Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Нестационарная теория вынужденного излучения релятивистского электронного пучка в электростатическом ондуляторе
1.1. Вывод нестационарных нелинейных уравнений теории излучения РЭП в электростатическом поле накачки 9-21
1.2. Линейное приближение. Инкременты резонансных пучковых неустончивостей в электростатическом поле накачки 21-25
1.3. Нелинейная динамика уединенных волновых импульсов при конвективной и абсолютной неустойчивости излучающего пучка 26-36
Глава 2. Вопросы теории СВЧ генераторов на черепковском излучении прямолинейных электронных пучков
2.1. Исходные линейные уравнения и постановка задачи 37-41
2.2. Генераторы попутных волн на коллективном эффекте Черенкова 42-44
2.3, Генераторы встречных волн на коллективном эффекте Черенкова 44-52
2.4. Генераторы попутных волн на одночастичном эффекте Черенкова 52-55
2.5. Некоторые вопросы теории генераторов встречных волн на одночастичном эффекте Черенкова 56-58
2.6. Стартовые условия начала генерации в ЛСЭ на ондуляторном излучении в электростатическом поле накачки 58-61
2.7, Нелинейная динамика абсолютной неустойчивости при ондуляторном излучении РЭП в резонаторе с выходом излучения 61-77
Глава 3. Нелинейная нестационарная теория вынужденного излучения РЭП в циркулярном магнитостатическом поле накачки
3.1. Постановка задачи. Основные нелинейные уравнения 78-82
3.2. Линейное приближение 83-88
3.3 Стартовые условия начала генерации в ЛСЭ с циркулярной магнитостатической накачкой 88-89
3.4. Численное моделирование нелинейной динамики пучковой неустойчивости в циркулярно поляризованном магнитостатическом ондуляторе 90-101
Заключение 102-103
Литература 104-107
- Линейное приближение. Инкременты резонансных пучковых неустончивостей в электростатическом поле накачки
- Нелинейная динамика уединенных волновых импульсов при конвективной и абсолютной неустойчивости излучающего пучка
- Генераторы встречных волн на коллективном эффекте Черенкова
- Численное моделирование нелинейной динамики пучковой неустойчивости в циркулярно поляризованном магнитостатическом ондуляторе
Введение к работе
Релятивистский пучок электронов во внешнем периодическом поле может быть источником коротковолнового когерентного электромагнитного излучения, называемого ондуляторпым [1-3]. На вынужденном ондуляторном излучении основаны перспективные источники электромагнитных волн - лазеры и мазеры на свободных электронах [4-9]. Внешнее периодические поле, называемое еще волной накачки, может быть электростатическим (электростатический ондулятор [10-11]), магнитостатическим (магнитостатический ондулятор [10]), а также переменным, как в пространстве, так и во времени. Собственно об ондуляторном излучении имеет смысл говорить, если волна накачки поддерживается неизменно с помощью некоторого независимого внешнего источника. Если же волна накачки является собственной волной среды, в которой распространяется электронный пучок, то правильнее говорить не об излучении, а о рассеянии па пучке с возможным преобразованием частоты [12-13]. Перспективной средой для создания волн накачки с весьма разнообразными структурами, амплитудами, поляризациями, пространственно-временными периодами является плазма [14] (плазменный волновод). Для создания и поддержания волны накачки в плазме целесообразно использовать вспомогательные нереляти-внетскне пучки электронов [15]. Идея использования плазменных структур для реализации когерентного ондуляторного излучения релятивистских электронных пучков и рассеяния плазменных волн на таких пучках возникла в рамках нового направления современной физики - плазменной релятивистской СВЧ-электроники [16]. В периодических системах электронный пучок легко излучает (возбуждает) как попутные, так и встречные электромагнитные волны. По терминологии физики плазмы такое излучение электронных пучков относится к резонансным неустойчивостям - конвективной и абсолютной, - развивающимся в условиях одночастинного или коллективного эффектов Черенкова в системах конечной длины. Разработка нелинейной нестационарной теории этих иеустой-чивостей представляется важной как для нужд СВЧ электроники, так и для физики плазмы вообще. Заметим, что теория вынужденного излучения релятивистских пучков в электростатических и мапштостатичсских ондуляторах уже излагалась ранее (см. например [6,11,17]). Однако в известных нам теоретических исследованиях этого направления ограничивались решением только так называемых граничной и начальной задач [18], что позволило рассматривать лишь установившиеся процессы в системах с внешней накачкой. Для изучения же различных нестационарных и переходных процессов в лазерах на свободных электронах и аналогичных генераторах электромагнитного излучения этого явно недостаточно. К числу важных нестационарных явлений, требующих для своего описания существенно более полной нелинейной пространственно-временной математической модели, относятся самовозбуждение колебаний в электродинамической системе лазера конечной длины, установление колебаний в системе и формирование спектра излучения.
Одночастичный и коллективный эффекты Черепкова являются основными фундаментальными механизмами вынужденного излучения электронных пучков в средах с замедленными волнами и системах типа лазеров на свободных электронах. Физическая природа эффектов подробно рассмотрена в обзорах [19,20]. По классификации электродинамики плазмы и плазмоподобных сред коллективный эффект Черепкова относится к взаимодействиям типа волна-волна [21]. Причем, энергия одной из взаимодействующих волн при коллективном эффекте отрицательна. Математически линейная теория коллективного эффекта Черепкова в ограниченной области пространства сводится к решению задачи на собственные значения для однородной дифференциальной системы второго порядка. В работе [22] указано на аналогию вынужденного излучения пучка при отрицательной энергии одной из волн с еще одним фундаментальным механизмом излучения - аномальным эффектом Доплера.
Одночастичный эффект принадлежит к взаимодействиям типа волна-частица. В математическом плане линейная теория одночастичного эффекта Черепкова в ограниченной области пространства сводится к решению краевой дифференциальной задачи третьего порядка. Из-за более высокого порядка дифференциальной задачи теория одночастинного эффекта Черепкова оказывается существенно более сложной теории коллективного эффекта. Что касается нелинейной теории обоих эффектов, то в виду серьезных математических трудностей, для ее построения требуется привлечение численных методов.
В литературе по физике плазмы одпочастичный и коллективный эффекты Черепкова часто рассматривают как разновидности резонансных пучковых не-устойчивостей [17,23]. Применение методов и терминологии общей теории не-устойчивостей, развитой в физике плазмы и родственных ей областях [23-26], при рассмотрении одночастинного и коллективного эффектов Черепкова весьма плодотворно и должно несомненно использоваться при построении теории эффектов Черенкова в лазерах на свободных электронах и аналогичных им источниках электромагнитного излучения.
Цель настоящей диссертационной работы состоит в теоретическом исследовании конвективных и абсолютных излучательных черепковских неустойчи-востей прямолинейных релятивистских электронных пучков в пространственно ограниченных электродинамических системах лазеров на свободных электронах с электростатическим и маппітостатическпм полями накачки. Специфика исследования обусловлена существенно различным пространственным масштабом изучаемых процессов: большие длины волны накачки и электродинамической системы и короткие длины волн излучения и плотности заряда электронов пучка.
В диссертации впервые с использованием методов усреднения проведено исследование нестационарной нелинейной динамики абсолютных и конвективных пучковых неустончивостей при одночастичном и коллективном эффектах Черенкова в ограниченных областях пространства с инжекцией электронного пучка и выводом СВЧ излучения. Получены линейные решения, определяющие пороги развития указанных неустойчивостей в резонаторах с электростатической и магнитостатической накачками при произвольной величине отражения излучаемых волн от продольных границ резонатора.
Работа носит теоретический характер в области физики плазмы и релятивистской СВЧ электроники. Полученные в диссертации уравнения для медленных амплитуд волн излучения и плотности заряда пучка являются эффективным универсальным средством исследования разнообразных нестационарных пространственно-временных процессов нарастания и установления электромагнитных колебаний в лазерах на свободных электронах, расчета спектров, мощностей и других характеристик СВЧ излучения. Комплекс компьютерных программ, созданных в процессе работы над диссертацией может использовать при расчете конкретных генераторов электромагнитных волн. Непосредственное практическое применение имеют и аналитические формулы для стартовых условий начала генерации в электростатическом и мапштостатическом ондуляторах с релятивистскими электронными пучками.
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры физической электроники физического факультета МГУ им. MB. Ломоносова, XXXII звенигородской конференции по физике плазмы и УТС (Звенигород 2005 г.), конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2005" (Москва 2005).
По теме диссертации опубликовано шесть научных работ (из них три в реферируемых научных журналах).
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 107 страницах, включая 29 рисунков, 1 таблицу и библиографию из 42 наименований.
Во введении кратко обрисовывается суть проблемы, цель диссертационной работы, ее научная новизна и практическая значимость, а также кратко излагается содержание.
В первой главе рассмотрена нестационарная теория вынужденного излучения релятивистского электронного пучка в электростатическом ондуляторе. В 1.1. получены нестационарные нелинейные уравнения теории излучения РЭП в электростатическом поле накачки и в 1.2. в основе этих уравнений в линейном приближении вычислены инкременты резонансных пучковых неус- тойчивостей в электростатическом поле накачки. В 1.3. методом крупных частиц промоделирована нелинейная динамика уединенных волновых импульсов при конвективной и абсолютной неустойчивости излучающего пучка. Установлены скорости переноса импульсов на нелинейной стадии неустойчиво-стей, а также их эволюция. Показаны фазовые плоскости электронов пучка при различных режимах.
Во второй главе рассмотрена общая теория СВЧ генераторов, основанных на черенковском излучении прямолинейных электронных пучков. В 2.1. выведены исходные линейные уравнения. В 2.2. и 2.3. рассмотрены генераторы попутных и встречных волн на коллективном эффекте Черснкова, в 2.4. и 2.5. исследованы генераторы попутных и встречных волн на одночастичном эффекте Черенкова. В 2.6. найдены стартовые условия начала генерации в ЛСЭ на ондуляторном излучении в электростатическом поле накачки. В 2.7. промоделирована нелинейная динамика абсолютной неустойчивости при ондуляторном излучении РЭП в резонаторе с учетом выхода излучения. Найдены спектры излучения и исследована динамика установления нелинейных колебаний в резонаторе.
Третья глава посвящена рассмотрению нелинейной нестационарной теории вынужденного излучения РЭП в циркулярном магннтостатическом поле накачки. В 3.1. получены основные нелинейные уравнения и в 3.2. после линеаризации этих уравнений определены инкременты развития неустойчивости в различных режимах. В 3.3 установлены стартовые условия начала генерации в ЛСЭ с циркулярной мапштостатической накачкой. В 3.4. численно промоделирована нелинейная динамика пучковой неустойчивости в циркулярно поляризованном магннтостатическом ондуляторе.
В заключении перечисляются основные результаты диссертационной работы.
Линейное приближение. Инкременты резонансных пучковых неустончивостей в электростатическом поле накачки
Самое сильное взаимодействие между излучением (функция Ф) и пучком (функция 91) имеет место, если недифференцнальный член в левой части второго уравнения (1.2.5) равен пулю (это известно нз общей теории взаимодействия волн [13,32]). Поэтому, считаем, что выполнено условие резонанса (1 - )стА = 2?. Последнее, с учетом малости параметра аь, запишем в виде:
Равенства (1.2.6) означают условия резонанса между электромагнитной волной и одной нз пучковых волн плотности заряда. Учитывая (1.2.6) и малость аь, преобразуем уравнения (1.2.5) к следующей форме:
Подставляя в систему (1.2.7) решение вида 95,Ф ехр(-Юг-и кс), получим следующее дисперсионное уравнение для безразмерных частоты Q и волнового числа к: Заметим, что истинные размерные частота и волновое число определяются соотношениями: у =u?0(l + fi), к = к0+к{ка+х). Решим дисперсионное уравнение (1.2.8) относительно частоты Q. Можно показать, что максимум мнимой части частоты достигается при к = 0. Ограничиваясь вычислением только максимальных инкрементов, запишем дисперсионное уравнение в виде: Отсюда, при выполнении неравенства находим инкремент неустойчивости, обусловленной ондуляторным излучением пучка в режиме одночастинного вынужденного эффекта Черепкова [19,20]: При выполнении неравенства противоположного (1.2.10) комплексные Q есть только, если в уравнении (1.2.9) взят нижний знак минус. Нижний знак должен быть взят и в условии (1.2.6), что означает резонанс между полем излучения и медленной волной пространственного заряда пучка. Если то из уравнения (1.2.9), взятого со знаком минус, следует инкремент неустойчивости, обусловленной ондуляторным излучением пучка в режиме коллективного вынужденного эффекта Черепкова [19,20]: I На Рис. 1.1 представлены дисперсионные кривые - зависимости Й = П(А-), полученные решением точного дисперсионного уравнения (1.2.8) при различных значениях волнового числа л- и "K = -- oTb {yb =1 + / ). Зависимости инкрементов неустойчивостей Imfi(v) показаны на рисунках штрихованными линиями. Рисунки построены при ab=0,Ql и различных значениях 0 и vg. Причем рассмотрены случаи разных знаков безразмерной групповой скорости vg излучаемой электромагнитной волны. Поскольку скорость пучка » 0 (ее знак такой же, как у vb), то при vg 0 имеет место неустойчивость па попутной волне, которая является конвективной. При 0 неустойчивость развивается на встречной волне и является абсолютной [24]. На Рис. 1.1а и 1.16 скорость vg =1,3 0, поэтому эти рисунки иллюстрируют дисперсионные кривые при конвективной неустойчивости. На Рис. 1.1а 0 = 0,5, что при аь = 0,01 соответствует случаю (1.2.10), когда неустойчивость обусловлена одночастичным эффектом Черепкова (на попутной волне), а максимум инкремента вычисляется по формуле (1.2.11) (в данном случае эта формула дает ImQ u,l2, что близко к значению с Рис. 1.1а; небольшое отличие обусловлено тем, что рисунки строились по точному уравнению (1.2.8), без применения упрощающих неравенств). На Рис 1.16 0 = 0,05, что при аь=0,0\ соответствует случаю (1.2.12), т.е. неустойчивость обусловлена коллективным эффектом Черепкова (опять на попутной волне), а максимум инкремента вычисляется по формуле (1.2.13) (по этой формуле имеем imQ » 0,035, что практически совпадает со значением с Рис 1.16). Сравнение Рис. 1.1а и Рис. 1.16 показывает, что переход от одночастичного эффекта к коллективному сопровождается уменьшением инкремента и сужением области волновых чисел х:, где имеется неустойчивость. Последнее должно приводить к сужению спектра возбуждаемых колебаний. На Рис. 1.1 в н 1.1 г скорость =-1 0, поэтому эти рисунки иллюстрируют дисперсионные кривые при абсолютной неустойчивости: Рис. 1.1 в (0 = 0,5) описывает неустойчивость, обусловленную одночастичным эффектом Черепкова на встречной волне, а Рис. 1.1 г (0 = 0,05) соответствует неустойчивости на встречной волне в режиме коллективного эффекта Черепкова. Как правило, неустойчивости на встречных волнах являются более узкополосными по к , чем неустойчивости на попутных волнах, что видно из Рис. 1.1.
Нелинейная динамика уединенных волновых импульсов при конвективной и абсолютной неустойчивости излучающего пучка
Перейдем теперь к рассмотрению ондуляторного излучения в режиме коллективного эффекта Черепкова. Для этого выберем параметры, при которых выполнено неравенство (1.2.12): сг6 =0.01, в = 0.05. Ограничимся сейчас неустойчивостью на попутной волне, положив vg =0.95, к абсолютной же неустойчивости мы еще вернемся в следующей главе. Для численного моделирования положим количество крупных частиц на длине волны N = 300, а расчетную область определим задав NA=90.
В линейном приближении при конвективной неустойчивости в режиме коллективного эффекта импульс нарастает с инкрементом (1.2.13) и переносится в пространстве со скоростью (1.3.3)
В используемых безразмерных переменных скорость (1,3.3) определяет следующий закон пространственного перемещения импульса х»(l12+vg/2)r + const. На Рис. 1.6 представлена динамика импульса при коллективном эффекте Черепкова. На начальной (линейной) стадии (Рис. 1.6а) эволюция импульса протекает в хорошем согласии с тем, что дает линейная теория. При т 250 амплитуда нарастает с линейным инкрементом (1.2.13). Только к моменту г = 214, как видно из рисунка, наблюдается искажение формы импульса, обусловленное действием нелинейных эффектов. В дальнейшем (Рис. 1.66) рост амплитуды импульса замедляется, а затем выходит на некоторое квазистационарное значение. На поздних стадиях форма импульса сильно искажается и происходит его заметное ушнрение. В течение всего времени наблюдения точка максимума амплитуды движется практически равномерно, по закону линейной теории Л: » z + const. Механизмом нелинейного насыщения неустойчивости при коллективном эффекте Черепкова является захват электронов пучка полем пучковой волны плотности заряда, осложненный добавочным действием со стороны поля комбинационной волны. Обычно при этом происходит сильная хаотизация электронного пучка [17]. На Рис. 1.7 для трех моментов времени представлены фазовые плоскости электронов. Положение и размер возмущенной области пучка на всех стадиях в точности совпадают с областью локализации импульса поля. На стадии насыщения регулярные структуры в расположении электронов на фазовой плоскости практически отсутствуют, что действительно свидетельствует о сильной хаотизации пучка в области импульса. Последнее хорошо видно из фазовой плоскости для г-471, особенно из увеличенного ее фрагмента (последний кадр на Рис. 1.7). Подводя итоги отметим, что нестационарные и переходные процессы при резонансном излучении электромагнитных волн электронным пучком в электростатическом поле накачки могут быть эффективно описаны и исследованы с помощью усредненных уравнений (1.1.35). Успешное применение аналогичных уравнений и подобного подхода к решению нелинейной задачи было продемонстрировано ранее при моделировании релятивистских плазменных СВЧ генераторов [16]. В Главе I настоящей диссертационной работы мы ограничимся решением задачи о нелинейной динамике уединенного импульса, излучаемого пучком при различных режимах его резонансного взаимодействия с полем. В следующей главе уравнения (1.1.35) будут применены к решению краевых задач об излучении пучков в электродинамических системах с выводом излучения. При разработке общей линейной теории СВЧ генераторов электромагнитного излучения исходим из следующих уравнений, описывающих в линейном приближении черепковское взаимодействие прямолинейного электронного пучка с некоторой замедляющей электродинамической системой волноводного типа [16]: Здесь Ab(t,z) функция, характеризующая состояние электронного пучка, Д..{Лг)- характеризует состояние электродинамической системы, Dw{&,k)-дифференциальный оператор, описывающий динамику электродинамической системы, Gt, Sb и S„ - некоторые безразмерные операторы, mv - величина размерности частоты, ть - лснгмюровская частота электронов пучка, а & и Jf- операторы частоты и продольного волнового числа: При написании (2.1.1) предполагалось, что электронный пучок движется со скоростью и вдоль электродинамической системы, ориентированной по оси OZ. Например, если безграничный пучок движется в безграничной электронной плазме, то [23]: Gt=Sb=S„ = \, (ow=cop, Ц,(й,) = -й:+ +3 , й -ленгмюровская частота электронов плазмы, а УТе-\хк тепловая скорость. В дальнейшем будет показано, что к уравнениям (2.1 Л) могут быть сведены и ли неГшые уравнения (1.2.7), описывающие вынужденное излучение пучка в электростатическом ондуляторе. Уравнения (2.1.1) получены обобщением результатов исследования многих систем (вакуумных и плазменных), в которых реализуется вынужденное черепковское и дипольиос (п том числе и ондуляторное) излучение электронных пучков и вынужденное рассеяние интенсивных электромагнитных волн на пучках [34]. Уравнениями типа (2.1.1) описывается и вынужденное циклотронное излучение винтовых электронных пучков [17] и потоков осцилляторов [25] во внешнем магнитном поле. Резонансное взаимодействие электронного пучка с электродинамической системой возможно только при наличии решения у следующей системы: где D и к- частота и волновое число. Предположим, что система уравнений (2.1.3), определяющая на плоскости к,со резонансную точку, имеет решение: к = к0, У = Й.
Генераторы встречных волн на коллективном эффекте Черенкова
Известно, что одночастпчный эффект Черенкова на попутной волне является конвективной неустойчивостью, при которой любые финитные возмущения сносятся по движению пучка и в каждой фиксированной точке пространства при t -»«з из-за сноса затухают [23-25]. Наличие границ препятствует сносу возмущений и при выполнении порогового условия (2.4.16) приводит к их нарастанию в любой точке z на отрезке [0,11.
Следует отметить, что одночастпчный эффект Черенкова представляет значительный интерес для многих разделов физики, в том числе и СВЧ-электроникн - вакуумной и плазменной. Так, одночастпчный эффект Черенкова на попутной волне, при определенных условиях, лежит в основе работы усилителей (ламп) бегущей волны (ЛБВ) [35,36]. Неравенство (2.4.16) есть условие самовозбуждения усилителя, т.е. перехода в режим генерации. Плазменные генераторы бегущей волны на одночастнчном вынужденном эффекте Черенкова рассмотрены в работах [16,31,37], где излагаются и результаты их успешной экспериментальной реализации. Переидем теперь к случаю Vs 0, когда излучаемая волна распространяется в сторону, противоположную направлению движения пучка-одночастичное возбуждение встречной волны в ограниченной области пространства. Формулы (2.4.1), (2.4.2) справедливы и в этом случае, но с заменой Vg на - Vg , а вот простых приближенных выражений вида (2.4.4) не достаточно. В связи с чем теория одночастичного эффекта Черенкова на встречной волне в ограниченной области пространства оказывается более сложной. Поэтому здесь мы изложим не всю линейную теории, а ограничимся только пороговым условием развития неустойчивости. Начнем с простого частного случая, когда граница z = L абсолютно прозрачна для электромагнитного излучения. Подставляя решение (2.4.2) в граничные условия (2.1.18) при л-2=0, получим систему линейных однородных уравнений
Здесь V - VS 0. Исключая далее из (2.5.1) постоянные А, В и С, находим следующее характеристическое уравнение для собственных частот: справедливое при КХК2 =0, т.е. при пулевой (точнее минимальной) добротности резонатора, в котором электронный пучок излучает встречную волну. Заметим, что в случае попутной волны при / =0 из (2.4.15) при конечном L имеем Іти»- -« , что означает невозможность развития неустойчивости. Дело как известно в том, что пучковая неустойчивость на попутной волне является конвективной. Для возможности такой неустойчивости в ограниченной системе необходимо конечное отражение от се продольных границ. Неустойчивость пучка на встречной волне является абсолютной. Такая неустойчивость возможна и при полном отсутствии отражения. Тем не менее учет конечного отражения в теории пучковых неустойчивостеП важен, поскольку в реальных условиях отражение не всегда удается сделать малым (см. 1.3, где исследована рассмотрена абсолютная пучковая неустойчивость в коллективном режиме). Для учета отражения электромагнитных волн от границ z = О, L подставим решение (2,4.2) в общие граничные условия (2.4.1). В результате получим систему где kjt =kj А:4. Сравнивая теперь (2.5.4) с (2.5.1) и используя уравнение (2.5.2), сразу получим следующее дисперсионное уравнение, описывающее одночас-тичный эффект Черенкова на встречной волне с учетом конечного отражения электромагнитных волн от продольных границ резонатора: He сложно видетЬ) что уравнения (2.5.2) и (2.5.5) удовлетворяются тождественно в точках ветвления функций #l2j( a), т.е. при выполнении одного из следующих условий: Однако, при этом из второго выражения (2.4.2) и первых двух граничных условий (2.1.18) имеем, что Ab(z) = 0y т.е. решение задачи является тривиальным. Тем не менее соотношения (2.5.6) имеют смысл: одна из точек ветвления лежит в верхней полуплоскости комплексной плоскости а , а именно: Выражение (2.5.7) дает инкремент абсолютной пучковой неустойчивости в сис теме бесконечной длины (см. далее), Этот же инкремент имеет в рассматриваемой системе и так называемая глобальная пучковая неустойчивость [24,25]. Уравнения (2.5.2) и (2.5,5) удается решить только численно, но здесь не будем рассматривать детали этого весьма сложного численного анализа. Сформулируем только основной результат: для развития неустойчивости, обусловленной одночастичпым вынужденным эффектом Черенкова на встречной волне в системе конечной длины, требуется выполнение условия где Imu - инкремент неустойчивости при одночастичном вынужденном эффекте Черенкова (в системе бесконечной длины), а /?( -)- величина, близкая к единице в широком диапазоне изменения к [40].
Численное моделирование нелинейной динамики пучковой неустойчивости в циркулярно поляризованном магнитостатическом ондуляторе
Этот процесс повторяется до тех пор, пока ширина импульса не становится примерно равна длине системы (г = 1074). До этого времени вторая гармоника волны плотности пучка р1 мала и становится заметной после полной модуляции пучка (г = 1320). В итоге устанавливается квазистационарный режим.
На Рис. 3.6 для того же случая изображены фазовые плоскости электронов пучка в различные моменты времени (по горизонтальной оси отложены безразмерные координаты у, по вертикальной - безразмерные скорости электронов г]). Анализ фазовых плоскостей позволяет установить основной механизм нелинейной стабилизации неустойчивости. На начальной стадии развития неустойчивости (г =3.8) имеется малая линейная модуляция пучка синусоидальной волной с огибающей вида (3.4.16). Видно, что со временем возмущение расширяется. Момент времени т = 1320 соответствует началу процесса нелинейного насыщения и явления захвата электронов пучка электромагнитной волной (захват частиц гармонической волной подробно рассмотрен в литературе, см., например, [17,33]). При г = 2450 захват уже произошел, разбиение пучка на сгустки завершилось.
На Рис. 3.7 для некоторых моментов времени г показаны пространственные распределения амплитуд резонансной волны л_(х,т)\ (обычные линии) и отраженной волны \А1ЯЯр(х1т)\ (жирные линии). Начальный импульс (3.4.16) распространяясь в отрицательном направлении, полностью отражается от границы г = 0. Отраженный импульс \Аотр(х,т)\ без взаимодействия с пучком распространяется вправо до границы z-L, отражается от нее с коэффициентом отражения л-2=0.5. Отраженный от z-L импульс \А_(х,т)\ распространяется влево к границе г = 0 и т.д. Одновременно, за счет черепковского взаимодействия пучка с волной л„(л-,г) амплитуды электромагнитной волны Л_(л:,г) и модуляция пучка растут.
Предложен метод усреднения уравнений электромагнитного поля и уравнений движения электронов пучка по длине комбинационной волны, удобный для учета продольных границ электродинамической системы. Методом усреднения получены нестационарные нелинейные уравнения для медленных амплитуд электромагнитной волны и волны пространственного заряда релятивистского пучка, излучающего в волноводах с электростатическим и магнитостатическим полями накачки.
Исследована нелинейная динамика коротких импульсов электромагнитного поля, возбуждаемых электронным пучком в режимах одночастинного и коллективного эффектов Черенкова. Рассмотрены случаи импульса встречных волн (абсолютная пучковая неустойчивость) и импульса попутных волн (конвективная неустойчивость). Показано, что и на нелинейной стадии средняя точка и границы импульсов перемещаются со скоростями линейного приближения; насыщение амплитуд импульсов обусловлено: при одночастичном эффекте захватом электронов пучка комбинационной волной, а при коллективном эффекте захватом электронов волной плотности заряда. На поздней нелинейной стадии неустойчивости всегда имеет место значительное искажение формы импульса и его сильное уширение.
На основе общей методики линейного анализа черенковского взаимодействия электронных пучков с конечными замедляющими электродинамическими структурами получены пороговые условия развития следующих неустойчивостей: конвективная неустойчивость попутных волн на коллективном эффекте Черенкова, абсолютная неустойчивость встречных волн на коллективном эффекте Черенкова, конвективная неустойчивость попутных волн на одночастичном эффекте Черенкова, абсолютная неустойчивость встречных волн на одночастичном эффекте Черенкова. Полученные пороговые условия справедливы при любых добротностях систем, в которых развиваются перечисленные неустойчивости. Установлены стартовые условия начала СВЧ генерации в лазерах на свободных электронах, основанных на ондуляторном излучении прямолинейных электронных пучков в электростатическом и магнитостатическом полях накачки. 4. Исследована нелинейная динамика абсолютных пеустойчивостсй электронных пучков при их ондуляторном излучении в резонаторе с выходом излучения. Показано, если линейное пороговое условие неустойчивости не выполнено, то возмущения в резонаторе всегда затухают. Чем сильнее превышение порога, тем интенсивнее рост возмущений и шире спектр излучения из резонатора. Насыщение неустойчивости обусловлено той, или иной формой захвата электронов пучка. Захват происходит в средней части резонатора в области размером в несколько длин волн. Уже при незначительном превышении длиной резонатора пороговой длины по энергетическим и спектральным характеристикам абсолютная неустойчивость в резонаторе мало отличается от неустойчивости в бесконечно длинной системе.
В заключение, я хотел бы поблагодарить своего научного руководителя д.ф.-м.н., проф. М.В. Кузелева за предоставленную возможность работать в интересной и важной области физики плазмы, терпение и помощь в работе. Так же хочу выразить свою благодарность дорогим друзьям АЛ. Рухадзе и И.Н. Карташову за моральную поддержку и помощь.
