Поляризационные аспекты охлаждения и локализации атомов в лазерных полях Прудников Олег Николаевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Квантовое кинетическое уравнение 22

1.1 Кинетическое уравнение для матрицы плотности 23

1.2 Вигнеровское представление для матрицы плотности 29

1.3 Уравнения Блоха 30

1.4 Редуцированное уравнение для атомной матрицы плотности 31

1.5 Методы и подходы для решения квантового кинетического уравнения 32

2 Кинетика атомов в квазиклассическом приближении 35

2.1 Уравнение Фоккера-Планка 35

2.2 Приближение медленных атомов 38

2.3 Процедура редукции уравнений на матрицу плотности к уравнению ФП для медленных атомов 39

2.4 Кинетические коэффициенты уравнения Фоккера-Планка 42

2.5 Магнитооптическая сила 44

2.6 Кинетические коэффициенты в поле малой интенсивности 46

2.7 Кинетические коэффициенты в поле произвольной конфигурации

2.7.1 Сила светового давление на неподвижный атом 54

2.7.2 Спонтанная диффузия 55

2.7.3 Сила трения, лоренцевская сила и вынужденная диффузия 56

2.7.4 Свойства кинетических коэффициентов в полях произвольной поляризации

2.8 Кинетика атомов в поле стоячей волны с однородной эллиптической поляризацией 62

2.9 Особенности кинетики атомов поле двух встречных волн с произвольными эллиптическими поляризациями 2.9.1 є — 9 — є конфигурация светового поля 75

2.9.2 Пространственная зависимость оптического потенциала в є — 9 — є конфигурации светового поля 77

2.9.3 Аномальные вклады в силу трения в поле є — 9 — є конфигурации 79

2.9.4 Зависимость силы трения от скорости в полях малой интенсивности 83

2.9.5 Направление кинетического процесса 86

2.9.6 Коэффициент диффузии 89

2.9.7 Оценка температуры лазерного охлаждения атомов в поле є — 9 — є конфигурации 2.10 Выпрямление дипольной силы в монохроматическом поле, образованном световыми волнами с эллиптическими поляризациями 96

2.11 Магнитооптическая сила в резонансном поле, образованном световыми волнами с эллиптической поляризацией 103

2.12 Трёхмерная теория магнитооптической ловушки 111

2.13 Динамика лазерного охлаждения нейтральных атомов в неоднородно поляризованном поле в условиях конечного времени взаимодействия 123

3 Кинетика атомов с полным учётом эффектов отдачи при взаимодействии атомов с полем 138

3.1 Стационарное состояние ансамбля атомов малой плотности в монохромати ческом поле с учётом эффектов отдачи 140

3.1.1 Обобщённый метод матричных цепных дробей 142

3.1.2 Энергия холодных атомов

3.2 Локализация атомов в глубоком оптическом потенциале 150

3.3 Существенно неравновесное стационарное состояние атомов в световом поле 160

3.4 Влияние субдоплеровских поляризационных вкладов на кинетику атомов с недостаточно малым параметром квазиклассичности

3.4.1 Влияние "аномальных" поляризационных вкладов на кинетику атомов 167

3.4.2 Субдоплеровское охлаждение атомов 24Mg 171

4 Кинетика атомов в двухчастотном поле 184

4.1 Двухуровневый атом в бихроматическом поле 189

4.2 Атом с вырожденными по проекции углового момента уровнями в бихроматическом поле 196

4.2.1 Кинетические коэффициенты для атомов с оптическим переходом Jg Je в бихроматическом поле 199

4.2.2 Кинетические коэффициенты для атомов с оптическим переходом Jg = 1/2 —) Je = 3/2 в бихроматическом поле 200

4.2.3 Кинетика атомов в оптических решётках 204

5 Заключение 215

Приложения 224

А Элементы и оптические переходы используемые для стандартов частоты решеточного типа 224

В Элементы и оптические переходы используемые для лазерного охлаждения атомов и фокусировки атомных пучков в экспериментах с атомной литогра фией 225

С Кинетика атомов в световом поле: основные параметры задачи 231

D Аналитические выражения для кинетических коэффициентов для атомов с оптическим переходом Jg = 1/2 — Je = 1/2 232

D.1 Сила 234

D.2 Коэффициент трения 234

D.3 Диффузия 236

Е Аналитические выражения кинетических коэффициентов для атомов с оптическим переходом Jg = 0 — Je = 1 237

Е.1 Коэффициент трения 237

Е.2 Диффузия 238

F Предел малых насыщений. Аналитические выражения кинетических коэффициентов для атомов с оптическим переходом Jg = 1/2 — Je = 3/2 239

F.1 Коэффициент трения 239

F.2 Коэффициент диффузии 239

G Предел малых насыщений. Аналитические выражения кинетических коэффициентов для атомов с оптическим переходом Jg = 1 — Je = 2 240

G.1 Коэффициент трения 240

G.2 Коэффициент диффузии 241

Литература

• Редуцированное уравнение для атомной матрицы плотности
• Кинетические коэффициенты в поле малой интенсивности
• Локализация атомов в глубоком оптическом потенциале
• Кинетические коэффициенты для атомов с оптическим переходом Jg = 1/2 —) Je = 3/2 в бихроматическом поле

Введение к работе

Актуальность темы

Актуальность лазерного охлаждения нейтральных атомов определяется, прежде всего, тем широким кругом исследований, в которых находят применение холодные атомы. Так, например, методы лазерного охлаждения и захвата нейтральных атомов в магнитооптическом потенциале используются при создании магнитооптических ловушек (МОЛ) [1], которые, в свою очередь, являющимися основным источником холодных атомов (с температурой порядка 10-100 |iK). Холодные атомы находят широкое использование в различных областях физических исследований [1-7]: коллимации атомных пучков, в нелинейной спектроскопии сверхвысокого разрешения, при исследовании охлаждения и динамики атомов в оптических решетках, в области фундаментальной метрологии при создании первичных стандартов частоты нового поколения, для достижения конденсации Бозе-Эйнштейна нейтральных атомов, исследования вырожденного Ферми газа и прочее.

В настоящее время наблюдается огромный прогресс в развитии оптических стандартов частоты. Использование здесь холодных атомов позволяет создавать атомные часы с долговременной нестабильностью - 10 [5-7], что несомненно важно как в области фундаментальных, так и прикладных исследований. Использование таких стандартов открывает возможности для реализации сверхточных экспериментов по проверке временной зависимости фундаментальных констант [8], спектроскопии сверхвысокого разрешения в экстремальном ультрафиолете [9] (XUV, длина волны меньше 120нм), работ по проверке общей теории относительности и космологических моделей, а также для систем навигации и глобального позиционирования [10].

Всё многообразие исследований с применением холодных атомов стало возможным благодаря успехам в области лазерного охлаждения, что было отмечено нобелевской премией за 1997 год (К. Коэн-Таннуджи, С. Чу и У.

Филлипс). На начальном этапе (до 1988 г.) механическое действие
резонансного излучения на атомы было достаточно полно изучено в рамках
простейшей модели двухуровневого атома (см. например [11]). Данное
описание позволило понять физические механизмы и природу сил,
действующих на атом в световом поле, предсказать минимальную
температуру лазерного охлаждения (доплеровский предел).

Экспериментальное наблюдение температур ниже доплеровского предела [12,13] стимулировало дальнейшее развитие теории. Детальный анализ показал, что субдоплеровское охлаждение связано с вырожденностью основного атомного состояния по проекции углового момента и для его появления принципиально необходимым является наличие пространственно неоднородной поляризации светового поля. При этом, экстремально низкие температуры лазерного охлаждения (sub-recoil cooling) достигаются за счет селективного по скорости когерентного пленения населенностей [13-16].

Теоретическое описание лазерного охлаждения (даже в условиях квазиклассического приближения) – сложная и актуальная задача современной физики, которая требует корректного учета корреляции оптической ориентации атомов с вырожденными по проекции углового момента уровням с процессами передачи импульса и момента импульса от поля атомам при взаимодействии с поляризованным излучением. Поэтому в большинстве работ по теории субдоплеровского охлаждения рассматривался ограниченный класс конфигураций лазерного поля, образованных линейно, либо циркулярно поляризованными волнами. Тем не менее, вследствие нелинейного характера взаимодействия атомов с резонансным полем, эти частные случаи не являются исчерпывающими и не дают полного представления о кинетике атомов в поле более общей пространственной конфигурации, образованной эллиптически поляризованными волнами. Так, например, в первых работах по лазерному охлаждению в полях произвольной конфигурации [17,18] было обнаружено наличие принципиально новых

поляризационных эффектов, которые возникают именно в полях, образованных волнами с эллиптическими поляризациями.

В дальнейшем, по мере исследований, возникло множество вопросов о наблюдаемости обнаруженных эффектов вне предела малости атомных скоростей и, в частности, на фоне известных доплеровских механизмов трения. Кроме того, неисследованным оставался вопрос о влиянии магнитного поля на кинетику атомов в световых полях с произвольной пространственной конфигурацией, и, в частности, о проявлении новых поляризационных эффектов лазерного охлаждения в магнитооптической ловушке, образованной волнами с произвольной эллиптической поляризацией.

Отметим, что вышеописанные вопросы касаются квазиклассического описания лазерного охлаждения атомов в световых полях. Другим актуальным вопросом является развитие универсального квантового подхода для описания лазерного охлаждения атомов в полях, образованных волнами с произвольными эллиптическими поляризациями, и с полным учётом эффектов отдачи (обмен импульсом при взаимодействии атомов с фотонами поля). Наличие такого полного квантового подхода актуально как для более точного анализа возможностей сверхглубокого лазерного охлаждения, так и для решения различных задач охлаждения и локализации атомов в оптических решетках, получивших в настоящее время широкое распространение при создании оптических стандартов частоты [5-7].

Цели диссертационной работы

Основной целью работы является развитие методов, позволяющих корректно описать процессы лазерного охлаждения (как в квазиклассическом, так и в полностью квантовом подходах) при взаимодействии с поляризованным лазерным излучением, в том числе в присутствие магнитного поля. А именно:

1. Исследование магнитооптической силы и режимов работы МОЛ,
образованной полями с произвольными эллиптическими поляризациями для
атомов с вырожденными по проекции углового момента уровнями. В том
числе развитие теории трехмерной МОЛ и анализ поляризационных
эффектов в магнитооптической силе, коэффициентах трения и диффузии,
связанных с интерференцией пар световых волн, образующих поле, и
влияние относительных фаз волн на работу МОЛ.

2. Исследование поляризационных механизмов субдоплеровского
охлаждения в полях, образованных волнами с эллиптической поляризацией,
вне рамок приближения медленных атомов. Анализ аномальных
поляризационных вкладов в силу трения и их влияния на кинетику атомов в
условиях недостаточной малости параметра квазиклассичности.

1. Развитие квантового подхода, позволяющего описать лазерное охлаждение и пространственную локализацию атомов с полным учётом эффектов отдачи при взаимодействии атомов с полем, образованном волнами с произвольными эллиптическими поляризациями.

2. Исследование кинетики атомов с вырожденными по проекции углового момента уровнями в бихроматическом поле. Данная задача применима при описании кинетики атомов в поле далекоотстроенной оптической решетки в присутствии дополнительного диссипативного поля накачки. При этом, особое внимание необходимо уделить анализу влияния далекоотстроенного поля решетки на диссипативные процессы лазерного охлаждения и локализации атомов, а также выявлению поляризационных особенностей кинетики, связанных с отличием от линейной и круговой поляризации поля оптической решетки.

Научная новизна

В работе получен ряд новых результатов:

1. Показано наличие новых поляризационных особенностей в

магнитооптической силе, имеющих чётную зависимость от отстройки

светового поля, возникающих в полях, образованных волнами с эллиптической поляризацией. Обнаруженные особенности в магнитооптической силе, наряду с аномальными поляризационными вкладами в оптическую силу, приводят к возможности формирования магнитооптической ловушки в условиях точного резонанса.

2. Представлен универсальный квантовый подход, позволяющий найти
точное решение квантового кинетического уравнения для атомной матрицы
плотности с полным учётом эффектов отдачи при взаимодействии атомов с
фотонами поля. Данный подход позволяет корректно описать лазерное
охлаждение и локализацию атомов в оптическом потенциале с полным
учетом квантовых эффектов. Отметим, что матрица плотности содержит
множество переменных, описывающих многообразие как внутренних
степеней свободы, определяющих оптическую ориентацию и накачку атомов,
так и внешние степени свободы, определяющих импульсное,
пространственное распределение атомов, а также когерентность атомной
функции распределения между различными пространственными точками.

3. Показано, что стационарное состояние атомов в поле стоячей световой волны имеет существенно неравновесный характер. Это связано с локальными разнонаправленными потоками атомов в основном и возбуждённом состояниях. Более того, стационарное решение кинетического уравнения для атомной матрицы плотности может иметь значительную асимметрию в фазовом пространстве, что связано с локальной неоднородностью диссипативных процессов.

4. На основе предложенного квантового подхода проведен сравнительный анализ кинетики нейтральных атомов в световых полях. Данный анализ позволил очертить область применимости известных приближений, и показать отличия, возникающие при выходе за рамки этих приближений. В частности, показана ограниченность использования редуцированного квантового кинетического уравнения (ККУ) для атомной матрицы плотности в основном состоянии даже в полях малой интенсивности.

5. Показано, что в условиях субдоплеровского охлаждения важное значение
имеет параметр квазиклассичности s_R=hk²/(2уМ), определяемый
отношением энергии отдачи к естественной ширине оптического перехода. В
частности, поляризационные (в том числе аномальные) эффекты,
описываемые в квазиклассическом приближении, оказывают значительное
влияние на кинетику атомов лишь в условиях предельной малости параметра
квазиклассичности. При недостаточной малости параметра

квазиклассичности (порядка 0.01 и выше) поляризационные вклады становятся менее значительными, и в ряде случаев субдоплеровское лазерное охлаждение оказывается недостижимым.

Научная ценность

Научная ценность работы состоит в полноте описания лазерного охлаждения и локализации нейтральных атомов в световых полях, образованных волнами с произвольными эллиптическими поляризациями, в том числе в присутствие магнитного поля. Развитая в диссертации теория не ограничивается рамками квазиклассического подхода и приближением медленных атомов. Предложенный универсальный квантовый подход позволяет найти точное решение квантового кинетического уравнения для атомной матрицы плотности с полным учётом эффектов отдачи при взаимодействии с фотонами поля. Проведенный сравнительный анализ кинетики атомов в условиях субдоплеровского охлаждения позволяет более точно определить условия применимости, как развитых квазиклассических подходов, так и используемых ранее в тех или иных приближениях квантовых подходов. Представленный квантовый подход представляет особую научную ценность, поскольку описывает полную атомную матрицу плотности, включая весь спектр внутренних и поступательных степеней свободы, а также их корреляций. Более того, данный подход может быть применим не только для анализа лазерного охлаждения, но и, например, для

различных спектроскопических задач с использованием холодных атомов в оптических решетках.

Практическая ценность работы

Развитая в работе теория охлаждения и локализации атомов в световых полях произвольной пространственной конфигурации имеет практическую ценность для постановки различных экспериментов по лазерному охлаждению и захвату атомов в оптическом моласисе, магнитооптических ловушках и оптических решетках. В частности, позволяет провести оптимизацию параметров используемых световых полей, включая оптимизацию поляризационной конфигурации. Это может иметь практические приложения в атомных стандартах частоты нового поколения, для достижения конденсации Бозе-Эйнштейна нейтральных атомов, атомной интерферометрии, коллимации атомных пучков и атомной литографии.

Защищаемые положения

Автор выносит на защиту:

1. Аналитические выражения для коэффициента трения, вынужденной диффузии и магнитооптической силы (в первом порядке по магнитному полю), описывающие кинетику медленных атомов в условиях квазиклассического приближения в световом поле и магнитооптическом потенциале, могут быть представлены в виде свертки с "матрицей первых поправок" определяемой линейным неоднородным уравнением, источником которого является флуктуация оператора силы. Развитый универсальный подход позволяет представить искомые выражения в виде разложения по градиентам независимых параметров светового поля (интенсивности, фазы, и параметров, описывающих вектор поляризации и его ориентацию), что позволяет исследовать отдельно влияние различных поляризационных эффектов.

2. Использование встречных световых волн с эллиптической поляризацией в присутствие магнитного поля приводит к дополнительным поляризационным вкладам в магнитооптическую силу, действующую на атомы с вырожденными по проекции углового момента уровнями. Данные вклады позволяют формировать магнитооптический потенциал даже в условиях точного резонанса. При этом кривизна магнитооптического потенциала определяется поляризацией встречных волн, формирующих поле.

3. Стационарное решение квантового кинетического уравнения (ККУ) для атомной матрицы плотности с полным учётом эффектов отдачи при взаимодействии с фотонами поля может быть получено рекуррентным методом матричных цепных дробей, реализованного для пространственных гармоник. Данное решение позволяет развивать квантовую теорию лазерного охлаждения с учётом локализации атомов в оптических полях, образованных волнами с произвольной эллиптической поляризацией, в условиях, выходящих за рамки используемых ранее приближений. Развитый метод позволяет корректно описать не только локализованные в оптических решетках атомы, но также кинетику атомов, совершающих надбарьерное движение.

4. В условиях недостаточной малости параметра квазиклассичности (s_R =hk²/(2уМ) порядка 0.01 и выше), даже в рамках квантового описания кинетики, использование редуцированного ККУ для атомной матрицы для задач субдоплеровского лазерного охлаждения приводит к значительным отличиям в результатах по сравнению с полным решением ККУ. В этих условиях поляризационные механизмы лазерного охлаждения становятся менее эффективными, и в ряде случаев субдоплеровское лазерное охлаждение недостижимо.

5. Использование бихроматической конфигурации светового поля для
лазерного охлаждения атомов в оптических решетках в присутствие поля
накачки позволяет создать условия, при которых возникает сила трения в
минимумах оптического потенциала решётки, что недостижимо в

монохроматических полях. При таких условиях можно добиться значительной пространственной локализации атомов в поле решётки (Ах < 0.11). При этом диссипативные процессы лазерного охлаждения определяются не только резонансным полем накачки, но также и далеко-отстроенным полем решётки.

Структура и объем диссертационной работы

Редуцированное уравнение для атомной матрицы плотности

В теоретическом плане, круг вопросов, связанных с механическим действием резонансного излучения на атомы оказывается достаточно широким и охватывает интервал энергий порядка Ю-11 — 104 эВ (что составляет Ю-1 — 108 см/сек для скоростей). Нижняя граница этого интервала определяется энергией отдачи при излучении атомом одного фотона ER = (hk)2/(2М) с импульсом hk, М - масса атома. В настоящее время разработаны методы лазерного охлаждения, основанные на селективном по скорости возбуждении атомов, позволяющие преодолеть фундаментальный предел ER, связанный с однофотонной энергией отдачи [90].

Взаимодействие атома со светом определяется тремя фундаментальными законами сохранения, связанными с основными симметриями пространства и времени. Это законы сохранения энергии, импульса и момента импульса в элементарных процессах поглощения и излучения атомом фотонов поля. Отметим, что с обменом моментом импульса (угловым моментом) связан поляризационный аспект задачи о взаимодействии атома с полем. Здесь необходимо учитывать векторную природу поля и вырожденность атомных уровней по проекции углового момента. Все процессы обмена энергией, импульсом и угловым моментом, вообще говоря, протекают одновременно и коррелируют друг с другом. Однако теоретический анализ большинства задач может проводиться в модели гг-уровневого атома без учёта вырожденности по проекции углового момента (скалярная модель). При этом в задачах о кинетике атома в световом поле, остаются важными процессы обмена энергией и импульсом с фотонами поля, которые во многом позволяют понять основные физические процессы действия света на атом. Так в период 1970-1988 гг. механическое действие резонансного излучения на атомы и, в частности, движение атомов в стоячей волне были достаточно полно изучены в рамках простейшей модели двухуровневого атома [5, 7, 6, 8, 9]. Данное описание позволило понять физические механизмы и природу сил действующих на атом в световом поле. Силы по своей природе разделяют на силы спонтанного светового давления и силы вынужденного светового давления (дипольная или градиентная сила). Сила спонтанного светового давления возникает в процессе поглощения и спонтанного рассеяния фотона. В процессе поглощения фотона атом получает импульс hk и, в силу равновероятной направленности спонтанно излучённых фотонов, атом испытывает постоянное действие силы светового давления. Действие дипольной силы основано на

электродипольном взаимодействии нейтральной частицы с электрическим полем, и для двухуровневой модели атома имеет простую интерпретацию: Электрическое поле наводит дипольный момент, и атом втягивается в область с большей интенсивностью, подобно пылинке, притягивающейся к расческе. Осциллирующий характер электромагнитной волны приводит к тому, что при "красных" отстройках 6 0(6 = ш — шо отстройка от частоты светового поля ш от частоты оптического перехода UJQ) ДИПОЛЬНЫЙ момент атома успевает колеблется вслед за вектором электромагнитного поля, и атомы, так же как и частицы в стационарном случае, втягивается в области с максимальной интенсивностью поля. Соответственно, при "синих" отстройках дипольный момент атома осциллирует в проти-вофазе, что приводит к тому, что дипольная сила толкает атомы в область с минимальной интенсивностью светового поля. На языке квантов, дипольная сила (сила вынужденного светового давления) связана с процессами вынужденного поглощения фотонов из одной моды rki и вынужденным переизлучением в другую моду Кк.2. При этом атом приобретает импульс р = Kk\ — h\s.2- Отметим, что дипольная сила, в отличие от силы спонтанного светового давления, не насыщается, и это делает её привлекательной при создании оптических потенциалов для захвата атомов. Недостатком её использования является быстрая осциллирующая зависимость от координат, порядка длинны волны света, в отличие от силы светового давления. Использование сил спонтанного светового давления для создания оптических ловушек было теоретически запрещено оптической теоремой Ирншоу (Earnshow) [10]. Эта теорема утверждает, что сила спонтанного светового давления пропорциональна плотности потока энергии светового поля и, следовательно, не может иметь ни минимумов, ни максимумов, и является аналогией теоремы в электростатике о том, что заряженная частица не может быть удержана статистическими полями. Однако, доказательство оптической теоремы Ирншоу существенным образом использует двухуровневую модель атома, когда существует только один тип силы спонтанного светового давления, т.е. силы пропорциональной градиенту фазы светового поля. Таким образом, стабильные ловушки, использующие силы спонтанного светового давления могут быть получены [11]. Наиболее удачный вариант, получивший название магнитооптической ловушки был предложен Далибардом [12]. Идея заключалась в использовании циркулярно поляризованных встречных волн а+ — т_ конфигурации для создания оптического моласиса и добавлении магнитного поля. Таким образом атом, сдвигающийся из центра ловушки, где магнитное поле равно нулю, в следствии Зеемановского расщепления магнитных подуровней становиться резонансным с полем циркулярно поляризованной волны, которая и создаёт световое давление, возвращающее атом в исходную точку. Первая экспериментальная реализация магнитооптической ловушки была осуществлена в 1987 году [93].

Первое экспериментальное наблюдение силы светового давления при замедлении атомного пучка натрия было проведено в работе [94]. В этом эксперименте важную роль играла скоростная селективность резонансного взаимодействия атомов со светом. При этом движущиеся атомы, в следствие эффекта Доплера, оказывались в резонансе с линией лазера, что приводило к эффективному взаимодействию светового поля лазера с выделенной скоростной группой атомов. Так, медленно изменяя частоту лазера было возможным "сгрести" атомы к нулевым скоростям.

Важным этапом лазерного охлаждения стало исследование "доплеровского" охлаждения нейтральных атомов. Идея доплеровского охлаждения заключается в селективном по скорости взаимодействие атомов со светом [95]. Атом при движении в поле стоячей волны испытывает давление от встречных волн, образующих поле, которые, в случае малой интенсивности светового поля, могут рассматриваться независимо. Если частота лазерного света ш отстроена ниже атомного резонанса UJQ (отстройка 8 = ш — UJQ, отрицательная), то движущийся атом, в следствие эффекта Доплера, будет ближе к резонансу со встречной волной. Сила светового давления от встречной волны будет доминировать, и атом будет замедляться. И наоборот, при положительной отстройке атом будет ускоряться. Отметим, что в интенсивном поле, в двухуровневой модели атома, картина становилась обратной: при положительной отстройке атомы замедляются, а при отрицательной - нагреваются. Это обстоятельство объясняется тем, что в интенсивном поле проявляется другой механизм трения "сизифовский" [96, 97], основанный на силе вынужденного светового давления.

Двухуровневая модель атома, хоть и не учитывает векторную природу светового поля, но тем не менее, позволила понять и описать основные механизмы лазерного охлаждения. Одним из важных теоретических результатов модели двухуровневого атома являлось описание минимальной температуры лазерного охлаждения - так называемый доплеровский предел квТп h y, где 7 естественная ширина возбуждённого уровня. Типичные значения Тд для атомов щелочных металлов составляет 10-3 К.

Кинетические коэффициенты в поле малой интенсивности

В выражениях (2.28), (2.31) мы ввели вспомогательную матрицу ф, которая позволяет единым образом позволяет записать выражения для коэффициентов трения и диффузии. Отметим, что система уравнений (2.25) является линейно зависимой. В этом легко убедиться умножая правую и левую части уравнения на матрицу а и вычисляя след, которые одновременно обращаются в ноль в силу системы (1.29) и выражения для силы (2.27). Это означает, что решение системы уравнений (2.25) неоднозначно, т.е. матрица ф определена с точностью до произвольного решения однородного уравнения, которое в рассматриваемом случае имеет вид сі, где I - единичная матрица. Однако, как видно из (1.29), (2.28), (2.31), этот произвол в определении ф не влияет на значение кинетических коэффициентов, поэтому в качестве калибровочного условия можно использовать Тт{фі} = 0. Таким образом, коэффициент вынужденной диффузии D квадратичен по отношению к 5F, что соответствует стандартному определению диффузии через двухвременной коррелятор оператора силы (см. например [128]). Существенным является то обстоятельство, что вынужденная диффузия D и коэффициент трения записываются при помощи одной и той же матрицы ф. Этот факт можно рассматривать как некоторое флуктуационно-диссипационное соотношение, устанавливающее связь между флуктуациями импульса (диффузией) и его диссипацией (трением). Поэтому, данные соотношения являются важными и с общефизической точки зрения.

Кинетические коэффициенты уравнения Фоккера-Планка определяют кинетику медленных атомов. Так в одномерной задаче (см. например [9]) в поле стоячей волны, образованной встречными световыми волнами атомы движутся в потенциале образованном силой F, а диссипативные процессы определяются коэффициентами трения и диффузии D. При этом, в случае когда атомы совершают надбарьерное движения и эффектами локализации можно пренебречь, функция распределения атомов имеет больцмановское распределение с температурой Т (см. например [9]): Т(Е) = const ехр( - ) , квТ= г = - , (2.32) что, например, при анализе кинетики атомов в рамках двухуровневой модели в полях малой интенсивности приводило к пределу температуры лазерного охлаждения по порядку величины квТ ь /2 _ так называемый доплеровский предел лазерного охлаждения [9]. Строго говоря, распределение холодных атомов в условиях стационарного взаимодействия с полем dJ- /dt = 0 имеет существенно неравновесное состояние (см. например раздел 3.3) и не может быть описано в терминах температуры. Тем не менее, в дальнейшем, при анализе средней кинетической энергии холодных атомов Ек = (р)2/(2М) мы также будем использовать термин температуры полагая (для одномерной задачи), используя данный термин для как меру средней кинетической энергии атомов.

Присутствие магнитного поля в задаче о лазерном охлаждении нейтральных атомов приводит к возникновению различных эффектов, одним из ярких проявлением которых является возникновение магнитооптической силы. Поскольку масштаб изменения магнитного поля много больше длинны световой волны, это позволяет создавать достаточно глубокие магнитооптические потенциалы для захвата и охлаждения нейтральных атомов. В настоящее время магнитооптические ловушки (МОЛ) являются одним из основных источников холодных атомов (с температурой порядка 10-100 мкК). Удачное сочетание эффективного лазерного охлаждения с большой глубиной (порядка нескольких К) магнитооптического потенциала, образованного действием сил резонансного светового давления в присутствии неоднородного магнитного поля, приводит к надежной работе МОЛ при не очень жестких требованиях к параметрам установки (вакуум, градиент магнитного поля, интенсивность и размер лазерных пучков и т.п.). Холодные атомы, приготовленные в МОЛ, находят широкое применение в различных областях физических исследований, например, в нелинейной спектроскопии сверхвысокого разрешения, при исследовании охлаждения и динамики атомов в оптических решетках, в области фундаментальной метрологии при создании первичных стандартов частоты нового поколения, для достижения Бозе-Эйнштейновской конденсации и других.

Предложенный нами метод поиска кинетических коэффициентов для нейтральных атомов с использованием матрицы первых поправок фч в пределе малых магнитных полей также позволяет рассмотреть вклад от магнитного поля в виде поправки к гамильтониану в уравнениях движения (1.16) и выразить выразить магнитооптическую силу в первом порядке по магнитному полю через матрицу фч. F H\r) = -іПТг{фі [ HB,a{r,v = 0) ] } (2.34) где Нв добавка к гамильтониану, описывающая взаимодействие атома с магнитным полем. Отметим, что теория МОЛ, так же как и теория лазерного охлаждения и захвата нейтральных атомов в целом [9, 8], развивалась, по преимуществу, применительно к обычно используемым в экспериментах полям, образованным циркулярно или линейно поляризованными лазерными пучками. Также при описания работы ловушки авторы ограничиваются, как правило, одномерными теориями [184, 185, 186, 187, 188]. Это связано с тем, что теоретическое описание кинетики атомов в трёхмерной модели МОЛ встречает значительные трудности, связанные со сложной пространственной структурой светового поля, образованного тремя парами интерферирующих лазерных пучков. Насколько нам известно, существует только две работы, посвященные построению трёхмерной аналитической модели МОЛ в квазиклассическом приближении [193, 194]. В первой из этих работ авторы ограничиваются линейным приближением по интенсивности поля. В этом приближении основные характеристики МОЛ, усреднённые по пространственному периоду, совпадают с предсказаниями одномерной модели. Во второй работе эти характеристики найдены в виде ряда по интенсивности поля (до 4-го порядка). Следует отметить ограниченность подхода работы [194]. Во-первых, ряды по интенсивности поля сходятся только при малом насыщении перехода. Во-вторых, при проведении расчётов в работе использовалась конфигурация поля с фиксированными (нулевыми) относительными фазами волн, рас пространяющихся в ортогональных направлениях, в то время как в экспериментах, как правило, эти фазы меняются неконтролируемым образом. От значений относительных фаз зависит пространственная конфигурация поля (локальные значения амплитуды, фазы и поляризации), что может быть существенным при вычислении характеристик МОЛ.

Приведённые общие выражения для магнитооптической силы (2.34), а также коэффициентов трения (2.28) и диффузии (2.30), (2.31) позволяют развить теории для МОЛ образованные волнами с эллиптической поляризацией. Как будет показано ниже в разделе 2.11 в таких ловушках возникает ряд новых эффектов, обсуждение которых будет проведено там же. Также в разделе 2.12 будет рассмотрена кинетика атомов в трёхмерной магнитооптической ловушке.

В поле малой интенсивности 5 С 1 населенностью возбужденного состояния атома можно пренебречь, а основная динамика внутреннего состояния атома определяется эволюцией населенностей и когерентности подуровней основного состояния. Таким образом эволюция населенностей возбужденного состояния и когерентность между основным и возбужденным состояниями медленных атомов

Локализация атомов в глубоком оптическом потенциале

Для атомных переходов с вырожденным основным состоянием Jg 0 при малых насыщениях 5 С 1 первые неисчезающие вклады в Хкк/ имеют нулевой порядок по S, что, как известно [102], принципиально важно для реализации лазерного охлаждения ниже допле-ровского предела. В этом приближении возникает ряд новых специфических свойств коэффициентов Хкк/. В частности, поскольку матрица плотности а (г) в нулевом порядке по параметру насыщения S не содержит зависимости от амплитуды и фазы, то Хкї = Хк2 = 0 при любых к = 1,... ,4. Кроме того, имеется соотношение между следующими коэффициентами Х1к = -2 8Х2к, (2.62) которое является обобщением подобного соотношения для силы действующей на неподвижный атом (2.57): /і(г) = -2#/2(г). Можно показать, что это соотношение, связывающее силы вынужденного и спонтанного светового давления, остается справедливым и для движущегося атома, если в каждом порядке разложения силы по степеням скорости ограничиваться членами (v/S)n, которые являются ведущими при 5 С 1.

Для момента основного состояния J g = 1/2 матрица а (г) в нулевом порядке по S не зависит также от угла ф, следовательно, в этом частном случае ХК4 = 0. Однако для атомов с большим значением углового момента в основном состоянии Jg 1 матрица плотности а (г) уже в нулевом порядке по S содержит недиагональные элементы (зеемановские когерентности) в локальном базисе с осью квантования ортогональной эллипсу поляризации. Следовательно, т(г) зависит также от угла ф и, в общем случае, Хкі ф 0 (G.1).

Физический механизм, ответственный за составляющие Х]% и Х з, известен из рассмотрения 1гп - в - 1гп конфигурации поля [103] - это так называемый эффект Сизифа [102]. Этот эффект принято связывать с силами вынужденного светового давления, которые при малой интенсивности поля (S1 1) можно рассматривать как следствие пространственной неоднородности оптических сдвигов подуровней основного состояния (динамический эффект Штарка). Величина оптических сдвигов пропорциональна интенсивности поля и зависит от эллиптичности. В частности, для перехода 1/2 — 3/2 в локальной системе координат с осью z вдоль во

Следует сказать, что наличие, по крайней мере, двух различных потенциалов является одним из необходимых условий реализации сизифовского механизма. Компоненты силы, связанные с градиентами амплитуды g -1- и эллиптичности g -3- , имеют вид /i(r,P) = -pS[l + Sm(2e)J(r,p)] /з(г,р) = -pScoS(2e)J(r,p), где J (r, р) - среднее значение z-проекции углового момента атома (половина разности населенностей подуровней основного состояния). Другим необходимым ингридиентом сизифовского механизма субдоплеровского трения является запаздывание в анизотропии основного состояния при медленном изменении локальной эллиптичности. В рассматриваемом случае синфазная и запаздывающая части углового момента с точностью до первого порядка по скорости записываются следующим образом:

Как видно, характерное время запаздывания обратно пропорционально скорости оптической накачки "/S, что и приводит к независящим от интенсивности вкладам Хц и Д з Интерпретация независящих от 8 составляющих Х2з и А43 подобна разобранному выше, с тем, однако, существенным отличием, что силовое воздействие обеспечивается спонтанным световым давлением за счет градиентов фазы и угла ф:

В нашей работе [137] на примере симметричного класса одномерных конфигураций поля, образованных встречными эллиптически поляризованными волнами равной амплитуды, было показано, что независящая от отстройки часть коэффициента трения Х2з gf yf + А43 9Z 9Z не исчезает при усреднении по пространственному периоду, т.е. имеет место систематический эффект охлаждения (либо нагрева, в зависимости от геометрических параметров конфигурации поля) в точном резонансе 8 = 0. При этом оказалось, что существенную роль играет пространственная неоднородность времени запаздывания ос ( yS)_1. Физический механизм возникновения ориентационных составляющих (F.2) обсуждался выше, а их влияние на субдоплеровское охлаждение рассматривалось в работе [142]. Отметим здесь только один существенный момент. Компоненты А55 и 66, в отличии от всех остальных составляющих нулевого порядка по S, не обращаются в нуль в точках, где поляризация поля является круговой, т.е. эти компоненты могут играть доминирующую роль при условии пространственной локализации атомов вблизи таких точек.

Одним из наиболее простых конфигураций поля образованных встречными волнами равной интенсивности с эллиптическими поляризациями является стоячая волна. В таком поле вещественная амплитуда (1.3) является периодической функцией координаты E(z) = Е0 cos(kz), а вектор поляризации е является пространственно однородным. Параметр эллиптичности в этом поле є не зависит от координаты. Напомним, что є = 0 соответствует линейной, а є = ±7г/4 - круговой поляризации светового поля. Таким образом, в однородно поляризованном поле стоячей волны отличен от нуля лишь градиент Л, и соответственно в поле стоячей волны: g(1) = g(kz)ez Как было отмечено в разделе 2.7.4 сила, коэффициенты трения и диффузия в таком поле определяются вкладами /і, Хп и Т ц. Для атомов с оптическим переходом Jg = 0 — Je = 1 данные выражения в точности соответствуют результатам для простой двухуровневой модели атома [9], поэтому не представляют особого интереса для анализа в данном разделе. Однако для атомов с вырожденными по проекции углового момента энергетическими уровнями имеются отличия от результатов двухуровневой модели. Полученные аналитические выражения для кинетических коэффициентов, на примере атомов с оптическим переходом Jg = 1/2 — Je = 1/2, позволяют выяснить природу отличия кинетики от результатов простой двухуровневой модели. Впервые исследование кинетики атомов в квазиклассическом приближении для атомов с оптическим переходом Jg = 1/2 — Je = 1/2 в поле стоячей волны с однородной поляризацией было проведено автором в работе [136]. Отметим, что рассматриваемый оптически переход является модельным и описывает эффекты связанные с вырожденностью атомных уровней по проекции углового момента, возникающие при движении атомов в поле стоячей волны с однородной поляризацией. Здесь мы приведем основные результаты работы [136] для перехода Jg = 1/2 — Je = 1/2, а также для других оптических переходов в рамках численного анализа.

Кинетические коэффициенты для атомов с оптическим переходом Jg = 1/2 —) Je = 3/2 в бихроматическом поле

В данном разделе рассмотрим вопрос о возможностях локализации холодных атомов в минимумах оптического потенциала. Вопрос о локализации нейтральных атомов в узкие пространственные структуры световыми полями находит применение в задачах литографии атомных пучков с использованием световых полей в качестве нематериальных оптических масок [51, 52, 53].

В большинстве экспериментов атомные структуры были получены посредством далеко отстроенных от резонанса периодических недиссипативных оптических потенциалов. Данная схема имеет классический аналог, с тем лишь отличием, что материальный атомный пучок фокусируется на поверхность нематериальным массивом линз, созданным интенсивным световым полем. Влиянием спонтанной эмиссии на фокусировку атомного пучка в этих условиях можно пренебречь в связи с большой отстройкой частоты светового поля от атомного резонанса и малым временем взаимодействия атомов со светом. Траектория атомов изменяется под действием консервативной дипольной силы без диссипации энергии атомного пучка, и фокусировка атомов может быть описана по аналогии с классической оптикой [50]. Для недиссипативной оптической маски минимальный размер получаемых структур ограничен, в основном, хроматической аберрацией, вызванной разбросом поперечных скоростей атомов в пучке. Для уменьшения вредного влияния хроматической аберрации необходимо дополнительное световое поле, которое посредством лазерного охлаждения атомов в поперечном направлении обеспечивает предварительную коллимацию атомного пучка. Кроме того, имеют место эффекты сферической аберрации, приводящие к тому, что часть атомов недостаточно хорошо фокусируется, уменьшая контраст локализованных атомных структур. Эти факторы не позволяют достичь минимально возможного теоретического дифракционного предела определяемого длинной волны де Бройля, который для атомов в пучке может составлять несколько пикометров. Поэтому ведется интенсивный поиск новых альтернативных методов для атомной литографии.

Идея использовать комбинацию фокусировки и коллимации (за счёт лазерного охлаждения) атомного пучка для достижения узких пространственных структур при взаимодействии с сильным полем отстроенным от резонанса в синюю сторону была впервые предложена Казанцевым с соавторами (см. монографию [9] и приведённые там ссылки). Недавно эта идея получила дальнейшее развитие в работах [209, 210] в связи с возможными приложениями в атомной литографии. Здесь интенсивное поле, в основном, используется для фокусировки атомного пучка, посредством глубокого оптического потенциала. Дополнительно в таком поле возникает диссипативная добавка к силе (сила трения), охлаждающая атомы при положительной (синей) отстройке, что приводит к локализации атомов в минимумах оптического потенциала. Характерное время взаимодействия, на котором проявляются диссипативные процессы, составляет несколько обратных частот отдачи Шд (где hujR = і к2/2М является энергией отдачи, получаемой атомом с мас сой М в покое при излучении или поглощении фотона с импульсом Ь,к). Это время, для большинства атомов с оптическими переходами пригодными для лазерного охлаждения, составляет десятки микросекунд. Однако, для атомных пучков с тепловыми продольными скоростями достаточно сложно реализовать данный тип диссипативной оптической маски экспериментально из-за ограниченной мощности используемых лазеров.

В данном разделе рассмотрим альтернативный режим диссипативной световой маски, созданной неоднородно поляризованным полем с отрицательной (красной) отстройкой и малой интенсивностью. Хорошо известно, что в таких полях имеет место субдоплеровское охлаждение нейтральных атомов. Механизм данного типа лазерного охлаждения хорошо изучен и рассмотрен во множестве работ [102, 183, 169, 172], в основном по отношению к температуре атомного ансамбля и импульсному распределению атомов, а также к пространственной локализации [200, 201], которая измерялась косвенно спектроскопическими методами [202, 203]. Следует отметить, что в общем случае, условия для глубокого субдо-плеровского лазерного охлаждения не совпадают с условиями необходимыми для сильной пространственной локализации атомов. При этом, использование более глубоких оптических потенциалов для лазерного охлаждения, как правило, приводит к более высоким температурам атомного ансамбля.

Вследствие высокой сложности квантового кинетического уравнения для матрицы плотности атомов в световом поле, широкое распространение получило так называемое секу-лярное приближение [168, 169, 170, 171, 172], имеющее место в пределе (3.1). Как указывалось выше, приближение предполагает, что расстояние между энергетическими зонами в оптическом потенциале больше их ширины, обусловленной оптической накачкой и тун-нелированием. Световой сдвиг Щ определяет глубину оптического потенциала. При фиксированной глубине оптического потенциала, данное приближение справедливо в пределе больших отстроек. И наоборот, как легко заметить, при заданной отстройке оно нарушается в глубоком оптическом потенциале. Более того, даже при выполнении условия (3.1) секулярное приближение хорошо выполняется лишь для нижних колебательных уровней оптического потенциала и нарушается для более высоких, где разрешение между колебательными уровнями становится меньшим вследствие эффектов ангармонизма, и особенно для атомов совершающих надбарьерное движение.

В данном разделе будет рассмотрена возможность применения методов лазерного охлаждения нейтральных атомов в глубоком оптическом потенциале, созданном световым полем с неоднородной поляризацией с целью создания пространственно локализованных атомных структур с высоким контрастом для атомной литографии. Исследуются режимы для значительной локализации атомных пучков отличные от условий глубокого субдо-плеровского лазерного охлаждения. Для корректного описания пространственного распределения атомов, в том числе для корректного учёта атомов совершающих надбарьер-ное движение и дающих вклад в подложку, мы не ограничиваемся рамками секулярного приближения. На основе предложенного выше метода будет проведен численный анализ кинетического уравнения для атомной матрицы плотности, позволяющий точно учесть поступательное движение атомов и эффекты отдачи. Дополнительно будет проведен анализ важных для приложений в атомной литографии параметров: ширины и контраста локализованных атомных структур, достижимых при использовании предлагаемой дис-сипативной маски.