Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор литературы и постановка задач 13
1.1 Особенности создания инверсии населенностей в рекомбинирующей плазме . 13
1.2 He-Sr и Не-Са рекомбинационные лазеры 17
1.3 Катафорезные лазеры на парах стронция 21
1.4 Математические модели He-Sr(Ca) лазеров 22
1.5 Явления контракции и расконтракции импульсно-периодического разряда . 23
1.6 Ускорение амбиполярной диффузии подогревом плазмы 24
1.7 Выводы. Постановка задач 26
2 Методика моделирования газоразрядных лазеров 28
2.1 Принципы построения математических моделей газоразрядных лазеров 28
2.2 Численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений . 36
2.2.1 Жесткие системы 37
2.2.2 Метод Гира 40
2.3 Численная многопараметрическая оптимизация 47
2.3.1 Метод Нелдера и Мида 47
2.3.2 Генетический алгоритм 49
2.4 Выводы 59
3 Критерии пространственной однородности активных сред импульсно-периодических лазеров на парах металло в 60
3.1 Продольное распределение паров металла 60
3.1.1 Теория 60
3.1.2 Результаты расчетов 64
3.2 Поперечное распределение паров металла 67
3.2.1 Теория 67
3.2.2 Результаты расчетов 74
3.3 Режимы возбуждения катафорезных импульсно-периодических ЛПМ 83
3.4 Выводы 86
4 Математическое моделирование He-Sr(Ca) рекомбинационных лазеров 88
4.1 Описание математической модели He-Sr лазера 88
4.1.1 Электрическая цепь накачки 88
4.1.2 Долгоживущие частицы 91
4.1.3 Поуровневая кинетика 96
4.1.4 Электронная и газовая температуры 99
4.1.5 Процессы переноса 99
4.1.6 Коэффициент усиления 101
4.1.7 Интенсивность внутрирезонаторного лазерного поля 102
4.1.8 Пленение резонансного излучения 103
4.1.9 Интенсивность усиленного спонтанного излучения 103
4.1.10 Импульсная мощность и энергия импульса генерации 104
4.1.11 Саморазогревной импульсно-периодический режим 104
4.1.12 Исходные данные и начальные условия 105
4.2 Описание математической модели Не-Са лазера 106
4.3 Тестирование математической модели He-Sr лазера 108
4.3.1 Временной ход параметров плазмы и генерации на оси 108
4.3.2 Радиальное распределение параметров плазмы и генерации 113
4.4 Численная многопараметрическая оптимизация 117
4.4.1 Упрощения математической модели 117
4.4.2 Поиск оптимальных режимов генерации He-Sr лазера 119
4.5 Потенциальные возможности He-Sr лазера 120
4.5.1 Увеличение давления гелия 120
4.5.2 Увеличение диаметра лазерных трубок 122
4.5.3 Оптимизация катафорезных He-Sr лазеров (увеличение частоты следования импульсов) 124
4.5.4 Поиск новых режимов генерации 127
4.6 Результаты расчетов по математической модели Не-Са лазера 131
4.7 Исследование явлений контракции и расконтракции импульсно-периодического разряда 136
4.8 Выводы 145
5 Деионизация плазмы послесвечения за счет ускоренной амбиполярной диффузии 147
5.1 Математическая модель послесвечения импульсно-периодического разряда 147
5.2 Моделирование ускорения амбиполярной диффузии 149
5.3 Выводы 156
Заключение 157
Литература 160
- Катафорезные лазеры на парах стронция
- Численная многопараметрическая оптимизация
- Поперечное распределение паров металла
- Интенсивность внутрирезонаторного лазерного поля
Введение к работе
Актуальность работы
Рекомбинационные лазеры на парах стронция и кальция излучают в коротковолновой области спектра, где не так уж много простых, дешевых и надежных источников когерентного излучения. Поэтому они представляют интерес для многих применений. В частности, для оптической накачки лазерных сред с целью преобразования излучения в другие спектральные диапазоны. Излучение Не-Са лазера можно использовать для засветки фоторезистов, применяемых при создании интегральных схем, длина волны 373.7 нм как раз попадает в максимум полосы поглощения наиболее эффективных и широко используемых типов фоторезистов. Синий He-Sr лазер (430.5 нм) может найти применение в цветных лазерных проекционных установках. В этом смысле он является удачным дополнением для зеленого лазера на парах меди и красного на парах золота. Этот лазер может использоваться также как усилитель яркости изображения в лазерных проекционных микроскопах. Коротковолновое излучение He-Sr и Не-Са лазеров представляет ценность для спектроскопии комбинационного рассеяния и флуоресцентной спектроскопии, что можно использовать, например, в экологии при анализе загрязнений водных источников. Имеется опыт успешного применения He-Sr лазера в медицине.
Для создания рекомбинационных лазеров с высокими характеристиками нужны глубокие знания о кинетических процессах, протекающих в их активных средах и ответственных за создание инверсной заселенности лазерных уровней, которые используются при конструировании лазеров. Эти знания можно почерпнуть как в эксперименте, так и с помощью математических моделей. При этом затраты времени на моделирование могут оказаться существенно меньшими, чем при подготовке и проведении натурного эксперимента. Возможности современных персональных компьютеров позволяют успешно моделировать сложные физические объекты. Поэтому актуальной является задача построения подробных и надежных математических моделей He-Sr и Не-Са лазеров.
Представляется интересным и важным исследование потенциальных возможностей He-Sr и Не-Са лазеров. Это может быть сделано с помощью их математических моделей, имеющих возможность автоматической многопараметрической оптимизации. Среди всех реализованных к настоящему времени конструкций He-Sr лазеров (саморазогревных, с принудительным У охлаждением, с прокачкой паров металла потоком буферного газа и с прокачкой за счет катафореза) наилучшие результаты были получены для катафорезных лазеров. Поэтому является актуальным поиск режимов возбуждения катафорезных импульсно-периодических лазеров на парах металлов (ЛПМ), обеспечивающих их высокие выходные характеристики.
В гелий-стронциевой и в гелий-кальциевой смесях лазерная генерация экспериментально наблюдается на нескольких линиях, поэтому представляет интерес с помощью математической модели провести поиск новых потенциальных лазерных переходов и соответствующих им режимов возбуждения.
Для мощных газоразрядных лазеров традиционной является проблема контракции, когда разряд скачкообразно переходит в «шнур» и горит только в центре газоразрядного канала. Отличительной особенностью лазеров на парах металлов, и в частности He-Sr и Не-Са лазеров, является автоматическая саморасконтракция разряда — в них разряд почти равномерно заполняет весь объем газоразрядной трубки. Очевидно, что для физики лазеров на парах металлов явление расконтракции играет очень важную роль, поэтому представляется актуальным исследование механизма расконтракции разряда с помощью математической модели.
Многие лазеры на парах металлов работают в импульсно-периодическом режиме, который характеризуется сравнительно короткой фазой протекания тока (0.1-1 мкс), когда происходит интенсивная ионизация частиц, и довольно продолжительной фазой послесвечения (10-100 мкс), когда имеет место рекомбинация ионов и электронов. Вторую фазу можно назвать периодом деионизации плазмы. От того, как хорошо плазма деионизуется к началу следующего импульса, будет зависеть ее предымпульсная проводимость, определяющая скорость ввода электрической энергии в плазму. В некоторых случаях необходим очень быстрый ввод энергии, в частности, в самоограниченных лазерах, поэтому в них нужно обеспечить низкий уровень концентрации электронов перед началом следующего импульса возбуждения. Как один из способов деионизации плазмы импульсно-периодических газовых разрядов интересен способ уменьшения предымпульсной концентрации электронов за счет ускорения амбиполярной диффузии (УАД) заряженных частиц плазмы.
Цель работы
Целью работы являлось исследование кинетики активных сред гелий-стронциевого и гелий-кальциевого рекомбинационных лазеров методом математического моделирования.
Основные задачи работы
Теоретическое исследование процессов установления во времени продольного и поперечного распределений паров металла за счет продольного и поперечного катафореза, а также за счет тепловой диффузии в импульсно-периодическом разряде и определение критериев однородности этих распределений.
? Построение подробных самосогласованных математических моделей He-Sr и Не-Са лазеров, включающих основные физические процессы в плазме импульсно-периодического разряда, ответственные за накачку и инверсию в широком диапазоне давлений рабочей смеси (от единиц Тор до нескольких атмосфер) и реализующих автоматическую многопараметрическую оптимизацию характеристик активной среды, а также проведение численных экспериментов по поиску оптимальных режимов генерации He-Sr и Не-Са лазеров различной геометрии.
? С помощью математической модели He-Sr лазера детально исследовать процессы контракции и расконтракции импульсно-периодического разряда и выявить их основные механизмы.
? Методом математического моделирования исследовать возможность применения ускоренной амбиполярной диффузии как механизма ускорения деионизации плазмы импуль-сно-периодических газовых разрядов.
Научная новизна
В работе получены следующие оригинальные результаты:
1. Исследованы механизмы формирования продольного и радиального распределений концентрации паров металла в импульсно-периодических лазерах на парах металлов. Найдены критерии однородности этих распределений.
2. Разработаны подробные самосогласованные математические модели He-Sr и Не-Са ре-комбинационных лазеров, позволяющие рассчитывать пространственно-временную эволюцию параметров плазмы и характеристик генерации в импульсно-периодическом режиме.
3. С помощью разработанной математической модели He-Sr лазера изучены потенциальные возможности его активной среды при увеличении давления гелия, диаметра лазерных трубок и частоты следования импульсов.
4. Показано, что в сильно нестационарных условиях в раннем послесвечении возможно получение инверсии населенностей на новых ультрафиолетовых переходах 52 3/2,5/2 - 52Рі/2,з/2 Sr II (Л = 338.1 и 346.4 нм) на переднем фронте импульса реком-бинационной накачки.
5. С помощью математической модели изучено и объяснено явление расконтракции разряда в импульсно-периодическом He-Sr лазере.
6. На примере смесей неон-медь и гелий-медь методом математического моделирования исследован эффект деионизации плазмы в послесвечении импульсно-периодического разряда за счет ускорения амбиполярной диффузии при небольшом подогреве плазмы электрическим полем.
Практическая значимость
1. Полученные в работе результаты свидетельствуют о перспективности использования катафореза в импульсно-периодических лазерах на парах металлов для формирования однородных активных сред и позволяют осуществлять целенаправленный выбор режимов возбуждения, обеспечивающих высокую степень их однородности и, как следствие, высокие выходные характеристики.
2. Разработанные математические модели могут служить удобными инструментами исследования активных сред He-Sr и Не-Са лазеров. С их помощью можно рассчитывать характеристики генерации и оптимальные параметры возбуждения активных элементов различной заданной геометрии.
3. Найдены условия, в которых ускорение амбиполярной диффузии небольшим подогревом плазмы может служить эффективным способом деионизации плазмы импульсно-периодического разряда.
Достоверность результатов
Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается использованием в кинетических моделях лазеров последних надежных данных по сечением плазмохимических процессов, тестированием моделей по большому числу экспериментальных данных, полученных в независимых работах (Латуш, Сэм, Чеботарев; Webb, Loveland; Little, Piper; Kunnemeyer, McLucas, Brown, Mcintosh), а также их физической непротиворечивостью.
Защищаемые положения
1. Получены критерии однородности продольного и радиального распределений концентрации паров металла в импульсно-периодических катафорезных лазерах на парах ме таллов в виде неравенств, накладывающих ограничения на параметры активной среды, цепи накачки и газоразрядной трубки.
2. Разработаны и протестированы подробные самосогласованные модели He-Sr и Не-Са лазеров, реализующие автоматическую многопараметрическую оптимизацию характеристик активной среды и позволяющие рассчитывать пространственно-временную эволюцию параметров плазмы и характеристик генерации в импульсно-периодическом режиме.
3. В сильно нестационарных условиях в раннем послесвечении возможно получение инверсии населенностей на новых ультрафиолетовых переходах 52D3/2,5/2 — 52Рі/2,з/2 Sr II (Л = 338.1 и 346.4 нм) на переднем фронте импульса рекомбинационной накачки.
4. Расконтракция разряда при поступлении в чистый инертный газ атомов металла в первую очередь определяется низким потенциалом ионизации его атомов, что приводит к их почти полной ионизации. С ростом концентрации атомов металла происходит все более полное замещение ионов инертного газа на ионы металла, а так как концентрация последних больше у стенок, чем на оси (за счет тепловой и амбиполярной диффузии), то происходит выравнивание концентрации электронов по радиусу трубки. Т.е., высокая степень ионизации атомов металла является решающим фактором расконтракции разряда, а тепловая и амбиполярная диффузия способствуют этому процессу.
5. За счет ускорения амбиполярной диффузии небольшим подогревом плазмы можно уменьшить предымпульсную концентрацию электронов в импульсно-периодическом разряде на 2-4 порядка при межимпульсном интервале порядка 100 мкс при сравнительно малых давлениях и диаметрах трубки.
Личный вклад автора
Личный вклад автора состоит в
? построении математических моделей, выборе численных алгоритмов и написании компьютерных программ, реализующих эти модели;
? проведении численных расчетов по моделям;
? анализе и интерпретации результатов моделирования.
Работа была выполнена автором на кафедре квантовой радиофизики РГУ под руководством профессора, д.ф.-м.н. Латуша Е.Л. Часть работы, посвященная исследованию динами ки катафореза в импульсно-периодическом разряде и поиску критериев пространственной однородности активных сред катафорезных импульсно-периодических лазеров, осуществлялась под руководством доцента, к.ф.-м.н. Чеботарева Г.Д., впервые реализовавшего и исследовавшего этот новый перспективный тип лазеров на парах металлов.
Апробация результатов работы
Полученные результаты представлены и обсуждены на: XIII, XIV, XV Всероссийских симпозиумах «Лазеры на парах металлов», Лазаревское, Лоо, Лоо, 2000, 2002, 2004; III Международной научно-технической конференции «Квантовая электроника», Минск, 2000; VII, VIII Всероссийских научных конференциях студентов физиков и молодых ученых, Санкт-Петербург, Екатеринбург, 2001, 2002; V, VI International conferences «Atomic and molecular pulsed lasers», Tomsk, 2001, 2003.
По теме диссертации опубликовано 24 печатных работы в рецензируемых журналах и сборниках.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 167 страниц, включая 50 рисунков, 14 таблиц и 107 литературных ссылок.
Краткое содержание работы
В первой главе рассматриваются принципы создания инверсии населенностей в рекомби-нирующей плазме и описывается механизм работы He-Sr и Не-Са лазеров. Дается краткий обзор разработанных к настоящему времени математических моделей этих лазеров. Приводятся сведения о недавних результатах по применению катафореза в импульсно-периодических ЛПМ. Обсуждаются имеющиеся в литературе гипотезы по объяснению явления расконтрак-ции разряда в ЛПМ. Также описывается механизм деионизации плазмы послесвечения за счет ускорения амбиполярной диффузии при небольшом подогреве плазмы. В конце главы формулируются основные задачи работы.
Во второй главе проводится анализ основных принципов построения математических моделей импульсно-периодических газоразрядных лазеров. На примере упрощенной четырехуровневой схемы, включающей типичные процессы для газоразрядного лазера (ионизацию, рекомбинацию, возбуждение, девозбуждение, поглощение, вынужденное и спонтанное излучение), описывается методика составления системы кинетических дифференциальных уравнений для населенностей уровней, дифференциальных уравнений для электронной и газовой температур, а также дифференциального уравнения, описывающего процесс формирования лазерного излучения в резонаторе. Особое внимание уделяется численным алгоритмам. В частности, приводятся описания алгоритма Гира, предназначенного для решения жестких систем дифференциальных уравнений, и двух алгоритмов численной многопараметрической оптимизации: алгоритма Нелдера-Мида и генетического алгоритма. Обсуждаются достоинства и недостатки рассматриваемых алгоритмов оптимизации, алгоритм же Гира в настоящее время является наилучшим для решения жестких систем дифференциальных уравнений, каковыми описываются задачи физической кинетики.
В третьей главе проводится анализ процессов установления продольного и поперечного распределений паров металла в импульсно-периодических ЛПМ. Такие исследования представляют интерес в связи с разработкой нового типа лазеров — катафорезных импульсно-периодических ЛПМ.
Решается нестационарное уравнение диффузии, описывающее процесс установления продольного распределения паров металла в разряде. Выводится соотношение для оценки времени установления продольного распределения паров металла за счет катафореза в импульсно-периодических ЛПМ. Исследуются механизмы формирования среднего за межимпульсный период установившегося радиального распределения концентрации паров металла. Выводятся формулы, по которым можно рассчитать установившийся средний за межимпульсный период радиальный профиль концентрации атомов металла в импульсно-периодическом разряде. Формулируются критерии однородности продольного и радиального распределений паров металла, позволяющие осуществлять целенаправленный выбор режимов возбуждения катафорезных импульсно-периодических ЛПМ, обеспечивающих высокую степень однородности их активных сред, и как следствие, высокие выходные характеристики.
Четвертая глава посвящена разработке, тестированию и применению для решения поставленных задач подробных самосогласованных математических моделей He-Sr и Не-Са ре-комбинационных лазеров, позволяющих рассчитывать пространственно-временную эволюцию параметров плазмы и характеристик генерации, а также проводить их оптимизацию.
Разрабатываемые в этой главе модели основываются на решении системы из дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих электрическую цепь накачки, кинетику частиц в плазме, баланс энергий в плазме и процесс формирования лазерного излучения. Особое внимание уделяется тестированию моделей по экспериментальным данным, полученным в независимых работах разных авторов. С использованием моделей исследуются потенциальные возможности активной среды He-Sr лазера при увеличении давления гелия, диаметра лазерных трубок и частоты следования импульсов. Рассчитываются оптимальные режимы генерации катафорезных He-Sr и Не-Са лазеров. Проводится поиск новых потенциальных лазерных переходов в спектре Sr II. Исследуются явления контракции импульсно-периодического
разряда в чистом гелии и его расконтракции при добавлении паров стронция.
В пятой главе на математических моделях послесвечения разряда в смесях Не-Cu и Ne-Cu исследуется эффект ускорения амбиполярной диффузии (УАД) при небольшом подогреве плазмы и возможность его применения для деионизации плазмы импульсно-периодических газовых разрядов. Проводится серия численных экспериментов, в которых в широких пределах варьируются давление смеси и диаметр газоразрядной трубки, а также напряженность подогревающего электрического поля. Исследуется возможность использования УАД для повышения частоты следования импульсов в лазерах на парах металлов, что особенно актуально для лазера на парах меди, так как в ряде работ указывалось, что во многих случаях именно большая предымпульсная концентрация электронов препятствует созданию инверсии в данном лазере при больших частотах.
В заключении сформулированы основные выводы и результаты диссертации.
Катафорезные лазеры на парах стронция
Катафорез давно и успешно используется в непрерывных ионных лазерах на парах металлов (ЛПМ) для создания однородного распределения паров вдоль активной длины [3-5,18,19]. Наиболее распространенным лазером такого типа является He-Cd лазер (Л = 441.6 и 325 нм). Он же имеет наибольший из всех ЛПМ коммерческий успех и применяется в самых разнообразных областях. Это является следствием простоты и надежности конструкции, не намного более сложной, чем у He-Ne лазера [20,21], и удобства эксплуатации. В работах [22-24] впервые был применен катафорезный способ ввода паров в активные среды импульсно-периодических ЛПМ, в частности, He-Cd (Л = 533.7 и 537.8 нм) и He-Sr (Л = 430.5 нм) лазеров. До этого в импульсно-периодических лазерах такой способ не применялся, хотя различные виды принудительной прокачки смеси имели место. Было показано, что катафорез и в импульсном режиме может вполне успешно справляться с задачей однородного распределения паров в активной зоне, при этом разрядный канал не загромождается кусочками металла и отсутствует возникновение дугового разряда на них с неконтролируемым испарением; появляется возможность независимого регулирования энерговклада и давления паров металла, и отпадает необходимость в насосах для принудительной прокачки смеси. Результаты работ [22-24] показали не только возможность, но и перспективность использования катафореза для лазеров с импульсно-периодическим режимом работы. Так, для малогабаритного He-Sr лазера с диаметром разрядного канала 3 мм и длиной активной части 26 см при катафорезной прокачке паров стронция было получено рекордное значение удельной средней мощности генерации Pas = 277 мВт/см3. Проведенные оценки показали, что скорости прокачки паров в импульсно-периодическом режиме при определенных условиях могут быть соизмеримы со скоростями в непрерывных ЛПМ. Однако, для создания эффективных импульсно-периодических катафорезных лазеров, наряду с достаточно высокой скоростью прокачки, необходимым условием является достижение однородного распределения концентрации паров металла вдоль и поперек газоразрядного канала. Поэтому представляет интерес исследование процессов установления пространственного распределения паров металла в импульсно-периодическом разряде и определение условий его однородности. В настоящее время, в связи с развитием вычислительной техники, важную роль при исследовании кинетики процессов в газоразрядной плазме лазеров на парах металлов стало играть компьютерное моделирование [5,25]. С использованием математической модели лазера можно изучать его работу в труднореализуемых экспериментально условиях, а также исследовать влияние различных факторов и механизмов на протекание процессов в плазме, что дает возможность более глубокого понимания физических процессов, происходящих в активной среде лазера. Со времени получения генерации на линии 430.5 нм Sr II в He-Sr смеси было предпринято несколько попыток математического моделирования He-Sr лазера [15,26-29].
В упрощенных моделях [15,26,27] проводились расчеты только временных характеристик плазмы для одного цикла возбуждения-релаксации плазмы в предположении, что изменение во времени населен-ностей уровней Sr II является квазистационарным. Эти модели качественно верно отражали картину физических процессов, протекающих в активной среде лазера. В более детальной модели [28] и ее усовершенствованном варианте [29] пространственно-временные характеристики плазмы находились в результате самосогласованного счета для последовательности импульсов возбуждения при оптимальных для генерации условиях. Несмотря на близкое сходство Не-Са лазера с He-Sr лазером, он моделировался мало. В центральной печати отсутствуют сведения о моделировании этого лазера. Диссертационная работа [15] была единственной, в которой была разработана простая математическая модель Не-Са рекомбинационного лазера, в основных чертах похожая на разработанную там же модель He-Sr рекомбинационного лазера. В связи с этим актуальным является построение подробных и надежных математических моделей He-Sr и Не-Са лазеров, которые максимально точно описывали бы установленные экспериментально факты и давали бы возможность прогнозировать и оптимизировать параметры генерации, а также искать новые режимы работы, которые еще не реализованы экспериментально, но обещают лучшие характеристики. Лазеры на парах металлов, возбуждаемые импульсно-периодическим разрядом, работают в условиях, при которых разряд в чистом инертном газе контрагирован. Под контракцией понимается сжатие разряда в шнур. Контракция создает большие трудности почти для всех мощных газоразрядных лазеров, в частности, для СОг лазеров [30]. Для борьбы с этой проблемой применяются различные технические решения, которые почти во всех случаях приводят к усложнению конструкции лазера и, соответственно, к увеличению его стоимости. Однако, при разработке лазеров на парах металлов, содержащих буферный газ и пары металла, имеет место саморасконтракция разряда, не требующая применения специальных конструктивных решений и устройств. Поэтому, явление расконтракции имеет большое значение для физики лазеров на парах металлов, а его исследование представляет интерес. Явление контракции разряда изучается уже давно. Для его объяснения рассматриваются разнообразные механизмы объемной неустойчивости, обусловленные спецификой кинетических процессов в плазме. Одним из наиболее распространенных механизмов контракции разряда является ионизационно-перегревной [31,32]. Он обусловлен недостаточной теплопроводностью газа по сравнению со скоростью его нагрева упругими ударами электронов. Поэтому резкая зависимость константы скорости ионизации К-, от E/N (Е — напряженность поля, а N — концентрация газа, однозначно связанная с его температурой) приводит к сильной радиальной зависимости К; даже при относительно небольшой температурной неоднородности. Явление расконтракции разряда до сих пор малоизученно. Ему было посвящено несколько работ [33-37], в которых предложен ряд гипотез для объяснения этого явления. Суть приведенного в работе [33] объяснения состоит в том, что при добавлении в разряд легкоионизируемой компоненты происходит практически полная ее ионизация (для стронция первый 5.6 эВ и второй 11.03 эВ потенциалы ионизации значительно меньше первого потенциала ионизации гелия 24.59 эВ), а так как ее концентрация больше на периферии, из-за более низкой температуры газа на стенках, чем на оси, то происходит увеличение концентрации электронов вблизи стенок. В результате, при определенной концентрации паров металла, разряд становится практически однородым по сечению трубки. Авторы более поздних работ [34,35] предлагают похожее объяснение и выделяют еще один фактор, способствующий расконтракции импульсно-периодического разряда, — наличие остаточной концентрации электронов. Автор работ [36,37] утверждает, что «основным механизмом расконтракции является формирование радиального профиля плотности паров в разряде в силу амбиполярного разделения компонент». Другими словами, причину расконтракции он видит в более сильной радиальной неоднородности паров металла по сравнению с буферным газом (т.е. в «несинхронном» радиальном изменении плотностей атомов металла и буферного газа). К такому выводу ав
Численная многопараметрическая оптимизация
При экспериментальной оптимизации газоразрядного ЛПМ поиск оптимального режима генерации осуществляется путем подбора давления буферного газа, давления паров металла, которое определяется температурой внутренней стенки лазерной трубки, параметров электрической цепи накачки (накопительные емкости, индуктивности), напряжения на накопительных емкостях, коэффициента отражения выходного зеркала. При математическом моделировании автоматическая оптимизация параметров лазера может эффективно осуществляться с использованием методов численной многопараметрической оптимизации. В настоящее время для решения задач оптимизации разработано большое число методов [53,54]. В настоящей работе в процессе поиска оптимальных методов для решения задачи численной оптимизации He-Sr и Не-Са лазеров предпочтение было отдано двум методам: методу Нелдера и Мида [54] и генетическому алгоритму [55-57]. Основными достоинствами первого метода являются простота реализации на ЭВМ и отсутствие необходимости в вычислении производных. Последнее обстоятельство является существенным, так как такие традиционные методы, как градиентные методы и методы Ньютона, требуют вычисления градиентов целевой функции (производные первого порядка) или гессианов (производные второго порядка). Вычисление производных в данной задаче потребовало бы значительного машинного времени. Другой метод относится к классу эволюционных методов оптимизации, в основу которых заложены принципы эволюционногй генетики, поэтому он требует существенно большего времени чем метод Нелдера и Мида. Тем не менее, генетический алгоритм способен найти глобальный оптимум целевой функции по многим параметрам за приемлемое время в условиях, когда никакие другие методы с этим не справляются. В методе Нелдера и Мида минимизируется (для максимизации достаточно изменить знак целевой функции) функция п независимых переменных с использованием п + 1 вершин деформируемого многогранника в л-мерном пространстве (Еп). Каждая вершина может быть идентифицирована вектором х. Вершина (точка) в Е", в которой значение целевой функции f (х) максимально, проецируется через центр тяжести оставшихся вершин. Улучшенные (более низкие) значения целевой функции находятся последовательной заменой точки с максимальным значением г (х) на более «хорошие» точки, пока не будет найден минимум f(x). Более подробно этот алгоритм может быть описан следующим образом [54]. Пусть х = [х xfV ХІП ]Т. = 1 /7 + 1, является /-й вершиной в Е" на /с-м этапе поиска, к = 0,1 и пусть значение целевой функции в х[ равно f(x\ ). Кро ме того, отметим те векторы х многогранника, которые дают максимальное и минимальное значения /"(х). Определим Поскольку многогранник в Еп состоит из (л+1) вершин xif..., хп+і, пусть хп+2 будет центром тяжести всех вершин, исключая хь. Тогда координаты этого центра определяются формулой где индексу обозначает координатное направление. Начальный многогранник обычно выбирается в виде регулярного симплекса с точкой 1 в качестве начала координат.
Координаты вершин регулярного симплекса определяются столбцами следующей матрицы t — расстояние между двумя вершинами. Процедура отыскания вершины в Еп, в которой целевая функция f(x) имеет минимальное значение, состоит из следующих операций: 1. Отражение — проецирование х[ через центр тяжести в соответствии с соотношением где a 0 является коэффициентом отражения; х„ 2 — центр тяжести, вычисляемый по формуле (2.95); xf, — вершина, в которой функция г (х) принимает наибольшее из п + 1 ее значений на к-м этапе. 2. Растяжение. Эта операция заключается в следующем: если /"(хп+з) f(xf ). то вектор (х з — хп+г) растягивается в соответствии с соотношением где 7 1 представляет собой коэффициент растяжения. Если f (x ,_ji4) f (х[ ), то х[ заменяется на х 4 и процедура продолжается снова с операции 1 при к = к + 1. В противном случае х[, заменяется на х 3 и также осуществляется переход к операции 1 при к = к + 1. 3. Сжатие. Если f(x„+3) f(x ) для всех / Ф h, то вектор (х — х.п12) сжимается в соответствии с формулой где 0 0 1 представляет собой коэффициент сжатия. Затем xLJ заменяем на xj g и возвращаемся к операции 1 для продолжения поиска на (к + 1)-м шаге. 4. Редукция. Если f (хЦ3) (хь ) то все векторы (х — xf ), і = 1 п + 1, умень шаются в 2 раза с отсчетом от х в соответствии с формулой Затем возвращаемся к операции 1 для продолжения поиска на (k + 1)-м шаге. Критерий окончания поиска может заключаться в проверке выполнения условия На рис. 2.4 приведена блок-схема поиска оптимума функции методом Нелдера и Мида, реализованная в настоящей работе при моделировании He-Sr и Не-Са лазеров, а на рис. 2.5а показана последовательность поиска методом Нелдера и Мида оптимума для функции средней мощности Pav(U 7 w) He-Sr лазера, изображенной на рис. 2.56. Из рис. 2.5а видно, как в процессе поиска деформируемый многогранник (треугольник) адаптируется к топологии целевой функции, изменяя направление в изогнутых впадинах и сжимаясь в окрестностях оптимума. Это приводит к ускорению поиска на искривленных «оврагах» и «хребтах». Генетические Алгоритмы (ГА) — эволюционные методы поиска, которые в последнее время часто используются для решения задач функциональной оптимизации. Они основаны на генетических процессах биологических организмов: биологические популяции развиваются в течение нескольких поколений, подчиняясь законам естественного отбора по принципу «выживает наиболее приспособленный» (survival of the fittest), открытому Чарльзом Дарвином. Подражая этому процессу, генетические алгоритмы способны «развивать» решения реальных задач, если те соответствующим образом закодированы. Основные принципы ГА были сформулированы американским исследователем Дж. Голландом в 1975 г. [58].
Поперечное распределение паров металла
В таком виде эту систему решить нельзя, так как в (3.67) входит неизвестная функция Q(x, t). Однако, задачу можно существенно упростить, если пренебречь зависимостью Q от времени, что не должно существенным образом повлиять на качественное поведение Л/м, Л/вь Ге и на время установления стационарного режима. В этом случае решение (3.67) нужно искать в виде где пм(х) — полученное выше решение стационарного уравнения (3.36) в виде (3.63), а Л/М(х, t) будет решением следующего однородного уравнения Решение системы уравнений (3.68), (3.69), (3.71) должно удовлетворять начальным условиям и граничным условиям Для того чтобы убедиться в применимости полученных формул (3.57), (3.62), (3.63) к реальным условиям функционирования импульсно-периодических лазеров на парах металлов были проведены сравнительные расчеты для восьми различных трубок He-Sr лазеров, исследованных в работах [22-24,63-66]. В качестве тестовых были взяты расчеты, полученные с помощью Таблица 3.2. Параметры He-Sr лазеров исследованных в работах [22-24,63-66], соответствующие им Аї, к2, кз, рассчитанные по формулам (3.57), (3.62), (3.63) перепады концентраций между стенкой и осью трубки: Длм — за счет радиального катафореза, Длм — за счет тепловой диффузии, ГАпм = Длм + Д/?м — суммарный (в круглых скобках указан процентный вклад каждого из механизмов в результирующий провал); время диффузии атомов металла т, буферного газа т (, время охлаждения газа тт. подробной математической модели He-Sr лазера (см. главу 4). Результаты всех расчетов приведены на рис. 3.4, а в таблице 3.2 даны рабочие параметры лазеров, соответствующие им значения параметров к\, к2, / и рассчитанные с использованием формул (3.57), (3.62), (3.63) перепады концентраций между стенкой и осью трубки. Кроме того, в этой таблице приведены рассчитанные с помощью модели средние за межимпульсный период значения и 7 е, оценки для характерных времен диффузии атомов металла, буферного газа и времени охлаждения газа. Из рис. 3.4 видно достаточно хорошее согласие между результатами расчетов по упрощенной модели и результатами детального моделирования плазмы импульсно-периодического разряда He-Sr лазера. В частности, наблюдается хорошее согласие в соотношении между вкладами радиального катафореза и тепловой диффузии в предымпульсный радиальный профиль концентрации атомов стронция, при этом для всех трубок вклад тепловой диффузии является преобладающим. Во всех случаях формула (3.57) дает несколько меньший провал концентра ции атомов металла на оси чем детальный расчет. Это происходит потому, что при выводе (3.57) мы полагали, что в плазме есть только ионы стронция, на самом же деле там присутствуют и ионы гелия, которые дают небольшой вклад в Л/е. Для случаев 1 и 4 тепловой контур оказывается также несколько менее глубоким, чем дает подробная модель лазера. Здесь сказывается то, что при решении уравнения теплопроводности мы полагали энерговклад однородным по радиусу.
В большинстве случаев так оно и есть, потому что наличие легкоионизируемой примеси в разряде приводит к его расконтрагированию, поэтому в оптимальных условиях профиль Ne получается почти плоским. Если же легкоионизируемого металла в разряде не достаточно для достижения его полной однородности, то профиль Л/е будет иметь небольшой максимум на оси, а следовательно большая часть энергии будет идти в центральную зону разряда и приводить к увеличению 7 g на оси по сравнению с однородным по радиусу энерговкладом. Распределение концентрации атомов металла по радиусу трубки можно лишь условно назвать однородным. На самом деле радиальный профиль лм(х), как мы увидели, в условиях работы импульсно-периодических ЛПМ, возбуждаемых продольным разрядом, будет всегда неоднородным, хотя бы из-за неоднородности Tg, которая из-за конечной теплопроводности буферного газа будет иметь максимум на оси трубки, а распределение активных частиц — минимум. Уменьшение концентрации атомов металла в центре трубки не может не сказаться на характеристиках генерации лазера. И когда провал в распределении пм(х) большой, ухудшение генерации становится заметным, а неоднородность Пм(х) становится решающим фактором, мешающим получить большие выходные мощности из больших объемов и на высоких частотах. При этом неоднородность пм(х) приводит к неоднородности характеристик генерации как ЛПМ на атомных переходах [67], так и ионных ЛПМ. В частности, в He-Sr лазере, в котором накачка ионных лазерных переходов осуществляется рекомбинацией ионов Sr++, радиальное распределение концентрации Sr++ в условиях почти полной двукратной ионизации Sr практически повторяет предымпульсное радиальное распределение атомов Sr, за исключением пристеночных областей. Воспользуемся равенством (3.63) для получения критерия радиальной однородности атомов металла. Из (3.63) следует, что провал концентрации атомов металла на оси равен Из таблицы 3.2 видно, что значение в различных условиях изменяется не сильно: 2-2.6. Возьмем для оценок = 2.3. Рассмотрим функцию ее график изображен на рис. 3.5. На графике за начало диапазона изменения к3 взята единица, так как значение 7а принято считать нижней границей частоты импульсно-периодического разряда [36]. Из рис. 3.5 следует, что при Аз 10 можно положить F(k3) = 3.2, т.е. функция перестает зависеть от к3. Из таблицы 3.2 видно, что для всех рассмотренных трубок условие к3 10 выполняется. Более того, даже при к3 10 замена F(k3) на число 3.2 не сильно скажется на оценках. Поэтому будем считать, что В качестве критерия радиальной однородности концентрации атомов металла возьмем условие
Интенсивность внутрирезонаторного лазерного поля
Для расчета интенсивности внутрирезонаторного лазерного поля в общую систему дифференциальных уравнений добавляются следующие уравнения для лазерных линий 416.2 нм и 430.5 нм, соответственно [46] 2/-С \"1 2/ потери в резонаторе, соответственно, см-1; La — активная длина, Lc — длина резонатора, см; h = 6.626 Ю-34 Джс — постоянная Планка; Л5,з. 5,4 и 45,з, А5Л — длины волн в см и оптические вероятности в с-1 переходов 5 — 3 и 5 — 4, соответственно; NSr+ — населенность верхнего лазерного уровня 62Si/2 Sr II; /?i и /?2 — коэффициенты отражения зеркал резонатора. Последний член в уравнениях (4.54) и (4.55) описывает спонтанную затравку для лазерного излучения. При расчете поуровневой кинетики на резонансных переходах 3 — О (Л = 421.55 нм Sr II) и 4 —у О (Л = 407.77 нм Sr II) (см. рис. 1.3) учитывается пленение излучения, уменьшающее вероятности оптических резонансных переходов /Ц.о и /Ц.о в соответствии с фактором пленения, который рассчитывается исходя из лоренцевского контура резонансных линий, обусловленного в основном уширением давлением [98] где R = d/2 — внутренний радиус лазерной трубки, к0 — коэффициент поглощения в центре линии [98] здесь Л/ — концентрация поглощающих атомов; Аи — ширина спектральной линии. Из (4.56)-(4.57) можно получить расчетные формулы для факторов пленения см-3; внутренний диаметр разрядной трубки d — в см; ширины резонансных линий — в ГГц, они вычисляются по формуле, полученной на основе данных работы [99] Для расчета интенсивностей усиленного спонтанного излучения ионных линий стронция, а также интенсивностей с учетом самопоглощения использовалось выражение [100] Здесь S (k0L3) — функция Ладенбурга-Рейхе [100], kQ — коэффициент поглощения в центре линии, Av — лоренцевская ширина линии (при / 0 будет учитываться самопоглощение, а при ко 0 — усиление). 4.1.10
Импульсная мощность и энергия импульса генерации Интенсивность выходного лазерного излучения / рассчитывается через интенсивность внут-рирезанаторного лазерного поля /с, Вт/см2 и полезные потери 77ПОл. см-1 [46] где /-с — длина резонатора, см. Импульсную мощность генерации можно найти, проинтегрировав (4.65) по сечению лазерной трубки Энергия импульса генерации находится путем интегрирования мощности генерации по времени Полная вводимая в лазерную трубку энергия накачки вычисляется следующим образом Средняя мощность генерации в импульсно-периодическом режиме рассчитывается исходя из энергии импульса генерации Е и частоты следования импульсов f При моделировании саморазогревного режима частота следования импульсов f рассчитывается из условия равенства мощности, потребляемой от источника накачки Puse, и тепловой мощности Psctr, отводимой от лазерной трубки [3,4,66] здесь С = 2 — калибровочный множитель; La — активная длина, см; Tw — температура внутренней стенки лазерной трубки, эВ; c/out — наружный диаметр трубки, см; b — коэффициент черноты поверхности трубки (для ВеО-керамики b т 0.5); Psctr получается в Вт. Исходя из (4.70)-(4.71) можно получить выражение позволяющее с использованием (4.68) и (4.72) рассчитывать частоту следования импульсов f. Вычисленная по формуле (4.73) частота используется для расчета средней мощности генерации в саморазогревном режиме (4.69). Исходными данными при расчетах являются: геометрические размеры лазерной трубки La, d, dout, температура внутренней стенки трубки 7 w, начальное однородное по радиусу давление буферного газа гелия Рне, пристеночные значения концентрации паров стронция /Vsr,w и атомов гелия Л/не,и/. а также параметры разрядной цепи. В саморазогревном режиме концентрация A/sr,w рассчитывается исходя из 7 w по формуле, аппроксимирующей справочные данные по давлениям насыщенных паров стронция [72] где 7"w подставляется в электрон вольтах, a A/sr,w получается в см-3. Начальные концентрации паров стронция N r и атомов гелия Л/ е полагаются однородными по радиусу трубки и равными Nl = NSr,w,
