Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Основные задачи и методы диагностирования радиолокационных и радионавигационных систем 11
1.1 Роль пассивной радиолокации в развитии глобальной навигационной системы ГЛОНАСС 11
1.2 Роль и значение технической диагностики в решении задачи обеспечения надежности радиотелескопов 17
1.3 Методы функционального диагностирования 19
1.4 Методы компенсации ошибок 21
1.5 Диагностирование при разработке пассивных радиолокационных систем 23
1.6 Выводы по первой главе 24
ГЛАВА 2 Структурный подход к диагностированию радиолокационных и радионавигационных систем. алгоритм построения диагностических наблюдателей 26
2.1Постановка задачи построения диагностических наблюдателей 26
2.2 Исходные предпосылки и основные допущения 28
2.3 Описание процедуры построения наблюдателей состояния 31
2.4 Алгоритм построения матриц T и R
2.4.1 Алгоритм 34
2.4.2 Пример использования алгоритма
2.5 Решение задачи функционального диагностирования привода радиотелескопа 45
2.6 Выводы по второй главе 65
ГЛАВА 3 Анализ влияния дестабилизирующих факторов 66
3.1 Минимизация влияния дестабилизирующих факторов в линейных системах 66
3.2 Минимизация влияния дестабилизирующих факторов в нелинейных системах 69
3.3 Решение задачи минимизации влияния дестабилизирующих факторов при диагностировании привода радиотелескопа 75
3.4 Выводы по третьей главе 87
ГЛАВА 4 Решение задачи построения управления c компенсацией ошибок 88
4.1 Постановка задачи 88
4.2 Алгоритм построения вспомогательной системы 93
4.2.1 Алгоритм 95
4.3 Построение закона управления 99
4.4 Построение модели для определения управления с компенсацией ошибок 100
4.5 Приложение к задаче управления 102
4.6 Пример построения управления с компенсацией ошибок для привода радиотелескопа 103
4.7 Выводы по четвертой главе 108
Заключение 109
Список литературы
- Роль и значение технической диагностики в решении задачи обеспечения надежности радиотелескопов
- Описание процедуры построения наблюдателей состояния
- Минимизация влияния дестабилизирующих факторов в нелинейных системах
- Построение модели для определения управления с компенсацией ошибок
Введение к работе
Актуальность темы исследования.
Для реализации насущных потребностей современного общества в высокоточном координатно-временном обеспечении разработаны и активно применяются спутниковые радионавигационные системы (СРНС). Неотъемлемой частью наземного сегмента СРНС ГЛОНАСС, обеспечивающей фундаментальную поддержку комплекса, является радио-интерферометрическая сеть со сверхдлинной базой (РСДБ) «Квазар-КВО».
Высокие требования потребителей к качеству координатно-временной информации порождают необходимость опережающего улучшения характеристик всех компонентов комплекса «Квазар-КВО», в том числе и пассивных радиолокационных систем (радиотелескопов), входящих в его состав. Особенности эксплуатации этого комплекса состоят в обеспечении целостности и достоверности выходных данных в режиме реального времени, что заставляет вводить в него средства обнаружения ошибок в рабочих режимах, т. е. средства функционального диагностирования.
Задачи разработки методов функционального диагностирования и создания соответствующих алгоритмов занимают важное место в общей проблеме проектирования компонентов радиолокационных систем, в частности, систем следящего электропривода пассивных радиолокаторов (радиотелескопов) комплекса «Квазар-КВО». Эти системы состоят из большого числа электромеханических, механических и электронных функциональных элементов с весьма сложными связями между ними, поэтому, решая для них задачу повышения достоверности функционирования, приходится использовать структурные методы. Применение структурных методов позволяет решать эту задачу как для линейных систем, так и для систем содержащих статические нелинейности.
Степень разработанности темы исследования.
Средства функционального диагностирования (ФД), предназначенные для наблюдения за текущим состоянием сложных систем появились практически одновременно с самими системами. Теория и принципы построения таких средств восходят к фундаментальным работам по теории систем, выполненным К. Шенноном (C. Shannon), Р Калма-ном (R. Kalman), М. Арбибом (M. Arbib) и А. Гиллом (A. Gill). Позднее большой вклад в развитие ФД управляемых систем внесли П. Франк (P.M. Frank), Р.Н. Кларк (R.N. Clark), Р. Айзерман (R. Iserman), Дж. Гетлер (J. Gertler), Р. Паттон (R. Patton), А.С. Виллски (A.S. Willsky), М. Старосвейски (M. Staroswiecki), и Э.С. Лу (X.C. Lou). Среди отечественных учёных, стоявших у истоков исследований в указанной области, в первую очередь следует отметить академика В. М. Глушкова. Последующее развитие теория и практика ФД получили в работах П.П. Пархоменко, А.В. Мозгалевского, Ю.Н. Андреева, М.Б. Игнатьева, Л.А. Мироновского, Б.П. Подкопаева, А.Н. Жирабка, А.Е. Шумского и др.
Вопросы технической диагностики, в том числе и ФД, регулярно обсуждаются на международных конгрессах The International Federation of Automatic Control (IFAC), международных конференциях и симпозиумах по контролю и диагностированию, таких как Danube Adria Association for Automation & Manufacturing (DAAAM International Vienna), Design Automation and Test in Europe (DATE), East-West Design and Test Conference (EWDTC), Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), European TEST Symposium и других.
Цели и задачи исследования.
Целью диссертационной работы является разработка для компонентов радиолокационных и радионавигационных систем, представленных в виде структурных схем, методов решения задачи функционального диагностирования и связанной с ней задачи поиска управления, устойчивого к неисправности.
Для достижения этой цели потребовалось сформулировать и решить три основные задачи:
-
Разработки методов решения задачи ФД как для линейных, так и для содержащих статические нелинейности систем, заданных структурными схемами;
-
Оценки влияния дестабилизирующих факторов на качество диагностирования и разработки процедуры их компенсации;
-
Разработки метода построения управления с компенсацией ошибок для заданных структурными схемами систем рассматриваемого класса.
Научная новизна работы.
-
Разработан алгоритм построения устройств диагностирования, применимый как для линейных, так и содержащих статические нелинейности систем, заданных структурными схемами с элементами со скалярным входом и выходом.
-
Проведен анализ влияния дестабилизирующих факторов на процесс диагностирования линейных и нелинейных систем.
-
Предложена процедура минимизации влияния дестабилизирующих факторов за счет использования совместной работы наблюдателей.
-
Предложен алгоритм решения задачи построения управления с компенсацией ошибок, как для линейных, так и для нелинейных систем, заданных в виде структурных схем с элементами со скалярным входом и выходом.
Теоретическая и практическая значимость работы. Предложенные в работе методы и алгоритмы позволяют разработчикам систем автоматического управления в составе радиолокационных и радионавигационных систем эффективно вводить в них средства ФД и строить устойчивое к неисправности управление как в линейном, так и в и нелинейном случае, при условии представления объекта диагностирования структурной схемой, состоящей из подсистем вида «один вход – один выход».
Методология и методы исследования. Поставленные в диссертационной работе задачи решались с использованием математического аппарата теории автоматического управления, высшей и линейной алгебры, теории множеств и матричного исчисления.
При выполнении аналитических расчетов использовался пакет MathCAD и библиотека символьных вычислений Symbolic пакета Matlab. Компьютерное моделирование, подтверждающее теоретические выводы исследования, проводилось с помощью пакетов Matlab и Simulink.
Положения, выносимые на защиту.
-
Алгоритм построения устройств диагностирования как линейных, так и содержащих статические нелинейности систем, заданных структурными схемами, состоящих из подсистем вида «один вход – один выход».
-
Процедура минимизации влияния дестабилизирующих факторов при использовании совместной работы устройств диагностирования
3. Алгоритм решения задачи построения управления с компенсацией ошибок как
для линейных, так и содержащих статические нелинейности систем, заданных
структурными схемами, состоящих из подсистем вида «один вход – один выход».
Степень достоверности и апробация результатов. Основные положения диссертации были представлены на международных научных конференциях: 10th IEEE International Conference MMAR (Poland, 2004); Sixth International Young Scholars’ Forum of the Asia-Pacific Region Countries (Vladivostok, 2005); The 16th International DAAAM symposium (Croatia, 2005); The 21st International DAAAM symposium (Austria, 2010); IASTED International Conference Signal Processing, Pattern Recognition and Applications (SPPRA 2012) (Greece, 2012); а также на российских научных конференциях: Дальневосточного государственного технического университета «Вологдинские чтения» (2004-2007 гг.); региональной научно-технической конференции Дальневосточного государственного технического университета «Молодежь и научно-технический прогресс» (2004 г.); 70-й научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ» им В.И. Ульянова (Ленина) (Санкт-Петербург, 2017 г.).
По теме диссертации опубликовано 18 печатных работ, в том числе пять статей в журналах, рекомендованных ВАК.
Результаты работы были использованы при выполнении НИР по грантам РФФИ № 03-01-00791_а «Развитие алгебраических методов параметрического оценивания и диагностирования динамических систем, описываемых нелинейными моделями»; РФФИ № 07-08-00102_а «Комплексное развитие алгебраического и дифференциально-геометрического подходов для решения задач анализа и синтеза технических систем, описываемых нелинейными динамическими моделями»; РФФИ №10-08-00133_а, «Разработка методов анализа и синтеза нелинейных сингулярных динамических систем и систем с запаздыванием на основе алгебраического и дифференциально-геометрического подходов»; Минобрнауки РФ государственное задание № 1141 «Исследование, моделирование и разработка средств подводной акустики и робототехники»; Минобрнауки РФ № Т02-03.2-373; Научного фонда Дальневосточного федерального университета № 13-19-0113-м_а «Разработка теории и методов диагностирования и аккомодации к дефектам в подсистемах подводных роботов».
Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс кафедры «Конструирования и производства радиоаппаратуры» Дальневосточного Федерального университета.
Структура и объем диссертации. Состав диссертации включает в себя: введение, четыре главы, заключение, список литературы и три приложения. Основная часть работы представлена на 133 страницах, содержит 47 рисунков и 7 таблиц. Список литературы содержит 92 наименования.
Роль и значение технической диагностики в решении задачи обеспечения надежности радиотелескопов
Одним из способов обеспечить требуемые показатели надежности, в частности, достоверности функционирования, является применение методов технической диагностики. Техническая диагностика как отрасль знаний, исследует принципы, способы и устройства оценки состояния технических объектов и направлена на повышение качества работы исследуемых систем. Ее основной задачей является определение технического состояния проверяемого объекта с точки зрения правильности выполнения возложенных на него функций [38].
Контроль технического состояния объекта может проводиться с целью проверки исправности, работоспособности и правильности функционирования.
Объект диагностирования (ОД) считается исправным, если по результатам проверки не выявлено ни одного отказа. Под отказом понимается событие, которое приводит к состоянию неисправности, т.е. к потере способности изделия выполнять требуемую функцию, в любом из режимов.
Следует отметить, что, как правило, в результате диагностирования выявляются не сами отказы, а ошибки порождаемые ими. Под ошибкой понимается несоответствие между вычисленным, наблюдаемым или измеренным значением и истинным, заданным или теоретически правильным значением. Проверка исправности требует проведения полного комплекса испытаний для оценки технического состояния объекта диагностирования и поэтому наиболее сложна.
Работоспособность объекта предполагает состояние изделия, при котором оно способно выполнить требуемую функцию при условии, что предоставлены необходимые внешние ресурсы. Следует уточнить, что ОД в одно и то же время может находиться в работоспособном состоянии для некоторых функций и в неработоспособном состоянии для других функций [10 - 13].
Проверка правильности функционирования выполняется в рабочем режиме и оценивает работу системы при конкретном рабочем входном сигнале. При этом возможно наличие отказов, не проявляющихся в данном режиме или при данном входном сигнале. Достоинством проверки правильности функционирования является оперативность получения информации о нарушении технического состояния объекта. Такая проверка целесообразна для технических объектов, работающих длительное время и выполняющих ответственные функции, связанные с жизнью и здоровьем людей, а также нанесением значительного материального ущерба в случае нарушения правильности функционирования [34]. Можно выделить следующие задачи: - обнаружение (fault detection); - локализация (fault localization/isolation); - идентификация (fault identification); - диагностирование (fault diagnosis). Под обнаружением отказов понимается задача установление факта наличия и времени проявления отказа. Решение этой задачи отвечает на вопрос о правильном или неправильном функционировании объекта, и указывает время, когда объект перестает выполнять свои функции. Полнота контроля характеризуется перечнем обнаруживаемых отказов.
При решении задачи локализации требуется с заданной степенью точности провести идентификацию неисправной составной части или нескольких составных частей на соответствующем уровне разукрупнения. Задача локализации, как правило, решается совместно с задачей обнаружения отказа. Показателем качества решения этой задачи является глубина поиска отказов. Она характеризуется перечнем отказов, в отношении которых может быть обеспечена локализация. Часто в качестве косвенной характеристики глубины поиска отказов приводится описание классов эквивалентных (не различимых в рамках данной процедуры диагностирования) отказов.
Задача идентификации подразумевает определение, помимо места и времени возникновения, еще и величину оцениваемого параметра, например, фактические значения коэффициентов передаточной функции объекта. Показателем качества решения этой задачи является точность определения величины изменившего 19 ся параметра. Это, при необходимости, позволяет осуществить автоматическое устранение последствий отказа – парирование [1, 2, 34, 59]. Диагностирование – определение вида, величины, места и времени возникновения отказа. Проведение диагностирования включает в себя обнаружение отказа его локализацию и идентификацию.
Для решения перечисленных выше задач используются два различных подхода: тестовое и функциональное диагностирование [5, 34 - 38].
Методы тестового диагностирования характеризуются наличием специально организуемых (тестовых) режимов и воздействий, используемых при диагностировании [33]. В отличие от тестового, функциональное диагностирование проводится в режимах, когда на ОД поступают только воздействия, предусмотренные алгоритмом функционирования объекта.
Среди многочисленных методов функционального диагностирования технических систем наиболее широкое распространение получили методы, объединяемые концепцией аналитической избыточности. Аналитическая избыточность предполагает, что существуют два или более способов определения значений переменных системы, один из которых использует описание нормального поведения, заданного в аналитическом виде [6, 17, 19, 20, 32, 45, 60 – 63, 76 – 78].
Описание процедуры построения наблюдателей состояния
Как следует из соотношений (2.3) и (2.4), наблюдатель состояния представляет собой динамическую систему, выход которой оценивает комбинацию выходов исходной системы, задаваемую матрицей R, а входами являются входы и выходы этой системы. В линейном случае такие наблюдателя могут быть получены путем преобразования исходной системы в каноническую форму Кронекера, содержащую m подсистем, сумма размерностей которых равна размерности исходной системы. Алгоритм такого преобразования изложен, в частности, в работе [3], при этом каждая компонента вектора состояния преобразованной системы в общем случае может представлять собой линейную комбинацию аналогичных компонент исходной системы.
Возможен и другой подход к получению динамической системы с аналогичной структурой входов и выходов, когда исходная система представляется совокупностью взаимно пересекающихся подсистем с сохранением структуры связей между компонентами ее вектора состояния. При этом ее выход будет совпадать с некоторой компонентой вектора выхода исходной системы, а входами будут являться входы и выходы этой системы. Число таких подсистем также равно m, но сумма их размерностей может превышать размерность исходной системы, так как некоторые компоненты ее вектора состояния могут входить в состав нескольких подсистем. Поскольку в выделенной таким образом подсистеме структура связей между компонентами вектора состояния сохраняется, этот подход может быть использован и в рассматриваемом нелинейном случае. В то же время каноническая форма Кронекера, где компоненты вектора состояния подвергаются нетривиальным линейным преобразованиям, в нелинейном случае может оказаться неприменимой. Таким образом, матрица T должна выделять из исходной системы (т.е. объекта диагностирования) необходимую подсистему, поэтому каждая ее строка будет содержать только один ненулевой элемент, равный единице, в некоторой позиции.
Действительно, наличие в составе i-й строки матрицы T хотя бы двух ненулевых элементов приведет к тому, что компонентой вектора z станет комбинация компонент вектора z. А это в свою очередь приведет к преобразованию выражения Fi, j zk + Fi, j zt в описании объекта диагностирования к виду Fi, j (zk + zt ), что при рассматриваемом типе нелинейности недопустимо. В основу предлагаемого подхода к построению наблюдателя положена двухэтапная процедура: На первом этапе анализируется возможность реализации его в виде, когда на вход наблюдателя поступает только вектор u, а вектор выхода ОД используется лишь для генерации невязки согласно (2.4), как показано на рисунке 2.2. При невозможности такой реализации производится достройка наблюдателя. Для реализации первого этапа этой процедуры матрица S принимается равной нулю и выражение для определения матрицы F принимает вид TF = F T . (2.7)
Для определения матрицы F воспользуемся тем обстоятельством, что матрица T, как было сказано выше, имеет особый вид, а именно, в каждой ее строке содержится не более одного ненулевого элемента, равного единице. Этот факт, а также соотношение между числом строк и столбцов матрицы T (k n), приводят к справедливости выражения TTT = E , где символом «T» обозначена операция транспонирования, E – единичная матрица; таким образом, матрица TT является правой обратной для T. Исходя из этого выражение (2.7) преобразуется следующим образом: F = TFT . (2.8) Рисунок 2.2 - Схема диагностирования с использованием гомоморфного образа объекта диагностирования Для выяснения возможности реализации наблюдателя с полученной матрицей F необходимо проверить справедливость равенства (2.7). На практике оно выполняется достаточно редко, поэтому, как правило, приходится возвращаться к общему случаю, когда справедливо первое равенство в (2.6). Перепишем его в виде SH—TF—FT. (2.9) Для определения матрицы S воспользуемся формулой для правой псевдообратной матрицы Н+ [8, 40]. Для существования такой матрицы необходимо выполнение следующих условий: 1. Матрица Яразмера тхп должна быть вещественной. 2. Иметь полный ранг. Rank(H) = тіп{я?,л]. 3. Число строк должно быть меньше числа столбцов (т п) . Формула для ее определения имеет вид Н+ = Нт \ННт) . Поскольку матрица //имеет специальный вид (это связано с ранее наложенными на нее ограничениями), то все эти условия соблюдаются. Таким образом, окончательно получим: S = (TF - F T)H+ . (2.10) Аналогично из второго равенства в (2.6) по известной матрице R находится H : H = RHT T . (2.11) Таким образом, для построения наблюдателя необходимо определить матрицы T и R, а затем, используя выражения (2.6), (2.8), (2.10), (2.11) получить матрицы описания УД. Если j-й датчик имеет нелинейную характеристику, т.е. yj = hj (zk ), а Ry = yj , то соотношение y = H z примет вид y = hj (H z ) = hj (z1 ), поскольку при выбранном способе определения матрицы H (соотношение (2.11)) произведение H z выделяет первую компоненту вектора z1 . Кроме того, все вхождения компоненты y j в наблюдатели, построенные в предположении линейности характеристики этого датчика, заменятся на h-j1(yj), j =1,2,Km .
Предлагаемый ниже алгоритм построен по аналогии с известным в теории линейных систем разложением системы на m подсистем в соответствии с инвариантами Кронекера, но не предполагает нетривиальных линейных преобразований ее вектора состояния. Будем полагать, что выход каждой из таких подсистем совпадает с некоторым выходом исходной системы, а входами являются входы и выходы ОД. Известно [30], что инварианты Кронекера для линейных систем могут быть получены на основе матриц управляемости и наблюдаемости; для наших целей воспользуемся аналогом второй из них.
Минимизация влияния дестабилизирующих факторов в нелинейных системах
Поведение сигнала невязки при моделировании системы с использованием пакета Matlab+Simulink фирмы MathWork, Inc представлено на рисунках 2.7 - 2.8. В качестве отказа моделировалось внезапное изменение параметров звена на 10% от номинального значения в момент времени t =5.
Рассматривая предлагаемый алгоритм диагностирования как инструмент для работы с системами, описанными передаточными функциями, можно отметить ряд его преимуществ.
1. Возможность решить задачу диагностирования, используя единый подход, как для линейных, так и для систем содержащих статические нелинейности.
2. Упрощение процедуры построения УФД за счет исключения этапов перехода от передаточных функций к дифференциальным уравнениям и обратно.
3. Возможность решить задачу диагностирования без анализа отдельных ошибок внутри звеньев.
4. Упрощение процедуры построения наблюдателей для той части системы, в которой наиболее вероятно появление ошибки. Для этого необходимо определить, в состав какого из множеств M(1) , M(2) ,…, M(m) входит номер звена, ошибки которого необходимо обнаружить, а затем построить соответствующие матрицы описания.
К недостаткам можно отнести отмеченную ранее не минимальность полученных УФД, так сумма числа звеньев УФД может превосходить число звеньев ОД.
Рассмотрим решение задачи функционального диагностирования для азимутального канала следящего электропривода (СЭП) антенного устройства радиотелескопа миллиметрового диапазона.
Задача функционального диагностирования СЭП радиотелескопов является весьма актуальной, поскольку качество работы СЭП наведения оказывает непосредственное влияние на эксплуатационные характеристики всего радиотелескопа. Цена отказа, а, следовательно, вынужденного простоя объектов такого уровня является весьма высокой.
Рисунок 2.9 – Общий вид радиотелескопа. Общий вид радиотелескопа представлен на рисунке 2.9 [28, 73], на схеме обозначены: 1 – платформа (вторая масса); 2 – двигатели азимутального привода (первая масса); 3 – противовес (четвёртая масса); 4 – основание; 5 – облучатель; 6 - опорное кольцо; 7 - ферменный каркас; 8 - главное зеркало (третья масса); 9 контррефлектор; 10 - ригель; 11 - азимутальная ось наведения антенного устрой ства.
В качестве математического описания электромеханической части объекта диагностирования рассматривается структурная схема, представленная на рисунке 2.10, значения параметров звеньев (передаточные функции и статические нелинейности) соответствуют результатам идентификации радиотелескопа СМ214АУ с диаметром главного зеркала 70 метров для азимутальной оси наведения [42].
Рассматриваемая структурная схема состоит из регулятора положения, регулятора скорости и объекта управления. Кроме того для корректной работы системы необходимо наличие наблюдателя идентифицирующего параметры объекта управления и модального регулятора (рисунок 2.11). Их влияние при диагностическом моделировании учитывалось как дополнительный вход системы.
Передаточные функции, описывающие регулятор положения: 1 = =2,6844 - коэффициент усиления регулятора положения; W2=k2=\; гп л W3 = ; 73 - 1Д3796 - постоянная времени регулятора положения; W4 - уровень Т3р ограничения регулятора положения 154В. Регулятор скорости описывается следующими передаточными функциями: W5 = к5 =1,1999; W6 - специальное нелинейное звено обеспечивающее требуемые параметры распора; характеристики звена: уровень распора номинальный а = 0,182 В, /5 = 0,182 А - значение задания тока, превышение которого приводит к уменьшению величины распора, 2/? = 0,364 А - значение задания тока, при котором оба двигателя переходят из режима распора в двигательный режим; W7, W15 L . - уровень ограничения регулятора скорости 6,88В; W% = —, к% = 25 - величи Т%р+\ на обратная коэффициенту датчика тока двигателя 1, 7 = 0,002 - постоянная времени контура тока двигателя 1; W16 = —, к16 =25 - величина обратная Т16р+\ коэффициенту датчика тока двигателя 2, T16 = 0,002 – постоянная времени контура тока двигателя 2. Для описания объекта управления используются: W9 = k9 = 3,854 – кон струкционный коэффициент двигателя 1; W17 = k17 = 3,854 – конструкционный ко 1 эффициент двигателя 2; W10 =W18 = , T10 =T18 =0,7034 момент инерции каж T10 p 1 дого двигателя (первая масса); W29 = , T29 = 0,175 – момент инерции платфор29 p 1 мы (вторая масса); W27 = , T27 =0,443 – момент инерции зеркальной части T27 p 1 (третья масса); W24 = ; T24 =0,054 – момент инерции противовеса (четвёртая T24 p kk масса); W11 = 11 , k11 = T11 =1; W19 = 19 , k19 = T19 =1; W12 и W20 – нелинейные T11 pT19 p звенья учитывающее зазор, номинальная величина зазора, приведенная к валу двигателя 0,5 рад; W13 =W21 = k13 = k21 = 44,5 – коэффициенты жесткости между второй и первой массами; W14 =W22 = k14 = k22 = 0,034 – коэффициенты демпфиро-k вания между второй и первой массами; W23 = 23 , k23 = 44,8 - коэффициент жест-p k кости между четвёртой и второй массами; W25 = 25 , k25 = 65,56 - коэффициент p жесткости между третьей и второй массами; W26 = k26 , k26 = 0,027 – коэффициент k демпфирования между третьей и второй массами; W28 = 28 , k28 = T28 =1; W30 – T28 p нелинейное звено, учитывающее сухое трение, номинальная величина коэффици-k ента сухого трения 5 Нм; W31 = k31, k31 = 0,0579; W32 = 32 , k32 = T32 =1.
Построение модели для определения управления с компенсацией ошибок
При отсутствии ошибок и согласовании начальных состояний ОД и наблюдателя е(0) = 0 и тогда ё- ТКр, т.е. ясно, что влияние фактора р на невязку е описывается произведением ТК.
Далее из выражения (3.2), согласно моделям (2.1) и (3.1), а также третьему уравнению в (3.4), получим г-Се и r-СТКр. Аналогично можно показать, что г = С А ТКр, г = С (А )2 ТКр, ...
Из полученных соотношений следует, что для полной развязки невязки г от фактора /7, когда дестабилизирующие факторы не будут влиять на сигнал невязки, требуется выполнить условие ТК = 0, что накладывает определенные ограни 68 чения на выбор матрицы Г и в ряде случаев приводит к невозможности построения наблюдателя.
Для преодоления этого недостатка приходится отказываться от полной развязки и прибегать к так называемым робастным методам [77], позволяющим минимизировать степень такого влияния. Для реализации такой (частичной) развязки в работе [77] был предложен подход основанный на использовании сингулярного разложения матрицы К, представленной в виде к= икъи к, где Uk и U k - ортогональные матрицы, z= І : I : 0 L 8 \ О GX ст2 ... ag - сингулярные числа матрицы К, упорядоченные по возрастанию. На практике сингулярное разложение может быть получено с помощью пакета MATLAB. В работе [77] предлагается в качестве строк матрицы Т использовать первые g (g n) столбцов матрицы Uk. В этом случае квадрат нормы Фробениуса TKfF = af + a22+... + (72g. Норма Фробениуса Щр матрицы А опре деляется по формуле: Л = ( . .Ду)1/2 -(tr( r)) В силу условия 0s1 s2 ... sg первые g сингулярных чисел являются наименьшими, поэтому при использовании частичной развязки значение нормы произведения TK будет наименьшим для выбранного g . Нетрудно видеть, что в Т К\ = 0. случае полной развязки Отметим, что приведенные результаты получены для линейной системы, описанной в пространстве состояний. 3.2 Минимизация влияния дестабилизирующих факторов в нелинейных системах В рассматриваемом нелинейном случае результаты, полученные для линейной системы, описанной в пространстве состояний, могут быть несправедливыми; остановимся на этом детально. По аналогии с выражением (3.5) динамику разности e(p) = Tz(p) - z (p) можно проанализировать, заменив переменные z(p) и z (p) правыми частями уравнений (2.2) и (2.3) и используя соотношение (2.9) и G = TG : e(p) = TFz(p) +TGu(p) +TKr(p) - F z (p) - G u(p) - SHz(p) = = F Tz(p) - F z (p) +TKr(p). Из-за возможного наличия нелинейностей в матрице F полученное уравнения нельзя привести к виду (3.6), однако ясно, что вклад фактора r в разность e(p) по-прежнему имеет вид TKr(p). Так как в рассматриваемом нелинейном случае также выполняется соотношение r(p) = H e(p), то минимизируя величину вклада фактора r в разность e(p), можно ожидать минимизации вклада этого фактора и в величину невязки r(p).
Поскольку в предлагаемом подходе матрица T для рассматриваемого диагностического наблюдателя определяется фактически однозначно и не зависит от матрицы K , квадрат нормы T K 2 может превосходить сумму квадратов g пер-F вых сингулярных чисел.
Таким образом, отдельно взятый диагностический наблюдатель, построенный по предложенной выше методике, не может обеспечить достаточно низкую чувствительность к дестабилизирующим факторам, поэтому для генерации сигнала невязки предлагается использовать совместную работу нескольких УФД. Схема совместной работы двух диагностических наблюдателей для генерации невязки приведена на рисунке 3.1. Как известно [23], для обеспечения инвариантности переменной от возмущающего воздействия необходимо наличие, по меньшей мере, двух каналов прохождения возмущающего воздействия.
В данной работе этот принцип используется для обеспечения робастности по отношению к воздействию фактора r.
Поскольку рассматриваемые наблюдатели могут иметь разные размерности, матрицы T(1) K и T(2) K могут содержать разное число строк. Поэтому для кор 71 ректного выполнения операции сложения в выражении (3.7) необходимо ту из матриц T(1) и T(2) , у которой число строк меньше, дополнить нулевыми строками так, чтобы обе матрицы имели их одинаковое количество, обозначенное в вышеприведенных суммах через k.
Минимизация вклада er приводит, как правило, к результату a1 = a2 = 0 (за исключением случая, когда T(1) K = aT(2)K для некоторого a, что позволяет положить a1 =1, a2 = -a ). Конструктивный результат можно получить, принимая во внимание вклад ef ошибки в невязку r , его можно определить по аналогии со вкладом er и оценить в простейшем случае как ef =a12 +a22 . Таким образом, поставленная проблема сводится к следующим задачам оптимизации: – максимизации вклада ef ошибки в невязку r : a12 + a22 max при наложении ограничения на вклад er: a12s1 + 2a1a2s12 + a22s2 s. – минимизации вклада er: a12s1 + 2a1a2s12 + a22s2 min при ограничении на вклад ошибки ef : a12 +a22 s. Здесь s – некоторая постоянная, величину которой рекомендуется выбирать исходя из величин сингулярных чисел s1,s2,...,sg . Так, в случае максимизации вклада ef ошибки в невязку рекомендуется положить s=smin , где smin – минимальное из собственных чисел, а при минимизации вклада er принять s=smax , где smax – максимальное из сингулярных чисел матрицы K .