Содержание к диссертации
Введение
ЧАСТЬ I. Электродинамика периодически нестационарных и неоднородных сред в волноводах 19
ГЛАВА I. Электромагнитные волны в волноводе с периодически модулированным в пространстве и во времени заполнением 19
1. Волновые уравнения в нестационарной и неоднородной среде... 19
2. Волновые уравнения для потенциалов ТЕ и ТМ полей в волноводе с модулированным в пространстве (по Z) и во времени заполнением 21
3. Метод решения волновых уравнений для потенциалов ТЕ и ТМ полей в волноводе с периодически модулированным в пространстве (по Z) и во времени заполнением 25
4. Дисперсионное уравнение 35
5. Свободные электромагнитные ТЕ и ТМ волны в волноводе с периодически нестационарным и неоднородным заполнением 37
6. Закон сохранения энергии в нестационарных и неоднородных средах
(обобщенная теорема Умова-Пойнтинга) 41
7. ТЕ и ТМ волны в волноводе в предельных случаях стационарного неоднородного и однородного нестационарного заполнения 43
8. ТЕ и ТМ волны в волноводе в приближении геометрической оптики и в случае анизотропного модулированного заполнения 45
8.1 Приближение геометрической оптики 45
8.2 Случай анизотропного модулированного заполнения (модулированный одноосный кристалл) 46
9. Случай двупериодически нестационарного
и неоднородного заполнения волновода 50
10. Электромагнитные волны в неограниченной периодически нестационарной и неоднородной среде 53
11. Характер распространения электромагнитных волн при условии их синхронного взаимодействия с волной модуляции заполнения волновода 54
Выводы по главе 1 57
ГЛАВА II. Особенности распространения электромагнитных волн в волноводе с периодически нестационарным и неоднородным заполнением в области «сильного» (резонансного) взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции 59
12.Частотная область сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения волновода 59
13.Характер поведения различных гармоник в области сильного взаимодействия 63
14- Физическое объяснение эффекта сильного взаимодействия 65
Выводы по главе II 68
ЧАСТЬ II. Излучение источников, движущихся равномерно в волноводах с периодически нестационарным и неоднородным заполнением 70
ГЛАВА III. Переходное излучение и излучение Вавилова-Черенкова источников, движущихся равномерно вдоль оси волновода с периодически модулированным заполнением 70
15. Поля движущихся источников 70
15.1 Поле движущейся заряженной частицы 70
15.2 Поле движущегося магнитного момента 77
16. Потери энергии движущихся источников на излучение 84
16Л. Потери энергии движущейся заряженной частицы 84
16.2. Потери энергии движущегося магнитного момента 88
17.Дисперсионное уравнение. Спектр излучения движущихся источников 89
18.Особенности излучения движущихся источников в области сильного взаимодействия 95
19.Случай стационарного неоднородного заполнения волновода 101
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ III 104
ГЛАВА IV. Переходное излучение и излучение Вавилова-Черенкова заряженной частицы, движущейся равномерно перпендикулярно оси волновода с периодически нестационарным и неоднородным
заполнением 107
20.Поперечно-электрическое (ТЕ) и поперечно-магнитное (ТМ) поля движущейся частицы 107
21.Потери энергии движущейся частицы на излучение 116
22. Дисперсионное уравнение и спектр излучения 119
23. Из лучение движущейся частицы в волноводе со стационарным неоднородным заполнением 120
24.Характер излучения в области сильного взаимодействия 122
25.Переходное, черенковское и «запертое» излучение в однородной стационарной пластине в волноводе 125
Выводы по главе IV 144
ЧАСТЬ III. Граничные задачи электродинамики периодически нестационарных и неоднородных сред в волноводах 147
ГЛАВА V. Отражение и прохождение электромагнитных волн от границ периодически нестационарных
и неоднородных сред в волноводе 147
26.Электромагнитные волны в периодически нестационарной и неоднородной диэлектрической пластине в волноводе 147
27.Обобщенные формулы Френеля и коэффициенты отражения и прохождения по мощности для периодически нестационарной и неоднородной диэлектрической пластины 150
28.Случай полубесконечного модулированного заполнения волновода 154
Выводы по главе V 158
ГЛАВА VI. Особенности отражения и прохождения электромагнитных волн от границ периодически нестационарных и неоднородных сред в области сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции 159
29.Обобщенные формулы Френеля и коэффициенты отражения и прохождения по мощности для периодически модулированной пластины и для полубесконечного модулированного заполнения в области сильного взаимодействия 159
30. Анализ характера отражения и прохождения электромагнитных волн от периодически модулированной пластины в неограниченном пространстве в области сильного взаимодействия 163
30.1. Сигнальная волна и волна модуляции имеют одинаковые направления распространения (прямая модуляция) 163
30.2. Сигнальная волна и волна модуляции имеют противоположные направления распространения (обратная модуляция) 175
31.Коэффициенты отражения и прохождения по мощности
для стационарной и периодически неоднородной пластины
в области сильного взаимодействия 184
Выводы по главе vi 191
Заключение 194
Литература
- Метод решения волновых уравнений для потенциалов ТЕ и ТМ полей в волноводе с периодически модулированным в пространстве (по Z) и во времени заполнением
- Физическое объяснение эффекта сильного взаимодействия
- Потери энергии движущихся источников на излучение
- Из лучение движущейся частицы в волноводе со стационарным неоднородным заполнением
Введение к работе
Распространение волн в неограниченных и ограниченных средах, диэлектрическая и магнитная проницаемости которых мощной волной накачки различной природы (электромагнитная волна, ультразвуковая волна и т.д.) периодически модулированы в пространстве и во времени по закону бегущей волны, представляет собой одну из основных задач электромагнитной теории.
Начало теоретических и экспериментальных исследований в этой области обычно связывают с именем Бриллюэна, который предсказал идею дифракции света в средах, модулированных с помощью волны накачки [1-2]. После выхода научных работ Е.С.Касседи, А.А.Олинера [3], К.А.Барсукова, Б.М.Болотовского [4-5] и Е.С.Касседи [6], в которых авторы рассматривали распространение электромагнитных волн и излучение движущихся источников в неограниченных средах с пространственно-временной периодичностью, исследования в электродинамике нестационарных и неоднородных неограниченных сред были продолжены в основном в трех важных направлениях. Первое направление связано с дальнейшими исследованиями различных аспектов и особенностей распространения электромагнитных волн и решениями граничных задач в периодически нестационарных и неоднородных неограниченных средах [7-25], [173-175]. Второе направление связано с продолжением исследований переходного излучения и излучения Вавилова-Черенкова источников, движущихся в неограниченных периодически модулированных в пространстве и во времени средах [26-30]. Третье направление относится к анализу влияния не только основной модулирующей волны, но и ее гармоник на характеристики распространяющейся сигнальной волны [31-35].
Отметим, что наряду с появлением вышеуказанных работ, относящихся к электродинамике периодически нестационарных и неоднородных неограниченных сред, было также опубликовано большое количество работ, в которых авторы исследовали как различные аспекты распространения и излучения электромагнитных волн, так и особенности их отражения и прохождения в гармо-
8 нически модулированных в пространстве или во времени неограниченных средах [36-70], [168], [171], [172], [180].
Позже, начиная с шестидесятых годов, в литературе стало появляться небольшое количество работ, посвященных вопросам электродинамики периодически нестационарных и неоднородных ограниченных сред. Они касались исследованию распространения электромагнитных волн и излучения источников в волноводах с периодически модулированным в пространстве и во времени заполнением [71-84].
Такой возросший интерес к периодически и многопериодически модулированным средам объясняется возможностью их широкого применения в различных областях электроники сверхвысоких частот (СВЧ электроника), микроэлектроники, тонко пленочной и интегральной оптики, физики ионосферы, радиолокационной океанографии, оптической голографии, акустооптики, интегральной и оптической электроники, рентгеновской дифрактометрии и т.д., благодаря двум важным свойствам периодически модулированных сред:
собственные волны в периодически модулированных средах представляют собой бесконечный набор пространственно-временных гармоник;
в периодически модулированных средах могут распространяться только волны, лежащие в пределах жестко ограниченных полос пропускания.
Так, например, ими пользуются при конструировании генераторов с распределенной обратной связью, полосовых фильтров, параметрических усилителей, нелинейных генераторов второй гармоники, модуляторов, антенн с периодически модулированной замедляющей структурой, многочастотных лазеров с распределенной обратной связью (РОС лазеров) и с распределенными брэггов-скими отражателями (РБО лазеров), брэгговских резонаторов и фильтров, преобразователей мод с использованием тонкопленочных волноводов, брэгговских отклоняющих устройств, преобразователей низкой и высокой частоты, оптических усилителей и генераторов бегущей волны, перестраиваемого акустического фильтра, решеточных устройств, призменных поляризаторов, двухлучепре-
9 ломляющих фильтров, диффракционных решеток, голограмм, лазеров на свободных электронах, светофильтров Шольца и т.д. [45, 85-88, 183].
Излучение Вавилова-Черенкова, возникающего при равномерном движении источников, когда их скорость движения больше фазовой скорости света в среде, впервые теоретически рассмотрено И.М.Франком и И.Е.Таммом в 1937 году [89]. В 1946 году И.М.Франком и В.Л.Гинзбургом впервые был предсказан и теоретически исследован новый тип излучения движущихся источников, возникающего при их пересечении границы раздела сред с разными значениями диэлектрической проницаемости и названного переходным излучением [90].
Дальнейшее развитие теории переходного излучения связано с теоретическим обнаружением в 1959 году Г.М.Гарибяном в неограниченном пространстве [91] и К.А.Барсуковым в волноводе [92] рентгеновского переходного излучения, обладающего интересными физическими и практически используемыми свойствами (например, для регистрации и идентификации заряженных частиц высоких энергий). Были проведены всесторонние экспериментальные и теоретические исследования в этой области (см. [93-113], [176-179] и указанную там литературу).
Параметрическое взаимодействие различных типов волн (ультразвуковая волна, электромагнитная волна, альвеновская волна, плазменная волна и т.д.) в общем случае является нелинейным процессом. Но если одна из них значительно сильнее остальных, то допустимо линейное приближение. Влияние сильной волны накачки на среду, в которой она распространяется, можно учесть в виде изменений параметров среды. В большинстве случаев подобное влияние представляют в виде периодической модуляции в пространстве и во времени диэлектрической и магнитной проницаемостей среды в линейном приближении. Таким образом, среда с пространственно-временной периодичностью - эта линейная идеализация среды, физические свойства которой существенно нелинейны.
При исследовании распространения электромагнитных волн в периодически модулированных в пространстве и во времени средах физики-теоретики в
10 основном пользуются следующими методами: методом, основанным на теории Флоке-Блоха (представление полей в виде бесконечного набора пространственно-временных гармоник [3], [6]), методом связанных мод Когельника [114], [13], [115] и модифицированным методом связанных мод [116].
Как уже отмечалось выше, вопросы электродинамики неограниченных периодически нестационарных и неоднородных сред довольно хорошо изучены, в то время как те же самые вопросы в волноводах с периодически нестационарным и неоднородным заполнением остаются еще мало изученными, и отсутствует достаточно строгая теория электродинамических явлений в подобных системах. Между тем исследования этих явлений представляют большой интерес и с точки зрения развития теории, и с точки зрения практического приложения волноводов с периодически модулированным заполнением в радиотехнике СВЧ.
Предлагаемая диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию и построению аналитической теории распространения, отражения и прохождения электромагнитных волн, излучения движущихся источников в волноводах произвольного поперечного сечения с периодически нестационарным и неоднородным заполнением и призвана в определенной степени восполнить существующий в данной области пробел.
В первой части диссертационной работы рассматривается распространение свободных электромагнитных волн в волноводе произвольного поперечного сечения, диэлектрическая и магнитная проницаемости заполнения которого сильной волной накачки модулированы в пространстве и во времени по гармоническому закону (рассматривается линейное приближение) (см. (1.29), (1.30)). Волновые уравнения относительно продольных составляющих Hz и Ez соответственно для поперечно-электрической (ТЕ) и поперечно-магнитной (ТМ) полей, получающихся из классических уравнений Максвелла-Минковского, представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка с периодическими коэффициентами. Эти уравнения с помощью замены переменных, предложенной К.А. Барсуковым в работе [72], приводятся к диф-
ференциальным уравнениям в частных производных относительно новых переменных, решения которых ищутся в виде разложений по ортонормированным собственным функциям первой и второй краевых задач для поперечного сечения волновода. В результате этого приходим к обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка, которые с помощью новой замены переменных преобразуются в дифференциальные уравнения Матье-Хилла. При решении последних основываемся на теорему Флоке, пользуясь предположением малости индексов модуляции заполнения волновода и ограничиваясь рассмотрением основной (нулевая) и первых боковых (минус и плюс первая) гармоник. Полученные аналитические выражения для ТЕ и ТМ полей в случаях од-нопериодически и двупериодически нестационарного и неоднородного заполнения волновода оказываются справедливыми в довольно широкой области изменения параметров, характеризующих взаимодействие сигнальной волны с волной модуляции заполнения. Они позволяют далее исследовать особенности распространения ТЕ и ТМ волн в волноводе с периодически нестационарным и неоднородным заполнением в областях «слабого» (глава I) и «сильного» (глава II) взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения. В узкой области синхронного взаимодействия этих волн (в области «sonic region»), ширина которой порядка индексам модуляции, удается найти только асимптотические выражения для полей и выяснить общий характер их поведения. Получены выражения для полей в приближении геометрической оптики, в случаях анизотропного модулированного заполнения и неограниченной нестационарной и неоднородной среды, а также в предельных случаях только неоднородного и только нестационарного заполнения волновода. В 14 дано физическое объяснение эффекта сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения волновода и получено выражение для частоты, вокруг которой имеет место это взаимодействие и происходит значительный энергообмен между нулевой и минус первой гармониками. В 6 формулируется закон сохранения энергии в нестационарных и неоднородных средах (обобщенная теорема Умова-Пойнтинга).
Во второй части диссертационной работы, развитым в первой части методом строится аналитическая теория излучения источников, движущихся равномерно вдоль оси (глава III) и перпендикулярно оси (глава IV) регулярного волновода с немагнитным заполнением, диэлектрическая проницаемость которого модулирована в пространстве и во времени по гармоническому закону. Математически задачи сводятся к интегрированию неоднородных дифференциальных уравнений Матье-Хилла. Решая последние, основываясь на результаты первой части диссертационной работы, удается найти выражения для полей и потерь энергии источников на излучение в областях слабого и сильного взаимодействия излучения с модулированным заполнением волновода. Проведен анализ дисперсионных уравнений и найдены спектры излучения движущихся источников. Исследованы особенности излучения в области сильного взаимодействия излучения с модулированным заполнением волновода. Получены результаты в частных случаях стационарного неоднородного и стационарного однородного заполнения. В 25 исследуется черенковское, переходное и «запертое» излучение заряженной частицы в однородной стационарной диэлектрической пластине в волноводе при ее равномерном движении через пластину перпендикулярно оси волновода.
Построению аналитической теории отражения и прохождения электромагнитных волн от границ периодически нестационарных и неоднородных сред в волноводе посвящена третья часть диссертационной работы. На основании результатов, полученных в первой части диссертационной работы, решается задача распространения электромагнитных волн в волноводе, где помещена гармонически модулированная в пространстве и во времени диэлектрическая пластина. В предположении малого индекса модуляции пластины найдены поля, обобщенные формулы Френеля и коэффициенты отражения и прохождения по мощности на основной и первых боковых гармониках в областях слабого (глава V) и сильного (глава VI) взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции пластины. В 29 проведен подробный анализ характера отражения и прохождения для гармонически модулированной пластины в неограниченном пространстве в об-
13 ласти сильного взаимодействия в случаях прямой и обратной модуляции пластины. Рассматриваются также, как частный случай полубесконечного модулированного заполнения волновода, так и частный случай наличия в волноводе стационарной и гармонически неоднородной диэлектрической пластины.
В результате проведенного исследования выносятся на защиту следующие основные научные положения:
1. Параметрическое взаимодействие электромагнитных волн и излуче
ния движущихся источников с периодически модулированным в пространстве
и во времени заполнением в волноводе произвольного поперечного сечения
может быть описано однородным и неоднородным обыкновенными дифферен
циальными уравнениями Матье-Хилла, которым удовлетворяют продольные
составляющие магнитного (Нг) и электрического (Ez) векторов, выбранные в
качестве потенциалов для поперечно-электрического (ТЕ) и поперечно-
магнитного (ТМ) полей соответственно. Решение полученных уравнений мето
дом разложения потенциалов Hz и Ег в ряд по собственным функциям второй и
первой краевых задач для поперечного сечения волновода, дает возможность в
единственном предположении малых индексов периодической модуляции ди
электрической и магнитной проницаемостей заполнения волновода получить
достаточно простые аналитические результаты, справедливые в довольно ши
рокой области изменения параметров, характеризующих параметрическое
взаимодействие распространяющейся сигнальной волны и волны излучения
движущихся источников с модулированным заполнением волновода.
2. Поперечно-электрическое (ТЕ) и поперечно-магнитное (ТМ) поля в
волноводе с периодически модулированным в пространстве и во времени за
полнением представляются в виде набора пространственно-временных гармо
ник. В области слабого (не резонансного) взаимодействия сигнальной волны с
волной модуляции заполнения волновода на основной гармонике амплитуда
поля не зависит от индексов модуляции заполнения волновода, а на первых бо
ковых гармониках амплитуды полей зависят от индексов модуляции заполне
ния волновода в первой степени. В узкой области синхронного взаимодействия
14 сигнальной волны с волной модуляции заполнения поле в волноводе модулируется только по фазе с периодом волны модуляции заполнения волновода.
3. При выполнении определенного условия существует частота, вокруг
которой происходит сильное (резонансное) взаимодействие сигнальной волны с
модулированным в пространстве и во времени заполнением волновода, когда
происходит значительный энергообмен между ними. Ширина частотной облас
ти сильного взаимодействия мала и пропорциональна индексам модуляции за
полнения волновода в первой степени. Оказывается возможным вывод анали
тического выражения частоты сильного взаимодействия из физических сооб
ражений на основе требования выполнения условия Вульфа-Брэгга.
Дисперсионное уравнение в области сильного взаимодействия имеет комплекс
ные решения, приводящие к нестабильности соответствующих полей. В случае
распространения сигнальной волны и волны модуляции заполнения волновода
в одном направлении, сильное взаимодействие в первом приближении по ин
дексам модуляции заполнения волновода происходит между нулевой и минус
первой гармониками. В результате этого амплитуда на минус первой гармонике
оказывается одного порядка с амплитудой волны на нулевой гармонике, в то
время как амплитуда волны на плюс первой гармонике оказывается зависящей
от индексов модуляции заполнения волновода в первой степени. При распро
странении сигнальной волны и волны модуляции заполнения волновода в про
тивоположных направлениях сильное взаимодействие происходит между нуле
вой и плюс первой гармониками.
4. В области слабого взаимодействия волны излучения источников с
волной периодической модуляции диэлектрического заполнения волновода, ко
гда направления движения источников и волны модуляции совпадают, ампли
туда поля черенковского излучения на основной гармонике не зависит от ин
декса модуляции заполнения волновода, а амплитуды полей переходного излу
чения на первых боковых гармониках зависят от индекса модуляции
заполнения волновода в первой степени. При этом потери энергии источников
на черенковское излучение не зависят от индекса модуляции заполнения вол-
15 повода, в то время как потери энергии источников на переходное излучение пропорциональны индексу модуляции заполнения волновода во второй степени. Спектр излучения существенным образом зависит от соотношения скорости движения источника и фазовой скорости света в невозмущенном заполнении волновода. Сильное взаимодействие между излученной волной и волной периодической модуляции заполнения волновода возможно в случае коротковолновой модуляции заполнения при выполнении условия возникновения черен-ковского излучения и когда источник обгоняет волну модуляции. Подобное взаимодействие происходит вокруг частоты сильного взаимодействия, аналитическое выражение для которой получается из физических соображений. Не-черенковские потери энергии источников в области сильного взаимодействия не зависят от индекса модуляции заполнения волновода и поэтому оказываются на несколько порядков больше, чем в области слабого взаимодействия.
5. В процессе излучения заряженной частицы, движущейся равномерно перпендикулярно оси прямоугольного волновода с периодически модулированным вдоль оси заполнением, появляется область, которая, по мере пролета заряженной частицы через волновод, движется по оси волновода со скоростью волны модуляции заполнения волновода. Из-за периодической нестационарности и неоднородности заполнения волновода в выражениях для потерь энергии частицы на излучение ТЕ и ТМ волн в области слабого взаимодействия излучения с модулированным заполнением помимо члена, не зависящего от индекса модуляции, появляются члены, зависящие от индекса модуляции в первой и во второй степенях. Спектр излучения заряженной частицы имеет сложный характер и включает спектр основного и дополнительного излучений на основной и на боковых гармониках. Возникновение излучения Вавилова-Черенкова в области сильного взаимодействия излучения со стационарным, но периодически неоднородным заполнением волновода возможно только при наличии в волноводе коротковолновой модуляции. В выражениях для потерь энергии излучения в этом случае в области сильного взаимодействия к известному члену черен-
ковского излучения добавляется член, пропорциональный индексу модуляции заполнения в первой степени.
Черенковское и переходное излучение заряженной частицы при ее равномерном движении перпендикулярно оси прямоугольного волновода, где помещена немодулированная диэлектрическая пластина конечной толщины, отличается своими характерными особенностями. Наличие в волноводе диэлектрической пластины конечной толщины приводит к явно выраженным резонансным эффектам, и излученная энергия уменьшается с ростом номера волны. Черенковское излучение, генерируемое частицей в пластине вокруг определенной частоты в виде явно выраженного пика, запирается в нее из-за многократных отражений в пластине. Эффект «запертого» излучения с дискретным спектром существует и в определенной области частот переходного излучения. В этой области частот пластина является своеобразным резонатором с собственными частотами.
Разработанный в первой части диссертационной работы метод позволяет найти обобщенные формулы Френеля и коэффициенты отражения и прохождения для периодически модулированной в пространстве и во времени диэлектрической пластины в волноводе произвольного поперечного сечения при параметрическом взаимодействии сигнальной электромагнитной волны с модулированной пластиной. В области слабого взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции пластины коэффициенты отражения и прохождения по мощности на основной гармонике не зависят от индекса модуляции пластины, а на боковых гармониках они пропорциональны индексу модуляции пластины во второй степени. Формулы Френеля и коэффициенты отражения и прохождения по мощности для полубесконечного периодически модулированного заполнения волновода получаются из полученных общих результатов переходом к пределу при стремлении к бесконечности толщины модулированной пластины. Коэффициент отражения по мощности в области сильного взаимодействия сигнальной волны со стационарной, но неоднородной диэлектрической пластиной в неограниченном пространстве с ростом индекса модуляции быстрее стремит-
17 ся к единице, а коэффициент прохождения по мощности быстрее стремится к нулю по мере стремления толщины пластины к бесконечности.
8, В области сильного взаимодействия сигнальной волны с волной моду
ляции диэлектрической пластины ( случай прямой модуляции) коэффициенты
отражения и прохождения по мощности на минус первой гармонике в поле вне
пластины оказываются не зависящими от индекса модуляции модулированной
пластины. В случае обратной модуляции оказываются не зависящими от индекса
модуляции пластины коэффициенты отражения и прохождения по мощности на
плюс первой гармонике в поле вне пластины. Эффект усиления по мощности в
отраженном поле возможен только для коротковолновой модуляции пластины.
9. Коэффициенты отражения и прохождения по мощности в области
сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции пластины в
неограниченном пространстве в зависимости от толщины пластины имеют ос
циллирующий характер с резко выраженными главными и второстепенными
максимумами. Огибающие главных максимумов являются возрастающими
функциями в зависимости от толщины модулированной пластины с различны
ми законами возрастания. В случае прямой модуляции максимальные значения
коэффициента отражения по мощности на минус первой гармонике уменьша
ются и по мере уменьшения индекса модуляции пластины при фиксированном
значении диэлектрической проницаемости смодулированной пластины, и по
мере возрастания значения диэлектрической проницаемости немодулированной
пластины при фиксированном значении индекса модуляции пластины. В случае
обратной модуляции имеет место эффект усиления по мощности в поле вне мо
дулированной пластины при определенном значении индекса модуляции пла
стины, причем, по мере возрастания скорости волны модуляции пластины, ко
эффициент отражения по мощности растет и может стать намного больше еди
ницы. Это открывает возможность использования периодически
модулированной пластины в качестве параметрического усилителя в различных
областях электроники СВЧ.
18 Основные результаты диссертации опубликованы в работах [122], [123], [126], [127], [139], [140], [141], [142], [143], [146], [147], [149], [150], [151]. [154], [155], [157], [158], [162], [163], [164], [165], [166], [167], [169], [170], [181], [182], [184].
ЧАСТЫ. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ПЕРИОДИЧЕСКИ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД В ВОЛНОВОДАХ
Первая часть диссертационной работы посвящена исследованию распространения свободных электромагнитных волн в волноводе произвольного поперечного сечения, диэлектрическая и магнитная проницаемости которого модулированы в пространстве и во времени.
Метод решения волновых уравнений для потенциалов ТЕ и ТМ полей в волноводе с периодически модулированным в пространстве (по Z) и во времени заполнением
Подобную модуляцию заполнения в волноводе, как уже говорилось во введении, можно создать мощной волной накачки различной природы: электромагнитной (лазерной) волной, ультразвуковой волной и т.п. Частота электромагнитной (лазерной) волны в среде меняется приблизительно между 7.5 1014 Гц и 2.4 1015 Гц, длина волны - между 8"10"5 см и 8 10 6 см. Для ультразвуковой волны в среде имеем: частота меняется приблизительно между 105 Гц и 3"109 Гц, длина волны - 7.5 см и 2.5 1 О 4 (см [2], [86]).
Рассмотрим распространение сигнальной электромагнитной волны в волноводе с модулированным по закону (1.29-1.30) заполнением в «приближении малых сигналов» [71], то есть в предположении, что она при взаимодействии с волной модуляции не меняет значения є и (Л. Такое предположение, как правило, выполняется в эксперименте.
Далее, переходя к рассмотрению конкретного» но важного случая периодически модулированного заполнения волновода, когда диэлектрическая и магнитная проницаемости заполнения меняются по закону (1.29) и (1.30), будем ограничиваться малыми индексами модуляции заполнения (тЕ «1, тр « /).
Это оправдано тем, что обычно в реальном эксперименте индексы модуляции очень малы [7] и могут меняться от 10 4 до 4 10 2 (последнее значение зарегистрировано в голографических решетках в хромированной желатине). Заметим также, что если скорость волны модуляции при этом и 0,8-ифі где оф -c/ js0 ju0 есть фазовая скорость света в невозмущенной среде, то наряду с те и тм оказывается малым и параметр =уп +тр)р2 fb «1.
Из (1.57) видно, что поведение общего решения уравнения Матье (см. (1.56)) при х — +оо зависит от характеристического показателя ju, По определению, общее решение уравнения (1.56) является устойчивым, если оно стремиться к нулю или остается ограниченной при х — +оо 3 и является неустойчивым, ЄСЛИ При X— +СО ОНО СТреМИТЬСЯ К +О0 .
Если характеристический показатель ju нецелое действительное число, то общее решение уравнения (1.56) устойчиво, причем оно периодично, если /J рациональная дробь и не периодично, если ft иррациональное число. Если характеристический показатель (л чисто мнимое или комплексное число (jlm//j 0, Re// Oj, то общее решение неустойчиво.
Заметим, что в вычислительной практике в зависимости от устойчивости и неустойчивости решения добиваются того, чтобы /л было либо действительным, либо чисто мнимым, а так же чтобы 0 11ш// 1. Сказанное выше об устойчивости и неустойчивости решений уравнения Матье (1.56) в зависимости от характера показателя /л проиллюстрировано на рисунках 1.3 и 1.4, причем диаграмма на рисунке 1.3 соответствует функциям Матье дробного порядка, а диаграмма на рисунке 1.4 - целого порядка. Кривые &1 и в\, где v = 0,1,2,... делят всю плоскость {&о @і) на зоны устойчивости и неустойчивости решений уравнения (1.56). Если точка (#0;#/) (0} 0) находится между кривыми &o,&i+l на рисунках 1.3 и 1.4, то № действительны но не целы \}ЛФ У) И оба решения уравнения Матье устойчивы. Если же точка (ва;9\) (&, 0) находится между кривыми 0О",0," на рисунках 1,3 и 1.4, то ju комплексны и общее решение уравнения Матье неустойчиво. На границах, ограничивающих устойчивые и неустойчивые решения ц = v, где v нумерует зону нестабильности на плоскости , ).
Подставляя (1.54) и (1.55) в уравнения (1.48) и (1.49) и приравнивая к нулю коэффициенты при e2ikS и e2ikS мы получим следующие однородные системы уравнений для определения С" и " (к = 0; ± і)
Физическое объяснение эффекта сильного взаимодействия
1. Разработан аналитический метод решения задач электродинамики нестационарных и неоднородных сред и с его помощью построена последовательная теория распространения электромагнитных волн в волноводе произвольного поперечного сечения, диэлектрическая и магнитная проницаемости заполнения которого модулированы в пространстве и во времени по гармоническому закону.
2. Предложено выбрать в качестве потенциалов поперечно-электрического (ТЕ) и поперечно-магнитного (ТМ) полей в волноводе с периодически нестационарным и неоднородным заполнением продольные составляющие магнитного [Н2) и электрического \EZ) векторов соответственно.
3. Получены волновые уравнения для потенциалов Нг и Ег) представляющие собой дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Заменой переменных последние приведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям Матье-Хилла, решения которых ищутся в виде разложения в ряд по собственным функциям второй и первой краевых задач для поперечного сечения волновода.
4. Получены аналитические выражения для ТЕ и ТМ полей в предположении малых индексов модуляции заполнения волновода те и тм в области слабого взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения. Показано, что ТЕ и ТМ поля в волноводе с периодически модулированным заполнением представляют собой набор пространственно-временных гармоник с различными амплитудами. При этом оказывается, что на нулевой (основной) гармонике амплитуда поля не зависит от индексов модуляции заполнения волновода те и т „, в то время, как на плюс и минус первых (боковых) гармониках амплитуды полей зависят от индексов модуляции заполнения волновода те и m „ в первой степени. 5. Получены аналитические выражения для ТЕ и ТМ полей в случаях периодически неоднородного, но стационарного и периодически нестационарного, но однородного заполнения волновода, в приближении геометрической оптики, для волновода с модулированным анизотропным заполнением, в неограниченной периодически модулированной среде, а также в случае двупе-риодически модулированного заполнения волновода.
6. Получены дисперсионные уравнения задачи распространения электромагнитных ТЕ и ТМ волн в волноводе с периодически нестационарным и неоднородным заполнением с точностью до членов второго порядка по малым индексам модуляции тє и т„. Рассмотрены случаи длинных волн (длина сигнальной волны в волноводе много больше длины волны модуляции заполнения волновода) и коротких волн (длина сигнальной волны в волноводе много меньше длины волны модуляции заполнения волновода).
7. Исследован характер распространения электромагнитных волн в волно воде с периодически модулированным заполнением в узкой области "sonic re gion", когда имеет место синхронное взаимодействие сигнальной волны с вол ной модуляции заполнения волновода. Получены асимптотические решения задачи в области "sonic region". Показано, что поле в волноводе в этой области модулируется только по фазе с периодом волны модуляции ——, причем вокруг определенных граничных значений быстро осциллирует. ГЛАВА II. Особенности распространения электромагнитных волн в волноводе с периодически нестационарным и неоднородным заполнением в области «сильного» (резонансного) взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции. волны с волной модуляции заполнения волновода.
В первой главе при решении задачи распространения электромагнитных волн в волноводе с периодически модулированным в пространстве и во времени заполнением мы в основном интересовались частотной областью «слабого» взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения, когда величины о и в" были не слишком близки к единице, точнее, когда выполнялись условия
В данной главе наше внимание будет обращено важной частотной области сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения, когда &а = 1 и вд = 1, точнее, когда выполняются условия [122]
Заметим, что на важность исследования этой области частот уже отмечалось в 4. Ниже исследование особенностей взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения в частотной области (1.146) проведем на примере распространения поперечно-магнитных (ТЕ) волн в волноводе с немагнитным периодически модулированным заполнением, то есть, считая, что магнит 60 ная проницаемость заполнения /і - 1 \rn = 0J, а диэлектрическая проницаемость меняется в пространстве и во времени по закону (1.29). Очевидно, что в области слабого взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения (область частот (1.145)), потенциал ТЕ поля в волноводе Н2 будет иметь вид (см. (1.73))
Потери энергии движущихся источников на излучение
Полные потери энергии заряженной частицы в области слабого взаимодействия (см. (2.19)) на единице пути можно найти по величине тормозящей силы qEz ь действующей на частицу со стороны создаваемого его поля. Вычисления приводят к следующей формуле где dw/dz - потери энергии частицы на единице пути.
Как видно из (2.47) полные потери энергии заряженной частицы периодически зависят от времени с характерным периодом 2я/к0(о-и). Нетрудно заметить, что это есть время прохождения источником одного периода модуляции среды.
Подставим (2.20) в (2.47) и разложим в нем подынтегральное выражение по малым параметрам те и іє. Если далее учитывать известное представление (2.21) и провести усреднение полных потерь энергии частицы по времени на периоде 2niku(v-u)t то получим [149]. выражаются соответственно формулами (2.18), (2.25), (2.26), (2.27). Интегрирование в (2.48) в комплексной области /сводится к сумме вычетов в простых полюсах, определяемых из условия равенства нулю знаменателей подынтегральных выражений и имеющих вид
Учитывая, что эти точки расположены на действительной оси и выбирая контур интегрирования, как показано на рисунке 2.5, после вычисления интеграла получим
Таким образом, усредненные полные потери энергии частицы на единице длины пути при ее движении в волноводе с гармонически нестационарным неоднородным заполнением и в области слабого взаимодействия излучения с волной модуляции (см. (2.19)) с точностью до второго порядка те включительно описывается выражением (2.50) (см. также (2.48)). Член при к=0 (и=0) описывает потери энергии частицы на черенковское излучение на частоте
Контур интегрирования при вычислении интеграла в (2.48). DJSQ если выполняется условие 1 для его возникновения. Члены при к=И опи сывают потери энергии частицы на переходное излучение. Как следует из (2.48), усредненные потери энергии частицы на черенковское излучение не зависят от tns, в то время, как усредненные потери энергии частицы на переходное излучение на плюс и минус первых гармониках в области слабого взаимодейст вия излучения с волной модуляции пропорциональны квадрату индекса моду ляции заполнения \rnl) [149] (см., также [135]).
В нулевом приближении {к=0) и при и 0 из (2.48) получим выражение I = 2X(W„), (2.54) описывающее черепковские потери энергии частицы при ее движении в волноводе, который заполнен стационарной и однородной средой с диэлектрической постоянной є0. Отметим, что (2.54) совпадает с результатом работы [121].
Для получения представления о порядке величины энергии излучения частицы по формуле (2.48) в области слабого взаимодействия излучения с волной модуляции рассмотрим следующий пример. Пусть диэлектрическое заполнение с є0 = 10 круглого волновода с радиусом 1 см модулируется ультразвуком и и = 4-Ю3м/сек, k0 = 103л/-1. Тогда для релятивистской частицы заряда q на первой гармонике \й) = 6-1010сек 1 J на волне 0і в интервале частот — = МГ2 излучается мощность порядка {qmE)2 Вт. со
Выражение для потерь энергии частицы (2.50) упрощается в приближении геометрической оптики, т.е. при выполнении условия (см (1.111)) Вычисления приводят к следующему выражению для полных потерь энергии движущейся частицы, усредненные по относительному периоду Потери энергии движущегося магнитного момента. Полные потери энергии магнитного момента в области слабого взаимодействия излучения с модулированным заполнением (см. (2.42)) на единице длины пути можно найти по величине работы силы торможения, действующей на магнитный момент со стороны создаваемого им поля. Вычисления с учетом (2.33) приводят к следующему выражению
Если усреднить (2.57) по относительному периоду учитывая (2.43) и одновременно провести интегрирование в комплексной области у (см. пункт 16.1), то получим [150].
Как видно из (2.58), потери энергии магнитного момента на переходное излучение в области слабого взаимодействия пропорциональны квадрату индекса модуляции заполнения.
Из лучение движущейся частицы в волноводе со стационарным неоднородным заполнением
Сравнение выражений (2.81) и (2.54) показывает, что в области сильного взаимодействия нечеренковские потери энергии частицы порядка или даже и2 больше (если 2 so 1 2 ) черенковских потерь. К такому выводу приходят и авторы работы [135], рассматривая переходное излучение частицы, движущейся в неограниченной периодически неоднородной среде.
Здесь также можно показать, что если черенковское излучение направлено вперед по направлению движения частицы, то переходное излучение в области сильного взаимодействия направлено назад.
В случае стационарного и периодически неоднородного заполнения волновода эффект сильного взаимодействия между волной модуляции и волной излучения допускает аналогичное случаю нестационарного и неоднородного заполнения физическое истолкование с учетом того, что теперь, из-за независимости диэлектрической проницаемости заполнения от времени, угол падения волны на уплотнение заполнения равен углу отражения от них.
1. Исследовано черенковское и переходное излучение источников (заряженная частица, магнитный момент и т.д.), движущихся равномерно вдоль оси волновода с периодически нестационарным и неоднородным и немагнитным диэлектрическим заполнением. Методом, развитым в первой части диссертационной работы, неоднородные волновые уравнения в частных производных сведены к неоднородным обыкновенным дифференциальным уравнениям Матье-Хилла. Найдены поля движущихся источников в предположении малого индекса модуляции в области слабого взаимодействия излучения с модулированным заполнением волновода. Показано, что амплитуда поля излучения на нулевой гармонике (излучение Вавилова-Черенкова, если выполняется условие для его возникновения) не зависит от индекса модуляции заполнения волновода, а амплитуды поля излучения на плюс и минус первых гармониках (переходное излучение) пропорциональны индексу модуляции заполнения волновода в первой степени.
2. Найдены полные потери энергии движущихся источников на излучение на единице пути в области слабого взаимодействия излучения с модулированным заполнением волновода, усредненные по периоду, представляющего время прохождения источником одного периода модуляции заполнения. Показано, что черенковские потери энергии на излучение не зависят от индекса модуляции заполнения волновода, в то время, как потери энергии на переходное излучение пропорциональны индексу модуляции во второй степени.
3. Получены дисперсионное уравнение и спектр излучения источников, движущихся равномерно вдоль оси волновода с периодически нестационарным и неоднородным диэлектрическим заполнением. Показано, что спектр излучения существенным образом зависит от соотношения скорости движения источников и фазовой скорости света в невозмущенном заполнении волновода, т.е. и г— от величины Vfo . В случае стационарного, но периодически неоднородного заполнения волновода при выполнении условия —л/ о 1 спектральные кривые представляются в виде семейства эллипсов, причем нижняя часть спектра излучается под углами, близкими к нулю, а верхняя часть - под углами, близкими к 180. Если же в случае стационарного но периодически неоднородного заполнения удовлетворяется условие — Л/0 1, когда возможно возникновение излучения Вавилова-Черенкова, спектральная кривая на нулевой гармонике представляется прямой, а на остальных гармониках спектральные кривые представляются в виде гипербол.
4. Проведен анализ характера излучения источников, движущихся в волноводе с периодически нестационарным и неоднородным заполнением в области сильного взаимодействия излучения с модулированным заполнением. Показано, что сильное взаимодействие между нулевой и минус первой гармониками имеет место при выполнении условия возникновения черенковского излучения и когда источник излучения обгоняет волну модуляции. Из физических соображений получено аналитическое выражение для частоты, вокруг которой происходит сильное взаимодействие между нулевой и минус первой гармониками. Показано также, что если черенковское излучение движущихся источников направлено вперед по направлению его движения, то переходное излучение на минус первой гармонике в области сильного взаимодействия направлено назад.
5. Получено выражение для полных потерь энергии источников, движущихся в волноводе с периодически нестационарным и неоднородным заполнением в области сильного взаимодействия излучения с модулированным заполнением. Показано, что нечеренковские потери энергии источников излучения оказываются не зависящими от индекса модуляции заполнения, в то время, как в области слабого взаимодействия они были пропорциональны индексу модуляции во второй степени. Последнее обстоятельство показывает, что полные потери энергии источников на излучение в области сильного взаимодействия излучения с модулированным заполнением волновода оказываются на несколько порядков больше чем в области слабого взаимодействия.
6. Получены результаты задачи излучения источников в частном случае их равномерного движения в волноводе со стационарным неоднородным заполнением. Установлено что сильное взаимодействие между излучением и волной модуляции заполнения волновода реализуется только при определенном соотношении между его размерами и длиной волны модуляции. Показано, что сильное взаимодействие имеет место для коротковолновой модуляции заполнения волновода.
