Введение к работе
Актуальность проблемы. Применение различных асимптотических методов для решения задач дифракции и распространения волн получило широкое распространение во многих областях физики. Это связано в первую очередь с возможностью получения решения поставленной задачи в тех случаях, когда неприменимы другие аналитические или численные методы, а также с наличием развитого математического аппарата построения асимптотических разложений по большому параметру решений дифференциальных, псевдодифференциальных и интегральных уравнении математической физики и с хорошей физической интерпретацией полученного решения. Наиболее известным асимптотическим методом является приближение геометрической оптики (ГО) і: его аналоги в других областях физики (метод ВКБ в квантовой механике, метод геометрической акустики и т.д.). Решение задачи в рамках метода ГО, ищется в виде произведения быстроосциллирующей экспоненты и асимптотического ряда по обратным степеням большого параметра задачи. Таким большим параметром, как правило, является отношение характерного размера задачи к длине волны. Полученная методом ГО асимптотика решения тем ближе к точному решению задачи, чем больше данное отношение. Однако величина большого параметра не единственное ограничение на применимость ГО приближения и других лучевых методов решения волновых задач. Метод ГО становится неприменимым в областях фокусировок волновых полей, в частности, в областях структурно-устойчивых фокусировок, соответствующих особенностям каустических поверхностен. Такие области со сложной дифракционной структурой поля и высокой интенсивностью возникают в различных радиофизических задачах: при распространении радиоволн в ионосфере Земли и других планет, дифракции СВЧ-излучения на плазменных образованиях и телах неправильной формы, дифракции лазерного излучения на неоднородностях среды распространения, различных оптических системах. Исследованию структуры полей в фокальных областях посвящено большое число работ, в которых рассматривались проблемы образования локализованных в пространстве и времени фокусировок волновых полей, для чего было необходимо описать структуру поля в областях многолучевости, в окрестносгн каустик, когда обычный ГО метод неприменим. Решение последней задачи было получено на основе объединения метода канонического оператора Маслова (КОМ)1 и теории особенностей дифференцируемых отображений*. Установлено соответствие между различными конфигурациями каустических поверхностен и типами
Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы.- М: МГУ, 1965. 553 с-
2Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде СМ. Особенности дифференцируемых отображений: классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука. 1982. 304с.
топологических особенностей, введены специальные функции волновых катастроф - СВК3 (см. также [5,6] и цитируемую в них литературу). Показано, что волновое поле в фокальной области может быть описано равномерно по параметрам задачи через СВК с высокой степенью точности. Полученные таким образом выражения являются асимптотическими разложениями решения задачи по большому параметру, и задача сводится к вычислению коэффициентов асимптотического разложения и аргументов спецфункций.
Другим существенным недостатком приближения геометрической оптики является отсутствие решения задачи в области геометрической теин, обусловленной наличием тел в среде распространения. Этот недостаток устраняет другой лучевой метод - метод геометрической теории дифракции (ГТД)4. В рамках ГТД считается, что любая неоднородность среды распространения, за исключением бесконечно дифференцируемых плавных неоднородностей, является источником дополнительного семейства волн (краевых, угловых, поверхностных, волн соскальзывания и т.д.). Методы ГТД позволяют получить решения и области тени и учесть влияние границ среды распространения в области света. Тем не менее, как и для метода геометрической оптики, существует проблема построения решения в областях фокусировок, а также в окрестности границы "свет-тень".
Успех применения теории * особенностей дифференцируемых отображений (теории катастроф) к задачам распространения и дифракции волн в плавно неоднородных средах без границ позволил надеяться на успех аналогичного подхода к задачам с границами. Для описания полей в области границы "свет-тень" (предельного ГО луча) необходимо найти соответствующую геометрии задачи особенность (катастрофу) и выразить поле через специальные функции данной волновой катастрофы. При таком подходе задача сводится к топологической части - нахождению типа особенности (чем определяется и соответствующие СВК), и асимптотической - нахождению коэффициентов асимптотического разложения и аргументов спецфункций. До применения теории катастроф, в литературе, посвященной равномерной ГТД и равномерной пространственно-временной ГТД (ПВГТД), такие решения были известны лишь в простейших случаях. Поэтому задача классификации типов фокусировок вторичных волновых полей, определения связи между типом катастрофы и конфигурацией каустических поверхностей как первичных, так и вторичных волн в окресгноегях границ "свет-тень" и построения равномерного асимптотического описания поля в сложных переходных областях, когда другие лучевые методы становятся неприменимыми, являегся актуальной проблемой геометрической теории дифракции.
'Лукин Д.С., Палкіш Е.А. Численный канонический метод в задачах дифракции и распространения электромагнитных ноли в неоднородных средах. М.: МФТИ. 1982. 159 с.
'Боровиков В.А., Кинбер В.Е. Геометрическая теория дифракции. М.: Связь, 1978. 248 с.
Целью диссертационной работы являлось построение нопых методов геометрической теории дифракции, которые равномерно описывали бы дифракционную структуру волновых полей в областях совместной фокусировки первичных (геометрооптических) полей и дифракционных, вторичных (краевых, угловых и так далее) полей, как в случае стационарной ГТД, так и в случае пространственно-временной ГТД. Для реализации этой общей задачи автору необходимо было решить следующие проблемы:
-
Установить соответствие между типом краевой, угловой и обобщенной краевой катастрофы и типом фокусировки волнового поля;
-
Провести классификацию угловых катастроф малой модальности, реально возникающих в задачах стационарной и нестационарной дифракции и распространения волн;
-
Построить равномерные асимптотические разложения многократных быстроосциллирующих интегралов, критическими точками которых являются как седловые (стационарные) точки фазы интегранты, так и седловые точки ее сужения на границу области интегрирования, по специальным функциям основных, краевых и угловых катастроф;
-
Исследовать свойства краевых и угловых СВК (ряды, дифференциальные уравнения, асимптотики), их амплитудно-фазовую структуру, разработать методы расчега краевых и угловых СВК, их аргументов и коэффициентов асимптотических разложений;
-
Проанализировать ряд модельных задач стационарной и нестационарной теории дифракции, в которых возникают, фокусировки волновых полей типа краевых и угловых катастроф.
Научная новизна результатов, полученных в диссертации. Сформулировано и обосновано новое направление в теории дифракции и распространения волн, которое базируется на концепции краевых и угловых катастроф. Основное содержание нового направления заключается в следующем:
-
Классифицированы типы дифракционной структуры волновых полей в областях фокусировок, возникающих при стационарной и нестационарной дифракции и распространении волн в неоднородных средах в соответствии с классификацией краевых, угловых и обобщенных краевых катастроф. Получены дифференциальные необходимые и достаточные условия образования краевых и угловых катастроф.
-
Получена полная классификация уни- и бимодальных угловых катастроф и огораживающих особенностей. Вычислены нормальные формы и возмущения универсальных деформаций этих особенностей, найдены схемы подчинении (примыканий), устанавливающие связь особенностей более высокого порядка с особенностями более низкого.
-
Построены равномерные асимптотические решения задач ІТД {или ПВГТД) в областях совместной фокусировки основных ГО лучей, краевых лучей (и угловых лучей) в виде интегралов специального вида -
в спецфункций краевых и угловых катастроф (СВК). С этой целью:
».
а) построены равномерные асимптотики многократных интегралов от
быстроосциллирующих функцгй, критическими точками которых являются
седловые (стационарные) точки фазы интегранты и ее сужения на границу
области интегрирования;
б) введены и исследованы новые классы специальных функций -
краевые и угловые СВК: вычислены их разложения в степенные ряды;
получены канонические дифференциальные уравнения; предложен новый
метод расчета краевых и угловых СВК и их первых производных, входящих
в асимптотические разложения, основанный на сведении канонических
уравнений в частных производных к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений; исследованы амплитудные и фазовые
структуры СВК;
в) построены методы (локальный и метод седловых точек) для
определения коэффициентов асимптотических разложений, а также
аргументов краевых и угловых СВК (то есть функциональных модулей и
коэффициентов при возмущениях).
4. Решен ряд модельных задач, иллюстрирующих применение волновой теории краевых и угловых катастроф к вопросам дифракции и распространения волн в средах с частотной дисперсией:
а) исследована стационарная дифракция волн на телах с криволи
нейными кромками (содержащими угловую точку), исследована дифракция
волны на последовательно расположенных телах с криволинейными
кромками;
б) исследована пространственно-временная дифракция частотно-
модулированного сигнала на металлическом теле с криволинейными
кромками, помещенном в плазму.
Практическая значимость работы. Предложенные в работе
равномерные асимптотические методы ГТД и ПВГТД позволяют
описывать фокусировку волновых полей при дифракции на телах с
криволинейными кромками (возможно имеющими точки излома - угловые
точки), на нескольких последовательно расположенных телах с кромками, а
также пространственно-временную фокусировку частотно-
модулированного радиоимпульса как в однородной плазме при дифракции на телах с кромками, так и в случае распространения радио- и видеоимпульсов в неоднородной плазме. Рассматриваемые вопросы важны в задачах электромагнитной совместимости радиотехнических устройств, при конструировании различных коротковолновых одно- и многозеркальных антенных систем, гибридных зеркальных и линзовых антенн, при изучении дисперсии радио- и видеоимпульсов в различных каналах ионосферной связи и при радиозондировании.
Научная достоверность и обоснованность результатов и выводов работы подтверждается тем, что они получены математически корректными методами. Во всех предельных случаях результаты работы согласуются с результатами, полученными с помощью других известных асимптотических или точных методов, а при численном сопоставлении
отличие невелико и хорошо согласуется с оценкой погрешности
предложенных в работе асимптотических методов. Ряд теоретических
результатов подтверждается сравнением с известными
экспериментальными данными.
На зашиту выносится:
Новое направление: применение теории краевых и угловых катастроф для решения задач дифракции и распространення волн в неоднородных средах. В рамках этого направления получены следующие результаты:
1. Построены равномерные асимптотические разложения по
специальным функциям волновых катастроф (СВК) и их первым
производным в областях краевых, угловых и обобщенных краевых
катастроф, соответствующих совместной фокусировке геометрооптических,
краевых и угловых лучей.
2. Выполнена классификация типов устойчивых угловых
фокусировок, основанная на теории особенностей дифференцируемых
отображений с ограничениями на возможные преобразования координат.
а) Получен полный список нормальных форм и возмущений уни- и
бимодальных угловых катастроф, а также список огораживающих их
особенностей.
б) Построена схема примыканий угловых катастроф, позволяющая
определить типы фокусировок, возникающие при распадении сложного
фокуса.
Дана физическая интерпретация типа угловой катастрофы.
3. Построены дифференциальные необходимые и достаточные
условия образования краевых и угловых катастроф, позволяющие
определить положение центра дифракционной структуры (фокуса) в
пространстве (-времени).
4. Введены и исследованы новые классы специальных функций -
краевые и угловые специальные функции волновых катастроф.
а). Получены канонические дифференциальные. уравнения, решениями которых являются СВК, и разложения СВК в ряды Тейлора.
б). Построены равномерные по большому параметру задачи разложения угловых СВК в точке образования катастрофы.
в). Предложен н реализован метод расчета краевых и угловых СВК, основанный на сведении канонических уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
г). Исследована амплитудно-фазовая структура краевых и угловых СВК.
5. Теория краевых и угловых катастроф применена для решения ряда
модельных задач. Исследована амплитудная структура поля в областях
образования краевых и угловых катастроф:
а) при дифракции плоской волны на искривленном экране с угловой
точкой;
б) при дифракции частотно-модулированного импульса на
проводящем экране в диспергирующей среде.
Личный вклад автора. Диссертация является обобщением работ автора, касающихся применения теории краевых и угловых катастроф к вопросам дифракции и распрос і ранения волн за период с 1984 по 1994 год. В диссертацию также вошли некоторые результаты, полученные автором ранее, но имеющие прямое отношение к теме. Основная часть результатов получена автором лично. В совместных работах с научным консультантом Д.С.Лукиным и коллегой Е.А.Палкиным соавторы в равной мере участвовали в постановке задачи, а в последующих исследованиях (начиная с 1985 года) основной вклад в вопросах, касающихся темы диссертационной работы, принадлежит. автору. Работы, посвященные расчету полей в окрестности краевых катастроф типа BN+X и C(V+1, были выполнены
совместно с Е.Б.Ипатовым, которому принадлежат оригинальные методы расчета специальных функций этих особенностей, причем алгоритмы расчета СВК особенностей CN+l разрабатывались совместно. Некоторые
операторы систем канонических уравнений и коэффициенты разложения рядов Тейлора для краевых н угловых СВК были получены автором совместно с Е.А. Палкиным. Другие совместные работы, относящиеся к теме диссертации, выполнялись по инициативе автора и под его руководством.
Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались на XIII, XIV, XV, XVI Всесоюзных научных конференциях по распространению радиоволн (1981, 1984, 1987, 1990 гг.); на IX и X Всесоюзных симпозиумах по дифракции и распространению волн (1985, 1990 гг.); на IV, IX Всесоюзных и X Международной школах по дифракции и распространению волн ((984, (988, 1993 гг.); на XXXV, XXXVII, XL, XLII, XLIV Всесоюзных и XLIII Всероссийской научных сессиях научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. А.С.Попова (г.Москва, 1980, 1982, 1985, 1987, 1989,1993 гг.), на II и III Всесоюзных семинарах НТО РЭС им. А.С.Попова (1989, 1990 гг.); на XXII Генеральной ассамблеи URSI (1990 г.), на семинаре по электромагнитной теории (Japan, OFSET-90, 1990 г.); на Международном симпозиуме по антеннам и распространению волн (ISAP'92, Sapporo, Japan); на XXVII научной конференции по теории и технике антенн (Москва, 1994 г.).
Результаты работы обсуждались на научных семинарах МФТИ, ЛГУ, МЭИ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано более 50 печатных работ; список основных публикаций приводится в конце автореферата.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, шести приложений и списка литературы. Работа изложена на 383 страницах и включает в себя 70 рисунков и 25 таблиц. Список цитированной литературы содержит 274 наименования.
Благодарности. Автор выражает сердечную признательность своему научному консультанту, заведующему кафедры ФМПВП, профессору Д.С.Лукнну за постоянное внимание и поддержку работы; доценту
Е.А.Палкину, чье плодотворное сотрудничество оказало автору неоценимую помощь, и с.н.с. Е.Б.Ипатову, совместно с которым автор выполнил некоторые работы по вычислению специальных функций каспоидных краевых катастроф. Выражаю глубокую благодарность Д.В.Растягаеву, выполнившему совместно со мной ряд последних исследований и оказавшему большую помощь в оформлении материалов диссертации.
Автор выражает особую благодарность Е.Ю.Чилингир (Жирухиной) и Т.В. Дорохиной, внесшим также большой вклад в оформление диссертационной работы.
