Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Введение 6
1.1. Распределенные джозефсоновские переходы 6
1.2. Уравнения и граничные условия
1.3. Методы решения и решенные задачи. Стационарный случай
1.4. Методы решения и решенные задачи. Нестационарный случай 29
1.5. Постановка задач 38
ГЛАВА 2. Характеристики квазиодномережных переходов
2.1. Квазиодномеряое приближение
2.2. Статические свойства переходов с переменными параметрами т 7
2.3. Статические свойства переходов с неоднородной инжекцией тока 52
2.4. Сравнение теории с экспериментом G4
2.5. Нестационарные свойства квазиодномерных переходов 69
2.6. Выводы по главе 2 JQ
ГЛАВА 3. Асимптотическая теория стационарных свойств квазиодномережных переходов 80
3.1. Построение асимптотических решений 80
3.2. Укороченное уравнение
3.3. Образование статического домена в неоднородном переходе
3.4. Критическое поле неоднородного перехода
3.5. Сравнение результатов асимптотической теории с численными расчетами 99
3.6. Выводы по главе 3 /С>3
4. Асимптотическая теория стационарных свойств двумерных переходов
4.1. Двумерное укороченное уравнение №4
4.2. Граничные условия /08
4.3. Характер решений двумерного укороченного уравнения
4.4. Домены и критический ток квадратного перехода
4.5. Центральный максимум
4.6. Вторичные максимумы /20
4.7. Выводы по главе 4 /27
Заключение /28
Литература
- Уравнения и граничные условия
- Статические свойства переходов с переменными параметрами
- Образование статического домена в неоднородном переходе
- Характер решений двумерного укороченного уравнения
Введение к работе
Одно из направлений современной радиофизики - криогенная радиофизика - в настоящее время в значительной степени сконцентрировано на изучении макроскопических квантовых эффектов в слабой сверхпроводимости и их возможных применений. Теория систем, в которых происходят эти эффекты (джозефсоновские переходы и сверхпроводящие квантовые интерферометры) имеет два аспекта -твердотельный и электродинамический. Первый из них связан с получением уравнений для макроскопических величин, описывающих систему, а второй - с анализом динамических и стохастических свойств систем, на основе решения полученных уравнений (совместно с уравнениями Максвелла),
К настоящему времени для большинства сверхпроводящих структур, используемых в эксперименте и в приложениях, первая часть теории разработана достаточно полно. Напротив, изучение динамических свойств некоторых структур обнаруживает заметное отставание от эксперимента. К таким структурам прежде всего относятся распределенные джозефсоновские переходы. С практической точки зрения, эти переходы представляют значительный интерес для создания схем обрамления оперативной памяти разрабатываемых криоЭБМ, регистров сдвига, "баллистических" логических структур и генераторов СВЧ колебаний.
Тем не менее, арсенал теоретических методов исследования свойств распределенных переходов в значительной степени ограничивался методами численного анализа. Аналитические методы применялись фактически лишь для изучения динамики простейших вихревых структур в идеализированных ситуациях. Развитие таких методов важно и с общефизической точки зрения, поскольку вихревые образования, которые могут возникать в распределенных джозефсоновских переходах,
-5 сходны по структуре и динамическому поведению с солитонами и их системами в других физических объектах.
Основной целью настоящей работы было частично заполнить существующий пробел в теории распределенных джозефсоновских переходов за счет развития асимптотических методов, позволяющих либо непосредственно получать аналитические результаты, либо значительно облегчить численный анализ процессов.
В первой, вводной главе диссертации дан обзор существовавших ранее методов решения стационарных и нестационарных задач динамики распределенных джозефсоновских переходов, а также основных задач, решенных с их помощью. В конце первой главы дана конкретная постановка задач, решаемых в настоящей работе. Вторая глава посвящена подробному анализу квазиодномерного приближения в теории распределенных джозефсоновских переходов. В третьей главе развит асимптотический подход к изучению квазиодномерных переходов, а в последней, четвертой, главе этот подход обобщен на существенно двумерный случай. Завершает диссертацию заключение, в котором подводятся итоги выполненной работы и формулируются наиболее актуальные задачи будущих исследований в области теории распределенных джозефсоновских переходов. В диссертацию вошли также два приложения, содержащие описание двух различных программ численного моделирования, использовавшихся в работе.
Уравнения и граничные условия
В общем случае джозефсоновская фаза f зависит не только от времени, но и от координат /,4 точки плоскости перехода. Масштаб пространственного изменения фазы f определяется джозефсо-новской глубиной проникновения 3 : где (ко = 4(9Г-У0 Гн/м J\_- $, +%г + J оуша глубин f\i и 52 проникновения магнитного поля в сверхпроводники и расстояния а между сверхпроводящими пленками. Если линейные размеры в плоскости перехода значительно меньше , а приложенные магнитные поля не слишком велики, то переход можно рассматривать как сосредоточенный элемент, пренебрегая пространственной зависимостью фазы f . При этом связь сверхтока Ig с напряжением У дается уравнениями (I.I), (1.2), являющимися теоретической основой описания процессов, происходящих в сосредоточенных джозефсоновских переходах.
Если существенна зависимость фазы У от координат X , Ч то джозефсоновский переход следует рассматривать как распределен ную электродинамическую систему. В этом случае формула (I.I) остается неизменной, а вместо соотношения (1.2) между сверхтоком и фазой имеем аналогичную связь между плотностью сверхтока р s и локальным значением фазы : где /с - плотность критического тока Джозефсона, которая также может быть функцией координат Х , Ч (для неоднородных переходов) . Величина полного сверхтока Х определится интегрированием соотношения (1.4) по плоскости перехода:
С точки зрения практических применений эффекта Джозефсона, зависимость фазы f от координат X ,4, может быть либо паразитной, либо, наоборот, полезной. Например, для большинства СВЧ применений [IIJ , магнитометрии [l2] , создания большинства типов логических схем и ячеек памяти ЭВМ [із] предпочтительны сосредоточенные переходы. Однако, в ряде случаев целесообразно использовать именно распределенные джозефсоновские переходы.
Речь идет главным образом, об использовании распределенных переходов в логических схемах оперативной памяти ЭВМ [із]. Вообще, применение джозефсоновских переходов в логических схемах ЭВМ основано на их способности, быстро переключаться из сверхпроводящего состояния (с нулевым напряжением "У и сверхтоком І , меньшим критического значения 1М ) в резистивное (Y о ) под действием магнитного поля управляющего тока IH . Этот ток пропускают по сверхпроводящему тонкопленочному электроду, индуктивно связанному с джозефсоновским переходом. Его магнитное поле меняет значение IM . Таким образом, джозефсоновский переход может выполнять функции логического управляемого элемента ("вентиля"). При этом существенно, чтобы один из важнейших параметров вентиля - параметр логического усиления & - АІм/ДІн имел достаточно большое значение. Распределенные переходы могут прекрасно удовлетворять этому требованию.
Первоначально (с 1965 года) именно распределенные джозефсо-новские переходы предлагалось использовать для построения логических схем и ячеек памяти [14] . Однако, с середины 70-х годов, из-за ряда недостатков (в частности, из-за трудности согласования таких переходов со сверхпроводниковыми полосковыми линиями) распределенные переходы, в основном, были заменены трехконтактными интерферометрами [15-17]. Тем не менее, в настоящее время распределенные джозефсоновские переходы предложено использовать (и они уже опробованы в опытных конструкциях) там, где необходима большая глубина модуляции тока. Такая ситуация имеет место в схемах считывания информации из ячеек оперативной памяти. При этом вентильные элементы дешифратора и адресного формирователя строятся на основе неоднородных распределенных джозефсоновских переходов, что позволяет существенно улучшить характеристики управления вентильных элементов [18-21].
Другое возможное применение распределенных переходов связано с созданием регистров сдвига [22-25J. При этом предложено использовать переходы с периодическими неоднородностями (созданными либо геометрией самого перехода, либо внешним магнитным полем). В работе этих приборов существенная роль отводится джозефсонов-ским вихрям (см., например, [26] ), которые можно ввести в переход, скажем, с помощью инжектируемого в его край тока
Статические свойства переходов с переменными параметрами
Стационарные задачи (bf/di = О ) относительно просты в теоретическом отношении и в то же время наиболее важны для практических применений. Стационарное уравнение (I.I2) выгодно отличается от модельных нестационарных уравнений тем, что для туннельных переходов оно является практически точным. Основная цель решения стационарных задач - определение зависимости критического тока перехода 1м от внешнего магнитного поля, которое, в частности, может быть создано внешним ("управляющим") током 1ц .
Одномерные однородные переходы. Предположим, что изменениями фазы f вдоль одной из координат (скажем, Ч, ) можно пренебречь (в Гл. 2 будет получено условие, когда это предположение справедливо в качестве нулевого приближения). В результате уравнение (I.I2) для фазы (х) становится одномерным, совпадающим по форме с уравнением математического маятника:
Граничные условия (I.18), (I.19) применительно к уравнению (I.21) принимают вид размер перехода вдоль оси OY , ХеН и JTe - полные токи, подводимые извне к краям перехода; JH /7 Ж Рассмотрим сначала случай малой самоиндукции: среднее значение магнитной индукции в прослойке. При выполнении условия (1.23) в уравнении (І.2І) молено пренебречь в нулевом приближении членом 5//7 f и получить простое решение для фазы: /( )-Г.( )=1 +в , (1.24) где 6 - постоянная интегрирования. В следующем приближении имеем: ffx) %(х) +%( ) ( 1.25 ) где малая поправка tfi удовлетворяет уравнению l\dzi t/Ml = Smfyx+B), ( 1.26 ) полученному в результате подстановки нулевого приближения 0 в правую часть уравнения (I.2I). Эту процедуру можно продолжить, находя следующие малые поправки. Однако, практически для определения зависимости критического тока I от величины среднего потока ф через переход (именно эту зависимость и измеряют на эксперименте), достаточно ограничиться нулевым приближением (1.24), которое для однородного перехода дает: ( 1.27 ) О. где линейная плотность критического тока "Zc = cohst. ,а величина Х0 определена формулой (I.I6).
Зависимость (1.27) имеет вид фраунгоферовой дифракционной картины (см. рис. 1.3). В свое время именно экспериментальное наблюдение такой "макроскопической квантовой дифракции" послужило окончательным подтверждением того, что в туннельных переходах еверхток может быть связан со своеобразным тунне-лированием конденсата между сверхпроводниками, а не со сверхтоком через микрозакоротки (см. также Гз5-39] ).
Если переход длинный ( (X » л 2 )» а магнитное поле не слишком велико ( Q с\3 \ ), то условие (1.23) не выполнено и предыдущее рассмотрение для этого случая неприменимо. Ситуация,однако, облегчается тем, что для уравнения (I.2I) существует простой первый интеграл:
Используя равенство (1.28), всегда можно, в принципе, выразить решения уравнения (I.2I) через эллиптические функции Якоби [40-42] ; к сожалению, эти решения громоздки и малонаглядны.
Значительно более удобно обсуждать решения уравнения (I.2I) в терминах джозефсоновских квантованных вихрей (см., например, [2 J). Одиночный вихрь представляет собой область циркулирующего незатухающего сверхтока, экранирующего магнитное поле снаружи этой области (см. рис. 1.4). Поток вектора магнитной индукции джозефсоновского вихря равен ровно одному кванту р0 . Распределение фазы, сверхтока и магнитной индукции В= By в одиночном вихре дается следующим частным решением уравнения (I.2I):
Образование статического домена в неоднородном переходе
Применим теперь квазиодномерное приближение для изучения влияния неоднородности перехода на его динамические свойства. При этом рассмотрим джозефсоновский переход, изображенный на рис. 2.4, поскольку именно для таких переходов динамика подробно изучалась экспериментально [25,30,79,98,105J.
Нестационарные процессы в переходе моделировались нами с помощью программы, описанной в Приложении I. Вольт-амперная характеристика (ВАХ) в отсутствие внешнего магнитного поля, рассчитанная по этой программе для перехода с параметрами (Х-4О 3j и Ji - о, приведена на рис. 2.10. При этом принималась во внимание реальная инжекция (2.26) транспортного тока в переход. Вертикальные штриховые линии отмечают положение ступеней тока в соответствие с теорией [юз] , справедливой в пределе с- о, a/aj- 3" при любом способе инжекции тока в переход.
.Наблюдающиеся различия в характере распределения магнитного поля в нижней и верхней частях ступени имели место также и при других типах инжекции тока в переход [90].
Неустойчивость вихревой моды обнаруживается в момент взаимодействия вихря с краем перехода. Именно это имеет место в нижней и верхней точках ступени. В нижней точке при отражении медленно движущегося вихря поглощается столько энергии, что ее уже не хватает даже на образование одного покоящегося антивихря на краю перехода. Б верхней точке ступени вихрь, налетающий на край перехода, наоборот, обладает чрезмерно большой энергией и его взаимодействие с краем перехода приводит к образованию нового динамического состояния [90,101,102], в соответствии с законами сохранения энергии и импульса.
Для иллюстрации возможных динамических распределений магнитного поля на других ступенях, мы приводим на рис. 2.13 и 2.14 пример симметричной и антисимметричной вихревых мод для четвертой ступени ( У\ =4). Симметричная мода устойчива в нижней части ступени, поскольку при больших скоростях движения вихри достаточно широки и заметно их взаимодействие друг с другом. Так как притяжение возникает между разнополярными вихрями (вихрь-антивихрь), то энергетически выгодна именно симметричная мода. При больших скоростях происходит лоренцово сокращение ширины вихря и они образуют антисимметричную моду, практически не взаимодействуя друг с другом.
Наконец, на рис. 2.15 мы приводим пример распределения магнитного поля в переходе, когда рабочая точка выбрана немного выше середины седьмой ступени (точка Е на рис. 2.10). Итак, рассчитанная БАХ (2.10) и картины распределения поля в переходе (рис. 2.II-2.I5) убеждают нас в том, что неоднородность в распределении инжектируемого тока не приводит к качественным изменениям в характере динамических процессов в переходе. Проведем теперь количественное сравнение влияния распределений (2.26), (2.28) и (2.29) на усредненные динамические характеристики перехода.
Мы рассчитали, для определенности форму первой ступени БАХ для распределений (2.26), (2.28) и (2.29) инжектируемого в переход тока. Соответствующие кривые приведены на рис. 2.16. Погрешность вычислений была по крайней мере меньше, чем толщина линий. Пунктирная кривая дается формулой (1.55) и представляет собой универсальную форму ступени в пределе оС —» О ,}— = , независимую от способа инжекции транспортного тока [іОЗ, І26І.
Сравнивая кривые рис. 2.16, мы окончательно убеждаемся, что динамические свойства перехода в значительно меньшей степени зависят от характера неоднородности тока 7е (х) , чем статические свойства (см. рис. 2.6). Незначительные расхождения кривых в нижних частях ступеней (где скорость и. движения вихря заметно меньше критической скорости С &Л, ), становятся пренебрежимо малыми в верхней части (где U—+C-).
Характер решений двумерного укороченного уравнения
Укороченное уравнение (3,28) обладает рядом существенных достоинств в сравнении с уравнением (3.1) для фазы f . Во-первых (и это главное) оно описывает поведение плавно меняющейся функции Q(K) (ИЛИ ICCX) ). Напомним, что пространственное поведение функции характеризуется двутля существенно различными масштабами. Быстрые мелкомасштабные изменения происходят на длинах Ял , тогда как медленные крупномасштабные изменения связаны с длинами длины перехода #. » Д 3 . Именно существование резко различных пространственных масштабов, в значительной степени усложняющее задачу нахождения функции ( ) , устранено в нашем укороченном уравнении. Во-вторых, нелинейное уравнение (3.28) намного проще исходного нелинейного уравнения (2.20) также и потому, что оно сразу интегрируется при любом виде правой части "7е (х) . Поэтому мы фактически имеем дело даже не с дифференциальным, а с трансцендентным уравнением. Рассмотрим физические следствия, вытекающие из укороченного уравнения (3.28), дополненного граничными условиями (3.36).
Процесс проникновения вихрей через край однородного перехода был подробно рассмотрен во Введении ( 1.3).Воспользуемся теперь укороченным уравнением (3.28) и граничными условиями (3.36) для описания проникновения джозефсоновских вихрей в не однородный переход с плавными краями. Допустим, что плотность распределенного инжектируемого тока X, Ск) = О , величина ігоо = = f0 = СокІ, , а внешнее магнитное поле однородно (эти условия часто реализуются в эксперименте). Тогда функция 7е б ) , определенная соотношением (3.2), равна нулю и из уравнения (3.28) имеем: где С - постоянная интегрирования.
Пусть на краю перехода Х- о приложено внешнее однородное магнитное поле Н0 - (о} Н0 ,0 ) . Для определения постоянной С перейдем в уравнении (3.37) к пределу при X —; О и сравним полученный результат с соответствующим граничным условием (3.36), в котором сначала пренебрежем членом первого порядка малости(происхождение этого члена связано с учетом деформации вихря на плавном краю перехода, приводящей к пиннингу). В результате, уравнение (3.37) принимает вид:
Пусть с удалением в глубь перехода от точки X = О ширина перехода W Cx) монотонно возрастает. При этом, в соответствии с соотношениями (2.21) и (2.22), монотонно возрастают также произведения %JL ) Д х) и t(x) № ) t что, в силу уравнения (3.38), свидетельствует о монотонном убывании параметра 4. и волнового числа Q . Таким образом, внешнее магнитное поле проникает в такой неоднородный переход, постепенно спадая до нуля в определенной точке . Другими словами, на отрезке [,ХС} образуется статический домен - область, заполненная взашодействующими вихрями.
Для нахождения границы домена Х0 перейдем к пределу Ic- -o X— Хо в уравнении (3.38). ВосполБзовавшись асимптотикой (3.31) функции А (I -) при малых значениях аргумента, получим уравнение для определения Х0 :
Отсюда следует, что в случае малых внешних полей [Н0 - о) граница домена Х0 расположена в непосредственной близости к границе перехода ( 7 Сха) (х0) — О при Х0—- ). Увеличение внешнего магнитного поля приведет к росту домена: его граница Х0 сдвигается в область значений координаты, которым отвечают все большие значения функции 7c(x)rXCx).
Рассмотрим пример, иллюстрирующий описанный выше процесс вхождения вихревого домена в неоднородный переход. Примем для определенности следующую зависимость ширины перехода от координаты X
