Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Сингулярные интегральные представления электромагнитного поля 28
1.1 Основные определения 28
1.2 Векторы поля и электродинамические потенциалы 30
1.3 Определение дифференциальных операторов 32
1.4 Интегральные представления электромагнитного поля 37
1.5 Дальняя зона излучающей структуры 39
1.6 Сингулярные интегральные представления электромагнитного поля 44
1.7 Интегральные представления электромагнитного поля для структур с некоторыми типами симметрий 48
1.8 Основные итоги главы 1 62
ГЛАВА 2. Квазиодномерные излучающие и переизлучающие структуры 63
2.1 Понятие квазиодномерной структуры 63
2.2 Трубчатая квазиодномерная структура 68
2.3 Полосковая квазиодномерная структура 94
2.4 Тонкопроволочная квазиодномерная структура 116
2.5 Основные результаты главы 2 1
ГЛАВА 3. Поверхности с осевой симметрией 129
3.1 Интегральное представление электромагнитного поля поверхности с осевой симметрией 129
3.2 Дискретизация интегрального представления электромагнитного поля 136
3.3 Алгоритм расчета элементарных ядер 139
3.4 Вычисление элементарных функционалов 142
3.5 Вычисление сингулярных функций 144
3.6 Задача о распределении поверхностной плотности тока по кольцевой полосковой антенне 148
3.7 Электродинамический анализ меток радиочастотной идентификации 171
3.8 Возбуждение кольцевой структуры плоской линейно поляризованной электромагнитной волной 187
3.9 Основные результаты главы 3 191
ГЛАВА 4. Решение задач излучения и дифракции на основе интегральных представлений электромагнитного поля 193
4.1 Математические модели цилиндрической спиральной антенны 193
4.2 Двузаходная коническая спиральная антенна с тонкопроволочным рефлектором конечных размеров
2 4.3 Теоретическое и экспериментальное исследование двузаходной конической равноугольной логоспиральной антенны малого космического аппарата «АИСТ-2» 219
4.4 Тонкопроволочная модель фрактального симметричного вибратора на основе салфетки Серпинского 229
4.5 Дифракция плоских электромагнитных волн на омега-частице 237
4.6 Дифракция плоских электромагнитных волн на двумерной структуре, образованной s-элементами 242
4.7 Основные результаты главы 4 249
ГЛАВА 5. Итерационный подход к решению внутренней задачи электродинамики 251
5.1 Модифицированный метод Гаусса-Зейделя 253
5.2 Алгоритмы расчета двухуровневой матрицы метаматериала 260
5.3 Определение матричных элементов на основе интегральных представлений электромагнитного поля 265
5.4 Возбуждение связанных разомкнутых колец плоской электромагнитной волной 266
5.5 Решение внутренней задачи для метаструктуры, состоящей из плоских разомкнутых колец 273
5.6 Основные результаты главы 5 2
Заключение 279
Список сокращений и условных обозначений 286
Список литературы
- Сингулярные интегральные представления электромагнитного поля
- Полосковая квазиодномерная структура
- Вычисление элементарных функционалов
- Двузаходная коническая спиральная антенна с тонкопроволочным рефлектором конечных размеров
Введение к работе
Актуальность темы исследования. В начале 20-го века возникла серьезная потребность в строгих методах электродинамики, связанная с развитием радиотехники в целом и приемно-передающих устройств в частности, результатом которого стало появление множества типов антенн. Среди наиболее широко применяемых можно упомянуть вибраторные, рамочные, щелевые, спиральные, рупорные, зеркальные и линзовые. Исторически получилось так, что с каждым типом антенн стали связаны свои, определенные методы анализа и синтеза, построенные с учетом особенностей данного типа. В этой связи необходимо упомянуть ряд ведущих отечественных и зарубежных ученых и их научных школ, таких как Пистолькорс А.А., Фельд Я.Н., Леонтович М.А., Никольский В.В., Ильинский А.С., Воскресенский Д.И., Марков Г.Т., Сазонов Д.М., Казарин А.Н., Stratton J., Kraus J., Mei K., Rumsey H. и др. В настоящее появляются новые типы антенн, например фрактальные (Кравченко В.Ф., Нефедов Е.И., Потапов А.А.)
Развитие антенной техники происходило как в направлении поиска новых типов геометрии излучателей и приемников, так и в направлении применения все более новых типов материалов, к которым можно отнести создаваемые искусственным путем ме-таматериалы и композитные структуры, имеющие заранее заданные характеристики. Основополагающей работой по метаматериа-лам можно считать работу Веселаго В.Г. В настоящее время ме-таматериалы используются при построении СВЧ-устройств, таких как линии передачи, резонаторы, фазовращатели, полосно-заграждающие фильтры и направленные ответвители. В антенной технике метаматериалы применяются при проектировании рупорных антенн, антенн с поверхностной волной, для минимизации взаимодействия между излучателями в антенных решетках. К метама-териалам можно отнести киральные среды и фотонные кристаллы.
В качестве единой основы, строго описывающей упомянутое множество электродинамических структур, можно использовать интегральные представления электромагнитного поля (ИП ЭМП), связывающие электромагнитное поле в любой точке пространства с токами, находящимися в заданном объеме. Главным достоинством интегральных представлений является то, что для решения необ-
ходимо знать только распределение источников. Это существенно снижает размерность решаемой задачи в сравнении с непосредственным применением уравнений Максвелла.
Строгий электродинамический подход используется в современных системах автоматизированного проектирования (САПР), достаточно универсальных, но в то же время не лишенных определенных недостатков. В некоторых случаях непосредственное использование САПР может быть попросту неэффективным (сеточные структуры, поверхности с сложным рельефом, резонансные структуры, композитные структуры). В результате, в современной электродинамике сложилась интересная ситуация – с одной стороны, имеются мощные САПР, требующие серьезных вычислительных ресурсов и выдающие теоретически верный результат, обладающий малой погрешностью, но со слабыми возможностями в плане физической интерпретации и прогнозирования результатов, а с другой стороны – огромное количество методик-«рецептов», реализующихся чуть ли не на карманном калькуляторе, но с физичным, хотя порой больше качественным, а не количественным результатом.
Решением данных проблем может стать построение более специализированных ИП ЭМП для большего числа электродинамических элементов, объединенных общей спецификой, что представляется актуальной задачей.
Один из наиболее важных вопросов в теории метаматериалов касается методов их электродинамического анализа. Очевидно, что при разработке левосторонних материалов Smith D. и его коллеги опиравшиеся на работы Pendry J., руководствовались прежде всего методами теории цепей, оперируя эффективными диэлектрической и магнитной проницаемостями. Имеются утверждения (Кисель В.Н., Лагарьков А.Н.), что изучение новых свойств метамате-риалов необходимо делать на основании строгих электродинамических методов, работающих в ближней зоне дифракции электромагнитного поля.
Исследование киральных сред в настоящее время опирается на феноменологические материальные уравнения, оперирующие параметром киральности. Из недостатков такого подхода отметим усредненный характер уравнений, необходимость знания параметра киральности и его частотной зависимости для конкретной среды,
малость размеров киральных элементов в сравнении с длиной волны и большое расстояние между элементами, позволяющее пренебречь их взаимодействием. Применение ИП ЭМП снимает ограничения, связанные с использованием эффективных параметров сред и феноменологических уравнений.
Таким образом, в качестве единой теоретической основы для электродинамического анализа излучающих и переизлучающих структур могут выступить интегральные представлений электромагнитного поля, развивающиеся в направлении расширения номенклатуры базовых излучающих элементов.
Интегральные представления электромагнитного поля известны достаточно давно, но в большинстве работ упор делается не на ИП ЭМП, а на интегральные уравнения (ИУ) и их системы. Упомянем здесь лишь некоторых ученых, таких как Капица П.Л., Вайн-штейн Л.А., Mittra R., Mei K., King R., Bulter C, Гахов Ф.Д., Му-схелишвили Н.И., Лифанов И.К., Васильев Е.Н., Ильинский А.С., Неганов В.А. и др. Очень много работ, посвященных ИУ, полученным в тонкопроволочном приближении и связанные с решением уравнений Фредгольма первого рода (Pocklington H., Hallen E., Радциг Ю.Ю., Эминов С.И., Стрижков В.А., Назаров В.Е., Тихонов А.Н. и др.)
Как правило, в большинстве работ внутренняя и внешняя задачи разделены, и наиболее сложной считается внутренняя задача. Отметим одно очень важное свойство ИП ЭМП корректных физических моделей электродинамических структур: они являются сингулярными (СИП ЭМП). Сингулярности различных типов возникают при рассмотрении СИП ЭМП на поверхности излучающей структуры, где они переходят в системы сингулярных ИУ (СИУ), а также в непосредственной близости к ней. Можно утверждать, что именно наличие сингулярных операторов обеспечивают корректность, устойчивость и однозначность решения внутренней задачи. Также можно отметить, что для конкретных типов структур возможно построение СИП ЭМП с явно выделенными сингу-лярностями, что представляется крайне актуальной задачей.
Другой не менее важной задачей является получение дискрети-зированных форм СИП ЭМП, переходящих при рассмотрении на поверхности структуры в системы линейных алгебраических урав-
нений, записанных относительно неизвестных коэффициентов разложения распределений источников по физически обоснованным пространствам проекционных функций.
И наконец, еще одной актуальной задачей является построение эффективных алгоритмов решения внутренней задачи при наличии большого числа взаимодействующих элементов, что характерно для метаматериалов, антенных решеток и подобных им структур. Все эти вопросы затрагиваются в настоящей диссертации.
Решение электродинамических задач в диссертации производится на единой теоретической базе, представляющейся естественным развитием используемых ранее подходов — с помощью различных форм интегральных представлений электромагнитного поля, причем в силу свойств ИП ЭМП внешняя и внутренняя электродинамические задачи сохраняют взаимосвязь.
Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является разработка общих методов решения электродинамических задач, связанных с излучением и дифракцией электромагнитных волн, а также с процессами, происходящими в композитных структурах, на основе интегральных представлений электромагнитного поля, в том числе сингулярных. Для достижения данной цели решаются следующие задачи:
Запись общих интегральных представлений электромагнитного поля различного назначения: полных (справедливых в любой точке пространства), асимптотических (для дальней зоны излучения), а также учитывающих зеркальную и поворотную симметрию электродинамических структур;
Построение сингулярных интегральных представлений электромагнитного поля квазиодномерных трубчатых, полосковых и тонкопроволочных структур, в непрерывной и дискретизиро-ванной формах, с описанием процедур вычисления сингулярных функций, описывающих поведение электромагнитного поля вблизи и на поверхности структур;
Построение сингулярного интегрального представления электромагнитного поля для поверхности, обладающей симметрией вращения; описание процедуры дискретизации представления, раз-
работка метода вычисления ядер представления вблизи и на поверхности структуры;
Решение задач внешнего и внутреннего электродинамического анализа для излучающих и переизлучающих структур, относящихся к рассматриваемым классам;
Разработка общего метода строгого решения внутренней задачи для композитных структур: многоэлементных антенн, фазированных антенных решеток и метаматериалов; оценка эффективности метода.
Научная новизна диссертационной работы включает следующие пункты:
Единый строгий подход к решению задач излучения и дифракции электромагнитных волн, а также для композитных структур, использующий в своей основе интегральные представления электромагнитного поля, в том числе сингулярные;
Обоснование некоторых базовых классов излучающих и переизлучающих структур с точки зрения интегральных представлений электромагнитного поля, связывание с этими классами сингулярных функций, описывающих поведение полей вблизи и на поверхности структур данных классов, изложение методов расчета сингулярных функций;
Запись полученных интегральных представлений электромагнитного поля как в непрерывной, так и в дискретизированной форме, позволяющей быстро перейти к системе линейных алгебраических уравнений при решении внутренней электродинамической задачи и к конечным суммам при решении внешней электродинамической задачи;
Итерационная модель композитной структуры, состоящей из конечного числа элементов, дополненная различными алгоритмами сокращения размерности внутренней электродинамической задачи. Модель применима для расчетов многоэлементных антенн, антенных решеток и различных видов метаматериалов. В рамках модели можно определить степень связи между элементами.
Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы заключается в разработке и развитии методов строгого электродинамического анализа применительно к некоторым важным классам излучающих и переизлучающих структур на основе единого подхода, предполагающего использование сингулярных интегральных представлений электромагнитного поля. Модели, построенные в рамках данного подхода, обладают самодостаточностью, т.е. позволяют решать как внутреннюю, так и внешнюю задачу электродинамики, сохраняя при этом их взаимосвязь, а также учитывают свойства излучающих структур, позволяя повысить эффективность расчетов. На основе предложенных в диссертационной работе методов применительно к метаматериалам возможно создание методик для определения параметров феноменологических уравнений или эффективных диэлектрических и магнитных про-ницаемостей, в том числе и в тензорном виде.
Практическую ценность представляют собой математические модели различных типов спиральных антенн, рамочных антенн, меток радиочастотной идентификации, фрактальной антенны, омега-частицы и метаструктур на основе S-элементов и двойных разомкнутых колец, полученные для этих моделей численные результаты, а также алгоритмы решения соответствующих внутренних и внешних задач.
Решение ряда задач, поставленных в диссертационной работе, осуществлялось в ходе выполнения хоздоговорных работ по заказам профильных предприятий отрасли, выполняемых в Поволжском государственном университете телекоммуникаций и информатики. Результаты работы внедрены в ФГУП НИИ ГРКЦ «Прогресс», а также в учебный процесс ФГБОУ ВО «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики».
Методология и методы исследования. В основе работы лежит математический аппарат электродинамики, методы математического моделирования, математический аппарат теории сингулярных интегральных уравнений, численные методы решения интегральных уравнений и эксперимент. Численные результаты получены с использованием вычислительных алгоритмов, реализованных на ПЭВМ.
Достоверность и обоснованность. Результаты исследований получены на основе строгих электродинамических и математических моделей. Использованные при этом приближенные методы решения интегральных уравнений корректны с формальной математической точки зрения. Контроль результатов осуществлялся: сравнением для некоторых излучающих структур полученных результатов с расчетными данными, приведенными в работах других авторов, полученными с помощью других методов, с экспериментальными данными; исследованием внутренней сходимости численных алгоритмов; анализом физического смысла решений.
Достоверность полученных результатов подтверждается также выполнением предельных переходов полученных уравнений для некоторых излучающих структур в известные соотношения.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Сингулярные интегральные представления электромагнитного поля трубчатой и полосковой квазиодномерных структур, сингулярные интегралы, описывающие поведение ближнего поля соответствующих структур и методы их вычисления.
-
Сингулярное интегральное представление электромагнитного поля поверхности, обладающей симметрией вращения, дополненное процедурой его дискретизации, методом расчета компонент ядер и процедурой перехода к системе линейных алгебраических уравнений, записанной относительно неизвестных амплитуд азимутальных гармоник вектора поверхностной плотности тока.
-
Математическая модель кольцевого полоскового излучателя, построенная на основе представления функции Грина в цилиндрической системе координат, равномерные асимптотические представления подынтегральных функций ядер систем сингулярных интегральных уравнений, обобщение процедуры регуляризации Карлемана-Векуа на случай бесконечного набора сингулярных интегральных уравнений, записанных относительно неизвестных амплитуд фурье-гармоник продольной составляющей поверхностной плотности тока кольцевого полоскового излучателя.
-
Математическая модель цилиндрической спиральной антенны, расположенной над идеально проводящей металлической поверхностью.
-
Математические модели симметричных вибраторов: фрактального вибратора на основе треугольника Серпинского и широкополосного вибратор с плечами аналогичных размеров.
-
Метод итерационного решения внутренней электродинамической задачи для композитных структур, дополненный алгоритмами компактного представления двухуровневой матрицы системы линейных алгебраических уравнений, записанной относительно коэффициентов разложений тока по проекционным функциям.
Личный вклад автора.
3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК, опубликованы соискателем без соавторов. В остальных работах: формулировка алгоритмов, разработка методик численного расчета и их программная реализация, анализ полученных результатов и оформление их для публикации. Все результаты данной диссертационной работы получены автором лично.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и вошли в материалы следующих конференций и симпозиумов:
IV-XI Международные научно-технические конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Нижний Новгород, 2005; Самара, 2006; Казань, 2007; Самара, 2008; Санкт-Петербург, 2009; Челябинск, 2010; Самара, 2011; Екатеринбург, 2012);
XII-XIII Международные научно-технические конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Нижний Новгород, 2014; Казань, 2015) в рамках пленарных докладов;
Международная конференция по математической физике и ее приложениям (Самара, 2008)
VI Международная научно-техническая конференция «Проблемы техники и технологии телекоммуникаций» (Казань, 2008)
Международный симпозиум «Progress in Electromagnetic Re-search» (Marrakesh, 2011);
Всероссийская научно-техническая конференция «Актуальные проблемы ракетно-космической техники» (III Козловские чтения, Самара, 2013);
XII Региональная научная конференция «Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование» (Хабаровск, 2013)
XX Международная конференция «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2014)
Публикации. По материалам диссертации опубликована 61 работа, в том числе 23 статьи в журналах, рекомендованных ВАК. Также материалы диссертации вошли в две монографии.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка сокращений и условных обозначений, списка литературы из 123-х наименований, содержит 301 страницу текста, в том числе 73 рисунка.
Сингулярные интегральные представления электромагнитного поля
Отметим снова, что в литературе, как правило, внутренняя и внешняя задачи разделены, и наиболее сложной считается внутренняя задача. При решении внутренней задачи в тонких проволочных структурах используют, по меньшей мере, два вида интегральных уравнений – Халлена и Поклингтона. По-видимому, первой работой в этой области следует считать [31], в которой уравнение Поклинг-тона использовалось для доказательства того, что распределение тока в тонком проводе близко к синусоидальному, а скорость волны тока равна скорости света. В [32] также было записано интегральное уравнение типа Поклингтона. Основополагающими работами, посвященными строгому расчету распределения тока по проводнику можно считать труды Халлена Е. [33], Леонтовича М.А. и Левина М.Л. [34].
Решение интегральных уравнений Поклингтона и Халлена осуществляется, как правило, методом моментов [23], [35]-[40]. По существу он сводится к преобразованию указанных уравнений в систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно некоторых неизвестных постоянных. Эти неизвестные постоянные обычно представляют собой коэффициенты разложения для тока в некоторой подходящей системе базисных функций. В зависимости от выбора базисных и весовых функций существует достаточно большое разнообразие конкретных реализаций данного подхода: метод Галеркина, сшивание в дискретных точках, согласование реакций и т.д. Некоторые методы решения подобных уравнений рассмотрены в [41], [42].
В [43]-[46] был развит новый метод, с помощью которого на основе математического аппарата теории сингулярных интегральных уравнений (СИУ) [46, 49], было получено СИУ относительно производной по продольной координате от плотности поверхностного тока на вибраторе. Такая постановка задачи является корректной по Адамару [50], благодаря чему обеспечивается наличие устойчивых решений даже при больших электрических радиусах проводников. Ранее этот подход с успехом применялся для построения математических моделей полосково-щелевых волноведущих и резонансных структур сверх- и крайневысоких частот [51]-[54]. В работе Заргано Г.Ф. [55] рассматриваются волноведущие структуры с неоднородностями, электродинамический анализ собственных волн которых приводит к системам интегральных уравнений Фредгольма первого рода с ядрами, имеющими логарифмическую особенность. Близкие подходы для излучающих систем, состоящих из ленточных проводников, были развиты в [56],[57]. В [58] метод СИУ был обобщен для электрического вибратора с учетом азимутальной зависимости тока и для плоского полоскового вибратора.Численные методы решения СИУ описаны в монографиях [47], [48].
Также следует отметить [59], где описан вывод СИУ тонкого криволинейного вибратора и приведен алгоритм его решения. Рассмотрены вопросы определения входного сопротивления и возбуждения такой антенны. Однако в качестве примера приведен численный расчет только прямолинейного полуволнового вибратора.
Общий подход к решению задач дифракции методом интегральных уравнений развит в работах Ильинского А.С. В [60]-[62] последовательно исследуются математические модели теории дифракции, дано математическое обоснование корректности математических задач. Исследованы вопросы существования и единственности решений задач теории дифракции. В работах Разинькова С.Н. [63, 64] анализ вторичного излучения радиоимпульсов разомкнутыми цилиндрическими поверхностями сводится к интегральным и интегро-дифференциальным уравнениям с пространственно-временными операторами.
Начало развитию методов решения краевых задач на телах с симметрией вращения было положено Васильевым Е.Н. [65]. За рубежом работы по данной тематике стали появляться с заметным опозданием [66, 67]. Отметим также работы [68, 69], а также важную монографию [70] Васильева Е.Н., в которой описан и развит численный метод решения граничных задач электродинамики применительно к телам вращения произвольной формы, сводящихся к интегральным уравнениям относительно истинных или эквивалентных токов на поверхностях раздела. В третьей главе данной диссертации записаны сингулярные ИП ЭМП для поверхности с симметрией вращения и разработан алгоритм решения системы СИУ с использованием элементарных сингулярных функций.
Существуют работы, в которых с помощью СИУ производится анализ элементов, использующихся при построении метаматериалов. Здесь, правда следует оговориться, что в большинстве работ рассматриваются одиночные элементы. В [71] рассматривается криволинейный полосковый вибратор, конформно расположенный на воображаемой цилиндрической поверхности, для которого решены внутренняя и внешняя задачи. В разложениях тока используются полиномы Че-бышева первого и второго рода. В [72] подобный подход обобщается на систему из двух соосно расположенных разомкнутых колец, для которых решается задача дифракции. В [73] данная задача обобщается на произвольное число колец. Очень много работ, посвященных спиральным структурам, рассматриваемым, опять же, в качестве антенн или в качестве направляющих структур. Однозаходные регулярные цилиндрические спиральные антенны были предложены Д.Краусом [74, 75]. Чтобы не приводить большое количество ссылок, отметим, прежде всего, наиболее известные монографии [76]-[78]. Характерной особенностью большей части работ является использование приближенных подходов к электродинамическому анализу спиральных структур - сложные модели антенн заменяются сильно упрощенными эквивалентами — спираль рассматривается как решетка кольцевых излучателей, как анизотропный цилиндр, результаты, полученные для бесконечных структур переносятся на структуры конечных размеров и т.д. Из наиболее ранних работ, в которых используются интегральные уравнения, следует упомянуть статью [80], в которой приведены результаты расчета плоской равноугольной спиральной антенн из [81]. Вообще использование ИУ наиболее характерно для относительно современных работ [82], [83]. Среди работ, использующих СИУ, отметим [84], [85], [87]. Важным достоинством ИП ЭМП является полный учет геометрии рассматриваемых структур. Так, в [88] рассматриваются дифракционные свойства спиральной структуры, представляющей собой совмещение лево- и правовинтовой спирали.
Полосковая квазиодномерная структура
Под квазиодномерными будем понимать структуры, имеющие продольный размер L, соизмеримый или много больше длины волны А, и поперечный размер с сечением, длина контура С которого много меньше L и много меньше или соизмерима с длиной волны А (рисунок 5). Квазиодномерные структуры (КОС) по свойствам поперечного сечения можно разделить на регулярные и нерегулярные. Регулярные КОС разделим на три основных основных типа:
Все эти структуры можно разделить на электрические и магнитные. В случае электрической КОС поверхность S обладает бесконечно большой электрической проводимостью (e), и на ней возможны электрические токи j(e), в случае магнитной структуры поверхность S обладает бесконечно большой магнитной проводимостью (m), и на ней возможны магнитные токи j(m). В данной главе применим полученные ранее формулы к построению интегральных представлений ЭМП КОС. Подробные выводы приведем лишь для электрических КОС, поэтому под объемными, поверхностными и полными токами будем подразумевать электрические токи, опуская индекс «е». Выражения для магнитных КОС получаются из выражений для электрических КОС с помощью замены: Н - -Е; Е - Н; Wm -+ 1/Wm, вытекающей из принципа двойственности.
Объединяющим фактором геометрии КОС является уравнение образующей. Под L будем понимать образующую или множество ее точек. Введем в рассмотрение радиус-вектор г(/), конец которого последовательно проходит по всем точкам образующей w Є L при изменении параметра I от 1Ъ до /е. Параметр I является натуральным, т.е. длина дуги Ly2 между точками 1 и 2, лежащими на образующей, определяется как разность 12-1\. В дальнейшем I будем также называть продольной координатой, 1Ъ — координатой начала ТПС, 1е — координатой ее конца. Поверхность S структуры строится на основе уравнений образующей. Как правило исходные уравнения образующей записываются в ненатуральном параметре t: r(t) = х x(t) + у y{t) + z z(t), t є [tb; te], поэтому сразу определим процедуру перехода от параметра t к параметру /. Касательный вектор Щ в любой точке образующей w(x(t),y(t),z(t)) = w{t) определяется через производную: или более подробно в декартовой системе координат: g(t) = d r + Щгг + д г dt Заметим, что dg{t)/dt О, т.е. функция g(t) неубывающая. Из ранее приведенного определения можно записать: где д-1 функция, обратная к д. В общем случае определить д 1 невозможно, так как во-первых, не всякая подынтегральная функция имеет первообразную, а во-вторых, не из всякой первообразной можно выразить параметр t. В силу этих причин, д 1 определяется приближенно численными методами, например с помощью обратной сплайн-интерполяции [93]. Если задан интервал изменения естественного параметра / Є [/&; /е], то соответствующие значения tb и te определяются решением уравнений:
Таким образом, в натуральном параметре уравнение радиус-вектора образующей ТПС будет иметь вид: г(/)=х-ж(/)+ у -у{1) + z-z(l), /Є [/ь;/е], (2.2) где: и(1) = и(д-1(1)); и = х,у, Z. Будем считать, что кривая L простая (без самопересечений) и не содержит особых точек, а радиус-вектор г(/) имеет непрерывные первую и вторую производные. Первая производная от радиус-вектора г(/) по / дает единичный вектор касательной 1(1) в заданной точке: Щ) = f. (2.3) С помощью единичного вектора касательной 1(7) определяем вектор нормали п(/) в точке /: nil) = — (2 4) здесь Х{1) = d\(l)/dl кривизна образующей L в точке w(l). Важное значение также имеет величина д(1) = 1/%(/), называемая радиусом кривизны. Вектор бинормали Ъ(1) определяется векторным произведением: Ь(/) = 1(1) х п(/). (2.5) Совокупность единичных векторов 1(/), п(/) и Ъ(1) представляет собой репер Френе (орты локальной Декартовой системы координат), построенный в точке w(l) на образующей [59].
Будем рассматривать кривые, для которых коэффициенты ряда быстро убывают, а также введем понятие малой окрестности А С д, для которой справедлива линейная аппроксимация ряда: г(/) = г(у + (/ - уї; / - /, А, А д, (2.6) на которую мы будем опираться в дальнейших выводах. В силу того, что длина контура поперечного сечения С С L, а его форма медленно меняется на расстоянии длины волны, можно считать, что вектор поверхностной плотности тока имеет только продольную составляющую }(q) = mm. ЭМП, создаваемое структурой в произвольной точке наблюдения р, определяется линейным векторным оператором от тока на ее поверхности и координат точки наблюдения: F(p) = L (j%),p), F - / = Е - е, Н - т; г ЕЕ е, т. (2.7) Вид оператора определяется интегральным представлением ЭМП. На поверхности S выполняются граничные условия для продольных компонент поля: 1(/)-(ЕМ(5) + Е(5) ) =\(l).( E (s) + L ( (q),s) ) = mf {s) (2.8) — для структур е - типа; 1(0-(нН(,)+Н(.) ) =i(/)-( HM(5) + LM(jM(g),5) ) = 1(/) )(5) - для структур т - типа. Векторы Е и Н создаются сторонними ЭМП раз личного рода. 2.2 Трубчатая квазиодномерная структура 2.2.1 Физическая модель и геометрия
Произвольная (электрическая) трубчатая структура (ТС, рисунок 6) представляет собой идеально проводящую бесконечно тонкую металлическую трубку радиуса а и длиной L, произвольно расположенную в пространстве и не имеющую самопересечений. Под действием стороннего электрического поля Е in на поверхности S трубки возникает поверхностный электрический ток, плотность которого имеет только продольную составляющую в силу выполнения условий а С L и а С Л. На поверхности трубки выполняется граничное условие типа (2.8). Поле, создаваемое током в любой точке пространства, определяется операторными соотношениями (2.7). Оно удовлетворяет уравнениям Максвелла, условиям излучения на бесконечности и граничным условиям (2.8) на поверхности структуры.
Конкретизируем геометрию ТС. Будем считать, что объем V занимает в пространстве длину L и имеет регулярное поперечное сечение с контуром С. Используя репер Френе, можно ввести орты локальной цилиндрической системы
Вычисление элементарных функционалов
Таким образом, ИП ЭМП (2.21), дополненное ядрами (2.26), выражающимися в форме (2.43) с учетом (2.40), определяют СИП ЭМП сегмента трубчатой структуры, ядра которого содержат логарифмические и гиперсингулярные особенности. При т = 0 данное СИП ЭМП совпадает с СИП ЭМП, приведенном в [79], но построенном с помощью представления функции Грина в цилиндрической системе координат.
Особенности поведения ядер на поверхности сегмента. Рассмотрим асимптотическое поведение ядер kJmi вблизи и на поверхности сегмента, т.е. при Q—а = ±0. Здесь знаку «+» соответствует внешняя сторона поверхности сегмента, а знаку «—» - внутренняя сторона поверхности. На основании (2.34), (2.35) и (2.36) можно записать:
Из приведенных выражений видно, что ядра кет и А в силу свойств дельта-функции соответствуют граничным условиям на поверхности металла, когда Ев(ф, I) Щ ї д(ф, /), Щ ГЦ(Ф, I), (2.46) здесь q(ip, I) — поверхностное распределение заряда на сегменте. В выражения (2.21) входят неизвестные распределения 1т{1) Фурье-гармоник поверхностного тока rj(ip,l). Представим стороннее электрическое поле на поверхности ТПС в виде ряда Фурье: Е«п 0#,/))= J2 ЕтП)(0ехр( ты т= Подставляя (2.21) и данное выражение в граничное условие (2.8), где 6тп - символ Кронекера, получаем систему независимых сингулярных интегральных уравнений, записанных относительно гармоник 1т(1): - продольная компонента Фурье-гармоник вектора стороннего электрического поля. Ядро Dm(l,l ) представляет собой регулярную часть ядра кет1:
Dm(l,l ) = 4f} = k2V$(G) + 7фї?(( - l )B) При m = 0 данная система СИУ будет эквивалентна СИУ, приведенному в [79], записанному относительно производной распределения тока и полученному на основе другого представления функции Грина. В отличие от последнего, в СИУ (2.47) более оптимально с точки зрения численных расчетов, т.к. при вычислении интегралов отсутствуют бесконечные пределы интегрирования и специальные цилиндрические функции.
Метод решения данного СИУ и численные результаты будут рассмотрены в следующем разделе данной главы. Используя граничное условие (2.8), на основании (2.23) можно получить систему СИУ следующего вида:
Ядра K m, при і ф j особенностей не содержат и определяются численными методами. При і = j соответствующее слагаемое в правой части вырождается в правую часть СИУ (2.47) с соответствующей заменой:
Геометрия излучателя и основные расчетные выражения. В качестве наглядного примера применения СИП ЭМП (2.22) проведем электродинамический анализ трубчатого вибратора, который по сути представляет собой сегмент ТС длиной L с образующей, совмещенной с осью Oz. Геометрия вибратора приведена на рисунке 9. Уравнение образующей будет иметь вид: T(Z) = 0-х + 0-у + z-z, z Є [-L/2; L/2]. ЕІіп) z 2а L . Ь Рисунок 9 – Геометрия трубчатого вибратора Таким образом, в данном случае 1 = z,Z = z. Значениям z Є [-6/2; 6/2] на поверхности трубки соответствует разрыв, в который помещен источник ЭДС, создающий на поверхности трубки распределение стороннего электрического поля, касательная компонента которого Ezm отлична от нуля всюду за исключением области разрыва: здесь U - ЭДС генератора. Будем считать, что стороннее поле, создаваемое генератором, является азимутально-независимым. Электромагнитное поле такой структуры можно определить на основе (2.23), полагая в нем N = 1. В нашем случае орты ЛЦСК и ГЦСК совпадают: Q = р, Q = р; 1р = ф, ф = (/?, поэтому будет справедливо тождество: В силу азимутальной независимости стороннего поля в суммах остаются слагаемые только с т! = 0. В результате можно записать: L/2 {P)z) = K{f) J Im!{z )K\l\p,z,z )dz ] F = Е,Н, f = e,h. (2.50) -L/2 Здесь: F(p,z) = F0(p, ); i(z ) = /oOO; K = K . Компоненты ядер записываются следующим образом: kf = (p - а)Ф ](Б) + аП {0}(В)+ + (p - a) f (a In \t\ + 4Ь)Л2 ) + 2« 7"o5) ln 1 1; e) = 2Ф (С) + J\(z - z )B)+ + t2a(0g) In + jr,({z- )(«оЬ) ln N + 46V 2) ) ifcW = -(p - а)Ф (Б) - afift(B) - (p - а)(4Ь) In + P /t2) - 2aa(0g) In \t\; Здесь: r Ф = Ф, Ф = Ф, ; t=y/(p- a)2 + (z- г )2/(2у/їїр). При постановке граничного условия (2.8) на поверхности трубки получаем СИУ, аналогичное (2.47), записанное относительно I(z ): L/ Eiin\z) = [ I{z )D(z, z )dl + Єа{()9) [ I(z ) In \t\dl + -L/2 f IWEU ( -Ю «06)lnN+% + I{z ) {z-z )a \n\t\ + W dzf; z Є [-L/2; L/2]; (2.51) здесь =г-У/(2а), Dm(z,/) = 4f} = 2 i?(GD + Ф (( - Ю#); Решать данное СИУ будем с помощью метода дискретных вихрей [95]. В рамках метода разбиваем отрезок интегрирования на N равных интервалов с граничными точками z\, Z2,.. , ZN+I. Будем полагать, что на каждом из интервалов амплитуда тока постоянна:
Напряжение генератора U полагалось равным 1 В. Предварительный анализ сходимости решения показал, что при N 200 форма распределения тока на вибраторе практически не изменяется. В результате было выбрано значение N = 201. Результаты расчета тока и компоненты Ez поля для случая р = а приведены на рисунке 10. Результаты расчета полностью совпадают с результатами, представленными в [79], полученными при тех же параметрах моделирования. Следует отметить, что при выводе СИП ЭМП и СИУ в [79] использовалось другое представление функции Грина, а также профиль стороннего поля в зазоре, отличный от (2.49), что подтверждает устойчивость и достоверность полученных результатов.
Расчет входного сопротивления вибратора. Решение СИУ позволяет вычислить такой важный вторичный параметр, как входное сопротивление. Расчеты для трубчатого вибратора приведены в [94]. При использовании СИУ входное сопротивление вибратора определяется как отношение напряжения, приложенного к зазору, к току в точке питания: Zin = U/I(z = 0), знание которого необходимо для согласования входа антенны в рабочей полосе частот. Сравнивать полученные результаты будем с результатами, полученными методом эквивалентной цепи, согласно которому в соответствие симметричному вибратору ставится двухпроводная линия с потерями [39], разомкнутая на конце. Эта методика достаточно проста, но обладает рядом недостатков. Точность определения входного сопротивления падает при увеличении радиуса рассматриваемого вибратора.
На рисунке 11 приведены результаты расчетов комплексного входного сопротивления в зависимости от электрической длины вибраторов двумя методами. Сплошными кривыми обозначены результаты, полученные по методу СИУ, а штриховыми кривыми — результаты, полученные по методу эквивалентной цепи [39]. Можно видеть хорошее качественное совпадение результатов.
Двузаходная коническая спиральная антенна с тонкопроволочным рефлектором конечных размеров
Ранее уже говорилось о некорректности ТП-модели. Введение радиуса а в формулу для расстояния — искусственный прием, необходимый для решения внутренних электродинамических задач в тонкопроволочном приближении и устраняющий расходимость в ядрах Важным вопросом является оценка величины а. В [29] говорится о том, что корректное решение внутренней задачи в тонкопроволочном приближении возможно получить при условии А 4а, где А - длина сегмента ТПС.
Границу применимости тонкопроволочной модели в отношении расчетов ближней зоны элементарного тонкопроволочного вибратора можно оценить, подставив ядро G(R) в уравнение Гельмгольца, при этом R определяется формулой R = yV2 + а2.
В данном случае предполагается, что источник расположен в начале сферической системы координат. В случае а = 0 с точностью до константы в правой части получается дельта-функция, равная нулю всюду, за исключением точки г = 0. Если же а ф 0, то вместо дельта-функции мы получим импульс с шириной, обратно пропорциональной а (рисунок 18). По ширине импульса можно оценить границу корректного расчета ближней зоны элементарного излучателя.
Таким образом, физические модели элементарных излучателей, представленные на рисунке 17, некорректны. Из некорректности физических моделей излучателей следует некорректность их математических моделей, полученных на основе интегральных представлений электромагнитного поля (2.94).
В данном разделе рассматриваются результаты сравнительных расчетов, полученных на основе трубчатой и тонкопроволочной моделей электрического вибратора, представленные в [96].
Интегральные уравнения Халлена и Поклингтона. Интегральное уравнение (ИУ) Халлена очень часто используется на практике для расчета распределений тока вдоль вибраторных антенн и для определения их входного сопротивления. Оно записывается относительно распределения полного тока I{z) и для симметричного вибратора имеет вид [33]: [ I(zr)G(z,zr)dzf = С cos tz-i— smUlzl ze [-/;/]. (2.101) 122 В данном выражении G(z,z ) = е ikR(z,z")/R{z) z ) - ядро интегрального уравнения, R(z, z ) = а2 + (z- z )2 - расстояние между точкой точкой наблюдения р{р = a,z}, находящейся на цилиндрической поверхности провода, обладающего бесконечно большой проводи-мостью,и точкой источника q{p = 0,/}, расположенной на оси вибратора, а -радиус провода, к = 2тг/А - волновое число, Wm волновое (характеристическое) сопротивление среды, С - неизвестная постоянная.
Интегральному уравнению Халлена соответствует физическая модель, показанная на рисунке 19а. Особенностью модели является фактически искусственно введен разрыв: ток проводимости I(z) определен на образующей цилиндрического проводника при р = 0, а постановка граничного условия осуществляется его поверхности р = а. По сути бесконечно тонкая нить тока не обладает поверхностью как таковой, а разрыв с помещенным в него генератором сторонней переменной ЭДС и соответствующим ему напряжением U, имеет бесконечно малую ширину, то есть 26 — 0. Все эти допущения при определенных параметрах моделирования могут привести к неустойчивости и физической неадекватности решения [91]. При этом в качестве достоинства (2.101) отметим простоту вычисления ядра интегрального уравнения. Также следует отметить, что в рамках приведенной физической модели можно получить интегральное уравнение Поклингтона (2.97), более общее в известном смысле, но тоже обладающее физической некорректностью. Некорректные интегральные представления электромагнитного поля. Рассмотрим выражения для электромагнитного поля, получаемые в рамках некорректной модели антенны.