Содержание к диссертации
Введение
1. Обоснование метода расчета амплитуды сигнала, основанного на теореме взаимности 8
1.1 Введение 8
1.2 Амплитуда сигнала 10
1.3 Мощность сигнала 16
1.4 Выводы 22
2. Теория флуктуации электронно-циклотронного излучения 23
2.1 Введение 23
2.2 Физическая модель 24
2.3 Выражение для амплитуды регистрируемого сигнала в случае плазмы с большой оптической толщиной 25
2.4 Расчет амплитуды сигнала в слабо неоднородной плазме 29
2.5 Различные случаи дрейфовой турбулентности 35
2.5.1 Случай длинноволновой турбулентности 35
2.5.2 Случай коротковолновой турбулентности 39
2.6 Выводы 42
3. Нелинейный ток в горячей анизотропной плазме 44
3.1 Введение 44
3.2 Кинетическая модель 50
3.3 Анализ выражения для нелинейного тока в предельных случаях . 56
3.3.1 Случай 1 57
3.3.2 Случай 2 57
3.3.3 Случай 3 58
3.4 Выводы 61
4. Теория радиальной корреляционной рефлектометрии 63
4.1 Введение 63
4.2 Одномерная модель 67
4.2.1 Случай линейного профиля концентрации и однородной турбулентности 69
4.2.2 Случай статистически неоднородной турбулентности и произвольного профиля плотности 74
4.3 Двумерная модель 79
4.3.1 Случай слабой дифракции рассеянных волн 85
4.3.2 Случай сильной дифракции рассеянных волн 90
4.4 Выводы 94
Заключение 96
Литература 100
- Амплитуда сигнала
- Выражение для амплитуды регистрируемого сигнала в случае плазмы с большой оптической толщиной
- Случай длинноволновой турбулентности
- Анализ выражения для нелинейного тока в предельных случаях
Введение к работе
В высокотемпературной плазме токамака может развиваться целый ряд различных неустойчивостей, далеко за порогом возбуждения каждой из которых в системе имеет место широкий спектр слабокоррелирующих осцилляции, т.е. плазменная турбулентность. В результате участия частиц плазмы в этих коллективных колебаниях происходит перенос частиц и тепла в направлении поперечном по отношению к внешнему магнитному полю. В зависимости от параметров плазмы и магнитного поля, а так же характера основных коллективных мод существует целый ряд механизмов переноса [1]-[6]. Подобный коллективный перенос по величине может превышать на много порядков столкновительный. Одним из важнейших направлений научных исследований в рамках программы управляемого термоядерного синтеза является всестороннее изучение неустойчивостей, характеризующихся различными (линейными или нелинейными) режимами развития, изучение режимов турбулентного состояния плазмы токамака, исследование возможных сценариев перехода плазмы из обычного турбулентного состояния в режим улучшенного удержания, в котором турбулентный перенос существенно подавлен. Для диагностики и исследования неустойчивостей и микротурбулентности необходимо создание и развитие адекватных экспериментальных методов. Если в пристеночной области токамака наиболее эффективны зондовые измерения, то для диагностики турбулентности во внутренних областях плазмы применяют весьма изощренные методы, которые основаны, в частности, на анализе флуктуации собственного излучения плазмы, преимущественно в СВЧ диапазоне частот, или на коллективном рассеянии зондирующего СВЧ сигнала в плазменном объеме, зачастую с ис-
Введение 4 пользованием частот близких к характерным плазменным. *' Однозначная интерпретация этих измерений, проводимых в неравновесной плаз- ме в условиях сильной дифракции используемых волн, локализация измерений и их разрешение по спектрам частот и волновых векторов турбулентных пульсации, требует развития адекватной теории диагностик с учетом перечисленных осложняющих обстоятельств.
Одной из основных математических трудностей, проявляющихся при теоретическом описании различных методов, использующих анализ электромагнитных волн СВЧ диапазона с целью исследования плазменной турбулентности, является необходимость корректного описания особенностей распространения излучения в плазме сложной геометрии параметры которой изменяются в пространстве и во времени. Такая задача требует, вообще говоря, совместного решения уравнения Максвелла для электромагнитного поля и системы кинетических уравнений для плазмы. Необходимость учета связи антенны с плазмой делают * эту задачу еще более трудно разрешимой. Один из возможных методов реше- ния, в основе которого лежит использование теоремы взаимности [42], [43], был предложен в работе [7]. Однако эта работа не содержала обоснования и обсуждения пределов применимости предложенного метода решения. В дальнейшем этот метод активно использовался при теоретическом описании различных диагностик, например в работах [8], [30], [32], [33], [38], [54], когда необходимо было получить выражение для амплитуды регистрируемого приемной антенной сигнала и найти в явном виде спектральную мощность регистрируемого излучения. В главе 1 восполнены пробелы, имевшие место в работе [7[: дано обоснование метода, указаны границы его применимости и разобраны частные случаи. j В последнее десятилетие для исследования низкочастной турбулентности ис- пользуется методика, основанная на анализе флуктуации интенсивности электронного циклотронного (ЭЦ) излучения [17]- [20]. Эта методика является локальной и позволяет получать информацию о спектральных характеристиках
Введение низкочастотной дрейфовой турбулентности с разрешением по волновым векторам. Следует отметить, однако, что последовательной теории, описывающей флуктуации интенсивности ЭЦ излучения, вызванные дрейфовой турбулентностью, до сих пор не существовало. Результаты измерений интерпретировались на основе интуитивного подхода [17]- [20], согласно которому флуктуации интенсивности электронного циклотронного излучения связаны с флуктуация-ми электронной температуры в электронном циклотронном слое. В работе [17] по результатам таких измерений делалась непосредственная оценка электронной теплопроводности. Справедливость подобной интерпретации не обосновывалась. В главе 2 рассмотрена теория флуктуации интенсивности ЭЦ излучения неоднородной высокотемпературной плазмы [21]- [23], установлена связь между наблюдаемыми статистическими характеристиками флуктуации радиационной температуры и параметрами турбулентности.
В главах 1 и 2 излучение рассматривается как коллективный процесс, который может быть описан в рамках электродинамики сплошных сред. Предполагается, что источником электромагнитного излучения в плазме является ток j . В случае задачи, которая требует вычисления амплитуды эмиссионного сигнала j - микроскопический ток ансамбля невзаимодействующих электронов [10], а в случае задачи рассеяния - нелинейный ток, выражение для которого, например, в изотропной плазме хорошо известно и применимо для описания взаимодействия электромагнитных волн произвольных масштабов [10], [11]. В случае анизотропной среды, при наличии внешнего магнитного поля, явное выражение для нелинейного тока, например в ставшей уже классической книге [11], было получено в гидродинамическом приближении. Сравнительно недавно был рассмотрен случай, когда только рассеянная волна является "холодной^[12]. Было показано, что выражение для нелинейного тока в этом случае описывается гидродинамическим выражением. В то же время в ряде физических приложений необходимо анализировать взаимодействие трех коротковолновых колебаний. Подобная ситуация имеет место, например, при описании усиленного рассеяния
Введение в верхнем гибридном резонансе, которое применяется для диагностики спонтанных мелкомасштабных флуктуации плазмы или регулярных коротковолновых колебаний [13]. До начала работы над диссертацией вопрос о возможности использования гидродинамического выражения для описания нелинейного тока в этом случае оставался открытым. В главе 3 теория рассеяния высокочастотной волны на низкочастотной волне в плазме с магнитным полем обобщается с учётом сильной пространственной дисперсии плазмы. Получено общее интегральное выражение для нелинейного тока [14]- [16], которое описывает рассеяние в этом случае. Проанализированы различные предельные случаи, получены аналитические асимптотические выражения для нелинейного тока, что необходимо для количественного описания диагностики усиленного рассеяния, в частности в области рассеяния электронной бернгатейновской волны. Одним из самых распространенных активных методов, позволяющих изучать флуктуации плотности плазмы является флуктуациоиная рефлектометрия [24]-[34]. Ее несомненным преимуществом является относительная техническая простота. Большой популярностью, в частности, пользовалась до последнего времени радиальная корреляционная разновидность данной диагностики (РКР). Корреляционный анализ рассеянных назад зондирующих сигналов в двух частотных каналах, согласно широко распространенной точке зрения, позволяет получать информацию о временных и пространственных характеристиках неустойчивостей, возмущающих плотность плазмы. Однако, до последнего времени оставался открытым вопрос не только о локальности РКР, но и о том, что собственно позволяет измерять данная диагностика. Существовало глубокое противоречие между предсказаниями линейной теории и экспериментальными результатами. При интерпретации данных эксперимента обычно использовалась модель "гофрированного зеркала-[25], [27], согласно которой флуктуирующая часть рефлектометрического сигнала образуется в окрестности точки отсечки. Эта модель не нашла подтверждения в линейной теории и часто приводила к выводам, противоречащим экспериментальным наблюдениям. Со-
Введение гласно линейной теории когерентность сигналов рассеяния па двух частотах спадает логарифмически медленно с ростом расстояния между точками отсеч ки [29]- [33], что не позволяет получить из измерений информацию о радиаль ном пространственном масштабе, характеризующем турбулентность. Эти тео ретические предсказания, в свою очередь, находятся в глубоком противоречии с экспериментальными наблюдениями [28]. Описанная противоречивая ситуация, существовавшая к моменту начала работы над диссертацией, явно указывала на незавершенность теоретического анализа и стимулировала развитие нели нейной теории. В главе 4 рассмотрена нелинейная теория РКР [35]- [39], [55]. В соответствии с выводами [30], предполагается, что переход в нелинейный ре жим осуществляется через многократное мало-угловое рассеяние, которое опи сывается в геометрико-оптическом приближении. В рамках одномерной и дву- f мерной моделей получено выражение для амплитуды зондирующего сигнала и корреляционной функции двух сигналов. В результате устранено противоречие, * которое ранее существовало между теоретическими представлениями и экспе риментальными данными.
Таким образом на защиту выносятся следующие положения: обоснование метода расчета амплитуды и спектральной мощности сигнала, принимаемого из плазмы, основанного на использовании теоремы взаимности; анализ его пределов применимости. теория флуктуации интенсивности ЭЦ излучения. обобщение теории рассеяния высокочастотной волны на низкочастотных колебаниях плотности с учётом сильной пространственной дисперсии плазмы. нелинейная теория радиальной корреляционной (флуктуационной) рефлек-тометрии.
Основные результаты, выносимые на защиту, опубликованы в [9], [14], [15], [16], [21|, [22], [23], [35], [36], [37], [38], (39), [55], из них 5 публикаций в реферируемых журналах.
Амплитуда сигнала
Электрическое и магнитное поле электромагнитной волны, распространяющейся в плазме, описывается уравнениями Максвелла где Е(и, Т ) -электрическое и H(UJ, Т ) -магнитное поле волны, D - вектор электрической индукции и j s - ток, индуцирующий излучение. В случае коллективного рассеяния ток j а генерируется в результате нелинейного взаимодействия зондирующего сигнала и флуктуации плазмы. В случае спонтанного излучения j s - ток невзаимодействующих электронов. Далее будем предполагать линейную зависимость вектора индукции D от вектора поля Е согласно наиболее общему соотношению Это соотношение применимо к плазме, к диэлектрику и металлу (стенки камеры). Таким образом, уравнения (1.1) и (1.2) с соответствующим диэлектрическим оператором е (и; ! ,! ) описывают поле электромагнитной волны во всем пространстве: в плазме, в вакуумном промежутке и в регистрирующей антенне. Для того, чтобы смоделировать реальную экспериментальную ситуацию, предположим, что регистрирующая антенна соединена с анализирующим устройством с помощью одномодового волновода. Будем считать, что волновод полностью согласован с приемной антенной и анализатором. В волноводе на расстояниях от антенны много больших, чем длина волны, поле электромагнитной волны можно представить в виде 1. Обоснование метода расчета амплитуды сигнала, оспопаииого на теореме взаимности. 11 где A(u)) - амплитуда сигнала и (Е , Н ) - электрическое и магнитное поле собственной моды волновода, нормированные условием где Swg - площадь сечения волновода. В выражении (1.5) перед поверхностным интегралом опущен знак Яе, поскольку в силу свойств собственных мод волновода [43] подынтегральное выражение вещественно. Будем считать, что величина тока j s настолько мала, что амплитуда сигнала А (си) зависит от него линейно, согласно наиболее общему соотношению где интегрирование проводится по всему пространству и векторная функция !?(uJ, r ), очевидно, связана с функцией Грина уравнений (1.1) и (1.2). Определение этой функции с учетом граничных условий представляет основную трудность нашей задачи. Для того, чтобы найти функцию "?f, рассмотрим следующую вспомогательную задачу. Пусть приемная антенна работает в режиме излучения. "Антенный пучок"( Е , Н ) на частоте со излучается этой антенной в плазму, которая характеризуется диэлектрическим оператором б (Рис.1.1.), который транспонирован по отношению к диэлектрическому оператору с реальной плазмы Для того, чтобы при подобной постановке вспомогательная задача была корректной, необходимо убедиться, что "гипотетическая"плазма, которая характеризуется диэлектрическим оператором (1.7), является, во-первых, физически реализуемой, во-вторых, устойчивой. Согласно определению, диэлектрический оператор е .(а»;Т ,Т ) как функция частоты со удовлетворяет соотношениям
Крамерса-Кронига. Хорошо известно, что формулы Крамерса-Кронига являются прямым следствием физического то "гипотетическая"плазма, обладающая свойством (1.7), так же является устойчивой. Воспользовавшись выражением (1.8) и заменив переменные интегрирования f Z/r , получим для величины электрических потерь в "гипотетиче ской"плазме выражение которое отличается от (1.8) только перестановкой Е\_Е . Таким образом, мы показали, что при выполнении условия (1.7), "гипотетическая"плазма, в случае, если физическая плазма устойчива, так же остается устойчивой. Сделаем следующее утверждение: при выполнении условия (1.7) искомая функция if будет равна Докажем последнее утверждение. При перечисленных выше свойствах "гипотетической"плазмы уравнения Максвелла описывающие распространение в ней электромагнитной волны, имеют физически разумные решения, которые определяются граничными условиями. Как правило, в эксперименте плазма окружена либо металлическими стенками, либо диэлектриком. Для этих сред диэлектрический оператор может быть представлен в виде где є -скаляр. Следовательно, є = б и уравнения (1.10) и (1.11), так же как и уравнения (1.1) и (1.2), описывают поле волны во всем пространстве. Частные решения системы (1.10) и (1.11) в волноводе асимптотически, при расстоянии от антенны много большем длины волны, можно представить в виде где E , Я и Е , Н - электрические и магнитные поля собственной моды волновода, описывающие электромагнитные волны, которые распростра няются, в первом случае - в сторону плазмы, а во втором случае - от плазмы к анализатору и Я 1. Умножим уравнения (1.1) и (1.2) соответственно на 7/ и Е , а уравнения (1.10) и (1.11) - на —Я и — Е. Почленно суммируя получившиеся четыре выражения, получим Последнее выражение проинтегрируем по большому объему / ...dV, ограниченному некоторой поверхностью S. Устремим V — со, полагая, что антенна и часть передающего фидера остаются внутри поверхности S, в то время как анализирующее устройство вне этой поверхности (Рис.1.2.). Интеграл по объе где It - нормаль к поверхности. Вне антенны при стремлении эффективного радиус-вектора R объема V к бесконечности (R с/и, что соответствет волновой зоне), напряженности электрического и магнитного поля убывают как 1/\Щ, т.е. поверхностный интеграл от каждого из слагаемых в отдельности при
Выражение для амплитуды регистрируемого сигнала в случае плазмы с большой оптической толщиной
Поскольку плазму можно считать квазистационарной (стационарной в каждый момент времени і), то выражения для диэлектрического є и корреляционного G тензоров, полученные для стационарной плазмы, будут верны и в рассматриваемой нами квазистационарной среде, как члены нулевого порядка малости по малым параметрам (u cet)_1 1 и {ct/lecr) x С 1. Принимая во внимание, что мы рассматриваем случай слабой турбулентности, представим корре-ляционный тензор G, с учетом выражения (2.1), в виде суммы двух слагаемых G=GM +8 G (t), где GM =G (/Рм) - коррелятор микротоков, вычисленный для максвелловской функции распределения, a 5G=G (Sfe(t)) поправка, вызванная наличием турбулентного поля. Подставив это выражение в (1.19), мы получим выражение для радиационной температуры Еа электрическое поле "антенного пучка"на частоте о;, вычисленное в турбулентной плазме. Представим Еа в виде где Ьа (г ) решение волнового уравнения в максвелловскои плазме, а поправка SEa (t; Т ) вызвана возмущением параметров "антенного пучка"в турбулентной плазме. Вычисление этой поправки 5Еа (; г ) представляет собой сложную физико-математическую задачу. Однако, далее будет показано, что в случае, когда плазма характеризуется большой оптической толщиной, при вычислении радиационной температуры с точностью до первого неисчезающего члена (первого порядка малости) по амплитуде флуктуации, в выражении для электрического -= М(+) поля антенного пучка достаточно учесть только первое слагаемое Еа ( г), пренебрегая поправкой к полю 5 Еа {t] r ), что сильно облегчает задачу. Поскольку, согласно нашему предположению, плазма является "черной"для ЭЦ излучения на частоте а , то "антенный пучок "полностью поглощается в ЭЦслое, т.е. где антиэрмитовская часть оператора е (+) ( г ъ "г г) "гипотетической"плазмы.
Воспользовавшись соотношениями (1.7), которые устанавливают связь между диэлектрическими операторами двух сред (реальной и "гипотетической") и поменяв переменные T i — 7 2» і — к местами, мы можем переписать выражение (2.4) таким образом, чтобы оно содержало е А реальной плазмы Антиэрмитовская часть диэлектрического тензора, с А, так же как и G, может быть представлена в виде где второй член в правой части выражения является малой поправкой. Подставив последнее выражение в (2.4 ) и заменив с (fM) согласно флуктуационно диссипативнои теореме мы получим соотношение Первый член в правой части выражения (2.3) совпадает с первым членом в правой части последнего выражения. Это позволяет записать выражение для радиационной температуры в виде где В выражении (2.7), которое описывает отклонение радиационной температуры от равновесного значения Те, тензор Д (u/;T i,"r 2) является величиной первого порядка малости по амплитуде поля турбулентности. Значит все остальные функции под интегралом в выражении (2.7) можно взять в нулевом по амплитуде поля турбулентности приближении Е a —» Ea , пренебрегая поправкой к электрическому полю 5 Ea {t\ f). Таким образом, мы получили выражение для радиационной температуры в случае, когда плазма является "черной"для ЭЦ излучения. Полученное выражение является физически прозрачным, оно может быть интерпретировано как сумма равновесного значения электронной температуры и поправки, которая вызвана флуктуациями. Все флуктуирующие параметры содержатся в тензоре Д (CJJT !, Т г)» а распределение поля "антенного пуч-ка"вычисляется в стационарной (максвелловской) плазме. Далее индекс "М" из соображения удобства мы будем опускать Еа — Еа . Проанализировав выражение (2.7), отметим: 1) эрмитовская часть тензора диэлектрической проницаемости 5 є, как и следовало ожидать, не вносит вклад в радиационную температуру 8Tr{u,t). 2) флуктуации плотности, Ф = 5п/пе, которые не сопровождаются возмущени ем функции распределения по скоростям, не приводят к флуктуациям радиа ционной температуры Тг. Хотя 8Tr(u,t) зависит от величины Д (ш ;? !, ), усредненной по статистическому ансамблю невзаимодействующих электронов, она является случайной величиной, поскольку зависит от пространственной конфигурации турбулентных полей. Для того, чтобы получить статистическую информацию о флуктуациях, модулирующих ЭЦ излучение, необходимо проанализировать корреляционную функцию
Случай длинноволновой турбулентности
Термин "дрейфовые волны "включает в себя широкий спектр кинетических и гидродинамических неустойчивостей с различным соотношением между параллельной магнитному полю компонентой фазовой скорости vj и тепловой скоростью электронов. Рассмотрим далее предельные случаи, когда продольная фазовая скорость vj — ljq\\ много больше или много меньше тепловой скорости vte, а также случаи, когда продольный коэффициент преломления удовлетворяет одному из предельных соотношений п\\ «С /3 или Р С щ\ 1 (в первом случае можно пренебречь слагаемым Агц?;ц, а во втором случае слагаемым v2/(2с2) в частотной расстройке). Рассмотрим случай неустойчивости, когда vte/vj С 1, что позволяет в нулевом порядке по этому параметру пренебречь слагаемым «7ц Щ R знаменателе (2.20). Вектор поляризации и тензор диэлектрической проницаемости в (2.20) определены в различных средах: "гипотетической"и реальной физической, соответственно. Используя свойства диэлектрического тензора, е (+\ мы найдем связь где «: u2d »= с2 ЗС Ey(Q,, If) » /2 и «С 2(f2, If) »- спектральная плотность амплитуды турбулентного поля Еу. Корреляционная функция К\2 = К( г ьі — r b2,h — t2) двух зарегистрированных сигналов, где Т ь\, Ь2 - координаты ЭЦ поверхностей, соответствующих двум близким частотам uj\ и и2, определяется выражением Для того, чтобы выяснить с каким разрешением по спектрам радиальных волновых векторов флуктуации работает эта диагностика, проанализируем подробнее выражение (2.23). Отметим, что в случае qx = 0 функция Сх для излучения с любой поляризацией на произвольной циклотронной гармонике равна единице. Далее при анализе выражения (2.23) ограничимся наиболее интересным с точки зрения эксперимента случаем измерения ЭЦ излучения на фундаментальной и второй циклотронной гармонике (р = 1,2). В окрестности ЭЦ резонанса (\хесг — х\ 1есг) параметры плазмы (температуру, концентрацию) за исключением магнитного поля можно считать постоянными. Коэффициент поглощения ЭЦ волны (7 W(C,) - плазменная дисперсионная функция. Функция Ф зависит от типа поляризации, в частности, в случае необыкновенно поляризованной волны Ф пц, а в случае ЭЦ волны обыкновенной поляризации - Ф 1/гсц. Введем безразмерные переменные = qxlecr, ст(оо) = 24fP2n\\koR и представим функцию Сх в виде Параметр ст(оо) = 2Г(оо)/7Г характеризует оптическую толщину ЭЦ слоя. Поскольку в больших установках ЭЦ слой всегда является "черным", то а 1, однако достаточно считать этот параметр а 3. Подынтегральное выражение aet a f d y/d в (2.25) характеризует профиль источника излучения. Зависимость этой величины от координаты при различных значениях параметра а при наклонном распространении ЭЦ волны (3 С щ 1 приведена на рис. 2.3. На рис. 2.3 видно, что источник сигнала имеет максимум при С = С = Оп с(оо))1/2. На рис.2.4. приведена полученная численно функция СХ2 в зависимости от безразмерного радиального волнового вектора турбулентного поля при сг(оо) = 10 и а(оо) = 20.
Проанализировав рис.2.4. можно сделать вывод, что данная диагностика позволяет добиться разрешения по спектрам радиальных волновых векторов турбулентного поля с точностью до 1 , т.е. Aqxlccr 3. Комбинируя это условие с условием сг(оо) 1, можно получить, что при наклонном распространении ЭЦ излучения разрешение по спектрам радиальных волновых векторов турбулентности практически невозможно Aqx (3kQ. Более благоприятная ситуация имеет место в случае квазипоперечного распространения пучка ЭЦ воли пц 0. Рассмотрим случай обыкновенно поляризованного ЭЦ излучения на фундаментальной циклотронной частоте. При этом мы можем получить следующую оценку Ф 1/(3 и о-(оо) kQlecrri{l—r])ll2. Разрешение по спектрам радиальных волновых векторов турбулентности в этом случае можно оценить как Aqx k0 при условии fi2 (AJQ/?)-1 или Te(kcV) 3/(B(T)R(m)), которое гарантирует "черноту"слоя. Последнее условие выполняется даже для небольших токамаков. Профиль источника излучения при перпендикулярном распространении щ = 0 обыкновенно поляризованной ЭЦ волны, приведен на рис. 2.5. Отметим, что в отличие от случая наклонного распространения ЭЦ волны, профиль источника излучения смещен в сторону сильного магнитного поля по отношению к положению ЭЦ резонанса. Рис. 2.6 иллюстрирует зависимость функции \СХ\2 от безразмерного радиального волнового вектора флуктуации в этом случае. Оценка Aqx ко, полученная выше для обыкновенной волны на фундаментальной гармонике при поперечном распространении, верна для распространя ющейся поперек магнитного поля ЭЦ волны на второй циклотронной гармонике, имеющей необыкновенную поляризацию. При этом о к01есгг){\ + м1/2 — 7/)2(1 — «)2/(1 — u — T]),u = w2e/cj2. Только в этих двух случаях (О поляризация, фундаментальная гармоника; X поляризация, вторая гармоника) удается добиться разрешения по спектрам радиальных волновых векторов флуктуации. Флуктуации интенсивности ЭЦ излучения при этом могут рассматриваться как флуктуации электронной температуры в ЭЦ слое. Физическая природа таких флуктуации - дрейфовые колебания электронов плазмы в электрическом поле флуктуации и внешнем магнитном поле на фоне неоднородного профиля электронной температуры Те(х). В этом параграфе мы рассмотрим случай, когда выполняется соотношение v/ С vte. При наклонном распространении ЭЦ волны на фундаментальной (2 26) где зависимость квадрата этого интеграла от безразмерного радиального волнового вектора турбулентности f приведена на рис.2.4. При излучении ЭЦ волн в наклонном направлении (Р . пц 1) результаты измерений можно так же интерпретировать как флуктуации электронной температуры, вызванные дрейфовыми колебаниями плазмы в электрическом поле волны и внешнем магнитном иоле. Амплитуда этих колебаний определяется выражением х/ С v% /fte , где Qeff = q vte. Однако, функция Сх в этом случае содержит малый множитель
Анализ выражения для нелинейного тока в предельных случаях
Выражение (3.21) - интегральное представление для нелинейного тока. В общем случае провести интегрирование по переменной т не представляется возможным. Однако в предельных случаях, когда взаимодействующие колебания длинноволновые (с безразмерными поперечным и продольным коэффициентами преломления 0t,Q s С 1 и Al,n,e «С 1) или коротковолновые в поперечном направлении (на рис 3.1. Рг,п 3 2 - 5 и Xhn s С 1, далее мы рассмотрим предел Рг п,я »1и \1,n s С 1), асимптотические выражения могут быть получены аналитически. Рассмотрим далее эти предельные случаи, учитывая, что до трансформации волны являются электромагнитными, а после, из-за больших поперечных коэффициентов преломления, с хорошей точностью электростатическими. Прежде, чем перейти к анализу этих предельных случаев, рассмотрим малоугловое рассеяние зондирующей волны на, колебаниях плотности, которые индуцированы полем "холодной"нижнегибридной волны. Хотя этот случай напрямую не связан с обсуждаемой задачей, для которой существенно обратное рассеяние зондирующей волны, его анализ интересен с точки зрения рассмотрения всех возможных каналов рассеяния зондирующей волны. Наиболее просто анализ малоуглового рассеяния можно провести, положив в выражении (3.16) /(in) = 5пМ/по /м, где причем jfln 1 и Ап 1. Первые два слагаемых 5п описывают флуктуации плотности плазмы, вызванные дрейфом в скрещенных электрическом поле случайных колебаний и внешнем магнитном поле. Последнее слагаемое связано с движением вдоль внешнего магнитного поля. В результате выражение для j При рассеянии в окрестности точки d на Рис.3.1. коэффициенты преломления взаимодействующих волн малы /?t,n,s 1и An,s С 1. В этом случае нелинейный ток описывается "гидродинамическим"выражением [10]-[12]. Поэтому перейдем сразу к анализу первого предельного случая, когда зондирующая волна после линейной трансформации в верхнем гибридном резонансе становится потенциальной с большим поперечным показателем преломления (0г / 1) и рассеивается на колебаниях плотности так же с большим поперечным показателем преломления (/5n 0Х » 1) в "холодную"моду (Ps С 1), что соответствует на Рис.3.1. рассеянию в окрестности точки с. Как уже было отмечено, продольные коэффициенты преломления волн, участвующих во взаимодействии, удовлетворяют соотношению AS fi С 1. Найдем асимптотику интегрального представления нелинейного тока (3.21) в низшем порядке по параметру (3s [ 1 с учетом соотношения для продольных и поперечных показатели преломления As n -С 1 и /Зг,п 3 1. Функция Z, входящая в компоненты вектора 6 , в нулевом порядке по параметрам Xs n имеет вид В нулевом порядке но параметру 0s: Рг = /5П и функция А равна где о =о - тензор проводимости "холодной"плазмы, полученный в пренебрежении пространственной дисперсией и 5п = fdlff 1 - колебания плотности на частоте u n, вычисленные с учетом пространственной дисперсии. Выражение (3.24) совпадает с выражением (55) работы [12]. Таким образом, из полученного интегрального представления (3.16) сделан предельный переход к частному случаю, который был рассмотрен ранее в литературе.
Выражение (3.24) описывает нелинейный ток, который возбуждается при рассеянии зондирующей волны на произвольных низкочастотных флуктуациях в ситуации, когда при описании рассеянной волны пространственной дисперсией плазмы можно пренебречь. Далее рассмотрим следующий случай, соответствующий обратному рассеянию в окрестности точки 6 на Рис.3.1. В этом случае для поперечных и продольных показателей преломления взаимодействующих волн выполняются предельные соотношения j9n » » 1, /? 1 и As n С 1. Так же, как и в предыдущем параграфе разложим функцию А: В нулевом порядке по /Зг выражение для нелинейного тока имеет такой же вид, как и в предыдущем случае где а —о - тензор проводимости холодной плазмы на частоте и , полученный в пренебрежении пространственной дисперсией и (5n(n) = Jdlff inh Таким образом, можно сделать вывод, что выражение для нелинейного тока не отличаются от гидродинамического. Проанализируем случай, соответствующий рассеянию в окрестности точки а, когда все три взаимодействующие волны из-за их большого поперечного показателя преломления (/5г п-5 1) являются практически потенциальными. Продольные показатели преломления взаимодействующих волн удовлетворяют соотношениям