Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Пространственная обработка сигналов в антенных решетках с большим количеством элементов 16
1.1 Метод непосредственного обращения корреляционной матрицы 16
1.2 Методы регуляризации корреляционной матрицы 25
1.3 Метод разложения весового вектора по степенным векторам 29
1.4 Два способа аналитического решения для весового вектора в ортонормированном базисе степенных векторов 34
1.5 Заключение по первой главе 52
Глава 2. Два метода адаптивной обработки сигнала 54
2.1 Первый этап регуляризации 54
2.2 Второй этап регуляризации 70
2.3 Вычислительная сложность формирования регуляризованного весового вектора в базисе ортонормированных степенных векторов 87
2.4 Заключение по второй главе 93
Глава 3. Эффективность обработки сигнала в ААР с произвольной диаграммообразующей схемой и сканирующим лучом 96
3.1 Пространственная обработка сигнала в ААР с фиксированной ДОС и сканирующим лучом 96
3.2 Применение ортонормированного степенного базиса в ААР с фиксированной ДОС и сканирующим лучом 106
3.3 Заключение по третьей главе 113
Заключение 115
Список литературы 117
Список сокращений 124
- Методы регуляризации корреляционной матрицы
- Два способа аналитического решения для весового вектора в ортонормированном базисе степенных векторов
- Вычислительная сложность формирования регуляризованного весового вектора в базисе ортонормированных степенных векторов
- Применение ортонормированного степенного базиса в ААР с фиксированной ДОС и сканирующим лучом
Методы регуляризации корреляционной матрицы
При стремлении длины выборки L к бесконечности среднее значение эффективности асимптотически стремится к единице, а дисперсия стремится к нулю. Решение (1.1.10) нельзя рекомендовать для практического использования по следующим причинам. Во-первых, выборочная матрица (1.1.9) при L N (короткая выборка) становится вырожденной. Такая матрица М не имеет обратной матрицы. Она имеет L положительных случайных собственных чисел, неравных нулю, и N-L нулевых собственных чисел. Поэтому TV-мерное векторное пространство сигналов можно разбить на два подпространства: L-мерное подпространство выборочных векторов и ортогональное ему подпространство размерности N-L. Это подпространство является ядром КМ М. Оно не содержит какой-либо информации о входном шуме. Оценку весового вектора представим в виде суммы двух векторов [33]: W = Wn+Wj_, (1.1.16) где Wn - вектор принадлежащий подпространству выборочных векторов, W± -вектор принадлежащий ядру КМ М. Ядро КМ М обладает следующим свойством: при умножении матрицы М на любой ненулевой вектор из ядра матрицы М получается нулевой вектор, т.е. MW±=0 [33,50,51]. Отсюда следует, что вектор W± может быть выбран произвольным в пространстве ядра. Это означает, что оценивание весового вектора по формуле (1.1.10) в случае короткой выборки невозможно.
Во-вторых, выборочная матрица (1.1.9) при LN является плохообусловленной, поскольку она имеет собственные числа, близкие к нулю.
Матрица М имеет N положительных случайных собственных чисел. Такие собственные числа могут сильно отличаться от собственных чисел точной КМ (1.1.4), т.к. в общем случае они принадлежат интервалу [0;). Продемонстрируем это на примере. Возьмем 50-ти элементную линейную эквидистантную АР. Число выборок входного процесса равно числу элементов АР, т.е. L=N. Среднюю мощность собственного шума и одной внешней помехи примем равной единице, т.е. Co=v = l. В качестве нормировки скалярное произведение вектора помехи возьмем ФЯФ=Ж Проведено 10 реализаций. Собственные числа для каждой реализации отложены на прямой X рисунка 1.3. При точной КМ собственные числа, соответствующие собственному и внешнему шуму, должны быть равны 1 и 51 соответственно. Вертикальными пунктирными линиями обозначены точные значения собственных чисел. 7 3
Разброс собственных чисел оцененной КМ Ввиду случайного характера собственных чисел оцененной КМ, они разбросаны на прямой . Вместо 49-ти единичных значений собственных чисел, соответствующих собственному шуму, каждое из них принимает значение от 0 до 2. Этот эффект связан с флуктуацией элементов оцененной КМ (1.1.9). Даже небольшие изменения в элементах оцененной КМ могут вызвать значительные отклонения от оптимального весового вектора ААР (1.1.2), и, как следствие, наблюдается низкая эффективность обработки сигнала ААР. С увеличением длины выборки входного процесса L влияние этого эффекта уменьшается. На рисунке 1.4 продемонстрирована зависимость средней эффективности обработки от числа входных выборок L, отнесенных к числу элементов ААР. Рассмотрена линейная эквидистантная АР с N=50. Весовой вектор вычисляется по формуле (1.1.10). L/7V Рисунок 1.4. Зависимость эффективности обработки от числа выборок для метода прямого обращения КМ для линейной эквидистантной АР с числом элементов N=50 Из рисунка 1.4 видно, что при малых выборках (LN) наблюдается низкая эффективность. С помощью формулы (1.1.14) длина выборки может быть определена исходя из допустимых средних потерь в величине ОСШ. Если допустимыми считаются потери в -3 дБ ( =0.5), то из формулы (1.1.14) находим, что необходимо задать L=2N-3 выборки [4,56]. В АР с большим числом элементов взять такую длинную выборку не всегда представляется возможным, т.к. длина выборки не должна превышать время стационарности внешних источников шума. Кроме того, при числе выборок входного процесса L меньше чем число элементов ААР N, метод непосредственного обращения оцененной КМ не может быть использован для вычисления весового вектора (1.1.10).
В-третьих, наблюдается резкое увеличение вычислительной сложности при увеличении числа антенных элементов N. Оценим количество операций комплексного умножения для данного метода оценивания весового вектора. Так, для обращения оцененной КМ (1.1.9) требуется примерно N3 операций комплексного умножения. Кроме того, оценка элементов этой матрицы с учетом ее эрмитовости предполагает выполнение 0.5(N+1)NL комплексных умножений. Умножение обратной матрицы на вектор полезного сигнала требует N2 комплексных умножений. Таким образом, общее количество операций составляет N3+0.5NL(N+1)+N2 комплексных умножений. Некоторое уменьшение вычислительной сложности при обращении КМ можно добиться, если использовать алгоритм Холецкого. Вычислительная сложность данного алгоритма составляет порядка 1/3N3 комплексных умножений. [57]. Таким образом, метод прямого обращения КМ является вычислительно затратным.
Два способа аналитического решения для весового вектора в ортонормированном базисе степенных векторов
Таким образом, шум на выходе ФОЛАР с номером у имеет отличную от нуля корреляцию только с шумами на соседних ((/-1)-ым и (у+1)-ым) выходах ФОЛАР, величина которой определяется константой Pj_x = F MF и Pj =Fy+ MFj соответственно. Это значит, что шум в основном канале ФОЛАР коррелирован только с шумом в первом канале ФОЛАР. Константы ccj =F MF7 имеют физический смысл средней мощности на выходеу-го вспомогательного канала формирователя.
Благодаря специфической форме матрицы F MF и вектора F MF0, решение уравнения (1.4.14) можно найти в аналитическом виде. Для этого нам потребуется найти определители матриц, входящих в матрицу F MF и имеющих меньшие размерности. Если в этой матрице вычеркнуть первые у строк и первые у столбцов, то образуется матрица размерности (К-1-j) с первым элементом aj+1. Детерминант такой матрицы обозначим, вводя верхний и нижний индексы, как DK-\-i. Меняя у от 0 до К-2, получаем набор блочных матриц, при этом, если у=0, получаем исходную матрицу с детерминантом Dj/_ , а последняя матрица при j=К-2 вырождается в число (Z) =аК-\). Детерминанты этих матриц связаны рекуррентным соотношением вида: D(+1) -a-1 D(+2) -В2 D(+3) (14 17) Применяя правило Крамера и формулу (1.4.17), можно найти первый коэффициент разложения с1. В результате получим, что [62-65]:
Следующий коэффициент с2 найдем из первого уравнения в (1.4.14), которое с учетом (1.4.15) и (1.4.16) записывается в виде а1С1 + Дс2 = -Д0 . Отсюда c2=- — (j30+a1c1). (1.4.19) Последующие неизвестные коэффициенты определяются с помощью следующей рекуррентной формулы [62-65]: cj= —(j3j_2Cj_2+aj_1Cj_1), j = 3,(K-1) (1.4.20) Формулы (1.4.4), (1.4.8) и (1.4.18-1.4.20) дают строгое аналитическое решение уравнения (1.1.1) для оптимального весового вектора (1.4.13) при произвольной КМ М и произвольном векторе S полезного сигнала. Это значит, что число элементов N, конфигурация ААР, параметры полезного сигнала и внешних источников шума могут задаваться произвольными.
Физическая интерпретация обработки сигнала ААР с весовым вектором (1.4.13) следующая. Ввиду ортогональности вектора полезного сигнала S с векторами F1,...,Fj _1полезный сигнал присутствует только в основном канале ФОЛАР и не присутствует в других. Основной канал обеспечивает прием полезного сигнала с максимальным усилением. Собственные шумы приемных устройств и шумы внешних источников проходят на все выходы формирователя. Далее шумы суммируются с весовыми коэффициентами с1,с2,...,ск_1, в результате чего средняя мощность шума на выходе минимизируется. Так обеспечивается максимальное ОСШ на выходе ААР.
Рассмотрим пример формирования оптимального весового вектора в случае одного внешнего источника шума. В данном случае, согласно (1.4.13), весовой вектор запишется в виде: W = F0+qF1. (1.4.21) Вектор F0 обеспечивает когерентное накопление полезного сигнала. Вектор F1 в силу его ортогональности подавляет полезный сигнал и обеспечивает прием шума. Далее сигналы с выходов формирователя должны суммироваться с учетом действительного весового коэффициента с1. Выражение для коэффициента с1 (1.4.18) в случае одной помехи примет вид:
Числитель выражения (1.4.22) имеет физический смысл функции корреляции шумов, взятых с основного и первого вспомогательного канала ФОЛАР. Знаменатель имеет физический смысл средней мощности шума на основном выходе ФОЛАР.
Диаграмма направленности вектора (1.4.21) равна сумме ДН основного канала и ДН первого вспомогательного канала, умноженной на коэффициент с1. Продемонстрируем эти диаграммы направленности в случае одного внешнего источника шума. Антенную решетку возьмем линейную эквидистантную с числом элементов N=16. Угол падения плоского фронта полезного сигнала и помехи возьмем равный =0 и =10 соответственно. Мощность помехи равна =100. На рисунке 1.8а,б,в изображены ДН основного, вспомогательного канала и результирующая ДН соответственно. Направление сигнала от помехи отображено вертикальной пунктирной линией.
Первый вектор степенного базиса F0 совпадает с направлением вектора полезного сигнала, поэтому главный луч диаграммы направленности основного канала ФОЛАР ориентирован в направлении приема полезного сигнала. Волновой фронт помехи падает в направлении действия первого бокового лепестка диаграммы направленности основного канала (рис.1.8.а). Следующим шагом оптимальной обработки является вычисление вспомогательного вектора f1. Представим его через основной вектор F0 и вектор помехи Ф. Для этого подставим представление КМ в виде (1.4.2) в выражение для ненормированного вектора f1 (1.4.4), а именно в вектор MF0 и в константу 0:
Вычислительная сложность формирования регуляризованного весового вектора в базисе ортонормированных степенных векторов
Из рисунка также видно, что вероятность не формирования вектора Fi при наличии внешнего источника шума мощностью =1, =2, =3 составляет 0.29, 0.13 и 0.075 соответственно. Отметим, что достаточно высокая вероятность в случаях, когда мощность помехи равна =1 и =2, не приведет к существенному снижению эффективности обработки, т.к. такие слабые помехи, воздействуя по боковым лепесткам ДН основного канала ФОЛАР не оказывают заметного влияния на выходное ОСШ. С увеличением суммарной мощности внешних источников шума вероятность не формирования вектора Fi будет стремиться к нулю. Так, при наличии одного источника шума мощностью =100 вероятность не будет превышать значения 510"4.
Применим описанную выше пороговую технику ограничения ортонормированного степенного базиса в отсутствии внешних источников шума для второго способа решения уравнения (1.4.11). В данном случае в схеме ортогонализации (2.1.1) введено скалярное произведение (1.4.9). Здесь, в отличие от первого способа, вектор F0 является случайным, т.к. квадрат нормы вектора fo определен через оцененную КМ следующим образом: f02 = S IVIS. (2.1.21)
В отсутствие внешних источников шума норма вектора f0 обусловлена только собственным шумом приемных элементов ААР. Ограничим влияние собственного шума, введя по аналогии пороговое значение Th2. Индекс «2» определяет второй способ решения уравнения (1.4.11). Будем сравнивать с порогом квадрат нормы ненормированного вектора fo. Если порог численно больше, то процесс формирования векторов прекращается. Для вычисления порога учтем статистические свойства величины f0 . Представим квадрат нормы вектора fo через значения комплексных амплитуд х входного процесса X. Для этого в формулу (2.1.21) подставим представление КМ в виде (1.1.9): lf0l L
Случайная величина х{(1), 1i N, распределена по нормальному закону. Согласно центральной предельной теореме, величина (2.1.22) будет также подчиняться нормальному распределению при достаточно большом количестве слагаемых в (2.1.22), равном произведению NL. Это значит, что случайную величину f0 можно полностью описать средним значением среднеквадратичным отклонением (СКО). Для нахождения величины (f0 усредним выражение (2.1.22): где n – квадрат нормы вектора полезного сигнала,
Случайные отклонения величины f02 от средней величины (2.1.23) будем характеризовать среднеквадратическим значением: S H MS (2.1.25) Правая часть выражения (2.1.25) совпадает по своей структуре с выражением (2.1.12). Выражение (2.1.12) определяет среднюю мощность на выходе первого вспомогательного канала в первом способе решения уравнения (1.4.11). Отличие заключается в том, что в выражении (2.1.25) используется вектор полезного сигнала S, а в выражении (2.1.12) – вектор основного канала F0. Таким образом, если учесть разницу в нормах этих векторов, можно получить среднее значение выражение (2.1.25):
Подставив выражения (2.1.23) и (2.1.26) в формулу (2.1.24), получим выражение для СКО величины f02:
Величину порога Th2 определим через вероятность ложного образования вспомогательного вектора Fi при отсутствии внешних источников шума по аналогии с порогом Thi в (2.1.20). В результате получим, что: Th2=(f02) + 3C: 9 f02l = « + 3 L . (2.1.28) При выбранном пороге вероятность ложного образования вспомогательного вектора Fi составит 0.001. На рисунке 2.4 изображены интегральные функции распределения случайной величины f01 в отсутствии внешних источников шума, а так же при одном источнике мощностью =1 и =5. Рассматривалась линейная эквидистантная ААР с числом элементов N=50. Число выборок равно L=40. Источник имел случайную угловую координату, равномерно распределённую вне области главного луча ААР. Вертикальной штриховой линией показана величина выбранного порога Th2 в (2.1.28).
Из рисунка 2.4 видно, что поведение интегральных характеристик величины f02 в случае слабых помех слабо отличается от поведения кривой 1, обусловленной только собственным шумом. Поэтому вероятность не формирования вектора F1 при наличии внешних слабых помех высокая. Однако это не существенно уменьшит ОСШ на выходе ААР, ввиду малой мощности источников шума. Проанализируем поведение интегральной функции распределения величины f02 при увеличении числа источников и их мощностей. Рассмотрим случай, когда имеются 3 внешних источника шума. Мощность каждой помехи равномерно распределена в интервале от 1 до 100. Кривая 4 на рисунке 2.4 соответствует данной помеховой обстановке. Для наглядного сопоставления кривой 1 и кривой 4 горизонтальная ось рисунка ограничена характерным масштабом интегральной характеристики в отсутствие внешнего источника шума. Из рисунка 2.4 видно, что вероятность неформирования вектора Fi в данном случае резко снизилась до 0.07. Поэтому использование порога Th2 допустимо в случаях, когда суммарная мощность всех источников шума достаточно велика.
Статистически обоснованные пороговые значения Thi (2.1.20) и Th2 (2.1.28) позволяют решить альтернативу «да» или «нет» в отношении внешних источников шума. Применение подобной пороговой техники для ограничения размерности базиса в случае воздействия J внешних источников шума является затруднительным. Это связано со следующими причинами. Во-первых, сравнение пороговых значений (2.1.20) и (2.1.28) с квадратом нормы вектора fy, \ j K не гарантирует теоретически обоснованного требования определять число базисных векторов числом внешних источников шума (KJ+1). Во-вторых, определение аналитических выражений пороговых значений для каждой нормы вектора из базиса является невозможным. Поэтому предлагается другой подход. Из рисунка 2.1 следует, что размерность базиса необходимо ограничивать тогда, когда ОСШ достигает максимального значения. Однако вычислить значение ОСШ (1.1.11) не представляется возможным, т.к. для этого требуется знать точную КМ шумов. Произведем оценку ОСШ на выходе ААР. Для этого в формуле (1.1.11) заменим КМ на ее оценочное значение: и 2 77 = . (2.2.1) W H MW На рисунке 2.5 изображена зависимость оцененного значения ОСШ, выраженного в дБ, от числа образованных вспомогательных векторов. Число элементов в ААР равно N=50, число выборок входного процесса L=40. Количество внешних источников шума выбрано J=10. Источники располагались случайным образом, независимо друг от друга, с равномерной плотностью вероятности угловой координаты вне главного луча диаграммы направленности ААР. Величина мощности каждого источника имела равномерное распределение вероятности в интервале от 1 до 1000. Для каждого количества векторов задавалось 1500 реализаций углового положения источников шума.
Применение ортонормированного степенного базиса в ААР с фиксированной ДОС и сканирующим лучом
Оценка выигрыша в вычислительной сложности метода ортонормированного базиса степенных векторов приведена для однолучевой ААР. В таких антеннах в процессе обработки формируется только один луч. Во многих задачах радиолокации требуется одновременно формировать набор лучей в процессе обработки сигнала ААР. В таких случаях необходимо для каждого луча ААР независимо проводить вычисление оптимального весового вектора. Поэтому общая вычислительная сложность формирования весовых векторов для k-лучевой ААР возрастет в k раз относительно однолучевой ААР. Иная зависимость вычислительной сложности от числа лучей ААР, когда для формирования весового вектора используется рекуррентное оценивание КМ. Изначально оценивается КМ. Затем эта матрица умножается на вектор полезного сигнала каждого луча ААР. Дополнительная вычислительная сложность при формировании весового вектора каждого луча составляет N2 комплексных умножений. Таким образом, общая вычислительная сложность формирования весовых векторов для k-лучевой ААР медленно увеличивается с ростом числа лучей. Поэтому необходимо определить, имеет ли преимущество метод формирования весового вектора ААР в ортонормированном степенном базисе по отношению к рекуррентному методу в случае k-лучевой ААР. Вычислительная сложность обоих методов одинаковым образом зависит от длины выборки входного процесса. Поэтому для определенности примем выполнение для длины выборки L условия (2.2.7). Определим комбинации параметров k и N, при которых вычислительная сложность метода представления весового вектора в ортонормированном степенном базисе меньше. На рисунке 2.23а,б изображена заштрихованная область комбинаций параметров k и N, при которых выполняется данное требование. Число внешних источников шума равно J=10 (рисунок 2.23а) и J=20 (рисунок 2.23б).
Сравнение вычислительной сложности метода формирования весовых вектора k-лучевой ААР основанного на рекуррентном оценивании КМ с методом, основанным на разложении весового вектора в ортонормированном степенном базисе, в случае различного количества внешних источников шума a) J=10, б) J=20.
Из рисунка 2.23 видно, что в k-лучевых ААР с большим количеством элементов число лучей, при которых будет наблюдаться выигрыш в вычислительной сложности, достаточно велико. Таким образом, рисунки 2.22 и рис.2.23 демонстрируют преимущество в вычислительной сложности метода формирования весового вектора в ортонормированном базисе степенных векторов. Необходимо отметить, что выигрыш станет еще больше, если произвести сравнение с методами регуляризации весового вектора (1.2.2) и (1.2.4). Это связано с тем, вычислительная сложность этих методов пропорциональна N3 комплексных умножений.
В данной главе рассмотрен вопрос эффективности обработки сигнала ААР. Полученное в главе 1 строгое аналитическое решение для оптимального весового вектора, применено к адаптивной обработке сигнала. Для этого точная КМ заменяется на ее оценку. Ввиду того, что оцененная КМ случайная, процесс ортогонализации не сможет образовать корректное число векторов ортонормированного степенного базиса. Базис в таком случае будет иметь максимальную размерность, которая определяется минимальным значением пары параметров L, N. В случае короткой выборки (L N) максимальная размерность базиса соответствует величине L. Для ликвидации такого эффекта проводится двухэтапная регуляризация числа векторов в степенном базисе. На первом этапе принимается статистическое решение о наличии или отсутствии внешних источников шума. Применяется пороговая техника. Для каждого способа решения аналитически выведен статистически обоснованный порог. Если квадрат нормы вектора f1 (в первом способе решения) или квадрат нормы вектора f0 (во втором способе решения) численно больше порога, то выполняется второй этап регуляризации. На втором этапе регуляризации оценивается ОСШ на выходе ААР. Процесс формирования векторов прекращается, когда ОСШ достигает максимального значения. Путем компьютерного моделирования был оценен параметр регуляризации для оценки ОСШ.
Продемонстрирована высокая эффективность обработки двух методов формирования весового вектора в ортонормированном базисе степенных векторов в случае короткой выборки. Эффективность обработки не зависит от конфигурации ААР и определяется только числом элементов N ААР и числом выборок L входного процесса. Размерность ортонормированного базиса определяется числом внешних источников шума. Квазиоптимальная обработка, которая возможна за счет уменьшения размерности базиса вдвое, при условии N J может быть использована для уменьшения вычислительной сложности при уменьшении эффективности не более чем на 3 дБ.