Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ. АНАЛИЗ ПРИМЕНИМОСТИ РАЗЛИЧНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ПРОЧНОСТИ 22
1.1. Обратные задачи прочности летательных аппаратов. Общая постановка и особенности обратных задач. Регуляризация решения. . 22
1.2. Анализ численных методов. Метод интегрирующих матриц 45
1.3. Математические модели и принятые допущения 52
1.4. Алгоритмы получения устойчивых решений обратных задач прочности ЛА ,65
Выбор метода 65
Методы оптимизации 73
1.5. Техника и средства проведения измерений 76
ГЛАВА 2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЖЕСТКОСТЕИ И НАГРУЗОК ПУТЕМ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ 80
2.1. Восстановление распределенной аэродинамической нагрузки по заданным деформациям 80
2.2. Идентификация переменных параметров упругости тонкостенных авиационных конструкций. Построение диаграмм деформирования ее элементов 85
2.3. Идентификация поля цилиндрических жесткостей изотропных и ортотропных пластин 96
2.4. Идентификация жесткостных характеристик конструкции балочного типа 111
2.5. Эксперимент по идентификации изгибной жесткости балки 120
2.6. Проверка возможности идентификации жесткостных характеристик с помощью собственных частот колебаний 122
2.7. Идентификация жесткостных характеристик тонкостенной конструкции с применением регуляризации по Тихонову 124
Пример «удачного» применения регуляризации 124
Пример «безуспешного» применения регуляризации 128
ГЛАВА 3. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ. ЗАДАЧА АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 131
3.1. Экстремальная постановка обратных задач 131
3.2. Определение нагрулсения конструкции при стендовых испытаниях но заданному напряженно-деформированному состоянию 142
Численный эксперимент 150
Экспериментальное воспроизведение требуемых переменных напряжений на модели 151
3.3. Определение внешних силовых факторов, действующих на конструкцию в полете 152
Балочная расчетная модель. Крыло планера СА-8Т 153
Модель тонкостенной конструкции Ю.Г. Одинокова 158
3.4. Итерационный процесс идентификации жесткостей конструкции или ее элементов 165
Определение переменных параметров упругости тонкостенной конструкции как задача оптимального управления 165
Идентификация жесткостных характеристик трехслойных и однослойных пластин (стержней) 170
Идентификация массово-жесткостных характеристик ракеты 179
3.5. Идентификация жесткостей опор 181
Идентификация жесткостей опор по собственным частотам 184
Идентификация жесткостей опор по формам вынужденных колебаний! 85
3.6. Применение метода градиентов к решению задачи оптимизации 186
Общая характеристика подхода 186
Постановка задачи, запись основных уравнений 189
Получение градиентной информации. Сопряженное состояние 191
ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ 196
4.1. Решение задач прочности в вероятностной постановке в общем виде. Определение закона распределения линейной функции случайного аргумента 199
4.2. Дискретный способ решения задач в вероятностной постановке 202
4.3. Расчет вероятностных характеристик переменных параметров упругости конструкций и действующих на нее нагрузок 205
Примеры линейных преобразований случайных величин 205
Статистическое моделирование распределений (метод Монте-Карло)209
Однофакторный дисперсионный анализ 220
4.4. Преобразование смешанных случайных процессов в стохастических системах с квазидетерминироваинвгми операторами 224
Теоретико-вероятностные основы функционального преобразования смешанных случайных явлений 226
Системы со случайными параметрами 228
4.5. Мониторинг и диагностика состояния конструкций 237
Этапы развития диагностики 237
Мониторинг и диагностика 238
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 246
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 247
ПРИЛОЖЕНИЕ 265
П.1. Задача продолжения силовых полей 265
П.2. Развитие метода интегрирующих матриц на решение двумерных задач прочности 273
ПЗ. Особенности технической реализации натурных испытаний на усталость хвостовой и концевой балок вертолетов типаМи-8иМи-14 282
П.4. Предварительная обработка экспериментальных данных и метод выравнивания, основанный на теории вероятностей 307
- Обратные задачи прочности летательных аппаратов. Общая постановка и особенности обратных задач. Регуляризация решения.
- Восстановление распределенной аэродинамической нагрузки по заданным деформациям
- Определение нагрулсения конструкции при стендовых испытаниях но заданному напряженно-деформированному состоянию
- Решение задач прочности в вероятностной постановке в общем виде. Определение закона распределения линейной функции случайного аргумента
Введение к работе
Одна из основных задач, стоящих перед людьми, занимающимися проектированием и расчетом механических систем, состоит в построении адекватных математических моделей. Повысить точность модели путем ее усложнения не всегда возможно, а порой и нереально вообще: возникает следующая зависимость: чем сложнее механическая система, тем труднее для нее построить адекватную математическую модель. Реальным способом построения (создания) адекватных математических моделей представляется путь использования методов идентификации систем. В настоящее время методы идентификации активно развиваются как отечественными, так и зарубежными учеными.
Как правило, различают идентификацию двух видов, В первом случае определяется общая внутренняя структура изучаемого явления, уточняются взаимосвязи между ее отдельными элементами. Такую идентификацию принято называть структурной. Во втором случае, полагая, что внутренняя структура явления уже определена и может быть с достаточной точностью описана какой- либо математической моделью, уточняются лишь некоторые отдельные пара метры выбранной модели. Такую идентификацию называют параметрической. Проведению параметрической идентификации посвящена большая часть всех проводимых исследований. Не являются исключением и работы автора данной диссертаций. % Впервые необходимость в проведении идентификации возникла в теории автоматического управления [2, 14, 20, 21, 57, 141, 153, 185, 189], когда по отдельным измерениям объекта определялись его свойства (параметры), необходимые для достижения некоторого заданного качества управления.
В настоящее время методы идентификации широко применяются во многих областях практической деятельности, в частности, для решения обратных задач теплопереноса [3, 4, 8, 13, 34, 123, 181], определения гидропровод кости [], 48, 56, 65, 180], управления технологическими процессами в машиностроении [172], для определения характеристик воздушных судов [64,76, 136, 138].
Большое число работ разных авторов посвящено идентификации механических систем [16, 19,50,52,54,58,60,78,79, 132,121, 129, 139, 140,144, 145, 146, 171, 185]. В области же прочности авиаконструкций и в настоящее время методы идентификации разработаны недостаточно, хотя первые работы появились еще в середине 70-х годов. Среди отечественных авторов здесь необходимо отметить, прежде всего, работы Я.М. Пархомовского [137, 138], В.Д. Ильичева и В.В. Назарова [64], Н.М. Гревцова и др. [50], И.Г. Колкера [76], Ю.Г. Одинокова и А,Ю. Одинокова [128, 133, 132]. Коэффициентные обратные задачи исследовали О.М. Алифанов и М.В. Клибанов [4, 6, 8], П.Н. Вабищевич и А.Ю. Денисенко [34, 35, 36, 37], А.М.Денисов и Р.А. Каюмов [70]. В частности работа [70] посвящена актуальным проблемам определения нелинейно-упругих характеристик композиционных материалов.
Методы численного решения коэффициентных обратных задач в связи с их приложениями разрабатывали П.Г. Данилаев [56], М,Т. Абасов, Э.Х. Азимов, Т.М. Ибрагимов [1], А.Д. Искандеров [65], М.Х. Хайруллин [180], Н.М. Цирельман [181] и др. Методы идентификации авиаконструкций развиваются и за рубежом: Дж.Д. Коллинз и др. [78], К.Й. Ли и С.А. ХоссеЙн [121], Дж. Мук [134] и др. Разработки в этой области не стоят на месте.
Активное развитие методов идентификации в инженерном деле в последнее время, очевидно, связано с развитием численных методов. Возможности компьютерной техники существенно расширяют класс решаемых задач. Причем, несмотря на громоздкость вычислительных процедур, время, необходимое ЭВМ для проведения непосредственно самих расчетов, становится значительно меньшим, чем требуется на написание и отладку рабочих программ.
От задач идентификации неотделимы различные алгоритмы для повышения устойчивости решения, проведения регуляризации. Это приводит нас к двум отдельным проблемам: 1) повышению качества исходных данных и 2) получению непосредственно устойчивого алгоритма решения задачи.
Первая проблема обусловлена неизбежными погрешностями в исходных данных, как и в любых данных измерений. Валеную задачу при этом представляет выделение из результатов измерений значения полезного сигнала на фоне помех. Известно большое количество методов, решающих эту задачу, например, фильтры Калмана-Бьюси [29, 61, 67], процедуры сглаживания Брайсоиа-Фразьера [191]. Полезным может оказаться применение методов обработки результатов измерений, основанных на теории вероятностей и математической статистике [119,161, 169, 173, 174].
Вторая проблема связана с получением непосредственно устойчивого алгоритма решения задачи идентификации.
Самым простым вариантом решения задачи идентификации является так называемый "одношаговый" алгоритм, когда интересующие нас параметры находятся непосредственно в ходе решения системы уравнений, куда они входят в качестве неизвестных. Такой подход в решении задач идентификации практически неприменим. Как правило, такие задачи оказываются очень чувствительны к точности задания исходных данных. Возникает неустойчивость счета вследствие плохой обусловленности системы разрешающих уравнений. Для преодоления неустойчивости в настоящее время известны и хорошо разработаны различные математические алгоритмы регуляризации [9, 122, ]27, 128, 135,166,180], позволяющие уменьшить чувствительность задачи и добиться устойчивого счета: методы регуляризации, метод квазирешений [34], метод квазиобращения (как разновидность метода регуляризации) [118]. В настоящее время известна обширная литература по методам решения условно-корректных задач [30, 113, 114, 115, 116, 119].
Но, на практике возможности методов регуляризации оказываются не безграничными, Часто складывается такая ситуация, когда алгоритм задачи становится устойчивым, а получаемое при этом решение - неприемлемым, так; как регуляризация "уводит" решение от априорных оценок, которые можно наложить на искомое решение. Использование методов регуляризации позволяет в рамках определения корректности по А.Н. Тихонову получить устойчивое решение, но не гарантирует его единственности. Единственность решений условно-корректных задач исследовали М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов и др. В работах [116, 147, 187] рассмотрен широкий круг условно-корректных задач математической физики, имеющих практическое приложение. Особенность данной работы в том, что в основу исследуемых постановок коэффициентных обратных задач положены результаты, полученные М.В. Клибановым [31, 69 - 73] при доказательстве соответствующих теорем единственности. Их суть - в необходимости рассматривать исследуемые уравнения совместно с переопределенным набором краевых условий. В качестве метода решения выбран метод квазиобращения, разработанный М.М. Лаврентьевым, Р. Латтесом и Ж.Л Лионсом [118]. Вопросы развития и обоснования метода квазиобращения рассматривались в [33 - 37], Прикладному использованию методов посвящены монографии [4, 5].
Самостоятельный интерес представляет исследование коэффициентной устойчивости решения дифференциальных уравнений, например, [149, 168].
Организация вычислительного эксперимента по изучению коэффициентной устойчивости заключается в следующем. Либо следует решить пример, имеющий точное решение (что и всегда делалось в данной работе), либо в процессе расчета использовать различные способы вычисления интегралов, входящих в коэффициенты, сравнивая каждый раз результаты. Если решение обладает устойчивостью, то результаты не должны сильно отличаться.
В случае плохой обусловленности можно применять, например, алгоритм сингулярного разложения матрицы [179]. Этот алгоритм обладает повышенной надежностью и заодно вычисляет обусловленность исходной матрицы. Даже простое нормирование матрицы иногда дает удовлетворительные результаты. Очень хорошие результаты дает также метод наименьших квадратов [117]. Решение способом наименьших квадратов полностью избавляет нас от исследования совместности заданной системы, так как мы примирились с тем фактом, что не получаем точного решения нашей задачи, а только наилучшее решение, возможное при данных обстоятельствах. Если заданная система совместна, то остаточный вектор, полученный методом наименьших квадратов, само собой окажется нулем, подтверждая тем самым, что система совместна.
В данной диссертации применяются численные методы решения как безытерационные, так и итерационные. Первые основаны на непосредственном решении обратной задачи, что позволяет сразу найти искомые величины из решения системы уравнений. Используя вторые, решение находится последовательно в процессе проведения нескольких итераций.
Итерационные численные методы не могут варьировать (искать) слишком большое количество параметров и требуют запоминания больших ассивов промежуточной информации о результатах предыдущих приближений. Но зато они являются методами естественной регуляризации. "Одношаговые" методы не требуют итераций, так как искомые параметры непосредственно выражаются из уравнений математической модели, но для получаемого решения естественным образом возникает проблема единственности.
Наиболее универсальный вариант решения задачи идентификации - решать ее как задачу оптимизации, то есть на основе имеющейся в распоряжении расчетчика исходной информации подобрать параметры, характеризующие исследуемую систему таким образом, чтобы составленный определенным образом функционал цели достиг своего минимума (максимума) [5, 9, 20, 21, 68, 70,
126, 142, 145, 182, 189]. Такой подход 0,М. Алифанов назвал решением задачи идентификации в экстремальной постановке [5]. Необходимым при этом является соблюдение определенных условий (ограничений) для уточняемых параметров и для модели.
Важным является и вопрос выбора (составления) целевой функции, В любой математической задаче оптимизации составляется функционал цели, который является критерием качества решения задачи. Функционал может быть простым и выражаться одним критерием или быть составным, т.е. представлять собой свертку нескольких критериев (условий) [126, 158]. Характерной особенностью при составлении функционала цели, как правило, является использование принципов метода наименьших квадратов и минимума взвешенного среднеквадратичного значения [5, 142, 145, 182, 185].
Например, в [78] задача уточнения жесткостиых и массовых характеристик решается на конечноэлементной модели конструкции. Метод сохраняет характер модели, но модифицирует заданные начальные значения так, чтобы получить формы колебаний, сходные с экспериментальными. Используются соотношения, в соответствии с которыми при помощи разложения в ряд Тейлора выражены собственные значения и перемещения по отдельным формам колебаний системы через конструктивные параметры системы. Метод требует порядка 50 итераций.
Велика роль вычислительной техники в решении задач идентификации, особенно при использовании итерационных методов, т.е. методов оптимизации. Применение ЭВМ приводит к разработке дискретных моделей механических систем [46, 50, 112, 143, 145, 183] и использованию различных численных методов [21, 37, 38, 59, 66, 117, 149, 150, 172, 178,179]. Например, последовательность решения задач идентификации механических систем с использованием дискретных модальных моделей описана в [186].
Постепенно происходит повышение точности методов идентификации. Достигается это разными путями: как с помощью усовершенствования (услож- нения) математической модели, так и с помощью улучшения самого метода. Например, начинают учитывать нелинейность поведения исследуемых механических систем, отличающихся значительной сложностью. Однако некоторые методы построения нелинейных моделей и оценки параметров приведены в [8,60,79,129,145,171].
В работе [134] описан метод точной идентификации нелинейных динамических систем. Он является точным по отношению к большим погрешностям в первоначально принятой модели (включая линейную модель), к малой частоте измерений, к низкой точности измерений. Метод основан на оптимальной оценке состояния и погрешностей модели при условии удовлетворения ковариационного ограничения. Оценка параметров основана на детерминистическом подходе, предполагающим использование метода наименьших квадратов, и, в отличие от других методов, не требует итераций.
В области прочности летательных аппаратов по-прежнему являются актуальными нелинейные задачи. Задачи физически нелинейной природы возникают всегда при прочностных расчетах авиаконструкций. Как правило, задачи такого плана возникают при рассмотрении авиаконструкций в целом. Для отдельных конструкционных элементов может представлять интерес случай геометрической нелинейности. Нелинейные задачи идентификации авиаконструкций на сегодняшний день практически не решались.
Необходимо отметить, что природа задач идентификации вероятностная. Исходные данные таких задач - результаты измерений, а любые измерения являются случайными величинами. Поэтому необходимо разрабатывать соответствующие методы их решения, основанные на теории вероятностей, математической статистике, теории случайных функций, статистической динамике. Здесь можно отметить работы Е.С. Вентцель и Л.А. Овчарова [43], В.С.Пугачева [141], A.M. Арасланова [11, 12], В.В. Болотина [22 - 25], А.С.Гусева, В.А. Светлицкого [55, 155], М.Ф. Росина и B.C. Булыгина [148], А.Ф. Селихова и В.М. Чижова [156], Дж.Д. Коллинза [78] и др.
Как правило, решение стохастических задач с использованием аналитических зависимостей в общем случае является весьма трудоемкой задачей: требует задания точных выражений для математического ожидания, дисперсии, корреляционной функции, В такой постановке удается получить решение лишь в некоторых частных случаях. Поэтому, чтобы избежать определенных вычислительных трудностей, как правило, отдается предпочтение численному моделированию задач. Одним из способов численного расчета является использование метода Монте-Карло (метод статистических испытаний), который благодаря простой вычислительной схеме и наглядной вероятностной трактовке широко используется для решения многих прикладных задач.
Представляет интерес преобразование случайного воздействия, когда характеристика самой системы (конструкции) изменяется случайным образом. Случайность параметров системы обусловлена, например, технологическими допусками производства, неоднородностью материалов, деталей их старением и износом. Она может вызываться также неизбежными возмущающими воздействиями среды, что сказывается на усталостных характеристиках конструкции. Приближенные методы определения плотности вероятности выходного процесса (деформаций) нелинейной системы базируется, как правило, на основе нормализации негауссовских случайных процессов. Однако, как показано в ряде работ по радиофизике даже в линейной системе при определенных условиях может происходить денормализация выходного сигнала. Подобные условия, содействующие образованию смеси распределений, могут существовать и в механике конструкций. В этих случаях приближенные методы анализа, основанные на свойстве нормализации, могут приводить к грубым и принципиально ошибочным результатам.
В свою очередь необходимо отождествление статистических данных результатов испытаний конструкций с моделями параметров-критериев и, следовательно, требуется развитие методов идентификации моделей распределения вероятностей случайных величин. Так как модель после возможного изменения свойств неизвестна, необходимо уметь определять состояние модельного объекта по экспериментальному полю, заданному в пространстве наблюдений. При этом возможны разновидности моделей для наблюдений, характеризующие как качественное (балка, пластинка, оболочка, конструкция), так и количественное состояние объекта (неизвестные значения коэффициентов уравнений). Требуются алгоритмы обработки экспериментальных данных, приводящие к решению о том или ином состоянии объекта (например, слоеная конструкция или с расслоениями). Построение такого алгоритма в большинстве случаев сводится к выбору двух элементов: функции отклика, принимающей различные значения при подстановке конкретной реализации экспериментального материала, и правила принятия решения о состоянии объекта по значениям функции отклика.
Сказанное определяет актуальность решаемой в диссертации проблемы разработки математических методов, алгоритмического и программного обеспечения для анализа и оценивания состояния тонкостенных конструкций со структурными изменениями.
Недостаточная разработанность методов качественного анализа и количественного оценивания состояния конструкций с возможными изменениями параметров препятствуют решению задачи в практическом аспекте.
Обратные задачи прочности летательных аппаратов. Общая постановка и особенности обратных задач. Регуляризация решения
Как все явления природы процессы нагружения и соответствующего деформирования конструкций и возникновения в них определенного напряженно-деформированного состояния управляются объективными закономерностями. Если последние хорошо изучены, то могут быть описаны дифференциальными или интегральными уравнениями1. Такие уравнения с присоединением, если нужно, дополнительных условий (граничных и начальных), позволяют выделить единственный интересующий нас процесс из множества возможных и представляют приближенную математическую модель анализируемого процесса. Зная модель, соответственно, можно предположить различные аспекты постановок задач, связанных с анализом этой модели, Процесс же оперирования этой моделью, созданный по каким-то исходным физическим параметрам, явлениям и закономерностям, обеспечивающий при этом получение данных о поведений интересующего нас объекта, составляет суть математического моделирования.
По мере усложнения техники и решаемых задач математическое моделирование все прочнее входит в практику как производства, так и проектирования любого нововведения и является реальной альтернативой пробному физическому эксперименту. Это связано с тремя основными аспектами:
1) экономия материальных ресурсов, требуемых для постановки и проведения физического
эксперимента;
2) возможность апробации системы в экстремальных условиях и даже за их пределами; 3) возможность оценки работоспособности систем с длительными технологическими (дни, недели, месяцы, годы) циклами в более сжатые сроки. Эти же преимущества в полной мере можно отнести к задачам прочности летательных аппаратов что я делает в последнее время математическое моделирование их основой.
Занимаясь моделированием задач прочности ЛА, можно выделить три варианта (класса) решаемых задач. Обозначим их.
Процессы деформирования, происходящие с некоторой конструкцией, в общем виде можно описать следующим образом.
V - пространство элементов v, представляющих собой перемещения и деформации конструкции, т.е. параметров, определяющих напряженно-деформированное состояние (НДС) конструкции; I - оператор, переводящий одно пространство параметров в другое, представляет собой, по сути, математическую модель конструкции, которая включает в себя параметры физико-механических характеристик: модули упругости, сдвига, коэффициенты Пуассона, жесткости на изшб и кручение, размеры конструктивных элементов и т.д. Каждая из трех величин L, V и Q может входить в уравнение (1.1.1) как в качестве величины известной, так и определяться из него. При этом имеется % в виду, что любые две из трех величин известны; определению подлежит лишь одна из трех. В связи с этим мыслимы три варианта постановок задач прочности:
1. Известна нагрузка Q и параметры конструкции L. Необходимо определить параметры напряженно-деформированного состояния конструкции V. Задача относится к классу прямых задач.
2. Известна нагрузка Q и известно, например, из эксперимента, напряженно-деформированное состояние (НДС) конструкции V. Задача состоит в определении (уточнении) параметров L, характеризующих конструкцию". Данная задача относится к классу обратных задач.
3. Известны параметры конструкции L и известно НДС конструкции V. Необходимо найти нагрузку Q, которая и определяет заданное НДС конструкции. Эта задача также является обратной.
Восстановление распределенной аэродинамической нагрузки по заданным деформациям
Оценка внешних нагрузок, действующих на летательный аппарат в полете, проводится методом тензометрии. При этом исследуемый агрегат, на пример, крыло, превращается в своеобразный динамометр, когда по показаниям тензодатчиков, закрепленных на наружной поверхности обшивки, судят о силах, действующих на агрегаты и ЛА в целом. Как известно, такой метод сопря ч жен со значительными погрешностями выходных данных из-за большой слож ности проведения и обработки результатов эксперимента, низкой надежности тензометрических устройств, малой точности измерений, которая связана с условиями наземной тарировки, основанной на принципе независимости действия сил, существующих ограничений в выборе числа и мест наклейки тензодатчиков на самолете при летно-прочностном эксперименте. Задача усложняется еще и тем, что жесткостные параметры сечений EJ и GJр также зависят от уровня и повторяемости нагрузок, что делает процесс нагружения конструкции физически нелинейным.
Однако в данном случае при определении нагрузок будем считать, что в результате проведенного эксперимента мы получили достоверные сведения о і работе конструкции: жесткости на изгиб и кручение известны и постоянны.
Сейчас рассматриваем случай, когда крыло среднего и большого строительного удлинения может быть представлено моделью прямой балки. В данной задаче исходными данными являются замеренные с помощью тензодатчиков в выбранных сечениях конструкции в результате прочностного эксперимента деформации верхней и нижней поверхностей исследуемого крыла (рис. 1.5.1). Зная деформации по формулам (1.1.2), (1,1.3), становится возможным определить значения изгибающих моментов по сечениям. Неизвестной же величиной является значение распределенной нагрузки, изменяющейся по размаху крыла (распределение воздушной нагрузки по хорде мы не рассматриваем). Нам известен «Выход» - деформации крыла; необходимо же определить нагрузку, т.е. «Вход», которая вызвала известное деформированное состояние.
Такая задача идентификации решалась, например, ЯМ. Пархомовским [138]. Его способ является "одношаговым". Он предложил два подхода: континуальный и дискретный, В обоих случаях за основу принята интегральная модель (1.1,5), связывающая нагрузку q с изгибающим моментом М .
В континуальном варианте решение ищется в виде: где Pj{x) - система задаваемых координатных функций д е[0,і]. В качестве системы функций им предложено выбрать полиномы Чебышева второго рода.
В дискретном - значения нагрузки определяются непосредственно в выбранных расчетных точках.
В результате и континуального и дискретного вариантов решение задачи сводится к системе линейных алгебраических уравнений, Но, в первом случае с увеличением количества расчетных точек (m 15-f20) система уравнений становится плохо обусловленной. Во втором, напротив, с увеличением своего порядка система разрешающих уравнений становится обусловленной хорошо. Причем уже при m = 15-5-20 дискретный вариант дает вполне удовлетворительные результаты (рис. 2.1.2 - рис. 2.1.6).
Определение нагрулсения конструкции при стендовых испытаниях но заданному напряженно-деформированному состоянию
В авиации из-за сложности конструкций и условий их нагружения были и остаются актуальными экспериментальные методы исследования напряженно-деформированного состояния, необходимые как для заключения о статической прочности изделия, так и прогноза его поведения в динамике, в частности определение ресурса конструкции по условиям усталостной прочности.
Для получения надежных результатов в условиях стендовых испытаний должны быть достигнуты условия нагружения элементов конструкции, эквивалентные полетным условиям. Однако, находясь на земле в зале для испытаний, невозможно приложить истинную аэродинамическую или инерционную нагрузку. И если при проведении статических испытаний эту задачу удалось решить благодаря принципу Даламбера, то при проведении испытаний конструкций в динамике (например на ресурс) воспроизведение замеренных в полете напряжений сопряжено со значительными трудностями как чисто теоретического характера (где и как прикладывать силы), так и практического плана (конструкция исполнительных механизмов).
Необходимость решения такой задачи возникла в процессе создания системы адаптивного управления экспериментом на усталость хвостовой балки вертолета типа Ми-8. Согласно программе испытаний в трех контрольных сечениях балки (рис. 3.2.1) требовалось удерживать в течение тысяч циклов заданные величины, например переменных изгибающих моментов, обеспечивающих нагружение конструкции, адекватное полету.
При этом изменения в обшивке, заклепочных швах приводят к очевидному изменению жесткости конструкции, которую необходимо также определять в реальном масштабе времени, пользуясь результатом измерения как сигналом обратной связи.
С математической точки зрения упомянутые задачи являются обратными и характеризуются неоднозначностью решения. В этой главе будет показано решение задач определения внешней нагрузки и идентификации характеристик конструкции с помощью экстремальных методов.
Б случае решения задачи определения нагружения будем рассматривать одноточечное возбуждение колебаний конструкции [97]. Искомыми параметрами будут величина силы, точка ее приложения, частота воздействия и т. п. Совокупность этих величин называется вектором управляющих параметров.
Одноточечное возбуждение несмотря на простоту реализации имеет недостатки. Например, можно не получить заданное напряженно-деформированное состояние, так как не хватит возможностей, чтобы реализовать необходимое управление. При работе около резонансных частот надо в процессе испытаний "подстраивать" возбуждение. Недостаток многоточечного метода - чисто технический - сложно реализовать систему управления и синхронную работу исполнительных механизмов. С точки зрения расчета разница между одноточечным и многоточечным возбуждением невелика - просто увеличится количество управляющих параметров.
Решение задач прочности в вероятностной постановке в общем виде. Определение закона распределения линейной функции случайного аргумента
Представим исследуемую конструкцию как некоторую систему, находящуюся во взаимодействии с внешней средой. Будем характеризоватв внешнее воздействие элементами q из пространства Q и назовем «входом», а поведение системы - элементами v из пространства V назовем «выходом» системы. По математической природе элементы обоих этих пространств могут быть числами, векторами, тензорами, функциями одной или несколвких переменных .
Особенности конструкции характеризуются оператором L, с помощью которого каждой реализации внешнего воздействия q є Q приводится в соответствие реализация параметра поведения v є V. Таким образом, аналогично (1.1.1), запишем т.е. операторное соотношение (4.1.1) устанавливает связь между элементами q пространства входных параметров Q и элементами v пространства выходных параметров V.
Пусть входной параметр q является стохастическим и каждому элементу q е Q приводится в соответствие некоторая известная вероятностная мера.
Сама конструкция также может быть в общем случае стохастической системой, т.е. ее параметры27 ( rl} г2, ..., гп), определяющие оператор L системы,
могут быть стохастическими с известной вероятностной мерой.
При стохастичности внешнего воздействия q и (или) оператора L системы элементы, характеризующие поведение системы veK, также будут случайными. Вероятностная мера их будет зависеть от величины и вероятностной меры внешнего воздействия q, а также от параметров, характеризующих оператор системы L, и вида оператора,
В данном разделе рассмотрим задачи, которые будем называть квазиста-тическими, задачи, в которых случайные факторы описываются при помощи конечного числа случайных величин28 [11, 12]. При этом между «входом» и «выходом» системы известна однозначная детерминистическая зависимость. в общем случае: где q - вектор случайных входных параметров с известной вероятностной мерой; г - вектор случайных параметров стохастической системы с известным законом распределения.
Более того, полагая во многих случаях, что рассматриваемая система де терминирована , эту детерминистическую зависимость удается получить в виде где К - некоторый известный коэффициент, определяемый решением детерминистической задачи.
Задача нахождения вероятностной меры, в частности, например, закона распределения входных параметров qL, является в общем случае непростой задачей, но, отвлекаясь от этих трудностей, полагаем, что молено всегда тем или иным способом закон распределения входных воздействий f{q) найти, и будем считать, что f[q) всегда известен.
