Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Литературный обзор 14
1.1 Структура и свойства углеродных нанотрубок 14
1.2 Предельно короткие оптические импульсы 22
1.3 Особенности распространения импульсов в брэгговских средах 26
ГЛАВА 2. Предельно короткие оптические импульсы в брэгговской среде с углеродными нанотрубками 31
2.1 Распространение предельно коротких импульсов в брэгговской среде 32
2.2 Столкновения предельно коротких оптических импульсов в брэгговской среде 39
2.3 Столкновения предельно коротких оптических импульсов в брэгговской среде во внешнем магнитном поле 46
2.4 Столкновения предельно коротких оптических импульсов в брэгговской среде во внешнем электрическом поле 51
2.5 Выводы к главе 2 54
ГЛАВА 3. Предельно короткие оптические импульсы в брэгговской среде с углеродными нанотрубками во внешних электрическом и магнитном полях 56
3.1 Влияние внешнего магнитного поля на распространение предельно коротких оптических импульсов в брэгговской среде 57
3.2 Влияние внешнего электрического поля на распространение предельно коротких оптических импульсов в брэгговской среде 63
3.3 Выводы к главе 3 67
ГЛАВА 4. Дискретные солитоны и двумерные световые пули в брэгговской среде 69
4.1 Распространение дискретных солитонов в брэгговской среде 71
4.2 Распространение двумерных световых пуль в брэгговской среде 79
4.3 Выводы к главе 4 84
ГЛАВА 5. Двумерные световые пули в среде с поперечномодулированным показателем преломления 85
5.1 Двумерные световые пули в брэгговской среде с поперечной модуляцией показателя преломления 85
5.2 Двумерные световые пули в брэгговской среде с гармонической модуляцией показателя преломления 89
5.3 Выводы к главе 5 93
Заключение 94
Литература
- Предельно короткие оптические импульсы
- Столкновения предельно коротких оптических импульсов в брэгговской среде во внешнем магнитном поле
- Влияние внешнего электрического поля на распространение предельно коротких оптических импульсов в брэгговской среде
- Распространение двумерных световых пуль в брэгговской среде
Введение к работе
Актуальность проблемы. Основным направлением развития физики в XXI веке, является физика полупроводниковых низкоразмерных, в том числе, наноразмерных структур. В подобных структурах движение элементарных частиц ограничено в двух или менее измерениях, таким образом происходит размерное квантование, в следствии чего, возникает целый ряд уникальных физико-химических явлений. Таким образом развитие физики наноструктур является следующим логическим шагом развития наукоемкого производства.
Особое место в этих исследованиях занимают наноструктуры на основе углерода. Одним из основных достоинств углеродных наноструктур является то, что меняя размеры и геометрию таких объектов появляется возможность управлять проводящими свойствами системы [1, 2], а также ее оптическими свойствами, что крайне важно для создания перспективных оптических приложений.
В последнее время все чаще научные группы привлекает исследование распространения импульсов различной длительности в искусственно смоделированных средах, например в фотонных кристаллах, брэгговских решетках [3], оптически левых средах и т.д.
Наноструктуры на основе углерода, в том числе углеродные нанотрубки, графен, и т.д., являются подходящей средой для распространения предельно коротких оптических импульсов [4-8]. Так было рассмотрено распространение предельно коротких импульсов в системе нанотрубок в присутствии внешнего магнитного поля и столкновение импульсов в массиве полупроводниковых нанотрубок. Также интерес вызывает распространение дискретных солитонов в волноводных структурах на основе чистых и примесных графена и углеродных нанотрубок.
В настоящей работе рассмотрены так называемые Брэгговские (щелевые) солитоны [9-11]. Ввиду того, что среда имеет периодически переменный показатель преломления световой импульс распространяется в ней медленнее, чем в среде с любым фиксированным показателем преломления. Это дает возможность строить на основе таких сред оптические линии задержки, которые находят важное применение, например, в фемтосекундной спектроскопии.
Целью работы является исследование возможности существования и особенностей динамики световых пуль в брэгговской среде из углеродных
нанотрубок. Достижение поставленной цели предусматривает решение следующих задач:
-
Разработка моделей углеродных структур для исследования распространения предельно короткого оптического импульса в брэгговской среде с углеродными нанотрубками.
-
Изучение распространения предельно короткого оптического импульса во внешнем магнитном и электрическом поле в брэгговской среде с углеродными нанотрубками.
-
Исследование влияния брэгговской решетки на взаимодействие двух предельно коротких оптических импульсов при столкновении.
-
Изучение распространения двумерных предельно коротких импульсов (световых пуль) в брэгговской среде с углеродными нанотрубками.
Научная новизна. В настоящей диссертации впервые получены следующие результаты:
-
Получено эффективное уравнение для динамики предельно коротких оптических импульсов, в случае, пространственно модулированного показателя преломления среды, в которую помещены углеродные нанотрубки.
-
Продемонстрирован эффект восстановления формы импульса в присутствии внешнего электрического поля и ее искажения в присутствии магнитного поля.
-
Установлена возможность распространения дискретного солитона в брэгговской среде и управления формой предельно короткого импульса.
-
Обнаружено устойчивое распространение двумерных предельно коротких импульсов в брэгговской среде и подтверждено, что они несут в себе информацию о среде.
Методы исследований и достоверность результатов. Достоверность основных положений и выводов диссертации обеспечивается использованием строгого математического аппарата теоретической физики, тщательным анализом физических принципов и построенных моделей, тестированием общих алгоритмов по результатам, полученных для частных случаев, совпадением результатов, полученных разными методами, качественным и количественным сравнением с существующими экспериментальными данными, сравнением с уже проанализированными и обоснованными результатами и выводами.
Научная и практическая ценность работы. В диссертационной работе
исследованы процессы распространения предельно коротких оптических импульсов в среде с пространственно модулированным показателем преломления на основе углеродных нанотрубок, которые интересны не только с фундаментальной точки зрения, но и с точки зрения возможных приложений. Установлены возможности распространения брэгговский (щелевых) солитонов, дискретных солитонов, а также двумерных световых пуль в брэгговской решетке с углеродными нанотрубками. Полученные результаты открывают новые перспективные возможности создания оптических сред, при помощи которых можно обрабатывать и управлять оптическими сигналами, оптических линий задержки, которые находят важное применение в фемтосекундной микроскопии и т.д., также полученные результаты могут быть использованы для моделирования волноводов на основе углеродных нанотрубок.
На защиту выносятся следующие положения:
-
Распространение предельно короткого оптического импульса устойчиво в брэгговской среде с углеродными нанотрубками. Предельно короткие оптические импульсы сталкиваются упруго при скоростях близких к скорости света в среде.
-
При воздействии постоянного электрического поля сужение импульса слабо зависит от типа углеродной нанотрубки и определяется величиной внешнего постоянного электрического поля.
-
Двумерные предельно короткие оптические импульсы (световые пули) устойчиво распространяются в брэгговской среде и несут информацию о ней.
Апробация результатов. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на различных конференциях и семинарах среди которых: 14ая Всероссийская школа семинар «Волновые явления в неоднородных средах» памяти профессора А.П. Сухорукова (Московская обл., дер. Красновидово, 26-31 мая 2014 г.); Международная конференция Imaginenano: Bringing together Nanoscience&Nanotechnology (Bilbao, Spain, 10-13 March 2015), XXVII Симпозиум «Современная химическая физика» (г. Туапсе, пансионат «Маяк», 20 сентября – 1 октября, 2015); XII International Workshop on Quantum Optics (IWQO-2015) (Moscow, Troitsk, Russia, 11-16 August 2015); а также на конференциях и научных семинарах ФГБОУ ВО «Волгоградский государственный университет».
Личный вклад автора. Содержание диссертации отражает личный вклад автора в опубликованные работы. Постановка задачи, выбор направления и
методов исследований осуществлялась автором совместно с научным руководителем. Основная часть теоретических расчетов выполнена непосредственно автором, а анализ и интерпретация результатов расчетов проведен совместно с научным руководителем д.ф.-м.н. М.Б. Белоненко.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 138 наименований, содержит 111 страниц текста, 40 рисунков.
Предельно короткие оптические импульсы
Нанотрубки представляют собой свернутый в цилиндр плоский лист графена. Полученный цилиндр определяется диаметром (dt) и типом упорядочения гегсагонов (хиральным углом 0). Примитивная ячейка графенового слоя содержит в себе 2 углеродных атома, трансляцией (основной вектор трансляции Т) которых в различных направлениях можно получить всю плоскость графита. По аналогии для построения элементарных ячеек УНТ выбирают базисные вектора a 1и a2 гексагональной решетки (рис. 1.2). Поэтому углеродные нанотрубки могут быть описаны с помощью хирального вектора Сh по формуле разложения по базисным векторам: Ch —a1 +тa2 (1 1) Вектор Сh связывает два кристаллографически эквивалентных состояния О и А на двумерной графеновой плоскости, в которых располагаются углеродные атомы. На рисунке 1.2 показан хиральный угол нанотрубки типа «zig-zag» (0 = 0) и единичные векторы aіи a2 гексагональной решетки. УНТ «arm-chair» соответствует угол 0 = 30. Набор возможных хиральных векторов задается уравнением (1.1). Различия в диаметре нанотрубки и хиральном угле 0 приводят к различиям в свойствах углеродных нанотрубок [3-11, 79-84]
Основные параметры решетки нанотубуленов: А= Ch=nai+ma2 хиральный вектор, определенный единичными векторами aіи a2;0 - хиральный угол; OB =T - вектор решетки одномерной элементарной ячейки; Р - угол вращения; т- вектор трансляции, задающий операцию симметрии (\i)
Существует и другой способ обозначения типов нанотрубок. Пара символов (n, m) из уравнения (1.1) определяет различный способ свертывания графитовой плоскости в углеродную нанотрубку. Таким образом, эти два числа указывают координаты шестиугольника, который в результате сворачивания плоскости совпадет с шестиугольником, находящемся в начале координат. Обозначение (n, m) используется для точного определения хирального вектора Сhв формуле (1.1), данная символика относится к нанотрубкам с хиральной симметрией (0 30). Ахиральным трубкам соответствуют направления сворачивания графитового слоя без искажения гексагонов, так нанотрубки типа «arm-chair» обозначаются как (n, n), а «zig zag» - (n, 0). Причем, чем больше величина n, тем больше диаметр нанотрубки. Плоскость зеркальной симметрии ахиральных Унт перпендикулярна их оси, а сами нанотрубки обладают исключительно высокой симметрией. Зонное построение можно начать с простейшей формы двумерного дисперсионного соотношения, которое в Хюккелевском подходе имеет вид:
Совокупность одномерных энергетических дисперсионных соотношений для углеродных нанотрубок получается из уравнения (1.2) с учетом малого числа разрешенных волновых векторов, которые соответствуют трансляционной симметрии относительно движения вдоль окружности [3-11, 79-84].
Количество разрешенных волновых векторов kx,q в направлении окружности определяется соответствующими периодическими граничными условиями, которые позволяют получить собственные значения энергии нанотрубки «arm-chair» (Nx, Nx): NxV3akx q q27T q =l, ... , NX (1.3) Как следует из (1.2), для графита зона проводимости и валентная зона вырождены в точке К зоны Бриллюэна (рис. 1.3 а). Поэтому нанотрубки с ансамблем волновых векторов, включающих точку К, должны проявлять металлическую проводимость. Для (n, n) труб, как видно из рисунка 1.3 а, всегда будет существовать один набор разрешенных векторов, проходящих через точку К благодаря ориентации зоны Бриллюэна. Поэтому все (n, n) трубки являются металлическими. Металлическая проводимость проявляется даже в случае небольшого отклонения волнового вектора, соответствующего энергии Ферми, от идеальной точки К под действием кривизны трубки.
Дисперсионные соотношения Е;(к) для нанотрубки (5, 5) изображены на рисунке 1.4а. Ветви А являются невырожденными, а ветви Е двукратно вырождены, таким образом общее число валентных ветвей равно 10. Необходимо отметить, что ветви валентной зоны и зоны проводимости соприкасаются в точке к=-2/(3а). Как показывают вычисления, все «кресельные» нанотрубки имеют подобную зонную структуру [3-11, 79-84]. Для всех «arm-chair» нанотрубок анализ энергетических зон показывает вырождение на границе при к -п/а, так что уравнение (1.4) принимает следующий вид независимо от NXи зонного строения: Eg (kx,7i/a) = ±y0 42D (1.5) Так, для нанотрубки (5,5) получено шесть дисперсионных соотношений для зоны проводимости и шесть - для валентной зоны. Из-за наличия точки вырождения между зоной проводимости и валентной зоной нанотрубка (5, 5) будет обладать металлической проводимостью при конечных температурах. Таким образом, согласно описываемым расчетам, УНТ (5,5) является полупроводником с нулевой щелью, подобно двумерному слою графена [16].
Столкновения предельно коротких оптических импульсов в брэгговской среде во внешнем магнитном поле
Отметим, что решетка, как и следовало ожидать, приводит к искажению формы импульса вследствие интерференции волн, которые испытывают частичное "отражение". С этой же интерференцией связано и замедление бегущего импульса.
Результаты численного моделирования в зависимости от периода решетки % представлены на рисунке 2.3. Как и следовало ожидать, при увеличении периода решетки предельно короткий импульс распространяется быстрее. Очевидно, что при бесконечном периоде решетки, вследствие отсутствия процессов интерференции, импульс будет распространяться с максимальной скоростью. Это и было подтверждено в результате численных расчетов. Также отметим и существенное искажение формы импульсов. Рисунок 2.3. Эволюция формы импульсов с разными периодами =2.5 мкм (1), 2 (2), 3 % (3) при распространении в системе УНТ, в фиксированный момент времени. По оси абсцисс отложено время в отн.ед. , по оси ординат амплитуда в отн.ед.
Как можно заметить увеличение глубины модуляции а приводит к замедлению импульса (по причинам описанным выше) и также приводит к изменению его формы вследствие сильной интерференции. Особенно сильны изменения на фронте импульса и его асимптотике, что обусловлено, на наш взгляд, процессами отражения от решетки и дальнейшей интерференцией. Полученные результаты, также могут помочь предсказать величину уширения импульса при его замедлении при помощи брэгговских решеток в средах содержащих углеродные нанотрубки. 2.2 Столкновение предельно коротких оптических импульсов в брэгговской среде
Следует отметить, что подробный вывод уравнений описывающих динамику распространения предельно коротких оптических импульсов представлен в пункте 2.1.
Далее с помощью численного моделирования рассматривалось столкновение двух предельно коротких импульсов в случае различных групповых скоростей, а также амплитуд импульсов. Влияние отсутствия и наличия брэгговской решетки на столкновение импульсов, с различными параметрами решетки.
Столкновение двух импульсов в присутствии брэгговской решетки с глубиной модуляции показателя преломления =0.25 и периодом =2.5 мкм: амплитуды импульсов А1=А2=8 отн.ед., групповые скорости:а) u1=-u2=0.95c, б)u1=-u2=0.85c, в)u1=-u2=0.75c. По оси абсцисс отложена координата (10-7 м), по оси ординат – безразмерное время. Следует отметить, что с увеличением скорости, уменьшается величина пространственной локализации оптических импульсов, а также время столкновения импульсов, это приводит к тому, что импульсы сталкиваются упругим образом, хотя и с значительным изменением формы вследствии взаимодействия с брэгговской решеткой.
Столкновение двух импульсов в присутствии брэгговской решетки с различными амплитудами А1=А2=9 отн.ед. (а), А1=А2=8 отн.ед. (б), А1=А2=7 отн.ед. (в), групповые скорости u1=u2=0.95c. По оси абсцисс отложена координата (10-7 м), по оси ординат – безразмерное время. Подобное поведение импульсов имеет достаточно простую физическую интерпретацию. С повышением скорости, уменьшается как величина пространственной локализации уединенного импульса, так и время, за которое один импульс «проходит» через другой. Все это приводит к тому, что эффекты, связанные с нелинейным взаимодействием импульсов не успевают развиться и столкновение происходит «упругим» образом (т.е. без образования за импульсами хвостов). Отметим, что несимметричность рисунков связана с взаимодействием импульсов с границей области и отражением части импульса (для случая малых скоростей) от нее, а также с взаимодействием импульса и брэгговской решетки.
Результаты для типичных картин столкновений предельно коротких оптических импульсов в присутствии постоянного магнитного поля показаны на рисунка 2.10 – 2.12. Рисунок 2.10. Столкновение двух импульсов в присутствии брэгговской решетки во внешнем магнитном поле. Амплитуда импульсов А1=А2=9 отн.ед., групповые скорости u1=u2=0.95c. По оси абсцисс отложена координата (10-7 м), по оси ординат – безразмерное время. а)
Отметим, что влияние магнитного поля сводится к изменению формы предельно короткого оптического импульса вследствие изменения закона дисперсии. Магнитное поле, приложенное параллельно оси углеродной нанотрубки, изменяет закон дисперсии, что соответственно влияет на характер «развала» предельно короткого импульса и соответственно изменяет его форму. Также отметим, что предельно короткий импульс разделяется на несколько импульсов, и импульсы имеют существенно разную амплитуду. 2.4 Столкновения предельно коротких оптических импульсов в брэгговской среде во внешнем электрическом поле Рассмотрим влияние приложенных внешних электрических полей на динамику импульсов переменного поля. Картина столкновения импульсов в случае приложенного внешнего постоянного электрического поля представлена на рисунках 2.13 – 2.14. а)
Влияние внешнего электрического поля на распространение предельно коротких оптических импульсов в брэгговской среде
В настоящее время наблюдается повышенный интерес к нелинейному распространению света в дискретных волноводных структурах. Это связано как с возможностями практического использования нелинейно-оптических эффектов, так и с тем, что распространения световых пучков в таких структурах аналогично движению электрона в кристаллической решетке. В данном случае можно также выделить наличие запрещенных и разрешенных зон, а также то, что импульс двигается с другой групповой скоростью гораздо меньшей скорости света в вакууме. Аналогичные физические явления, приводящие к таким эффектам, наблюдаются и в других системах, например, в полупроводниковых сверхрешетках, биологических молекулярных структурах, конденсате Бозе-Эйнштейна с периодическим потенциалом и др.[128]. Впервые теоретическое обоснование возможности нелинейной локализации света в периодических структурах связанных оптических волноводов было дано в работе [129], опубликованной в 1988 г. Но экспериментальное подтверждение существования таких пространственно локализованных состояний, называемых также дискретными солитонами, удалось получить лишь десять лет спустя [130] в волноводных решетках на основе арсенида галлия (GaAs), обладающего положительной керровской нелинейностью. С этого момента изучение эффектов взаимодействия световых пучков в нелинейных периодических структурах получило широкое распространение. Существенное значение при этом имеет выбор нелинейности, которая должна быть связана со свойствами материалов и допускать, по меньшей мере теоретически, возможность существования дискретных солитонов. Как известно, световые пули представляют собой прежде всего локализованные в пространстве импульсы электрического поля, вся энергия которых сосредоточена в конечной ограниченной области пространства. Можно сказать, что световые пули есть естественное обобщение хорошо известных одномерных электромагнитных солитонов [17, 131] на случай пространства большей размерности. Вместе с тем, для интересного в приложениях, случая предельно коротких импульсов, определяющим является то, что нельзя произвести разбиение формы электромагнитного импульса на огибающую и несущую части. Это приводит к тому, что уравнения Максвелла нельзя решать хорошо зарекомендовавшим себя методом многомасштабных разложений и необходимо решать их без отбрасывания каких-либо производных [132, 133]. Отметим, что в случае среды, которая характеризуется дисперсией, возникновение решений с локализованной энергией даже в одномерном случае требует учета нелинейности.
Широко используемые в приложениях [84] углеродные нанотрубки (УНТ) обладают ярко выраженными нелинейными свойствами и могут быть использованы в качестве среды, в которой происходит образование световых пуль. Такие расчеты были проделаны для одно- двух и трехмерных случаев [134 – 137] и было установлено, что в среде с УНТ возможно устойчивое распространение световых пуль. Вместе с тем, опять исходя из практических соображений проведенное рассмотрение имеет одно существенное ограничение: скорость распространения световых пуль определяется только показателем преломления среды, в которой они распространяются и не может быть изменена в достаточно широких пределах. Выход из такого положения известен: надо дополнительно промодулировать тем или иным способом показатель преломления среды, образовав т.н. брэгговскую решетку (или среду). В этом случае, скорость распространения волнового пакета, вследствие его частичного отражения и дальнейшей интерференции, будет определяться как периодом, так и глубиной модуляции показателя преломления. В этом случае становится теоретически возможно управлять скоростью световых пуль в такой среде. Практически, модуляция показателя преломления возможна при помощи внешнего постоянного поля для среды, обладающей эффектом Керра или Фарадея, и в которую помещены УНТ. Отметим, что простые соображения, приведенные в [135] относительно существования световых пуль, в данном случае не проходят, ввиду того, что отсутствует трансляционная инвариантность. Также совершенно неочевидно, что дополнительная дисперсия, вносимая брэгговской средой не приведет к развалу или коллапсу световой пули.
Распространение двумерных световых пуль в брэгговской среде
Как видно из эволюции распространения двумерных предельно коротких оптических импульсов (рис. 5.1 – 5.3), световая пуля несколько изменяет свою конфигурацию и имеет место эффект расплывания формы с течением времени, вследствие дисперсионных эффектов. Отметим, что, как и ожидалось, вследствие модуляции показателя преломления в поперечном к оси распространения направлению удалось снизить расплывание в данном направлении вследствие дисперсии. Решение для двумерной световой пули в брэгговской среде с поперечной модуляцией остается локализованным, однако изменяет пространственную структуру, вследствие поперечной дисперсии. Совместное действие эффектов расплывания импульса вследствие дисперсии и нелинейности приводят к образованию многопичковой поперечной структуры, которая тем не менее остается локализованной в ограниченной пространственной области.
Таким образом, возможно устойчивое распространение двумерных световых пуль не только в среде УНТ [134], но и в среде УНТ с периодически меняющимся показателем преломления. Отметим, что с практической точки зрения данный результат важен тем, что позволяет управлять скоростью световых пуль изменяя параметры брэгговской среды. Вместе с тем, распространение световых пуль в брэгговской среде имеет и ряд важных отличий от случая среды с постоянным показателем преломления. Пожалуй, самое важное отличие состоит в том, что световые пули в брэгговской среде имеют более сложную поперечную структуру, которая, на наш взгляд связана с возбуждением внутренних мод колебаний световой пули при взаимодействии с неоднородностью показателя преломления среды. Ранее такой эффект уже наблюдался при решении задачи о взаимодействии предельно короткого импульса с металлической неоднородностью в среде УНТ [138].
Двумерные световые пули в брэгговской среде с гармонической модуляцией показателя преломления В данном пункте представлены результаты расчетов распространения двумерных световых пуль в среде с поперечной гармонической модуляцией показателя преломления. Показатель преломления среды при этом моделировался как: n n0i+ cos 7Vc/zjm((y-y0)2A2) Как показали результаты численных расчетов распространение световой пули является устойчивым и получившиеся эволюция представлена на рисунке 5.4. Рисунок 5.4. Распространение световой пули в брэгговской среде с гармонической модуляцией (период решетки = 2.5 мкм) с углеродными нанотрубками в фиксированный момент времени а) Т = 2.5 пкс, б) 2Т, в) 3Т, г) 4Т. По осям отложены относительные единицы координат и электрического поля.
Как видно из полученных зависимостей световая пуля в брэгговской среде с гармонической модуляцией показателя преломления не испытывает уширения, но возникают электрические колебания в среде после ее прохождения. Мы связываем это с отсутствием баланса между дисперсией среды и нелинейностью среды (в противоположность случаю солитонов) благодаря чему форма световой пули изменяется. Отметим также, что несмотря на изменение формы энергия световой пули остается сосредоточенной в ограниченной области.
При изменении периода брэгговской решетки в два раза характер распространения световой пули существенно не меняется, что и отражено на рисунке 5.5.
Аналогичное поведение наблюдается и при дальнейшем увеличении периода брэгговской решетки. Рисунок 5.6. Распространение световой пули в брэгговской среде с гармонической модуляцией (период решетки 4 = 10 мкм) с углеродными нанотрубками в фиксированный момент времени а) Т = 2.5 пкс, б) 2Т, в) 3Т, г) 4Т. По осям отложены единицы координат и электрического поля.
Как видно из эволюции распространения двумерных предельно коротких оптических импульсов (рис. 5.4 – 5.6), световая пуля несколько изменяет свою конфигурацию и имеет место эффект расплывания формы с течением времени, вследствие дисперсионных эффектов. Отметим, что, как и ожидалось, вследствие модуляции показателя преломления в поперечном к оси распространения направлению удалось снизить расплывание в данном направлении вследствие дисперсии. Решение для двумерной световой пули в брэгговской среде с гармонической модуляцией остается локализованным, однако изменяет пространственную структуру, вследствие поперечной дисперсии. Совместное действие эффектов расплывания импульса вследствие дисперсии и нелинейности приводят к образованию многопичковой поперечной структуры, которая тем не менее остается локализованной в ограниченной пространственной области.