Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Разработка алгоритмов математической модели местности 27
1.1. Подготовительный этап создания МММ 27
1.1.1. Технические требования к МММ 27
1.1.2. Этапы технологического процесса создания МММ 28
1.1.3. Размещение исходных точек по моделируемой поверхности 28
1.2. Конструктивные особенности МММ.. 31
1.2.1. Выбор вида аппроксимирующих поверхностей и границы зоны интерполирования 31
1.2.2. Алгоритмы интерполирования, используемые в МММ... 32
1.3. Расчет плотности исходных точек и размеров зоны интерполирования. 39
1.4. Обобщенная блок-схема математической модели местности... А\
Выводы по первой главе 45
Глава 2. Исследование точности математической модели местности 47
2.1. Метрические требования к математической модели местности... 47
2.2. Аналитический расчет точности математической модели местности 50
2.3. Экспериментальная проверка измерительной точности математической модели местности 56 Выводы по второй главе 64
Глава 3. Алгоритмы решения основных проектных задач на базе МММ .
3.1. Определение основных характеристик трассы 66
3.1.1. Определение линии заданного уклона 66
3.1.2. Определение черного профиля трассы с поперечниками... 67
3.1.3. Определение пространственной кривой - трассы автомобильной дороги 3.2. Определение объемов земляных работ 70
3.3. Определение наглядных изображений участка рельефа местности и полотна дороги 73
3.3.1. Определение аксонометрических изображений участка рельефа местности и трассы с поперечниками 1Ц
3.3.2, Определение перспективных изображений полотна автомобильной дороги и участка рельефа местности 75
Выводы по третьей главе 78
Глава 4, Применение математической модели местности при пространственном проектировании трассы автомо бильной дороги 80
4.1. Особенности существующих способов проектирова ния трасс автомобильных дорог 80
4.2, Обобщенное изложение сводной схемы пространственного проектирования трассы автомобильной дороги 82
4.3. Источники и средства сбора, регистрации, обработки топографической информации 87
4.4, Сокращенный комплексный алгоритм пространственного проектирования трассы автомобильной дороги 90
4.4.1. Алгоритм выбора зоны размещения конкурирующих вариантов направления и трассы 90
4.4.2. Алгоритм проектирования плана трассы 92
4.4.3. Алгоритм определения черного профиля трассы с поперечниками 100
4.4.4. Алгоритм расчета аксонометрических изображений участка рельефа местности и трассы 100
4.4.5. Алгоритм расчета проектного продольного профиля трассы. 100
4.4.6. Алгоритм расчета дополнительных элементов полотна дороги и объемов земляных работ 106
4.4.7. Алгоритм расчета перспективных изображений участка рельефа местности и полотна дороги 108
4.4.8. Особенности схемы пространственного проектирования трассы автомобильной дороги 108
4.5. Графическое получение наглядных материалов 111
4.6, Ожидаемая технико-экономическая эффективность МММ 112
Выводы по четвертой главе 113
Глава 5. Экспериментальные исследования математической модели местности в комплексной программе прост ранственного проектирования трассы автомобильной дороги 115
5.1. Назначение экспериментальных исследований П5
5.2, Экспериментальные исследования..
5.3. Результаты экспериментальнык исследований 122
5.4, Технико-экономическая эффективность математической модели местности 127
Выводы по пятой главе 13 Заключение 135
Список литературы
- Размещение исходных точек по моделируемой поверхности
- Аналитический расчет точности математической модели местности
- Определение пространственной кривой - трассы автомобильной дороги 3.2. Определение объемов земляных работ
- Алгоритм расчета аксонометрических изображений участка рельефа местности и трассы
Размещение исходных точек по моделируемой поверхности
В моделях, основанных на параллельных или перпендикулярных к базовой линии профилях, необходимо, чтобы базовая линия участка совпадала с трассой, что не всегда возможно на практике. Кроме того, координаты исходных точек определяются в условной двухкоор-динатной системе, где ось ОХ приблизительно соответствует геометрической оси участка, ось ОУ на плане совпадает с проекцией поперечных профилей, и при определении координат точек по аэрофотоснимкам плоскую систему координат приходится специально переводить в единую геодезическую систему.
В статистических моделях равномерность распределения точек по моделируемой поверхности достигается путем приблизительного размещения точек в вершинах квадратной сетки или на горизонталях, когда расстояние между точками, примерно, равно заложению между горизонталями на плане. В обоих случаях процесс получения исходной информации легко автоматизируется. Дополнение случайно и равномерно распределенных исходных точек характерными точками рельефа приводит к оптимальному размещению точек по участку и их минимальному количеству. Здесь налицо аналогия с тахеометрической съемкой, когда решающее значение имеет соответствующее структуре рельефа размещение исходных точек на местности.
В структурных моделях к численной информации добавляется логическая информация. Логическая информация может быть задана в явной форме, например, в виде данных о допустимых направлениях интерполяции. В моделях, основанных на треугольных контурах, ограничивающих элементарные скаты, для определения последовательности соединения точек в треугольные контуры используются теория графов / 40 /, специальные функции для логического сложения треугольников с помощью алгебры логики / 121 /, принадлежность произвольной точки плоскости треугольника проверяется с помощью координат центра тяжести треугольника / 48 /. Структурные модели требуют проведения тщательного геоморфологического анализа рельефа, что ведет к сокращению количества исходных точек, но требует высокой квалификации и опыта от исполнителя. Необходимость введения большого числа логических связей между исходными точками усложняет алгоритм интерполирования и ведет к излишней многоступенчатости при восстановлении модели. Так, структурная модель, описанная Низгурецким З.Д. в работе / 75 /, основана на исходных точках, размещенных в вершинах треугольных контуров; восстанавливается в четыре этапа, предназначена для автоматического вычерчивания планов в горизонталях. Отсюда следует, что структурные модели целесообразно применять только для автоматизации построения планов и карт в горизонталях, то есть для топографических целей.
Вследствие незакономерности топографической поверхности выбор вида аппроксимирующей поверхности производится априори на основании эффективности и практических возможностей. При этом учитывается тип рельефа местности, способ размещения и плотность исходных точек, мощность используемой ЭВМ, наличие дополнительных связей, условий и т.д. / 49 А. В математических моделях местности используются следующие аппроксимирующие поверхности; кусочно-линейные / 25, 40, 46, 47, 75, 121, 138 /, непрерывные / 28, 36, 112, 11З, 122, 123 /, комбинированные / 46, 59, 83, 84, 127, 137, 143 / и , локальные / 10, 46, 78, 127, 137, 143 /, что соответствует использованию линейного алгоритма интерполирования в первом, нелинейного - во втором и четвертом случаях. В комбинированных моделях местности используются оба метода интерполирования.
Кусочно-линейная поверхность является поверхностью нулевого порядка гладкости, смежные участки ее граничат по прямым линиям, соединяющим исходные точки.
Можно предположить, что наибольшее применение в моделях должны найти непрерывные аппроксимитирующие поверхности, так как они обладают целым рядом достоинств: возможностью аппроксимировать значительные по площади участки топографической поверхности двухмерными аналитическими функциями и информацию о рельефе можно хранить в виде коэффициентов описывающих уравнений. Кроме того, аналитическая непрерывная поверхность больше соответствует характеру топографической поверхности, чем кусочно-линейная. Однако, практическое использование моделей с непрерывной аппроксимацией сталкивается с рядом существенных трудностей; I) увеличением объема вычислений; 2) вводом систематических погрешностей; 3)значительными затруднениями в вычислениях на больших площадях моделируемых участков. При использовании интерполяционных двухмерных полиномов /7, 36, 37, ИЗ /, ортогональных полиномов Чебышева / 7, 112, 123/ накладываются ограничения на число и расположение исходных точек, повышается неопределенность поведения полинома в промежуточных точках. Точность моделей, основанных на расчете коэффициентов аппроксимирующих степенных полиномов по методу наименьших квадратов, зависит от принятой степени полинома, оптимальное значение которой априори не известно /2, 3 /. В промежуточных точках поведение мультиквадратичной поверхности, предложенной Р.Харди для описания топографических поверхностей / 134 /, отличается той или иной степенью неопределенности, зависящей от размещения и количе-ства исходных точек, вида суммируемых элементарных поверхностей, величин произвольной постоянной. С увеличением числа исходных точек растет число уравнений, что ведет к возрастанию времени обработки в геометрической прогрессии за счет усложнения алгоритма решения системы уравнений. Точность интерполирования зависит от выбора начала отсчета. Велико непосредственное влияние расположения исходных точек на форму ьультиквадратичной поверхности. Увеличение числа исходных точек на единицу ведет к необходимости пересчета коэффициентов аппроксимирующего уравнения / 64, 119 /.
В силу названных причин модели с непрерывными поверхностями имеют больше теоретическое, чем практическое значение.
При использовании комбинированных моделей поперечники к трассе, параллельные профили или горизонтали аппроксимируются аналитическими функциями (степенными полиномами, тригонометрическими многочленами, сплайнами и так далее), а отметки промежуточных произвольных точек определяются из уравнения гиперболического параболоида или из уравнений более сложных поверхностей, то есть структура этих моделей достаточно сложна
Аналитический расчет точности математической модели местности
Поскольку при использовании в качестве аппроксимирующих поверхностей двухмерных полиномов Ньютона, ортогональных многочленов Чебышева, тригонометрических полиномов, сплайн-функций необходимо исходные точки располагать в вершинах квадратных или прямоугольных сеток, а для тригонометрических полиномов удовлетворительная сходимость ряда достигается только при использовании сетки размером не более 10x10 вершин, мультиквадратичные поверхности весьма чувствительны к расположению исходных точек на структурных линиях рельефа (недостатки этих поверхностей рассмотрены выше), то выбор был остановлен на степенных полиномах с априори заданной степенью и приближаемых по методу наименьших квадратов. Это допустимо, так как аппроксимировать приходится незначительные по площади участки рельефа, лежащие внутри зоны интерполирования. На выбор степени полинома оказали влияние следующие соображения: увеличение степени полинома приводит к увеличению расхода машинного времени, ухудшению обусловленности системы нормальных уравнений, в результате чего получается неустойчивое решение и, в конечном итоге, снижение точности получаемых результатов. При выборе степени полинома было произведено экспериментальное исследование. Участок топографической поверхности незначительных размеров аппроксимировался полиномами, степень которых изменялась от I до 5 (прил.1). Расчет коэффициентов аппроксимирующих полиномов производился на ЭВМ "Одра-I0I3" по программе, составленной Э.Ф.Алешниковым. Полином пятой степени значительно искажает вид исходной поверхности (рисЛ.7., прил.1), несмотря на то, что число исходных точек N было увеличено с 22 до 40. Приведенные на рисунках значения среднеквадратичен ских отклонений ГПдт, относятся только к исходным точкам. Отклонения в произвольных точках могут значительно отличаться от приведенных ПГІд2 Полином второй степени при числе исходных точек N=22 довольно близок к исходной топографической поверхности (рис.Х.З., прил.1).
Приведенные выше рассувдения позволяют сделать вывод, что для аппроксимации незначительных площадей рельефа внутри зоны интерполирования достаточно использовать полиномы второй степени.
Исходя из необходимости равномерного влияния исходных точек, расположенных в зоне интерполирования, на расчет высотной отметки произвольной L -той точки, и, учитывая, что значение длины отрезка от I -той точки до исходных используется в дальнейшем для расчета весовых коэффициентов, в качестве границы зоны интерполирования принята окружность радиуса R . На плане центр окружности совпадает с искомой точкой Xi , YL (рисі.2). В зону интерполирования включаются лишь те исходные точки, расстояния от которых до I-той точки не превышает значения радиуса R . Число операций по сравнению с квадратом в качестве границы хотя и увеличивается на единицу, но,учитывая быстродействие и мощность современных ЭВМ, допустимо принять границу зоны интерполирования в виде окружности.
В МММ предусмотрено разделение методов интерполирования на два возможных случая: аномальные территории на моделируемом участке отсутствуют (гладкая поверхность) - параболическое интерполирование; аномальные территории имеются (негладкая поверхность) - параболи-, ческое, билинейное, линейное интерполирование. Рассмотрим эти случаи. I. Аномальные территории отсутствуют (этот случай рассмотрен автором в работе / 116 /). Исходные точки модели, попавшие в зону интерполирования, находятся по условию (рис,1.2): DRJ=[/(X._X.)2+(YI-YJ) MI.2) где DR: - расстояние от определяемой точки до исходных; R - радиус ограничивающей окружности; NM - число исходных точек на моделируемом участке; N - число определяемых точек. Из пространственных координат точек, попавших в зону интерполирования, составляется переопределенная система линейных уравне хї МИ - число исходных точек, попавших в зону интерполирования; Nmjn - минимально допустимое число исходных точек в зоне интерполирования, обеспечивающее требуемую точность; X,, Y„Z4; ...; X YpZ , ...;Хци,Уыи 2 и - пространственные координаты точек, находящихся в зоне интерполирования. -34 Систему (1.3) можно записать в матричной форме: MA=Z, (1.4) где М - матрица известных коэффициентов; А - вектор неизвестных коэффициентов; Z - вектор высотных отметок точек, находящихся в зоне интерполирования. Влияние каждой исходной точки на отметку искомой определяется весовым коэффициентом, зависящим от расстояний между искомой и исходными точками. Расчет весовых коэффициентов выполняется по формуле:
В случае, когда расстояние от искомой точки до исходной не превосходит допустимой минимальной величины DR. Dnun » высотная отметка искомой точки принимается равной отметке исходной Z - Zj . Величина Dmin устанавливается в зависимости от слож-ности рельефа и масштаба модели.
Аномальные территории имеются. Производится проверка точек каждой границы аномальной территории на попадание в зону интерполирования искомой точки Xj , i по условию: -, (I-Ю) XrR4 Xj4 Xt+R Yi-R4Yj4Yi + R где - плановые координаты текущей точки границы ано мальной территории; N - число искомых точек;
NA - число исходных точек на границе аномальной территории. Если в зону интерполирования не попали точки границ аномальных территорий, то применяется параболическое интерполирование. В противном случае определяются расстояния от I -той точки до всех точек каждой границы аномальной территории, попавшей в зону интерполирования. Находятся ближайшие к искомой точке на одной границе ( S ) и на второй (к ). Из ряда точек каждой границы выделяются точки, лежащие слева и справа от найденных ближайших: 5-1 , S + 1 , к-1 , к+1 (рис.1.3). Проверяется принадлежность L -той
Определение пространственной кривой - трассы автомобильной дороги 3.2. Определение объемов земляных работ
Данные расчета средних квадратических погрешностей при ГПц = г= ГПх у = 0,33 м, полученным при измерениях по аэроснимкам масштаба 1:11000 для равнинного рельефа с уклоном менее 8 / 65, 67 / в случае с билинейной интерполяцией приведены в табл.2.I.
Из таблицы 2.1 видно, что с уменьшением плотности исходных точек растет средняя квадратическая погрешность определения отметки точки по модели, что и подтвервдает предположение, вытекающее из равенства (2.20). Средние квадратические погрешности в точках, расположенных не в центре ячейки, больше, чем в центральных точках. Следовательно, средняя квадратическая погрешность определения отметки точки зависит не только от плотности исходных точек, но и от местоположения определяемой точки в пределах соответствующей ячейки. В этой же таблице показаны удельные веса влияний в процентах на средние- квадратические погрешности, рассчитанные по формуле (2.20), двух основных факторов: погрешностей измерения пространственных координат исходных точек (столбец I) и погрешностей из-за обобщения рельефа (столбец 2). Из таблицы видно, что при уменьшении плотности исходных точек уменьшается влияние погрешностей измерения пространственных координат исходных точек, но растет влияние погрешностей из-за обобщения рельефа. Значительное влияние на среднюю квадратическую погрешность определения отметок из-за обобщения рельефа наблюдается в моделях с билинейной интерполяцией для точек, расположенных не в центре ячейки. При использовании билинейной интерполяции точность измерения всех координат исход
Для параболической интерполяции при вычислении коэффициентов аппроксимирующего уравнения Р ( X ,Y ) по методу наименьших квадратов среднюю квадратическую погрешность предложено определять формулой Бесселя: где высотные отметки исходных точек, изме ренные и определенные по модели; N - количество исходных точек; к - количество коэффициентов аппроксимирующего уравнения Р (X і Y ) яоверхнонтей второго порядка к = б. Из формулы (2.21) следует, что для уменьшения погрешности необходимо увеличивать число исходных точек N , участвующих в интерполировании, уменьшать число коэффициентов аппроксимирующего полинома К . При использовании уравнения (2.21) следует иметь в виду, что координаты исходных точек измеряются с одинаковой точностью. В противном случае следует определять весовое среднее значение погрешностей измерения координат исходных точек.
Исходя из цели, поставленной при разработке МММ - исследовать и применить ее при пространственном проектировании трассы автомобильной дороги, определим возможную измерительную точность модели. Для этого отметим, что величина отклонения AZ{, аппроксимирующей поверхности от реальной в произвольной точке X,,Yl есть случайная величина: AZrZJXt.YibPtlXt.Y,), (2.22) где реальная отметка точки - вычисленная по модели отметка точки Л(., ч .
Исследование случайной величины AZ проводилось на основе закономерностей теории вероятностей и математической статистики /87, 97 / Измерительная точность МММ определялась среднеквадратической погрешностью ГТІД2. . Основной целью экспериментальной проверки является сравнение измерительной точности МММ с точностью топографического плана (карты) того же масштаба и определение влияния систематических погрешностей, вносимых МММ в расчет отметок произвольных точек. Кроме этих были решены следующие задачи: установлена зависимость средней квадратической погрешности модели от плотности исходных точек, способа их размещения по поверхности моделируемого участка, способа расчета весовых коэффициентов исходных точек, участвующих в интерполировании.
Для исследования точности МММ было обработано 19 участков общей площадью 1129,2 га с общим числом исходных точек 6176. На каждом участке одновременно с исходными измерялись координаты контрольных точек, которые не входили в состав модели. Всего было измерено 3I6I контрольная точка. Определение влияния того или иного фактора на точность модели проводилось путем рассматривания нескольких вариантов наборов исходных точек для одного и того же участка. Всего было рассмотрено 38 вариантов.
Алгоритм расчета аксонометрических изображений участка рельефа местности и трассы
Указанные вьше три источника измерения и аналитического выражения поверхности рельефа отличаются друг от друга по технико-экономической эффективности и выбираются исходя из условий местности, объема работ и других причин. Наиболее перспективными методами определения координат точек в автоматизированных системах являются фотограмметрические.
Приборы, используемые при фотограмметрических методах,можно условно разделить на две группы / 50 /. В первую групцу входят коордиметры, которыми снабжаются стереофотограмметрические приборы для полуавтоматической и автоматической регистрации исходных данных. Из отечественных коордиметров можно отметить регистрирующие устройства АРУ Гипродорнии и АРКУ ЦНЙИГАиК. Широкое применение на практике получили зарубежные коордиметры: Екомат 12 (ФРГ), РЕСffl (Италия), Коордиметр F (ГДР), AMU(Швейцария), ЕСУ-2 (Болгария) и др. Ко второй группе относятся приборы, в которых идентификация одноименной точки на стереопаре выполняется специальными коррелирующими устройствами. К этому типу приборов относятся: ортофотосистема "Авиаплан ОГОГ (Вильд, Швейцария) - информационный массив получается непосредственно в памяти ЭВМ в ка -89 честве промежуточного материала; система Тештапьт фотомапер" в пределах полутора часа позволяет получить ортофотоснимок, чертеж с горизонталями и информационный массив (750000 точек на стерео-модель) на техническом носителе.
Способ измерения по топографическим планам может обеспечить экономичное получение исходных данных для построения модели местности, но точность их невысока. В этом случае применяются дигитайзеры (приборы для цифрового кодирования графической информации), работающие в полуавтоматическом и автоматическом режимах.
Инструментальный способ считается практически эффективньм на малых объектах, а также в случае использования электрооптических и электронных тахеометрических приборов, теодолитов с автоматической записью углов и расстояний,
Использование МММ будет особенно эффективным в случае создания автоматизированного комплекса для получения, обработки и регистрации информации, полученной по фотограмметрическим материалам. В состав подобных комплексов входят; I) универсальные стереофотограмметрические приборы (стекометр, Топокарт, Плани-мат Д2, Планикарт ЕЗ и другие); 2) автографы с регистрирующим устройством для регистрации координат точек на перфоленту или перфокарты (автограф А-Ю с регистратором ЕК-22, Вильд, Швейцария, позволяет регистрировать координаты точек с точностью от-считывания 0,01 мм и 16-разрядный номер точки как в ручном, так и в автоматическом режиме, регистратор включается в зависимости от временного интервала или приращения расстояния); 3) дигитайзеры: Аристогрид-8970 ("Аристо", ФРГ), Дигигрид DMG ("Коради", Швейцария), Гантри СФерранти", Англия), Геотрассер-326 ( AGA, Швеция) и другие; 4) автоматические координатографы (графопостроители) - приборы для воспроизведения цифровой информации в -до графическом виде: Корадимат МКШ ("Коради", Швейцария), Аристомат ("Аристо", ФРГ) и др. Современные автоматические координатографы автоматического
Сокращенный комплексный алгоритм пространственного проектирования трассы автомобильной дороги
Ниже рассматривается сокращенный алгоритм пространственного проектирования трассы автомобильной дороги, обоснованный и реализованный в отчете / 70 /.
Решение задачи по выбору зоны с учетом многообразия факторов, влияющих на окончательное решение, заключается в поиске экстремального значения целевой функции в соответствии с принятыми критериями эффективности. Для решения этой задачи был выбран метод динамического программирования. На рис,4.2 показана блок-схема программы выбора зоны размещения направлений и конкурирующих вариантов.
С помощью этого блока на ЭВМ по укрупненным значениям оценочных коэффициентов определяется зона размещения конкурирующих направлений, а затем, по более детализированным значениям оценочных коэффициентов, находится зона размещения конкурирующих вариантов трассы, представляющая собой узкую полосу, в пределах которой составляется МММ.
Составление ЦММ пп олементам местности или иоставление аналитических сеток оценочных коэффициентов по факторам влияния В пределах выбранной зоны размещения конкурирующих вариантов трассы на карте, плане, фотоплане проектировщик наносит эскиз плана одного из конкурирующих вариантов с помощью линейки, шаблонов, лекала, транспортира. План трассы разбивается на проектные участки, длина которых обусловлена рельефом местности, ландшафтом, техническими нормами, возможностью ЭВМ и другими факторами Для расчета проектного участка трассы выбирается соответствующий вариант, составленный из различных сочетаний элементов: дуг клотоид, окружностей, отрезков касательных. Каждый вариант описывается системой уравнений, связывающей значения параметров составляющих элементов (значения радиусов в точке касания, плановые координаты точки касания дуг клотоид и окружностей, плановые координаты центра сопрягающей дуги окружности, азимуты касательных, углы клотоид в точке касания и т.д.). Значения этих параметров используются при расчете плановых и лонгальных координат точек трассы,принадлежащих соответствующим элементам варианта. Расчет координат точек на касательных и дугах 0кружностей не представляет труда, расчет же координат точек на дугах клотоид требует специального рассмотрения.
Похожие диссертации на Математическая модель местности для автоматизированного проектирования трасс автомобильных дорог
