Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Излучение пучка заряженных частиц в присутствии планарных периодических структур из тонких параллельных проводников 14
1.1. Модель планарной периодической структуры из тонких параллельных проводников и метод усреднённых граничных условий 14
1.2. Излучение пучка заряженных частиц, пролетающего вдоль бесконечной сетки из параллельных проводов
1.2.1. Общее решение 17
1.2.2. Асимптотическое исследование поля 20
1.2.3. Поверхностные волны 23
1.2.4. Потери энергии на излучение 27
1.3. Излучение пучка заряженных частиц, движущегося вдоль края полубесконечной плоской сетки из проводов 30
1.3.1. Общее решение 30
1.3.2. Асимптотическое исследование поля 35
1.3.3. Поверхностная волна для произвольного пучка, движущегося «ниже» ребра 38
1.3.4. Поверхностные волны для произвольного пучка, движущегося «выше» ребра 40
1.3.5. Поверхностные волны от «прямоугольного» пучка 43
1.4. Излучение пучка заряженных частиц, пролетающего сквозь бесконечную планарную сетку из проводов перпендикулярно её поверхности 47
1.4.1. Общее решение 47
1.4.2. Объёмное излучение 49
1.4.3. Поверхностные волны 54
1.5. Излучение пучка заряженных частиц, пролетающего мимо края полубесконечной сетки из проводов 58
1.5.1. Общее решение 58
1.5.2. Объёмное излучение 61
1.5.3. Поверхностная волна 65
Выводы 68
Глава 2. Излучение пучка заряженных частиц, движущегося в присутствии проволочного метаматериала 70
2.1. Свойства проволочного метаматериала 70
2.2. Излучение пучка заряженных частиц, движущегося перпендикулярно проводам в бесконечном метаматериале
2.2.1. Общие выражения для компонент поля 73
2.2.2. Квазистатическая часть поля 78
2.2.3. Волновое поле точечного заряда 81
2.2.4. Волновое поле пучков заряженных частиц 85
2.2.5. Потери энергии на излучение 90
2.3. Поле пучка заряженных частиц, движущегося вдоль границы проволочного метаматериала 93
2.3.1. Решение задачи о поле тонкого пучка 93
2.3.2. Анализ волнового поля 98
2.3.3. Волновое поле точечного заряда в случае движения вблизи границы 103
2.3.4. Волновое поле «прямоугольного» пучка заряженных частиц 105
2.3.5. Потери энергии на излучение точечного заряда 109
Выводы 114
Заключение 115
Список литературы 117
- Излучение пучка заряженных частиц, движущегося вдоль края полубесконечной плоской сетки из проводов
- Излучение пучка заряженных частиц, пролетающего мимо края полубесконечной сетки из проводов
- Общие выражения для компонент поля
- Волновое поле «прямоугольного» пучка заряженных частиц
Излучение пучка заряженных частиц, движущегося вдоль края полубесконечной плоской сетки из проводов
Проанализируем особенности, которые имеет подынтегральное выражение в (1.2.19) на комплексной плоскости кх. Радикал ку0 образует две точки ветвления кх =±ік0а0 =±/ша0/с, где а0= /і-р2/р. (1.2.20) Учитывая, что на вещественной оси обязательно 1тку0 0, целесообразно распространить это требование и на всю комплексную плоскость. Это означает, что разрезы проводятся там, где 1тА;0=0, то есть они совпадают с частями мнимой оси, идущими на бесконечность от соответствующих точек ветвления (сплошные красные линии на Рис. 1.З.). Тогда на всем «верхнем» листе Римановой поверхности мнимая часть радикала будет больше нуля, в соответствии с правилом фиксации.
Другими особенностями подынтегрального выражения (1.2.19) являются полюса кх=±кхр (нули квадратной скобки в знаменателе (1.2.19)), которые в случае малости поглощения в проводах (5 «с р + к), можно найти при помощи метода последовательных приближений: кхр =к0 +і5к +о(52), (1.2.21) где $= о/(Э + к). Таким образом, эти полюса находятся вблизи точек кх=±к0. Они смещены с вещественной оси так, как показано на Рис. 1.3. Это смещение определяет обход особенностей контуром интегрирования в случае, если поглощение в проводах отсутствует. Заметим, что аналогичное взаимное расположение контура интегрирования и полюсов можно получить, даже если изначально положить 8 = 0, однако учитывать исчезающе малое поглощение в вакууме ( У\ = 1 + Ю sgn ш ).
Иные особенности, помимо двух точек ветвления ±ік0а0 и двух полюсов +кхр, на комплексной плоскости кх в подынтегральном выражении (1.2.19) отсутствуют.
Расположение особенностей подынтегрального выражения для вектора Герца наведённого поля на комплексной плоскости кх. Красными сплошными линиями обозначены разрезы, выходящие из точек ветвления кх = ±ік0а0, зелёная штрихованная линия показывает прохождение исходного контура интегрирования. Римскими цифрами обозначены номера квадрантов комплексной плоскости. Проведём приближенный аналитический расчёт интеграла (1.2.19) в волновой зоне k0Rt »1 (Rt= х2 +(\y\ + b0f ). Для удобства произведём замену переменной интегрирования с помощью гиперболического синуса kx=k0a0shx, (1.2.22) что позволяет избавиться от точек ветвления. Обозначим функцию, стоящую в фазе экспоненты подынтегрального выражения (1.2.19), как k0Rt\\j(x), тогда интеграл (1.2.19) в новых обозначениях принимает вид полосу -7r/2 Imx V2 на комплексной плоскости х. При этом квадранты комплексной плоскости кх перейдут в участки комплексной плоскости х так, как обозначено на Рис. 1.4. Контур интегрирования в новых координатах будет проходить по вещественной оси % (Рис. 1.4). Точки ветвления кх=±гк0а0 перейдут в точки % = ±іті/2, которые уже не будут являться точками ветвления на плоскости % . Полюса кх = +к перейдут в полюса х = ±Х»
Расположение особенностей подынтегрального выражения для вектора Герца наведённого поля, исходного контура интегрирования и контура наискорейшего спуска Гсж на комплексной плоскости %. Римскими цифрами указано соответствие участков комплексной плоскости % квадрантам на комплексной плоскости кх. Для оценки значения интеграла в дальней зоне воспользуемся методом перевала. Роль большого параметра будет играть k0Rt, а функция определяет вид контура наискорейшего спуска. Стационарная точка %s определяется из уравнения дці/дх = 0 :
Очевидно, что Rexs = 0 и значение этой точки меняется в пределах (—/л/2;/л/2). Отметим, что в исходных декартовых координатах, выражение для стационарной точки имеет вид kxs=ik0a0x/Rt. Контур наискорейшего спуска проходит через стационарную точку %s и удовлетворяет следующим условиям:
В случае когда х 0, подынтегральное выражение (1.2.23) убывает в областях I и II (см. Рис. 1.4). Таким образом, мы можем трансформировать исходный контур интегрирования к контуру наискорейшего спуска Гсж в области регулярности подынтегрального выражения. Единственной особенностью подынтегрального выражения в областях I и II является полюс Х = ХР, вклад которого необходимо учесть при трансформации, если Imx Imx ,.
Как видно из выражения (1.2.29), вклад седловой точки в волновой зоне экспоненциально убывает с увеличением расстояния от сетки в плоскости, перпендикулярной траектории движения. Отсюда следует, что объёмное излучение в рассматриваемой задаче отсутствует.
Как было отмечено выше, при трансформации исходного контура интегрирования к контуру наискорейшего спуска TCSD необходимо учесть вклад полюса (Рис. 1.4.), который выделяется, если Вернёмся к декартовой системе координат и рассмотрим вклады полюсов кх = +к в наведённое поле (1.2.19). Из проведённого анализа следует, что вклад в волновой зоне эти полюса будут давать, если выполняется условие (1.2.30). Пренебрежём поглощением в вакууме (тіу —»1) и будем считать, что проводимость проводов велика (5 кр + к), тогда можно использовать выражение (1.2.21) для полюсов. Область, где полюса дают вклад, определяется неравенством \х\ х , где х задаётся выражением захвата полюсов при трансформации контура интегрирования в контур наибыстрейшего спуска выполняется. Геометрический смысл неравенства (1.2.30) легко понять в ультрарелятивистском пределе (р - 1, а0 - 0). В этом случае обратный гиперболический синус можно разложить в ряд, и выражение для хр представить в виде
Тогда поверхностная волна будет давать вклад в тех точках наблюдения (в волновой зоне), для которых угол а (см. Рис. 1.5) больше величины б/(р + к). Отметим, что, если поглощение в проводах отсутствует (8 = 0), то хр = 0 (при любой скорости), то есть вклад полюсов имеется везде.
Излучение пучка заряженных частиц, пролетающего мимо края полубесконечной сетки из проводов
Угловое распределение спектральной плотности излучённой энергии (1.4.26) симметричны относительно плоскости XY. На Рис. 1.19 приведены зависимости полной спектрально-угловой плотности излучённой энергии wva в зависимости от углов Є и ф при разных скоростях пучка Р для случая проводов с конечной проводимостью. В этом случае отсутствует излучение как в направлении движения заряда (9 = 0), так и в направлении проводов (0 = 90).
Отметим, что, если проводники обладают идеальной проводимостью (8 = 0), то угол максимума излучения можно найти аналитически. Азимутальный угол максимума излучения всегда фтах = 0, второй угол 9 направления максимума излучения зависит от параметров сетки и скорости пучка.
Если к2 1/3, то функция wvm (0,0) имеет единственный максимум Если к2 1/3, то возникает три случая. В диапазоне значений р 4к/\/2 + 18к2 имеется единственный максимум в направлении проводов (9 = тг/2). В диапазоне значений также один максимум в направлении м (9,0) . Численные результаты расчёта полной спектрально-угловой плотности объёмного излучения в плоскости ср = 0 представлены на Рис. 1.20. Из приведённых графиков видно, что при разных значениях скорости пучка положение максимума смещается от 9 = 7г/2 до 9 = emx (р,к) . Также наблюдается область с двумя максимума и одним минимумом, в которых значение функции очень близко. В результате этого достигается широкая диаграмма направленности излучения.
В случае, когда сетка представляет собой поверхность, идеально проводящую в одном направлении, полная спектрально-угловая плотность объёмного излучения в плоскости ср = 0 совпадает с переходным излучением заряда, проходящего сквозь идеальный металлический экран [68]. Направление максимума излучения и спектрально-угловая плотность в этом направлении имеют следующий вид:
Полная спектрально-угловая плотность объёмного излучения wvm для различных значений параметров 9, ср и Р. Плотность энергии нормирована на величину 4fj с; параметры сетки: а = 10мм, г0 =1мм (к«0.55, красная сплошная линия), г0 = 0.1 мм ( к 1.01, синяя пунктирная линия), г0 = 0.01 мм ( к 1.01, зелёная штрихованная линия), проводимость ае = 5.8х107См/м. Излучение рассматривается на частоте со = к с/(5а).
Полная спектрально-угловая плотность объёмного излучения wvm для различных значений параметров 9 и р в плоскости максимума излучения ср = 0 в случае отсутствия поглощения в проводах 8 = 0. Плотность энергии нормирована на величину 4\г\\ с; параметры сетки: а = 10мм, г0 =1мм (к«0.55, красная сплошная линия), г0 = 0.1 мм ( к «1.01, синяя пунктирная линия), г0 = 0.01 мм ( к 1.01, зелёная штрихованная линия). Вклады этих полюсов, как будет показано далее, определяют поверхностные Излучение рассматривается на частоте со = ncj(5a). 1.4.3. Поверхностные волны
Наряду с вкладом стационарной точки, который определяет объёмное излучение, в интеграле (1.4.8) в случае отсутствия поглощения в проводах (8 = 0) имеются два симметричных полюса кх = +Пук . волны, бегущие вдоль проводов. Взаимное расположение обоих полюсов и контура интегрирования в комплексной плоскости задаётся введённым малым затуханием в вакууме. Зафиксировав полученное таким образом правило обхода (Рис. 1.21), устремим везде далее поглощение в вакууме к нулю
Вычисляя вклады полюсов, получим выражение для вектора Герца, описывающего поле поверхностных волн: Как видим, в выражении (1.4.33) зависимость от времени t присутствует лишь в виде разностной переменной jc-cf. Таким образом, данное поле представляет собой возмущения, разбегающиеся строго вдоль проводов со скоростью с в разные от точки влёта стороны. Иными словами, если мы перемещаем точку наблюдения по закону х -ct = const, то величины (1.4.33) не изменяются. При этом поле (1.4.33) быстро убывает с ростом расстояния от сетки \z\. Интересно рассмотреть некоторые частные случаи для конкретных профилей пучков. Самый тривиальный пример — это точечный заряд. Тогда функция профиля и соответствующий ей Фурье-образ имеют вид (1.2.40). Подставляя (1.2.40) в (1.4.33) и, производя интегрирование по частоте, получаем однократные интегралы для компонент поля поверхностных волн:
Другим наглядным примером является «прямоугольный» пучок, функция профиля и соответствующий Фурье-образ для которого имеют вид (1.2.38). После подстановки (1.2.38) в (1.4.33) также можно произвести интегрирование по частоте, в результате получаем выражения для плоской волны, порождённой «прямоугольным» пучком:
Общие выражения для компонент поля
Данное выражение конечно и положительно для любых а 0. Как видим, потери на единицу длины пути прямо пропорциональны скорости пучка, как это было и для случая движения вдоль планарной структуры из проводников (1.2.48). Это утверждение может быть обобщено на пучки с произвольным продольным распределением плотности заряда из-за того, что компонента волнового поля Ez (2.2.63) пропорциональна первой степени р .
Если мы рассмотрим очень короткие пучки, для которых со а/с —»0, то, воспользовавшись следующим членом в разложении (2.2.80) функции К0 (z), получим
Из этой формулы видно, что если источник хотя бы немного «размыт» в пространстве вдоль оси своего движения, то его полные потери энергии в рассматриваемой модельной среде становятся конечными. Формально для данной модели среды потери стремятся к бесконечности логарифмическим образом при стремлении длины пучка к нулю. Аналогичная особенность, как было отмечено, имеется в волновом поле точечного заряда.
Подчеркнём, что во всей данной работе, как и в подавляющем большинстве работ по излучению частиц в средах и структурах, предполагалось, что скорость частиц постоянна. Данное допущение может быть оправдано, к примеру, тем, что на частицы пучка, наряду с силой радиационного торможения, действует ускоряющая сила, компенсирующая потери энергии на излучение. Такая ситуация имеет место в ускорителях заряженных частиц. С другой стороны, зачастую можно считать движение пучка равномерным и в отсутствие ускоряющей силы, так как радиационное торможение оказывается невелико. Полученная оценка потерь энергии на единицу длины пути позволяет оценить степень применимости модели равномерного движения пучка в отсутствие внешних сил.
Величина F зависит от отношения длины пучка а к периоду метаматериала а (т.к. к а ). При этом с ростом отношения а/а величина F меняется слабо: в пределах от 1 до 8 для пучков, чья длина не более чем на три порядка превышает период структуры. Тогда, для нанокулонных пучков (iV 10 ) длинной 1 см, относительные потери (при F 10) не превышают величину
Можно сделать вывод, что наноулонные релятивистские пучки электронов должны пробегать, по меньшей мере, расстояние, существенно превышающее их длину, почти не испытывая радиационного торможения. А пучки с Лоренц-фактором у»1 не испытают значимых потерь энергии ни на каких разумных для метаматериальных структур дистанциях. Это тем более верно для пучков тяжёлых частиц. Тем самым, представляется вполне оправданным использование допущения о постоянстве скорости частиц пучка при расчёте его электромагнитного излучения даже в том случае, когда нет внешних сил, компенсирующих тормозящее действие излучения. Отметим также, что полученные оценки значения потери энергии примерно на порядок превышают аналогичные оценки для пучка, движущегося вдоль планарной периодической проволочной структуры (параграф 1.2.4). 2.3. Поле пучка заряженных частиц, движущегося вдоль границы проволочного метаматериала
В предыдущей главе было получено поле заряда, движущегося в безграничном проволочном метаматериале. Однако при этом сложно избежать столкновений частиц с проводниками структуры, что может привести к разрушению пучка. Поэтому логично рассмотреть электромагнитное поле пучка частиц, движущегося в вакууме вдоль границы с метаматериалом на некотором расстоянии от неё, и проанализировать, насколько изменятся при этом характеристики излучения по сравнению со случаем движения в неограниченном метаматериале. Направление движения, как и ранее, предполагается перпендикулярным проводникам.
Рассмотрим задачу о поле пучка заряженных частиц, движущегося равномерно и прямолинейно в вакууме на расстоянии а0 от плоской границы проволочного метаматериала ортогонально проводам. Ось z направлена вдоль скорости движения пучка, ось х — вдоль проводов (на границе х = 0). Метаматериал с тензором диэлектрической проницаемости (2.1.2) заполняет полупространство х 0, а область х 0 является вакуумной. Как и в предыдущих разделах, будем считать, что пучок имеет бесконечно малые поперечные размеры и произвольный продольный профиль Л (С). В этом случае, если скорость пучка V = cfiez, то плотность тока пучка определяется как
Сшивание решений уравнений Максвелла в вакууме и среде требует применения граничных условий. Стандартные граничные условия, означающие отсутствие на границе поверхностных токов (как электрических, так и «магнитных»), имеют вид (2.3.2) Как мы видели, в метаматериале могут возбуждаться волны трёх типов: обыкновенная, «необыкновенная изотропная» и «необыкновенная анизотропная». Вместе с двумя волнами разных поляризаций, которые могут отражаться от границы в вакуум, мы имеем совокупность пяти волн, которые, в принципе, могут уходить от границы раздела. Поэтому четырёх условий (2.3.2) недостаточно для получения единственного решения. Такая ситуация типична для граничных задач в случае сред, обладающих пространственной дисперсией [140]. Особенно часто подобного рода проблемы анализировались для ограниченной плазмы с пространственной дисперсией [141 - 144]. Такие задачи решались также в случае ограниченной движущейся среды, обладающей «конвективной» пространственной дисперсией [143] и в ряде других ситуаций.
Известным способом обеспечить единственность решения задачи в такой ситуации является применение так называемых «дополнительных граничных условий» (ДГУ) [140-142]. Воспользуемся дополнительным граничным условием непрерывности нормальной к границе компоненты электрического поля К\ г,=К\ п, (2.3.3) х х=-0 х x=+o которое получено для рассматриваемого проволочного метаматериала в работе [145]. На «микроскопическом» уровне это условие объяснятся практическим отсутствием тока на торцах проводов на границе раздела вследствие их малой толщины.
Будем решать задачу, представляя падающее, отражённое и проходящее поля в виде разложений по плоским волнам, то есть в виде обратных интегралов Фурье по частоте со и компонентам волнового вектора к и kz. При этом для построения физически корректного решения мы должны учитывать требование затухания уходящих от границы волн за счёт диссипации в среде. Далее мы будем рассматривать случай исчезающе малой диссипации. Установить правила фиксации корней дисперсионного уравнения позволяют выражения (2.2.19), полученные при учёте конечных потерь в среде. Как видим из них, для двух типов необыкновенных волн (названных «изотропной» и «анизотропной») следует, что
Волновое поле «прямоугольного» пучка заряженных частиц
В данной главе было проведено аналитическое и численное исследование поля пучка заряженных частиц, движущегося ортогонально проводам безграничного или полуограниченного проволочного метаматериала. Второй раздел был посвящён случаю движения внутри бесконечного метаматериала. Было показано, что пучок генерирует излучение при произвольной скорости движения. Излучение распространяется вдоль проводов со скоростью света и носит весьма специфический характер. Оно концентрируется в окрестности определённых прямых линий, исходящих из пучка и составляющих тупой угол с направлением его движения, и не убывает с увеличением расстояния от заряда вдоль этих линий (то есть является нерасходящимся). Подобный эффект связан с анизотропией и необычной (как частотной, так и пространственной) дисперсией рассматриваемой среды.
На основании аналитических результатов был построен алгоритм, позволяющий рассчитывать волновые поля разнообразных пучков частиц. Были приведены типичные численные результаты для нитевидного, дискообразного и цилиндрического пучков. Они показывают, что форма распределения волнового поля в пространстве до некоторой степени отражает форму пучка.
В третьем разделе были получены интегральные выражения для поля вытянутого пучка заряженных частиц, движущегося вдоль границы проволочного метаматериала перпендикулярно проводам. Отмечено, что волновая часть поля имеет общие черты с волновым полем заряда, движущегося в безграничной среде. Так, излучение является нерасходящимся и распространяется вдоль проводов со скоростью света. Однако имеет место и ряд отличий. В частности, для точечного заряда излучение концентрируется вблизи некоторого луча, расположенного позади пучка и выходящего из его проекции на границу раздела (а не из самого пучка, как было в случае неограниченного метаматериала). Волновое поле является асимметричным по отношению к этой линии. При движении точечного заряда строго по границе (на нулевом расстоянии от неё), волновое поле очень близко к полю в случае неограниченного метаматериала, в частности, оно имеет ту же (логарифмическую) особенность на линии, около которой концентрируется излучение.
Полученные в обеих задачах численные результаты для пространственного распределения компонент поля и плотности потока энергии от пучков частиц показывают, что генерируемое излучение может быть использовано для определения их размеров и формы.
Для обеих рассмотренных задач был проведён расчёт силы радиационного торможения (то есть потерь энергии на единицу длины пути). Было показано, что в случае движения внутри неограниченного метаматериала точечный заряд в рассмотренной модели теряет бесконечное количество энергии. Однако при учёте реалистичной длины пучка потери на единицу длины пути оказываются прямо пропорциональными скорости пучка (как и в случае движения вдоль планарной проволочной структуры). Оценки показывают, что они незначительны по сравнению с кинетической энергией типичных релятивистских пучков. В случае движения вдоль границы метаматериала потери энергии конечны даже для точечного заряда, если он движется на некотором удалении от границы. Также была рассчитана отклоняющая сила. Было показано, что она направлена к границе структуры, а в ультрарелятивистском случае вдвое превышает тормозящую силу.
В настоящей диссертации был рассмотрен ряд задач об излучении пучков заряженных частиц, движущихся с постоянной скоростью в присутствии планарных и объёмных структур из параллельных проводников с малым периодом. Главное внимание уделялось анализу высоконаправленного (нерасходящегося) излучения, генерируемого на таких структурах. Во всех ситуациях в основном рассматривались пучки с конечной диной и малым поперечным размером.
В первой главе рассматривалось поле излучения пучка при его движении в присутствии бесконечной или полубесконечной планарной системы параллельных проводников. Для описания системы использовался метод усреднённых граничных условий.
Было показано, что при движении параллельно планарной структуре поле излучения состоит только из поверхностных волн, которые распространяются вдоль проводов со скоростью света в вакууме и возбуждаются при любой скорости пучка. Пространственное распределение полей этих волн не меняется в процессе их распространения. При этом количество поверхностных волн зависит от взаимного расположения проволочной структуры и траектории пучка. Если проекция пучка на плоскость структуры попадает в область, занимаемую проводами, то возбуждаются две симметричные поверхностные волны. При наличии у сетки края одна из этих волн отражается от него, а также возбуждается ещё одна поверхностная волна, которая убывает с ростом расстояния от пучка до края. Если проекция пучка на плоскость структуры не попадает в область, занимаемую проводами, то возбуждается только последняя из упомянутых поверхностных волн. Сделанные оценки потерь энергии на излучение показывают, что обычно потери незначительны по сравнению с запасом энергии для релятивистских электронных пучков.
Проанализировано волновое поле пучка, пересекающего плоскость проводов. Оно, помимо поверхностных волн, содержит объёмную часть поля излучения. Поверхностные волны имеют схожие с предыдущим случаем свойства: они распространяется вдоль проводов со скоростью света в вакууме, являются беспороговыми по скорости пучка, а пространственное распределение их полей не меняется в процессе распространения. Если пучок пересекает бесконечную структуру, то возбуждаются две симметричные поверхностные волны. Если пучок движется мимо края полубесконечной структуры, то имеется единственная поверхностная волна, убывающая с ростром расстояния от границы до пучка. Объёмное дифракционное излучение на полубесконечной сетке отличается от переходного излучения на бесконечной сетке асимметрией диаграммы направленности относительно плоскости, ортогональной сетке, а также присутствием излучения в направлении движения пучка.
В качестве объёмной периодической структуры рассматривался так называемый проволочный метаматериал. Если расстояние между проводами такого материала мало по сравнению с характерными длинами электромагнитных волн, то его можно описывать при помощи эффективных макроэлектродинамических параметров, входящих в тензор диэлектрической проницаемости. Такая «эффективная среда» обладает частотной и пространственной дисперсией.
Проанализировано полное поле пучка заряженных частиц в том случае, если он движется в присутствии проволочного метаматериала ортогонально проводам. Оно разделяется на «квазикулоновскую» и волновую составляющие. Волновое поле представляет собой объёмное излучение, распространяющееся вдоль проводов со скоростью света в вакууме. Как и поверхностные волны на планарных структурах, поле излучения в метаматериале не изменяет своего пространственного распределения в процессе распространения. Оно может быть использовано для определения не только продольных, но и поперечных размеров пучков.
Если пучок движется вдоль границы метаматериала, то волновое поле убывает с ростом расстояния от пучка до границы. Потери на излучение превышают потери при движении вдоль планарной структуры, но, для типичных релятивистских пучков, остаются незначительными по сравнению с кинетической энергией пучка. При движении вдоль границы полубесконечного метаматериала пучок испытывает не только тормозящую, но и отклоняющую силу, причём для ультрарелятивистских зарядов последняя вдвое больше первой.
Многочисленные построенные в работе распределения компонент поля и плотности потока энергии поверхностных волн (на планарных структурах) и объёмного излучения (в проволочных метаматериалах) показывают, что эти распределения отражают размеры и, в определённой степени, форму пучков частиц. Вследствие этого они могут применяться для определения размеров и формы пучков, а также для нахождения скорости их движения.