Флуктуационные и шумозависимые процессы при квазистационарных и динамических бифуркационных переходах Суровяткина Елена Дмитриевна

Содержание к диссертации

Введение

1. Предбифуркационные флуктуации: рост и насыщение интенсивности шума и времени корреляции 39

1. Предбифуркационное усиление и насыщение шума в системах, описываемых нелинейными отображениями 39

1.1. Общая характеристика явления предбифуркационного усиления шума 40

1.2. Линейная теория 42

1.3. Оценки интенсивности флуктуации вблизи порога бифуркации удвоения периода 45

1.4. Оценки флуктуации после прохождения точки бифуркации. Ослабление эффекта усиления при быстрых бифуркационных переходах 48

1.5. Время установления флуктуации 51

1.6. Результаты численного моделирования 53

1.7. Усиление шума вблизи точек разрыва бифуркационной диаграммы системы, описываемой мультимодальным отображением 60

1.8. Обобщенная теория роста и нелинейного насыщения предбифуркационного усиления шума в нелинейных отображениях 68

2. Рост и насыщение времени корреляции флуктуации вблизи бифуркационного порога 75

2.1. Линейная теория: неограниченный рост времени корреляции 76

2.2. Нелинейная теория: насыщение времени корреляции вблизи бифуркационного порога 79

2.3. Сравнение теоретической оценки с результатами численного моделирования 82

3. Предбифуркационное усиление шума в нелинейном осцилляторе 85

3.1. Динамическая модель осциллятора, испытывающего бифуркации спонтанного нарушения симметрии 86

3.2. Флуктуации при медленном изменении параметров системы: приближение ВКБ 92

3.3. Насыщение флуктуации в окрестности точки бифуркации 97

3.4. Ослабление эффекта усиления флуктуации при быстром изменении параметров осциллятора 99

3.5. Результаты численного моделирования 100

4. Метод измерения уровня шума с использованием явления предбифуркационного усиления шума 106

4.1. Объекты измерения. Бифуркационные режимы 106

4.2. Возможная методика измерений 107

2. Явление шумозависимого гистерезиса при динамических бифуркациях и флуктуации при передаче информации при помощи модулированных хаотических сигналов 113

5. Явление шумозависимого гистерезиса в нелинейных осцилляторах 113

5.1. Шумозависимый гистерезис при бифуркациях удвоения периода 114

5.2. Шумозависимый гистерезис при прохождении через зону хаоса в окно периодичности 118

5.3. Явление шумозависимого гистерезиса в мультистабильном нелинейном осцилляторе 128

5.4. Явление шумозависимого гистерезиса в нелинейном осцилляторе при бифуркации спонтанного нарушения симметрии 149

5.5. Гистерезис в системе связанных осцилляторов в присутствии шума 153

5.6. Использование явления шумозависимого гистерезиса для измерения слабых шумов 156

6. Флуктуационные явления при передаче информации при помощи хаотических сигналов. одноканальная схема передачи информации 163

6.1. Передача информации путем модуляции параметров отображения, генерирующего хаотические последовательности 165

6.2. Воздействие шумов на точность определения информационного параметра в одноканальной схеме 170

6.3. Оценки помехоустойчивости одноканальной схемы 172

6.4. Численное моделирование качества восстановления параметров хаотических последовательностей в присутствии шумов 176

7. Флуктуационные явления при передаче информации при помощи хаотических сигналов. многоканальная схема 184

7.1. Передача информации путем модуляции двух и более параметров 184

7.2. Оценки погрешности восстановления информационных параметров в многоканальной схеме передачи сигналов 188

7.3. Численное моделирование многоканальной схемы модуляции и восстановления параметров в присутствии шумов 191

3. Граница между детерминированным и стохастическим режимами бифуркационного перехода 196

8. Бассейны притяжения периодических режимов при динамических бифуркациях удвоения периода 197

8.1. Детерминированный и стохастический режимы бифуркационных переходов 198

8.2. Общая характеристика формирования бассейнов притяжения периодических режимов при бифуркации удвоения периода. 202

8,3. Оценки критического уровня шума, необходимого для разрушения границ бассейнов притяжения 205

8.4. Граница между детерминированным и стохастическим режимами бифуркационного перехода с учетом структуры бассейнов притяжения 207

9. Формирование бассейнов притяжения периодических режимов при быстром прохождении через зону хаоса в окно прозрачности 210

9.1. Нарушение вероятностной симметрии периодических режимов при быстром прохождении через зону хаоса в окно прозрачности 211

9.2. Бассейны притяжения периодических режимов в отсутствие шума 214

9.3. Влияние шума на структуру бассейнов притяжения периодических режимов 217

9.4. Интерпретация результатов численного моделирования на основе линейной теории возмущений 219

10. Бассейны притяжения конечных состояний в связанных системах с переменными параметрами 226

10.1. Описание связанной системы с переменными параметрами 226 10.2. Эволюция бассейнов притяжения при изменении коэффициентов связи в системе осцилляторов в отсутствие шумов 231

10.3. Формирование картины бассейнов притяжения конечных состояний при динамических бифуркациях 235

10.4. Воздействие шума на формирование бассейнов притяжения 237

10.5. Нарушение вероятностной симметрии в нелинейном осцилляторе при бифуркации спонтанного нарушения симметрии 241

Заключение 246

• Линейная теория
• Обобщенная теория роста и нелинейного насыщения предбифуркационного усиления шума в нелинейных отображениях
• Насыщение флуктуации в окрестности точки бифуркации
• Явление шумозависимого гистерезиса в нелинейном осцилляторе при бифуркации спонтанного нарушения симметрии

Введение к работе

Изучение флуктуационных и шумозависимых процессов в нелинейных системах и устройствах представляет собой одну из центральных задач статистической радиофизики. Флуктуационные явления присущи всем реальным системам и принципиально неустранимы¹.

Действие флуктуации в нелинейных системах приводит к разнообразным, зачастую неожиданным явлениям. Исследования последних лет показали, например, что в хаотических системах флуктуации могут индуцировать переходы к более упорядоченным режимам, увеличивать степень когерентности, способствовать росту отношения сигнал/шум и т.д.

Из разнообразных проблем, обсуждаемых в литературе и не нашедших еще адекватного решения, значительный интерес представляют флуктуационные процессы в системах с бифуркациями. Флуктуации вблизи порога бифуркации могут повлечь за собой серьезные изменения в макроскопическом поведении нелинейной системы: сократить время пребывания около неустойчивого состояния, повлиять на выбор одного из нескольких возможных устойчивых состояний в мультистабильных системах. Шум может индуцировать новые переходы, неожиданные с точки зрения детерминистического описания.

С флуктуационными проблемами, во многом сходными с проблемами статистической радиофизики, приходится сталкиваться в гидродинамике и нелинейной акустике. Речь идет о теории турбулентности², физике линейных и нелинейных случайных волн в акустике³. Многие важные вопросы нелинейного взаимодействия и самовоздействия случайных волн были разработаны в физике плазмы⁴.

В данной диссертации решается фундаментальная проблема воздействия шумов на нелинейные системы, совершающие как квазистационарные, так и

¹ Рытов С М, Кравцов Ю А , Татарский В И Введение в статистическую радиофизику Москва, Наука, 1978 " Монин А С , Яглом А М Статистическая гидромеханика Москва, Наука, 1965, чч 1,2 ¹ Нелинейные системы гидродинамического типа Под ред AM Обухова, Москва, Наука, 1974 ⁴ Веденов А А , Велихов Е П , Сагдеев Р 3 В сб Вопросы теории плазмы Под ред М А Леонтовича Москва, Атом издат 1963, вып 3 , 1964, вып 4, 1973, вып 7

динамические бифуркационные переходы. Эта проблема охватывает широкий
круг физических явлений (предбифуркационное усиление шума,
предбифуркационное увеличение времени корреляции, шумозависимый
гистерезис) и связана с разнообразными приложениями (измерение слабых
шумов в нелинейных бифуркационных системах, шумовые предвестники
бифуркаций, снижение нежелательного действия шумов, контроль над
бифуркационными процессами для достижения заданного

постбифуркационного состояния в условиях воздействия шума и др.).

Целью исследований явилось изучение сложной динамики поведения нелинейных систем, испытывающих квазистационарные и динамические бифуркационные переходы в присутствии шумов, и развитие теории флуктуационных процессов, происходящих в непосредственной близости к точке бифуркации.

Основные направления исследования:

1. Явление предбифуркационного усиления и нелинейного насыщения интенсивности шума и родственное ему явление роста и насыщения времени корреляций.

2. Флуктуации при динамических бифуркациях: шумозависимый гистерезис и флуктуационные характеристики хаотических систем с модулируемыми параметрами.

3. Предсказуемость постбифуркационных состояний при динамических бифуркациях в присутствии шумов: нарушение вероятностной симметрии и бассейны притяжения постбифуркационных режимов.

Эти направления составляют содержание трех частей диссертации.

Исследования флуктуационных проблем проводились теоретически и экспериментально с помощью методов численного моделирования. В качестве объектов исследования выступали динамические системы с дискретным временем, описываемые нелинейными отображениями, и нелинейные осцилляторы, описываемые дифференциальными уравнениями, которые служат моделями для реальных цепей и устройств. Исследуемое в диссертации квадратичное

отображение хорошо описывает бифуркационные явления в неавтономном дис-сипативном осцилляторе и в автогенераторе с запаздывающей обратной связью⁵. Система связанных отображений может служить адекватной моделью двух резисторно связанных RL-диод. цепей, синфазно возбуждаемых внешней гармонической силой⁶. Физическим прототипом нелинейного осциллятора, демонстрирующего бифуркацию спонтанного нарушения симметрии и описываемого дифференциальным уравнением второго порядка, могут служить, в частности, поперечные одномерные колебания плоского стержня (линейки), вдоль оси которого действует нарастающая во времени сдавливающая сила.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

4. Нелинейный анализ явления предбифуркациоиного усиления шума, оценка интенсивности вынужденных флуктуации в непосредственной близости к точке бифуркации, определение границы применимости линейной теории.

5. Анализ явления предбифуркационного роста времени корреляции флуктуационного процесса, который заканчивается нелинейным насыщением непосредственно вблизи бифуркационного порога.

6. Исследование явления шумозависимого гистерезиса в системах с бифуркациями, каскадами бифуркаций и при прохождении через хаос в окно периодических режимов.

7. Установление структуры бассейнов притяжения постбифуркационных состояний на плоскости «начальные условия - скорость бифуркационного перехода». Анализ проведен как для первой бифуркации удвоения периода, так и для более сложных бифуркаций, в частности, при переходе через каскад бифуркаций удвоения периода, зону хаоса в режим периодических колебаний.

8. Определение границы между детерминированным и стохастическим сценариями бифуркационного перехода на плоскости «интенсивность шума - скорость перехода».

'БезручкоБП Иванов РН Пономаренко В И Селезнев Е П ПЖТФ 2002 28 (1!), 58-65

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в следующем:

впервые проведен нелинейный анализ явления предбифуркационного усиления шума и выявлен эффект нелинейного насыщения флуктуации вблизи бифуркационного порога;

обнаружено явление предбифуркационного роста времени корреляции флуктуационного процесса при приближении к точке бифуркации, которое сопровождается нелинейным насыщением интервала корреляции в непосредственной окрестности точки бифуркации;

выявлен эффект взаимного влияния коэффициента связи и скорости изменения бифуркационного параметра на структуру бассейнов притяжения аттракторов в системе связанных отображений;

впервые проанализирован бифуркационный переход через каскад бифуркаций, зону хаоса в окно периодических режимов и показано, что постбифуркационное состояние такой системы может быть предсказуемым;

определены условия нарушения вероятностной симметрии постбифуркационных состояний для нелинейной системы при бифуркации удвоения периода и при переходе через каскад бифуркаций, зону хаоса в окно периодических режимов;

предложен новый метод измерения слабых внутренних шумов в нелинейных бифуркационных системах на основе явления предбифуркационного усиления шума.

Практическая ценность работы:

Флуктуационные явления и процессы, изученные в работе, широко распространены в физических и технических системах и потому представляют значительный практический интерес.

Во - первых, проведенный в диссертации анализ флуктуационных и шумо-зависимых бифуркационных явлений создает предпосылки для снижения нежелательного действия шумов, например, путем увеличения скорости бифуркаци-

"BuskirkR Jeffries С Phys Rev А 1985 31,3332-3357

онных переходов, путем оптимизации выбора схем, избегающих бифуркации в рабочей области.

Во - вторых, явление предбифуркационного усиления шума и явление шу-мозависимого гистерезиса могут послужить основой новых методов измерения слабых шумов в радиофизических системах: по величине коэффициента предбифуркационного усиления шума, по ширине гистерезисной петли, по времени пребывания около неустойчивой ветви.

В-третьих, анализ влияния флуктуации в системах передачи информации путем модуляции параметров хаотических сигналов и последовательностей позволяет определить помехоустойчивость таких систем с тем, чтобы оценить их перспективность для скрытой передачи информации как в компьютерных сетях, так и в реальных каналах связи.

В-четвертых, значительный практический интерес представляют изученные в диссертации предсказуемые бифуркационные переходы. Такие переходы открывают широкое поле для управления бифуркационными процессами и для достижения заданного постбифуркационного состояния в условиях воздействия шума.

В-пятых, разработанные в диссертации алгоритмы создают основы для обнаружения бифуркационных переходов на основе статистических предвестников бифуркаций, в частности, за счет эффекта усиления предбифуркационного шума и эффекта увеличения времени корреляции.

В работу включены результаты, полученные в рамках проектов, выполненных при поддержке РФФИ (гранты: № 00-02-17741, № 02-02-17418).

Личный вклад автора заключается в выборе направления исследований, в постановке и решении основных задач диссертации. Основная часть теоретических исследований выполнена автором самостоятельно. Существенную поддержку развиваемого автором в диссертации научного направления на начальном этапе исследований оказывал научный консультант д. ф.-м. н., проф. Ю. А. Кравцов.

Разработка всех вычислительных схем и проведение основной части численных экспериментов, включая обработку и интерпретацию полученных ре-

зультатов, принадлежит автору. К исследованиям шумозависимого гистерезиса и бассейнов притяжения постбифуркационных режимов привлекались аспиранты, ныне к. ф.-м. н. Бильчинская С. Г. и к. ф.-м. н. Рынка И. А. (Камчатский государственный технический университет), руководство которыми осуществлялось автором совместно с проф. Ю. А. Кравцовым.

Достоверность научных выводов подтверждается согласованностью теоретических результатов с результатами численных экспериментов, а также с теоретическими и экспериментальными результатами других авторов.

На защиту выносятся следующие положения:

9. Выявленные основные закономерности, определяющие ход флуктуаци-онных процессов вблизи порога бифуркаций: рост интенсивности флуктуации и времени корреляций при медленном изменении управляющего параметра, ослабление предбифуркационного усиления шума при быстром прохождении точки бифуркации; нелинейная теория ограничения роста интенсивности флуктуации и времени корреляции вблизи бифуркационного порога.

10. Результаты анализа предбифуркационного усиления шума и смежных явлений для разнообразных бифуркационных переходов: бифуркация удвоения периода, бифуркация спонтанного нарушения симметрии, скачкообразные бифуркационные переходы.

11. Результаты исследования протекания гистерезисных явлений при быстром прохождении точки бифуркации в присутствии шумов (явление шумозависимого гистерезиса).

12. Установленные основные закономерности, определяющие границу между детерминированным и стохастическим сценариями бифуркационного перехода.

13. Методы измерения слабых шумов в радиофизических и иных бифуркационных системах, основанные на явлении предбифуркационного усиления шума и явлении шумозависимого гистерезиса.

В своей совокупности эти положения составляют основу нового научного направления статистической радиофизики - теории флуктуационных процессов при квазистационарных и динамических бифуркационных переходах.

Апробация работы. Результаты, включенные в диссертацию, докладывались и обсуждались на семинарах в ИКИ РАН, ИРЭ РАН, Московском государственном педагогическом университете, Московском энергетическом институте, междисциплинарном семинаре «Синергетика» (Физический факультет МГУ), а также на следующих международных конференциях.

International Conference "Chaotic, fractal and nonlinear signal processing", Mystic, USA (1995);

5th International Specialist Workshop. Nonlinear Dynamics of Electronic Systems, Moscow (1997);

International Council for Computeralgebra, Gettysburg, USA (1998);

Вторая международная конференция "Современные направления в компьютерной физике", Дубна, Россия (2000);

International Council for Computeralgebra, Liverpool John Moores University, UK (2000),

Международная конференция "Progress in Nonlinear Sciences", Нижний-Новгород, Россия (2001);

6-я Международная конференция CHAOS'01, Саратов, Россия (2001);

16-й международный симпозиум по нелинейной акустике, Москва, Россия

(2002);

International Conference on Plasma Research and Applications - PLASMA-2003, Warsaw, Poland;

VIII Polish School ofthe Modal Analysis, AGH, Krakow, Poland (2003);

Научная школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых -2003»;

Second SPIE International Symposium on Fluctuations and Noise, Maspalomas, Spain (2004);

1st General Assembly ofthe European Geosciences Union, Nonlinear Processes m Geophysics, Nice, France (2004).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 31 печатной работе (список публикаций приведен в конце автореферата).

Структура и объем диссертации

Линейная теория

Формулы (1.14) и (1.15), выведенные из линеаризованных уравнений (1.8), при приближении к бифуркационному порогу /—»1, или, что то же самое, при X — О, разумеется, неприменимы. Однако они позволяют получить оценку флуктуации непосредственно на пороге бифуркации (у = \, Д = 0) из следующих простых соображений. В "линейном" режиме флуктуации и представляют собой сумму большого числа независимых слагаемых (1.11). Поэтому в силу центральной предельной теоремы последовательность „ приобретает качества, свойственные гауссовским величинам. Это позволяет оценить флуктуационную часть 7«-«-(лУ нелинейного слагаемого %п в уравнении (1.7) при помощи гауссовской статистики. В итоге среднеквадратичное отклонение т„ =(??"") оценивается как Условие малости среднеквадратичного значения и„ по сравнению с внешними флуктуациями, характеризуемыми среднеквадратичным отклонением оу, можно представить в виде неравенства Подставляя в "линейную" формулу (1.15) нелинейную оценку Л = /lmin = jj 12, получаем желаемую оценку дисперсии флуктуации а вблизи порога бифуркации: может служить естественной мерой предбифуркационного усиления флуктуации. Согласно (1.18), максимальный "коэффициент усиления" флуктуации Kma}i -\%j lOf составляет Например, при сг/=10 «коэффициент усиления» ЛГтах может достигнуть величины К «104. Столь значительное предбифуркационное усиление флуктуации может сделать реальным измерение слабых флуктуационных воздействий иу в различных физических системах. Еще один эффект, связанный с предбифуркационным ростом флуктуации, это смещение среднего значения { ) относительно нуля. Величину этого эффекта можно оценить из уравнения (1.7), подвергнутого усреднению: Из этого уравнения следует, что среднее смещение неподвижной точки относительно не возмущенно го значения x(/.t) в непосредственной окрестности точки бифуркации у = 1 оценивается как: 2\ / U Это смещение среднего значения (} относительно нуля. Максимальное смещение {) достигается при Хотя смещение среднего значения обычно имеет малую величину, скажем, около 0.5-10 3 при оу =10=10 3, но оно тоже может служить индикатором предб ифуркационно го роста флуктуации. В силу малости ( f) по сравнению с ( ), дисперсия а\ практически не отличается от { ): что будет использоваться во всех последующих оценках. 1.4. Оценки флуктуации после прохождения точки бифуркации. Ослабление эффекта усиления при быстрых бифуркационных переходах.

При ц //с[ = 0.75 в системе (1.1) происходит бифуркация удвоения периода. Стационарные колебания с периодом 2 описываются (в отсутствие шумов) системой двух уравнений: Исключив из (1.22) : +1 и потребовав, чтобы хп+2 равнялось дг„ (это отвечает периодичности с периодом Т — 2), для неподвижной точки х (//) режима с периодом 2 получаем уравнение: Обозначим через отклонение x от неподвижной точки х{ц) (1.2) (при M Mcl последняя становится неустойчивой), а через - надкритичность, т.е. превышение ц над бифуркационным порогом /ис. При использовании переменных 8п vуравнение (1.23) принимает вид и допускает двузначное решение имеющее вид типичной бифуркационной вилки. В исходных переменных это соотношение примет вид Используя соотношение (1.27), оценим протяженность области сильных флуктуации справа от бифуркационной точки ц х. Для этого воспользуемся следующими соображениями. Как мы уже установили в разд. 4, среднеквадратичное значение флуктуации вблизи точки бифуркации составляет о Jay . Очевидно, при ov 5 внешние флуктуации /п способны перебрасывать точки с одной ветви бифуркационной диаграммы (1.27) на другую, скажем, с X на х и обратно, так что вертикальный размер флуктуационной области ограничен значением Размер же области vmm по горизонтали в силу (1.27) оценивается как Оценки (1.29) и (1.30) вполне согласуются с предыдущей оценкой (1.18) для (ст)тах и оценкой (1.17) для Лтіп. С ростом надкритичности V = JU-JUC1 дисперсия флуктуации убывает по закону аналогичному (1.15). Этот закон убывания дисперсии «постбифуркационных» шумов можно вывести при помощи линейной теории подобно тому, как это было сделано в разд. 1.3 для предбифуркационных шумов. Заметим еще, что дисперсии флуктуации т+ и ег_ возле состояний х+ и х будут отличаться друг от друга. Обозначим через П значения производной отображающей функции f(x) = j.t — x в точках Xі: IIі = df Idx = -IXі. Учитывая, что значение П характеризует наклоны касательных к отображению fix) в точках х+ и х , при достаточно малых флуктуациях получаем соотношение ст_=Т1+а+, и т+ =ГГо-_. В результате легко получить оценку: которая показывает, что флуктуации возле верхней ветви х+ всегда меньше, чем возле нижней ветви. 1.5. Время установления флуктуации При быстром прохождении через точку бифуркации эффект усиления флуктуации должен снизиться, поскольку в этом случае не происходит накопление флуктуации. Чтобы убедиться в этом, в формуле (1.13) под п следует понимать время, в течение которого происходит изменение управляющего параметра. При п = 1 из (1.13) следует, что сг=а}, (1.33) тогда как при п = 2 Согласно (1.33), при предельно быстром — всего лишь за один шаг — прохождении точки бифуркации усиление флуктуации вообще не наблюдается. Увеличение числа шагов до п = 2 дает усиление флуктуации в два раза, т.е. дисперсия о вдвое превышает дисперсию шумового воздействия.

Обобщенная теория роста и нелинейного насыщения предбифуркационного усиления шума в нелинейных отображениях

Согласно формуле (1.44), последовательность %п формируется под воздействием большого числа случайных значений /„. Поэтому в силу центральной предельной теоремы последовательность J;n приобретает качества, свойственные гауссовским величинам. Поэтому, считая флуктуации ,п гауссовыми, положим ( ЛиЗ( т)2 и тогда формула (6) примет вид или, подставляя в (5), Воспользовавшись формулой (1-48), можно получить оценку минимального значения amia, ограничивающего область применимости линейной теории: Подставляя оценку (1.49) в формулу (1.47), получим оценку дисперсию флуктуации в нелинейном режиме: Зависимость дисперсии флуктуации aj от параметра а, характеризующего близость к бифуркационному порогу, представлена на рис. 1.8(a). Как видно их графика, при а ат1П значения дисперсии флуктуации соответствуют линейной оценке (1.46) (пунктирная линия), тогда как при a amin имеет место нелинейное насыщение предбифуркационного усиления шума на уровне значений (1.50), полученных в результате нелинейного анализа (штрихпунктирная линия). На рис. 1.8(6) представлены аналогичные графики для двух значений шума. Как видно из рисунка, согласно оценке (1.49), минимальное значение параметра ormin, характеризующего близость к точке бифуркации и ограничивающего область применения линейной теории, пропорционально среднеквадратичному значению шума af. Заключение В данной работе на примере бифуркации удвоения периода изучены основные особенности явления предбифуркационного усиления флуктуации, которое по своей природе аналогично росту флуктуации вблизи точек фазового перехода. Построена теория предбифуркационного усиления шума, которая включает в себя нелинейное насыщение флуктуации. Показано, что вдали от бифуркационного порога (линейный режим) интенсивность флуктуации пропорциональна дисперсии шума. По мере приближения к порогу бифуркации дисперсия вынужденных флуктуации растет и в непосредственной близости к точке бифуркации (сильно нелинейный режим) достигает насыщения на уровне значения, пропорционального среднеквадратичному значению шумовой силы.

Получена оценка минимального значения бифуркационного параметра, при котором линейное усиление флуктуации уступает место нелинейному насыщению, согласно которой, нелинейные эффекты начинают играть заметную роль в окрестности точки бифуркации с размером, сопоставимым со среднеквадратичным значением шума. Аналитические оценки удовлетворительно согласуются с результатами численного моделирования. Показано, что полученные закономерности справедливы для различных систем, испытывающих бифуркации удвоения периода. Выявленные черты явления предбифуркационного усиления шума характерны и для других типов бифуркаций. Эта глава посвящена анализу нового флуктуациоиного явления -предбифуркационного роста времени корреляций флуктуационных процессов, происходящих в нелинейной системе, совершающей квазистационарные бифуркации. Рост времени корреляций флуктуации на пороге бифуркации можно ожидать из соотношения: которое связывает время корреляции тс флуктуационных процессов в нелинейных системах с ляпуновским показателем Л, характеризующим близость системы к порогу бифуркации Л=0 [48]. Согласно [48], время корреляции тс неограниченно растет при \Я\ — 0. Явление предбифуркационного роста времени корреляции сопутствует явлению предбифуркационного усиления интенсивности флуктуации, которое подробно описано в главе 1, и подобно последнему испытывает насыщение в окрестности точки бифуркации. Фактически, речь идет о предбифуркационном росте и последующем насыщении времени корреляции. Линейная теория роста времени корреляции представлена в разделе 2.2 на примере бифуркации удвоения периода в нелинейном отображении. Нелинейные оценки насыщения времени корреляции даны в разделе 2.3. Теоретические оценки, полученные в разделах 2.2 и 2.3, проиллюстрированы результатами численного моделирования в разделе 4. В заключении сформулированы основные результаты работы.

Результаты исследований опубликованы в работе [47]. 2.1. Линейная теория: неограниченный рост времени корреляции Рассмотрим физическую систему, которая описывается нелинейным отображением F(xn,fi), и находится под действием случайных сил/,: Отклонения В, = х - х от положения равновесия х, которые находятся из условия х = F(X,JI) , описываются отображением - мультипликатор отображения, модуль которого обращается в единицу в точке бифуркации, а - коэффициент при квадратичном члене в отображении (3). Как правило, в окрестности неподвижной точки у 0 и є 0 [1]. Для дальнейшего рассмотрения удобно представить мультипликатор / в виде где параметр а характеризует близость системы к точке бифуркации. В самой точке бифуркации удвоения периода а = О. Относительно внешнего шумового процесса /„ примем предположение о независимости значений fjVifkB соседние моменты времени: Здесь djk - символ Кронекера, a crj = fl — дисперсия шумового воздействия. В рамках линейной теории отображение (2.2) принимает вид: Последовательные итерации дают: Слагаемое с начальным значением 0 убывает с ростом п как Поэтому начиная с некоторого п — этим слагаемым можно пренебречь. В результате флуктуации В, выражаются через случайные силы/ как Возводя (10) в квадрат и усредняя с учетом S -коррелированное fn, получаем дисперсию флуктуации: или, при больших п, Корреляционную функцию С {к) = %„%п+к в линейном режиме можно найти, умножив , С учетом -коррелированное /„ это дает Из (2.14) следует, что в рамках применимости линейной теории корреляционная функция (2.14) флуктуации В, зависит от дискретного времени к экспоненциально, и что время корреляции кс увеличивается обратно пропорционально параметру а, т.е. обратно пропорционально расстоянию до точки бифуркации: Знакопеременность корреляционной функции (2.14) отражает знакопеременный процесс приближения процесса (и) к неподвижной точке X. 2.2. Нелинейная теория: насыщение времени корреляции вблизи бифуркационного порога Как показано в работах [41]- [42], линейная теория справедлива при условии при котором вклад квадратичного слагаемого в уравнении (2.3) пренебрежимо мал по сравнению с линейным слагаемым. При противоположном условии напротив, можно пренебречь линейным слагаемым в (2.3). В последнем случае, согласно [41], интенсивность флуктуации оценивается как.

Насыщение флуктуации в окрестности точки бифуркации

Как уже было сказано, в непосредственной окрестности точки бифуркации основанное на линейной теории выражение (3.11) теряет силу, поскольку при неограниченном росте флуктуации в игру вступают нелинейные эффекты. Нелинейными эффектами можно пренебречь, пока слагаемое четвертой степени в (3.2) мало по сравнению с квадратичным слагаемым: Вблизи бифуркационного порога, когда потенциальный рельеф имеет еще единственное состояние равновесия, вполне допустимо считать распределение вероятности вынужденных флуктуации х одномодовым (одногорбым). В этих условиях для оценок можно воспользоваться гауссовой моделью флуктуации х (см. приведенные ниже вычисления, которые вполне удовлетворительно согласуются с результатами численного моделирования). Разумеется, в постбифуркационном режиме с двумя равновесными состояниями, когда возникает бимодальное (двугорбое) вероятностное распределение, целесообразно аппроксимировать распределение вероятности «бигауссовой» моделью, как это предложено в работе Музычука [107]. В данной работе, однако, мы ограничимся аналитическими оценками только для предбифуркационных флуктуации, тогда как для постбифуркационных флуктуации воспользуемся результатами численного моделирования, не анализируя, модальную структуру распределения флуктуации х. На основании выше изложенного, считая флуктуации них гауссовыми, при оценках положим х4 =3 х2 2 = 3а и перепишем неравенство (3.14) в форме: Если предположить дополнительно, что характерное время затухания колебаний 1//меньше характерного времени 1//? изменения частоты й (0 то есть что у Д из (3.12) получим и тогда условие (3.15) примет вид В соответствии с модельным выражением (3.3) в окрестности точки бифуркации величину B(f) можно заменить выражением Тогда из (3.17) следует оценка mm для допустимого расстояния до точки бифуркации, а из (3.11) с учетом (3.16)-оценка для максимальной интенсивности флуктуации. Значение 0 max изображено нарис. 3.3 горизонтальной линией. В дальнейшем отношение o\max к интенсивности флуктуации (3.13) при постоянном значении частоты &=&0 удобно назвать фактором предбифуркационного усиления шума: Эта величина показывает, во сколько раз интенсивность флуктуации в зоне насыщения превышает стационарные флуктуации в осцилляторе.

Обобщенный анализ нелинейного насыщения флуктуации вблизи бифуркационного порога для двух случаев бифуркации удвоения периода и бифуркации спонтанного нарушения симметрии дан в работе [41], где показано, что полученные закономерности имеют фундаментально общий характер и проявляются в физических системах, испытывающих бифуркации различных типов. 3.4. Ослабление эффекта усиления флуктуации при быстром изменении параметров осциллятора Выше мы рассмотрели флуктуации при достаточно медленном (/? f) изменении параметров осциллятора. При быстром прохождении точки бифуркации, т.е. при J3 /, можно ожидать некоторого уменьшения ттах по сравнению со случаем /3 у, Тенденцию к уменьшению ттах с ростом скорости р прохождения точки бифуркации можно проиллюстрировать рассмотрением предельного случая /7=оо, когда при t t величина 5(/) постоянна и равна й 0, а при t t тоже постоянна, но равна -щ. В этом случае интенсивность флуктуации при t t постоянна и равна о$ , так что фактор усиления флуктуации обращается в единицу: К= \. Разумеется, при t t начнется экспоненциальный рост флуктуации вследствие потери устойчивости состояния равновесия х = 0, но это никак не отразится на поведении флуктуации при t t. Описанный выше нелинейный осциллятор подвергался численному анализу в условиях, когда А=0.5, а параметр В принимал значения от В0 =100 до Bf =10"8, т. е. практически до нуля, при этом изменения параметра В считались достаточно медленными (квазистационарный режим). При расчетах показатель затухания у принимался равным 0.1, так что для выполнения условия квазистационарности требовалось, чтобы характерное время изменения В было малым по сравнению с 0.1. Указанный диапазон изменения параметра В позволяет определить дисперсию флуктуации как в непосредственной близости к бифуркационной точке Вс=0, так и вдали от нее (напомним, что каждому значению В на удалении от точки бифуркации отвечает частота колебаний со0 = л/В ). При 5 0, когда система имеет одно устойчивое решение (см. бифуркационную диаграмму на рис. 3.3), начальным значением служила устойчивая точка д:(0) = 0, начальное значение производной х (0) принималось равным 0. Генератор случайных чисел производил нормально распределенные значения 77(/) с нулевым средним, (rj(t)) = 0, при этом среднее квадратичное отклонение а менялось в диапазоне от 10"6 до 10"1, Корреляционная функция случайного процесса характеризовалась временем г равным от 10 2 до 10 3, т.е. малым по сравнению с —. В этом случае результаты не зависели от вида корреляционной функции 4 , как это и должно быть для процессов, приближающихся к белому шуму.

Использование иных генераторов случайных чисел, производящих, например, равномерно распределенные величины rj(t), дало результаты, качественно подобные случаю нормально распределенного шумового воздействия. Численное решение уравнения (5) проводилось с использованием метода Рунге-Кутта четвертого порядка с фиксированным шагом. Результаты численного моделирования представлены на рис. 3.4, где крестиками показана зависимость дисперсии флуктуации а\ от параметра В, Численный эксперимент проводился при достаточно медленном изменении параметра В (квазистационарный режим) при дисперсии шума т =10" . Наклонная пунктирная линия соответствуют оценке дисперсии флуктуации а] в линейном режиме (13), которая описывает возрастание флуктуации при приближении к бифуркационному порогу. Как видно из графика, результаты численного моделирования соответствуют линейной оценке до значений параметра В Вт\п, что согласуется с оценкой (3.18). При дальнейшем приближении к точке бифуркации 5=0, дисперсия флуктуации достигает насыщения при значении т2шй!і, которое отмечено горизонтальной штриховой линией и соответствует нелинейной оценке (3.19). В рассматриваемом квазистационарном случае при дисперсии шума а2 =1СГа коэффициент усиления флуктуации Kmas (20) составил 1.55-Ю6. Это значение Кгпзх согласуется с теоретической оценкой Km3xteor =6.17-106 (20) по порядку величины. Описанные результаты качественно согласуются с данными, полученными ранее для бифуркации удвоения периода [42]: в обоих случаях средний квадрат флуктуации а\ пропорционален среднеквадратичному отклонению шума тп, а коэффициент усиления Kma . обратно пропорционален среднеквадратичному отклонению шума В данной главе исследованы флуктуации в нелинейном осцилляторе, испытывающем бифуркации спонтанного нарушения симметрии. Получены аналитические оценки предбифуркационного усиления шума как в линейном режиме, так и с учетом нелинейных эффектов. Показано, что дисперсия вынужденных флуктуации тгх в режиме насыщения (вблизи точки бифуркации) пропорциональна среднеквадратичному значению шумовой силы ач\ o l xcv, тогда как в линейном режиме (вдали от бифуркационного порога) пропорциональна дисперсии шума а : ст2х ос сгц. Аналитические оценки удовлетворительно согласуются с результатами численного моделирования. Показано, что предбифуркационное усиление шума наиболее сильно выражено при медленном прохождении системы через бифуркационную точку, тогда как при быстрых бифуркационных переходах эффект усиления снижается. Показано, что обнаруженный эффект нелинейного насыщения предбифуркационного усиления шума имеет фундаментально общий характер и может наблюдаться в физических системах испытывающих бифуркации различного типа.

Явление шумозависимого гистерезиса в нелинейном осцилляторе при бифуркации спонтанного нарушения симметрии

zБифуркация спонтанного нарушения симметрии при изменении параметров нелинейного осциллятора, описание которого приведена в главе 3, также сопровождается явлением шумозависимого гистерезиса. В квазистационарном режиме, когда управляющий параметр В изменяется достаточно медленно, бифуркация в системе наступает при критическом значении В = Вс = 0. При быстром же изменении параметра В, бифуркация спонтанного нарушения симметрии наступает лишь спустя некоторое время после прохождения критического значения Вс - О, при этом время задержки зависит от скорости изменения параметра/?. На рис. 5.13 представлены результаты численного моделирования бифуркационного перехода в нелинейном осцилляторе, в условиях, когда параметр В изменятся по закону (3.3). Для наглядности на рисунке совмещены бифуркационная диаграмма исследуемой модели, т. е. установившиеся значения при постоянном значении В, и зависимость х(В) с изменяющимся параметром В. Как видно из данных рис. 5.13(a), при изменении параметра В система, преодолев значение В =ВС, еще некоторое время пребывает в окрестности неустойчивой ветви (это время существенно зависит от значения скорости В), и лишь затем переходит в одно из двух возможных устойчивых состояний равновесия. При высокой скорости перехода В = 300 (график 3) время запаздывания Дї3 существенно больше, чем время запаздывания At2 при В = 0,3 (график 2) и время Afj при очень медленном переходе со скоростью /? = 0,03 (график 1). Как известно, при прямом и обратном прохождении бифуркационной точки система задерживается в окрестности прежних устойчивых точек, при этом явление затягивания приводит к образованию гистерезисной петли, размер которой существенно зависит от шума. Следует отметить, что при прямом прохождении бифуркационной точки система более чувствительна к воздействию шума, чем при обратном ходе. Рис. 5.13(6) демонстрирует явление гистерезиса в нелинейном осцилляторе при у? = 3 (прямой ход) и - 3 (обратный ход). Как видно из данных рисунка, при воздействии шума на систему размер гистерезисной петли сокращается. через некоторое время сравнительно быстро переходит в одно из четырех устойчивых состояний, которые соответствуют двум парам колебаний в двух взаимоперпендикулярных плоскостях колебаний. Похожий процесс затягивания происходит и при обратном переходе, т. е. при отрицательной скорости изменения управляющего параметра L. В результате, при наложении графиков зависимости xn(L) и y„(L) для прямого и обратного переходов на бифуркационную диаграмму, в обеих плоскостях колебаний получаются петли гистерезиса. Как видно из рис. 5.14, в отсутствие связи, при положительной скорости изменения управляющего параметра, время затягивания в обеих плоскостях колебаний одинаковое.

Аналогичную картину можно наблюдать и при отрицательной скорости изменения управляющего параметра: оба цикла на рис. 5.14 одновременно возвращаются на устойчивую ветвь. В то же время при ненулевой связи в системе картина существенно меняется в силу того, что вступает в игру новое явление — затягивание противофазного цикла, обусловленное наличием связи в системе. Это явление более подробно будет описано в главе 10. Описанное явление гистерезиса в системе связанных осцилляторов можно наблюдать экспериментально, используя установки, описанные в работах [69], [70]. В работе [69] исследуется один осциллятор с изменяющимся во времени бифуркационным параметром, а в работе [70] описана система двух связанных осцилляторов и показана возможность существования в такой системе бифуркационных и хаотических режимов. Явление гистерезиса при бифуркационных переходах может оказаться полезным для измерения уровня слабого внутреннего шума в радиофизических системах, что обычно представляет собой сложную экспериментальную задачу, поскольку в случае слабых шумов флуктуации = х-х относительно положения равновесия х достаточно малы. В разделе 4.1 описан метод измерения шума на основе коэффициента предбифуркационного усиления шума. Как показано в 3.4 при быстром изменении управляющего параметра эффект усиление ослабляется, что делает этот метод неприменимым к динамическим бифуркациям. В этих условиях динамический метод, определяющий уровень шумов по характеристикам петли гистерезиса, обеспечивает гораздо большую чувствительность, поскольку размер петли весьма чувствителен к слабому шуму. В качестве примера на рис. 5.15, а показана зависимость размера гистерезисной петли Лг = г+— г_ от уровня шума o2f для логистического отображения. Как видно из этого рисунка, с ростом шума о), размер петли Лг уменьшается.

Для того, чтобы оценить уровень шума a2f, предлагается измерять размер гистерезисной петли Лг = г+ г. и по калибровочному графику Лг = F ( т ) (например, рис. 5.15, б) устанавливать дисперсию внутренних шумов в системе. Такой метод позволяет оценивать весьма низкие уровни шума а\ вплоть до 10"І2-10 14. В наших численных экспериментах меньшие уровни шума реализовать не удалось из-за влияния ошибок округления, но в реальных физических системах этого ограничения не будет, что и позволит определять весьма малые уровни шума. Можно ожидать, что в других динамических системах зависимость размера петли Лг от уровня шума будет иметь поведение, качественно подобное описанному. Разумеется, калибровочные кривые Лг =F(o ) будут различными для разных систем. Можно рекомендовать и другой метод определения ау, основанный на измерении времени г пребывания системы в узкой окрестности неустойчивой ветви 3. Время х пребывания системы в окрестности неустойчивой ветви можно характеризовать интервалом между положением критического значения Rc и положением точки отрыва R+ траектории от неустойчивой ветви при прямом ходе т R+ - Rc (см. рис. 5.10). На рис. 5.16 показан пример калибровочного графика, определяющего зависимость времени т пребывания системы в окрестности неустойчивой ветви от дисперсии шума. Расчеты были проведены для системы, описываемой мультимодальным отображением, при воздействии шума с дисперсией оу- = 10 5 -10 м для скорости изменения управляющего параметра = 0,001. Как видно из графика, калибровочная кривая для мультмодального отображения качественно подобна графику зависимости размера петли гистерезиса от шума, полученному для логистического отображения. Заметим, что при обратных бифуркациях, когда скорость изменения управляющего параметра отрицательна, время возвращения на устойчивую ветвь слабо зависит от шума. Выбор метода для измерения шума определяется условиями эксперимента. Если возможно осуществление как прямого, так и обратного бифуркационного перехода, предпочтительнее использовать метод, основанный на измерении размера гистерезисной петли, в силу того, что размер гистерезисной петли всегда больше интервала пребывания возле неустойчивой ветви. Если же осуществление обратных бифуркаций затруднительно, предлагается использовать метод, основанный на измерении времени пребывания около неустойчивой ветви.