Содержание к диссертации
Введение
1. Сложная динамика простых моделей автогенераторов с запаздыванием 16
1.1. Простая модель автогенератора с кубичной нелинейностью и запаздыванием 16
1.1.1. Теоретический анализ 17
1.1.2. Результаты численного моделирования 22
1.1.3. Приближение трех взаимодействующих мод 35
1.2. Модель «однорезонаторного клистрона» с запаздыванием 36
1.2.1. Режимы стационарной генерации и их устойчивость 36
1.2.2. Результаты численного моделирования 42
1.2.3. Основные уравнения нестационарной теории отражательного клистрона 48
1.3. Расчет показателей ляпунова 50
1.4. Выводы 55
2. Сложная динамика двухрезонаторного клистрона генератора с запаздывающей обратной связью 57
2.1. Основные уравнения нестационарной теории двухрезонаторного клистрона-генератора 57
2.2. Теоретический анализ 61
2.2.1. Условия самовозбуждения 61
2.2.2. Режимы стационарной генерации и их устойчивость 62
2.2.3. Мощность и КПД двухрезонаторного клистрона-генератора 67
2.3. Результаты численного моделирования 69
2.4. Учет сил пространственного заряда 77
2.4.1. Основные уравнения 77
2.4.2. Результаты расчетов 80
2.5. Применение клистрона-генератора в схеме прямохаотическои передачи информации 85
2.6. Выводы 93
3. Нестационарная теория многорезонаторных клистронных автогенераторов 95
3.1. Основные уравнения 95
3.1.1.Трехрезонаторный клистрон 95
3.1.2.Приближение большого усиления в промежуточных каскадах. Клистрон с произвольным числом резонаторов 97
3.2. Условия самовозбуждения автоколебаний 98
3.3. Численное моделирование сложной динамики многорезонаторных клистронов 102
3.3.1.Трехрезонаторный клистрон 102
3.3.2. Пятирезонаторный клистрон 107
3.4. Сопоставление с результатами экспериментальных исследований 108
3.5. Численное моделирование нестационарных процессов в клистроне-генераторе методом «частиц в ячейке» 117
3.6. Выводы 123
Заключение 125
Литература 128
- Модель «однорезонаторного клистрона» с запаздыванием
- Режимы стационарной генерации и их устойчивость
- Применение клистрона-генератора в схеме прямохаотическои передачи информации
- Численное моделирование сложной динамики многорезонаторных клистронов
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Одним из наиболее актуальных и интересных направлений современной физики является изучение нелинейной динамики распределенных автоколебательных систем (РАС) [1-5]. Очевидна связь этих исследований с такими фундаментальными проблемами, как возникновение турбулентности и образование диссипатив-ных структур. Тем не менее, распределенные системы в настоящее время изучены значительно слабее, чем системы с небольшим числом степеней свободы. Это связано с тем, что для РАС характерна чрезвычайно разнообразная и сложно устроенная картина динамических режимов в пространстве управляющих параметров, детальное исследование которой представляет трудоемкую задачу.
Важным классом РАС являются системы с запаздывающей обратной связью (ЗОС), встречающиеся в самых разных областях физики, таких как радиофизика [6,7], нелинейная оптика [8], биофизика [9], физика и техника ускорителей [10], физика атмосферы [11], и даже в моделях экономики, экологии и социальных наук [12]. Хорошо известно, что подобные системы способны демонстрировать сложное, в том числе, хаотическое поведение [2,4,6,7]. В частности, в литературе обсуждался вопрос о моделировании некоторых свойств развитой турбулентности при помощи автогенераторов с запаздыванием [7,13]. Очевидный интерес представляют достаточно простые модели РАС с запаздыванием, детальное изучение которых численными, а, по возможности, и аналитическими методами способствовало бы выявлению основных закономерностей сложного поведения систем данного класса. В частности, генераторы с ЗОС с узкополосными резонансными колебательными системами могут быть описаны уравнением для медленно меняющейся комплексной амплитуды А следующего вида:
A + yA = F(A(t-x)). (1)
Правая часть уравнения вычисляется в запаздывающий момент времени / - т. В литературе системы вида (1) часто называют моделями типа «нелинейный усилитель — резонансный фильтр — линия задержки» [2,7].
Особую роль РАС с запаздыванием играют в радиофизике, в особенности в той ее части, которая связана с генерированием электромагнитных колебаний сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона. Типичным примером является генератор на основе лампы бегущей волны (ЛБВ) с ЗОС, для которого, по видимому, впервые в СВЧ электронике, удалось обнаружить и исследовать режимы динамического хаоса [14,15]. К числу систем с ЗОС можно отнести и приборы с резонансными колебательными системами, в которых обратная связь обеспечивается за счет отражений от границ, например, такие как резонансная ЛБВ, лазеры на свободных электронах (ЛСЭ) и др. [16]. Даже в таком приборе как лампа обратной волны (ЛОВ), где обратная связь внутренняя, а не внешняя, именно запаздывание, возникающее вследствие нелокального взаимодействия электронов и волны, является одной из причин возникновения автомодуляции и хаоса [17-19].
Среди электронных СВЧ генераторов с ЗОС весьма перспективными представляются автогенераторы на базе пролетных клистронов благодаря присущим им высоким уровням мощности и КПД, а также относительной простоте конструкции. Естественным математическим аппаратом для описания подобных систем являются дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом типа (1) или системы таких уравнений. Тем не менее, в литературе основное внимание традиционно уделялось ЛБВ-генераторам с ЗОС [14,15,20-27], а вопросы нестационарной нелинейной теории клистронов-генераторов практически не рассматривались. Были предложены упрощенные модели генераторов на базе клистрона бегущей волны [28] и гироклистрона [29], для которых были изучены условия возникновения автомодуляции и указано на возможность перехода к хаосу. В работе [30] было проведено численное моделирование сложной динамики пролетного клистрона О-типа1. Однако следует отметить, что в этих работах рассматривались чрезмерно упрощенные модели, которые сводились к единственному дифференциальному уравнению первого порядка с запаздыванием [29,30] или даже алгебраическому уравнению с запаздыванием [28]. Подробного исследования картины нелинейной динамики в широком диапазоне параметров проведено не было. Таким образом, сложная динамика клистронов с ЗОС остается слабо изученной. Кроме того, до недавнего времени практически отсутствовали экспериментальные результаты. Можно упомянуть лишь работу [31], в которой получены автомодуляционные режимы колебаний мощного клистрона-генератора. Как отмечается в [31], подобные режимы могут представлять интерес для линейных ускорителей электронов с целью получения дополнительной модуляции пучка электронов на низкой частоте.
Следует отметить, что ранее автомодуляционные режимы генерации (как регулярные, так и хаотические), как правило, рассматривались в качестве паразитных явлений, и прикладной аспект исследований традиционно состоял в поиске способов их подавления. Единственным исключением является применение ЛБВ в режиме хаотических колебаний для генерации помех (шумотрон) [14,15]. Однако в последние годы появились интересные перспективы использования динамического хаоса в системах передачи и обработки информации [32-38], а также в радиолокации [39]. Они связаны с такими свойствами хаоти 1 Ранее это уравнение было предложено Д.В. Соколовым в неопубликованной работе (1990). ческих сигналов, как широкополосность, сложность и ортогональность. Так, цифровые системы связи, с несущей в виде хаотического сигнала благодаря его быстро спадающей автокорреляционной функции оказались эффективным решением одной из ключевых проблем современных систем связи — многолучевого распространения сигнала [40]. Распределение мощности сигнала в широкой полосе частот обусловливает помехоустойчивость, является решением проблемы электромагнитной совместимости [40], а также делает возможной скрытную передачу информации, когда уровень передаваемого сигнала опускается ниже уровня шума. Сложность хаотических сигналов также является ключом к защищенной передаче информации, поскольку затрудняет предсказание сигнала по перехваченному фрагменту сообщения и его последующую демодуляцию. Быстро спадающая кросскорреляционная функция хаотических сигналов делает возможным создание систем многопользовательского доступа на их базе. Так, хаотические последовательности, генерируемые сравнительно простым отображением, оказались значительно эффективнее псевдослучайных последовательностей, используемых в настоящее время в системах многопользовательского доступа с разделением кода (code division multiplex access, CDMA)
[35].
Идея использования шумоподобных сигналов в радиолокации появилась еще в 50-х годах, однако ее реализация сдерживалась сложностью обработки подобных сигналов и отсутствием источников с требуемыми характеристиками, поэтому серьезного развития в то время она не получила. Тем не менее, в последние годы идеи шумовой радиолокации вновь оказались в центре внимания [39]. По некоторым оценкам, радары, использующие широкополосные сигналы, могут демонстрировать более высокие показатели по дальности и точности разрешения, чем их традиционные аналоги.
Следует отметить, что упомянутые достоинства хаотических сигналов зачастую непосредственно не связаны с их детерминированной природой. Однако у генераторов хаоса есть преимущества по сравнению с генераторами шума, обусловленные более богатыми возможностями управления характеристиками колебаний (что позволяет реализовать различные способы их модуляции информационным сигналом), а также возможностью применять для обработки информации специфические методы нелинейной динамики. Перечисленные свойства в сочетании со сравнительно простой архитектурой генераторов хаоса делают их весьма привлекательным для указанных выше приложений.
Очевидный интерес вызывает изучение перспектив создания хаотических систем связи в СВЧ диапазоне. На сегодняшний день успешно реализована система связи дециметрового диапазона, в которой использован генератор на биполярном транзисторе небольшой мощности (до 10 mW) [41]. Однако для продвижения в область более коротких волн, прежде всего — миллиметровых, и более высоких мощностей вакуумные генерато ры выглядят предпочтительнее. Тем не менее, хаотические системы связи на основе приборов вакуумной СВЧ электроники, широко использующихся в традиционных системах передачи информации (ЛБВ, клистроны и др.), в литературе практически не рассматривались. Лишь в самое последнее время появилась работа [42], в которой впервые был затронут вопрос о перспективах применения ЛБВ-генератора хаотических колебаний в системе спутниковой связи. Основное преимущество хаотического ЛБВ-генератора заключается в том, что он работает в сильно нелинейном режиме с относительно высоким КПД, тогда как ЛБВ-усилители, используемые в традиционных системах, для уменьшения нелинейных искажений вынуждены работать в режиме малых входных сигналов, на 5-10 dB ниже насыщения, так что их КПД мал. Недавно были проведены первые эксперименты по передаче информации в сантиметровом диапазоне с помощью хаотического ЛБВ-генератора [43]. Однако подобные работы все еще носят единичный характер.
Отметим, что нелинейной динамике систем с запаздыванием посвящено достаточно большое число работ (см., например, краткие обзоры в монографиях [2,4], обзор [6]). В ряде работ проводится достаточно детальный бифуркационный анализ (см., например, [44-47]). Однако в них, как правило, рассматриваются динамические системы вида x = f[x,x(t-x)], (2)
где переменная JC вещественна. Сюда, в частности, относятся классические и хорошо изученные системы Икеды [8] и МакКея-Гласса [9]. В то же время, в диссертации рассматриваются системы, являющиеся моделями кольцевых генераторов с узкополосными резонансными колебательными системами, описывающиеся уравнениями для медленно меняющихся комплексных амплитуд вида (1). Такая ситуация типична для задач СВЧ радиофизики и электроники. Специфика таких радиофизических автогенераторов, выраженная, в частности, в существовании зон генерации, не проявляется для систем вида (2). Большой интерес в последние годы привлекла также идея применения ЗОС для управления хаосом, предложенная К. Пирагасом [48]; описание картины бифуркаций для ряда конкретных систем можно найти, например, в [49-51]. Однако эта задача также достаточно сильно отличается от решаемых в настоящей диссертации, поскольку рассматриваются системы, обладающие собственной хаотической динамикой, и обратная связь вводится для того, чтобы стабилизировать неустойчивую периодическую орбиту. В диссертации же рассматриваются кольцевые системы, в которых в отсутствие ЗОС возбуждение автоколебаний вообще невозможно.
Добавим, что обычно интересуются последовательностью бифуркаций, наблюдающейся по мере увеличения времени запаздывания т [44-47]. Однако для электронных автогенераторов с ЗОС реализовать плавную перестройку т в широких пределах доста точно проблематично. Более адекватным условиям эксперимента представляется исследование динамики при изменении таких параметров, как коэффициент усиления или коэффициент обратной связи.
Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертации актуальной и важной для современной радиофизики и нелинейной динамики.
Цель диссертационной работы состоит в выяснении основных механизмов и закономерностей сложной динамики в моделях РАС, описывающихся дифференциальными уравнениями с запаздыванием. Для достижения поставленных целей в работе решаются следующие основные задачи:
• детальное изучение картины нелинейной динамики простых моделей автогенераторов с запаздыванием типа (1) (автогенератор с кубичной нелинейностью, автогенератор с нелинейностью в виде функции Бесселя);
• разработка моделей двух- и многорезонаторных клистронных автогенераторов с ЗОС в виде систем дифференциальных уравнений с запаздыванием, их теоретический анализ, численное моделирование нестационарных процессов, определение сценариев перехода к хаосу и особенностей сложной динамики;
• сопоставление результатов экспериментального исследования многорезонаторного клистрона с ЗОС с результатами численного моделирования, моделирование нестационарных процессов методом «частиц в ячейке»;
• анализ возможности использования хаотического клистронного генератора в системе передачи информации.
Достоверность научных выводов работы обусловлена тем, что для численного моделирования используются хорошо апробированные методы и численные схемы. В качестве тестовых расчетов в ряде случаев воспроизводились результаты, полученные другими авторами. Результаты теоретического анализа полностью согласуются с численными экспериментами. Численные результаты находятся в хорошем качественном соответствии с экспериментальными.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и получены впервые. В частности:
• Для модели автогенератора с кубичной нелинейностью и запаздыванием подробно изучена картина сложного поведения, включая режимы динамического хаоса, в широком диапазоне параметров. Эта картина существенно развивает и обобщает результаты, описанные ранее в работах [52,53], где рассматривались различные частные случаи;
• Предложены математические модели автогенераторов на базе двух- и многорезона-торных клистронов в виде систем дифференциальных уравнений с запаздыванием. Изучены механизмы возникновения автомодуляции и сценарии перехода к хаосу в широком диапазоне управляющих параметров;
• Для моделей клистронных автогенераторов с запаздыванием выявлен механизм перехода к развитому хаосу, связанный с взаимодействием аттракторов, сформировавшихся на базе различных стационарных режимов;
• Предложена методика учета пространственного заряда в нестационарной теории клистронных автогенераторов на основе волновой теории В.А. Солнцева. Обнаружена возможность подавления автомодуляции и срыва генерации за счет сил пространственного заряда;
• Проведено экспериментальное исследование сложной динамики многорезонаторного клистрона с ЗОС, обнаружено хорошее качественное соответствие с результатами численного моделирования;
• Показана возможность управления хаотическими режимами в клистронном автогенераторе с ЗОС при воздействии внешним гармоническим сигналом. Предложена схема передачи информации на основе хаотического клистрона-генератора, в которой используется модуляция по методу переключения хаотических несущих (chaos shift keying);
• Проведены расчеты спектров показателей Ляпунова для различных автогенераторов с запаздыванием, выявлены режимы гиперхаоса, характеризующиеся наличием двух положительных показателей.
Практическая значимость. В диссертационной работе развита нестационарная теория автогенераторов СВЧ диапазона на базе пролетных клистронов с запаздыванием. Изучение условий возникновения автомодуляции позволяет определить условия устойчивой работы этих приборов в режиме одночастотной генерации. Результаты исследований хаотических режимов представляют особый интерес с точки зрения создания генераторов хаотического излучения СВЧ диапазона для систем связи, обработки информации и радиолокации на основе динамического хаоса. Предложена цифровая система передачи информации по методу переключения хаотических несущих на основе клистрона с ЗОС. Вместе с тем, поскольку РАС с запаздыванием широко распространены в природе и технике, результаты диссертации имеют общенаучное значение и способствуют пониманию основных закономерностей пространственно-временного хаоса (турбулентности) в распределенных системах.
Ряд результатов диссертации используется в учебном процессе на факультете нелинейных процессов СГУ.
Результаты диссертации были получены при выполнении ряда НИР, в том числе поддержанных грантами CRDF (№ REC-006), РФФИ (98-02-16541, 03-02-16192, 03-02-16269), ФЦП «Интеграция» (№ А0057), программой «Университеты России» (№№ 015.01.01.79, 01.01.021,01.01.049).
Апробация работы и публикации. Результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались на научных семинарах факультета нелинейных процессов СГУ и НОЦ «Нелинейная динамика и биофизика» СГУ, на семинаре Института телекоммуникаций Университета г. Штутгарт, Германия, а также на следующих международных и всероссийских конференциях:
• 31st IEEE International Conference on Plasma Science (ICOPS 2004), Baltimore, Maryland,
USA, 2004;
• 11th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2003), Scuol/Schuls,
Switzerland, 2003;
• Международная научно-техническая конференция «Актуальные проблемы электрон ного приборостроения», Саратов, 2000;
• II международная конференция «Фундаментальные проблемы физики», Саратов, 2000;
• V Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков, Санкт-Петербург,
2001;
• Международный семинар "Nonlinear Dynamics & Complex Systems", Минск, Беларусь, - 2001;
• Межвузовская конференция «Современные проблемы радиофизики и электроники
СВЧ», Саратов, 2001;
• Седьмая всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых,
Санкт-Петербург, 2001;
• 6-я Международная школа-семинар «Хаотические автоколебания и образование структур», Саратов, 2001;
• Ежегодные научные школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых»,
Саратов, 1999-2001,2003, 2004.
По теме диссертации опубликована 31 работа, из них 7 статей в ведущих научных журналах [94-100], 10 статей в сборниках трудов конференций [101-110], 14 тезисов докладов [111-124].
Ряд результатов диссертации вошел в работы, за которые автор (совместно с Дмитриевой Т.В.) был награжден медалью и премией РАН за лучшую студенческую научную
работу в области общей физики и астрономии 2001 г. и медалью Открытого конкурса министерства образования РФ на лучшую научно-исследовательскую работу студентов 1999 г.
Личный вклад соискателя. Все результаты численного моделирования, представленные в работе, получены лично соискателем с помощью им же разработанного комплекса программ. Программа расчета спектра показателей Ляпунова в системах с запаздыванием (п. 1.3) была написана совместно с А.А. Балякиным. При моделировании многорезонатор-ного клистрона-генератора методом «частиц в ячейке» (п. 3.5) использовалась программа, написанная В.Н. Титовым. Разработка математических моделей клистронных автогенераторов, их аналитическое исследование, а также обсуждение и интерпретация полученных теоретических и численных результатов проводились совместно с научным руководителем. Экспериментальные результаты, вошедшие в работы [95,98,99,101,119,121-123] получены совместно с Б.С. Дмитриевым, Ю.Д. Жарковым, Д.В. Клокотовым и В.Н. Скоро-ходовым, с помощью разработанных ими экспериментальной установки и методик измерений. В работах [94,96,102,104,108,111,120] автору принадлежат результаты, включенные в диссертацию.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 135 страниц текста, включая иллюстрации. Список литературы на 8 страницах включает 124 наименования. Положения, выносимые на защиту:
1. Для автогенераторов с ЗОС и узкополосными резонансными колебательными системами в центрах зон генерации по мере увеличения параметра неравновесности наблюдается сложная последовательность многократно чередующихся периодических и хаотических режимов автомодуляции, причем переходы к хаосу происходят в основном через последовательность бифуркаций удвоения периода. Режимы периодической автомодуляции можно разделить на два типа: в первом случае в спектре доминирует составляющая на основной собственной моде, во втором основная мода подавлена, а доминируют две составляющие с примерно одинаковыми амплитудами, расположенные симметрично от нее (эффект «расщепления моды»).
Вблизи границ зон генерации в автогенераторах с ЗОС и узкополосными резонансными колебательными системами лежит область бистабильности, в которой сосуществуют режимы на базе двух соседних мод. Удается наблюдать лишь конечное число бифуркаций удвоения, число которых уменьшается при приближении к границе зоны. Далее вновь восстанавливается периодическая автомодуляция, затем происходит переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения. При достаточно боль ших значениях параметра неравновесности происходит объединение аттракторов на базе двух различных собственных мод в единый аттрактор. Возникает либо режим многомодового развитого хаоса, либо режим периодической автомодуляции, в спектре которого присутствуют частоты обеих мод.
3. В клистронных автогенераторах с ЗОС при увеличении тока пучка или глубины обратной связи многократная перегруппировка пучка приводит к возникновению новых стационарных режимов генерации. На базе каждого из этих стационарных состояний с ростом управляющего параметра наблюдается возникновение автомодуляции, а затем переход к хаосу. Далее происходит объединение хаотических аттракторов, сформировавшихся на базе различных стационарных состояний, приводящее к возникновению развитого хаоса.
4. Воздействуя внешним гармоническим сигналом на клистронный автогенератор хаотических колебаний, можно осуществить переключение между различными хаотическими режимами. На основе этого метода может быть реализована цифровая прямохаоти-ческая система связи, демонстрирующая значительную устойчивость к шуму в канале связи.
Краткое содержание работы. Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цели, научная новизна, практическая значимость и положения, выносимые на защиту.
В Главе 1 рассматривается сложная динамика простых моделей автогенераторов с ЗОС, описывающихся дифференциальными уравнениями с запаздыванием типа (1). В п. 1.1 рассматривается модель автогенератора с кубичной нелинейностью, в п. 1.2 — модель автогенератора с нелинейной характеристикой в виде функции Бесселя (модель «од-норезонаторного» клистрона). Для обеих систем проведен подробный теоретический анализ условий самовозбуждения, стационарных режимов генерации и условий автомодуляции. Показано, что порог самовозбуждения периодически зависит от фазы параметра ОС, т.е. на плоскости параметров наблюдается система дискретно расположенных зон генерации. С ростом параметра неравновесности зоны расширяются и начинают перекрываться вблизи границ, где наблюдается мультистабильность: в зависимости от начальных условий могут возбуждаться колебания на одной из двух соседних собственных мод.
Подробно изучена динамика модели автогенератора с кубичной нелинейностью в центрах и вблизи границ зон генерации. Описана сложная последовательность чередующихся регулярных и хаотических режимов автомодуляции, которые наблюдаются по мере увеличения параметра неравновесности. Обнаружено, что доминирующим сценарием перехода к хаосу в центре зон является последовательность бифуркаций удвоения периода автомодуляции. Вблизи границ зон удается наблюдать лишь число бифуркаций удвоения, число которых уменьшается по мере приближения к границе. Далее вновь восстанавливаются периодические режимы, а затем происходит переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения. Последовательность бифуркаций завершается объединением аттракторов на базе различных мод, которое может происходить двумя способами. Происходит либо слияние двух хаотических аттракторов в единый развитый хаотический аттрактор (многомодовый хаос), либо возникает периодический режим, в спектре которого присутствуют частоты обеих соседних мод.
Обнаружено, что специфический тип нелинейности модели «однорезонаторного» клистрона приводит к появлению все большего числа стационарных режимов колебаний с ростом параметра неравновесности, причем все они соответствуют одной и той же собственной моде. В определенных областях параметров аттракторы, сформировавшиеся на базе различных стационарных состояний, сосуществуют, затем происходит их объединение, что является еще одним механизмом возникновения развитого хаоса в подобных системах.
Развита нестационарная теория отражательного клистрона, показано, что он также может быть описан моделью «однорезонаторного» клистрона. Однако оценки характерных значений параметров показывают, что в типичной ситуации для получения автомодуляционных или хаотических режимов требуется, чтобы ток пучка значительно (в нескольких десятков раз) превысил стартовое значение, так что экспериментальное наблюдение подобных режимов в отражательном клистроне представляется проблематичным.
В п. 1.3 проведены расчеты спектров показателей Ляпунова. Показано, что развитый хаотический аттрактор, образующийся при объединении аттракторов на базе двух соседних мод вблизи границы зон генерации, характеризуется двумя положительными показателями, т.е. возникает режим гиперхаоса. В то же время, когда режимы развитого хаоса, образуются в результате объединения аттракторов на базе различных стационарных состояний в модели «однорезонаторного» клистрона, по-прежнему имеется только один положительный показатель, величина которого резко увеличивается. Таким образом, гиперхаотическими являются только существенно многомодовые режимы, в которых по терминологии работы [6] не сохраняется фазовый топологический инвариант.
В Главе 2 изучена математическая модель генератора на основе двухрезонаторного клистрона в виде системы двух нелинейных дифференциальных уравнений, одно из которых содержит запаздывание. Для предложенной модели проведен детальный теоретический анализ условий самовозбуждения и режимов стационарной генерации. Проведено численное моделирование процессов перехода к хаосу, которые наблюдаются по мере увеличения тока электронного пучка или глубины обратной связи. Картина нелинейной динамики оказывается близкой к простым моделям автогенераторов с ЗОС, рассмотренным в гл. 1.
Предложена методика учета влияния сил пространственного заряда, основанная на нелинейной волновой теории В.А. Солнцева. Показано, что с увеличением пространственного заряда стартовый ток возрастает, однако при этом также возрастает и выходная мощность клистрона-генератора. Кроме того, обнаружено, что влияние сил пространственного заряда может приводить к подавлению автомодуляции и срыву генерации.
Рассмотрен вопрос о применении хаотического клистрона—генератора в системе передачи информации. Была выбрана так называемая схема с переключением хаотических режимов, обладающая рядом преимуществ, в частности, меньшей чувствительностью к неидентичности элементов приемника и передатчика [38]. Для переключения между различными хаотическими режимами использовалось воздействие на генератор внешним гармоническим сигналом. Проведены численные эксперименты по передаче информации, показавшие хорошую устойчивость к высокому уровню шума в канале связи. Кроме того модуляция сигнала с помощью переключения хаотических режимов была реализована экспериментально.
Глава 3 посвящена вопросам нестационарной теории многорезонаторных клистронов-генераторов. Предложены математические модели генераторов с различным количеством резонаторов в виде систем дифференциальных уравнений с запаздыванием (п. 3.1), проведен теоретический анализ условий самовозбуждения (п. 3.2). Представлены результаты численного моделирования процессов перехода к хаосу, которые наблюдаются по мере увеличения тока электронного пучка или глубины обратной связи (п. 3.3). В целом картина нелинейной динамики оказывается близкой к простым моделям автогенераторов с ЗОС, рассмотренным в гл. 1 и модели двухрезонаторного клистрона, изученной в гл. 2. Проведено сопоставление с результатами экспериментальных исследований автогенератора хаотических колебаний на основе пятирезонаторного клистрона средней мощности десятисантиметрового диапазона (п. 3.4). Подтверждаются основные особенности динамики, обнаруженные в ходе численных экспериментов.
Хотя качественное соответствие результатов теории и эксперимента можно признать достаточно хорошим, предложенные модели, основанные на системах дифференци- альных уравнений с запаздыванием, имеют ряд недостатков. В частности, они не учитывают распределенный характер взаимодействия пучка с полем в зазоре резонатора, что приводит к существенным расхождениям в низковольтной области. Более реалистичную картину можно получить, используя традиционные для СВЧ электроники методы круп ных частиц. В п. 3.5 представлены результаты численного моделирования многорезона-торного клистрона с параметрами, соответствующими экспериментальному макету, на основе метода «частиц в ячейке», которые, с одной стороны, подтверждают основные качественные закономерности, обнаруженные при изучении более простых моделей, с другой стороны позволяют значительно уточнить эту картину и добиться количественного соответствия с экспериментом.
В Заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.
Модель «однорезонаторного клистрона» с запаздыванием
При исследовании распределенных систем часто прибегают к построению различных упрощенных конечномерных моделей, ограничиваясь учетом лишь нескольких взаимодействующих мод. Наиболее известный пример подобного рода — система Лоренца в задаче о тепловой конвекции [1,2,63-66]. Построим трехмодовую модель системы (1.1), учитывая только основную и две автомодуляционные моды. Будем искать решение в виде (1.10), считая \ и А± медленно меняющимися функциями. При этом будем полагать, что в течение времени запаздывания (которое в используемой здесь нормировке равно единице) их изменением можно пренебречь. Разумеется, амплитуды сателлитов уже не являются малыми. Подставляя выражение (1.10) в (1.1) и применяя метод усреднения [1,55], после несложных вычислений получим Если перейти в (1.20) к вещественным амплитудам и фазам, полагая А = а0ехр(кр0), А± =я±ехр(/ф±), нетрудно показать, что фазовое пространство данной системы четырехмерно (три вещественные амплитуды и фаза Ф = 2ср0 -ф+ — р_). В одномодовом случае (А± = 0) из (1.20) следует уравнение Оно описывает установление режима одночастотной генерации на основной моде, причем условия самовозбуждения, амплитуда и частота установившихся колебаний совпадают с найденными в разд. 1.1.1 (формулы (1.5), (1.6), (1.9)). Кроме того, из (1.20) можно получить условия устойчивости одночастотного режима, в точности совпадающие с условиями из п. 1.1.1. Важно отметить, что система (1.20) с точностью до коэффициентов совпадает с конечномерными моделями, которые широко использовались для анализа процессов конкуренции мод в резонансных электронных мазерах, таких как ЛСЭ, гиротроны и др. (см., например, [69,70]).
Однако эти модели не способны описать режимы сложной динамики, характерные для подобных приборов. Для них устойчивыми являются режимы с постоянными амплитудами (одномодовые либо трехмодовые). С этой точки зрения распределен ная модель с запаздыванием (1.1), обладающая богатым набором динамических режимов, представляется более близкой к реальным системам. После того, как была исследована простейшая модель с кубичной нелинейностью, естественным следующим шагом является обобщение на более сложные типы нелинейности. Особый интерес представляет уравнение которое было предложено в работах [29,30] для описания нелинейной динамики генераторов на базе пролетного клистрона О-типа и гироклистрона. Здесь Jx — функция Бесселя 1-го порядка. В правой части (1.22) нетрудно узнать выражение для первой гармоники сгруппированного тока в пространстве дрейфа. Однако, как показывают проведенные исследования, адекватно описать клистронные генераторы при помощи уравнения первого порядка с ЗОС (1.22) не удается. Для этого требуются более сложные модели в виде систем подобных уравнений, которым посвящены гл. 2 и 3. Уравнение (1.22) более правильно назвать моделью «однорезонаторного клистрона». Под однорезонаторным клистроном понимают устройство с единственным двухзазорным резонатором, пронизываемым электронным потоком [71]. Запаздывание достигается за счет конечного времени пролета между зазорами. Кроме того, в п. 1.2.3 будет показано, как можно получить аналогичное уравнение для отражательного клистрона. Исследование нелинейной динамики этой модели показывает, что в целом общая картина остается близкой к модели с кубичной нелинейностью, хотя осциллирующий характер нелинейной функции налагает определенную специфику. Прежде всего, отметим, что линеаризованные варианты уравнений (1.22) и (1.1) совпадают. Следовательно, условия самовозбуждения для обеих моделей одинаковы и остаются в силе все выводы, сделанные в п. 1.1.1. Сохраняется периодическая зависимость порога самовозбуждения от параметра ОС, а частоты собственных и автомодуляционных мод по-прежнему определяются из уравнения (1.5). Анализ стационарных режимов, которым соответствуют решения вида (1.7), приводит к уравнению для амплитуды стационарной генерации Д : Разделяя вещественную и мнимую части, нетрудно обнаружить, что частота стационарной генерации по-прежнему является одним из решений сол уравнения (1.5) и не меняется с ростом амплитуды колебаний (ср. п. 1.1.1). Для амплитуды стационарной генерации из уравнения (1.23) имеем: Здесь со — частота генерации, определяемая из уравнения (1.5). Как правило, это частота со0, за исключением областей мультистабильности, где также возможна генерация на одной из частот со (рис. 1.2). Это трансцендентное уравнение, которое не может быть решено аналитически. Поэтому воспользуемся графическим решением (рис. 1.13). Видно, что с ростом а число вещественных корней уравнения (1.24) увеличивается. Следовательно, появляются все новые и новые стационарные состояния, т.е. даже для колебаний на основной собственной моде будет характерна мультистабильность.
В этом и состоит основное отличие от генератора с кубичной нелинейностью. Физически появление новых стационарных режимов в клистроне обусловлено многократной перегруппировкой электронов в пространстве дрейфа, что является основным нелинейным эффектом в приборах О-типа. Будем обозначать состояния равновесия как S и Р , причем S соответствуют корням уравнения (1.24), расположенным на возрастающих участках функции Бесселя, а Р — на падающих (рис. 1.13). В принятых обозначениях SQ соответствует тривиальному решению с нулевой амплитудой. Высшие стационарные состояния, как нетрудно понять, анализируя рис. 1.13, возникают жестко. Порог их появления можно найти аналитически. Соответствующие значения амплитуды 4, находятся как корни уравнения где J[ = dJx{A )ldAb . Отсюда для / ,+, S находим, что А «8.417, и из уравнения (1.24) следует, что 2./,(4) Например, в центре зоны генерации, где со = со0 = 0, при у = 0.1 из (1.26) и (1.28) найдем, что Р,+, ,+ появляются при а «1.55. Кроме того, существуют состояния равновесия, соответствующие участкам, где функция Бесселя отрицательна. Для них частота колебаний по-прежнему находится из уравнения (1.5), однако теперь она равна одному из корней о±1, в зависимости от фазы \\f. Вместо уравнения (1.24) теперь имеем Обозначим эти состояния равновесия как S и Р соответственно (рис. 1.13). Они также возникают жестко. Порог их появления также можно найти из уравнения (1.25). Для Р , Sf получаем Д, « 5.13, и вместо уравнения (1.26) получаем 2Л(Л) Поскольку в (1.28) необходимо подставлять со = со±1, в центре зоны генерации порог возникновения состояний равновесия Р и S значительно превышает порог возбуждения основного состояния PQ (asl =0.1) и равен а «12.36. Однако по мере удаления от центра зоны генерации порог возникновения Pf, 5J" уменьшается, поскольку одна из частот ю±1 приближается к нулю. В частности, на границе зоны (ц/ = п ) имеем а « 0.76, что вообще оказывается ниже порога самовозбуждения ая «1.63. Таким образом, в области 0.76 а 1.63 нулевое положение равновесия устойчиво, однако возможно жесткое возбуждение колебаний, соответствующих состоянию Рх . Порог возникновения состояний
Режимы стационарной генерации и их устойчивость
Теоретический анализ проводится аналогично моделям, рассмотренным в гл. 1. Прежде всего, исследуем условия самовозбуждения. Линеаризуя уравнения (2.11), (2.12), получаем /і+у =у (т-і), (2.15) F2+yF2=-iae-i,vFx. (2.16) Отыскивая решения в виде Fl2 epx, находим характеристическое уравнение (p + y)2=-iaye-{p+ yv). (2.17) Действуя аналогично п. 1.1.1, после несложных вычислений находим уравнение для собственных частот со = Im(p) 2соу f = -.g(ffl+V+f) (2.18) (ср. (1.5)) и уравнение, позволяющее определить порог генерации для л-ной собственной моды a.-t. (2.19) У Анализируя эти соотношения, нетрудно показать, что центрам зон генерации соответствуют значения ц/ = 2%т - п/2 (сдвиг на - л/2 вносится, очевидно, модулирующим резонатором). В центре зоны со = 0, т.е. генерация возникает точно на собственной частоте резонаторов, а порог генерации определяется соотношением а„=у, (2.20) что совпадает с аналогичными условиями для моделей, рассматривавшихся в гл. 1. Пример графического решения уравнения (2.18) в случае, когда добротность резонаторов достаточно велика, так что у 7i/2, представлен на рис. 2.3 (для простоты выбран центр зоны генерации, v/ = - я/2 ). Левая часть состоит из трех ветвей, терпящих разрывы в точках со = ±у. На рис. 2.4 приведены границы самовозбуждения и частоты генерации, построенные согласно формулам (2.18), (2.19) при у = 1.0 (как будет показано ниже, это типичное значение при реалистичных параметрах клистрона). С ростом а зоны генерации расширяются и начинают перекрываться. В заштрихованных областях на рис. 2.4а возможна мультистабильность, т.е. возбуждение любой из двух соседних мод в зависимости от начальных условий. Теперь рассмотрим стационарные режимы генерации.
Отыскивая решение уравнений (2.11), (2.12) в виде Fl2 = уе"т, где Fty — константы, получим где F0 = /у . При этом \F \ = F0JI + ((O/Y) . Разделяя вещественную и мнимую части, получим уравнение для амплитуды стационарной генерации Вид уравнений (2.22) и (1.24) схож, поэтому все качественные выводы, сделанные в п. 1.2.1 относительно решений уравнения (1.24), остаются в силе. В частности, имеются Рис. 2.4. Границы зон самовозбуждения и автомодуляции (а) и частоты генерации и автомодуляции (б) при у = 1.0. Жирными сплошными линиями показаны теоретические зависимости ccs, и в от \j/. Темными кружками показаны значения as, и со, полученные в результате численного моделирования, светлыми кружками — значения порога и частоты автомодуляции. Заштрихованы области бистабильности. решения двух типов, которые по-прежнему будем обозначать как Р и S (см. рис. 1.13). Частота генерации по-прежнему совпадает с одной из собственных частот, которые определяются согласно (2.18). Как и ранее, занумеруем их по мере удаления от нуля (рис. 2.3). Состояниям равновесия Р , S соответствуют частоты с четными номерами, Р , S — с нечетными. Однако, исходя из результатов гл. 1, следует ожидать, что на практике будут возбуждаться лишь моды, у которых порог возбуждения минимален, т.е. в случае Р , S — моды с частотами со±1, а в случае Р и S — либо с частотой со0, либо (в областях мультистабильности вблизи границ зон генерации) — с одной из частот со (см. рис. 2.4). Высшие моды будут подавляться в процессе конкуренции, даже если условия самовозбуждения для них выполнены. Высшие стационарные состояния возникают жестко. Порог их появления можно найти аналитически, аналогично тому, как это было сделано в п. 1.2.1 для «однорезона-торного» клистрона. Соответствующие значения амплитуды F0 находятся как корни уравнения Рассмотрим, например, ситуацию в центре зоны генерации при у = 1.0. Из (2.18) можно найти, что при этом со, «1.32. Тогда, подставляя в (2.24) значение частоты основной моды со0 = 0, а в (2.25) — значение частоты со,, найдем, что Р,+ , 5,+ появляются при а «15.5, а / ,", 5," — при а » 20.725. Пороги появления высших стационарных состояний значительно превышают порог возбуждения основного состояния Pf (ал = 1). Однако, аналогично модели «однорезонаторного» клистрона, по мере удаления от центра зоны генерации порог возникновения Р,", , уменьшается, поскольку частота со, приближается к нулю.
В частности, на границе зоны (ц/ = я/2 ) имеем а « 7.56, что превышает порог са мовозбуждения art я 2.74 менее чем в три раза. Порог возникновения состояний Р , S в этом случае, наоборот, увеличивается: a «42.51. Ситуацию иллюстрирует рис. 2.5, где показаны зависимости амплитуд стационарных состояний Р и S от a, построенные по формуле (2.22). Представлены зависимости в центре и на краю зоны генерации.
Применение клистрона-генератора в схеме прямохаотическои передачи информации
Как отмечалось во Введении, значительный интерес представляет изучение перспектив создания хаотических систем связи на основе вакуумных электронных приборов СВЧ диапазона. Во многом это связано с бурным развитием систем спутниковой связи и постоянным ужесточением требований к устройствам, применяемым в этой сфере (электромагнитная совместимость, эффективность, помехоустойчивость и т.д.). Однако результаты исследований в этой области на сегодняшний день практически отсутствуют. Одной из наиболее перспективных и достаточно хорошо изученных на настоящий момент схем цифровой модуляции с применением хаоса является модуляция переключением хаотических несущих или chaotic shift keying (CSK) [37,38]. Она была предложена по аналогии с широко использующимися цифровыми схемами модуляции [84], таким, как модуляция переключением частоты (frequency shift keying, FSK) и фазы (phase shift keying, PSK). В простейшем случае FSK для передачи информации используется два вида несущих в виде гармонических сигналов на разных частотах. В случае двоичного потока данных единице приписываются колебания на одной частоте, а нулю — на другой. Аналогично, модуляция CSK осуществляется присвоением передаваемым битам в качестве несущих отрезков выходных сигналов разных генератора хаоса или одного и того же генератора, работающего на разных аттракторах. Особый интерес представляет частный случай CSK, когда хаотическая несущая генерируется непосредственно в СВЧ-диапазоне — пря-мохаотическая передача информации [38,41]. Поскольку в клистроне с ЗОС реализуется несколько различных типов хаотических колебаний, можно осуществить цифровую передачу информации, кодируя сигнал при помощи «алфавита» из нескольких символов, каждому из которых отвечает один из различных хаотических режимов. Однако для этого необходимо решить задачу управления хаосом, т.е. уметь переключаться от одного режима к другому .
Переключение можно осуществить, например, модуляцией параметров генератора. Однако более перспективным с точки зрения экспериментальной реализации представляется воздействие внешним сигналом. Итак, будем считать, что передатчик состоит из клистрона-генератора, в цепь обратной связи которого вводится внешний сигнал (см. рис. 2.18а). Генератор описывается уравнениями рентный метод приема с синхронным хаотическим откликом [38]. Его нетрудно адаптировать на случай автоколебательных систем с ЗОС. В приемнике сигнал разветвляется на две части (см. рис. 2.186). Одна часть проходит через цепь, состоящую из клистрона и линии задержки, и затем вычитается из другой. Двухрезонаторный усилитель в приемнике описывается следующими уравнениями: Как видно из рис. 2.18, передаваемый хаотический сигнал есть F(x) = Z[F(T-1) + F„,(T)], а сигнал, прошедший через клистрон и линию задержки в приемнике, равен Z[F/n(x-l)j. Здесь L — оператор, отражающий трансформацию сигнала при прохождении через клистрон-усилитель. Если внешнее воздействие в передатчике отсутствует, Fal = 0, и не учитываются шумы в канале связи (Fjn = F), то понятно, что сигнал, прошедший через клистрон и линию задержки в приемнике, идентичен поступившему в этот момент времени на его вход из канала связи, F(x) = L\F(X- 1)1, т.е. получен синхронный хаотический отклик. Разность этих двух сигналов дает нуль. Если же в передатчике включено внешнее воздействие, синхронный отклик получить невозможно, и разностный сигнал существенно отличен от нуля. Следовательно, оценивая среднюю мощность разностного сигнала 6F1 = F2W (х -1) - F,n (х) , можно осуществить декодирование информации. В случае символа «О» средняя мощность близка к нулю, для символа «1» (т.е. когда в передатчике присутствует управляющее воздействие), она существенно отлична от нуля. На рис. 2.19 приведен пример фазовых портретов и спектров хаотических режимов при включенном и выключенном воздействии, иллюстрирующий возможность управления хаосом. Выбраны следующие значения параметров: а = 11.28, у = 1.0, vy = 0.99л, F , = 2.0 и ии, = 0.0 (т.е. частота внешнего сигнала в точности равна резонансной частоте). Очевидно, что реализуются два качественно различных режима, которые можно использовать для построения базисных функций в схеме CSK. Рис. 2.20 иллюстрирует основные стадии передачи информации. На рис. 2.20а представлен бинарный информационный сигнал, т.е., фактически, последовательность включений и выключений генератора внешнего воздействия в передатчике. На выходе передатчика (рис. 2.206) имеем последовательность отрезков хаотических несущих двух типов, каждый из которых соответствует одному из двух символов бинарного алфавита. Для начала рассмотрим простейшую ситуацию, когда шум в канале связи отсутствует. В этом случае выходной сигнал клистрона-передатчика F(x), прошедший через канал связи, поступает на вход приемника (рис. 2.20в) неискаженным, и задержанный выходной сигнал клистрона-усилителя в приемнике в точности совпадает с выходным сигналом передатчика. На рис. 2.20г приведен разностный сигнал. Хорошо видно, что для передаваемого символа «0» он равен нулю, а для символов «1» — отличен от нуля.
Это позволяет точно восстановить передаваемый сигнал (рис. 2.20д). Однако, распространяясь в канале связи, сигнал претерпевает искажения. Будем моделировать их добавлением аддитивного гауссова шума с нулевым средним. Рис. 2.21 и рис. 2.22 демонстрируют влияние шума на качество связи. Отношение сигнал/шум (SNR) составляло, соответственно, 10 и 1 dB. Дисперсия шума составляет 1.45 и 4.09, соответственно. В этом случае мощность разностного сигнала для нулевого символа уже отлична от нуля. Видно, что при SNR=10 dB передаваемые символы по-прежнему определяются безошибочно. Уменьшение SNR до 1 dB хотя и приводит к появлению ошибок демодуляции, тем не менее, оставляет возможность передачи информации без ошибок с помощью различных методов кодирования (см., например, [85]), основывающихся на передаче избыточной информации. Предложенный метод управления хаосом удалось реализовать и на экспериментальном макете автогенератора, построенном на базе промышленного пятирезонаторного клистрона КУ—134Е среднего уровня мощности десятисантиметрового диапазона (подробное описание установки см. в п. 3.4). Установка была дополнена источником гармонического СВЧ сигнала, включенным в цепь обратной связи клистрона. Было обнаружено, что, воздействуя внешним управляющим сигналом можно эффективно управлять хаотическими режимами генератора. На рис. 2.23 представлены фазовые портреты и спектры; они соответствуют ускоряющему напряжению U0=197\ V, току пучка /0=53 тА и отсутствию затухания в аттенюаторе. При этом мощность выходного сигнала (в автономном режиме) составила 7 W. На генератор воздействует внешний сигнал с частотой 2805 MHz и мощностью 2.15 W.
Численное моделирование сложной динамики многорезонаторных клистронов
Численное моделирование сложной динамики трехрезонаторного клистрона-генератора выявило картину, в принципе, аналогичную модели двухрезонаторного генератора (п. 2.3). Как и для двухрезонаторного клистрона, результаты численного моделирования показывают, что высшие моды практически всегда подавляются в процессе конкуренции, и все процессы сложной динамики разыгрываются на базе основной и ближайших автомодуляционных мод. Остаются в силе основные качественные выводы, сделанные в гл. 1 и 2 относительно механизмов автомодуляции и сценариев перехода к хаосу в центрах и вблизи границ зон генерации. Представляет интерес выяснение применимости приближения линейности промежуточных каскадов (см. п. 3.1.2). С этой целью была построена серия бифуркационных диаграмм для полной модели трехрезонаторного клистрона (3.8)-(3.10) при различных значениях глубины обратной связи р, и проведено их сравнение с диаграммой для модели (3.16), полученной в приближении линейности промежуточных каскадов (рис. 3.2). На бифуркационных диаграммах отложены положения максимумов амплитуды выходного сигнала в зависимости от параметра є. Естественно, для модели (3.16) рассчитывалась только одна диаграмма, где роль бифуркационного параметра выполняет а. Затем для более наглядного сравнения она перестраивалась таким образом, чтобы показать зависимость от параметра є при соответствующих значениях р. Во всех случаях выбиралось значение фазы обратной связи \/, соответствующее центру зоны генерации. Для модели (3.16) эти значения одинаковы и, согласно (3.25), равны —п, а для полной модели зависят от р и определяются по формуле (3.20). Во всех случаях диаграммы построены в одних и тех же пределах по є: от порога автомодуляции до значений є, в три раза его превышающих. Видно, что при малых значениях глубины ОС бифуркационные диаграммы достаточно похожи (рис. 3.2 а,г). Особенно хорошее соответствие наблюдается при больших значениях параметра усиления, когда условия линеаризации выполняются наилучшим образом. При р = 0.1 можно отметить качественную аналогию бифуркационных диаграмм (рис. 3.2 б,д), по крайней мере, в области больших є. Амплитуда колебаний для линеаризованной модели оказывается несколько меньше, чем для полной. Наконец, при больших значениях глубины обратной связи бифуркационные диаграммы принципиально отличаются (рис. 3.2 в,е). Характерные значения амплитуды колебаний отличаются примерно в полтора раза.
Действительно, в этом случае условия линеаризации уравнений нарушаются, так что модель (3.16) уже не применима. Например, если сравнить пороги самовозбуждения при р = 1, то, как видно из формул (3.21) и (3.26), значения est для полной и линеаризованной моделей отличаются в 1,38 раза. Таким образом, рис. 3.2 показывает, что приближение линейности промежуточных каскадов применимо лишь в случае малых значений р и достаточно больших є. Как видно из рис. 3.2, по мере увеличения тока пучка имеет место сложная последовательность чередующихся регулярных и хаотических режимов, причем переходы к хаосу могут происходить как по сценарию Фейгенбаума, так и жестко. На рис. 3.3 изображены фазовые портреты и спектры в характерных режимах (параметры соответствуют рис. 3.2д). Рис. 3.3а соответствует режиму периодической автомодуляции, когда доминирует основная мода, рис. 3.36 — возникшему на его базе режиму сложной динамики, рис. З.Зв — режиму периодической автомодуляции в случае, когда основная мода подавлена, т.е. наблюдается эффект расщепления моды, описанный в гл. 1, 2. Вблизи границ зон генерации с ростом параметра усиления наблюдается объединение аттракторов, сформировавшихся на базе различных собственных мод, причем оно по-прежнему может происходить двумя способами: либо путем образования развитого хаотического аттрактора, либо путем перехода к «симметричному» режиму периодической автомодуляции, в спектре которого присутствуют составляющие на частотах двух соседних мод с практически одинаковыми амплитудами. На рис. 3.4 а,б приведены спектры двух сосуществующих хаотических аттракторов, предшествующих объединению, а на рис. 3.4в — фазовый портрет и спектр «объединенного» аттрактора. В спектре видны составляющие на частотах основной и побочной мод на фоне шумового пьедестала, который является более широким и однородным, чем у «парциальных» аттракторов. Отметим, что режим развитого хаоса, как правило, существует в узком диапазоне изменения параметра, после чего происходит переход к симметричному циклу (рис. 3.4г). Этот переход происходит жестко.
Далее симметричный цикл претерпевает серию бифуркаций удвоения, и в дальнейшем поведение становится аналогичным описанному в п. 2.3. Перейдем к исследованию модели пятирезонаторного клистрона-генератора. Выберем параметры модели, соответствующие клистрону, который использовался в эксперименте (см. п. 3.4). Нагруженная добротность входного резонатора клистрона Qin - 250, выходного Qmt=\25, собственная добротность резонаторов Q, = 460, характеристическое сопротивление К = 300 Ohm, длина линии обратной связи Ют, ускоряющее напряжение V0 = 2500 V, ток пучка I0 = 50 тА. Систему уравнений (3.16) следует несколько модифицировать таким образом, чтобы учесть отличие нагруженных добротностей входного и выходного резонатора: Динамика модели (3.35) исследовалась при четырех различных значениях ц/, соответствующих разным положениям относительно центра зоны генерации. На рис. 3.5 приведены соответствующие бифуркационные диаграммы. Для пятирезонаторного клистрона центру зоны генерации соответствует \/ = 0. Чтобы иметь возможность более наглядного сопоставления с экспериментом, бифуркационные диаграммы перестраивались таким образом, чтобы управляющим параметром была глубина обратной связи р при постоянном параметре усиления є = 3.9, что соответствует току пучка 50 mA. При построении диаграмм ограничивались достаточно небольшими значениями р, чтобы оставалось справедливым приближение линейности промежуточных каскадов. Отметим, что в эксперименте глубина обратной связи регулировалась при помощи поляризационного аттенюатора. Однако даже если затухание аттенюатора устанавливалось равным нулю, глубина ОС все равно не превышала -6 dB, т.е. р « 0.5, главным образом, из-за потерь на согласование. В целом по-прежнему отмечаются те же основные особенности динамики, что и для моделей двух- и трехрезонаторного клистрона. По мере увеличения глубины обратной связи вначале происходит переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода автомодуляции. Далее наблюдается сложная последовательность чередования хаотических и регулярных режимов автоколебаний. Периодическим режимам соответствуют ок 107 на, которые хорошо видны на бифуркационных диаграммах. Однако, как было показано в п. 3.3.1, использующееся при получении модели (3.35) приближение малого усиления промежуточных каскадов работоспособно лишь при малых значениях р, что делает невозможным количественное сопоставление результатов численного моделирования с экспериментом. Для детального моделирования клистронных автогенераторов необходимо использовать более сложные модели, например модель «частицы в ячейке», рассмотренную в п. 3.5.
