Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Приближенные передачи 18
1.1 Основные достижения синтеза передач зацеплением 18
1.2 Порядок сопряженности поверхностей 22
1.3 Кривая Бакстера 23
1.4 Цели и задачи исследования 25
Глава 2. Синтез зубчато-поводковых передач 28
2.1 Геометрия зубчато-поводковой передачи 28
2.2 Параметры движения звеньев передачи 34
2.3 Получение функции передаточного отношения 42
2.4 Уточнение геометрических параметров зубчато-поводковой передачи 45
2.5 Параметры движения зубчато-поводковой передачи с учетом податливости звеньев 50
2.6 Выводы 55
Глава 3. Анализ цилиндрических зубчато-поводковых передач 57
3.1 Определение минимального числа поводков 57
3.2 Определение области рациональных передаточных отношений 60
3.3 Влияние погрешностей межосевого расстояния 67
3.4 Влияние допуска на диаметр поводков 69
3.5 Влияние погрешности осевого монтажа 71
3.6 Влияние погрешностей шага 74
3.7 Сравнение точностных параметров зубчато-поводковой передачи с эвольвентной цилиндрической 76
3.8 Выводы 79
Глава 4. Конические зубчато-поводковые передачи 81
4.1 Используемые системы координат 81
4.2 Параметры движения звеньев передачи 83
4.3 Определение минимального числа поводков ведущего колеса при различных значениях передаточного отношения 89
4.4 Выводы
Глава 5. Макетирование зубчато-поводковых передач 92
5.1 Изготовление зубчато-поводковых передач 92
5.2 Макетирование зубчато-поводковой передачи и получение экспериментальных данных 96
5.3 Экспериментальное определение функции перемещения 98
5.4 Выводы 106
Заключение 107
Список использованной литературы
- Порядок сопряженности поверхностей
- Уточнение геометрических параметров зубчато-поводковой передачи
- Влияние погрешностей межосевого расстояния
- Определение минимального числа поводков ведущего колеса при различных значениях передаточного отношения
Порядок сопряженности поверхностей
Основополагающими работами в период становления теории зубчатых зацеплений являются достижения французского геометра Т. Оливье [21]. Он предложил принципы технологии формообразования сопряженных поверхностей зубьев. Впоследствии эти принципы дополнены в работах таких российских ученых как: А.Ф.Николаев [22], Я.С.Давыдов [23], М.Л.Новиков [24], С.А.Лагутин [25],М.ЛЕрихов[26].
Следует отметить, что П.Л. Чебышев [27] применил к задачам теории зубчатых зацеплений метод степенных рядов, а общий метод аналитического исследования пространственных зацеплений на базе дифференциальной геометрии был предложен в конце 19-го века российским ученым Х.И. Гохманом [28]. Развитие работ Х.И. Гохмана в 20-ом веке получило в трудах Н.И.Колчина [29] и И.А. Фрайфельда [30]. Впоследствии В.А.Шишковым [31] и Ф.Л. Литвиным [32] был введен кинематический метод исследования зубчатых зацеплений. Существенный вклад в создание этой теории, помимо уже упомянутых ученых, внесли Л.В. Ко-ростелев [33], Н.Н. Крылов [34], A.M. Павлов [35], И.И. Дусев [36], В.М. Васильев [37], Е.Г.Гинзбург [38], Б.П. Тимофеев [15,16] и др. Теория эвольвентных зацеплений в полной мере изложена в работах В.А. Гавриленко [39,40], И.А. Болотов-ского [41] и Э.Б. Булгакова [42].
При изготовлении зубчатых колес, в соответствии с принципами Оливье, стремятся использовать по возможности более простые формы вспомогательной поверхности и простые законы движения. Это удобно и с технологической и расчетной точки зрения. Большинство применяемых зацеплений с линейным контактом удается точно рассчитать аналитическими методами.
В зацеплениях с точечным контактом требования технологичности и «рас-читываемости» далеко не всегда совместимы. Одним из приятных исключений являются цилиндрические передачи, боковые поверхности зубьев которых представляют собой винтовые поверхности. В самой природе винтовых поверхностей заложена возможность передачи вращения с постоянным отношением угловых скоростей. Этим обстоятельством успешно воспользовался М.Л. Новиков [43].
Большое число различных передач с точечным контактом рассчитано аналитически точно. Однако ориентируясь лишь на передачи, для которых решения уравнений выражаются через элементарные функции, исследователи вольно или невольно сужают рамки своих технических возможностей. Отказ от принципов Оливье в передачах с точечным контактом расширил арсенал технологических операций в производстве зубчатых колес. Но этот отказ потребовал от исследователей умения рассчитывать любые передачи, а не только те, для которых задача имеет аналитическое решение. В противоположных случаях пришлось довольствоваться получением лишь дифференциальных характеристик зацепления или применять численные методы анализа. Э. Вильдгабер первым аналитически решил данную задачу. Он вывел [44] формулы для радиусов кривизны боковых поверхностей зубьев прямозубой конической передачи, которые обеспечивают нулевые первую и вторую производную от передаточного отношения. Им рассматривались задачи контакта зубьев, профили которых очерчены дугами окружностей. Данные формулы не могут быть применены к несимметричным профилям зубьев. Для решения этих задач широко применялся аппарат тензорного исчисления.
Еще один метод, характеризующий ограничения формы контактирующих поверхностей для передачи заданного закона движения - это кинематический метод. В начале шестидесятых годов он начал применяться Ф.Л. Литвиным для решения задач о зацеплениях с точечным контактом [32]. До этого момента кинематический метод применялся для зацеплений с линейным контактом [45].
Другой важной проблемой теории зубчатых зацеплений является задача локализации пятна контакта. Большинство авторов занималось решением вопроса через локализацию пятна контакта по длине зуба. Если говорить о передачах с точечным контактом, то в ряде работ (A.M. Павлов [46] и Л.В. Коростелев [47, 48]) установлена зависимость между главными нормальными приведенными кривизнами в расчетной точке контакта и формой мгновенной контактной площадки. По этим данным выбиралась надлежащая степень «бочкообразности» взаимодействующих тел и ориентация главной оси контактного эллипса в расчетной точке.
Задача о движении контактной площадки впервые была сформулирована Ф.Л. Литвиным. Он установил [49] при помощи кинематического метода скорость движения центра контактной площадки для заданного положения колес. Затем методом разложения в степенные ряды определено [50] ускорение этого центра. Существенно расширил полученное решение рассматриваемой задачи М.Г.Сегаль [51]. Он первый предложил локализовать пятно контакта, как по длине зуба, так и по высоте. Математически это обозначало неравенство нулю производной от передаточного отношения в расчетной точке контакта.
Следующей важной задачей теории зубчатых зацеплений является задача отсутствия интерференции боковых поверхностей зубьев. М.Л. Новиков [43] и Н.Н. Крылов [34], получили решения, при которых отсутствует локальная интерференция в расчетной точке контакта. Данной задачей также занимался Ф.Л. Литвин [52-54]. Методом разложения в степенные ряды получены условия [55], при которых степень локализации контакта не меняется вдоль всей линии зацепления, т.е. нет угрозы раздвоения пятна контакта.
В работах Б.П. Тимофеева рассмотрены вопросы анализа передач, с учетом нагрузки при зубообработке и упругих деформаций элементов системы [56].
Дальнейшая разработка методов синтеза зубчатых зацеплений с точечным контактом связана с численными методами, реализуемыми на персональных компьютерах. Сначала в Москве («Станкин»), а затем в Саратове (СКБ ЗС) и Ленинграде (ЛИТМО) разработаны программные оболочки для синтеза конических прямозубых передач Revacycle. После этого разработаны пакеты программ для конических передач с круговыми зубьями. Программный комплекс «Волга», был разработан под руководством М.Г.Сегаля. «Станкин» разработали подобный программный комплекс - «Эксперт». В настоящее время в РФ ряд научных центров решает разнообразные задачи теории зубчатых зацеплений
Уточнение геометрических параметров зубчато-поводковой передачи
На рисунке 2.6 приведены графики, позволяющие выбрать параметры А и /г из условия отсутствия выхода активной действующей линии на верхнюю кромку поводка и границу радиального зазора между поводком и конусом заделки поводков. Уточнить h a и /г можно при анализе передач с различными /21 и zx, исходя из условия единственности h a, /г и с для всех передач, что важно для практического применения.
В данном параграфе произведено обоснование выбора длины поводков в зубчато-поводковой передаче путем анализа активной действующей линии.
Произведем расчет положения точек контакта в системах координат поводков, используя систему (2.2.2). За исходные данные примем: 1) Радиус поводка: р = \,5 мм. Для того чтобы передача сохраняла работоспособность, следует исключить возможность интерференции поводков колес между собой и поверхностью конуса заделки поводков. Интерференция поводков с поверхностью конуса заделки по 47 водков возникает в случае, если расстояние от точки контакта до поверхности конуса заделки поводков менее диаметра поводка. Отсутствие данной интерференции обеспечивается размером ножки поводка. Интерференция между поводками возникает, когда длина хорды дуги окружности в плоскости перпендикулярной оси поводка менее диаметра поводка. Отсутствие данной интерференции обеспечивается боковым зазором.
По полученным расчетным данным можно установить, что значение h =h a=\,\5 достаточны для обеспечения работоспособности передачи. Минимальное значение числа поводков не должно быть меньше семи. При уменьшении числа поводков возникает выход точки контакта на верхнюю кромку. Так же могут возникнуть технологические сложности с заделкой поводка в основание колеса. Значения коэффициентов высоты «ножки» и «головки» поводка может быть изменено при непосредственной разработке передачи по ТЗ заказчика, т.к. при увеличении передаточного отношения данные коэффициенты могут быть уменьшены. Теперь рассмотрим боковой зазор и взаимную интерференцию поводков. Интерференция поводков и как следствие заклинивание передачи возникает, если хорда дуги окружности h, проходящей через точку контакта, меньше диаметра поводка (Рис. 2.14).
Диаметр окружности, проходящей через точку контакта равен: где 1Х - длина образующей поводка до точки заделки поводка в поверхность начального конуса, а их - координата точки контакта в системе координат связанной с поводком (при этом значение минимальной координаты отрицательное, поэтому в формуле (2.4.1) перед параметром их стоит знак «+»).
Зубчато-поводковое зацепление - зацепление с точечным контактом, в котором активная действующая линия (АДЛ) не выходит на кромку поверхности элемента. Задача оценки влияния податливости зубьев на параметры движения наиболее актуальна для зубчатых зацеплений, в которых широко используют локализацию пятна контакта. Влияние упругих деформаций на параметры движения передачи представлены в работах Тимофеева Б.Щ132, 133]
Разберем условия, при которых контакт локализуется на выходе из зацепления, т.е. он прекращается раньше, чем кромка зуба ведомого колеса пересечет линию зацепления. Пусть в зацеплении всегда находится хотя бы одна пара зубьев. Тогда описанного прекращения контакта можно добиться только одним способом: вступающая в зацепление пара зубьев должна "вести" ведомое с большей скоростью, чем рассматриваемая. Только в этом случае зуб ведомого колеса разомкнет контакт, уйдя от ведущего. Иными словами пара, вступающая в зацепление, "вышибает" из него предыдущую. Отсюда: передаточное отношение i2\ при локализованном контакте должно быть различным в разных фазах зацепления, причем в процессе взаимодействия одной пары зубьев i2\ должно "уменьшаться". В идеальной передаче с постоянным передаточным отношением i2\ = Zi/z2 параметры зацепления любой пары зубьев одинаковы, и передаточное отношение одинаково в начале и в конце зацепления. Под идеальной передачей здесь понимают жесткую модель при отсутствии погрешностей изготовления и монтажа. Для локализации же контакта при выходе зубьев из зацепления i2\ должно быть меньшим, чем на входе.
Зубчато-поводковая передача соответствует данным условиям пересопряжения, т.к. является приближенной и заведомо не может передавать вращательное движение с постоянным передаточным отношением в процессе зацепления одной пары зубьев. В параграфе 2.2 установлено, что условие пересопряжения зубьев происходит «выбиванием» предшествующей пары зубьев, последующей.
Переменность i2\ означает, что вход зацепления очередной пары поводков сопровождается выходом из него предшествующей пары - оба момента пересопряжения совпадают. Пересопряжение поводков происходит с зубцовой частотой, повторяясь при повороте колеса на угол, равный г = 2njz. Коэффициент перекрытия передачи с локализованным контактом равен единице (жесткая модель зацепления).
При входе в зацепление очередной пары зубьев соприкосновение происходит после того, как кромка ведомого зуба пересечет линию зацепления сопряженной передачи. Такое возможно лишь при наличии первоначального зазора между боковыми поверхностями этой пары. В случае зубчато-поводковой передачи первоначальный зазор устанавливается коэффициентом окружного зазора.
Зазор уменьшается по мере движения колес, становясь равным нулю в момент пересопряжения. В пределах поворота на угловой шаг т ведомое колесо сначала вращается со скоростью выше средней, а затем скорость снижается, колесо "отстает" в своем движении, что и позволяет следующему ведущему поводку очередной пары приблизиться к своему ведомому и вступить с ним в контакт. Характер зависимостей передаточного отношения /2і=/}(фі) и ошибки угла поворота ведомого зубчатого колеса Аф2=/2(фі) в соседних парах зубьев показан на рисунке
Влияние погрешностей межосевого расстояния
Функция положения близка к линейной, а точки пересопряжения на поверхностях поводков не выходят на кромку. Отсутствие кромочного контакта и возможность локализовать точки контакта по поверхности поводка одно из достоинств данной передачи. Передаточное отношение в процессе зацепления одной пары зубьев изменяется в пределах восьми сотых, при номинальном передаточном отношении равном единице и числе поводков равном пятнадцати.
Полученные расчетные данные характеризуют качество зацепления, в частности значение наибольшей циклической погрешности зубцовой частоты не пре-вышает4,123-10" радиан (z12 =1, z1=15, р2 = р1 =1,5 [мм]).
Как видно из рисунка 2.6 координаты точек контакта не выходят на верхнюю кромку поводка и нижнюю граничную линию (границу радиального зазора). Однако с уменьшением числа поводков увеличивается угловой шаг и длина активной действующей линии на поверхностях поводков. Для определения рационального числа поводков в пределах одного передаточного отношения был произведен расчет значений качественных характеристик зубчато-поводковых передач с различным числом поводков для различных передаточных отношений. Полученные расчетные данные представлены в таблицах 3.1 - 3.3. Расчеты производились для зубчато-поводковых передач с постоянными значениями параметров, равными: /12=1, а/2 = а1=а2=-[рад.], p = p2 = рг = 1,5 [мм], итах =h a -тА = \,\5-т = 2,39 [мм],
Некоторые результаты анализа представлены в таблицах 3.1 - 3.3. В таблице 3.1 расчетные данные, полученные для передач с Z2i=l при наименьшем числе поводков шестерни zi=6, 20. В таблице 3.2 и 3.3 представлены те же данные при ii2=2;5 и существенно различных числах поводков шестерни zj=&, zj=\0, zj=\2 и zj=\5. Анализ полученных результатов характеризует качество зацепления и, прежде всего, малое значение наибольшей погрешности зубцовой частоты и погрешности передаточного отношения. При этом с ростом передаточного отношения Аф2 и Ai2i уменьшается. С увеличением числа поводков на шестерне при неизменном передаточном отношении - уменьшаются.
Следует отметить высотные размеры поводков (зубьев) обеспечивают отсутствие выхода контакта на верхнюю кромку во всех случаях, кроме Z!=6 при /І2=1- При передаточном отношении равном единице длина активной действующей линии наибольшая. Кроме того, ни при каких условиях контакт не выходит за условную нижнюю границу активной поверхности поводка (с = 0,25). Таким образом, передача вполне работоспособна в широком диапазоне передаточных чисел и пересопряжение происходит без выхода контакта на верхнюю кромку поводков и граничную линию, отделяющую «ножку» от поверхности радиального зазора (аналог переходной поверхности зуба). Значение zx существенно меньше, чем для цилиндрического эвольвентного колеса ввиду наличия на огибающей поверхности ребра возврата.
Передаточное отношение существенно влияет на параметры зубчато поводковой передачи. Для определения области рационального передаточного отношения был произведен математический расчет значений качественных характеристик зубчато-поводковых передач. Полученные расчетные данные представ лены в таблицах 3.4 - 3.12 с учетом: а/2 = а1=а2=—[рад.], р2 = рх = 1,5 [мм]
Как видно из таблицы при числе поводков, равном шести линия контакта выходит за верхнюю границу поводка, но при большем числе поводков (больше шести) значения не выходят из предела [итт;итах]. Данные расчеты производились для различных передаточных отношений в пределах одного модуля. Расчетные данные подтвердили, что с увеличением передаточного отношения минимальное теоретическое значение числа поводков ведущего колеса можно уменьшить, т.к. уменьшается длина активной линии зацепления. При этом уменьшается ошибка функции положения и передаточного отношения. Следует отметить, что при увеличении передаточного отношения циклическая погрешность и «скачок» скорости в момент пересопряжения уменьшается. Следовательно, минимальное рациональное число поводков ведущего колеса уменьшается с увеличением передаточного отношения. Выбор минимального числа поводков ведущего колеса зависит от требований конечного потребителя.
Как видно из таблиц при числе поводков, равном восьми, линия контакта не выходит за верхнюю границу поводка при «грубой» ошибке межосевого расстояния. Значения ошибки функции положения изменяется незначительно. Для передачи с /21 = 1 изменение межосевого расстояния при AL = ±0,1 мм вызывает увеличение ошибки положения не более чем на 1,03 10 4. Изменении межосевого расстояния при AL = ±0,2 мм ошибка положения увеличивается не более чем на 2,07 10 4. При этом изменение межосевого расстояния в сторону увеличения или уменьшения не влияет на ошибку передаточного отношения. 3.4 Влияние допуска на диаметр поводков
Определение минимального числа поводков ведущего колеса при различных значениях передаточного отношения
Одной из возможных погрешностей изготовления зубчато-поводковых колес является погрешность углового шага 8. Для оценки влияния этого фактора рассмотрим изменение ошибки функции положения при смещении углового шага на 5% и 10% от 8 (очень «грубые» ошибки). Данные зависимости для передачи, рассматриваемой в предыдущей главе (/12 =1, z1=l5, а/2 = ах=а2 = —[рад.], р = р2=р1 =1,5 [мм]), представлены на рисунках 3.8 и 3.9. АъМ
На рисунках 3.8 и 3.9, значение ошибки функции положения при пересопряжении поводков L, М и N (где профиль М с ошибкой углового шага равной 5% от 8) изменяется до 3,73-10"3 и 4,96-10"3 радиан при номинальном 4,123-10"3. При значении ошибки углового шага равном 10% от 8, значение ошибки функции положения составляют 3,35-10" и 5,87-10" радиан соответственно. При этом значение ошибки передаточного отношения изменяется в пределах 0,006 при номинальном 0,08 (Рис. 3.10).
Зависимости Аф2= (фі) и А/2і=? 2ід- 2ін при ошибке углового шага равной 10% от 8 Погрешность углового шага так же влияет на активную действующую линию, при этом она незначительно уменьшается или увеличивается по высоте, но выхода на кромку не происходит.
В соответствии с ГОСТ 1643-81 «Передачи зубчатые цилиндрические. Допуски» [134] допуск на накопленную погрешность шага для колес восьмой степени точности, делительным диаметром от 20,4 мм до 31,8 мм и модулем от 1 до 10 составляет 45 мкм, что соответствует 4,25-10" радиан. При данной погрешности углового шага изменение погрешности функции положения 1,2-10"4 радиан.
Сравнение точностных параметров зубчато-поводковой передачи с эвольвентной цилиндрической Одной из важнейших характеристик зубчато-поводковой передачи является кинематическая точность. Для оценки этого показателя проведем сравнительный анализ ошибки функции положения с минимальной кинематической погрешностью цилиндрических передач, полученной в соответствии с ГОСТ 1643-81 «Передачи зубчатые цилиндрические. Допуски» [134].
Нормы кинематической точности устанавливают значения наибольшей погрешности функции перемещения. В случае зубчатого колеса - это погрешность угла поворота в пределах оборота, а в зубчатой передаче - за полный цикл изменения относительного положения зубчатых колес пары. Величина и тип кинематических погрешностей определяют точность кинематических цепей отсчетных, делительных механизмов.
Государственные стандарты не регламентируют амплитуды гармонических составляющих различных частот, а также сдвиги фаз этих составляющих, оставляя такую возможность отраслевым стандартам, которые могут учесть конкретную технологию изготовления и эксплуатационные требования к передачам в отрасли [135].
Анализ точности имеет своей целью определение значений показателей точности механизма, исходя из известных значений показателей точности составляющих звеньев.
При расчете точности применяются [135]: 1) метод расчета на максимум-минимум, учитывающий только предельные отклонения звеньев кинематической цепи и самые неблагоприятные их сочетания; 2) вероятностный метод расчета, учитывающий законы либо характеристики распределения погрешностей звеньев цепи и вероятность различных сочетаний отклонений составляющих цепь звеньев.
Значение ошибки функции положения для зубчато-поводковой передачи с тА =2, /12 =2, Zj =15 составляет 1,224-10"3 радиан, что в свою очередь, соответствует шестой степени точности цилиндрической эвольвентной передачи. Разность кинематических погрешностей передачи при прямом и обратном ходе является ее мёртвым ходом [135].
Для эвольвентных цилиндрических зубчатых передач кинематический мертвый ход передачи рассчитывается по формуле (3.7.2): Л-min = 6,88 jtmm /d2, угл. мин, (3.7.2) где d2 - диаметр делительной окружности колеса z2, ajtmin - минимальный кинематический мертвый ход передачи, равный: Jtmin=Jnmin/(COSa), МКМ Для да = 2, /12 =2, Zj =15 в соответствии с ГОСТ 1643-81 «Передачи зубчатые цилиндрические. Допуски»: ynmm =190, мкм - сопряжения вида А. Тогда по формуле (3.7.2): 190 Л- =6,88-- -г—у—= 23,18 угл. мин.
Для зубчато-поводковой передачи с тА = 2, /12 =2, zx = 15 значение кинематического мертвого хода, рассчитанное в MathCAD по функции положения равно 55 угл. мин. Кинематический мертвый ход может быть минимизирован за счет уменьшения коэффициента бокового зазора (с =0,25). Например, при с =0,1 кинематический мертвый ход равен 2Г39,Л.
Проведенный анализ показал, что зубчато-поводковые передачи имеют ограниченную ошибку функции перемещения. Ее значение изменяется в зависимости от числа поводков в пределах одного передаточного отношения. Минимальное число поводков не может быть меньше семи из условия отсутствия кромочного контакта в зацеплении. Для определения минимального числа поводков рассматривалась передача с передаточным отношением равным единице, т.к. длина активной действующей линии для нее наибольшая. Погрешности изготовления зубчато-поводковых передач приводят к изменениям ошибки функции перемещения на порядок меньшим их номинального значения. Погрешности монтажа не влияют на параметры движения передачи.
Сравнительный анализ их точности свидетельствует о сопоставимости с точностью цилиндрических зубчатых передач при равных передаточных отношениях и числах поводков (зубьев). Глава 4. Конические зубчато-поводковые передачи
Рассмотрим зубчато-поводковую передачу, по схеме на рисунке 4.1, состоящую из колес, изображенных на рисунке 2.2.
Системы координат S0(x0,yo,z0) и S3(x3,y3,z3) - неподвижные системы координат, а оси O0z0 и 03z3 пересекаются под углом 90. Системы координат Si(xbyi,zi) и S4(x4,y4,Z4), жестко связаны с колесами и повернуты относительно неподвижных (базовых) систем координат на углы фі и ф2. Ось О0х0 совмещена с осью первого колеса. Начало системы координат находится в точке пересечения оси колеса с осью 02х2 системы S2, связанной с поводком первого колеса. Система Si жестко связана с первым колесом. Ось OiXi совпадает с О0х0, a Oi совпадает с Оо. Поворот первого колеса на угол фі относительно неподвижной системы координат будет происходить в плоскости yo00z0. Система координат S2 связанная с поводком, повернута относительно системы Si в плоскости yiOiZi на угол ах. Плоскость у202х2 совпадает с плоскостью уіОїХь Оси OiZi и 02z2 сонаправлены.
Система координат S3 - вспомогательная, связанная со вторым колесом. Ось 03z3 совпадает с осью колеса. Поворот второго колеса на угол ф2 происходит вокруг этой оси в плоскости x303z3. Начало системы координат лежит в точке пересечения оси колеса с осью 05z5 системы S5, связанной с поводком второго колеса. Система координат S4 жестко связана с вторым колесом. Ось 04z4 сонаправлена с