Введение к работе
Актуальность темы.
Понятие коммуникационных мод [Miller, 2000] широко изучается и применяется в оптике на протяжении нескольких последних десятилетий. С точки зрения математики коммуникационные моды представляют собой собственные функции некоторого оптического оператора распространения. В частности, коммуникационные моды в декартовой системе координат для финитного (ограниченного в пространстве) преобразования Фурье, которое оптически реализуется с помощью линзы с прямоугольной апертурой представляют собой вытянутые угловые сфероидальные функции. Эти функции хорошо известны и были изучены аналитически в 1960х годах [Slepian, 1961].
Система множества последовательно расположенных линз эквивалентна волокну с параболическим профилем показателя преломления. Однако базис сфероидальных функций не рассматривался применительно к таким волокнам. В данной работе первая глава посвящена данному исследованию, в котором рассчитываются оптические фильтры для формирования собственных мод. Для описания параболического волокна используется дробное преобразование Фурье (ДрПФ) [Namias, 1980]. ДрПФ – это семейство линейных преобразований, обобщающих преобразование Фурье. Обычная интерпретация преобразования Фурье – преобразование сигнала из временной области в его частотную область. Каноническое дробное преобразование Фурье рассмотрено как Фурье-преобразование -степени, где – действительное число. Таким образом, происходит преобразование сигнала между временной и частотной областями. Можно рассматривать дробное преобразование Фурье как операцию вращения частотно-временного распределения на некоторый угол [Abet, 1994].
Коммуникационные моды используются для анализа разрешения в оптических системах, в которых классические теории формирования изображений не могут быть применены, например, в ближней зоне оптических микроскопов или для фотонных структур нано-масштаба. Поля в таких системах содержат много затухающих волн и шума, которыми зачастую можно пренебречь в дальней зоне дифракции, но они имеют большое значение в ближней зоне, или, в общем случае, в системах с небольшим числом степеней свободы [Di Francia, 1969]. Допустимое разрешение в ближней зоне устройств обработки изображений зависит от уровня шума. Принято считать, что оптическое разрешение может быть расширено за границы классического предела, например, в ближнепольной оптической микроскопии (SNOM). Для демонстрации этого эффекта был произведён сингулярный анализ, в частности, с низким уровнем шумов и в системах с очень маленьким числом Шеннона [Bertero, 1982]. На практике встречается много разных типов шумов и даже для идеальных систем существует предел разрешения, определяемый квантовыми флуктуациями. Коммуникационные моды также используются для описания пространственного поведения распространения неклассического света [Kolobov, 2000].
Ещё одной привлекательной особенностью метода коммуникационных мод является то, что он упрощает дифракцию в свободном пространстве до обыкновенного математического умножения, тем самым делая его интересным инструментом для осуществления распространения волн и синтеза полей [Thaning, 2003]. Для реализации такого подхода используются оптические фильтры или дифракционные оптические элементы (ДОЭ) [Волков, 2003], которые играют важную роль в дифракционной оптике в наше время [Xie, 2018].
Двухлинзовые системы, ограниченные круговыми апертурами, могут служить приближением градиентного волокна. Современный уровень использования оптического волокна по временным и частотным характеристикам стремится к пределу пропускной способности. Одним из таких подходов является модовое мультиплексирование (mode division multiplexing – MDM), которое было представлено для оптических волноводов довольно давно [Berdague, 1982]. Эта технология включает себя передачу информации в различных поперечных модах на одном физическом носителе – оптическом волокне. Передаваемая информация может содержаться в модовой структуре и в энергетической составляющей, переносимой каждой модой в отдельности в лазерном пучке.
Преобразование Ханкеля порядка m может быть использовано для описания прохождения вихревого пучка порядка m через сферическую линзу. В реальности линзовые системы ограничены в пространстве, поэтому используются пространственно-ограниченные операторы распространения для описания результата прохождения оптического сигнала [Debnath, 2007]. В силу пространственных ограничений в объектной и спектральных областях идеальное изображение невозможно получить в двойных линзовых системах. Для того чтобы понять природу искажений оптического сигнала, можно аппроксимировать сигнал собственными функциями линзовой системы по аналогии с тем, как это делается сфероидальными функциями, и на основе этой аппроксимации рассчитать соответствующий фазовый ДОЭ.
В работе [Piche, 2012] с целью достижения сверхразрешения также были рассмотрены сфероидальные функции и обобщённые сфероидальные функции, однако вместо последних при расчёте были использованы полиномы Цернике. В отличие от базиса Цернике собственные моды не имеют аналитического представления и вычисляются как собственные функции оператора, связанного с некоторой оптической системой. Разложение по собственным модам системы позволяет оценить искажение передаваемого сигнала в целом, т.е. оценить качество передачи информации системой.
Теоретические и экспериментальные исследования в области оптических коммуникационных систем в свободном пространстве позволили достичь значительного успеха в области передачи данных – до 2,5 Гбит/с. Несмотря на множество проблем передачи данных в свободном пространстве (изменения температуры, дождь, облака, газы, аэрозоли), излучение света всё ещё остаётся исключительным быстрым и ёмким носителем информации. Поэтому большинство усилий сосредоточено на поиске возможностей для преодоления негативных эффектов турбулентной атмосферы [Majumdar, 2010]. На сегодняшний день были предложены различные методы: применение частично-когерентных пучков [Wang, 2015], лазерных пучков с особой пространственной структурой (вихревые, недифрагирующие, высокопорядковые моды) [Aksenov, 2012], векторные пучки с неоднородной поляризацией [Korotkova, 2014] и также несколько пучков, или массивы пучков [Cai, 2007].
Отметим, что особый интерес для мультиплексирования каналов передачи данных представляют вихревые пучки, которые обладают оптическим угловым моментом и бесконечным числом возможных квантовых состояний [Soskin, 2001]. Значительные успехи уже были достигнуты в применении метода канального мультиплексирования с помощью оптического углового момента как в волоконных телекоммуникационных системах [Bozinovic, 38], так и в свободном пространстве [Soifer, 2016].
Сопротивляемость вихревых пучков к турбулентностям атмосферы была отмечена в работе [Gbur, 2008], где установили, что ядро вихря может «блуждать» вне периметра апертуры детектора, но никогда не исчезает. Было показано, что вихревой пучок пятого порядка сохраняет устойчивость в турбулентной атмосфере на расстоянии больше, чем два километра, после чего разделяется на вихри первого порядка, которые рас-
пространяются более чем на 10 километров. В работе [Wang, 2009] теоретически и экспериментально изучалось, как вихревые пучки рассеивались в процессе распространения в турбулентной атмосфере. Было показано, что вихревые пучки меньше повреждаются турбулентностями в сравнении с невихревыми. Однако топологический заряд пучка случайным образом меняет своё значение при передаче в турбулентной атмосфере.
Результаты численного моделирования распространения пучков Гаусса-Лагерра с одной входной поперечной областью, но разным топологическим зарядом, показали [Banakh, 2016], что энергетическая плотность флуктуаций внутри этих пучков при одинаковой преломляющей силе турбулентности не зависит от значения топологического заряда в пределах точности расчётов.
В работе [Fu, 2016] численно были исследованы эффекты влияния турбулентностей атмосферы на спектры оптических угловым моментов (ОУМ) различных видов вихревых пучков, включая пучки Гаусса-Лагерра и пучки Бесселя. Результаты численного моделирования показали, что Бесселевы пучки больше страдают от турбулентной атмосферы, чем пучки Гаусса-Лагерра. Работы [Chen, 2012] и [Wang, 2016] представили экспериментальные результаты распространения пучков Гаусса-Лагерра через искусственно созданную рассеивающую среду. В первой из этих работ для достижения создания рассеивающей среды авторы использовали две вращающиеся фазовые пластины, в то время как во второй – ячейки с 1%-подвешенными полистирольными микросферами с максимальной толщиной слоя около 1 см.
Степень разработанности темы.
Изначально дробное преобразование Фурье рассматривалось в приложениях для квантовой механики. Однако в последнее время оно привлекло повышенное внимание исследователей в оптике, в результате чего были выполнены обширные исследования по его свойствам, оптической реализации и потенциальных приложениях в оптике. Таким образом, в настоящее время дробное преобразование Фурье активно используется при анализе в оптической обработке информации. Подробный обзор приложений можно найти в работе Т. Алиевой с соавторами [Alieva, 2005]. Одним из приложений дробного преобразования Фурье является описание распространения лазерного излучения в средах с градиентным показателем преломления [Ozaktas, 1993].
По мере разработки и более широком применении локальных сетей и оптических технологий свободного пространства, интерес к модовому мультиплексированию оптических каналов данных всё больше возрастал [Lyubopytov, 2017]. Более того, наибольший интерес представляет мультиплексирование, основанное на вихревых пучках, связанных с орбитальным угловым моментом [Allen, 1992]. Однако, известные моды Гаусса-Лагерра не могут рассматриваться как собственные функции поперечно ограниченного градиентного волокна. Поэтому для модового уплотнения каналов на основе орбитального углового момента в реальных (ограниченных) волокнах возникает необходимость расчета вихревых собственных функций.
В последнее время было проделано множество попыток по преодолению дифракционного предела, что могло бы обеспечить визуализацию элементов, размеры которых меньше половины длины волны. Существенных успехов удалось достичь в работе [Yan, 2014], где размеры изображающей области составили около 25нм.
В диссертации исследуется возможность преодоления дифракционного предела с помощью коммуникационных мод [Thaning, 2003]. Для описания распространения волны в ближней зоне дифракции рассматривается оператор распространения, основанный на разложении по плоским волнам и ограниченный как во входной, так и спектральной плоскостях. Расстояние распространения пучка является параметром оператора и существенно меняет набор собственных чисел и мод. Модули собственных чисел
определяют «выживаемость» соответствующей собственной моды на данном расстоянии. Таким образом, полученные расчеты позволяют выяснить зависимость количества степеней свободы от расстояния и потенциальные возможности сверхразрешения.
Основное внимание исследователей посвящено усредненным характеристикам случайных полей. Однако для детального исследования влияния случайных флуктуаций оптической среды на вихревые пучки желательно моделировать отдельные случаи из ансамбля реализаций. В диссертации рассматривается моделирование распространения лазерных вихревых пучков в случайной среде, основанном на расширенном принципе Гюйгенса-Френеля.
Цель диссертационной работы. Расчет оптических элементов для формирования лазерных полей, в том числе вихревых, согласованных с собственными модами пространственно-ограниченных оптических систем, включая линзовые системы, градиентные волноводы, свободное пространство в ближней зоне дифракции, а также случайные среды.
Задачи диссертационной работы.
-
Рассчитать собственные моды ограниченного параболического или линзового волновода, в соответствии с которыми разработать фильтры для формирования оптических сигналов, проходящих через ограниченные линзовые системы без искажений.
-
Получить явный вид оптического оператора для описания двухлинзовой системы, ограниченной круговыми апертурами на входе и в плоскости пространственного спектра. Рассчитать оптические элементы, согласованные с вихревыми собственными модами для формирования и анализа заданных сигналов.
-
Разработать параметрический метод расчета мод свободного пространства в ближней зоне дифракции при ограничении области пространственных частот. На основе рассчитанных собственных мод разработать оптические фильтры для формирования компактного распределения интенсивности на заданном расстоянии. Исследовать возможность преодоления дифракционного предела на расстоянии нескольких длин волн.
-
Исследовать зависимость сохранения свойств вихревых мод от порядка оптического вихря при распространении в случайной среде на основе расширенного принципа Гюйгенса-Френеля.
Научная новизна.
-
Предложен метод расчета собственных мод двухлинзовой оптической системы, ограниченной прямоугольными апертурами, основанный на применении дробного преобразования Фурье. Оптические фильтры, согласованные с рассчитанными собственными модами, формируют оптические сигналы, проходящие через ограниченные линзовые системы без искажений.
-
Аналитически получено ядро преобразования вихревых пучков при прохождении двухлинзовой системы, ограниченной круговыми апертурами на входе и в плоскости пространственного спектра. Для этой оптической системы разработаны оптические фильтры, позволяющие формировать и передавать с малыми искажениями аппроксимации заданных распределений по вихревым собственным модам.
-
Предложен параметрический метод расчета собственных мод свободного пространства в ближней зоне дифракции при ограничении области пространственных частот как в одномерном, так и радиальном случае. При этом расстояние распространения пучка (порядка нескольких длин волн) и область ограничения пространственных частот являются параметрами системы и существенно меняют набор собственных чисел и мод, определяя количество степеней свободы для аппроксимации заданного
поля. Показана возможность существенного преодоления дифракционного предела на расстоянии более десятка длин волн.
4. На основе расширенного принципа Гюйгенса-Френеля обнаружена способность самовосстановления вихревых мод невысоких порядков, искаженных случайной средой, при дальнейшем распространении в свободном пространстве.
Теоретическая значимость. Разработанные методы расчета собственных мод рассмотренных оптических систем позволяют определить число степеней свободы при передаче информации. Параметрический метод расчета мод свободного пространства, зависящий от размеров входной и спектральной областей, а также расстояния распространения и длины волны излучения является универальным с точки зрения его примения как в ближней зоне дифракции (или зоне затухающих волн), так и на значительно больших расстояниях. При оптической передаче информации в атмосфере существенное влияние оказывают случайные искажения. Вихревые оптические пучки демонстрируют определенную устойчивость к таким искажениям, а также тенденцию к восстановлению своей структуры после искажения.
Практическая значимость. В качестве возможных приложений рассчитанных оптических фильтров, согласованных с собственными модами ограниченных линзовых систем, можно рассматривать мультиплексор, который позволяет оптически формировать набор рассчитанных мод, в том числе в различных пространственно разделенных дифракционных порядках. Такой мультиплексор может быть использован как для формирования некоторой суперпозиции с заданными весами, так и для анализа (разложения) произвольного поля по собственным модам оптической системы. В первом случае возможно формирование различных сигналов, проходящих через систему с сохранением энергии. Во втором случае на выходе анализатора возможно детектирование собственных мод, присутствующих в анализируемом поле. Более того, так как все собственные моды ограничены в объектной и спектральной плоскостях, на выходе анализатора возможно компактное формирование картины разложения одновременно по нескольким собственным модам в различных дифракционных порядках.
При необходимости сфокусировать излучение в пятно, размер которого в несколько раз меньше дифракционного предела, задача конструктивно решается при участии затухающих волн. Однако при распространении на расстоянии больше длины волны вклад затухающих волн нивелируется, и сформировать такое пятно становится значительно сложнее. Собственные моды свободного пространства с ограниченным спектром позволяют получить локализованное распределение интенсивности меньше дифракционного предела на расстоянии нескольких длин волн за счет сложной структуры входного пучка, что может быть полезно для задачи сверхразрешения.
Методология и методы исследования. Аналитические и численные результаты получены на основе примения оптических операторов распространения с учетом их ограничения как в пространственной, так и в спектральной областях. После дискретизации операторов распространения решаются задачи линейной алгебры на собственные значения и векторы.
Достоверность полученных результатов. Достоверность полученных результатов подтверждается близостью результатов численного моделирования и аналитических оценок. Численный расчёт производился с помощью MATLAB на основе решения задач линейной алгебры на собственные значения и собственные векторы, которые аппроксимируют искомые собственные моды. Моделирование распространения производилось с использованием оптических операторов распространения. Восстановление мод Гаусса-Лагерра после прохождения случайной среды было подтверждено экспериментально.
Защищаемые положения:
1. Рассчитаны дифракционные оптические элементы, которые формируют
собственные моды пространственно-ограниченной двухлинзовой системы и ограни
ченного параболического волновода, а также сигналы, проходящие через линзовые
системы без искажений и полученные на основе аппроксимации по собственным мо
дам.
-
Рассчитаны дифракционные оптические элементы, формирующие вихревые собственные моды двухлинзовой системы, ограниченной круговыми апертурами как во входной области, так и в области пространственного спектра. Рассчитаны также оптические фильтры, генерирующие аппроксимацию по собственным модам различных сигналов, в том числе не обладающих радиальной или вихревой симметрией. Рассчитан оптический анализатор, согласованный с набором собственных мод системы.
-
Рассчитаны дифракционные оптические элементы, формирующие собственные моды свободного пространства в ближней зоне дифракции при ограничении входной области и области пространственного спектра. Расчет выполнен для одномерного и радиально-симметричного случая. Преодоление дифракционного предела может быть достигнуто на расстоянии менее длины волны с участием затухающих волн.
-
Продемонстрирована возможность самовосстановления вихревых мод Гаусса-Лагерра в свободном пространстве после искажения в среде со случайными изменениями показателя преломления.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 статьях в реферируемых отечественных и зарубежных журналах, рекомендованных ВАК, а также в материалах 5 научных конференций. Исследования по теме диссертации были поддержаны грантом РФФИ № 18-37-00056 мол_а.
Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертационную работу, представлялись на 5 конференциях:
-
IX Международная конференция молодых ученых и специалистов «Оптика -2015» (Университет ИТМО, 12 – 16 Октября 2015, Санкт-Петербург);
-
XXXVI Международная конференция «Progress In Electromagnetics Research Symposium (PIERS-2015)» (Чешский технический университет, 6 – 9 июля 2015, Прага, Чехия).
-
III Международная школа-конференция «Saint-Petersburg OPEN 2018» по Оптоэлектронике, Фотонике, Нано- и Нанобиотехнологиям (Академический университет, 28-30 марта 2016, Санкт-Петербург).
-
III Международная конференция и молодежная школа «Информационные технологии и нанотехнологии» (ИТНТ-2017) (Самарский университет, 25 – 27 апреля
2017, Самара).
5. IV Международная конференция и молодежная школа «Информационные
технологии и нанотехнологии» (ИТНТ-2018) (Самарский университет, 24 – 27 апреля
2018, Самара).
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (124 наименования). Работа изложена на 142 страницах, содержит 59 рисунков и 24 таблицы.