Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Восстановление по временным рядам архитектуры связей и параметров элементов в ансамблях связанных осцилляторов с задержкой .13
1.1. Введение 13
1.2. Метод, основанный на минимизации целевой функции для каждого элемента ансамбля 15
1.3. Восстановление ансамблей, состоящих из связанных модельных уравнений с запаздыванием 22
1.4. Восстановление цепочки экспериментальных радиотехнических генераторов с запаздывающей обратной связью .29
1.5. Выводы по первой главе 34
Глава 2. Коллективная динамика идентичных бистабильных автогенераторов с запаздыванием, связанных через общее поле 36
2.1. Введение .36
2.2. Ансамбль из систем с запаздыванием, связанных через общее поле 38
2.3. Экспериментальное исследование цепочки связанных радиотехнических генераторов с запаздыванием 48
2.4. Численное моделирование ансамбля идентичных осцилляторов с запаздыванием, связанных через общее поле 56
2.5. Выводы по второй главе .64
Глава 3. Системы скрытой передачи информации на основе синхронизации хаотических систем c запаздыванием .66
3.1. Введение 66
3.2. Цифровая система скрытой передачи информации с нелинейным подмешиванием информационного сигнала к хаотической несущей 71
3.2.1. Иллюстрация работы схемы 77
3.2.2. Выделение информационного сигнала при расстройке параметров приемника и передатчика 80
3.3. Система скрытой передачи информации на основе переключения хаотических режимов .84
3.3.1. Влияние шумов и затухания в канале связи на качество выделения информационного сигнала 88
3.3.2. Оценка конфиденциальности системы связи .96
3.4. Система передачи информации на основе обобщенной хаотической синхронизации 103
3.4.1. Метод диагностики обобщенной синхронизации, использующий одну ведомую систему, и система передачи информации на его основе .106
3.4.2. Экспериментальная реализация системы связи на основе обобщенной синхронизации 113
3.4.3. Модифицированная система передачи информации на основе обобщенной синхронизации, содержащая две ведомые системы .117
3.5. Выводы по третьей главе 122
Заключение 125
Благодарности 127
Список литературы 128
- Восстановление ансамблей, состоящих из связанных модельных уравнений с запаздыванием
- Экспериментальное исследование цепочки связанных радиотехнических генераторов с запаздыванием
- Влияние шумов и затухания в канале связи на качество выделения информационного сигнала
- Модифицированная система передачи информации на основе обобщенной синхронизации, содержащая две ведомые системы
Введение к работе
Актуальность исследуемой проблемы
Исследование сложной динамики в малых ансамблях осцилляторов1 и в больших сетях колебательных систем с нетривиальной топологией давно привлекает к себе большое внимание. Известно, что коллективная динамика существенно зависит от структуры и интенсивности связей в ансамбле. В частности, связи определяют виды синхронизации, простоту или сложность динамики, образование различных пространственно-временных структур,,. Помимо «прямой» задачи исследования динамики ансамблей с заданными связями, на практике важна «обратная» задача определения характера связей по наблюдаемому поведению осцилляторов – временным рядам динамических переменных. Решение таких задач возможно только с использованием современных подходов, использующих методы радиофизики, математической статистики и нелинейной динамики. Важную роль в процессе решения «обратной» задачи играет разработка и использование специализированных подходов, направленных на исследование определенных классов систем с максимальным использованием априорной информации об объекте исследования. Сложность практической реализации подобных методов связана с рядом особенностей экспериментальных данных, которые зачастую характеризуются широким спектром, хаотичностью, нестационарностью, шумами и искажениями различной природы.
Одним из важных классов объектов, для работы с которыми требуется развивать специализированные подходы и методы, являются системы с запаздывающей обратной связью, которые очень широко распространены в природе и технике,. Уравнениями с запаздыванием описываются многие радиофизические, оптические, биологические системы и другие объекты. Сложность решения востребованной на практике задачи идентификации структуры взаимодействий и собственных параметров элементов в сетях,
1 Матросов В.В., Шалфеев В.Д. Динамический хаос в фазовых системах. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ,
2007. –258 c.
2 Boccaletti S., Latora V., Moreno Y., Chavez M., Hwang D.-U. Complex networks: Structure and dynamics // Physics
Reports. –2006. –V. 424. –P.175-308.
3 Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л.
Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Москва–Ижевск: Институт компьютерных
исследований, 2003. –544 с.
4 Пиковский А.С., Розенблюм M.Г., Куртс Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. Москва:
Техносфера, 2003. –496 c.
5 Osipov G.V., Kurths J., Zhou C. Synchronization in oscillatory networks. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2007.
–370 p.
6 Bezruchko B.P., Smirnov D.A. Extracting knowledge from time series: An introduction to nonlinear empirical
modeling. Berlin, Heidelberg: Springer, 2010. –410 p.
7 Kuang Y. Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics. Boston: Academic Press, 1993. –
398 p.
8 Erneux T. Applied Delay Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 2009. –204 p.
состоящих из систем с запаздыванием, определяется тем, что даже простые несвязанные между собой системы с запаздыванием могут демонстрировать хаотические колебания очень высокой размерности. При этом универсальные подходы оказываются неэффективными, и для восстановления уравнений систем с задержкой приходится разрабатывать специальные методики9. Решение этой проблемы важно не только для предсказания поведения ряда практически важных устройств и систем с запаздыванием при изменении параметров, но и для оценки адекватности заложенных в модели представлений об объекте, классификации систем и режимов их функционирования, определения значений параметров, недоступных непосредственному измерению в эксперименте.
Вызывает также интерес использование хаотических систем с запаздывающей обратной связью в системах передачи информации. Разработка коммуникационных систем, использующих хаотические сигналы, представляет собой активно развиваемое направление радиофизики. Способность даже систем первого порядка с запаздыванием генерировать широкополосные хаотические колебания очень высокой размерности привлекает к ним внимание как к потенциальным объектам, которые могут быть использованы в системах скрытой передачи информации. Однако вопрос о маскирующих свойствах хаотических сигналов систем с запаздыванием остается открытым и требует тщательного исследования.
Таким образом, тема диссертационного исследования охватывает фундаментальные вопросы радиофизики, нелинейной динамики и теории колебаний и является актуальной.
Целью диссертационной работы является выявление особенностей коллективной динамики ансамблей генераторов с запаздывающей обратной связью посредством радиофизических и численных экспериментов, разработка методов восстановления модельных уравнений связанных систем с задержкой, а также построение систем передачи информации на основе генераторов с запаздыванием.
Для достижения этой цели решались следующие основные задачи:
1. Разработка нового метода восстановления архитектуры связей и
параметров элементов в ансамблях связанных осцилляторов, описываемых
дифференциальными уравнениями с запаздыванием, по временным рядам.
2. Экспериментальное и численное исследование особенностей
9 Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Караваев А.С., Безручко Б.П. Системы с запаздыванием (реконструкция
моделей и их приложения). Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2016. –328 c.
10 Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. Москва:
Физматлит, 2002. –252 с.
коллективной динамики осцилляторов в ансамблях бистабильных систем с запаздывающей обратной связью, глобально связанных между собой через общее поле.
3. Разработка и создание систем скрытой передачи информации на основе хаотических систем с запаздыванием.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Предложенный метод восстановления архитектуры связей и
собственных параметров элементов в ансамблях связанных осцилляторов,
моделируемых дифференциальными уравнениями первого порядка с
запаздыванием, основанный на минимизации целевых функций, описывающих
результат реконструкции каждого осциллятора ансамбля, и разделении
восстановленных коэффициентов связи на значимые и незначимые,
обеспечивает гарантированное качество реконструкции времен запаздывания,
параметров инерционности, нелинейных функций и коэффициентов связи
между элементами ансамбля по хаотическим временным рядам их колебаний.
2. В ансамбле идентичных бистабильных осцилляторов с запаздыванием,
связанных между собой через общее поле, при соответствующем выборе
параметров и начальных условий формируется два кластера, в одном из
которых осцилляторы совершают колебания на основной моде, а в другом на
третьей гармонике основной моды. Изменяя параметры общего поля, можно
управлять поведением осцилляторов внутри кластеров и получать
колебательные режимы, при которых осцилляторы демонстрируют синхронное
поведение в обоих кластерах, осцилляторы в обоих кластерах колеблются
несинхронно, осцилляторы в одном из кластеров синхронны, а в другом
кластере несинхронны.
3. Разработанная система передачи информации, основанная на
использовании режима обобщенной синхронизации и содержащая лишь одну
ведомую автоколебательную систему в приемнике, позволяет избежать
технических трудностей при построении систем связи на основе обобщенной
синхронизации, обусловленных необходимостью обеспечить в эксперименте
идентичность двух генераторов в приемнике. Диагностику режима обобщенной
синхронизации между ведущей и ведомой системами в предложенной схеме
связи можно осуществить, воздействуя на ведомую систему поочередно
хаотическим сигналом ведущей системы и задержанной копией этого сигнала.
Научная новизна
Предложен новый метод идентификации структуры взаимодействий и оценки собственных параметров элементов в ансамблях связанных систем с
задержкой, основанный на минимизации специальным образом введенной целевой функции.
Впервые исследовано влияние инерционных свойств и запаздывания общего поля на коллективную динамику осцилляторов в ансамбле идентичных бистабильных систем с запаздывающей обратной связью, глобально связанных между собой через общее поле. Обнаружены и исследованы многочисленные колебательные режимы в таком ансамбле.
Предложены и экспериментально реализованы новые системы передачи информации на основе синхронизации хаотических генераторов с запаздыванием. Исследована эффективность разработанных систем связи при расстройке параметров приемника и передатчика, наличии шума и затухании сигнала в канале связи.
Предложен метод для диагностики обобщенной хаотической синхронизации между связанными автоколебательными системами, не требующий использования вспомогательной системы.
Научная и практическая значимость работы
Предложенный в диссертационной работе метод реконструкции ансамблей связанных систем с запаздыванием позволяет определить структуру взаимодействий и восстановить с высокой точностью собственные параметры всех осцилляторов ансамбля, включая времена запаздывания, параметры инерционности, нелинейные функции и коэффициенты связи. Метод обладает высоким быстродействием и применим для восстановления ансамблей, состоящих из неидентичных систем с запаздыванием с произвольным числом однонаправленных и взаимных связей между ними, в том числе при умеренных уровнях шума.
Выявлены особенности коллективной динамики осцилляторов в ансамбле идентичных бистабильных генераторов с запаздывающей обратной связью, глобально связанных между собой через общее поле. Показано, что изменяя параметры общего поля, можно управлять поведением осцилляторов в ансамбле и контролировать колебательные режимы, в том числе состояния «химера». Обнаруженные особенности состояний «химера» могут оказаться полезными для объяснения ряда феноменов реального мира, поскольку глобальная связь осцилляторов является достаточно распространенной в многоэлементных системах различной природы, а запаздывание присуще многим объектам и процессам.
Разработаны экспериментальные системы передачи информации на основе синхронизации хаотических генераторов с запаздыванием, которые позволяют повысить устойчивость к шуму и к затуханию сигнала в канале связи по
сравнению с другими экспериментальными системами передачи информации, использующими хаотическую синхронизацию для передачи скрытого сообщения через аналоговый канал связи.
Разработанные системы передачи информации обладают такими преимуществами, как относительная простота технической реализации, способность маскировать и выделять информационный сигнал в реальном времени с небольшой задержкой, возможность скрытия не только самой информации, но и факта ее передачи. Практическое применение таких систем передачи может быть востребовано в сфере проводной и беспроводной служебной связи охранных структур, а также при конфиденциальной передаче информации коммерческого значения и биомедицинских данных.
Предложена схема связи на основе обобщенной синхронизации, позволяющая обойтись без использования вспомогательной системы в приемнике. Это позволяет избежать технических трудностей создания систем передачи информации на основе обобщенной синхронизации, связанных с необходимостью обеспечить в эксперименте идентичность двух генераторов в приемнике.
Достоверность научных результатов подтверждается их воспроизводимостью в численном и радиофизическом эксперименте, хорошей согласованностью между собой и с результатами других авторов.
Личный вклад
Основные результаты диссертации получены автором лично. Автором были созданы экспериментальные установки ансамблей генераторов с запаздывающей обратной связью, а также лабораторные макеты систем передачи информации. Планирование и постановка экспериментов осуществлялись совместно с научным руководителем и другими соавторами. В совместных работах автором выполнялись экспериментальные измерения и компьютерные расчеты, включая обработку экспериментальных данных. Постановка задач, разработка методов их решения, объяснение и интерпретация результатов осуществлялись совместно с руководителем и другими соавторами.
Апробация работы
По теме диссертации опубликовано 23 работы, в том числе 12 статей в журналах, рекомендованных ВАК. Результаты были представлены и обсуждались на всероссийской школе «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2016); международных школах «Хаотические автоколебания и образование структур» – ХАОС (Саратов, 2013, 2016); всероссийской школе-семинаре «Физика и применение микроволн» (Можайск, 2013); научных
конференциях «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2012-2017); всероссийской школе-конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Современные проблемы электроники СВЧ и ТГц диапазонов» (Саратов, 2015); всероссийской научно-технической конференции «Радиолокация и радиосвязь» (Москва, 2015); на международной конференции «Conference on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2015)» (Комо, Италия, 2015); на научных семинарах Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.
Проведенные исследования были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (2013-2017), Российским научным фондом (с 2016 г.), фондом некоммерческих программ «Династия» (2014).
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Она содержит 140 страниц, включая 45 рисунков и список литературы из 135 наименований.
Восстановление ансамблей, состоящих из связанных модельных уравнений с запаздыванием
Уравнение Маккея-Гласса, описывающее процесс выработки организмом красных кровяных клеток, является эталонным уравнением с запаздыванием, широко используемым при численных исследованиях систем с задержкой. На рис. 1.1 (а) приведена архитектура случайно выбранных связей в ансамбле из 20 элементов. Из 380 возможных связей между элементами ансамбля имеется 60 связей, среди которых есть как однонаправленные, так и взаимные. Все элементы ансамбля являются неидентичными. Их параметры принимают случайные значения в следующих интервалах: гг є [250,400], є, є [7.5,12.5], аг є [0.20,0.25], kU} є [0.02,0.06]. При этом все элементы колеблются хаотически. Длина временных рядов N = 104 при шаге выборки At = 0.5. Рассмотрим случай отсутствия шума и случай, когда к временному ряду каждого элемента добавлен некоррелированный нормальный шум ф) с нулевым средним и среднеквадратичным отклонением сг =0.004. На рис. 1.1 (б) приведен зашумленный хаотический временной ряд колебаний первого элемента при г1=263, = 12.32, =0.218, к14 =0.0475, к115 =0.0294, к118 = 0.0292.
На рис. 1.2 приведены зависимости Ції) для всех 20 элементов ансамбля для случаев отсутствия и присутствия шумов. Глобальные минимумы всех Ц(Тг) наблюдаются в точности при истинных временах запаздывания.
Величины Ц нормированы на величину (N-fy-1) для удобства сравнения. Отметим, что для оценки временного ряда производных (іДи)} по временному ряду {х((п)} использовалась аппроксимация со сглаживанием параболой.
При реконструкции модельного уравнения (1.1) для каждого элемента ансамбля получаются 19 ненулевых коэффициентов связи к г], часть из которых являются лишними. Лишние коэффициенты по модулю гораздо на несколько порядков меньше действительных и поэтому их можно выявить с помощью кластеризации в логарифмическом масштабе, как это показано на рис. 1.3 Видно, что модули всех значений к }. хорошо делятся на 2 кластера, состоящие из действительных (справа) и лишних (слева) коэффициентов. Наличие шума приводит к сближению кластеров. Очевидно, что, начиная с некоторого критического уровня шума, метод начинает выдавать ошибки, пропуская часть имеющихся связей или находя ложные.
Члены суммы в (1.5), соответствующие лишним коэффициентам связи, были удалены из модели и реконструкция была проведена повторно уже без них. В результате архитектура связей в ансамбле оказалась восстановленной правильно, в точном соответствии с рис. 1.1 (a) как для случая отсутствия шумов, так и при их наличии. В отсутствие шума точность реконструкции коэффициентов модели составила 4 значащих цифры. Неидеальная точность в таком случае объясняется конечной длиной ряда и необходимостью численной оценки производной. При наличии шума значения коэффициентов также были восстановлены с удовлетворительной точностью. В частности, для первого осциллятора они составили к[1,4 = 0.0467 при истинном значении к14 = 0.0475, к[15 = 0.0288 при истинном значении к115 = 0.0294, к[,18 = 0.0287 при истинном значении к118 =0.0292.
Чтобы охарактеризовать точность восстановления коэффициентов связи в среднем по ансамблю, была рассчитана средняя относительная погрешность коэффициентов по формуле (1.11) где усреднение проводилось только для действительных коэффициентов. Величина Ек составила 0.023, колеблясь от 0.002 до 0.058. Параметры инерционности были восстановлены с ещё большей точностью, так, для первого осциллятора є[ = 12.29 при истинном значении є1 = 12.32, аналогичным образом рассчитанная средняя относительная погрешность реконструкции составила 0.007 от абсолютной величины. Большая точность реконструкции параметров % является, скорее всего, следствием того, что они вносят более уникальный вклад в целевую функцию (1.8), будучи помножены на базисные функции Лх. (п), в то время как параметры связи ki:j стоят перед однотипными базисными функциями вида(Л (я)-Лкг(я)), вклад которых может частично взаимно компенсироваться, особенно при частичной синхронизации в ансамбле.
На рис. 1.4 (a) приведена восстановленная нелинейная функция f1 первого элемента для случая отсутствия шума. Она очень точно совпадает с истинной функцией уравнения Маккея-Гласса (настолько, что на одном графике их невозмоно различить в использованном масштабе), поэтому исходная функцию не приводиться. На рис. 1.4 (б) приведена та же нелинейная функция /1, построенная при указанных выше восстановленных значениях и при наличии шума. Точность восстановления параметров и нелинейных функций для остальных элементов ансамбля примерно такая же.
Очевидно, что лишние и действительные связи вносят различный по абсолютной величине вклад в целевую функцию (1.8). На этом основании был апробирован альтернативный кластеризации методом -средних алгоритм разделения действительных и лишних коэффициентов среди всех оценок к[}, основанный на построении зависимости (1.9) (рис. 1.5). При М = величина (М) практически достигает своего минимального значения и с увеличением М меняется очень слабо (менее чем на 1%), что видно на графике. В отсутствие шума (JV) очень близка к нулю и составляет 1.3-10 5, в то время как потеря даже одного коэффициента приводит к её резкому росту: AQV-V) = 55.7-10 5, то есть примерно в 43 раза. Таким образом, оба предложенных подхода дали в рассмотренном примере одинаковый результат и позволили точно реконструировать архитектуру связей.
Экспериментальное исследование цепочки связанных радиотехнических генераторов с запаздыванием
В работе экспериментально исследован ансамбль, состоящий из восьми бистабильных систем с запаздыванием, описываемых в отсутствие связи уравнением вида (2.1). Осцилляторы ансамбля представляли собой кольцевые электронные генераторы с запаздывающей обратной связью. При схематическом представлении таких генераторов в виде рис. 2.1 запаздывание сигнала на время т обеспечивается линией задержки, роль нелинейного элемента выполняет усилитель с передаточной характеристикой f, а инерционность определяется низкочастотным і?С-фильтром первого порядка фильтром, параметры которого задают величину є. Для такого генератора x(t) и x(t-z) в уравнении (2.1) представляют собой напряжение на входе и выходе линии задержки, соответственно, а є = RC.
Линии задержки и нелинейные элементы генераторов были реализованы в цифровом виде на базе программируемых микроконтроллеров, а і?С-фильтры представляли собой аналоговые элементы. Мы использовали 32-битные микроконтроллеры Atmel на базе процессора ARM Cortex-M3. Аналоговые и цифровые элементы схемы сопрягались с помощью аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразователей.
Блок-схема исследуемого ансамбля связанных генераторов представлена на рис. 2.5. Общее поле формируется путем сложения сигналов xt{t) всех генераторов при помощи суммирующего усилителя с коэффициентом передачи к и нормировки суммарного сигнала на N. Полученный таким образом сигнал проходит через линейную фазосдвигающую цепочку, представляющую собой два последовательно соединенных низкочастотных RC- фильтра первого порядка. Общее поле G(t) описывается при этом уравнением (2.9), в котором yx=Rf\, y2=R2C2. Сигнал G(t) подается на каждый генератор между фильтром и линией задержки в качестве внешнего воздействия. Такой способ воздействия соответствует воздействию на кольцевую систему с запаздыванием в точке 1 (рис. 2.1). При этом связанные осцилляторы описываются уравнением (2.3).
Параметры генераторов имели значения г = 1 мс и = 0.08 мс, а передаточная характеристика описывалась кубической функцией (2.2), изображенной на рис. 2.2. Коэффициент передачи суммирующего усилителя = 0.01. Начальные условия задавались при программировании микроконтроллеров как постоянная величина на интервале времени, равном времени запаздывания генераторов. Для четырех генераторов мы задавали начальные условия, равными 2 В, а для остальных четырех генераторов, равными 0.5 В. Эти начальные условия принадлежат бассейну притяжения периодического и хаотического аттрактора, соответственно. В результате, четыре генератора совершают периодические колебания на основной моде, а четыре других генератора совершают хаотические колебания на третьей гармонике основной моды. В этом случае элементы ансамбля разделены на два кластера, в одном из которых динамика генераторов периодическая с частотой вблизи V1, а в другом хаотическая с основной частотой вблизи у2.
Изменяя величины резисторов й1 ий2 (рис. 2.5), мы могли регулировать фазовые сдвиги А и Ар2 и наблюдать три различные ситуации: 1) А л-/2, Л р2 л-/2, 2) А л-/2, я/2 \А(р2\ я, 3)ф \А \ л, тг/2 \А(р2\ л, описанные в разделе 2.2.
В первом случае наблюдается синхронизация как периодических генераторов в первом кластере, так и синхронизация хаотических генераторов во втором кластере. Фрагменты экспериментальных временных реализаций колебаний напряжения во всех восьми связанных генераторах показаны на рис. 2.6 (a) при Л = 0.002л- и Л 2 = 0.006л-. При идентичности генераторов синхронизация элементов первого кластера, находящихся в периодическом режиме, была бы полной. Однако в радиофизическом эксперименте практически невозможно добиться полной идентичности аналоговых RC-фильтров в генераторах. Поэтому, периодические колебания экспериментальных генераторов немного отличаются. В кластере с хаотическими генераторами наблюдается фазовая синхронизация элементов, при которой генераторы могут иметь разную амплитуду колебаний.
Вторую из перечисленных выше ситуаций иллюстрирует рис. 2.6 (б), на котором приведены фрагменты временных реализаций колебаний напряжения во всех восьми связанных генераторах при Л = 0.47л- и А 2 = 0.51л-. В кластере с периодической динамикой генераторов имеет место синхронизация элементов, так же как на рис. 2.6 (а). В кластере с хаотической динамикой генераторов фазовая синхронизация разрушилась, элементы колеблются несинхронно. Такая ситуация соответствует состоянию «химера», так как в ансамбле одновременно сосуществуют кластер с синхронным и кластер с несинхронным поведением элементов. Отметим, что состояния «химера» возникают в исследуемой системе, несмотря на небольшое количество генераторов. Как было недавно показано в работах [75, 84-87], состояния «химера» могут существовать и в малых ансамблях связанных осцилляторов. Для наблюдения состояний «химера» достаточно четырех идентичных связанных осцилляторов [75, 84, 86].
Последняя из возможных ситуаций проиллюстрирована на рис. 2.6(в), на котором приведены фрагменты временных реализаций колебаний напряжения во всех восьми связанных генераторах при А = 0.8л- и Л 2 = 0.99л-. В этом случае колебания генераторов в обоих кластерах оказываются несинхронными. На рис. 2.7 показаны мгновенные значения напряжения xt{t) в генераторах для каждого из трех случаев, изображенных на рис. 2.6. Генераторы, совершающие периодические колебания, обозначены номерами 1-4, а генераторы, совершающие хаотические колебания, обозначены номерами 5-8. В синхронных режимах генераторы, входящие в один кластер, имеют близкие мгновенные значения напряжения xt, рис. 2.7 (а). В несинхронных режимах мгновенные значения напряжения заметно отличаются как у периодических, так и у хаотических генераторов, рис. 2.7 (в). Рисунок 2.7 (б) соответствует состоянию химера, при котором периодические генераторы синхронны, а хаотические несинхронны.
На рис. 2.8 приведены пространственно-временные диаграммы напряжения хг (/) в ансамбле из восьми связанных генераторов. Из-за того, что аналоговые і?С-фильтры генераторов не могут быть полностью идентичными, периодические колебания генераторов 1-4 немного отличаются даже в синхронных режимах, рис. 2.8 (а), (б). На рис. 2.8 (а) в кластере с хаотическими генераторами 5-8 наблюдается фазовая синхронизация элементов, при которой амплитуда колебаний в генераторах может отличаться. На рис. 2.8 (б), (в) хаотические генераторы колеблются несинхронно, при этом отличия амплитуды их колебаний более заметны, чем на рис. 2.8 (а).
Влияние шумов и затухания в канале связи на качество выделения информационного сигнала
Проиллюстрируем работу предложенной системы передачи информации в численном эксперименте. В качестве передатчика возьмем генератор с запаздывающей обратной связью, имеющий квадратичную нелинейность f(x) = A-x2 , где А — параметр нелинейности, и фильтр низких частот в виде фильтра Баттерворта первого порядка с частотой среза /с=1є. В этом случае уравнение передатчика имеет вид: 8x(t) = -x(t) + A-{x(t-(r1+m(t)r2)))2. (3.10)
В приемнике обе ведомые системы с запаздыванием имеют такую же нелинейность и такой же фильтр, что и передатчик. Эти системы описываются уравнениями:
Sy(t) = -y(t) + А- (x(t - r1))2, (3.11)
sz(t) = -z(t) + A-(x(t-z3))2. (3.12)
Выберем следующие параметры системы: г1 = 100, г2=10, г3 = 110, /1 = 1.9, /с=0.5 (є = 2). При этих параметрах передатчик генерирует хаотический сигнал. Каждый бит информационного сигнала m(t) будем передавать в течение интервала времени /. Этот же интервал времени будем использовать для оценки дисперсии сигналов, поступающих на вход детекторов приемника.
Для моделирования шума в канале связи к временному ряду хаотического сигнала передатчика x{t) добавлялся гауссовский шум с нулевым средним, отфильтрованный в полосе частот хаотической несущей. Для различных уровней шума мы восстанавливали бинарный информационный сигнал m (t) на выходе приемника и строили зависимости вероятности ошибки на бит (BER) от отношения сигнал/шум (SNR), где под сигналом понимается хаотический сигнал, передаваемый в канал связи. На рис. 3.8 (a) построены зависимости BER от SNR для различных значений l. На этом и всех последующих графиках величина BER рассчитывалась при передаче случайной последовательности, содержащей 105 бинарных символов 0 и 1. При l = 100 и l = 200 сигнал сообщения выделялся без ошибок при SNR 12 дБ и SNR 10 дБ, соответственно. То есть, предложенная схема демонстрирует более высокую помехоустойчивость, чем большинство других систем передачи информации, использующих хаотическую синхронизацию для передачи скрытого сообщения [12, 106].
В реальном канале связи всегда происходит затухание сигнала, которое может оказаться критичным для работы системы передачи информации. Действительно, многие системы связи, особенно системы с нелинейным подмешиванием и системы с переключением хаотических режимов имеют низкую устойчивость к искажениям сигнала в канале связи. Для исследования устойчивости предложенной схемы к амплитудным искажениям сигнала мы меняли затухание сигнала в канале связи.
На рис. 3.8 (б) построены зависимости BER от параметра d = (At-Ar)/At, где At и A r — амплитуды сигналов на выходе передатчика и входе приемника, соответственно. При l = 100 и l = 200 бинарный информационный сигнал на выходе приемника выделялся без ошибок при d 0A и d 0.\5, соответственно. Значение d = 0.1 соответствует затуханию сигнала примерно на 1 дБ. При таком уровне затухания сигнала в канале связи схемы с нелинейным подмешиванием и переключением хаотических режимов оказываются неработоспособными [106].
Следует отметить, что рассмотренная схема связи, как и все схемы с переключением хаотических режимов, имеет ограничение на скорость передачи информации. Это связано с возникновением переходных процессов после каждого переключения хаотических режимов. После переключения времени задержки в передатчике требуется некоторое время на установление синхронизации между передатчиком и одной из ведомых систем с запаздыванием в приемнике. Скорость передачи информации можно увеличить, уменьшив характерные временные масштабы системы или уменьшив длину временного интервала, в течение которого передается каждый бит. Однако в последнем случае это может привести к увеличению BER при выделении информационного сигнала в приемнике.
На рис. 3.9 приведена зависимость BER от длины / интервала времени, в течение которого передается один бит, построенная при SNR=8 дБ и d = 0. В области малых значений /, с уменьшением / наблюдается рост BER. С другой стороны, при высоких уровнях шума в канале связи можно улучшить качество восстановления информационного сигнала, увеличив величину /, что приведет к уменьшению BER.
Предложенная система передачи информации на основе генератора с запаздывающей обратной связью с переключением хаотических режимов реализована нами в радиофизическом эксперименте. Для обеспечения полной идентичности параметров передатчика и приемника все элементы схемы реализованы в цифровом виде на базе программируемых микроконтроллеров семейства Atmel megaAVR.
Для повышения быстродействия системы все вычисления в микроконтроллере целесообразно проводить с помощью целочисленной арифметики. Для этого необходимо отмасштабировать переменные и параметры уравнения (3.10), воспользовавшись следующей логикой. При малых є допустимые пределы изменения параметра А, при которых в системе (3.10) существует периодический или хаотический аттрактор, составляют от 0 до 2. В этих пределах изменения А, динамическая переменная х(і) может принимать значения от -2 до +2. Перейдем к целочисленной арифметике, преобразовав уравнение (4) так, чтобы динамическая переменная размещалась в 16-битной ячейке памяти, то есть, чтобы ее значение изменялась в диапазоне целых чисел от -215 до 215. Для этого введем замену: Х(і) = сх(і), А = сЯ, где с = 214 — масштабный коэффициент. В результате уравнение (3.10) можно записать в следующем виде
Блок-схема экспериментальной системы передачи информации представлена на рис. 3.10. Линия задержки передатчика имеет 2 отвода, которые соответствуют дискретным временам запаздывания к и р, соответственно. Бинарный информационный сигнал Мп управляет коммутирующим устройством, которое переключает время запаздывания таким образом, что когда передается бинарный 0, время запаздывания в системе равно к, а когда передается бинарная 1, время запаздывания равно р. Сигнал (Хп.к или Хп-р) с выхода линии задержки поступает на нелинейный элемент, обеспечивающий квадратичное преобразование, а затем проходит низкочастотный цифровой фильтр Баттерворта первого порядка, имеющий частоту среза fc=1s. Динамическая переменная Х„, наблюдаемая на выходе фильтра, подается на вход линии задержки, замыкая кольцо обратной связи, а также через цифро-аналоговый преобразователь передается в аналоговый канал связи.
Приемник в схеме реализован на основе такого же программируемого микроконтроллера, что и передатчик. Поступающий из канала связи аналоговый сигнал оцифровывается встроенным аналого-цифровым преобразователем (АЦП) микроконтроллера приемника с частотой дискретизации 1 кГц (At = 1 мс). Сигнал Хп с выхода АЦП подается на вход линии задержки, отводы которой соответствуют временам запаздывания к и р, соответственно, рис. 3.10. Задержанные сигналы Хп_к и Хп_р проходят через нелинейные элементы и фильтры, идентичные реализованным в передатчике. Расположенный после фильтра вычитатель разрывает цепь обратной связи каждого из контуров приемника, описываемых уравнениями
Модифицированная система передачи информации на основе обобщенной синхронизации, содержащая две ведомые системы
Так как для диагностики режима обобщенной синхронизации и определения того, какой именно из бинарных символов передается, необходимо дважды подействовать на ведомую систему одним и тем же сигналом, половину времени рассмотренная система связи находится в режиме ожидания. Для того чтобы исправить этот недостаток и вдвое повысить скорость передачи информации, мы модифицировали схему на рис. 3.15, добавив в приемник вторую ведомую систему, которая работает в противофазе с первой ведомой системой, линию задержки ЛЗ-3 со временем запаздывания т и еще один разностный усилитель.
Блок-схема такой модифицированной системы передачи информации на основе обобщенной синхронизации приведена на рис. 3.23. Коммутирующее устройство К1, управляемое сигналом z(f), переключает воздействующий сигнал таким образом, что когда первая ведомая система y(i) находится под действием сигнала x(t), на вторую ведомую систему u(f) действует сигнал x(t-x) и наоборот, когда на первую систему действует сигнал x(t-x), на вторую систему действует сигнал х(і). В результате, пока вторая ведомая система находится в режиме ожидания, первая ведомая система диагностирует наличие или отсутствие режима обобщенной синхронизации и определяет, какой бит (0 или 1) передается.
Затем наступает режим ожидания первой системы, при этом передаваемый бинарный сигнал выделяется второй системой.
Сигналы на выходе разностных усилителей первой и второй ведомой системы мы обозначили 1(t) = y(t)-y(t-r) и 2(t) = u(t)-u(t), соответственно. Перед детектором мы дополнительно ввели в схему еще один коммутатор К2, который также управляется сигналом z(i). В результате на вход детектора поступает сигнал 3(), состоящий из чередующихся фрагментов сигналов 1() и 2(). При этом каждый бит информационного сигнала m(t) передается вдвое быстрее, чем в схеме на рис. 3.15.
Отметим, что хотя схема на рис. 3.23 содержит две ведомые системы в приемнике, она не требует их идентичности, в отличие от классических систем передачи информации на основе обобщенной синхронизации, использующих в приемнике вспомогательную систему, являющуюся точной копией ведомой системы. Идентичность систем y(t) и u(t) в приемнике не обязательна, так как для диагностики режима обобщенной синхронизации мы анализируем не разность сигналов этих систем между собой, а разности сигналов каждой из этих систем по отдельности при воздействии на них два раза одинаковым сигналом.
Работоспособность модифицированной схемы (рис. 3.23), содержащей две ведомые системы была продемонстрирована в численном эксперименте. Были выбраны такие же параметры для передатчика и для приемника, как и в схеме с одной ведомой системой.
На рис. 3.24 представлен фрагмент временного ряда сигналов m(i), z(i), Aj(0, А2(0, Аз(0 и m\t) в случае SNR = 0 дБ. При m{t) = \ оба сигнала \{t) и А2(7) демонстрируют похожие незатухающие колебания как при z{t) = 1, так и при z(7) = 0, что свидетельствует об отсутствии режима обобщенной синхронизации, как между x(t) и y(t), так и между x(t) и u(t). Соответственно, сигнал А(/) тоже не спадает до нуля при передаче бинарной 1.
При передаче бинарного 0, при z{t) = \ сигнал Ax(t) демонстрирует затухающие колебания, причем эти колебания близки к нулю во второй половине интервала времени, на котором z(t) = 1. Именно на этом интервале времени, имеющем длительность Т/4, оценивается дисперсия сигнала А3() и сравнивается с пороговым значением ст2 =0.001. Вторая ведомая система при z(t) = 1 находится в режиме ожидания, при этом сигнал A2(t) демонстрирует затухающие колебания. При передаче бинарного 0, при z(t) = 0, наоборот, уже сигнал Л2() демонстрирует затухающие колебания, которые близки к нулю во второй половине интервала времени, на котором z(t) = 0. При этом первая ведомая система находится в режиме ожидания, а ее сигнал A1(t) демонстрирует затухающие колебания. Сигнал А3() состоит из чередующихся фрагментов сигналов A1(t) и A2(t) в зависимости от периода управляющего сигнала z(i). На выходе детектора получается восстановленный информационный сигнал m (t), равный бинарному нулю, если дисперсия сигналаА3() ст2 а2, и бинарной единице, если ст2 а2, где а2 = 0.001.