Содержание к диссертации
Введение
1 Магнитогиротропные слоистые периодические структуры магнитофотонные кристаллы 11
1.1 Свойства и классификация магнитофотонных кристаллов 11
1.1.1 Высокочастотные свойства магнитофотонных кристаллов 14
1.1.2 Свойства магнитофотонных кристаллов в ближнем инфракрасном и оптическом диапазонах 17
1.1.3 Эффекты запрещенных зон в магнитных жидкостях и магнитных коллоидах 21
1.1.4 Магнитные пленки с доменной структурой в качестве фотонных кристаллов 24
1.1.5 Нелинейные магнитооптические эффекты в магнитофотонных кристаллах 27
1.2 Классификация магнитооптических эффектов 30
1.2.1 Эффекты на прохождение электромагнитных волн 30
1.2.2 Эффекты на отражение электромагнитных волн 32
1.3 Матричные методы исследования периодических слоистых структур 33
1.3.1 Формализм матриц 2x2 для многослойных систем 35
1.3.2 Метод матриц 2x2, коэффициенты отражения и прохождения 37
1.3.3 Формализм матриц 4x4 для многослойных систем 38
1.3.4 Метод матриц 4 х 4, коэффициенты отражения и прохождения 41
2 Дисперсия объемных и поверхностных волн в мелкослоистой периодической структуре феррит-полупроводник 43
2.1 Материальные и эффективные параметры среды 44
2.1.1 Компоненты тензора магнитной проницаемости для среды, обладающей магнитной гиротропией 45
2.1.2 Эффективные материальные параметры бигиротропной среды (вектор намагниченности параллелен границам раздела слоев) 47
2.1.3 Эффективные материальные параметры бигиротропной среды (вектор намагниченности перпендикулярен границам раздела слоев) 52
2.2 Объёмные и поверхностные волны в структуре, намагниченной параллелено границам раздела слоев 54
2.2.1 Волны в эффективной среде 54
2.2.2 Поверхностные волны на границе эффективной среды и вакуума 64
2.2.3 Волны в эффективной среде. Оптический диапазон 67
2.3 Собственные волны в структуре, намагниченной перпендикулярно границам раздела слоев 71
2.3.1 Нормальные моды 73
2.3.2 Поверхностные волны 74
2.3.3 Волны в эффективной среде. Оптический диапазон 77
3 Селективные и волноводные свойства доменных структур с бинарным распределением намагниченности (оптический диапазон) 80
3.1 Фотонный спектр плоскослоистых доменных структур 81
3.1.1 Волноводное распространение 81
3.1.2 Передаточная матрица одного периода 83
3.1.3 Предел мелкослоистости 84
3.1.4 Численный анализ дисперсионного соотношения 86
3.2 Фотониокристаллические свойства полосовой доменной структуры с бинарным распределением намагниченности (высокочастотный диапазон) 89
3.2.1 Волноводное распространение 89
3.2.2 Выражение для матрицы перехода одного периода 92
3.2.3 Мелкослоистая среда 93
3.2.4 Численный анализ дисперсионного соотношения 94
3.2.5 Магнитофотонный спектр одномерной ПДС с дефектом . 99
4 Магнитооптические свойства плоскослоистой структуры магнетик-диэлектрик 103
4.1 Фотониокристаллические свойства одномерной продольно на-, магниченной периодической структуры (высокочастотный диапазон) 103
4.1.1 Основные соотношения 104
4.1.2 Матрицы преобразования и дисперсионные соотношения. 106
4.1.3 Коэффициенты отражения и прохождения 110
4.1.4 Поляризационные эффекты (полярный эффект Керра). 116
4.2 Метод конечных разностей во временной области - КРВО (FDTD) 117
4.2.1 Ячейка Йе 120
4.2.2 Схема КРВО 122
4.2.3 Метод КРВО и стабильность 124
4.2.4 Граничные условия 127
4.2.5 Источники волн 136
4.2.6 Вычисление спектров 143
4.3 Оптические свойства слоисто-периодической структуры магнетик-диэлектрик 146
4.3.1 Собственные ТМ волны в; оптическом диапазоне (поперечно намагниченная периодическая структура) 146
4.3.2 Коэффициенты отражения и прохождения. Экваториальный эффект Керра 150
4.3.3 Классификация дефектов, наблюдаемых в слоистых периодических структурах 153
4.3.4 Собственные циркулярные волны в оптическом диапазоне (продольно намагниченная периодическая структура) 162
Заключение 169
Библиографический список 173
Приложение 187
- Классификация магнитооптических эффектов
- Эффективные материальные параметры бигиротропной среды (вектор намагниченности перпендикулярен границам раздела слоев)
- Фотониокристаллические свойства полосовой доменной структуры с бинарным распределением намагниченности (высокочастотный диапазон)
- Метод конечных разностей во временной области - КРВО (FDTD)
Введение к работе
Актуальность темы. Слоистые периодические структуры (СПС), составленные путём чередования магнитных и немагнитных материалов и для которых период модуляции сравним с длиной волны используемого электромагнитного излучения, получили название магнитных фотонных кристаллов
М-
Физические свойства таких искусственных структур в ряде случаев не
имеют аналогов среди обычных кристаллов. Особенности зонной структуры их спектра ш(к): волноводные и резонансные свойства представляют значительный интерес для разработчиков компактных твердотельных приборов сантиметрового, миллиметрового и оптического диапазонов.
Несмотря на достигнутый в последние годы прогресс в технологии тонкопленочных структур с заданными свойствами, их получение является непростой технологической задачей. Бурное развитие быстродействующей вычислительной техники создаёт широкие возможности проведения моделирования и компьютерных экспериментов по изучению физических свойств СПС. Поэтому теоретический анализ и компьютерное моделирование волновых процессов помогает выявить и объяснить многие особенности распространения волн в СПС, наблюдаемые в эксперименте.
Особенности динамики намагниченности магнитоупорядоченных кристаллов в переменном магнитном поле [2] и широкое их использование в оптическом и ПК диапазонах явилось мощным стимулом для исследования высокочастотных и оптических свойств СПС на их основе. Для многих практических применений важной задачей является прогнозируемая перестройка фотонного спектра, которая, в первую очередь, может быть обеспечена правильным выбором создаваемого в структуре дефекта. В связи с этим, исследования особенностей взаимодействия электромагнитного излучения с бездефектными и содержащими дефекты СПС является важной и актуальной задачей.
Целью работы является исследование особенностей распространения собственных электромагнитных волн в магнито- и бигиротропных СПС, находящихся в постоянном магнитном поле. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
определение в приближении мелкослоистости эффективных тензорных диэлектрической и магнитной проницаемости СПС, обладающей магнитной и электрической гиротропией;
нахождение в приближении мелкослоистости дисперсионных уравнений для собственных волн в СПС и исследование на их основе волновых свойств периодической структуры для различных направлений распространения волны и приложенного магнитного поля по отношению к оси периодичности;
определение для бездефектных СПС различного типа магнитофотонного зонного спектра, определение коэффициентов отражения и прохождения для структур, содержащих конечное число периодов;
определение магнитооптических характеристик отраженного и прошедшего через СПС излучения в отсутствие и при наличии дефектов структуры.
Научная новизна работы состоит в следующем:
показано, что СПС, составленная из чередующихся слоев магнетика и полупроводника, представляет собой двуосный бигиротропный кристалл, в котором магнитная гиротропия связана с тензорным характером магнитной проницаемости магнитных слоев, а электрическая гиротропия - с тензорным характером диэлектрической проницаемости полупроводниковых слоев; подобный тип гиротропии исследуемых структур позволяет управлять внешним магнитным полем эффективными параметрами собственных ЭМВ различной поляризации в неперекрывающихся частотных диапазонах,
в приближении мелкослоистой среды (L << А) получены тензоры эффективных ДП и МП для различных ориентации подмагничивающего поля относительно оси периодичности структуры; установлены характерные частоты и построены дисперсионные зависимости, определяющие особенности распространения объемных и поверхностных волн в намагниченной СПС;
получены конфигурации разрешенных и запрещенных зон в магнитофо-тонном спектре СПС брэгговского типа (L ~ А); найдены коэффициенты
отражения для намагниченной вдоль оси периодичности СПС, содержащей бесконечное число периодов; показана возможность управления шириной разрешенных и запрещенных зон и, следовательно, отражательной способностью среды с помощью подмагничивающего поля;
дана классификация одиночных дефектов в СПС и показана возможность управления положением дефектных уровней в запрещенной зоне за счет изменения типа дефекта и его расположения в структуре; получены выражения для коэффициентов отражения и прохождения СПС, содержащей конечное число периодов; исследован полярный эффект Керра на продольно намагниченной бездефектной и содержащей дефекты СПС;
получены конфигурации разрешенных и запрещенных зон в магнитофотон-ном спектре ферродиэлектрика с полосовой доменной структурой и установлено влияние на спектр управляемого магнитным полем параметра симметрии структуры;
для бездефектной СПС типа магнетик-диэлектрик установлено существование в зонном спектре одиночной разрешенной минизоны на интервале между резонансной и антирезонансной частотами, ширина которой при увеличении постоянной распространения сужается, а зона переходит в одиночную линию, частота которой стремится к частоте антирезонанса; показано, что характерной особенностью спектров является наличие частот, в которых происходит «схлопывание» запрещенных зон;
для продольно намагниченной СПС получена конфигурация запрещенных и разрешенных зон собственных циркулярно-поляризованных волн, выявлены различия спектров право- и левополяризованной волн, выявлены особенности эффекта Фарадея в такой структуре.
Практическая значимость. Проведенные в работе исследования и полученные результаты относятся к практически важным разделам современной магнитооптики, СВЧ и оптоэлектроники, расширяют представления о волновых явлениях в СПС, выполненных на основе магнитогиротропных материалов. В частности, бездефектные магнитогиротропные СПС могут быть использованы для создания поляризационных отражателей и устройств управляемой магнитным полем амплитудной и фазовой модуляции ЭМВ.
Формирование дефектной СПС брэгговского типа позволяет получать узкие разрешенные минизоны в запрещенной области фотоннокристалличнско-го спектра, что может найти широкое применение при создании устройств магнитооптической фильтрации высокого разрешения. Полученные в работе выражения и компьютерные программы, реализующие метод конечных разностей во временной области (метод КРВО), могут быть широко использованы для исследования структур произвольного состава и геометрии, в том числе 2 — D и 3 — D фотонных кристаллов.
Основные положения, выносимые на защиту:
распространение собственных поверхностных волн вдоль границы раздела слоистой периодической структуры магнетик-полупроводник с вакуумом носит невзаимный характер;
спектры частоты от блоховского волнового числа для собственных волн в слоистых периодических структурах брэгговского типа (L ~ А) носят зонный характер, т.е. имеют разрешенные и запрещенные полосы частот, а также частоты, на которых происходит «схлопывание» запрещенных зон;
в спектре правополяризованных волн в продольно намагниченной СПС при приближении к резонансной частоте со стороны низких частот происходит сгущение зон, отсутствующее в спектре левополяризованных волн;
посредством выбора вида и расположения дефектов в одномерном магни-тофотонном кристалле возможно создание в запрещённой зоне дефектных мод и управление их положением и интенсивностью;
спектры собственных волн распространяющихся в полосовой доменной структуре, реализуемой в магнитооптическом кристалле, имеют зонный характер, управление конфигурацией запрещённых и разрешенных зон возможно за счёт изменения симметрии и периода полосовой доменной структуре под действием магнитного поля.
Апробация результатов. Основные материалы опубликованы в 4 статьях и 11 тезисах (список работ приведен в приложении); по материалам диссертации были представлены доклады на следующие конференции: XX
международная школа-семинар «Новые магнитные материалы микроэлектроники», Москва, 2006; V Международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов», Самара, 2006; VI Международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов» Самара-Казань, 2007; VI Всероссийская молодежная научная школа «Материалы нано-, микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики: физические свойства и применение», Саранск 2007; XI международная молодежная научная школа «Actual problems of magnetic resonance and its application», Kazan, 2007; XI международная конференция «Опто-, наноэлектроника, нанотехнологии и микросистемы», Ульяновск, 2009; XXI Международная конференция «Новое в Магнетизме и Магнитных Материалах», Москва, 2009; Всероссийский семинар по волоконным лазерам, Ульяновск, 2010.
Достоверность результатов теоретических исследований, полученных в диссертационной работе, обеспечена адекватностью выбора соответствующих физических моделей, справедливостью используемых приближений, надёжностью численных методов расчета, используемых при решении близких по тематике задач.
Личный вклад. Основные теоретические положения представляемой работы разработаны совместно с проф. Семенцовым Д.И. Автором произведены все численные расчеты и проведена их интерпретация.
Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка и приложения. Материал изложен на 188 страницах, содержит 60 рисунков и список из 167 библиографических наименований.
Классификация магнитооптических эффектов
Эффект Фарадея, или эффект кругового магнитного двулучепреломле-ния рис. 5(а, Ь) - один из эффектов магнитооптики, заключающийся в повороте плоскости поляризации линейно поляризованной электромагнитной волны при ее прохождении через продольно намагниченную среду. Такое вращение плоскости поляризации является следствием различия показателей преломления право- и левополяризованных электромагнитных волн при их распространении в намагниченной среде. Вследствие этого волны, поляризованные по правому и левому кругу, распространяются в веществе с разными фазовыми скоростями, и при прохождении ими в веществе некоторого расстояния между ними появляется разность фаз. Кроме того, плоскость поляризации результирующей линейно поляризованной волны поворачивается на угол При этом угол вращения плоскости поляризации линейно поляризованной электромагнитной волны при изменении направления волнового вектора на обратное меняет знак, поэтому этот эффект относится к так называемым невзаимным. Невзаимными называют такие эффекты, величина которых или их знак изменяются при изменении направления вектора на обратное. Это означает, что если луч, вышедший из намагниченного вещества, в результате отражения проходит вторично тот же путь в обратном направлении, то суммарное вращение будет вдвое больше, чем после одного прохождения. В этом состоит отличие магнитооптического эффекта Фарадея от эффекта Фарадея в средах, обладающих естественной оптической активностью. В последних эффект Фарадея является взаимным, и при прохождении электромагнитной волны через образец в прямом и обратном направлениях, суммарный угол поворота плоскости поляризации линейно поляризованной волны обратится в нуль.
Магнитный круговой (циркулярный) дихроизм рис. 5(с, d). При наличии поглощения в среде коэффициенты поглощения право- и лево-циркулярно поляризованного света отличаются. Существование магнитного кругового дихроизма приводит к тому, что после прохождения света через среду он из линейно поляризованного превращается в эллиптически поляризованный. Магнитное круговое двупреломление и магнитный круговой дихроизм можно объединить общим понятием - комплексный эффект Фарадея. Эффект Фарадея и магнитный круговой дихроизм выражаются довольно просто в общем случае материала кубической симметрии или кристаллов с выделенной осью симметрии (тетрагональный, гексагональный и тригональный классы) при условии, что волновой вектор и вектор намагниченности направлены вдоль этой оси. При других направлениях распространения света в таких кристаллах, а также в кристаллах других классов симметрии ситуация осложняется из-за влияния эффектов естественного двойного лучепреломления. Наличие естественного двупреломления ограничивает возможность достижения значительных углов вращения плоскости поляризации света в кристаллах с низкой симметрией. Наличие естественного двупреломления может существенно ухудшить условия наблюдения доменной структуры, если геометрия кристалла не выбрана таким образом; чтобы свет распространялся вдоль оптической оси кристалла. Важной особенностью магнитооптических эффектов в кристаллах с естественным двупреломлением является осциллирующая зависимость угла поворота главной оси эллипса поляризации и эллиптичности от длины волны света. Эффект Коттона-Мутона-Фогта, или эффект линейного магнитного дву-лучепреломления рис. 5(e). Эффект обусловлен различием коэффициентов преломления двух линейно поляризованных компонент светового излучения, поляризованных параллельно и перпендикулярно намагниченности, при распространении света в поперечно намагниченной среде (волновой вектор ортогонален намагниченности). Линейно поляризованный свет, плоскость поляризации которого ориентирована под углом к направлению намагниченности, после прохождения через среду становится эллиптически поляризованным. Магнитный линейный дихроизм рис. 5(f). В поглощающей среде возникает магнитный линейный дихроизм - различие коэффициентов поглощения двух линейно поляризованных волн в поперечно намагниченной среде. Наличие магнитного линейного дихроизма приводит к повороту угла ориентации эллипса в процессе распространения волны. Магнитное линейное двупрелом-ление и магнитный линейный дихроизм объединяют в комплексный эффект Коттона-Мутона. Наряду с магнитооптическими эффектами, возникающими при прохождении света через намагниченное вещество, существует ряд эффектов, проявляющихся при отражении света от поверхности намагниченного материала. Такие явления принято объединять общим названием - магнитооптические эффекты Керра. Различают три вида эффектов Керра в зависимости от взаимной ориентации намагниченности, направления распространения световой волны и нормали к поверхности образца. Комплексный полярный эффект Керра рис. 6(a). Эффект заключается во вращении плоскости поляризации и появлении эллиптичности при отражении линейно поляризованного света от поверхности образца в случае, когда намагниченность направлена по нормали к поверхности. Полярный эффект Керра является нечетным по намагниченности, т.е. меняет знак при перемаг-ничивании образца.
Меридиональный эффект Керра рис. 6(b). Эффект заключается во вращении плоскости поляризации и появлении эллиптичности при отражении линейно поляризованного света от поверхности образца в случае, когда намагниченность лежит в плоскости образца и в плоскости падения света. Эффект используется для наблюдения доменной структуры материалов с намагниченностью, лежащей в плоскости образца. Полярный и меридиональный эффекты Керра образуют группу продольных магнитооптических эффектов. Они родственны эффекту Фарадея и по происхождению, поскольку обусловлены круговым двупреломлением света. При определенных условиях в геометрии полярного и меридионального эффектов Керра можно наблюдать изменение интенсивности при отражении линейно поляризованного света. Экваториальный эффект Керра рис. 6(c). Как и перечисленные выше, этот эффект является линейным по намагниченности. Линейный по магнитному полю экваториальный эффект может наблюдаться лишь в поглощающих материалах, он проявляется в изменении интенсивности и сдвиге фазы линейно поляризованного света, отраженного намагниченным кристаллом, когда намагниченность лежит в плоскости образца и перпендикулярна плоскости падения света. Ориентационные магнитооптические эффекты. При изменении ориентации
Эффективные материальные параметры бигиротропной среды (вектор намагниченности перпендикулярен границам раздела слоев)
В отношении диэлектрических свойств магнетик является изотропной средой, поэтому тензор диэлектрической проницаемости имеет диагональный вид с компонентами eQ = єЛ В отсутствие затухания эффективная магнитная проницаемость имеет вид: Характерными частотами для эффективной магнитной проницаемости пра-вополяризованной волны в отсутствие затухания являются частота ферромагнитного резонанса wQ = UJH, где [1+ — со, и частота антирезонанса ш{ = я + д/, где іл+ — 0. Для левополяризованной волны, описываемой величиной fit, особенностей в частотной зависимости константы распространения нет. Характерные частоты имеют следующие значения: шн = 3.52 1010s_1 и ojf = 6.63 10105_1. Наличие слабого затухания незначительно смещает указанные частоты. Для слоев полупроводника при заданной ориентации подмагничивающего поля отличные от нуля компоненты тензора диэлектрической проницаемости могут быть представлены следующим образом (2.22): єхх = єуу = ss, eszz = є0 и єху = —єух = гЄд Эффективная диэлектрическая проницаемость в выбранной геометрии для полупроводниковых слоев имеет вид: Тензор магнитной проницаемости для немагнитного полупроводника будем считать диагональным с компонентами ц8аа = fis, близкими к единице. В отсутствие затухания эффективная диэлектрическая проницаемость имеет вид: Характерными частотами для эффективной диэлектрической проницаемости правоиоляризованной волны в отсутствие столкновениями носителей является резонансная частота сис = 3.234 10115 1, где є+ — со, и антирезонанс ные частоты а/Г 9 = — ± \ -г -\—-, где є8, - 0, причем только одна из них находится в положительной области частот и имеет физический смысл UJ+ = 9.04- 1013s_1. Для левополяризованной волны эффективная диэлектрическая проницаемость не имеет резонансной частоты, а антирезонансные ча стоты выражаются следующим образом си12 = — -г1 ± \ —г Н—-, где єі — 0 и также как в предыдущем случае только одна имеет физический смысл шї = 9.0082 1013s-1. В данной геометрии, для отличных от нуля компонент тензора эффективной магнитной проницаемости получаем следующие соотношения: Вид полученных компонент эффективных тензоров Д и є слоистой среды (2.21) и (2.24) позволяет считать её двухосным бигиротропным кристаллом и исследовать особенности волнового процесса в мелкослоистом приближении для любого направления распространения. Ниже приведены дисперсионные зависимости для трех основных симметричных направлений распространения. А. Волна распространяется в плоскости слоев перпендикулярно внешнему магнитному полю (вдоль оси OY). Данному направлению распространения отвечают две собственные волны, управляемые магнитным полем. В СВЧ диапазоне ввиду гиротропии магнитных слоев управляемой является волна ТЕ типа с компонентами переменного поля (Ex,Hy,Hz).
Волновые и резонансные свойства слоистой структуры описываются в этом случае эффективной поперечной магнитной проницаемостью ц± = цгг — iiyziizy/nyy. Анализ выражения jijj с учетом (2.14) и (2.21) показывает, что характерными для структуры частотами, лежащими в СВЧ диапазоне, являются: (v) резонансная частота, где в пренебрежении магнитной релаксацией [Г[ — со: которая сдвинута по отношению к резонансной частоте массивного ферромагнетика в ИК область и имеет значение UJJ = 5.15 1010 s l. При 6 = 0 частота UJJ совпадает с резонансной частотой для массивного ферромагнетика ш[ = у/шн{ин +WJI/) = 4.83-1010s_1. И частота магнитного антирезонанса на которой 1Г[ = 0 и которая при условии в — оо равна антирезонансной частоте массивного ферромагнетика со[. Таким образом, из (2.32) видна явная зависимость частот магнитного резонанса и антирезонанса от отношения толщин ферромагнитных и полупроводниковых слоев. На рис.10 представлена зависимость нормированной (н&иом) частоты магнитного антирезонанса иа мультислойной среды от нормированного (на 4тгМ) подмагничивающего поля и параметра слоистости, полученного на основе соотношения (2.32). Для численного анализа здесь и далее приняты следующие параметры отдельных слоев рассматриваемой структуры, характерные для железо-иттриевого граната и арсенида галлия: є/ = 5.5, 4ігМ = 1767 G, 7 = 1.76 107 (sOe)-\ uM = 3.11 1010 s \ ин = 3.52 1010 s l и є0 = 17.8, = l, cop = 3.81 1014 s \ uc = 3.2 1011 s \ n = 8 10м cm-3 (для нелегированного антимонида индия с n-типом проводимости). Зависимость ша{Н\9) построена для значений параметра в = 0; 0.1; 1; 5; со (а, кривые 1 — 5). С ростом подмагничивающего поля частота ша растет практически линейно для большинства значений параметра 9. Нелинейность зависимости сиа от Н при выбранных значениях параметров сим и fis проявляется лишь в достаточно узкой области параметров 9 0.1 и полей Н С 47гМ. Ширина интервала антирезонансных частот, обусловленного слоистостью среды Аша(Н) = саа(Н, оо) —сиа(Н , 0) имеет наибольшую величину в отсутствие подмагничивающего поля, равную Awa(0) = со м-
С ростом поля этот интервал уменьшается и в пределе достаточно больших полей (Н 4-кМ) стремится к величине Аша = иом/2. Зависимость Аиоа{9) построена для значений подмагничивающего поля Н = (1; 1.5; 2) 103 Ое (Ь, кривые 1 — 3). Видно, что нелинейность зависимости частоты антирезонанса от параметра слоистости проявляется сильнее, чем для зависимости от поля. Указанные частоты лежат в СВЧ диапазоне. Так, при 9 — оо частота антирезонанса стремиться к предельному значению ша = сон + сом,которое, например, для Н — 2 103 Ое равно 5.8 1010s-1. Для сравнения укажем, что частота ферромагнитного резонанса лежит ниже и равна w/ = 5.15 1010s_1. Резонансные и волновые свойства среды при распространении в ней ТМ волны управляются магнитным полем ввиду гиротропии полупроводниковых слоев и в рассматриваемой геометрии описываются эффективной поперечной диэлектрической проницаемостью єі = EZZ — ByzEzyJEyy. Анализ выражения для є± с учетом (2.22) показывает, что эффективная диэлектрическая проницаемость имеет две резонансные частоты. Обе частоты зависят от соотношения толщин слоев и определяются выражением:
Фотониокристаллические свойства полосовой доменной структуры с бинарным распределением намагниченности (высокочастотный диапазон)
Рассмотрим волноводные свойства периодической волноведущей структуры, состоящей из чередующихся плоско-слоистых доменов ферромагнитного диэлектрика с противоположной ориентацией магнитных моментов. Все слои-домены обладают одинаковыми материальными параметрами и толщиной Lj (j = 1,2). Два соседних домена составляют период структуры L = L\ + L2, их магнитные моменты ориентированы вдоль положительного и отрицательного направлений оси Z. Периодичность структуры имеет место вдоль оси У, а волноводные моды распространяются вдоль оси X. Управляющее подмаг-ничивающее поле, меняющее симметрию структуры (параметр A = L\ — L2), но сохраняющее ее период, совпадает по направлению с намагниченностью для одной группы доменов и противоположно намагниченности для другой группы доменов. Высокочастотные свойства отдельных магнитных доменов описываются магнитной проницаемостью, которая является тензорной характеристикой. Для выбранных системы координат и ориентации намагниченности в доменах отличные от нуля компоненты тензора ліагнитной проницаемострі цхх — ііуу — fj,, fixy = —fJ yx = i fJ a Для соседних доменов имеют следующую частотную зависимость [25]: где знаки „±" у недиагональной компоненты относятся к доменам с разным направлением намагниченности. Здесь также введены параметры им = Атг уМ, UJH — 7- е/ = l(H + Нк) и ujr = о #, где Щ - поле эффективной магнитной анизотропии, М - намагниченность насыщения, Н - внешнее статическое магнитное поле, 7 магнитомеханическое отношение, - параметр релаксации в магнитной подсистеме. Диэлектрические свойства магнетика, являющегося кубическим кристаллом, определяются тензором диэлектрической проницаемости. В СВЧ диапазоне этот тензор имеет диагональный вид с компонентами еаа — которые одинаковы для обеих групп доменов. Характерными частотами для отдельного домена при заданном типе подмагничива-ния являются: частота ферромагнитного резонанса сор = л/и н{ н + д/), где эффективная проницаемость поперечно-намагниченной среды ц± = fi — l&J[і в отсутствие затухания обращается в бесконечность, и частота антирезонанса ыа = ин + wM) где fi± = 0. В рассматриваемой структуре, возможно существование двух типов собственных волн, распространяющихся перпендикулярно намагниченности и под углом в к доменным границам: ГМ-волны с компонентами поля (Ех, Еу, Hz) и Ті?-волньі с компонентами (Нх, Ну, Ez). Параметры Т-Е-волны зависят от величины внешнего магнитного поля, поэтому далее рассматривается этот тип волны. Зависимость модовых волновых полей от времени и координат выбираем в виде: где и - частота, а/с =
К cos в - константа распространения волноводной моды (т.е. продольная компонента волнового вектора К). Уравнения, определяющие зависимость ненулевых компонент Т?-волны от координаты у, следуют из общих уравнений электромагнитного поля и для двух групп доменов принимают вид: где ко = oo/c, с - скорость света в вакууме, а штрих означает производную д/ду. Система уравнений (3.22) приводит к следующему уравнению для z-компоненты электрического поля распространяющейся в структуре волны: Решение этого уравнения и выражения для компонент магнитного поля волны в каждом из доменов с учетом (3.22), (3.23) могут быть записаны в виде: где параметр х - является поперечной компонентой волнового вектора волны. Для определения четырех констант Aj и Bj необходимо использовать граничное условие на одной из границ слоев (например, у = 0) а также условия периодичности, которые, согласно теореме Флоке, имеют следующий вид: где хе/ - эффективная (блоховская) поперечная компонента волнового вектора, определяющая характер распределения поля в структуре по координате у. Отметим, что поле может проникать в структуру на глубину многих периодов, а глубина проникновения определяется мнимой частью блоховского волнового вектора (7тхе/)-1. Подставляя в (3.26), (3.27) выражения для соответствующих компонент полей, определяемых соотношениями (3.24), получаем однородную систему уравнений для амплитуд Aj и Bj.
Равенство нулю детерминанта этой системы приводит к стандартному виду дисперсионного соотношения для бинарной структуры: где введен параметр = /сда/х/л. Перепишем это уравнение в более удобной для дальнейшего анализа форме: Легко также показать, что компоненты электрического и магнитного полей волны в плоскостях, разделенных целым числом периодов структуры, связаны передаточной матрицей структуры: Здесь компонентами двумерного вектора G являются тангенциальные составляющие полей Ez и Нх, а матрица m имеет следующие матричные элементы где введены обозначения С/ — cosxLj, 5j = sinxLj. В отсутствие затухания в магнитной подсистеме определитель этой матрицы равен единице. Легко показать, что фактор exp (гхе/L) является собственным числом передаточной матрицы. Используя свойство ее унимодулярности, получим уравнение для собственных чисел, которое приводится к виду Подставляя в это уравнение выражение для матричных элементов гпц и т22, приходим к уравнению (3.28). Полученное дисперсионное соотношение должно удовлетворять условию периодичности в „ /-пространстве", т.е. В результате указанной периодичности все физически неэквивалентные состояния должны находиться в первой „зоне Бриллюэна", принадлежащей
Метод конечных разностей во временной области - КРВО (FDTD)
Аббревиатура FDTD расшифровывается как «finite-difference time-domain», а в русскоязычной литературе иногда выглядит как КРВО - «конечные разности во временной области», что является переводом с английского. В принципе этот метод - понятие чисто математическое и обозначает один из многочисленных методов решения дифференциальных уравнений, но среди тех, кто занимается решением задач электротехники, аббревиатура FDTD в настоящее время является синонимом решения вихревых дифференциальных уравнений Максвелла. Метод конечных разностей во временной области в настоящее время является одним из популярнейших методов численного решения электродинамических задач. Метод FDTD был предложен около 30 лет тому назад, но на стоящее признание получил в последнее десятилетие, когда количество публикаций по его применению и развитию стало экспоненциально нарастать. На сегодняшний день существуют тысячи работ, относящихся к различным аспектам метода FDTD, им посвящены подробные обзоры и созданы специализированные библиографические базы данных, вышли монографии. К сожалению, практически отсутствуют публикации отечественных авторов по этой тематике, что, вероятно, можно объяснить малой доступностью высокопроизводительных ЭВМ, необходимых для полномасштабной реализации метода FDTD. Эта же причина долгое время сдерживала развитие метода и в мире - с появления первой работы в 1966 году по начало восьмидесятых годов публикации исчислялись единицами, но по мере снижения стоимости вычислительных ресурсов интерес к методу возрос. Метод FDTD универсален - он может быть с успехом применен практически во всех задачах электродинамики, требующих численного решения. Это и внутренние задачи, включая анализ волноведущих и резонансных структур сложной формы с неоднородностями, волноводных и микрополосковых, и моделирование излучающих структур, антенн, и анализ активных приборов СВЧ, и многое другое.
Особенно эффективно применение метода FDTD в тех задачах, в которых пасуют традиционные подходы, в частности - где важна возможность анализа нестационарных процессов. Частотные характеристики исследуемого объекта могут быть получены с помощью дискретного преобразования Фурье или - условно, при не очень высокой добротности - путем задания квази-гармонического источника и выполнения расчетов до выхода на установившийся режим. Кроме простоты постановки, метод FDTD обладает несомненными преимуществами в плане моделирования электродинамических объектов с неоднородными, анизотропными и нелинейными средами с произвольными формами границ. В своей классической постановке метод FDTD основан на простой и элегантной дискретизации уравнений Максвелла, записанных в дифференциальной пространственно-временной формулировке. Сетки для электрического и магнитного полей смещены по отношению друг к другу во времени и пространстве на половину шага дискретизации по каждой из переменных. Конечно-разностные уравнения позволяют определить электрическое и магнитное поля в данный момент времени на основании известных значений полей в предыдущий момент времени, и при заданных начальных условиях вычислительная процедура разворачивает решение во времени от начала отсчета с заданным шагом. Определенную сложность представляет учет искусственных граничных условий (ABC - absorbing boundary condition) при переходе от анализируемой области к свободному пространству.
Обычно ABC вводятся приближенно -либо на основе конечно-разностных формул, связывающих поля на границе анализируемой области, либо путем введения в модель слоев поглощающих материалов, в том числе и с границами специальной формы. Во всех таких случаях за счет принципиального отличия локально поставленных граничных условий от строгих, которые должны быть необходимо нелокальными, появляется погрешность, которую принято характеризовать коэффициентом отражения от границы между анализируемой областью и свободным пространством. Множество работ посвящено улучшению формулировок ABC и анализу возникающих погрешностей. Простейшая постановка метода FDTD предполагает использование эквидистантной ортогональной сетки, но существует возможность повышения эффективности метода за счет применения неэквидистантных и/или неортогональных сеток. Оборотной стороной эффективности и универсальности метода FDTD является потребность в весьма значительных вычислительных ресурсах. Представляющие практический интерес задачи могут быть эффективно решены лишь на больших ЭВМ с объемом ОЗУ в десятки-сотни мегабайт и высокопроизводительными центральными процессорами. Желательно использование многопроцессорных параллельных вычислительных систем.
Однако в упрощенной постановке - например, при выборе не слишком большого количества дискретов или снижении размерности задач - возможна реализация алгоритма и решение практических задач за приемлемое время и на производительных ПЭВМ. Ряд интереснейших научных проблем может быть поставлен и решен на пути усовершенствования метода. Особо важна гибридизация метода FDTD и других, например, метода моментов. Данный метод был впервые предложен для решения задач распространения электромагнитных волн Кейном Йе (Kane Yee) в 1966 г. и был развит в дальнейшем Алленом Тефлавом, в работах которого метод и получил своё название finite difference time domain - метод (конечных разностей во временной области). Для того, чтобы понять основы метода КРВО, рассмотрим уравнения Максвелла в системе единиц СИ: (4.18)
