Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Взаимодействие электронного пучка с плазмой в режиме одномерной сильной лшгмшровской турбулентности 12
1.1. Уравнения динамики солитонной ленгмюровекой турбулентности 14
1.2. Взаимодействие ленгмюровекого солитона с моноэнергетическим пучком 17
1.3. Квазилинейная релаксация электронного пучка на одномерной сильной ленгмюровекой турбулентности 20
Глава II. Резонансная резистйвная неустойчивость пучка заряженных частиц в плазме 31
2.1. Уравнения взаимодействия пучка заряженных частиц с плазмой и состояние равновесия 32
2.2. Решение кинетического уравнения и вычисление плотности тока пучка 39
2.3. Дисперсионное соотношение 46
2.4. Развитие неустойчивости при инжекции пучка в плазму 60
Глава III. Фокусировка пучка заряженных частиц в неоднородной плазме 64
3.1, Движение пучка в неоднородном электромагнитном поле 66
3,2, Самофокусировка релятивистского пучка электронов в редкой плазме 69
3.3. Термоэлектрическая генерация магнитного поля 70
3.4. Самофокусировка пучка заряженных частиц в магнитном поле токов термоконвекции 74
Заключение 78
Литература
- Взаимодействие ленгмюровекого солитона с моноэнергетическим пучком
- Квазилинейная релаксация электронного пучка на одномерной сильной ленгмюровекой турбулентности
- Решение кинетического уравнения и вычисление плотности тока пучка
- Самофокусировка релятивистского пучка электронов в редкой плазме
Введение к работе
Интерес к физике взаимодействия мощных пучков заряженных частиц с плазмой связан со многими быстро прогрессирующими областями исследований. Широкое развитие исследования физики сильноточных пучков получили в рамках программы по созданию управляемого термоядерного синтеза: для нагрева и сжатия плазмы в осуществлении импульсной термоядерной реакции [і-З] , нагрева до термоядерных температур плазмы в магнитных системах [4,5] .
Взаимодействие сильноточных пучков с плазмой имеет, как правило, коллективную природу. В плотной сильностолкновительной плазме коллективный механизм проявляется, как показано Л.И.Рудаковым [б] , в том, что частицы пучка оказываются замагниченными в коллективном магнитном поле, тем самым возрастает эффективная длина взаимодействия и энерговклад в плазму [7] , при этом из-за градиента магнитного поля в продольном направлении, связанного с конечным временем диффузии поля в плазме, пучок испытывает самофокусировку. При инжекции пучка в ионизованный газ низкой проводимости d> < Wpe в результате развития неустойчивости возникают сильные электростатические поля, приводящие к бунчи-ровке и срыву тока пучка \_32
В плазме с редкими столкновениями возможно возбуждение резонансных с пучком коллективных степеней свободы плазмы. Экспериментально наблюдаемые интенсивные потери энергии пучка электронов, необъяснимые с точки зрения теории парных столкновений, впервые были интерпретированы, как результат возбуждения пучком плазменных волн, в работах [9-IIj. Излучение резонансных с частицами пучка ленгмюровских волн вследствие эффекта Че-ренкова приводит к торможению пучка в плазме. Согласно теории
взаимодействия пучка электронов с плазмой первоначально моноэнергетический пучок возбуждает монохроматическую ленгмюровскую волну с волновым числом, соответствующим условию резонанса К = Wpe/TXbt За время масштаба обратного линейного инкремента
t ~ У^1 поле в такой волне достигает своего максимального
значения и частицы пучка оказываются захваченными волной. В поле
волны частицы осциллируют с частотой . Захват час-
тиц приводит к образованию сгустков плотности заряда с большим временем жизни, а колебания плазмы переходят в нелинейный режим волны Бернштейна-Грина-Крускала [12 J . Такое состояние оказывается неустойчивым [із] относительно излучения волны сгустками. Неустойчивость приводит к рождению ансамбля волн со случайными фазами [I4j . Взаимодействие волн и частиц пучка теперь может быть описано в рамках статистического подхода - квазилинейной теории, развитой Веденовым А.А., Велиховым Е.П. и Сагдеевым Р.З.
[15] . Частицы пучка диффундируют в пространстве скоростей на колебаниях согласованно с возбуждением волн, причем диффузия носит характер крутой нелинейной волны функции распределения
[іб] , движущейся в сторону меньших скоростей и приводит к формированию "платообразной" функции распределения [17] .
Квазилинейная теория релаксации релятивистских пучков рассматривалась в работах [l8-20] , где показано, что вследствие анизотропии релятивистских масс возникающий угловой разброс импульсов частиц приводит к стабилизации расчкачки косых волн, спектр колебаний и релаксация пучка близки к одномерным.
Влияние неоднородности плазмы на квазилинейную релаксацию пучка проявляется в том, что волновые числа плазменных колебаний изменяются и нарушается условие фазового резонанса между частицами и волнами, это приводит к существенному замедлению релаксации
[21] .
Другим механизмом стабилизации пучковой неустойчивости является нелинейное рассеяние ленгмюровских волн на частицах плазмы, которое ведет к перекачке резонансных с пучком колебаний в нерезонансную область [l9,22j . Процессы рассеяния преимущественно идут с увеличением длин рассеянных волн и колебания накапливаются в длинноволновой части спектра j_23,24j .
Модуляционная неустойчивость ленгмюровских колебаний, открытая А.А.Веденовым и Л.Й.Рудаковым [25] , дала ключ к решению проблемы конденсации плазмонов. Развитие модуляций ленгмюровских волн связано с ростом возмущений плотности плазмы, обусловленным действием силы высокочастотного давления на электроны. Начало исследованию нелинейной стадии модуляционной неустойчивости положила работа В.Е.Захарова [26 J . На нелинейной стадии неустойчивости плазма переходит в режим сильной ленгмюровской турбулентности. Критерий перехода плазмы из слаботурбулентного в сильно-
\х/ 2. 2
турбулентное состояние выражается условием > Д К ^ {W - плотность энергии ленгмюровских колебаний, А К - ширина
\х/ 2 2
спектра волнового пакета). При ——— > А К /j, высокочастотное давление колебаний превосходит давление, обусловленное тепловым движением частиц, и, действуя на электроны плазмы, выталкивает их из области локализации колебаний, полем разделения зарядов за электронами вытягиваются ионы, тем самым создается локальный минимум плотности плазмы (каверна), в котором заперты ленг-мюровские колебания. Причем фазы волн в каверне становятся связанными между собой, в отличии от состояния волн в слаботурбулентной плазме.
В работе [2б]было также сделано утверждение о существовании коллапса трехмерных каверн. Явление коллапса было подтверждено численными методами [27,28] . Коллапс ленгмюровских волн
создает поток плазмонов в коротковолновую область, где осуществляется диссипация колебаний за счет затухания Ландау с образование "хвостов" горячих электронов [27,29,30j или пересечения траекторий.
В одномерном случае (осуществляющемся, например, в сильном магнитном поле LJHe> U)ре [Зі] ) явление коллапса отсутствует, так как высокочастотное давление, меняющееся с характер-
_ д
ным размером каверны, как L ( S - размерность пространства), обязательно компенсируется тепловым давлением, изменяющимся, как L . Методом обратной задачи рассеяния было показано [32-34] , что в рамках уравнений Захарова начальное распределение ленгмю-ровских волн распадается на устойчивые солитоны, в которых высокочастотное давление точно скомпенсировано тепловым давлением плазмы. Важным свойством солитонов является также то, что для них реализуется минимум гамильтониана [35] . Поэтому солитон представляет собой фундаментальный объект одномерной сильной ленгмюровской турбулентности [Зб] .
Влияние модуляционной неустойчивости ленгмюровских колебаний на развитие пучковой неустойчивости и квазилинейную релаксацию пучка оказывается существенным, когда уровень плотности энергии генерируемых пучком плазменных волн превысит порог модуляционной неустойчивости (то есть для достаточно плотного пучка электронов). Основы теории взаимодействия пучка с плазмой в условиях развития модуляционной неустойчивости были построены А.А.Галеевым, Р.З.Сагдеевым, В.Д.Шапиро и В.И.Шевченко [37J . Развитие модуляционной неустойчивости приводит к появлению потока плазмонов из области черенковского резонанса и тем самым к увеличению времени релаксации пучка. В тоже время переход плазмы в сильнотурбулентное состояние создает эффективный канал передачи энергии электронного пучка частицам плазмы. В связи с этим пред-
ставляет интерес изучение особенностей взаимодействия пучка электронов с плазмой в режиме сильной ленгмюровской турбулентности [36-39] .
Наряду с исследованиями по взаимодействию пучка с мелкомасштабными пульсациями плазмы важное значение имеет изучение макроскопической (масштаба размеров пучка) неустойчивости распространения пучков в плазме. Экспериментально наблюдалась [40] потеря устойчивости релятивистского электронного пучка, сопровождавшаяся срывом тока. Наблюдаемые явления авторы связали с развитием диссипативной шланговой неустойчивости [41] .
Шланговая неустойчивость пучка в плазме конечной проводимости впервые была рассмотрена М.Н.Розенблюттом [42] , который показал, что при длинноволновых (с длиной волны на много превышающей длину бетатронных колебаний частиц пучка в собственном магнитном поле) возмущениях пучок смещается, как целое, без изменения формы (приближение "жесткого пучка"), смещение связано с действием центробежной силы, возникающей при изгибании пучка. При этом время развития неустойчивости определяется характерным временем диффузии магнитного поля в окружающей плазме. В последующих работах изучалось влияние замагничивания электронов плазмы на диссипативную шланговую неустойчивость [43] и рассматривались также другие моды диссипативных неустойчивостей пучка [44] . Попытка развить теорию Розенблютта на случай длин волн, сравнимых с бетатронной, была сделана в [41,45] , при этом задача решалась в сильно упрощенной модельной постановке, что не позволило, в частности, правильно учесть вклад резонансных эффектов.
В работах [46,47] была экспериментально обнаружена неустойчивость пучка релятивистских электронов с длиной волны, близкой к бетатронной, и временем развития, существенно меньшим харак-
.-9-
терного времени диффузии магнитного поля, приводящая к выбросу пучка на стенку дрейфовой камеры. Это явление было объяснено развитием резонансной резистишой неустойчивости пучка, обусловленной резонансным взаимодействием возмущений магнитного поля с частицами пучка, совершающими бетатронные колебания.
В плазме высокой проводимости существует другой тип шланговой неустойчивости, рассмотренный А.А.Ивановым и Л.И.Рудаковым [48] . В силу высокой проводимости пучок вместе со своим магнитным полем "вморожен" в окружающую плазму. Под действием центробежной силы пучок может перемещаться в поперечном направлении только вместе с плазмой, и скорость неустойчивости, как показано в [48] , оказывается порядка скорости звука. Развитием неустойчивости [48] были интерпретированы результаты эксперимента [49] по транспортировке сильноточного пучка электронов.
Следует отметить, что шланговая неустойчивость, обусловленная действием центробежной силы на пучок, имеет место, если результирующий ток в системе не превышает тока Альфвена
Ід = ХрУпС /Є 9 в обратном случае энергия магнитного поля
превышает кинетическую энергию продольного движения пучка и поэтому превалируют гидромагнитные неустойчивости плазмы с током (см., например, [50] ).
Данная диссертация посвящена вопросам в кругу освещенных выше проблем, а именно: взаимодействию пучка электронов с плазмой в режиме сильной ленгмюровской турбулентности, резонансным эффектам в крупномасштабной неустойчивости пучка заряженных частиц в плазме конечной проводимости ; а также самофокусировке пучков в неоднородной плазме.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 69 наименований.
В первой главе рассмотрена динамика ленгмюровских солитонов под действием пучка электронов и релаксация пучка в сильнотурбулентной плазме на основе модели турбулентности, сформулированной Л.И.Рудаковым [36 J . В первом параграфе методом усреднения по интервалу времени І- > &Л>е [26J получены уравнения, описывающие взаимодействие плазменных колебаний с пучком электронов и рассмотрено их частное решение типа солитона, взаимодействующего с пучком. Это взаимодействие может быть описано в терминах изменения интегралов движения - числа плазмонов и импульса солитона. Во втором параграфе рассмотрено изменение амплитуд и скоростей солитонов при взаимодействии с моноэнергетическим пучком, показано, что с течением времени в плазме остаются соли-тоны с близкими скоростями и амплитудами. Квазилинейная релаксация пучка при рассеянии на солитонах исследована в третьем параграфе как в задаче с начальными условиями, так и при инжекции пучка в полубесконечную плазму. В результате взаимодействия с ленгмюровскими солитонами пучок рассеивается почти упруго, а со-литоны теряют энергию высокочастотных колебаний.
Вторая глава посвящена изучению линейной стадии резонансной резистивной неустойчивости пучка заряженных частиц в плазме. Неустойчивость обусловлена резонансным взаимодействием возмущений коллективного магнитного поля с частицами пучка, совершающими бетатронные колебания, на гармониках бетатронной частоты си - к2 V2 = и, и)р ( к = + 1,+2, ...) в плазме конечной проводимости. В первом параграфе рассмотрено исходное невозмущенное состояние пучка и поля. Во втором параграфе интегрированием кинетического уравнения Власова для частиц пучка вдоль траекторий найдена поправка плотности тока пучка, вызванная действием возмущений электромагнитного поля. Выражение для плотности тока пучка использовано в 2.3 для получения дисперсионных соотноше-
- II -
ний в гидродинамическом и кинетическом случаях для наиболее бы-строразвивающихся резонансных мод. Приведены инкременты неустойчивости. В кинетической стадии неустойчивости инкремент максимален для моды типа "змейки" (с азимутальным числом to- =1). В заключение параграфа обсуждается область существования резонансной резистивной неустойчивости пучка и стабилизация ее за счет рассеяния частиц пучка на частицах плазмы. В 2.4 на основе полученных дисперсионных соотношений рассмотрено развитие в пространстве и во времени резонансной с пучком моды типа "змейки" при инжекции пучка в плазму.
В третьей главе проанализированы возможности самофокусировки пучка заряженных частиц в неоднородной плазме. Пучок в состоянии, близком к равновесному, может фокусироваться, если азимутальное магнитное поле нарастает или радиальное электрическое поле (при неполной компенсации заряда пучка) уменьшается вдоль направления распространения пучка. В первом параграфе рассмотрено движение частиц пучка в адиабатически медленно меняющемся вдоль пучка электромагнитном поле.
В 3.2 построена модель самофокусировки релятивистского электронного пучка, распространяющегося в редкой плазме с нарастающей плотностью ионов. Фокусировка обеспечивается уменьшением электростатического поля за счет растущей степени компенсации заряда пучка. В третьем параграфе рассмотрен механизм создания неоднородного азимутального магнитного поля токами термоконвекции в неоднородной вдоль направления распространения пучка плазме при нагреве, локализованном в области пучка.
В заключительном параграфе решена задача самофокусировки пучка в магнитном поле генерации при нагреве плазмы самим пучком за счет различных механизмов коллективного нагрева.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
Взаимодействие ленгмюровекого солитона с моноэнергетическим пучком
Рассмотрим теперь взаимодействие пучка с плазмой, в кото рой возбуждена одномерная ленгмюровская турбулентность в виде ансамбля солитонов с произвольными фазами колебаний. На основе результатов предыдущего раздела будем предполагать, что групповые скорости солитонов близки к V , а следовательно, взаимодейст вием солитон-солитон [ЗО] можно пренебречь. Будем считать, что пучок релаксирует в основном при взаимодействии с солитонами, пренебрегая слаботурбулентной частью спектра ленгмюровских коле баний, предполагая, как указывалось выше, что характерное время взаимодействия пучка с солитонами больше времени восстановления солитоннои структуры, и, учитывая, что резонансные с пучком плаз моны, рассеиваясь на возмущениях плотности солитонов, "сбивают" свою фазу и выходят из резонанса, если оцененная по формуле (I) с помощью соотношений TCCLV, « N Vi и —— к гґ г час тота рассеяния плазмонов превышает инкремент пучковой неустойчи вости
Процесс релаксации пучка на солитонной турбулентности может быть качественно описан следующим образом. Электрон, обладающий скоростью У tt pe/k0 , пролетая через солитон, эффективно взаимодействует с электрическим полем солитона и изменяет свою скорость на величину Д Яг Т( -и2/с/) /friir Многократные столкновения с солитонами, происходящие с частотой V" vA/ f приводят к диффузии функции распределения пучка в пространстве скоростей. Поскольку на начальной стадии пучок обязательно теряет энергию, то соответствующая скорость группировки солитонов растет и при "\- З ЩІ/с3 стремится к скорости звука С5 . Процесс диффузии функции распределения приводит к прекра щению роста энергии солитонов и к включению затухания ленгмюров ских колебаний, связанного с появлением быстрых электронов часть электронов пучка ускоряется на солитонной турбулентности, отбирая энергию от колебаний. В режиме затухания солитоны ускоря ются, асимптотически приближаясь к Cs . При этом число плазмо нов в солитоне обращается в нуль при его ширина 1-1 2. f 0 и соответствующее возмущение плотности Sna к0 остаются конечными. Рассмотрим явление релаксации более подробно. Коэффициент квазилинейной диффузии на солитонной турбулентности в безразмерных переменных имеет вид Ь - --7T2/\/( f-Vz) ck z-- (v- Vі) (введена безразмерная плотность солитонов с помощью соотношения /V- /V V -e/irDCs )т При ЇЇУ/2к0«і (или в физических пере / fin V_ менных к0 /j j" ]// с ) величина и может быть аппрок симирована выражением
Рассмотрим релаксацию пучка согласовано с динамикой еоли-тонной турбулентности в двух случаях: 1) в безграничной плазме (начальная задача) и 2) при инжекции пучка в полубесконечную плазму (граничная задача). I. Отбросим в левых частях (16)-(18) пространственные производные. Как указывалось выше, слиянием солитонов можно пренебречь, поскольку солитоны движутся с одинаковыми скоростя ми, поэтому число солитонов на единицу длины в однородной плазме не меняется со временем N - cans- . Перейдем от переменной времени К С = 2 її А/ ) ( f-vz) J-6 .
Применяя преобразование Лапласа, найдем решение диффузионного уравнения (16), соответствующее 6 -образной начальной функции распределения электронов пучка. При получении (20)-(24) предполагалось, что начальный уровень сильнотурбулентных шумов мал по сравнению с энергией пучка. Решение (22)-(24) означает, что релаксация электронного пучка на одномерной солитонной турбулентности приводит к сильному уширению первоначально узкой функции распределения пучка, к затуханию солитонов и рождению коротковолнового звука. Причем качест венно функция распределения пучка напоминает в области малых скоростей v « щ квазилинейную "ступеньку" с большой положительной производной д /91/ 0 при У = V± В области больших скоростей w»v функция распределения экспоненциально спадает:
При инжекции пучка электронов в полубесконечную плазму солитонная турбулентность может создаваться как сторонним источником, так и вследствие модуляционной неустойчивости возбуждаемых пучком ленгмюровских колебаний. В последнем случае, как известно, происходит накопление плазмонов вблизи границы плазмы І23] из-за малой групповой скорости волн V = ге « ігь и установившаяся плотность энергии колебаний в квазилинейной теории оказывается большой WQ }ПҐІ ь . Согласно q ч теории модуляционной неустойчивости [27],уже при уровне плотности энергии _ _ VJL Лік колебания оказываются неустойчивыми относительно самомодуляции, результатом развития неустойчивости в рассматриваемом одномерном случае будут солитоны, характерный размер которых и, соответственно, плотность энергии W0 hoTfp/L2 будут определяться условием баланса ( ьюД и Уу - инкременты модуляционной и пучковой неустойчи-востей, соответственно), то есть
Длина /. , на которой шумы нарастают до уровня W0 , как следует из квазилинейной теории, равна ъ її L Ylo vTe UVb V, VL 3 Ki A (25) ( Л - логарифм отношения энергии шумов W0 к энергии тепловых флуктуации). Рождающиеся в слое шириной L солитоны движутся в глубь плазмы с нарастающей скоростью V(x.) , причем в момент образования их скорость близка к V(o) =
В последнем нетрудно убедиться, рас i + Л ML смотрев законы сохранения числа плазмонов, энергии и импульса с учетом излучаемого звука при образовании солитона из ленгмюров-ского пакета
Квазилинейная релаксация электронного пучка на одномерной сильной ленгмюровекой турбулентности
Экспериментально исследованное явление развития поперечных крупномасштабных колебаний релятивистского электронного пучка [46,47,69] получило объяснение в теоретической модели резонансной резистивной неустойчивости пучка [46,53] .
Качественно механизм этой неустойчивости состоит в резо нансном взаимодействии между бетатронными колебаниями частиц пучка в результирующем азимутальном магнитном поле Н Q И перио дическими вдоль направления распространения пучка возмущениями магнитного поля S Н . При условии фазового резонанса К г-- Ша0 (где Къ - волновое число возмущения, VZ продольная скорость частиц пучка, Шо0 - Vz (2Г2 ) /О. 1д2 _ частота бетатронных колебаний, 1% - полный ток, а - радиус пучка, /г-- целое число) под действием силы Лоренца амплитуда бетатронных колебаний частицы будет изменяться во времени резонансным образом по закону:
Если, например, возмущение зависит от угла 9 как SH00 . (т.е. мода с т. = і ), то изменение амплитуд колебаний частиц приведет к смещению пучка как целого в поперечном направлении. Качественно этот эффект представлен на рис. 2 а для /г = -/ , где изображены в различные моменты времени две траектории (I и 2), отличающиеся фазой колебаний на 1/2 периода. Частица, движущаяся вдоль траектории (I), находится в фазе с возмущениями магнитного поля и под действием силы Лоренца увеличивает амплитуду своих колебаний, в то же время амплитуда колебаний частицы (2), нахо - 32 дящейся в противофазе, уменьшается. В результате появляется асимметрия распределения тока пучка, нарастающая во времени и пространстве вдоль направления распространения пучка. Для четных К возбуждаются симметричные колебания пучка (четные т. ). На рис. 26 представлено развитие симметричных возмущений с m = о К- г .
Оценивая возмущение плотности тока пучка как Ь] г эг ь из уравнения для магнитного поля, которое, например, для плазмы с конечной проводимостью ( & ) при условии Vzi а и й ( Vzi Л-частота столкновений с ионами плазмы или нейтральными атомами ионизованного газа) имеет вид и выражения для Jf в пределе tj = ——у- » получим оценку на инкремент неустойчивости
В столкновительной плазме или ионизованном газе с частотой столкновений электронов с ионами и нейтральными атомами еС а - еї + еа. » превышающей ларморовекую частоту вра щения электронов в магнитном поле Уе а Не. » динамика электромагнитных полей сравнительно медленных процессов си Н-с о. 5 — (си, А - характерные частота и размер возму щений поля) в присутствии стороннего тока пучка J описываются уравнением
Качественная картина изменения траекторий (1,2) (пунктирные линии) и огибающей частиц пучка (сплошные линии) под действием возмущений магнитного поля 8 Ив Для двух последовательных моментов времени і-о І І при развитии антисимметричной (а) и симметричной (б) мод неустойчивости. - 34 czdt/\ AA+ c Vd±r + 6-7Г - —JL i (I) где d - WpeAfi Vei: a - проводимость плазмы, А и У - векторный и скалярный потенциалы магнитного п = wt и электрического Е с ді полей. Калибровочное условие выберем в виде dtir А = О
Пучок заряженных частиц будем описывать кинетическим уравнением с самосогласованными полями без интеграла столкновений где f - функция распределения частиц пучка с массой покоя ть и зарядом / , X - релятивистский фактор. Для входящей в правую часть уравнения (I) плотности тока пучка имеем выражение h = n rf p. (з)
Пусть в исходном (невозмущенном) состоянии цилиндрический пучок заряженных частиц с функцией распределения (= -f o рас пространяется вдоль оси 5- в плазме с плотностью электронов »h. Ifd2/? с самосогласованным электромагнитным полем (с потенциалами А = А0 , $-% ) тока пучка и тока индукции электронов плазмы - р . Ток индукции, как известно, возникает в плазме при инжекции в нее пучка заряженных частиц под действием вихревого электрического поля в направлении, противоположном току пучка и согласно уравнению (I) за диффузион-ное время ( а - радиус пучка) диссипирует за счет конечной проводимости плазмы.
Решение кинетического уравнения и вычисление плотности тока пучка
Линеаризуем кинетическое уравнение (2) для частиц пучка относительно возмущений функции распределения Т г о "+ f и электромагнитного поля А - А0+ А р f - f0
Интегрируя вдоль траекторий, получим отсюда возмущение функции распределения и подставим его в выражение для плотности тока пучка (3) _ - д? Интегрирование по времени в правой части (21) ведется вдоль невозмущенных траекторий (16)-(18).
Предположим, что возмущения электромагнитного поля зависят от времени, координаты 2" и азимутального угла 0 как e-x.pl-iuJ-6-h ikzz+ Ch-i&l , и будем рассматривать область параметров, где JT « 1 , (22) Pi « Р , (23) KzA kza«i . (24)
Неравенство (22) является условием адиабатичности, для релятивистских частиц /3 - У оно совпадает с условием применимости уравнения для электромагнитного поля (I), оно также позволяет пренебречь в (21) вихревыми электрическими полями, и, как будет ясно ниже, его достаточно, чтобы пренебречь и потенциальными полями как в (I), так и в (21). Неравенство (23) аналогично условию (15), при котором получены уравнения траекторий, и позволяет вместе с соотношением пренебречь изменением во времени и разбросом компоненты импульса pz . Условие (24) показывает, что основными в динамике пучка являются поперечные к пучку компоненты электромагнитного поля.
Из уравнений для траекторий (16)-(18) следует, что подын-тегральная функция в выражении для плотности тока Д (21) зависит от времени как Е() вх/э ( iw + LK2V2 t) 9 где F(-6.) периодическая функция с периодом и V? - /3 с м- средняя скорость переноса частиц вдоль Z . Для периодической части подынтегрального выражения применим разложение в ряд Шурье по гармоникам бетатронных колебаний, одновременно воспользуемся тем, что функция распределения \г0 зависит от интегралов невозмущенного движения и поэтому не меняется вдоль траектории. Выражение для плотности тока пучка (21) примет вид коэффициенты разложения в ряд $урье.
Правая часть (25) содержит две суммы ( U и, и / ), связанные с изменением поперечной энергии В/У и момента импульса М частицы, соответственно, причем изменение момента импульса частиц имеет место только для мод с w-Ф О .
Взаимодействие возмущений электромагнитного поля с частицами плазмы наиболее эффективно, если выполняется условие фазового синхронизма to- kzV - и, u/p , когда частота колебаний поля в движущейся вместе с частицей системе координат близка к гармонике бетатронных колебаний частицы. Подобное явление хорошо известно в физике взаимодействия волн в магнитоактивной плазме с совершающими ларморовское движение электронами и ионами [54,55.] , в частности по аналогии мы можем говорить о "нормальном" при ки О и "аномальном" при h, О эффекте Допплера, а влияние зависимости скорости частиц и частоты бетатронных колебаний от энергии поперечного движения Є/К в (25) качественно близко к эффекту уширения линии поглощения (излучения) волн за-магниченными частицами при учете релятивизма 54] .
Для вычисления интегралов в выражении для плотности тока пучка (25) и коэффициентов разложения в ряд фурье заметим, что из линеаризованного относительно возмущений электромагнитного поля уравнения (I) для векторного и скалярного потенциалов и равенства (25) следует оценка на соотношение между компонентами векторного потенциала Кроме того, если воспользоваться уравнением непрерывности для пучка х I ои /г / = імг .А ( VIі - возмущение плотности пучка), которое непосредственно следует из кинетического уравнения и является одним из его инте грало в, и равенством h, J. /dac (справедливым в силу условия pz » pj. ), получим соотношение между скалярным потенциалом и Z -компонентой векторного потенциала HL„ 4 7Гб со2 аг д" рс2(-си;+/,7Гб) При произвольном соотношении между со и d выполнено условие
Таким образом, условий (22) ( сиа/рс « і ) и (23) (рг » рх ") достаточно, чтобы существенно упростить выражение для плотности тока пучка (25), пренебрегая потенциальным электри ческим полем и из всех компонент векторного потенциала оставляя только Ag ,тогда для получения дисперсионного соотношения достаточно рассмотреть лишь 2 -компоненту уравнения, в котором отброшена потенциальная часть
Самофокусировка релятивистского пучка электронов в редкой плазме
С увеличением полного тока ширина спектра частот бетатрон-ных колебаний и разброс средних скоростей частиц пучка возрастает. Условие фазового синхронизма между возмущениями электромагнитного поля и частицами пучка может стать невыполнимым одновременно для всех частиц пучка. Если для некоторого v - vr (или энергии = Еґ = V fm ) будет выполнено условие, противоположное (35) \ш- къУъ(и ) и,ш ( )\ тф г\ кЕ 0\ (42) (число h. по-прежнему соответствует резонансной моде (34)), то с полем взаимодействуют резонансным образом только частицы с энергией в , лежащей в 5 X2/32tnLc2--—- « окрестности, точки = .В этом случае в уравнении (33) для величин Ак интегрирование следует проводить по правилу Ландау. Выделяя в правой части (33) интеграл в смысле главного значения и учитывая вклад полюса в точке резонанса w- t zvz (ігґг) - h сор (уҐг) - о , получим (здесь мы сняли сумму по h, , оставив только главное слагаемое с и, - Пр. (34), соответствующее резонансной моде, которое в V f №(,/» і раз превышает остальные члены суммы). В пре дельном случае ; « к рс- hujp0 правая часть уравнения (43) практически не зависит от со и вычислить искомый набор ча стот (V можно, приравнивая величину - С ш Ь собственным значениям матрицы, составленной из коэффициентов при А и Ag в правой части (43), в которых си приравнена нулю. Однако это молено сделать, то ль ко задавая конкретные числовые значения входя щим в правую часть (43) параметрам и функциям. В более общем виде дисперсионное соотношение можно получить для макроскопической неустойчивости с соЬ у hx.2ьп.г , где я и т. считаются небольшими. Тогда, как обсуждалось в пункте (а) для неустойчивости гидродинамического типа, существенны только возмущения с 2. уИк LO bj и приближенно дисперсионное соотношение можно записать, используя выражение для тока пучка (37), в виде icotj =- ЬїїЩЬ- V J z) (44) где V СКг)- собственное значение матрицы { &ке/ размерностью /V х /V при данном /сг с безразмерными ком плексными элементами & кг которые зависят только от номеров к , , чисел m и V , формы функции распределения и положения полюса гг (т.е.- фактически от отношения КгЛ" ).
Из дисперсионного соотношения следует, что неустойчивость имеет место, если существует собственное значение с положительной действительной частью йе Ы(1 о . Такое собственное значение обязательно найдется, если действительная часть суммы диагональных элементов (следа) матрицы \&т\ положительна. А из выражения для элементов && видно, что независимо от знака производной существует К г , для которого след матрицы положителен, например, при дФ/ЭУ 0 на всем интервале интегрирования след заведомо положителен при К z - - к Кр0 (т.е. tfr - 0 ). Таким образом в кинетическом случае также существуют неустойчивые возмущения пучка и электромагнитного поля.
Областью параметров существования кинетической неустойчивости, оцененной из условия на величину разброса энергии поперечного движения частиц пучка (42), является
Для моды типа "змейки" т. = / с длиной волны, близкой к бетатронной h- - ± I, инкремент кинетической неустойчивости особенно велик и достигается для волного числа К? = + K/zo » т.е. при 1 . - 0 .В этом случае под интегралом в смысле главного значения в уравнении (43) функция Е ке (У) при v -+o пропорциональна переменной v , действительно, согласно (32) К. Ьції іХк) г+кі к) J tn-n. \ / 2ir J m+H (Xe) dV \xt) Jm+n. (%e) Jm- \xk:) гіг J 4-n{Xk) Jfo + ь ( Аг)тТр иъ-ъ\Хк) и при v- о Ііп+и.1+ \УУх-к[ bKe- \\to. + Kl-lhT.-KJ о для на = /к/ = і . Тогда для функции распределения с Ф 2) у=о о асимптотическое поведение интеграла в смысле главного значения при vt О определяется главным образом областью интегрирования в окрестности начала координат V- о и имеет вид
