Содержание к диссертации
Введение
1. Сложная динамика квазипериодически возбуждаемого отображения Эно 14
1.1. Введение 14
1.2. Сложная картина динамических переходов в квазипериодически возбуждаемом отображении Эно 17
1.3. Метод рациональных аппроксимаций 24
1.4. Бифуркационный механизм перехода к странному нехаотическому аттрактору через перемежаемость 30
1.5. Новый механизм "внутреннего" кризиса расширения странного нехаотического и хаотического аттракторов 36
1.6. Кризисы столкновения аттрактора с неустойчивыми орбитами, разрушающие аттрактор
1.7. Выводы 50
2. О структуре окрестности гладкой инвариантной кривой квазипериодически возбуждаемого отображения Эно 52
2.1. Введение 52
2.2. Ляпуновские векторы и двумерные многообразия в окрестности инвариантной кривой 55
2.3. Численное наблюдение фрактализации зависимостей ляпу-новских векторов от фазы внешней силы 64
2.4. Анализ рациональных аппроксимаций 70
2.5. Выводы 75
3. Процедура управления хаосом в квазиперио-дически возбуждаемых системах 77
3.1. Введение 77
3.2. Стабилизация неустойчивой инвариантной кривой отображения 79
3.3. Управление хаосом в бигармонически возбуждаемом осцилляторе Дуффинга 84
3.4. Выводы 88
4. Универсальность и скейлинг в отображении окружности с периодическим внешним воз действием 89
4.1. Введение 89
4.2. Динамика фазы на двумерном торе и автономное отображение окружности 90
4.3. Автогенератор под импульсным воздействием и периодически возбуждаемое отображение окружности 97
4.4. РГ анализ критической точки GM 100
4.5. Типы скейлинга в отображении окружности в присутствии внешнего воздействия 107
4.6. Выводы 112
5. Влияние расстройки параметров и шума на режимы слабой хаотической синхронизации 115
5.1. Введение 115
5.2. Параметрическая чувствительность слабо устойчивого СХА 118
5.3. Характеристики режима "пузырения" слабо устойчивого СХА и хаотического переходного процесса 132
5.4. Шумовая чувствительность слабо устойчивого СХА 135
5.5. Характеризация среднего интервала между всплесками и среднего времени жизни хаотического переходного процесса 147
5.6. Скейлинг локальных ляпуновских показателей 151
5.7. Показатели параметрической и шумовой чувствительности и модель ограниченного случайного блуждания 155
5.8. Выводы 164
Заключение 167
Литература 171
- Сложная картина динамических переходов в квазипериодически возбуждаемом отображении Эно
- Ляпуновские векторы и двумерные многообразия в окрестности инвариантной кривой
- Стабилизация неустойчивой инвариантной кривой отображения
- Динамика фазы на двумерном торе и автономное отображение окружности
Введение к работе
Актуальность темы. Одной из важных проблем современной радио
физики и теории колебаний является исследование сложных динамических
режимов и механизмов переходов между ними в нелинейных системах [1-
13]. Актуальность этой проблемы обусловлена, в частности, необходимо
му стью создания перестраиваемых автогенераторов, способных функциони
ровать в различных режимах периодических, квазипериодических и
^ хаотических автоколебаний, разработкой систем коммуникации на основе
сложной и хаотической динамики. В этом контексте большой интерес
представляет исследование неавтономного поведения систем под внешним
воздействием и связанных систем, поскольку они, как известно, демонст
рируют весьма разнообразное динамическое поведение. Некоторые фено
мены неавтономной динамики достаточно хорошо изучены, как, например,
нелинейный и параметрический резонанс [7-9], синхронизация регулярных
(периодических и квазипериодических) автоколебаний в периодически
возбуждаемых и связанных системах [9-12] и т.д. Другие находятся в ста
дии активного изучения, как синхронизация хаотических автоколебаний
[13-20], стохастическая синхронизация и резонанс [13,21-26], странные не
хаотические аттракторы в квазипериодически возбуждаемых системах [27-
37].
В данной диссертационной работе затронуты два принципиальных
"Г' вопроса, связанных с неавтономной динамикой - разрушение квазиперио-
дического движения с переходом к хаосу в системах под управляющим
^ внешним воздействием (периодическим и квазипериодическим), и синхро-
низация хаотических колебаний связанных идентичных подсистем в присутствии малого шума и расстройки параметров.
Вообще говоря, изучение путей перехода от регулярной динамики к хаосу через квазипериодические режимы выходит за рамки одной лишь
радиофизики, представляет интерес для систем различной физической
природы и является одной из центральных тем современной нелинейной
динамики. Начиная с основополагающих работ Ландау [38] и Рюэлля и Та-
кенса [39], многие авторы обращались к теоретическому и эксперимен
тальному исследованию этой проблемы. В контексте радиофизики, можно
выделить следующие два ее аспекта.
г, Во-первых, это воздействие на нелинейный осциллятор внешнего
сигнала с несколькими составляющими, частоты которых фиксированы и
^, находятся в иррациональном соотношении. В таком случае в системе мо-
жет реализовываться регулярное квазипериодическое движение, которому отвечает аттрактор — гладкий эргодический тор. Известно, что разрушение эргодического тора и переход к хаосу в системах этого класса связаны с возникновением особого "промежуточного" поведения, отвечающего странному нехаотическому аттрактору (СНА) [27-37]. В частности, этот тип динамики наблюдался в экспериментах с нелинейными колебательными контурами под бигармоническим внешним воздействием [33-36] и с квазипериодически возбуждаемой магнитоэластической лентой [37]. В данной диссертации будет исследован эффект квазипериодического внешнего воздействия на системы, демонстрирующие в автономном или периодически возбуждаемом состоянии переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода. Рассмотрены бифуркационные механизмы перехода от гладкого тора к СНА и хаосу и меха-низмы кризисов регулярных, странных нехаотических и хаотических аттракторов. Обсуждается также возможность реализации идеи управления
'^ хаосом [40-42] в системах, находящихся под многочастотным внешним
воздействием.
Второй фундаментальный аспект проблемы перехода к хаосу через квазипериодические режимы - это разрушение резонансного тора в автоколебательных системах [43-45]. Колебательные составляющие могут ро-
ждаться вследствие бифуркаций автономного или периодически возбуж
даемого автогенератора [39,46,47]. В этом случае их частоты не фиксиро
ваны и определяются внутренней динамикой. При соотношениях частот
близких к рациональным колебательные компоненты взаимодействуют из-
за присущей системе нелинейности и обнаруживают тенденцию к взаим
ной синхронизации с возникновением периодических режимов ("захват
t частот" — mode locking) [2,9,48-50]. Сложная структура периодических и
квазипериодических режимов имеет место в сколь угодно малых окрестного \
\\ стях точки перехода к хаосу через разрушение резонансного тора. Разру-
шение квазипериодического режима и переход к хаосу ассоциируется с критической динамикой, для описания которой используется метод ре-нормгруппы (РГ) [51-56]. В диссертации методом РГ исследуется задача о разрушении двухчастотного тора в автоколебательной системе, возбуждаемой периодически модулированной последовательностью внешних импульсов [52].
В динамике связанных систем особое внимание исследователей при
влекает явление полной хаотической синхронизации, когда во взаимодей
ствующих подсистемах возникают идентичные хаотические колебания.
Представляя очевидный фундаментальный интерес, синхронизация хаоти
ческих колебаний автогенераторов имеет практическое приложение в об
ласти безопасной передачи информации [57-62]. Поэтому большое число
работ посвящено исследованию механизмов возникновения и разрушения
*'' хаотической синхронизации [63-88]. В настоящей диссертационной работе
рассматриваются статистические свойства режимов слабой хаотической
V,. синхронизации в присутствии малой расстройки параметров подсистем и
внешнего шума [89,90].
Целью диссертационной работы является изучение механизмов бифуркаций и кризисов аттракторов в диссипативных системах с удвоением периода под внешним квазипериодическим воздействием, исследование
свойств скеилинга при разрушении двухчастотного тора в периодически возбуждаемом автогенераторе, анализ статистических свойств режимов слабой хаотической синхронизации в присутствии шума или малой расстройки параметров.
Методы исследований. Исследование опирается на теоретический анализ с привлечением метода ренормгруппы и аппарата теории вероятности и случайных процессов и численные расчеты в применении к модельным системам (отображение окружности, логистическое отображение, отображение Эно, осциллятор Дуффинга), адекватно передающим подлежащие исследованию закономерности динамики.
Научная новизна.
Для гладкого обратимого двумерного отображения (на примере отображения Эно) под квазипериодическим внешним воздействием выявлен бифуркационный механизм перехода к странному нехаотическому аттрактору через перемежаемость, а также механизмы кризисов регулярных, странных нехаотических и хаотических аттракторов. Обнаружено явление потери гладкости зависимости ляпуновских векторов в окрестности притягивающей инвариантной кривой от фазы внешнего воздействия. Это явление предшествует возникновению странного нехаотического аттрактора и составляет содержание механизма, лежащего в основе ограничения числа бифуркаций удвоения инвариантных кривых на пути перехода к хаосу.
Предложена процедура управления хаосом в системах с квазипериодическим воздействием, заключающаяся в стабилизации движения в окрестности неустойчивого тора путем синхронизации управляемой системы с опорной системой, совершающей регулярное квазипериодическое движение.
Выявлены закономерности универсальности и масштабного подобия (скеилинга) для ситуации разрушения квазипериодического режима с
заданным соотношением частот и перехода к хаосу в автоколебательной системе, возбуждаемой периодически модулированной последовательностью внешних импульсов. — На основе линейного анализа трансверсальной устойчивости синхронных хаотических траекторий введены показатели, количественно характеризующие чувствительность слабо устойчивого синхронного
/ хаотического аттрактора к шуму и малой расстройке параметров.
Достоверность полученных результатов подтверждается соответст-
^ вием результатов теоретического и численного анализа, воспроизводимо-
стью всех численных результатов, согласием результатов теоретического и численного анализа с известными экспериментальными данными. На защиту выносятся следующие положения и результаты:
Для гладких обратимых двумерных отображений под квазипериодическим воздействием возможен переход, который предшествует возникновению странного нехаотического аттрактора, и связан с потерей гладкости (фрактализацией) зависимости ляпуновских векторов, определяющих направления сжатия с разными ляпуновскими показателями для фазового объема в окрестности гладкой притягивающей инвариантной кривой, от фазы внешней силы. Этот феномен отвечает за ограничение числа бифуркаций удвоения торов на пути перехода к хаосу.
Управление хаосом путем стабилизации движения на неустойчивом торе в квазипериодически возбуждаемых системах может быть достигну-то введением малого внешнего воздействия со стороны опорной системы, совершающей квазипериодическое движение.
^, 3. В окрестности критической точки отображения окружности с числом
вращения "золотое среднее" при наличии дополнительного периодического внешнего воздействия в зависимости от его частоты может реализоваться периодическое повторение конфигурации областей при
преобразовании подобия или квазипериодическое поведение (Р и Q-типы скейлинга).
Удобные показатели, количественно характеризующие чувствительность режимов слабой хаотической синхронизации к шуму и расстройке параметров подсистем, получаются на основе линейного анализа транс-версальной устойчивости слабо устойчивого синхронного хаотического аттрактора. Характеристики степенных законов, задающих зависимость среднего времени, проводимого в окрестности синхронного режима, от уровня шума и расстройки параметров, выражаются через новые показатели параметрической и шумовой чувствительности.
Научная и практическая значимость результатов: Выявленные бифуркационные механизмы динамических переходов и кризисов аттракторов в квазипериодически возбуждаемой системе с удвоениями периода и хаосом (на примере отображения Эно) могут быть использованы для описания аналогичных явлений в других базовых системах радиофизики и нелинейной динамики (нелинейный контур RL-диод под бигармоническим внешним воздействием, осциллятор Дуффинга и др.).
Полученные на основе метода ренормгруппы результаты для свойств скейлинга в окрестности критической точки отображения окружности с числом вращения "золотое среднее" могут быть отнесены ко многим системам различной природы, принадлежащим к соответствующему классу универсальности.
Разработанные способы количественной оценки чувствительности синхронного хаотического аттрактора к шуму и расстройке параметров подсистем имеют методическое значение, и могут быть использованы при выборе динамических режимов, наиболее подходящих для применения в системах скрытой передачи информации на основе хаотических сигналов.
Работа выполнялась в рамках научно-исследовательских работ, проводимых при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №00-02-17509) и Научно-образовательного центра нелинейной динамики и биофизики Саратовского государственного университета (грант Американского фонда гражданских исследований и развития и Минобразования РФ REC-006).
Апробация работы и публикации. Основные материалы работы представлялись на международных конференциях "The 6th International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems" NDES'98 (Budapest, Hungary 1998), "1998 International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications" NOLTA'98 (Crans-Montana, Switzerland 1998), "6th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formations" CHAOS'01 (Saratov, Russia 2001), "Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations. Applications in Physics, Biology and Medicine" SYNCHRO-2002 (Saratov, Russia 2002), на научном семинаре CO ИРЭ РАН.
Основное содержание работы изложено в 11 публикациях (5 статей в рецензируемых журналах, 2 статьи в сборниках, 4 тезисов докладов).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 186 страниц, включая 38 страниц иллюстраций и 15 страниц списка литературы из 167 наименований.
Краткое содержание работы. В первой главе диссертации на примере квазипериодически возбуждаемого отображения Эно рассматриваются механизмы различных динамических переходов в системах с удвоениями периода и хаосом под квазипериодическим внешним воздействием. На основе метода рациональных аппроксимаций [91] рассматривается бифуркационный механизм рождения странного нехаотического аттрактора через перемежаемость, а также механизмы различных кризисов, приводящих к расширению или разрушению регулярных, странных нехаотических и
хаотических аттракторов системы. Во второй главе на примере той же модельной системы исследуется структура окрестности притягивающей инвариантной кривой двумерного гладкого обратимого отображения под квазипериодическим воздействием. Наблюдается новый переход, связанный с возникновением негладкой зависимости для ляпуновских векторов в окрестности кривой от переменной фазы внешнего воздействия. Этот переход предшествует возникновению в системе странного нехаотического аттрактора, и служит причиной ограничения числа бифуркаций удвоения торов на пути к хаосу. В третьей главе рассматривается возможность реализации процедуры управления хаосом в системах, находящихся под квазипериодическим внешним воздействием. Показано, что в случае, когда переходу к хаосу в системе предшествует бифуркация удвоения или потери симметрии тора, управление может быть осуществлено посредством стабилизации квазипериодического движения в окрестности вложенного в хаотический аттрактор неустойчивого тора. Для этого в управляемую систему вносится дополнительное воздействие в форме пропорциональной обратной связи, и она синхронизируется с опорной системой. В качестве опорной может быть использована аналогичная система, но при значениях параметров, отвечающих регулярному квазипериодичёскому движению. Метод иллюстрируется на примере квазипериодически возбуждаемого логистического отображения, и бигармонически возбуждаемого осциллятора Дуффинга. В четвертой главе, на примере периодически возбуждаемого отображения окружности, исследуются свойства скейлинга при разрушении двумерного тора с заданным соотношением частот, равным "золотому среднему", в автогенераторе, синхронизируемом периодически модулированной последовательностью внешних импульсов. Для этого производится модификация известной ренормгруппы Фейгенбаума-Каданова-Шенкера, описывающей свойства скейлинга в критической точке GM; рассматриваются возмущения неподвижной точки ренормгруппы, соответствующие
^
включению внешнего воздействия. Свойства самоподобия окрестности критической точки в пространстве параметров иллюстрируются построенными на компьютере картами ляпуновского показателя. В пятой главе исследуется влияние шума и расстройки параметров на режимы слабой хаотической синхронизации в связанных одномерных логистических отображениях. На основе анализа эволюции малых трансверсальных возмущений траекторий на слабо устойчивом синхронном хаотическом аттракторе вводятся показатели, количественно характеризующие его чувствительность к шуму и малой расстройке параметров подсистем. Показывается, что характеристики степенных законов, задающих зависимость средней длины ламинарной фазы в режиме "пузырения" аттрактора ("attractor bubbling") и средней длины хаотического переходного процесса в случае изрешечивания бассейна ("basin riddling") от уровня шума и расстройки параметров, могут быть выражены через новые показатели параметрической и шумовой чувствительности. Приводится теоретическая модель в виде процесса ограниченного случайного блуждания, качественно объясняющая полученные численные результаты. В заключении сформулированы основные выводы и результаты диссертационной работы.
Сложная картина динамических переходов в квазипериодически возбуждаемом отображении Эно
Предположим сначала, что значения параметров а и b таковы, что в отсутствии воздействия (= 0) отображение Эно имеет устойчивую неподвижную точку. При слабом квазипериодическом воздействии (є є:1) вместо неподвижной точки будем иметь устойчивую гладкую замкнутую инвари -17 антную кривую (рис. 1.1 а). Такая кривая будет присутствовать, например, в сечении Пуанкаре двухчастотного тора бигармонически возбуждаемого осциллятора. Поэтому, допуская ставшее почти общепринятым огрубление терминологии, мы будем говорить об этом аттракторе как о торе Т. Если слабому квазипериодическому воздействию подвергается цикл периода 2, то аттрактор состоит из двух замкнутых гладких кривых (рис. 1.26), переходящих друг в друга под действием итераций отображения (1.1), и мы говорим о нем как об удвоенном торе 2Т.
При вариации параметров системы может случиться, что гладкий тор превратится в СНА (рис. 1.1 в). При этом нетривиальные ляпуновские показатели Оїд, ассоциирующиеся с динамикой переменных х и у, остаются отрицательными (сг12 0), но геометрическая структура аттрактора становится сложной, фрактало-подобной. Для диагностики существования СНА можно воспользоваться свойством чувствительности траекторий на таком аттракторе к вариации начальной фазы в0 квазипериодического воздействия. Для этого численно рассчитывается так называемый показатель фазовой чувствительности S, который строго равен нулю в случае гладкого тора, и принимает положительные значения в режиме СНА. Другой способ диагностики странной структуры аттрактора дает метод рациональных аппроксимаций [91].
Фрагмент карты динамических режимов системы (1.1) при значении Ъ = 0.1. Области динамических режимов изображены светло-серым (квазипериодические режимы), серым и темно-серым (СНА), черным (хаос), и белым (разбегание траекторий). Для иллюстрации существования СНА перемежающегося типа, увеличен небольшой фрагмент в окрестности (а, ) = [0.95, є (= 0.47614815)]. Сплошная линия соответствует бифуркации удвоения инвариантной кривой. Направления Яі соответствуют рождению СНА через постепенную фрактализацию гладкого тора Т, а2 - через столкновению удвоенного тора 2Т с седловым тором Т, а3 - рождению СНА через перемежаемость. Маршруты b и с соответствуют "внутреннему" кризису расширения СНА и ХА. На маршрутах d, е, f и g происходит разрушение аттракторов вследствие различных типов кризиса столкновения с неустойчивым множеством на границе бассейна.
Области различных режимов обозначены на карте тонами серого цвета. Области существования гладкого квазипериодического аттрактора (СТЇ О, 8=0) обозначены светло-серым цветом: тор Т, удвоенный тор 2Т. При переходе через сплошную линию из области Т в 2Т происходит бифуркация удвоения тора [120,121]. Области СНА (ОЇ,2 0, 8 0) обозначены серым и темно-серым, а областям хаотической динамики (сг О) соответствует черный цвет. В белой области система (1.1) не имеет аттрактора, и фазовые траектории убегают на бесконечность.
Количество бифуркаций удвоения торов, предшествующих возникновению СНА, зависит от величины є. При достаточно больших є, непосредственно разрушается тор Т. Чем меньше є, тем большее количество бифуркаций удвоения предшествует возникновению СНА; так, при достаточно малых значениях є, могут удваиваться торы, состоящие из 4,8,16 и более частей. Однако, для любого ненулевого значения є, количество бифуркаций в каскаде удвоений торов остается конечным [6,120,122].
Предметом рассмотрения в данной главе будут механизмы разрушения гладких торов и возникновения СНА и хаоса в нашей модели и ей аналогичных системах, а также механизмы кризисов СНА и ХА.
Первый типичный сценарий перехода от гладкого тора к СНА в системе (1.1) связан с процессом постепенной фрактализации (gradual fractali-zation) гладкого тора [106]. Например, он имеет место при движении вдоль направления ai на рис. 1.2. При вариации параметров системы на графике кривой, соответствующей тору Т, появляется все больше экстремумов (см. рис. 1.3а). При приближении к критическому значению параметра осцилляции кривой бесконечно нарастают; и наконец, она теряет гладкость и превращается во фрактало-подобный объект - СНА (рис. 1.36).
Другой сценарий возникновения СНА связан с бифуркацией удвоения тора и отвечает одному из видов столкновения аттрактора с неустойчивой орбитой [109]. В момент бифуркации удвоения тор Т теряет устойчивость и становится седловым, а в его окрестности рождается новый аттрактор — удвоенный тор 2Т. При дальнейшем движений по параметру удвоенный тор 2Т может демонстрировать столкновение с "родительским" седловым тором Т. Например, такое столкновение имеет место при движении вдоль направления а2 (см. рис. 1.2). При приближении к критической ситуации удвоенный тор 2Т приближается к седловому тору Т, а графики пары кривых, отвечающих удвоенному тору 2Т, становятся все более осциллирующими (см. рис. 1.3 в; седловой тор Т на нем изображен серым цветом). Критическая ситуация соответствует тому, что происходит касание удвоенного тора 2Т с седловым тором Т на плотном множестве точек. (Касание в одной точке подразумевает касание во всех ее образах и прообразах; в силу эргодичности по фазовой переменной, множество точек касания является плотным на интервале 0 є [0,1).) В момент касания удвоенный тор 2Т становится негладким, и представляет собой фрактало-подобный объект. При этом, старший нетривиальный ляпуновский показатель сохраняет отрицательное значение (ОЇ 0). Таким образом, в системе возникает СНА (см. рис. 1.3г). Следует отметить, что седловой тор сохраняет в этом переходе свою гладкость, и в результате оказывается вложенным в СНА, как показано на рис. 1.3г, а затем и в хаотический аттрактор.
Ляпуновские векторы и двумерные многообразия в окрестности инвариантной кривой
Возвращаясь к исходной системе (1.1), следует иметь в виду, что при b+Q отображение Эно является обратимым. Поэтому для системы (1.1) окончание линии бифуркации удвоения инвариантной кривой Т при є =єх должно быть связано с некоторым бифуркационным механизмом, отличным от механизма потери обратимости, работающего в случае логистического отображения. Анализ этого невыясненного до сих пор бифуркационного механизма, лежащего в основе особого устройства пространства параметров системы (1.1) и аналогичных ей, представляется актуальной проблемой.
В этой главе на примере квазипериодически возбуждаемого отображения Эно мы исследуем структуру окрестности притягивающей инвариантной кривой гладкого обратимого отображения в R2xS\ Будет показано, что при умеренных ненулевых значениях амплитуды квазипериодического воздействия є может возникать особое устройство окрестности инвариантной кривой, связанное с потерей гладкости (фрактализацией) зависимости ляпуновских векторов, определяющих направления сжатия с разными ля-пуновскими показателями для фазового объема в этой окрестности, от фазы внешней силы. С другой стороны, мы покажем, что инвариантная кривая с окрестностью нового типа не может претерпевать регулярной бифуркации удвоения. Таким образом, новый переход, связанный с фрактализацией зависимости ляпуновских векторов от фазы внешней силы, может служить причиной ограничения бифуркации удвоения инвариантной кривой при є =єь и, как следствие, возникновения характерного устройства пространства параметров системы (1.1).
Вспоминая о связи между системой (1.1) и отображением Пуанкаре бигармонически возбуждаемого нелинейного осциллятора (см. параграф 1.1), можно полагать, что обнаруженный новый переход служит также причиной ограничения числа бифуркаций удвоения торов на пути перехода к хаосу в потоковых системах типа бигармонически возбуждаемого осциллятора Дуффинга и реальных физических системах, таких как бигармонически возбуждаемый нелинейный контур с/?-л-переходом.
С седловой неподвижной точкой (//i l, 1//2 1) связано существование двух одномерных инвариантных многообразий, устойчивого и неустойчивого, которые представляют собой гладкие кривые на фазовой плос-кости (см. рис.2.1а). При этом два собственных вектора матрицы Якоби к (ляпуновские векторы) задают два направления, касательные к инвариантным многообразиям в седловой точке.
При //і,2І 1 неподвижная точка является узлом. В этом случае также определены ляпуновские векторы к , задающие направления сжатия фазового объема с разными ляпуновскими показателями в окрестности узла. Вектор к1, соответствующее наибольшему по модулю мультипликатору узловой точки, называют "ведущим". Он является касательным для континуального множества устойчивых многообразий, как показано на рис.2.16 (см. также [123]). Вектор к2 называют "неведущим". Он оказывается касательным для одного, особого, "неведущего" устойчивого многообразия.
В случае //i l, 1//2 1 инвариантная кривая является седловой и имеет устойчивое и неустойчивое двумерные инвариантные многообразия, представляющие собой гладкие поверхности в трехмерном фазовом пространстве, как показано на рис.2.1 в. В каждой точке седловой инвариантной кривой определены два ляпуновских вектора, касательные к многообразиям и ортогональные к оси фазовой переменной в. При є = О это просто собственные векторы к матрицы Якоби отображения (2.2) в неподвижной точке (лг0, у0).
Если же //ід 1, то инвариантная кривая (2.4) является узловой. В каждой точке узловой кривой также определены два ляпуновских вектора к , которые задают направления сжатия фазового объема с разными ляпу-новскими показателями в малой окрестности притягивающей узловой кривой. Если вводить в рассмотрение связанные с узловой кривой двумерные инвариантные многообразия (как расширение одномерных многообразий в окрестности узловой неподвижной точки при добавлении новой координаты - квазипериодической фазы внешней силы О), то ляпуновские векторы будут задавать направления, касательные к многообразиям и ортогональные к оси фазовой переменной #, см. рис.2.1г. "Ведущий" вектор к1 является касательным для континуального множества устойчивых двумерных многообразий, а "неведущий" вектор к является, соответственно, касательным для особого, "неведущего" устойчивого многообразия. Дальнейшие рассуждения будут посвящены узловой инвариантной кривой и структуре двумерных многообразий в ее окрестности.
Двумерные многообразия в ее окрестности будут искривлены, но первоначально останутся гладкими поверхностями в трехмерном фазовом про-странстве. При etO ляпуновские векторы к , касательные к многообразиям и ортогональные к оси 0, будут зависеть от фазовой координаты в. Пока многообразия гладкие, вектор-функции kl 2(0) = (kxl \0), ку1,2(0), 0) остаются дифференцируемыми. При дальнейшем увеличении є (другие параметры системы считаем фиксированными) графики этих функций могут становиться все более и более искривленными, пока при некотором критическом значении є не наступит потеря их гладкости. В этой ситуации будем говорить о "фрактализации" зависимостей к (в), по аналогии с потерей гладкости инвариантной кривой. Возникновение негладкой зависимости ляпуновских векторов к от фазовой координаты в, по-видимому, свидетельствует о разрушении гладких двумерных многообразий в окрестности инвариантной кривой.
Остановимся более подробно на роли ляпуновских векторов и двумерных многообразий в механизме бифуркации удвоения инвариантной кривой в системе (2.3). В результате этой бифуркации инвариантная кривая узлового типа теряет устойчивость и становится седловой, а в ее окрестности рождается пара гладких кривых, переходящих друг в друга под действием итераций отображения (2.3). Потеря устойчивости инвариантной кривой происходит по "ведущему" (т.е. наименее устойчивому) направлению k , при переходе соответствующего ему мультипликатора через (-1). "Ведущие" многообразия "родительской" кривой после бифуркации оказываются устойчивыми для родившейся пары узловых кривых.
Стабилизация неустойчивой инвариантной кривой отображения
После перехода к хаосу в системе неустойчивый тор может оказаться вложенным в хаотический аттрактор или существовать вне него. Однако, стандартная процедура управления требует либо знания орбиты, подлежащей стабилизации, либо наличия осциллятора, генерирующего подходящий опорный сигнал [131]. Тор же является более топологически сложным объектом, чем цикл, и для его восстановления требуется модель глобальной динамики системы. Само конструирование этой модели и поиск неустойчивого тора представляется достаточно сложной задачей. Поэтому более продуктивен поиск подходящего опорного осциллятора. При этом a priori для стабилизации неустойчивого тора представляется разумным использовать в качестве генератора опорных орбит эволюционно связанный тор, существовавший в данной системе при других значениях параметров (до потери устойчивости). Цель данной главы состоит в том, чтобы показать возможность реализации этой идеи. Предлагается метод управления, позволяющий обеспечить стабилизацию неустойчивого тора или создание в его окрестности нового устойчивого тора посредством синхронизации управляемой системы с аналогичной, находящейся в состоянии устойчивого квазипериодического движения. В качестве иллюстрации рассматривается управление хаосом в квазипериодически возбуждаемом логистическом отображении и осцилляторе Дуффинга под бигар-моническим воздействием.
Фрагмент карты динамических режимов системы (3.1) представлен на рис.3.1а. Области, соответствующие различным динамическим режимам, показаны оттенками серого цвета. Светло-серые области соответствуют режимам регулярной квазипериодической динамики: гладкая притягивающая инвариантная кривая ("тор") Т, пара гладких кривых, переходящих друг в друга при четных и нечетных итерациях ("удвоенный тор") 2Т, четыре отображающихся друг в друга кривых 4Т. Серым цветом показаны области хаоса. На границе областей регулярной и хаотической динамики темно-серым отмечены режимы, отвечающие странному нехаотическому аттрактору (СНА). В белой области система (3.1) не имеет аттрактора, и траектории убегают на бесконечность.
Один из типичных путей перехода от регулярного квазипериодического движения к СНА и хаосу в системе (3.1) — это столкновение удвоенной инвариантной кривой с "родительской" неустойчивой (см. рис.1.3в,г, иллюстрирующий аналогичный переход в системе Эно). В результате неустойчивая инвариантная кривая х = р(0), 0 є [0,1) оказывается вложенной в хаотический аттрактор .
Фрагмент карты режимов системы (3.1). (б) Хаотический аттрактор и вложенная в него неустойчивая инвариантная кривая отображения (3.1) {а = 1.2, е= 0.2). (в) Сравнение инвариантных кривых отображения (3.1) при разных значениях параметров: неустойчивая кривая х{9) (а,=1.2, ,=0.2), и притягивающая кривая у(0) (а2 = 0.8, 2 =0.15). (г) Неустойчивая инвариантная кривая отображения (3.1), подлежащая стабилизации, при ах = 1.2, ех = 0.2 (тонкая линия), и устойчивая инвариантная кривая х{9) отображения (3.3,3.5), полученная в результате применения процедуры управления, при тех же значениях параметров (толстая линия), (д) Зависимость управляющего воздействия g(xn,0n) от дискретного времени п.
Первое условие означает, что при приближении траектории к инвариантной кривой управляющее воздействие стремится к нулю, а второе — что средний ляпуновский показатель вдоль инвариантной кривой отрицателен, и инвариантная кривая становится устойчивой. Функция g(x, 6) может быть выбрана в стандартной форме пропорционального управляющего воздействия g(x,e) = C(x- p(0)), где С — параметр связи. Далее, в соответствии с основной идеей метода, заметим, что инвариантная кривая отображения (3.1) может достаточно слабо изменяться при вариации параметров системы в весьма широких пределах. В качестве примера, рассмотрим инвариантные кривые отображения (3.1) для двух наборов параметров (я,, ) и (а2,є ). На рис.3.1 в представлена неустойчивая инвариантная кривая х(0) при значениях параметров tfj=1.2, j=0.20, соответствующих хаотическому режиму в системе (3.1), и устойчивая инвариантная кривая у{0), являющаяся аттрактором системы при значениях я2=0.8, "2=0.15. Визуально можно заметить, что кривые х(в) и у{в) могут быть достаточно точно совмещены посредством пропорционального сжатия/растяжения и параллельного переноса по оси JC, и сдвига по фазовой оси в. Тогда имеет место следующее соотношение x(0) Sy(O + т)+В, и устойчивая инвариантная кривая из области (пространства параметров) регулярной квазипериодической динамики системы (3.1) может быть с достаточной степенью точности приведена к форме неустойчивой кривой из области хаотической динамики.
Динамика фазы на двумерном торе и автономное отображение окружности
Лучше всего исследована задача о переходе к хаосу через разрушение регулярного квазипериодического движения на двумерном торе [51-56,135-145] (см. рис.4.1а), что отвечает наличию в спектре двух основных частот. Отображение (4.1) естественным образом возникает, например, в задаче о синхронизации колебаний автогенератора периодической последовательностью коротких импульсов (см. рис.4.16) [52,145]. В биологическом контексте отображение окружности привлекается для теоретического изучения вопросов, связанных с ритмами сердечной деятельности [50].
Покажем, как отображение (4.1) возникает в общем случае при рассмотрении динамики фазы траектории на двумерном торе. Имея тор-аттрактор в фазовом пространстве некоторой системы, мы можем рассмотреть его сечение площадкой S, расположенной, как показано на рис.4.1 а. В сечении получится замкнутая кривая, точкам которой можно приписать угловую координату в. Если выпустить траекторию из точки в=9п, то, оставаясь на торе, она обойдет вокруг него и вновь пересечет поверхность S в какой-то другой точке в=вп+\. Соотношение, связывающее вп и #„+ь будет иметь вид вп+\ = 0п + Д + J[0n), где Д#) — некоторая периодическая функция, а параметр Д определяется отношением периодов обхода тора по параллели и меридиану.
Как можно видеть из приведенных на рис.4.2 графиков отображения (4.1), при К 1 зависимость дп+\ от 0п монотонная и взаимно однозначная, при К=\ отображение имеет кубическую точку перегиба, а при К \ — теряет свойство взаимной однозначности. В субкритической области К \ установившиеся режимы динамики могут быть периодическими или квазипериодическими, а в суперкритической области К \ — периодическими или хаотическими.
На рис.4.3 показана карта динамических режимов отображения окружности. На плоскости параметров (АД) периодические режимы обозначены оттенками серого цвета. На карте можно видеть известную структуру языков Арнольда (областей синхронизации), упирающихся своими остриями в линию К=0. На рис.4.4 показаны портреты аттракторов в виде итерационных диаграмм, которые относятся к некоторым определенным точкам плоскости параметров и соответствуют периодическим, квазипериодическим и хаотическим режимам.
Полезной характеристикой, позволяющей различать типы динамических режимов, служит число вращения 0)(A,K) = \im f . (4.2) Режим считается периодическим, если начальное значение в через некоторое число шагов q воспроизводится с точностью до добавки целого числа полных периодов, то есть 0n+q — 0О = 2лр. Такому режиму отвечает рациональное число вращения со = p/q. Квазипериодические режимы характеризуются иррациональными числами вращения.
Представим себе, что мы движемся на плоскости параметров (АД) от ЛГ=0 в сторону увеличения параметра К вдоль линии постоянного числа вращения со. При К=\ эта линия оканчивается: гладкий тор превращается в некоторый фрактальный объект, обладающий свойством самоподобия и фрактальной инвариантной мерой [145]. Это соответствует критической точке, ассоциирующейся с данным числом вращения со.
Для детального теоретического исследования традиционно выбирают иррациональное число вращения, заданное "золотым средним" — со = (V5 -1)/2. Точку в пространстве параметров, в которой соответствующий квазипериодический режим разрушается, будем для краткости именовать критической точкой GM (от слов "golden mean" — золотое среднее) [54-56]. Как можно показать, в любой сколь угодно малой окрестности этой точки присутствуют периодические, квазипериодические и хаотические режимы. Известно, что критическая точка GM имеет коразмерность 2, то есть исчерпывающий анализ динамики в ее окрестности достигается в рамках двухпараметрического анализа [51-54,145].
Как известно, мощным методом исследования сложной динамики на пороге перехода к хаосу является ренормгрупповой анализ (РГ). Применительно к задаче о разрушении квазипериодического режима в автономном отображении окружности он был развит в работах Фейгенбаума, Каданова и Шенкера [54], а также Остланда, Рэнда и др. [55,56]. .
Нашей главной задачей будет исследование свойств скейлинга в окрестности критической точки GM в присутствии периодического внешнего воздействия. Обратимся поэтому к достаточно естественной модификации классической модели, и рассмотрим отображение окружности под внешним периодическим воздействием. Оно описывает, например, динамику автогенератора при воздействии последовательности импульсов, если она модулирована соответствующим образом. В более широком контексте, к этой задаче можно прийти, исследуя определенные ситуации перехода к хаосу через разрушение колебательного режима с тремя основными частотами.
