные состояния и резонанс Ферми колебательных экситонов в молекулярных кристаллах 26
1.1.4. Поляритонный резонанс Ферми в кристаллах без центра симметрии 29
1.2. Проявление связанных и гибридных состояний фононов в экспериментальных спектрах комбинационного рассеяния света (КРС) 32
1.2.1. Существование связанных состояний фононов в кристаллах алмаза, германия и кремния 32
1.2.2. Связанные состояния фононов и резонанс Ферми в спектрах КРС многоатомных кристаллов 34
1.2.3. Особенности поляритонного резонанса Ферми в кристаллах без центра симметрии 41
ГЛАВА II. Исследование условий образования связанных состояний фононов дня различных законов дао персии 45
2.1. Акустические фононы в простой модели кристал лической решетки 46
2.1.1. Акустические фононы с параболическим законом дисперсии на границе зоны Бриллюэна 49
2.1.2. Акустические фононы в области малых импульсов 63
2.2. Условия образования связанных и резонансных состояний для различных законов дисперсии оптических фононов 68
2.2.1. Квазирелятивистский закон дисперсии оптических фононов 68
2.2.2. Оптические фононы с синусоидальным законом дисперсии 78
2.2.3. Условия образования связанных состояний оптических фононов при отличном от нуля суммарном импульсе пары 86
ГЛАВА III. Резонансное взаимодействие одно-и двухфононных возбуждений в кристаллах фосфида таллин 89
3.1. Структура и спектры колебательных возбуждений фосфида галлия 89
3.2. Частотно-зависящее затухание TQ-линии фосфида галлия 96
3.3. Расчет функции плотности двухфононных состояний суммарного cJrA (X) + LJLA (X) тона и обертона CJLA(L)+OJiL)фосфида галлия 98
3.4. Расчет формы контура спектральной интенсивности КРС на поперечном оптическом колебании 103
ГЛАВА IV. Связанные и гибридные состояний фононш в кристаллах хлористого аммония и дейтерирсьванного хлористого аммония 111
4.1. Анализ спектров КРС хлористого аммония в области частот внутренних колебаний группы 112
4.2. Описание рассматриваемой теоретической модели и анализ существования связанных состояний оптических фононов ИЗ
4.3. Расчет плотности двухфононных состояний в зоне CJ^ + со4 хлористого аммония 115
4.4. Расчет спектрального распределения интенсивности КРС в области частоты фундаментального колебания CJ>yC/4j) и зоны со ч-со 120
4.5. Учет резонанса Ферми при расчете функции спектральной интенсивности /^-симметрии в зоне Сд^ + СЛ4 124
4.6. Влияние дейтерирования на условия образова ния связанного состояния в зоне CJ^ + cj^ хлористого аммония 127
ГЛАВА V. Эффекты резонансного взаимодействия колебательных состояний в спектрах крс кристаллов кварца и ниобата лития вблизи температуры фазового перехода 134
5.1. Проявление резонансного взаимодействия низко частотного оптического колебания с двухчас тичными акустическими состояниями в спектрах КРС кварца 135
5.1.1. Анализ спектров КРС и спектров рассеяния медленных нейтронов в кристаллах кварца 135
5.1.2. Теоретическая модель резонансного взаимодействия однофононных и двухфононных возбуждений в кварце 139
5.1.3. Расчет спектральной интенсивности КРС в кварце при различных температурах 141
5.2. Особенности резонансного взаимодействия низко частотной оптической моды с двухчастичными возбуждениями в ниобате лития 150
5.2.1. Общий анализ результатов исследования спектров КРС и рассеяния медленных нейтронов в ниобате лития 151
5.2.2. Теоретическая модель для описания резонансного взаимодействия "мягкой" моды с двухфонон-ными возбуждениями 155
5.2.3. Расчет спектральной интенсивности КРС в ниобате лития при различных температурах 161
Выводы и заключение 169
Литература 172
- Связанные состояния и резонанс Ферми колебательных экситонов в молекулярных кристаллах
- Условия образования связанных и резонансных состояний для различных законов дисперсии оптических фононов
- Расчет функции плотности двухфононных состояний суммарного cJrA (X) + LJLA (X) тона и обертона CJLA(L)+OJiL)фосфида галлия
- Влияние дейтерирования на условия образова ния связанного состояния в зоне CJ^ + cj^ хлористого аммония
Введение к работе
Колебательные спектры кристаллов являются одним из основных источников информации о динамике кристаллической решетки. Исследование колебательных спектров позволяет единым образом объяснить целый ряд важнейших физических характеристик кристаллов таких как диэлектрические, оптические, тепловые и упругие свойства. Колебательные спектры дают также возможность изучать механизм структурных фазовых переходов, роль различного типа межатомных и межмолекулярных взаимодействий. С развитием экспериментальных методов колебательной спектроскопии и, в частности, лазерной спектроскопии комбинационного рассеяния света (КРС), оказалось возможным детальное изучение много частичных процессов в твердых телах.
В последние годы большое значение приобрела концепция о существовании связанных и резонансных состояний квазичастиц в конденсированных средах. В значительной степени это вызвано экспериментальными наблюдениями ветви связанного состояния ротонов в спектре возбуждений жидкого гелия, связанных и резонансных состояний фононов, различного рода составных состояний элементарных возбуждений (плазмон-фононных, фонон-поляритонных, двух магнонных и т,д. комплексов) в спектрах КРС и ШС-отражения широкого класса кристаллов, а также теоретическими работами Аграновича, Питаев-ского.
Вместе с тем выяснилось, что взаимодействие квазичастиц в твердых телах, приводящее к существенной перестройке спектра возбуждений обладает рядом общих закономерностей вне зависимости от природы самих взаимодействующих квазичастиц.
В фононных спектрах кристаллов взаимодействие между фононами приводит к известным эффектам сдвига энергии и перенормировке времени жизни однофононных возбуждений. Однако в условиях сильного взаимодействия фононов, радикально перестраивается как однофононный, так и многофононный спектр. Такие условия реализуются в кристаллах в тех случаях, когда по каким-либо причинам однофононное возбуждение попадает в полосу многофононных, в простейшем случае двухфононных, возбуждений. Особый интерес представляет анализ изменений колебательных спектров кристаллов вблизи структурных фазовых переходов, когда резонансное взаимодействие одно- и многофононных возбуждений естественно возникает при прохождении сильно зависящей от температуры моды через области локализации двух- и многофононных состояний кристалла. При этом, основные черты изменения спектров КРС могут быть поняты с точки зрения фононного резонанса Ферми, возникающего при взаимодействии мягкой моды с низколежащими двухфононными состояниями.
Цель настоящей работы - количественное теоретическое описание особенностей спектров КРС реальных кристаллов при условии существования резонансных и связанных состояний фононов.
Диссертация состоит из пяти глав. В первой главе дается обзор существующих теоретических и экспериментальных работ, посвященных эффектам резонансного взаимодействия фононов в кристаллах и проявлению таких эффектов в колебательных спектрах.
Во второй главе теоретически исследуются условия существования связанных состояний оптических и акустических фононов, в зависимости от вида законов дисперсии и величины затухания.
В третьей главе приводятся результаты расчета функции спектральной интенсивности КРС первого порядка поперечного оптического колебания фосфида галлия при учете резонансного взаимодействия фундаментального колебания с двухфононными акустическими возбуждениями.
В четвертой главе сообщаются результаты расчетов спектральной интенсивности КРС на фотонах в области полносимметрич-ного обертона cj + CJ и трижды вырожденного полярного обертона CJ4+CJ4 кристалла хлористого аммония.
Пятая глава посвящена изложению результатов расчета спектральной интенсивности КРС в кристаллах кварца и ниобата лития при различных температурах вблизи точек структурных фазовых переходов.
Впервые проведены систематические исследования влияния вида закона дисперсии и величины затухания на условия образования связанных состояний оптических и акустических фононов.
Впервые проведены детальные расчеты функции спектральной интенсивности КРС первого порядка в кристаллах фосфида галлия, хлористого аммония, кварца, ниобата лития при учете эффектов резонансного взаимодействия одно- и двух фононных состояний с использованием результатов по рассеянию медленных нейтронов для расчета плотности двух фононных состояний.
Впервые показано, что наблюдаемые особенности спектров КРС кварца и ниобата лития вблизи точек фазового перехода объясняются резонансным взаимодействием мягкой моды с двух фононными акустическими состояниями и образованием нового возбуждения - резонансного состояния акустических фононов.
На защиту выносятся следующие вопросы:
1. Теоретический анализ характера перестройки плотности состояний акустических и оптических фононов, сопровождающихся образованием связанных состояний фононов в зависимости от вида закона дисперсии и величины затухания.
2. Возможность количественного описания формы спектральной интенсивности КРС первого порядка реальных кристаллов в приближении точечного взаимодействия при учете резонансного взаимодействия между одно- и двухфононными возбуждениями.
3, Вывод о характерном для ряда кристаллов взаимодействии мягкой оптической моды с двухфононными акустическими состояниями вблизи точек фазовых переходов.
4. Возможность количественного описания температурной эволюции спектров КРС ряда кристаллов вблизи точек их структурных фазовых переходов и наблюдении качественно нового явления - резонансного состояния акустических фононов.
Связанные состояния и резонанс Ферми колебательных экситонов в молекулярных кристаллах
Теория двухфононных состояний в области частот внутримолекулярных возбуждений при учете ангармонического и межмолвку-лярного взаимодействия была развита Аграновичем в работах /16, 17/. В области частот, например, составных переходов гамильтониан кристалла записывается, согласно /17/, в виде: где 8 J 3 - операторы рождения и уничтожения квантов колебаний (I) или (2) на молекулах п и т ; и Vnm -матричные элементы перехода колебательных квантов (I) и (2) от молекулы т к молекуле гг. /4- константа внутримолекулярного ангармонизма, характеризующая сдвиг уровня составных переходов. Решение уравнения Шредингера, записанного в системе "центра инерции" двух колебательных квантов, с гамильтонианом (I.3I) приводит к уравнению для нахождения энергии связанного состояния фононов cj (к) : где Ог(к,и ) есть ФГ уравнения Шредингера: и совпадает с функцией 31(р) из (1.25). Корни уравнения (1.32) при различных значениях суммарного им пульса позволяют определить дисперсионную кривую бифонона в зоне Бриллюэна. Если уравнение (1.32) имеет корни, лежащие вне области составных переходов c jf + CJ2 при /Г = О , то в спектрах КРС или ИК-поглощения связанному состоянию будет соответствовать резкий максимум, расположенный ниже или выше (в зависимости от знака А ) широкой полосы составных переходов. Интересным результатом работы /16/ является анализ влияния внутримолекулярного ангармонизма на проявление локальных примесных колебаний в молекулярных кристаллах. Оказалось, что возможность существования зоны бифонона может приводить к проявлению локального состояния фононов в области частот обертона, в то время как в области основной частоты оно отсутствует. В реальных кристаллах возможны ситуации, когда частота фундаментального колебания попадает в область частот двухфонон-ных возбуждений. Если исходные возбуждения имеют одинаковую симметрию, то возникает резонансное взаимодействие ветвей колебаний, значительно усложняющее интерпретацию спектров. Теоретически это явление, названное фононным резонансом Ферми, последовательно рассматривалось в работах /10, 17-22/ и может быть описано, например, для системы с гамильтонианом (I.3I) добавлением членов TLti B +wTB B B 0 Т l/(s Wa)8{3) nm п/п при условии, что CJ3 — cjy + CJ2 .
Если величина ангармонизма достаточна для образования связанного состояния фононов, а величина резонансного взаимодействия U/ А , то спектр системы в области резонанса легко найти по аналогии с известной квантовомеханйческой задачей /2, 39/ определения энергии двух близко расположенных термов. Вид спектра определяется тогда выражением где CJ/Z (к) - закон дисперсии бифонона. Результатом резонансного взаимодействия является "расталкивание" ветвей связанного состояния со/2ґл0 и фундаментального колебания CJ3(7C,) . Ясно, однако, что для исследования фононного резонанса Ферми в реальных кристаллах необходимо учитывать форму двухфононной плотности состояний, сравнительные величины энгармонизма и ширины зон фононов, а также затухание фононов. Явления типа резонанса Ферми могут наблюдаться при взаимодействии квазичастиц различной природы. Эффект резонансного взаимодействия плазмона с колебательным обертоном был рассмотрен в работе /21/, а в работе /22/ проводился расчет сечения КРС на плазмон-плазмонных и плаз-мон-фононных возбуждениях кристалла. В работе /23/ был изучен вопрос о существовании связанных состояний экситонов в кристаллах для различных значений суммарного импульса пары. Был использован спин-волновой формализм для нахождения амплитуды рассеяния экситонов, по аналогии с методом нахождения связанных состояний спиновых волн в ферромагнетиках /24/. Как известно /I/, в нахождении уровней связанных состояний метод ФГ и формализм амплитуды рассеяния равноценны. Автором /23/ показано, что если ввести кончный радиус экситонов, то для кубической решетки с взаимодействием ближайших соседей, симметричные и антисимметричные уровни связанных состояний образуются при любой малой величине взаимодействия для минимального значения полного импульса пары.
В нецентросимметричных кристаллах дипольно-активные колебания взаимодействуют с электромагнитными волнами, образуя гибридные, фотон-фононные возбувдения, называемые поляритонами. Поляритоны имеют широкую область дисперсии в зоне Бриллюэна кристаллов, распространяющуюся на все частоты решеточных колебаний кристалла и в случае пересечения дисперсионной кривой по-ляритонов области частот двухфононной зоны, имеющей дипольно-активное представление, должен наблюдаться эффект резонансного взаимодействия, называемый поляритонным резонансом Ферми. Теория поляритонного резонанса Ферми в молекулярных кристаллах была развита Аграновичем и Лаловым /18/. Интенсивность поляритонного рассеяния в условиях резонанса Ферми с двухфононной зоной дается в теории Аграновича и Лалова выражением Здесь F и D матричные элементы двухфононных поля ритонных переходов соответственно, Г - константа резонансн ного взаимодействия поляритонов с двухфононными состояниями, ир(к) - доля механической энергии в поляритоне ветви JO , CJp(/Cj-3aK0H дисперсии поляритона без учета взаимодействия с двухфононной зоной. мнимая часть ФГ Сг(к,о)определяет форму фононной плотности состояний в зоне, возмущенную как собственным энгармонизмом, так и резонансным взаимодействием поляритона с двухфононным
Условия образования связанных и резонансных состояний для различных законов дисперсии оптических фононов
В настоящем разделе вычислим плотности состояний и проанализируем условия связывания оптических фононов, пользуясь законами дисперсии (2.1) и (2.3), полученными в приближении учета взаимодействий только между ближайшими атомами. Характер изменения функции плотности состояний в условии связывания оптических фононов мы изучим на основе предположения о точечном взаимодействии оптических фононов, что, во-первых, значительно упрощает расчеты и, во-вторых, является хорошим приближением для изучения взаимодействия фононов в области частот, соответствующих колебательным экситонам ряда сложных многоатомных кристаллов. Согласно соотношению (2.21) однофононная функция плотности состояний может быть выражена через однофононнуго ФГ системы. Найдем однофононную плотность состояний P(CJ) оптических фононов, имеющих закон дисперсии (2.3), определяя свободную ФГ соотношением: где 5 - бесконечно малая добавка, функцию плотности состояний получим, интегрируя мнимую часть (2.46) по всем импульсам, т.е. где V - объем элементарной ячейки кристалла. После того, как мы возьмем мнимую часть от подинтегрально го выражения и учтем определение S -функции, выражение в правой части (2.47) запишется в виде Вычислим плотность состояний уо/ (со) , подставляя в (2.48) закон дисперсии (2.3). Находим: о 0/ Плотность состояний jffa) должна быть ограничена сверху часто-той cj/77Q:c= CJ0 + s2KmQx , где A QJC - величина, равная периоду обратной решетки. Для закона дисперсии CJZ(A)=CO2-S2KZ, плотность состояний будет иметь вид Закон дисперсии (2.3) схематически показан на рис.2.10 а соответствующая этому закону дисперсии плотность состояний 2 —» 2. 2 2 (2.49) показана на рис. 2.10 б. Закон дисперсии CO(K)=CJ0-S к и соответствующая ему плотность состояний (2.50) показаны на рис. 2.10, "в" и "г" соответственно. Двухфононную плотность состояний при учете ангармонического взаимодействия между фононами найдем по соотношению (І.І28), предварительно вычислив функцию Л (со) по соотношению (2.12) с законом дисперсии оптических фононов (2.3) и свободной ФГ , даваемой соотношением (2.46). Учитывая, что закон дис Интегрирование в (2.51) по импульсу производится от нуля до некоторого предельного значения KmC)X- А , равного периоду обратной решетки.
Сделаем замену переменных t = S2KVCJ И обозначая Е = (COZ-4CJ)/4CJ0 и / = 8/4U)% , перепишем (2.51) в виде Здесь /1 = s2f QJC/co2 .. Действительная часть t/Z/co имеем логарифмическую особенность на верхней границе двухфононного спектра при CJ2=4CJQ + 4S2K QX - Мнимая часть функции JLfa) есть нв-возмущенная двухчастичная плотность состояний: или, переходя к частотной переменной Двухфононную плотность состояний, возмущенную энгармонизмом, можно найти теперь по соотношению (1.28), пользуясь функциями Іт Ж(б) и /?еЖ(б) из (2.53). Функция плотности состояний рг (6) в безразмерных единицах 6 = (со2-4соо2)/4со приведена на рис. 2.II для различных значений константы связи Л в интервале значений переменной 6 (0; I). Точке 6 = 0 соответствует значение cj= 2CJ0 - нижняя граница двухфононной зоны. Точке 6 = / соответствует значение CJ- 2\/z CJ0 - верхняя граница зоны. На верхней границе зоны имеем 2cj = C0Q + S2K QX И отсюда находим о =s2KzmQ , т.е. Л = / . Тогда выражение (2.53) запишется (2.56) можно заключить, что при - О внутри зоны функция Re Ж(6) будет отрицательной и поэтому плотность состояний будет иметь внутри зоны особенность /- -fAqAeJTfehO только при конечном-отрицательном значении Х . При е- і функция плотности состояний j02 (6) будет иметь логарифмическую особен ность при любом бесконечно малом положительном значении констан ты связи Д . Как видно из рис. 2.II, невозмущенная плотность состояний flzfc) » показанная штриховой линией, значительно искажается при включении взаимодействия 1\ / = О .С возрастанием по абсолютной величине отрицательной константы связи У/f - І 4 t внутри зоны образуется максимум, который сдви Рис. 2.IL О \ О 6 »(о2-4со2)/4ч Плотность двухчастичных состояний оптических фононов с законом диснерсйя (2.3). Пунктирная линия - невозмущенная плотность состояния, сплошные кривые - плотности состояний при различных Л . Тонкие штриховые линии соответствуют двум различным значениям Л Л для параметра s" s . Штриховые линии со стрелками соответствуют энергиям связанных состояний фононов при двух различных массах покоя гается к низкочастотному краю зоны, а его интенсивность возрастает. При положительной константе связи А особенность внутри двухфононной зоны возникает на высокочастотном краю зоны, причем в непосредственной близости от границы зоны, т.е. при 5 / уже при малых значениях А возникает резкий пик. Исследуем теперь функцию ЗЕ() для области частот вне двухфононной зоны. Для этого найдем значение интеграла (2.52) при 0. Имеем
Расчет функции плотности двухфононных состояний суммарного cJrA (X) + LJLA (X) тона и обертона CJLA(L)+OJiL)фосфида галлия
Согласно приведенному выше обзору, наиболее вероятными кандидатами в двухфононные зоны, взаимодействующие с поперечным колебанием фосфида галлия F2 -типа являются зоны и тА + со1А (X) и и 1А + со1А (L) . Из фононных дисперсионных кривых фосфида галлия, приведенных на рис. 3.2 видно, что значительную роль в формировании дисперсий ТА фононов точки X з.Б.играют дальне-действующие силы. Мы аппроксимируем дисперсионные кривые фононов с (х) и ,л(Х) в направлении CI00J соотношениями: На рис. 3.2 пунктирными линиями показаны законы дисперсии ТА(к) и CJ С/с J в направлении Г ЮО J , аппроксимированные соотношениями (3.7) и (3.8). Вычислим плотность двухфононных состояний акустических фо-нонов зоны cj + CJZ 1 , пользуясь законом дисперсии (3.9). Согласно соотношению (2.48), плотность двухфононных состояний запишется в виде ( V - объем элементарной ячейки кристалла): Интегрирование здесь проводится в предположении, что з.Б.сферическая. После интегрирования по /f , получим плотность двухфононных состояний в виде: . Численные значения этих частот следующие со = 255.2 см"" , со = 328.5см" , СО = 358.5ом" Плотность состояний (3.10) изображена на рис. 3.3. Одна из наиболее интенсивных областей плотности двухфонон-ных состояний фосфида галлия приходится на интервал частот обертонов продольных акустических колебаний в направлении [illj (точка L ) з.Б. /69, 70, 79/. Согласно теоретико-групповому анализу правил отбора для спектров КРС второго порядка в кристаллах типа сфалерита, обертоны точки L з.Б преобразуются по представлению, содержащему неприводимое представление Fz . Как видно из таблицы 3, граница зоны 2coZ/1 расположена на частоте 428 см" . Следовательно, условия Ферми-резонанса между колебаниями т0 и co -f U LA также оказываются выполненными. Для корректного описания формы линии поперечного оптического колебания, мы должны учесть его взаимодействие как с зоной соГд+ coLA , так и с зоной со -/-0 .
Проведем расчет функции плотности двухфононных состояний СО, + и 1А фосфида галлия,пользуясь скалярной моделью (2.2) для закона дисперсии продольных акустических фононов в направлении ClIlJ и предположением, что имеется простая кубическая решетка с параметром элементарной ячейки Q = i/S Q0 , где СІ0 - постоянная элементарной ячейки фосфида галлия. Закон дисперсии акустических фононов для трехмерного кристалла с учетом взаимодействия ближайших соседних атомов может быть записан в виде /65/: Максимальная частота продольных акустических фононов в точке L будет равна и так как мы полагаем /з - j3f +в2 + ftb , fi - 45 7-96 см 2. Для обертона колебания CJIA , получим или запишется в виде сх схз В данном случав j3f =у32 =J33 и Є = со2/2уз . Частота CJ меняется в пределах от 0 до 428 см" . Интеграл в (3.13) был рассчитан на ЭВМ заменой суммированием в интервале изменений переменной X (0 -І- 50) с шагом 0.01 при различных значениях . График функции рг (со) показан на рисунке 3.4. Максимум вычисленной двухфононной плотности состояний расположен на частоте 339 см . Действительная часть функций Сг2(со) была вычислена из найденных невозмущенных плотностей двухфононных состояний в зо Форму контура ТО - линии мы вычислили по соотношению (3.4) сначала в предположении, что Л3 = 0. На рис. 3.7 результаты расчета показаны штрих-пунктирной линией, а экспериментальная кривая - сплошной линией. Значения Д3 = 2.8 см , г0 = 365.9 см , Гто =2.06 см соответствовали наилучшему совпадению кривых. Однако, как видно из рис. 3.7, наблюдается расхождение между вычисленной и экспериментальной кривыми в максимуме и на крыльях полосы. Указанные расхождения можно объяснить неуче т том влияния плотностей состояний в области частот 420-500 см .
Чтобы учесть эти эффекты,был проведен численный расчет спектральной интенсивности по соотношению (3.4) и известным значениям функций /?е G-2 (со) и /? 0(2)(со) в интервале изменения частоты 360 375 см при различных значениях констант ангармо-низма Л3 и Л3 На рисунке 3.7 штрих-пунктирной линией с двумя точками показана теоретическая кривая, наилучшим образом совпадающая с экспериментальной кривой при следующих значениях параметров: (4) т (2.) т /?xz = 0.9i з = 3-3 см » з = 5« см Как видно из рисунка, наблюдается хорошее согласив между вычисленной и экспериментальной кривыми как в области максимума, так и на крыльях ТО-линии. Необходимо заметить, что все расчеты проводились в предположении нулевой собственной интенсивности двухфононных зон и пренебрегалось собственным ангармоническим воздействием фононов внутри зон. Таким образом, форма наблюдаемой в эксперименте линии КРС ТО-колебания фосфида галлия хорошо описывается предположением
Влияние дейтерирования на условия образова ния связанного состояния в зоне CJ^ + cj^ хлористого аммония
Рассмотрим простую модель (2.65) для закона дисперсии внутренних колебаний группы /У/4 , использованную нами в предыдущих расчетах. С учетом этой модели плотность двухфононных состояний дается мнимой частью функции Ж (со) из (4.10). Подставим выражение для плотности однофононных состояний (4.13) в (4.10) и запишем условие (4.5) существования связанных состояний фононов в зоне двухфононных переходов cj -f cj хлористого аммония в виде: Здесь 9-(GJ) - интеграл в правой части (4.13). Отношениеу ц, = 50 см есть ширина однофононной зоны колебания со ( ) t которое определяется из экспериментальных спектров KR3 в области частот двухфононных переходов U + cj предположением, что наблюдаемая ширина двухфононной зоны есть удвоенная ширина однофононной зоны. Это предположение основано на том факте,что согласно правилам отбора для полносимметричного обертона перехода кристаллов галогенидов аммония ІУ фазы разрешены только переходы для двух фононов из одной ветви. Обозначим через Ан ширину зоны колебания (Fz) . Тогда (4.22) можно записать в виде: Из экспериментальных спектров КРС кристалла /VD С в области частот двухфононных переходов cj -h CJ можно определить ширину однофононной зоны (Fz) . Она составляет величину Дд 35 см /37/. Интегрирование в функции АеЗГ(и) при переходе к кристаллу /MD CE производится в интервале 1060 + 1100 см и, как показали расчеты, значения функции RQJ[(U ) меняются в сравнении со значениями ReJTftj) ъ И СС на величину 0,01$ во всем интервале частот. Если полагать, что константа энгармонизма Л также не изменяется при переходе к дейтерированному хлористому аммонию, то выполнение условия (4.23) характеризуется только шириной зоны исследуемых возбуждений. Запишем (4.23) для ND Ci в виде ( Лн - iA2Aj ) /VD CC происходит при значении константы ангармонизма четвертого порядка в 1.42 раза меньшей, чем в NH C . На рис. 2.14 представлены рассчитанные по соотношению (4.7) плотности двухфононных состояний Р2() в безразмерных единицах о « 2 = 6 - ——-3 при различных значениях безразмерной константы связи /Ї4 = Ъ\/пА . Как видно из рисунка, теоретические кривые удовлетворительно описывают экспериментальные спектры КРС в хлористом аммонии (пунктирная линия) и дейтерированном хлористом аммонии (штрих-пунктир).
При этом квазисвязанное состояние оптических фононов в зоне cJj, + CJ МН СІ образуется при значении А = 42 см , в то время как связанное состояние в зоне CJ + CJ ND CE образуется при значении А = -36 см . Другим существенным фактором для образования связанного состояния оптических фононов в области частот двухфононных переходов является изменение условий резонанса Ферми между фундаментальным колебанием cjf (АІ) и зоной cj -/- CJ при переходе от кристалла Л/М Св к ND Ci . Этот эффект удобно анализировать, исходя из вида однофононной функции Грина (4.16). Учитывая явный вид двухфононной функции Грина (4.2), запишем (4.16) в виде: В случае кристаллов галогенидов аммония, с хорошей точностью можно пренебрегать затуханием фононов, соответствующих внутрен-і ним колебаниям группы аммония. Положение максимумов функции (4.25) определяются из равенства нулю полюсов ее мнимой части, т.е. соотношением: а интенсивность в максимуме или, что то же самое, вероятность двухфононных переходов с учетом резонанса Фэрми находится из уравнения: где со о - положение максимума. В соотношении (4.26) мы обозначили величину . (со) = 1 о \ц + А3 "/ » имеющую смысл эффективной константы ангармонизма четвертого порядка при учете эффекта Ферми-резонанса. Запишем условие (4.26) в виде: колебания без учета резонанса Ферми. Условие (4.27) является одновременно уравнением для нахож дения частот фундаментального колебания и связанного состояния при учете резонанса Ферми. Предположим, что функцию Ае&Г(ы) можно представить в виде Aefco-U)p+ t /jz] , где сЗр положение центра тяжести плотности двухфононных состояний и Гр - величина, имеющая смысл ширины линии двухфононных состояний. Тогда в предположении /J jp , уравнение (4.27) легко разрешается относительно со : Здесь введено обозначение р- Лр+ Я - положение центра тяжести спектра при учете ангармонизма четвертого порядка. Найдем зависимость энергии связии А$ = cj_ - ел, ОТ константы ангармонизма третьего порядка Л3 . Для этого запишем (4.28) в форме (4,, = -0 ,) : Как видно из (4.29), энергия связи всегда отрицательна, т.е. сдвиг линии связанного состояния при учете резонанса Ферми происходит в низкочастотную область. Оценим, исходя из приближенной формулы (4.29), энергию связи для связанного состояния в зоне CJ + СО4 хлористого аммония и хлористого дейтероаммония. В хлористом аммонии имеем согласно результатам пункта 4.4 u i = 3040 см""1, СОр = 2850 см"1 -28 см"1 = 2822 см"1, Л3 = 32 см"1. Отсюда Л0 =218 см"1 и А і = -5 см"1 в согласии с экспериментальными данными /37/. Для дейтерированного хлористого аммония известно только найденное нами ранее эффективное значение константы связи А Гсо) = - 36см. Если предположить, что константа энгармонизма А3 нв изменяется при переходе к дейтероаммониго и равна А3 = 32 см, то можно определить невозмущенную частоту (А1) из соотношения:
