Содержание к диссертации
Введение
1 "Суперсимметрииныи" подход к специальному классу управляющих уравнений рождения-гибели 21
1.1 Управляющее уравнение 21
1.2 Управляющее уравнение рождения-гибели - общие соотношения 26
1.3 Используемый анзац 30
1.4 Системы с бесконечным числом состояний 34
1.5 Модели типа I с конечным числом состояний 39
1.6 Операторная алгебра для моделей типа 1а 42
1.7 Модели типа II с конечным числом состояний 46
1.8 Операторная алгебра для моделей типа II 4$
1.9 Модели типа III с конечным числом состояний 50
1.10 Случай q = 1 54
1.11 Пример: модель кросс-инверсии в хиральной химической системе 56
2 Мотивы "суперсимметрийного" подхода в задачах газовой кинетики и квантовой кинетики 59
2.1 Линеаризованная газовая кинетика- общие соотношения 59
2.2 "Модель кенгуру" и родственные модели 61
2.3 Модель Килсона-Сторера 64
2.4 Модель "псевдо-Килсона-Сторера" и родственные модели 65
2.5 Квантовые управляющие уравнения 69
2.6 Кинетическая алгебра 72
2.7 Простейшие кинетические алгебры для одношаговых процессов 76
2.8 Многошаговые процессы 84
2.9 Пример нелинейной кинетической алгебры 86
3 Кинетические модели для частиц с внутренним угловым моментом 90
3.1 Газокинетическая модель для частиц с "полуклассическим" угловым моментом 90
3.2 Сила трения в модели для частиц с "полуклассическим" угловым моментом 94
3.3 Кинетическое уравнение и его функция Грина для СИД частиц с "полуклассическим" угловым моментом . 96
3.4 Модель слабых столкновений для частиц с квантовым угловым моментом 100
3.5 Диссипативные свойства модели слабых столкновений для частиц с квантовым угловым моментом 109
3.6 Алгебраическая феноменологическая модель вращательной релаксации молекул - основное уравнение 113
3.7 Операторная алгебра молекулярного остова 115
3.8 Кинетический супероператор модели молекулярной вращательной релаксации 119
3.9 Гейзенберговские уравнения движения в модели молекулярной вращательной релаксации 123
3.10 Квантово-релаксационная модель ядерной спиновой конверсии в водороде - основное уравнение 126
3.11 Гейзенберговский оператор величины ядерного спина . 131
4 Модели "событийной" кинетики открытых квантовых систем 134
4.1 Предварительные замечания 134
4.2 Фотоотсчёты в системе "источник-мода поля-детектор" 136
4.3 Обобщённые уравнения для процесса фото отсчётов в цепи обратной связи 144
4.4 Извлечение спектральной информации из статистики фотоотсчётов 146
4.5 Статистика спонтанных переходов при резонансной флуоресценции двухуровневого атома 150
4.6 "Суперпозиционные" события на примере резонансной флуоресценции двухуровневого атома 157
4.7 Модель динамического эффекта разрушения квантовой когерентности 166
5 Кинетическая модель переброса спиновых корреляций 172
5.1 Предварительные замечания 172
5.2 Полуклассическая кинетическая модель 178
5.3 Распределение числа " волос" на замкнутой ограниченной поверхности в среде 184
5.4 Перспективы более строгой модели 186
Заключение 192
- Управляющее уравнение рождения-гибели - общие соотношения
- Простейшие кинетические алгебры для одношаговых процессов
- Диссипативные свойства модели слабых столкновений для частиц с квантовым угловым моментом
- Статистика спонтанных переходов при резонансной флуоресценции двухуровневого атома
Введение к работе
Это моё сочинение - многословное и бесполезное - уже существует в одном из тридцати томов одной из пяти полок одного из бесчисленных шестигранников - так же, как и его опровержение.
Х.Л.Борхес "Вавилонская библиотека"
1 Моделирование в кинетике
И в классической, и в квантовой физике все эволюционирующие системы подразделяются на обратимые и необратимые. Обратимая эволюция есть (часто удачная) идеализация. Лаконичность её формулировки - особенно в случае гамильтоновой динамики - делает соответствующие системы благодарным объектом исследования и полем применения общих математических методов. Достаточно вспомнить о чрезвычайно эффективном понятии "группы динамической симметрии" (см, например, [1]). Несколько утрируя и рискуя изречь банальность, можно сказать, что все обратимые системы похожи между собой, а каждая необратимая система необратима по-своему. Последнее обстоятельство есть постоянный вызов попыткам распространить некий унифицированный подход подобный гамильтоновому на классические [2] и квантовые [3-5] диссипативные системы. В первом случае в жертву необратимости приносится голономность используемых функций динамических переменных, а во втором - ассоциативность алгебры квантово-механических операторов. До момента (довольно маловероятного) глобального успеха такого рода попыток необходимо считаться
Введение 7
с разнообразием типов необратимой эволюции (кинетики).
Дать сколь-нибудь исчерпывающий обзор литературы по необратимым системам вряд ли возможно. Даже толстые монографии (например, [6]) касаются только отдельных направлений в море кинетических проблем. Разнообразие и изощрённость используемых математических методов отражает широту тематики. В такой ситуации особенно возрастает роль теоретических моделей, как реперов физической интуиции, зачастую дающих единственную возможность продвинуться в решении сложной проблемы. Физики по-существу всегда работают с моделями, но не во всех областях этот факт является одинаково очевидным. Удачность модели освобождает её автора от многих сложных и неудобных вопросов коллег касательно вывода модели из первых принципов фундаментальной микроскопической теории. Яркими примерами в этой связи служат знаменитая модель Бхатнагара-Гросса-Крука (БГК)1 [7] и модель Килсона-Сторера [8] в кинетической теории газов. Обобщение модели БГК на случай многокомпонентного газа было сделано Сировичем [9]. Не существует строгого вывода этих моделей из уравнения Больцмана, однако, их адекватность и полезность неоспоримы. Невозможно представить себе развитие нелинейной спектроскопии газов и светоиндуцированной газовой кинетики [10] без модели БГК, часто именуемой также моделью сильных столкновений, хотя, конечно, при серьёзном анализе процессов переноса в газах модель БГК, модель Килсона-Сторера или третий член этой компании - так называемая модель слабых столкновений (см, например, [6,11,12]) - в настоящее время не применяются. Этот пример использования моделей достаточно типичен - введение в задачу модели позволяет упростить одну сторону (в упомянутом случае - межчастичные столкновения) достаточно слож-
1Одковременно и независимо эта модель была предложена также в малоизвестной работе Welander R Arkiv Fysik, 1954, v. 7, p. 507.
Введение 8
ного явления, чтобы успешно расправиться с другой (взаимодействие частиц с излучением).
Описываемые в диссертаци модели кроме некоторых других объединяющих черт несут общий признак, названный "точной решаемостью". Смысл этого определения несколько меняется от одной модели к другой, но, в общем, отражает возможность довольно далеко продвинуться в их аналитическом исследовании. Свойство точной решаемости повышает шансы модели (в тандеме с другими моделями) на успех в решении непростых комплексных проблем. При этом, конечно, не следует впадать в крайность и строить тривиальные модели - надо найти верный путь между Сциллой простоты и Харибдой строгости. Автор надеется, что в какой-то мере это ему удалось. Во всяком случае он пользовался критерием Халмоша [13] и может сказать, что калодая из рассмотренных в диссертации моделей в чём-то удивила его и хоть раз поставила в тупик.
Перейдём к обзору тем кинетической теории, затронутых в диссертации. Среди них присутствуют как классические направления, так и квантовые. Начнём с классических. Линейные (по отношению к функции распределения) кинетические уравнения являются, по-существу, различными частными случаями общего управляющего уравнения, иначе называемого уравнением Колмогорова-Феллера [14]. При дискретном характере случайной переменной управляющее уравнение находит применение в атомной и молекулярной физике, квантовой оптике и биологии. При этом роль случайной переменной играет номер квантового уровня (в тех случаях, когда проблему можно адекватно описать на языке населенностей), число частиц или особей определённого вида. Вся специфика задачи определяется при этом набором скоростей перехода между различными значениями случайной переменной. Ана-
Введение 9
литическое решение дискретного управляющего уравнения получить удаётся далеко не всегда. Обычно управляющее уравнение превращают в уравнение типа Фоккера-Планка. Отдельной проблемой является выбор правильной процедуры такого перехода, осуществляемого через тот или иной вид характеристической функции исходного распределения или с помощью предложенного Гардинером и Чатурведи метода пуассоновских распределений [15], и оценка возникающих при этом ошибок. Получающееся уравнение Фокера-Планка тоже часто требует проявления изобретательности для своего решения. В связи с моделями, рассматриваемыми в диссертации, следует вспомнить о известном факте - возможности преобразовать уравнение Фоккера-Планка с постоянным коэффициентом диффузии в уравнение Шредингера с мнимым временем [16]. Это наблюдение привело ряд авторов [17-19] к идее применить при решении таких уравнений методы суперсимметричной квантовой механики Виттена [20], уже доказавшие свою эффективность в вычислении уровней и соответствующих стационарных состояний уравнения Шредингера с широким классом потенциалов; [21] - самая ранняя известная автору работа по этой тематике. Первой целью диссертации является использование определённого обобщения суперсимметрийного подхода в самом исходном управляющем уравнении для получения в итоге его точного решения. Этот подход не является, естественно, универсальным, и основная проблема состоит в описании множества эффективно разрешимых кинетических моделей.
Уравнение Колмогорова-Феллера с непрерывной случайной переменной есть основа описания релаксации разреженной компоненты в атмосфере гораздо более плотного буферного газа. Различные модификации этого уравнения отвечают за столкновительную составляю-
Введение 10
щую эволюции матрицы плотности поглощающих частиц в нелинейной спектроскопии [22] и светоиндуцированной газовой кинетике. Как уже говорилось, в этой области популярны модели сильных и слабых столкновений, модель Килсона-Сторера и "модель кенгуру" [23]. Впервые модель Килсона-Сторера была применена к светоиндуцированной газовой кинетике в работе [24]. Затем авторы обобщили свой подход и работали с наборами собственных значений абстрактных столкнови-тельных операторов [25]. "Модель кенгуру" была введена в светоиндуцированной газовой кинетике в работе [26].
Видно, что описанный арсенал моделей небогат. Расширение семейства моделей, позволяющих продвинуться в аналитическом решении проблем облучаемых газовых сред, есть вторая цель диссертации. Инструментом послужил тот же самый "супер-симметрийный" метод, с успехом использованный в случае дискретной случайной переменной.
Если искать в квантовой кинетике уравнение, сравнимое по общности и популярности с уравнением Колмогорова-Фелллера, то это, несомненно, квантовое управляющее уравнение в форме Линдблада [27]. Указанная работа явилась в определённом смысле завершающей в серии глубоких статей разных авторов, сформировавших в 60-70-х годах подход к необратимой эволюции квантовых систем на основе понятия динамической полугруппы [28-30]. Генераторы этой полугруппы были описаны в абстрактной форме Коссаковским [31]. Заслуга Линдблада, К рауса [32], а также авторов работы [33] в последовательном привлечении принципа полной положительности [34] эволюции матрицы плотности системы.
Кинетическое уравнение в форме Линдблада описывает марковскую эволюцию открытой квантовой системы, обменивающейся с окружени-
Введение 11
ем энергией и информацией. Для нас важна ситуация, когда хорошей моделью такого обмена является серия событий - локализованных во времени (и в идеале имеющих нулевую длительность) актов изменения состояния классического окружения. Основным содержанием этого изменения - если отвлечься от энергетического обмена - служит изменение корреляций между состояниями системы и окружения. Наиболее последовательно такого взгляда придерживаются Бланшар и Ячик, авторы концепции Event-Enhanced Quantum Theory (EEQT) - квантовой теории, "усиленной" событиями, развиваемой в рамках программы Quantum Future. [35-39] - некоторые работы по этому направлению. В EEQT разработан также алгоритм для построения серий событий, но нам он не понадобится. Квантовая система, помещённая в классическое окружение, является, таким образом, естественным генератором событий, и само понятие события неразрывно связано с возможностью деления Вселенной на систему и окружение. Элементы подхода EEQT неоднократно появлялись ранее [40], [41] и тесно связаны с идеей "квантовых скачков" (см, например, [42]).
Естественным потребителем моделей "событийной" кинетики является теория фотоотсчётов. Классические варианты этой теории хорошо разработаны [43]. Давно созданы [44] и основы квантового варианта, развитого до последовательного учёта обратного влияния детектора на квантованное поле [45]. Большое внимание привлекла в своё время статистика фотоиспусканий при резонансной флуоресценции двухуровневого атома [46], [47]. Была предсказана [48] и обнаружена [49] антигруппировка фотоиспусканий в каждый из боковых компонентов триплета, а для фотоиспусканий в боковые компоненты (без их различения) имеет место группировка событий [50]. Проблемой остаётся математическая сложность большинства задач в этой обла-
Введение 12
сти. Мало исследованы и квантовые системы с обратной связью (см, однако, [51], [52]), описание которых в рамках EEQT представляется наиболее естественным.
К "событийной" кинетике близко примыкает физика разрушения когерентности в квантовой системе как одного из проявлений возникновения корреляций между состояниями системы и окружения. Это явление особенно интересно в тех ситуациях, когда разрушение когерентности превращается из досадного и мешающего фактора (например, в квантовом компьютере) в необходимый ингредиент физического процесса. В эту группу можно отнести явление конверсии энантиоме-ров [53], распад нейтральных каонов (см., например, [54]), осцилляции нейтрино в среде [55] и недавно предложенный [56] и доказанный [57-59] новый механизм конверсии ядерных спиновых изомеров молекул. Третьей целью диссертации выбран поиск точно решаемых моделей событийной кинетики и кинетики разрушения когерентности.
Важной темой как для классической, так и для квантовой кинетики является описание релаксации в газах частиц (молекул) с вращательными степенями свободы. В химической физике плотных газов и жидкостей обычно моделируют вращательную релаксацию стохастическим процессом в трёхмерном пространстве классического углового момента [60-68]. В первой и в двух последних из перечисленных работ использовалась, в частности, модель Килсона-Сторера, приспособленная для вращательных степеней свободы. В разреженных газах вращательная релаксация обычно неотделима от поступательного движения частиц. Это направление с самого своего зарождения - более века назад - превратилось в полигон разнообразных моделей. Первой появилась модель Брайана [69], который учитывал несферичность вза-
Введение 13
имодействия молекул, представив их в виде шероховатых сфер. Практически одновременно родилась модель Джинса [70] - модель нагруженных сфер, центры тяжести которых смещены относительно их геометрических центров. Через полвека в связи с потребностями технологии разделения изотопов наблюдалась резкая вспышка интереса к кинетической теории молекулярных газов. В работах [71-74] на основе обобщённого метода Чепмена-Энскога для модельных газов из нагруженных сфер и сфероцилиндров была построена формальная теория явлений переноса. Связь такого рода моделей (для случая модели "овалоид-сфера") с упомянутыми выше прослежена в работе [75].
Следующим этапом в развитии данного направления стало появление кинетического уравнения для газа частиц с вращательными степенями свободы - уравнения Кагана-Максимова [76], [77] для функции распределения, усреднённой по быстро меняющемуся углу вращения молекул. В уравнение естественным образом вошли члены, описывающие прецессию вращательного момента молекулы во внешних полях. Это позволило, в частности, объяснить эффект Зентфлебена-Беенаккера.
К этому времени уже было выведено последовательное квантово-механическое кинетическое уравнение для частиц с вращательными степенями свободы - уравнение Вальдмана-Снайдера [78], [79]. Его модификация, осуществлённая Раутианом (см, например, [22]) нашла широкое применение в нелинейной лазерной спектроскопии газовых сред. Появившаяся в 80-х годах светоиндуцированная газовая кинетика быстро добралась до описания эффектов, обусловленных вырождением энергетических уровней частиц по направлениям углового момента [80]. Основой этого описания служил моментный (типа Трэда) метод решения кинетического уравнения Вальдмана-Снайдера-Раутиана,
Введение 14
дополненного "полевыми" членами. На этом пути было обнаружено целое семейство новых явлений: светоиндуцированные вихри в облучае-
мом газе - "эффект Магнуса" и "эффект парусника" (или "эффект киля") [81], [82], поляризация молекул дрейфом - "эффект флюгера" [83], ориентация хиральных молекул дрейфом - "эффект пропеллера" [84], аномальное поведение плотности выстраивания и тензора газодинамических напряжений в облучаемых хиральных газовых средах - "эффект геликоптера" [85] (см. детали в Приложении А). Указанные эффекты проявлялись в виде столкновительного "зацепления" различных поляризационно-газодинамических моментов матрицы плотности поглощающих частиц, а соответствующие кинетические коэффициенты выражались через комбинации точных (и неизвестных) амплитуд рассеяния. Желательно однако, было выйти за рамки моментного приближения при решении кинетического уравнения (например, для вычислении работы поля), не теряя при этом новые эффекты. Эта программа - создание новых полу феноменологических моделей столкновительной релаксации в газах частиц с внутренним угловым моментом для использования в нелинейной спектроскопии и све тонн Аудированной газовой кинетике является че-
твёртой целью диссертации.
2 Содержание диссертации и защищаемые положения
Диссертация состоит из Введения, пяти глав, Заключения и двух Приложений.
Первая глава посвящена "суперсимметрийному" методу решения
щ важного частного случая управляющего уравнения - так называемо-
го уравнения рождения-гибели. Оно возникает из .общего уравнения
Введение 15
при одношаговых процессах. Именно для уравнения рождения-гибели удаётся найти общую структуру операторов, реализующих упомянутый метод при выполнении определённого условия-уравнения на скорости переходов. Далее предлагается некий анзац - частное, но важное и в некотором смысле наиболее естественное решение этого уравнения. Большую часть Главы занимает довольно занудливое доказательство классификационной теоремы - описание всего множества моделей рождения-гибели, реализующих обнаруженный анзац. Для всех таких моделей найдено полное аналитическое решение. Этому семейству принадлежат, в частности, известные модели - модель Ландау-Пайерлса (квантованная полевая мода в пассивном резонаторе) и модель релаксации населённостей магнитных подуровней спиновой системы в нулевом магнитном поле и изотропном окружении, а также их q-деформированные варианты. Сюда же входит модель химической среды хиральных молекул, в которой протекает реакция кросс-инверсии [86] - вариант автокатализа. Именно с этой модели, важной для понимания происхождения хиральной "поляризации" биосферы, началось развитие описываемого метода. Показано, как с каждым элементом семейства моделей можно связать одну из четырёх (в общем случае нелинейных) операторных алгебр.
Во второй главе диссертации речь идёт о моделях линейной газовой кинетики и некотором классе квантовых кинетических моделей. Их удаётся объединить с помощью приёма, аналогичного использованному в первой главе. При этом кинетические уравнения превращаются в уравнения для эффективного вектора состояния, эволюционирующего в мнимом времени под действием положительного гамильтониана. В таком подходе с каждой моделью можно связать некоторую операторную алгебру, названную кинетической. Знание этой алгебры позволяет
Введение 16
обнаружить некоторые скрытые симметрии известных кинетических моделей, а по заданной алгебре иногда даже конструировать новые модели. В случае квантовых кинетических уравнений несколько естественных ограничительных предположений о структуре кинетической алгебры (например, положение о том, что это должна быть алгебра Ли) позволили полностью описать некий важный класс моделей.
Третья глава целиком посвящена кинетическим моделям для частиц с внутренним угловым моментом. Как и в случае второй главы большинство рассматриваемых здесь задач инициировано исследованиями в светоиндуцированой газовой кинетике. Первой описана модель релаксации по скоростям частиц с полуклассическим (т.е. классическим по направлению и квантованным по величине) угловым моментом, который модифицирует акт столкновения, но сам остаётся при этом неизменным. Такая модель может быть получена из любой модели столкновений бесструктурных частиц. И если для последней известна функция Грина, то функция Грина модифицированной модели также может быть найдена. Для случая квантового углового момента построен вариант модели слабых столкновений и исследованы её нетривиальные диссипативные свойства. Далее, расширение обычной алгебры su(2) квантового углового момента до алгебры Ли металлек-тической группы Мр(4, К.) позволило для молекул типа сферического волчка построить модель вращательной релаксации с достаточно простыми алгебраическими свойствами. Удалось вывести рекурентные соотношения для коэффициентов тейлоровского разложения гейзенберговских операторов углового момента. Предложенный формализм позволил также построить простейшую последовательную модель релаксации ядерных спиновых модификаций водородоподобных молекул, допускающую аналитические вычисления за пределами теории возмуще-
Введение 17
ний по внутримолекулярному смешивающему взаимодействию. К сожалению, аналогичному более актуальному анализу (например, молекулы СЩР) препятствует математическая сложность модели.
В подходе к кинетическим моделям четвёртой главы главенствует точка зрения на открытые квантовые системы как на генераторы событий (например, щелчков детектора), и исследуется статистика таких событий. Первым представлено решение задачи о нахождении статистики фотоотстчетов в системе "источник - квантованная мода поля - детектор". Источник моделируется совместным действием классического гармонического тока и теплового резервуара. Определена производящая функция распределения числа фотоотсчётов за фиксированное время, а в случае отсутствия тока найдено явное выражение для распределения вероятностей получить то или иное число фотоотсчётов. Далее, с помощью производящих функционалов подход обобщён на задачи, в которых одновременно исследуется спектральный состав квантованного поля. Аналогичным образом решена следующая задача -при резонанасной флуоресценции двухуровневого атома найдена статистика фотоислусканий в определённую компоненту триплета с заданным направлением вылета и поляризацией фотона. Задача решена в пределе многократно вырожденных уровней атома, и конечные выражения доведены до квадратур.
Далее в этой и следующей главе автор несколько отступил от негласного намерения говорить только о моделях, но не о физических эффектах. Дело в том, что область "событийной" кинетики и близко примыкающая к ней физика разрушения когерентности достаточно молоды, и неудивительно, что более или менее нетривиальная модель демонстрирует порой интересное поведение квантовой системы. Рассмотрены кинетические модели простейших, двухуровневых, подвиж-
Введение 18
ных квантовых систем, для которых типы событий, и, следовательно, характер информации, поступающей из системы во внешний мир, зависят от точки пространства. При этом, как оказывается, на систему начинают действовать эффективные силы, имеющие своеобразное "информационное" происхождение.
В пятой главе продолжается эксплуатация связи квантовой кинетики с интенсивно развивающейся в настоящее время квантовой теорией информации. Типично информационный процесс переброса так называемой зацепленности квантовых состояний сделан персонажем обычной кинетической модели химической реакции, протекающей по закону "действующих масс". В реакцию рекомбинации вступают спиновые радикалы, причём, в предлагаемой модели рождающиеся пары радикалов могут находиться в произвольном изотропном спиновом состоянии, диффундировать в среде и рекомбинировать по синглет-ному каналу. Удаётся решить нелинейные кинетические уравнения для плотностей спиново-скоррелированных пар радикалов. Обсуждены также некоторые простейшие следствия наличия в среде нелокальных спиновых корреляций.
Основная часть материала диссертации опубликована в работах [81,82,87-101], докладывалась на 2-ом Всесоюзном семинаре по оптической ориентации атомов и молекул (ВСООАМ-2, Ленинград, 1989 г.), на международном семинаре по светоиндуцированным кинетическим эффектам в атомах, ионах и молекулах (The Workshop "Light-Induced Kinetic Effects on Atoms, Ions and Molecules", о. Эльба, Италия, 2-5 мая 1990 г.), на международной школе "Лазеры и их применение" (International School "Lasers and Applications", Саяногорск, март 1989 г.) и являлась темой многих физических семинаров Учебно-научного центра "Квантовая оптика".
Введение 19
Защищаемые положения:
Суперсимметрийный метод нахождения стационарных состояний и уровней энергии уравнения Шредингера с форм-инвариантными потенциалами допускает обобщение на случай управляющих уравнений.
Существует достаточно широкий класс кинетических моделей "рождения-гибели", допускающих полное аналитическое решение суперсимметрийный методом. К этому классу принадлежит, в частности, модель химического реактора с протеканием кросс-инверсии энан-тиомеров.
В том же смысле, в каком одномерная модель слабых столкновений имеет симметрию квантового гармонического осциллятора, одномерная модель Килсона-Сторера обладает симметрией q-деформированного осциллятора.
4. Ядро интеграла столкновений в любой модели для бесструк
турных частиц может быть регулярным образом преобразовано в
ядро столкновительной модели частиц с полу классическим внутрен
ним угловым моментом. Если известно решение исходного кинетиче
ского уравнения, то решение преобразованного уравнения также ока
зывается известным.
Для частиц с квантовым угловым моментом существует обобщение модели слабых столкновений. В простейшем случае соответствующее кинетическое уравнение допускает точное решение.
Существует модель вращательной релаксации молекул типа сферического волчка, основанная на операторах алгебры Ли метаплекти-ческой группы.
7. Задача об определении статистики фотоотсчё'тов в поле кван
тованной моды, контактирующей с тепловым резервуаром, допускает
Введение
точное решение,
8. Преобразование переброса спиновых корреляций при рекомбинации фрагментов двух радикальных пар, находящихся в произвольных спиновых состолниях, может быть сформулировано на языке умножения матриц 4x4 при надлежащем выборе параметризации состояний.
Управляющее уравнение рождения-гибели - общие соотношения
Третья глава целиком посвящена кинетическим моделям для частиц с внутренним угловым моментом. Как и в случае второй главы большинство рассматриваемых здесь задач инициировано исследованиями в светоиндуцированой газовой кинетике. Первой описана модель релаксации по скоростям частиц с полуклассическим (т.е. классическим по направлению и квантованным по величине) угловым моментом, который модифицирует акт столкновения, но сам остаётся при этом неизменным. Такая модель может быть получена из любой модели столкновений бесструктурных частиц. И если для последней известна функция Грина, то функция Грина модифицированной модели также может быть найдена. Для случая квантового углового момента построен вариант модели слабых столкновений и исследованы её нетривиальные диссипативные свойства. Далее, расширение обычной алгебры su(2) квантового углового момента до алгебры Ли металлек-тической группы Мр(4, К.) позволило для молекул типа сферического волчка построить модель вращательной релаксации с достаточно простыми алгебраическими свойствами. Удалось вывести рекурентные соотношения для коэффициентов тейлоровского разложения гейзенберговских операторов углового момента. Предложенный формализм позволил также построить простейшую последовательную модель релаксации ядерных спиновых модификаций водородоподобных молекул, допускающую аналитические вычисления за пределами теории возмущений по внутримолекулярному смешивающему взаимодействию. К сожалению, аналогичному более актуальному анализу (например, молекулы СЩР) препятствует математическая сложность модели.
В подходе к кинетическим моделям четвёртой главы главенствует точка зрения на открытые квантовые системы как на генераторы событий (например, щелчков детектора), и исследуется статистика таких событий. Первым представлено решение задачи о нахождении статистики фотоотстчетов в системе "источник - квантованная мода поля - детектор". Источник моделируется совместным действием классического гармонического тока и теплового резервуара. Определена производящая функция распределения числа фотоотсчётов за фиксированное время, а в случае отсутствия тока найдено явное выражение для распределения вероятностей получить то или иное число фотоотсчётов. Далее, с помощью производящих функционалов подход обобщён на задачи, в которых одновременно исследуется спектральный состав квантованного поля. Аналогичным образом решена следующая задача -при резонанасной флуоресценции двухуровневого атома найдена статистика фотоислусканий в определённую компоненту триплета с заданным направлением вылета и поляризацией фотона. Задача решена в пределе многократно вырожденных уровней атома, и конечные выражения доведены до квадратур.
Далее в этой и следующей главе автор несколько отступил от негласного намерения говорить только о моделях, но не о физических эффектах. Дело в том, что область "событийной" кинетики и близко примыкающая к ней физика разрушения когерентности достаточно молоды, и неудивительно, что более или менее нетривиальная модель демонстрирует порой интересное поведение квантовой системы. Рассмотрены кинетические модели простейших, двухуровневых, подвижных квантовых систем, для которых типы событий, и, следовательно, характер информации, поступающей из системы во внешний мир, зависят от точки пространства. При этом, как оказывается, на систему начинают действовать эффективные силы, имеющие своеобразное "информационное" происхождение.
В пятой главе продолжается эксплуатация связи квантовой кинетики с интенсивно развивающейся в настоящее время квантовой теорией информации. Типично информационный процесс переброса так называемой зацепленности квантовых состояний сделан персонажем обычной кинетической модели химической реакции, протекающей по закону "действующих масс". В реакцию рекомбинации вступают спиновые радикалы, причём, в предлагаемой модели рождающиеся пары радикалов могут находиться в произвольном изотропном спиновом состоянии, диффундировать в среде и рекомбинировать по синглет-ному каналу. Удаётся решить нелинейные кинетические уравнения для плотностей спиново-скоррелированных пар радикалов. Обсуждены также некоторые простейшие следствия наличия в среде нелокальных спиновых корреляций.
Основная часть материала диссертации опубликована в работах [81,82,87-101], докладывалась на 2-ом Всесоюзном семинаре по оптической ориентации атомов и молекул (ВСООАМ-2, Ленинград, 1989 г.), на международном семинаре по светоиндуцированным кинетическим эффектам в атомах, ионах и молекулах (The Workshop "Light-Induced Kinetic Effects on Atoms, Ions and Molecules", о. Эльба, Италия, 2-5 мая 1990 г.), на международной школе "Лазеры и их применение" (International School "Lasers and Applications", Саяногорск, март 1989 г.) и являлась темой многих физических семинаров Учебно-научного центра "Квантовая оптика".
Простейшие кинетические алгебры для одношаговых процессов
Как уже отмечалось во Введении, одной из фундаментальных проблем физической кинетики является задача описания релаксации по скоростям частиц газовой примеси в атмосфере гораздо более плотного "буферного" газа. Последний предполагается находящимся в термодинамическом равновесии. В такой постановке функция распределения частиц примеси по скоростям /(v t) - подчиняется линеаризованному уравнению Больцмана1
Это уравнение является ни чем иным, как континуальным аналогом общего управляющего уравнения из первой главы. Правая часть (2.1) носит название интеграла столкновений, а скорость переходов Л(г г/) - его ядра. Стационарным решением уравнения (2.1) является распре :Мьі предполагаем пространственную однородность задачи. Поэтому в этом уравнении отсутствуют градиентные члены. деление Максвелла f (v) — 7Г 3/2ехр(—v2) (v = \v\ - безразмерная скорость - отношение обычной скорости к среднетепловой). Для ядра интеграла столкновений и равновесного распределения справедливо соотношение детального баланса которое позволяет по аналогии с подходом первой главы переписать (2.1) в симметричной форме. Введём функцию и будем считать p(t) элементом действительного гильбертова пространства Ь2{Ш2). Аналогом (1.9) служит уравнение - симметричное ядро, a v{v) = J A(v \v) Sv - частота столкновений. Для кинетического оператора из (2.4) (в эквивалентном виде он появлялся также в работе [104]) существует разложение .(1.12), но в настоящей ситуации для оператора А (со свойствами, необходимыми для применимости МЕТОДА) отсутствует такое же универсальное выражение, как в случае уравнения рождения-гибели. В газовой кинетике тоже есть модель - так называемая модель слабых столкновений - для которой нахождение нужной формы оператора А не представляет труда. В этой (одномерной!) модели скорость частиц меняется по диффузионному закону согласно уравнению После перехода к вектору p(t) Є % — JE/ R1) ЭТО уравнение приобретает вид где о = (v + dv)/V2, at = (v - dv)/V2 - генераторы алгебры Гейзенберга-Вейля h(l). Определяющее коммутационное соотношение этой алгебры есть частный случай (1.13) и (1.26). Таким образом в этой модели А(к) = a, Ai (Л;) = 1. Собственные вектора кинетического оператора в модели слабых столкновений где #n(u) - полиномы Эрмита. Это хорошо известные стационарные состояния квантового осциллятора. К сожалению, как уже сказано выше, для общего уравнения (2,4) нужный вид операторов А и А неизвестен. В следующих параграфах мы будем изучать некоторые формы этих операторов для известных и новых моделей интеграла столкновений. 2.2 "Модель кенгуру" и родственные модели Так называемая "модель кенгуру" [23] известна также как модель с факторизованным ядром Угловыми скобками здесь и ниже в этом параграфе обозначено интегрирование по скоростям. Кинетическое уравнение (2.1) с таким ядром и позволяет получить решение без особых проблем. Это обстоятельство делает "модель кенгуру" очень удобной в нелинейной спектроскопии и светоиндуцированной газовой кинетике, особенно в тех случаях, когда принципиально важна зависимость частоты столкновений от скорости. Эта модель принадлежит к множеству кинетических моделей с изотропным членом прихода интеграла столкновений, первым слагаемым в правой, части (2.1), который зависит от и, но не от направления v. В таких моделях частота столкновений v{v) — v{\v\) есть в то же время транспортная частота столкновений. Представляет интерес построение примера модели с изотропным приходом, отличной от "модели кенгуру". Этой цели может помочь, как мы сейчас увидим, специфический выбор операторов Л и Л в разложении кинетического оператора (2.4).
Диссипативные свойства модели слабых столкновений для частиц с квантовым угловым моментом
Мы переходим теперь к проблемам квантовой кинетики и попробуем применить к ним идеи и подходы, изложенные выше. Исходным объектом выберем квантовое управляющее уравнение, описывающее марковскую эволюцию открытой квантовой системы:
Вид этого уравнения был установлен Линдбладом [27] (в конечномерном случае - в работе [33]); pt - матрица плотности системы. Первый член в правой части этого уравнения описывает чисто динамическую эволюцию системы под действием гамильтониана Я, в то время как операторная сумма содержит члены, ответственные за релаксацию. Набор так называемых операторов Линдблада {Lj}jej действует в пространстве квантовой системы, но зависит также от свойств окружения. Разбиение на динамический и диссипативный члены в (2.40) неоднозначно. Нетрудно заметить, что преобразование оставляет уравнение (2.40) неизменным4. Черта над символом здесь обозначает комплексное сопряжение. Мы упоминаем это преобразование по той причине, что далее в этой главе мы собираемся иметь дело только с такими кван-товыми управляющими уравнениями, для которых Н = 0. Описанное преобразование позволяет в некоторых случаях обеспечить зануление гамильтониана. Что оправдывает в общем случае существование таких моделей, названных в работе [105] "wide-open", мы обсуждать не будем. Следующим постулатом, ограничивающим множество рассматриваемых моделей, служит предположение о наличии специального базиса {\п}} в пространстве Н квантовой системы, в котором диагональные элементы pt(n) = (n\pt\n) матрицы плотности релаксируют согласно классическому управляющему уравнению
Мы будем называть {[ )}Lo кинетическим базисом. Чтобы связать скорости переходов из (2.41) с операторами Линдблада, мы постулиру-ем, что Lj и Lj трансформируют любой элемент кинетического базиса в другой элемент:
Такой выбор обеспечивает, как нетрудно убедиться, требуемый вид (2.41) эволюции диагональных элементов матрицы плотности. Этот выбор оказывается достаточным, но не является необходимым, что легко увидеть, когда набор J конечен и состоит из N элементов. Имея операторы (2.42), можно ввести новый набор является унитарной матрицей N х N. Уравнение (2.40) остаётся неизменным при замене Lj - Lj(U), Lj — LfAU), хотя новые операторы Линдблада уже не имеют в общем случае вида (2.42). В четвёртой главе мы ещё вернёмся к такому преобразованию. Используя выражение (2.42), можно получить
В первой сумме число п! задаётся явной функцией п = F;(n), в то время как во второй - неявной функцией п = Fj(n ). Это позволяет переписать первую сумму следующим образом: где суммирование по j ограничено обозначенным условием. Сравнивая (2.42), (2.43) и (2.44), мы получаем
В следующем параграфе мы конкретизируем это соотношение, что позволит обратить его и выразить операторы Линдблада через скорости переходов. Это даст возможность получать квантовые варианты классических управляющих уравнений. Иногда полученные квантовые уравнения обладают удобными симметриями, которых были лишены их исходные классические прототипы. Мы намерены описать простейшие алгебраические структуры, ассоциированные с получаемыми квантовыми управляющими уравнениями. Точнее, мы вводим наборы супероператоров, через квадратичные комбинации которых выражаются квантовые управляющие уравнения. Вначале мы рассмотрим только такие наборы, которые имеют структуру алгебр Ли, но в конце главы выйдем за пределы этого ограничения. Мы определим возможные типы алгебр и вид скоростей переходов, входящих в соответствующие классические управляющие уравнения. В рамках выбранного подхода число возможных вариантов оказывается весьма не велико. Подробнее будет рассмотрен случай одношаговых процессов (в рамках некоторой выбранной нумерации элементов кинетического базиса), но коротко будут затронуты процессы с бесконечной величиной прыжка.
Мы будем рассматриваем частный, но важный случай, когда индекс j задаёт смещение номера элемента кинетического базиса при квантовом скачке: Fj(n) = п + j. Так как j является целым числом, а множество J предполагается сбалансированным, т.е. из j 6 J следует —j Є J , уравнение (2.45) может быть обращено:
Статистика спонтанных переходов при резонансной флуоресценции двухуровневого атома
Полуклассический подход к описанию углового момента частиц был развит в работах [108], [109] и доказал свою высокую эффективность в нелинейной спектроскопии. Любому теоретику в данной области знакомы препятствия, которые ставит на пути получения точных аналитических решений вырождение энергетических уровней частиц по направлениям углового момента. При достаточно больших вращательных квантовых числах J, т.е. в ситуации, когда эти препятствия наиболее серьёзны, полу классический подход позволяет свести исходную проблему к анализу эффективной задачи для частиц с невырожденными уровнями. Это осуществляется посредством перехода от совокупности {0(а J M\oi J М )} матричных элементов любого оператора О, фигурирующего в задаче, к совокупности функций {0{ х J\a J1; s)} от единичного вектора з, который интерпретируется как направление углового момента. При этом угловой момент остаётся квантованным по величине, но классическим по направлению. Отсюда появился термин "полуклассический". Введённые функции играют роль матричных элементов упомянутой выше эффективной задачи для частиц с невырожденными уровнями, индексированными энергетическими квантовыми числами a, J (в качестве а может фигурировать, например, колебательное квантовое число). Параметрическую зависимость от s можно рассматривать как следствие расщепления всего ансамбля частиц на подансамбли с заданным направлением углового момента. При этом в процессе эволюции (в пределе больших J) вектор s остаётся неизменным.
Будучи разработанным для анализа эффектов взаимодействия частиц с излучением, аппарат полуклассического углового момента довольно быстро потребовал своего распространения на проблемы столк-новительной кинетики. Это было вызвано прежде всего нуждами теории эффекта светоиндуцированного дрейфа (СИД). Естественным развитием представления о независимых подансамблях частиц с заданным s является следующая общая модель линейного интеграла упругих столкновений 5Q(v, J) для частиц на уровне or, J с направлением углового момента s = J/ J:
Здесь фигурируют ядро интеграла столкновений Aa(v\v , J) и функция распеделений /tt(u, J). Индекс а будет в дальнейшем для упрощения формул опускаться.
Нам нужен теперь разумный путь построения модельного ядра Aa{v\v , J). Под "разумностью" здесь понимается способность интеграла столкновений (3.1) качественно верно описывать известные эффекты газовой кинетики частиц с угловым моментом - "эффект Магнуса" п "эффект парусника" (см. Приложение А и работу [81]). Руково- дящей идеей нам послужит модель слабых столкновений для частиц с полуклассическим угловым моментом [89], в которой можно практически однозначным образом учесть влияние J. Кинетическое уравнение в этой модели таково: Здесь д, = д/дьі, а скорость, как и в (2.6), выбрана безразмерной. Транспортная частота Vij{J) (не зависящая от скорости) является, как видно из (3.2), тензором, есть его наиболее общий вид. u (J) - обычная транспортная частота, частота v l\j) отвечает за "эффект Магнуса" - зацепление потока частиц за поток ориентации, а частота v \j) описывает "эффект парусника" - взаимодействие потока частиц и потока выстраивания. Нахождение условной вероятности f(v,t\vQ,0; Jo) - решение уравнения (3.3) при начальном условии /(и, 7,0) = SJJQ6(V — ио)/47г - не представляет большой проблемы. Мы поступим как и в предыдущей главе - объявим эту условную вероятность при фиксированном времени t = т 0 ядром интеграла столкновений (3.1): Есть полное основание называть модель с ядром (3.4) обобщённой моделью Килсона-Сторерадля частице полуклассическим моментом, что и отражено в обозначении. Мы ограничимся случаем u {J) = v -\ v(l\j) = v J, i/W(J) = 0. При этом, как показано в [89], где /()(и,гг/,0) - условная вероятность для обычной модели слабых столкновений, в которой u (J) = v \ v l\j) = u 2\j) = 0, а символ v(/3), где /З — s/?, обозначает следующее преобразование вектора скорости: которое есть ни что иное, как правый поворот вектора v вокруг $ на угол /3. В (3.5) входит параметр j3{t) = v Jt. Ядро (3.4) теперь можно представить следующим образом: где в правой части фигурирует обычное ядро модели Килсона-Сторера с параметром персистенции скорости fi и преобразованным в соответствии с (3.6) вектором Vі. Параметр /3 связан с fi соотношением 1Определение (3.7) допускает естественное обобщение. А именно, если мы имеем аналитическое выражение для ядра интеграла столкновений A()(v\v ) В некоторой кинетической модели для частиц с не-вырожденнными уровнями, мы строим на его основе ядро интеграла столкновений частиц с полуклассическим угловым моментом J по правилу