Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Магнитные резонансы планарных кольцевых частиц 19
1.1. Магнитные резонансы планарного диэлектрического кольца 20
1.1.1. Метод расчета отклика планарного диэлектрического кольца на внешнее магнитное поле 20
1.1.2. LCЛ-модель планарного диэлектрического кольца 23
1.1.3. Собственные моды планарного диэлектрического кольца 25
1.1.4. Отклик планарного диэлектрического кольца на внешнее магнитное поле 30
1.2. Управляемые магнитные резонансы планарного диэлектриче
ского кольца с графеновым покрытием 38
1.2.1. Обобщение метода расчета магнитного отклика на случай композитной планарной частицы 38
1.2.2. Собственные моды графен-диэлектрического кольца и
их зависимость от уровня Ферми в графене 41
1.2.3. LCЛ-модель графен-диэлектрического кольца 47
1.2.4. Отклик графен-диэлектрического кольца на внешнее магнитное поле 49
1.3. Выводы 50
Глава 2. Магнитные резонансы объемных аксиально-симметричных диэлектрических частиц 53
2.1. Метод расчета магнитного отклика объемных аксиально-симметричных диэлектрических частиц 54
2.2. Магнитные резонансы диэлектрического кольца произвольной толщины 58
2.3. Магнитные резонансы диэлектрического конуса 63
2.4. Сравнение с результатами полноволнового моделирования 66
2.5. Выводы 70
Глава 3. Коллективный электромагнитный отклик метаповерх ности и тонкослойного метаматериала на основе диэлектриче ских колец 72
3.1. Методы проверки применимости двойного дипольного приближения 73
3.2. Исследование области применимости двойного дипольного приближения 78
3.3. Влияние геометрических параметров метаатомов на резонансные свойства
етаповерхности 80
3.4. Выводы 83
Глава 4. Перестраиваемая метаповерхность на основе микрорезервуаров с водой 84
4.1. Постановка задачи 84
4.2. Термическое управление 86
4.3. Механическое управление 92
4.4. Гравитационное управление 92
4.5. Выводы 95
Заключение 97
Литература
- Метод расчета отклика планарного диэлектрического кольца на внешнее магнитное поле
- Магнитные резонансы диэлектрического кольца произвольной толщины
- Исследование области применимости двойного дипольного приближения
- Механическое управление
Введение к работе
Актуальность темы
Метаматериалы – это искусственные материалы с композитными структурными элементами, обладающие не встречающимися в природе электромагнитными свойствами. В последние годы метаматериалы привлекают большое внимание в связи с перспективами их практического применения для целей радиомаскировки и развития антенной техники – создания компактных плоских антенн, высокоимпедансных поверхностей (магнитных стенок), развязки элементов антенных решеток и т.п. [Metamaterials: Physics and Engineering Explorations/Ed. N. Engheta, R.W. Ziolkowski, IEEE Press, 2006]. Принципиальной особенностью метаматериалов является их способность обеспечивать сильный магнитный отклик на терагерцовых и даже оптических частотах, где магнитная проницаемость обычных материалов близка к единице. С этой особенностью связаны надежды исследователей на создание плаща-невидимки, идеальной линзы и других экзотических устройств [L. Billings, Nature 500, 138 (2013)].
Традиционно в качестве структурных элементов метаматериалов, называемых метаатомами, рассматривались металлические микрообъекты. Так, например, первый левосторонний (с одновременно отрицательными значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей) метаматериал был реализован в микроволновом диапазоне частот на основе разрезных металлических колец (магнитных метаатомов) и отрезков провода (электрических метаатомов), см. D.R. Smith et al., Phys. Rev. Lett. 84, 4184 (2000). Сильный диамагнитный отклик разрезного металлического кольца достигается благодаря резонансу, частота которого определяется емкостью разреза и индуктивностью самого кольца. Основным недостатком металлических мета-материалов являются омические потери, которые возрастают с частотой и накладывают принципиальные ограничения на использование таких мета-материалов в оптическом диапазоне.
В с в я з и с необходимостью преодоления проблемы потерь большое внимание в последние годы стало уделяться метаматериалам, структурными элементами которых являются диэлектрические частицы из материала с высокой диэлектрической проницаемостью >> 1 [Q. Zhao et al., Mater. Today 12, 60 (2009)]. Магнитный отклик диэлектрической частицы на поле падающей электромагнитной волны связан с возбуждением в частице поляризационных токов, сильно возрастающих в условиях так называемых резонансов Ми [Bohren C.F., Huffman D.R., Absorption and Scattering of Light by Small Particles, Wiley-VCH, 1983]. В связи с малостью омических потерь в диэлектрических частицах резонансам Ми свойственна высокая добротность в широком спектральном интервале. Резонансы Ми наблюдались экспериментально в гигагерцовом [B.I. Popa and S.A. Cummer, Phys. Rev. Lett. 100,
207401 (2008)], терагерцовом [R. Yahiaoui et al., Appl. Phys. A, 109, 891 (2012)], среднем инфракрасн о м [ J.A. Schuller et al., Phys. Rev. Lett. 99, 107401 (2007)] и видимом [A.I. Kuznetsov et al., Sci. Rep. 2, 492 (2012)] диапазонах. Экспериментально продемонстрирована отрицательная магнитная проницаемость метаматериалов с диэлектрическими метаатомами различной формы – сферической [I.B. Vendik et al., Tech. Phys. Lett. 32, 429 (2006)], кубической и в виде стержней [J. Wang et al., J. Appl. Phys. 109, 084918 (2011)].
Теоретическое описание резонансного магнитного отклика диэлектрических частиц разработано только для сферических частиц на основе теории Ми. Между тем, наибольший практический интерес в настоящее время представляют несферические частицы, резонансными свойствами которых, в частности, относительным расположением (и, особенно, перекрытием) магнитных и электрических резонансов, можно управлять путем изменения аспектного отношения частицы. Возможность такой перестройки резонан-сов продемонстрирована для диэлектрических дисков и конусов [A.B. Evlyukhin et al., Phys. Rev. B 84, 235429 (2011); I. Staude et al., ACS Nano 7, 7824 (2013)].
Для расчета электрических и магнитных резонансов в несферических диэлектрических частицах применяют сложные и громоздкие методы полноволнового численного моделирования, такие как метод конечных разностей во временной области (FDTD) [J. van de Groep and A. Polman, Opt. Express 21, 26285 (2013)], модифицированное приближение точечных диполей (DDA) [A.B. Evlyukhin et al., Phys. Rev. B 84, 235429 (2011)] и метод конечных интегралов в частотной области (FIFD) [I. Staude, ACS Nano 7, 7824 (2013)].
В диссертации разработан эффективный полуаналитический метод расчета магнитного отклика диэлектрических частиц с >> 1 произвольной аксиально-симметричной формы. Метод является обобщением предложенного в работе A.V. Maslov and M.I. Bakunov, J. Phys.: Condens. Matter 25, 056003 (2013) подхода к расчету магнитного отклика планарных металлических колец и основан на пренебрежении токами смещения вне частицы по сравнению с токами поляризации внутри нее. Использование данного приближения позволяет находить собственные моды частицы, представляющие собой самосогласованные распределения тока поляризации и магнитного поля. Отклик на внешнее переменное магнитное поле раскладывается по собственным модам. Предложенный подход отличается физической наглядностью и малым временем численных расчётов. Его эффективность продемонстрирована на примерах диэлектрического кольца произвольной толщины и диэлектрического конуса с произвольным аспектным отношением при ~ 100 (соответствует TiO2 в терагерцовом диапазоне частот). Найденные собственные частоты и собственные моды хорошо согласуются с результатами FDTD расчета.
Задача применения метаматериалов для манипуляции электромагнитными волнами требует разработки методов перестройки резонансов ме-таатомов. В литературе предложены способы достижения перестраиваемо-сти метаматериалов на основе интеграции резонансных метаатомов с такими управляемыми материалами, как полупроводники [H.-T. Chen et al., Nature 444, 597 (2006)], жидкие кристаллы [G. Si et al., Materials 7, 1296 (2014)], ферриты [K. Bi et al., Sci. Rep. 4, 7001 (2014)] и вещества, испытывающие фазовый переход при оптическом нагреве [T. Cao et al., Sci. Rep. 4, 4463 (2014)]. В настоящее время графен считается особенно перспективным материалом для использования в перестраиваемых устройствах, поскольку его проводимостью можно эффективно управлять путем смещения уровня Ферми с помощью химического легирования или приложения напряжения смещения [Q. Bao and K. P. Loh, ACS Nano 6, 3677 (2012); K. Yao and Y. Liu, Nanotechnol. Rev. 3, 177 (2014)]. Электрически управляемые плазмонные ме-таматериалы на основе интеграции металлических метаатомов со слоем гра-фена были реализованы в терагерцовом [S.H. Lee et al., Nature Materials 11, 936 (2012)], среднем инфракрасном [S.H. Mousavi et al., Nano Lett. 13, 1111 (2013)] и ближнем инфракрасном [N.K. Emani et al., Nano Lett. 14, 78 (2014)] диапазонах. Теоретически показано, что резонаторы из графена перспективны для создания электрически перестраиваемых магнитных метаматери-алов в терагерцовом и среднем инфракрасном диапазонах [J. Ding et al., Sci. Rep. 4, 6128 (2014)]. Однако графеновые, и особенно металло-графеновые, резонаторы испытывают сильные омические потери. Для преодоления этой проблемы в диссертации выдвинута идея применения композитных ме-таатомов на основе интеграции диэлектрической частицы с >> 1 и слоя графена. Диэлектрическая частица обеспечивает высокую добротность такого резонатора, графен – его перестраиваемость. В диссертации предложен конкретный дизайн управляемого композитного метаатома в виде планар-ного диэлектрического кольца, покрытого с одной стороны слоем графена. С помощью разработанного ранее полуаналитического метода рассчитан магнитный отклик кольца и показана возможность управления частотами и добротностями его резонансов путем вариации уровня Ферми в графене. Рассмотрены практически важные случаи колец микронного и сантиметрового размеров для терагерцового и гигагерцового частотных диапазонов.
При описании электромагнитных свойств трехмерных метаматериалов, представляющих собой периодические решетки из субволновых элементов, обычно переходят к приближению сплошной среды путем введения таких эффективных параметров, как диэлектрическая и магнитная проницаемости, показатель преломления и импеданс. Предложен целый ряд методов гомогенизации, см. например, обзор A. Andryieuski et al., Phys. Rev. B 86, 035127 (2012), которые, однако, зачастую приводят к нефизичным резуль-
татам [C.R. Simovski, J. Opt. 13, 013001 (2011)]. Под вопросом остается возможность введения объемных эффективных параметров для метаповерхно-стей и тонкослойных метаматериалов. В некоторых случаях введению эффективных параметров препятствует наличие сильного взаимодействия между метаатомами [A. Andryieuski et al., Phys. Rev. B 82, 235107 (2010)].
Альтернативный подход к описанию метаматериалов основан на представлении метаатомов как пары точечных диполей - электрического и магнитного, а метаматериала - как периодической решетки таких двойных диполей. В рамках данного подхода взаимодействие между диполями в решетке может быть учтено явно - численно (для решеток из нескольких сотен на несколько сотен элементов) или аналитически (в приближении бесконечной решетки). Невыясненным, однако, остается вопрос о границах применимости двойного дипольного приближения для описания решеток диэлектрических частиц с высокой диэлектрической проницаемостью.
В диссертации применимость двойного дипольного приближения исследована на примере бесконечной двумерной решетки диэлектрических колец, облучаемой нормально падающей плоской электромагнитной волной. Путем сравнения с результатами прямого численного моделирования показано, что двойное дипольное приближение хорошо работает при условии, что внешний радиус колец не превосходит 0,4 периода решетки.
До настоящего времени вода не привлекала внимания исследователей как материал для инженерии диэлектрических метаматериалов, поскольку ее диэлектрическая проницаемость (Re є ~ 80 на низких частотах при комнатной температуре) не столь велика, как у некоторых других диэлектриков (например, Re є ~ 2000 для Bao.sSro.sTiCb). В недавней работе M.V. Rybin et al., Sci. Rep. 5, 8774 (2015) при экспериментальном исследовании возможностей управления рассеянием микроволнового излучения на заполненном водой стеклянном цилиндре было использовано такое свойство воды, как сильная зависимость ее диэлектрической проницаемости от температуры: Re є изменялась от 80 при 20С до 50 при 90С. Кроме того, поскольку в интервале температур 0-100С при нормальном давлении вода является жидкой, то при заполнении ею эластичных резервуаров можно создавать деформируемые диэлектрические частицы. Указанные обстоятельства позволяют рассматривать воду в качестве перспективного материала при инженерии управляемых метаматериалов для гигагерцового диапазона частот (на частотах свыше -10-100 ГГц, в зависимости от температуры, диэлектрическая проницаемость воды резко падает).
В диссертации исследованы возможности создания перестраиваемых метаматериалов на основе заполненных водой микрорезервуаров. Рассмотрение ведется на примере двумерной квадратной решетки водяных метато-мов сантиметрового размера с магнитным и электрическим дипольными резонансами на частотах около 1 ГГц. С помощью численного моделирования
показано, что резонансными частотами такого метаматериала можно эффективно управлять путем изменения температуры воды, механической деформации эластичных микрорезервуаров и перетекания воды при изменении ориентации метаматериала в гравитационном поле земли.
Цель диссертации
Целью диссертационной работы является разработка методов расчета магнитного отклика диэлектрических частиц и исследование коллективного электромагнитного отклика тонкослойных метаматериалов с диэлектрическими метаатомами.
Научная новизна
Научная новизна работы состоит в следующем:
-
Разработан новый полуаналитический метод расчета магнитных резо-нансов частиц произвольной аксиально-симметричной формы из материала с высокой диэлектрической проницаемостью.
-
С помощью разработанного метода впервые найдены собственные магнитные моды (самосогласованные распределения тока поляризации и магнитного поля) и их частоты для диэлектрических частиц в форме конуса, а также обнаружено, что у конических частиц магнитные резо-нансы более высоких порядков могут быть сильнее резонансов более низких порядков.
-
Для целей создания изотропного метаматериала с кубической решеткой из кольцевых и конических метаатомов впервые указаны оптимальные аспектные отношения метаатомов.
-
Предложен оригинальный дизайн управляемого микрорезонатора (ме-таатома) в виде покрытого графеном планарного кольца из диэлектрика с высокой диэлектрической проницаемостью. Показана возможность изменения частот и добротностей магнитных резонансов путем вариации уровня Ферми в графене.
-
На примере двумерной решетки диэлектрических колец с высокой диэлектрической проницаемостью впервые установлена область применимости двойного дипольного приближения для описания планарных диэлектрических метаматериалов.
-
Впервые предложен дизайн метаматериала в виде решетки заполненных водой микрорезервуаров и продемонстрирована возможность термического, механического и гравитационного управления резонансным откликом водяного метаматериала.
Практическая значимость работы
Разработанный в диссертации приближенный полуаналитический метод расчета магнитных резонансов аксиально-симметричных диэлектрических частиц может найти применение в инженерии метаматериалов при разработке дизайна метаатомов, а также в СВЧ электронике при проектировании устройств на основе диэлектрических резонаторов. Данный метод дает более полное описание по сравнению с распространенным методом эквивалентных схем, в то же время он значительно проще методов полноволнового численного моделирования.
Предложенный в диссертации управляемый резонатор в виде покрытого графеном диэлектрического кольца может найти применение в СВЧ устройствах беспроводных систем коммуникации.
Предложенный в диссертации новый тип управляемого метаматери-ала для электромагнитных волн гигагерцового диапазона частот на основе заполненных водой микрорезервуаров может быть использован для прото-типирования терагерцовых и оптических метаматериалов, а также для создания демонстрационных образцов метаматериалов в образовательных целях. Практическая реализация водяного метаматериала и способы управления его свойствами отличаются доступностью и дешевизной.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Магнитный отклик частицы диэлектрика с высокой диэлектрической
проницаемостью на переменное магнитное поле определяется пре
имущественно возбуждением в частице токов поляризации и может
быть рассчитан с высокой точностью в пренебрежении токами смеще
ния вне частицы. При этом необходим самосогласованный учет вза
имного влияния токов поляризации и создаваемого ими магнитного
поля. Отклик частицы удобно раскладывать в ряд по собственным мо
дам частицы – самосогласованным распределениям тока поляризации
и магнитного поля в отсутствие внешнего поля. Пространственные
конфигурации собственных мод и их частоты можно находить как
собственные функции и собственные значения интегрального уравне
ния для плотности тока поляризации, вытекающего из уравнений
Максвелла.
2. Множественные резонансы в магнитном отклике диэлектрических ча
стиц связаны с возбуждением их собственных мод. Для частиц коль
цевой формы их электрический размер на частоте практически наибо
лее важного основного резонанса уменьшается с ростом толщины
кольца – вначале быстро, пока отношение толщины кольца к его
внешнему радиусу не достигает примерно 0,2, затем гораздо медлен
нее. Таким образом, для создания изотропного метаматериала с куби-
6
ческой решеткой из 6 колец оптимальное значение указанного отношения составляет ~(0,3-0,4). Для создания аналогичного метаматери-ала из частиц конической формы оптимальное отношение высоты конуса к радиусу основания составляет ~0,4. В случае конических частиц магнитные резонансы более высоких порядков могут быть сильнее резонансов более низких порядков.
-
Планарные кольца из диэлектрика с высокой диэлектрической проницаемостью, покрытые с одной стороны графеном, могут служить в качестве резонаторов, магнитным откликом которых можно управлять путем изменения энергии Ферми в графене. В случае колец размером в десятки микрон, резонирующих на терагерцовых частотах, повышение уровня Ферми приводит к увеличению резонансных частот при сохранении довольно высокой добротности резонансов. В случае колец сантиметрового размера, резонирующих на гигагерцовых частотах, повышение уровня Ферми в основном уменьшает добротность резонанса.
-
Приближенное описание кольцевых диэлектрических метатомов в двумерной решетке как пары электрического и магнитного диполей является адекватным при условии, что внешний радиус колец не превосходит 0,4 периода решетки. Управлять резонансными свойствами такого планарного метаматериала можно путем вариации внутреннего и внешнего радиусов колец, а также периода решетки.
-
Решетки из заполненных водой микрорезервуаров могут служить в качестве метаматериала для электромагнитных волн гигагерцового диапазона частот. Магнитный и электрический резонансы такого метама-териала можно эффективно перестраивать путем изменения температуры воды, механической деформации эластичных микрорезервуаров и перетекания воды при изменении ориентации метаматериала в гравитационном поле земли.
Апробация результатов и публикации
По теме диссертации опубликовано 10 работ, в том числе 5 статей в рецензируемых научных журналах и 5 работ в трудах конференций.
Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры общей физики ННГУ, а также на следующих конференциях:
The 7th International Congress on Advanced Electromagnetic Materials in Microwaves and Optics (Metamaterials 2013), Bordeaux, France, June 16-21, 2013;
The International Conference on Coherent and Nonlinear Optics / Lasers, Applications, and Technologies (ICONO/LAT), Moscow, Russia, June 18-22, 2013;
The 8th International Congress on Advanced Electromagnetic Materials in Microwaves and Optics (Metamaterials 2014), Copenhagen, Denmark, August 25-30, 2014;
The 16th International Conference Laser Optics 2014 (LO 2014), Saint-Petersburg, Russia, June 30 - July 4, 2014;
Форум молодых ученых Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, Нижний Новгород, 16-18 сентября 2013 г.;
XVII, XVIII и XIX научные конференции по радиофизике, ННГУ, 2013, 2014, 2015.
Личный вклад автора
Постановка задач и анализ полученных результатов в главах 1 и 2 проводились совместно с научным руководителем Бакуновым М.И. и Масло-вым А.В. Численные расчеты в главах 1 и 2 проводились совместно с Мас-ловым А.В. Постановка задач и анализ результатов в главах 3 и 4 проводились совместно с Лавриненко А.В. Численные расчеты в главах 3 и 4 проводились совместно с Андриевским А.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы и списка публикаций по диссертации. Общий объем диссертации составляет 109 страниц, включая 42 рисунка, список литературы из 73 наименований на 9 страницах и список публикаций по диссертации из 10 наименований на 2 страницах.
Метод расчета отклика планарного диэлектрического кольца на внешнее магнитное поле
В работе [11] для исследования магнитного отклика кольца из тонкого "диэлектрического провода"был использован подход, основанный на моделировании кольца эквивалентной электрической цепью с сосредоточенными параметрами - индуктивностью L, емкостью С и сопротивлением R. В случае рассматриваемых нами планарных колец такой подход, строго говоря, применим только для узких колец - с шириной А = 0-2 а 1 малой по сравнению со средним радиусом а = (а\ + a jl: А С а, когда распределение тока по сечению кольца можно считать практически однородным. Тем не менее, для того, чтобы установить область применимости LCR-модели к описанию планарных диэлектрических колец, мы введем такую модель для кольца с произвольным соотношением А и а и сравним результаты расчета магнитного отклика кольца с помощью LCR-модели и на основе решения уравнения (1.8).
Итак, считая распределение тока по сечению кольца однородным, введем полный ток / в кольце как / = jA. Домножим материальное уравнение (1-3) на А, выразим в этом уравнении поле Е через ток / и индуктивность кольца L с помощью закона Фарадея 2тгаЕ = —iuoLI, а поле Eext запишем через электродвижущую силу $: 2тгаЕехі = . Считая также, что -1 єиє = є — іє", приводим уравнение (1-3) к виду закона Ома IZ = с импедансом Z = iuL + (iuC + R-1)-1 (1.9) и параметрами „ є0є А 2тга , С = —п , R= 777ПГ- (1.10) Импедансу (1.9) соответствует контур, состоящий из индуктивности L и параллельно соединенных емкости С и сопротивления Л, в который включена электродвижущая сила $ (рис. 1.3). Для индуктивности планарного кольца будем использовать формулу [49, 50]
В рамках введенной выше сосредоточенной модели ток в кольце находится по формуле шС — i/R . .. UJQ — 1 — icuL/R Найденный ток определяет магнитный момент кольца m = Ітга , который ниже будем сравнивать с результатом расчета на основе уравнения (1.8). Частота свободных колебаний в контуре UJLCR может быть найдена путем приравнивания к нулю знаменателя формулы (1.13) и при є" С є равна
Уравнение (1-15) соответствует задаче на собственные значения и собственные функции интегрального оператора, стоящего в левой части этого уравнения. Определяемый уравнением (1.15) набор собственных чисел {5п} и собственных функций для плотности поверхностного тока {fn(p)}, где п = 1, 2, 3,..., зависит только от геометрического параметра - отношения 2i/ 22 Уравнение (1.15) имеет такой же вид, как и полученное ранее для металлических колец [25]. Отсюда следует, что собственные значения {5п} и собственные функции {fn(p)} одинаковы для металлических и диэлектрических колец. Однако из-за разных выражений для параметра 5 (ср. (1.16) с формулой (11) в работе [25]) временная динамика собственных мод тока в этих двух случаях существенно различна: собственные моды диэлектрического кольца осциллируют во времени, а не экспоненциально затухают, как моды металлического кольца. Действительно, из формулы (1.16) вытекает следующее выражение для частот иоп собственных мод:
Таким образом, в отличие от металлического кольца диэлектрическое кольцо ведет себя как многочастотный резонатор, а не как диссипативная система. Электромагнитная энергия в таком резонаторе осциллирует между магнитным полем и электрической поляризацией. Электрический размер кольца на частоте ujn, которой соответствует длина волны Хп = 2тгс/Ие оип, определяется формулой
На рис. 1.4а приведены зависимости собственных чисел 5п для трех первых мод (п = 1,2,3) от отношения 2i/ 22 (см. также [25]). На рис. 1.46 показаны зависимости электрического размера кольца на соответствующих частотах сип от 2i/ 22 при /а,2 = О,1 и є = 100 — і. На рис. 1.4в приведены реальные части собственных частот Re иоп как функции a\/а для кольца с є = 100 — і, 22 = 30 мкм и = 3 мкм. Мнимые части частот Im иоп (декременты мод) зависят от a\/(i2 так же, как и Re х п, но при этом, согласно (1.18), в 2є /є" 200 раз меньше по величине. Размеры кольца выбраны здесь такими, чтобы собственные частоты попали в терагерцовый диапазон. Значение диэлектрической проницаемости є = 100 — і типично для используемых на терагерцовых частотах диэлектриков с высокой диэлектрической проницаемостью, например, диоксида титана ТіС [14].
Как видно из рис. 1.4а,б, широкие кольца (с малым отношением a\/а ) обеспечивают большие значения 5п и, в соответствии с (1.19), меньшие значения электрического размера. В то же время, уменьшение a\/(i2 ниже 0,5 уже незначительно сказывается на электрическом размере, особенно для основной моды с п = 1. Как следует из (1.19), минимальный (при a\/(i2 = 0) электрический размер для моды с п = 1 равен
Дальнейшее уменьшение электрического размера 2Й2/АІ (и аналогично 2(і2/\п] может быть достигнуто путем увеличения толщины кольца . Это следует из формул (1.19) и (1.20), которые хотя и применимы, строго говоря, только к тонким кольцам с (І2, но указывают на тенденцию уменьшения электрического размера с увеличением i/а - Исходя из этого, можно ожидать, что минимальный электрический размер достигается для толстых колец с а (для еще более толстых колец с (І2 электрический размер /Хп будет доминировать над 2(i2/\n)- Однако для количественного описания толстых колец требуется более общая теория, не основанная на приближении планарности кольца.
Собственные частоты Re иоп зависят от (ii/(i2 так же, как и соответствующий электрический размер, см. рис. 1.4в. На практике зависимость Re иоп от a\/(i2 может быть использована для тонкой настройки резонансов кольца наряду с более грубой настройкой с помощью изменения внешнего радиуса кольца 22- Расходимость Re иоп при а\/а2 — 1 можно физически объяснить стремлением к нулю емкости кольца, см.(1.10).
Интересно, что LCR-модель удивительно хорошо описывает зависимость частоты основной моды ио\ от а\/й2 в довольно широком интервале 0,3 о 1 /о 2 15 см- Рис- 1-4в. Эта модель, однако, совершенно не учитывает существование высших мод.
Магнитные резонансы диэлектрического кольца произвольной толщины
В отличие от рассмотренного в п. 1.1 случая чисто диэлектрического кольца вихревое (азимутальное) электрическое поле (1.1), индуцируемое переменным магнитным полем Bext(), возбуждает как ток поляризации в диэлектрике, так и ток проводимости в графене. В силу планарности (тонкости) диэлектрического кольца, как и в п. 1.1, будем пренебрегать неоднородностью индуцированного в диэлектрике тока вдоль оси z и использовать поверхностную плотность тока jd, связанную с полем Eext и самосогласованным полем Е материальным уравнением типа (1.3):
В уравнениях (1.32), (1.33) энергия Ферми является, вообще говоря, переменным параметром. На практике ее можно изменять, например, путем приложения напряжения смещения между слоем графена и дополнительным электродом. В нашем рассмотрении наличие такого электрода не учитывается, что вполне оправдано для некоторых экспериментальных конфигураций, где влияние электрода на свойства резонатора можно считать малым. Одна из таких конфигураций, подобная, например, описанной в работе [52], включает электрод в виде металлического диска, размещенный коаксиально над графен-диэлектрическим кольцом и отделенный от графена буферным диэлектрическим слоем. В отличие от работы [52], где металлический электрод имеет большие размеры, можно использовать металлический диск с радиусом, меньшим радиуса графен-диэлектрического кольца. Омические потери в диске будут незначительны в силу малости азимутального электрического поля вблизи оси резонатора. Хотя неоднородность электростатического поля между диском малого размера и графеном будет приводить к радиальной зависимости энергии Ферми в графене, это, однако, не должно качественно повлиять на результаты нашего рассмотрения, полученные в предположении пространственно однородной энергии Ферми. В другой возможной конфигурации в качестве электрода может быть использован слой легированного р-полупроводника. В случае тяжелых дырок их ток будет мал по сравнению с током в графене. Еще одна возможная конфигурация основана на размещении двух слоев графена на обеих сторонах планарного диэлектрического кольца и приложении напряжения смещения между этими слоями. Для описания такого управляемого резонатора можно применить тот же подход, что и для кольца с одним слоем графена, следует лишь удвоить проводимость в формуле (1.32).
Поскольку токи в планарном диэлектрическом кольце и графеновом покрытии пространственно практически совпадают, введем поверхностную плотность полного тока Применяя далее подход, развитый в п. 1.1.1, приходим к интегральному уравнению для амплитуды js(p) плотности тока js = Lpojs(p)etojt:
Данное уравнение обобщает полученное в п. 1.1.1 уравнение (1.8) на случай планарного композитного кольца. Для решения уравнения (1.36) применим тот же подход, что в п. 1.1, а именно, найдем сначала собственные моды композитного кольца как решения уравнения (1.36) в отсутствие внешнего магнитного поля (при нулевой правой части), затем представим индуцированный внешним магнитным полем ток в виде ряда по собственным модам кольца и найдем коэффициенты этого ряда.
В отсутствие внешнего магнитного поля (Во = 0) уравнение (1.36) сводится к тому же уравнению (1.15), что было рассмотрено в п. 1.1.3, но с другим выражением для безразмерного параметра 5:
Поскольку материальные параметры кольца входят в уравнение (1.15) только через параметр 5, то собственные числа {5п} и собственные функции {fn(p)} этого уравнения не зависят от материала кольца и определяются только геометрическим параметром 2i/ 22- Иными словами, собственные значения {5п} и собственные функции {fn(p)}i найденные в п. 1.1.3 для диэлектрических колец (см. рис. 1.4а, 1.5 и 1.6а) и ранее для металлических колец [25], являются универсальными для металлических, диэлектрических и композитных графен-диэлектрических колец (так, например, 5\ = 1,8455, = 0,60761, 53 = 0, 35122 при a\/(i2 = 0, 6). Однако в каждом из этих случаев собственные частоты иоп по-разному выражаются через значения 5п. В рассматриваемом случае графен-диэлектрического кольца из формул (1-37) и (1.32) следует кубическое уравнение для собственных частот
В случае чисто графенового кольца { — 0) уравнение (1.38) имеет единственное конечное решение которое описывает затухающие моды, аналогично случаю металлического кольца [25]. Рассмотрим осцилляторные режимы, соответствующие основной моде (п = 1) композитного графен-диэлектрического кольца, при различных значениях размера 22- Из трех корней уравнения (1.38) один имеет отрицательную реальную часть (равную —Re Qn при Ef = 0). Поскольку омические потери в диэлектрике пропорциональны —Re ш Im є и Im є выбрана отрицательной, то данный корень соответствует отрицательным потерям и, следовательно, должен быть отброшен. Действительные и мнимые части двух других корней uji показаны на рис. 1.13 как функции энергии Ферми Ef.
Кривые для ш\ начинаются с частоты f i, соответствующей чисто диэлектрическому кольцу (ее значение зависит ота ; см. (1.39)). С увеличением Ef начинает сказываться вклад графена. Чтобы объяснить ход кривых на рис. 1.13, построим отношение комплексной проводимости графена, см. формулу (1.32), к величине чисто мнимой проводимости диэлектрика = ІООЄоЄІ с є = 100 (пренебрегаем малой мнимой частью є) и = 0,1 22 как функцию Ef на двух частотах, соответствующих значениям f i при двух радиусах а -На обеих частотах влияние графена можно считать малым, пока Ef 0,2 эВ. С увеличением Ef выше 0,2 эВ проводимость графена становится срав а2=0.2 мм
Собственные частоты ш1(1 , соответствующие собственному числу #1, как функции Ef для несколвких значений а2 и a1/а2 = 0, 6, /а,2 = 0,1, є = 100 — і нимой с проводимостью диэлектрика, а затем и превышает ее. На большей частоте 0,197 ТГц действительная и мнимая части а сравнимы по величине. На меньшей частоте 0,0197 ТГц Im а мала по сравнению с Re т, т.е. графен ведет себя как металл.
Исследование области применимости двойного дипольного приближения
В данной главе рассматривается отклик метаповерхности в виде бесконечной двумерной квадратной решетки кольцевых метаатомов из материала с высокой диэлектрической проницаемостью, а также тонкослойного метаматериала, состоящего из нескольких таких метаповерхностей, на нормально падающую электромагнитную волну. Чтобы обеспечить резонансное взаимодействие кольцевых метаатомов с магнитным полем волны, оси аксиальной симметрии колец предполагаются ориентированными вдоль магнитного поля волны и, следовательно, вдоль метаповерхности. Основная цель рассмотрения - исследование области применимости двойного дипольного приближения, в рамках которого метаатом представляют в виде суперпозиции электрического и магнитного точечных диполей. Применимость данного приближения к диэлектрическим метаматериалам является в настоящее время предметом дискуссии в литературе. Это связано, в частности, с тем обстоятельством, что при использовании диэлектриков с высокой диэлектрической проницаемостью длина электромагнитной волны в диэлектрике может оказаться меньше размера метаатома. При этом электрическое и магнитное поля могут испытывать сильные вариации на масштабе метаатома. С целью проверки двойного дипольного приближения результаты, полученные в рамках этого приближения, будут сопоставлены с результатами прямого численного моделирования с помощью пакета CST Microwave Studio [47]. При анализе геометрические параметры кольцевых метаатомов и длина падающей электромагнитной волны будут отнормированы на период решетки, что обеспечит применимость результатов анализа к различным частотным диапазонам.
Для исследования области применимости двойного дипольного приближения к описанию диэлектрических метаматериалов применим два различных подхода. В первом подходе будем рассматривать нормальное падение плоской электромагнитной волны на метаповерхность, представляющую собой двумерную решетку диэлектрических метаатомов, например, диэлектрических колец. Метаатомы заменим совокупностью точечных электрического и магнитного диполей с некоторыми (неизвестными) значениями электрической поляризуемости и магнитной восприимчивости. Рассматривая процесс отражения падающей волны от метаповерхности как переизлучение волны индуцированными диполями (с учетом взаимного влияния диполей друг на друга), можно связать электрическую поляризуемость и магнитную восприимчивость метаатома с коэффициентами отражения и прохождения волны. Моделируя далее отражение волнового пакета от решетки диэлектрических метаатомов с помощью пакета CST Microwave Studio [47], находим коэффициенты отражения и прохождения, а по ним, используя полученные ранее формулы, рассчитываем частотные зависимости электрической поляризуемости и магнитной восприимчивости метаатома. Естественно ожидать, что при увеличении периода решетки (и фиксированном размере метаатома) ре зонансные частоты и высоты резонансных пиков полученных зависимостей должны стремиться к значениям, соответствующим решетке точечных диполей. Соотношения размера метаатома и периода решетки, при которых будет наблюдаться сходимость, и определят область применимости приближения точечных диполей.
Во втором подходе будем рассматривать тонкослойный метаматериал, состоящий из нескольких параллельных метаповерхностей. Используя найденные в рамках первого подхода значения электрической поляризуемости и магнитной восприимчивости метаатомов, рассчитаем коэффициент отражения плоской волны при нормальном падении на такой метаматериал. Сравнивая далее этот коэффициент отражения с результатом численного моделирования отражения волны с помощью пакета CST Microwave Studio [47] при различном количестве метаповерхностей и различном размере метаатомов, можно определить область параметров, где работает приближение точечных диполей.
Рис. 3.1. а) Метаповерхность в виде решетки диэлектрических колец, облучаемая по нормали плоской волной, б,в) Распределение электрического поля в среднем сечении кольца для дипольной магнитной (б) и дипольной электрической (в) мод. Для реализации первой методики рассмотрим метаповерхность, представляющую собой бесконечную (в направлениях ж, у) квадратную (с периодом d) решетку из диэлектрических колец с внутренним и внешним радиусами ai;2 и толщиной = 0,2 i (см. рис. 3.1). Диэлектрическую проницаемость материала колец будем считать равной є = 100 — і. На решетку вдоль оси z нормально падает плоская монохроматическая волна, электрическое поле которой направлено вдоль оси х, а магнитное - вдоль оси у. Введем электрическую поляризуемость ае и магнитную восприимчивость ат колец, которые связывают индуцированные в кольцах электрический р = Хор и магнитный m = уогп дипольные моменты с полями падающей волны (Ео = Xoi?o5 Но = уоНо), а также полями всех остальных диполей: а& = p-ikd/(2ReY ат = (3 + ikd/{2Rm) Далее путем численного моделирования падения плоской волны на метапо-верхность находим коэффициенты отражения (R) и прохождения (Т) волны, по ним, используя формулы (3.4), рассчитываем коэффициенты Re и Лто, подстановка которых в выражения (3.6) дает значения (хе т.
Данный подход очень удобен с вычислительной точки зрения, так как в нем необходимо моделирование фактически лишь одной элементарной ячейки метаповерхности: использование периодических граничных условий повзо-ляет воспроизвести бесконечную метаповерхность. Подход применим и к ме-таатомам со спектрально перекрывающимися электрическим и магнитным резонансами, как, например, в [64, 65], но при условии, что отсуствует магнитно-электрическое взаимодействие.
Механическое управление
Нагрев воды в метаатомах может происходить и в результате поглощения самого падающего микроволнового излучения. Это, очевидно, должно приводить к нелинейным режимам взаимодействия излучения с водяной метапо-верхностью, при которых коэффициенты пропускания и поглощения зависят от падающей мощности. Рассмотрим слой микрорезервуаров с водой, покры тый с обеих сторон теплоизолятором, например, стекловатой (рис. 4.4а). На частотах вблизи магнитного резонанса коэффициент поглощения сильно зависит от температуры воды ater, достигая максимального значения 0,5 при ater = 20С на частоте = 0, 76 ГГц (рис. 4.46). Отметим, что = 0, 5 является теоретически максимально достижимым значением коэффициента поглощения метаповерхности с симметричным диэлектрическим окружением при нормальном падении плоской волны [68].
Чтобы получить зависимость коэффициента прохождения от падающей мощности, рассмотрим уравнение баланса мощности o(ater) = (ater), где Q - интенсивность падающего излучения и (ater) - поток рассеиваемого тепла. Тепло проходит через слои теплоизолятора и рассеивается из-за конвекции. Для облегчения расчета заменим сферические метаатомы плоским слоем с температурой ater и толщиной, равной диаметру сфер. В стационарном режиме поток рассеянной мощности выражается как где коэффициент 2 учитывает рассеяние тепла в две стороны от слоя, - толщина слоя изоляции, - коэффициент теплопроводности изолятора Hnsuiator - температура внешней поверхности изолятора. Считаем, что слои стекловаты имеют толщину 30 см и в выбранном диапазоне температур коэффициент является постоянным и равным 0,04 Вт/(К-м) [69].
Решая уравнение баланса, приходим к зависимости температуры воды ater(o) и затем коэффициента прохождения по мощности (о) от интенсивности падающего излучения. Полученная зависимость (о) показана на рис. 4.4в. На частоте 0,76 ГГц пропускание растет от 0,21 до 0,93 в диапазоне интенсивностей от 0 до 300 Вт/м , в то же время на частоте 0,79 ГГц Т сначала падает от 0,36 до 0,1, а затем возрастает до 0,84. Некоторые кривые заканчиваются до 300 Вт/м , так как вода достигает температуры кипения. Дальнейшее нагревание возможно, однако, это требует достаточной прочности резервуаров, чтобы выдержать давление пара. 100 200 300
а) Метаатом, окруженный теплоизолятором (30 см стекловаты), падающее излучение частично поглощается метаатомом. б) Коэффициент поглощения как функция температуры воды, в) Коэффициент прохождения по мощности как функция падающей интенсивности на указанных частотах в стационарном режиме. Для 0,79 и 0,82 ГГц точки кипения воды достигнуты при интенсивности, меньшей 300 Вт/м2. 4.3. Механическое управление
Если вода помещена в эластичный резервуар, например, резиновый воздушный шар, подвергаемый деформации, объем воды сохраняется, однако, резонансные свойства такого метаатома претерпевают значительные изменения. Рассмотрим наполненные водой эластичные сферы, зафиксированные в двух диаметрально противоположных точках на плоских подложках (рис. 4.5а). При уменьшении расстояния между подложками h и сжатии сфер, они приобретают форму цилиндров с тороидальными краями. При растяжении форму сфер можно аппроксимировать эллипсоидами.
На рис. 4.5 приведены частотные зависимости коэффициента прохождения, магнитной восприимчивости и электрической поляризуемости метаато-мов. С увеличением расстояния h резонансные частоты растут. При изменении h от 1,1 см (максимальное сжатие) до 7,5 см (максимальное растяжение) частота магнитного резонанса растет от 0,68 ГГц до 0,86 ГГц (рис. 4.5в), при этом частоты электрического резонанса растут от 0,83 ГГц до 1,29 ГГц (рис. 4.5г). Наибольшим электромагнитным откликом обладает метаматери-ал, состоящий из сжатых сфер.
Известно, что вода принимает форму резервуара таким образом, чтобы ее потенциальная энергия стала минимальной. Благодаря этому в однородном гравитационном поле земли поверхность воды является плоскостью, перпендикулярной силе тяжести. Данное обстоятельство может быть использовано для реализации еще одного способа управления водяным метаматериалом. Рассмотрим элементарную ячейку, состоящую из двух соединенных резервуаров разной формы, но одинакового объема, например, сферы радиусом 2,16 Частота(ГГц) Частота(ГГц) Частота(ГГц) а) Упругая деформация микрорезервуара с водой, закрепленного в двух диаметрально противоположных точках на движущихся плоских рамах, б) Спектр прохождения, в) магнитная восприимчивость и г) электрическая поляризуемость для метаатомов, подвергнутых разным деформациям вдоль направления поля Н (реальная и мнимая части показаны сплошной и штриховой линиями соответственно). ІпшЄ;ГП изображены с обратным знаком, графики сдвинуты по вертикали для удобства. см и параллелепипеда с размерами 7, 0 х 7, 0 х 0, 86 см3. Пусть вначале только сфера заполнена водой, тогда электромагнитная волна взаимодействует с ме-таматериалом как с решеткой водяных сфер, что приводит к появлению двух пиков в спектре прохождения (рис. 4.6а, случай 1). Переворот резервуаров в поле тяжести (рис. 4.6а, случай 2), например, путем поворота метаповерх-ности вокруг ее нормали на 180, приведет к перетеканию воды в плоский резервуар. В результате коэффициент пропускания метаповерхности станет практически равным единице без каких-либо резонансных провалов. 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3
Вместо двух резервуаров разной формы (режим переключения) можно использовать один частично наполненный водой резервуар с некоторой степенью асимметрии, например, эллиптический цилиндр. При его повороте вода перераспределяется и форма водяного метаатома меняется, приводя к изменению его резонансных свойств (режим перестройки). В качестве конкретного примера рассмотрим эллиптический цилиндр с большей осью 7,5 см, мень шей осью 3,75 см и толщиной 1,91 см, наполовину заполненный водой и вращающийся вокруг направления магнитного поля (рис. 4.66). При повороте резервуара на 90 пик в спектре прохождения, соответствующий магнитному резонансу, смещается от 1,25 ГГц до 0,97 ГГц. Смещение электрического пика является немонотонным. Любой угол поворота, кроме 0 и 90 делает метаатом асимметричным относительно направления распространения волны и метаматериал становится бианизотропным [72]. Поэтому электрической поляризуемости и магнитной восприимчивости становится недостаточно для описания свойств метаматериала и необходимо учитывать магнитоэлектрическое взаимодействие.