Сложная пространственно-временная динамика в распределенных системах радиофизики и вакуумной сверхвысокочастотной электроники Рыскин Никита Михайлович

Содержание к диссертации

Введение

1. Нелинейная динамика и задачи свч электроники и радиофизики (критический анализ) 27

1.1. Генераторы СВЧ хаотических колебаний: возможности практического применения 27

1.1.1. Системы связи 27

1.1.2. Обработка информации 31

1.1.3. Радиолокация 32

1.1.4. Генераторы помех 34

1.2. Генераторы СВЧ хаотических колебаний: основные результаты теоретических и экспериментальных исследований 35

1.2.1. ЛБВ-генераторы с запаздывающей обратной связью 35

1.2.2. Лампы обратной волны 52

1.2.3. Нелинейная динамика взаимодействия ЭП — ЭМВ вблизи границы полосы пропускания 65

1.2.4. Клистронные автогенераторы с запаздыванием 69

1.2.5. Лазеры на свободных электронах 73

1.3. Другие области применения нестационарной теории 77

1.3.1. Паразитное самовозбуждение усилителей 77

1.3.2. Усиление и генерация коротких импульсов 79

1.3.3. Усиление сигналов со сложным спектральным составом 82

1.4. Выводы 85

2. Сложная динамика простых моделей автогенераторов с запаздыванием 87

2.1. Простая модель автогенератора с кубичной нелинейностью и запаздыванием. 87

2.1.1. Теоретический анализ 88

2.1.2. Результаты численного моделирования 93

2.1.3. Приближение трех взаимодействующих мод 100

2.2. Модель «однорезонаторного клистрона» с запаздыванием 102

2.2.1. Режимы стационарной генерации и их устойчивость 102

2.2.2. Результаты численного моделирования 105

2.2.3. Основные уравнения нестационарной теории отражательного клистрона... 110

2.3. Модель ЛБВ-генератора с узкополосным фильтром в цепи обратной связи: особенности хаотической динамики и использование в схеме передачи информации 112

2.4. Выводы

3. Нестационарная теория клистронных автогенераторов с запаздыванием 123

3.1. Теория двухрезонаторного клистрона-генератора с ЗОС 123

3.1.1. Основные уравнения 123

3.1.2. Условия самовозбуждения, стационарные режимы и их устойчивость 126

3.1.3. Численное моделирование процессов перехода к хаосу 130

3.1.4. Влияние сил пространственного заряда 137

3.1.5. Управление хаосом в клистроне-генераторе внешним сигналом и применение в схеме прямохаотической передачи информации 144

3.2. Теория многорезонаторного клистрона-генератора 147

3.2.1. Основные уравнения. Трехрезонаторный клистрон 147

3.2.2. Приближение большого усиления в промежуточных каскадах 149

3.2.3. Условия самовозбуждения автоколебаний 150

3.2.4. Численное моделирование сложной динамики многорезонаторных клистронов 153

3.3 Сопоставление с результатами экспериментальных исследований многорезонаторного клистрона-генератора 160

3.4. Выводы 168

4. «Тонкая структура» режимов автомодуляции и хаоса в лампе обратной волны 170

4.1. Основные уравнения нестационарной нелинейной теории ЛОВ 170

4.1.1. Уравнения движения 170

4.1.2. Уравнение возбуждения 173

4.1.3. Переход к уравнениям стационарной теории 174

4.2. Переход к хаосу в однопараметрической модели ЛОВ 175

4.3. Нелинейная динамика двухпараметрической модели ЛОВ (нестационарная нелинейная теория ЛОВ при конечных значениях параметра усиления) 184

4.4. Нелинейная динамика релятивистской ЛОВ 186

4.5. Нелинейная динамика ЛОВ с отражениями 192

4.5.1. Условия самовозбуждения 193

4.5.2. Численное моделирование. Самовозбуждение и возникновение автомодуляции 195

4.5.3. Переход к хаосу при больших отражениях 198

4.5.4. Переход к хаосу при слабых отражениях 205

4.6. Моделирование нелинейной динамики релятивистской ЛОВ при помощи полностью электромагнитного кода MAGIC 206

4.7. Переход к развитому хаосу в цепочке двух однонаправлено связанных ЛОВ 214

4.8. Воздействие узкополосного хаотического сигнала на усилитель и генератор обратной волны 220

4.8.1. Усложнение хаотического сигнала при прохождении через ЛОВ-усилитель 221

4.8.2. Воздействие детерминированного хаотического сигнала на ЛОВ-генератор 226

4.9. Выводы 229

5. Сложная динамика в системах параметрически взаимодействующих волн 234

5.1. Сложная динамика распределенного параметрического генератора 234

5.1.1. Постановка задачи. Основные уравнения 234

5.1.2. Условия самовозбуждения 238

5.1.3. Стационарные режимы генерации. Теория 239

5.1.4. Стационарные режимы генерации. Численное моделирование 243

5.1.5. Возникновение автомодуляции 246

5.1.6. Переход к хаосу в режиме фазовой синхронизации 250

5.1.7. Переход к хаосу в центре зоны генерации. Общий случай 254

5.1.8. Переход к хаосу вблизи границ зоны генерации 257

5.2. Сложная динамика распределенного параметрического генератора встречной волны 259

5.2.1. Условия самовозбуждения и стационарные режимы генерации. Теория 260

5.2.2. Результаты численного моделирования 264

5.3. Выводы 271

6. Исследование ЛБВ-генератора с запаздывающей обратной связью на основе нестационарной нелинейной теории 273

6.1. Модель и основные уравнения 273

6.2. Условия самовозбуждения и стационарные режимы генерации 276

6.3. Возникновение автомодуляции ,281

6.4. Сценарий перехода к хаосу 283

6.5. Моделирование нелинейной динамики ЛБВ-генератора с замедляющей структурой типа «петляющий волновод» 287

6.5.1. Постановка задачи 287

6.5.2. Линейная нестационарная теория 289

6.5.3. Численное моделирование. Режимы стационарной генерации 293

6.5.4. Численное моделирование. Режимы автомодуляции и хаоса 297

6.5.5. Сопоставление с экспериментом 299

6.6. Выводы 303

7. Сложная динамика модуляционной неустойчивости волн в пассивных нелинейных средах с дисперсией 305

7.1. Нелинейная динамика МН в окрестности критической частоты 306

7.1.1. Нелинейный эффект смены характера МН. Теория 307

7.1.2. Численное моделирование нелинейной динамики МН 312

7.1.3. Влияние характера МН на эффекты нелинейного туннелирования 322

7.1.4. Нелинейная динамика МН в периодической брэгговской структуре 325

7.2. Нелинейная динамика МН в кольцевом резонаторе 336

7.2.1. Условия неустойчивости стационарного режима 338

7.2.2. Результаты численного моделирования 342

7.3. Нелинейная динамика МН при наличии отражений от границ 347

7.3.1. Стационарные режимы колебаний и их устойчивость 348

7.3.2. Численное моделирование нелинейной динамики одномерного резонатора. 352

7.4. Сложная динамика в нелинейной радиотехнической линии передачи 357

7.4.1. Модель и основные уравнения 357

7.4.2. Теоретический анализ модуляционной неустойчивости 360

7.4.3. Результаты численного моделирования 361

7.5. Моделирование сложной динамики электромагнитных полей в нелинейных диэлектрических структурах методом конечных разностей во временной области 371

7.5.1. Нелинейный диэлектрический резонатор 373

7.5.2. Периодическая нелинейная структура 377

7.6. Сложная динамика кольцевого нелинейного резонатора (системы Икеды) под воздействием двухчастотного сигнала 382

7.6.1. Вывод системы связанных отображений Икеды 384

7.6.2. Стационарные режимы колебаний и их устойчивость 385

7.6.3. Результаты численного моделирования 389

7.7. Выводы 393

Заключение 396

Литература 403

• Нелинейная динамика взаимодействия ЭП — ЭМВ вблизи границы полосы пропускания
• Модель ЛБВ-генератора с узкополосным фильтром в цепи обратной связи: особенности хаотической динамики и использование в схеме передачи информации
• Управление хаосом в клистроне-генераторе внешним сигналом и применение в схеме прямохаотической передачи информации
• Моделирование нелинейной динамики релятивистской ЛОВ при помощи полностью электромагнитного кода MAGIC

Введение к работе

Актуальность исследуемой проблемы. Изучение сложной пространственно-временной динамики в распределенных автоколебательных системах (РАС) является одной из наиболее актуальных проблем современной физики, тесно связанной с другими фундаментальными проблемами, такими как возникновение турбулентности и образование диссипатив-ных структур [1-5]. Примеры РАС весьма разнообразны и встречаются, по сути, во всех областях физики. К ним следует отнести некоторые гидродинамические течения, химические системы типа «реакция — диффузия», функциональные системы живых организмов (системы дыхания, кровообращения, речи), переменные звезды (цефеиды), оптические квантовые генераторы (лазеры), диоды Ганна и т.д. Следует отметить, что по сравнению с системами с конечным (точнее говоря, с небольшим) числом степеней свободы успехи в изучении сложной динамики распределенных систем пока еще не столь велики. С одной стороны, это связано с чисто техническими трудностями при проведении вычислительных и физических экспериментов. С другой стороны, для таких систем, как правило, характерна чрезвычайно сложная картина различных динамических режимов, что обусловлено очевидными причинами: наличием бесконечного числа степеней свободы и нескольких управляющих параметров. Таким образом, часто бывает затруднительно наблюдать основные сценарии перехода к хаосу, присущие конечномерным динамическим системам, выявить физические причины, ответственные за тот или иной тип динамики, и т.д.

Важный класс РАС составляют приборы вакуумной сверхвысокочастотной (СВЧ) электроники, основанные на взаимодействии электронных потоков (ЭП) с электромагнитными полями (ЭМП). Более того, радиофизика и электроника СВЧ одной из первых стала по-настоящему нелинейной наукой, активно использующей идеи и представления нелинейной динамики. По сути, нелинейная динамика распределенных систем (по крайней мере, в радиофизическом аспекте) началась именно с исследования систем типа ЭП-ЭМП. В настоящее время такие нелинейные феномены, как солитоны, динамический хаос, дисси-пативные структуры в этих системах по-прежнему привлекают большое внимание (см., например, [6,7,272]).

Интерес к этим исследованиям продиктован сразу несколькими обстоятельствами. Прежде всего, нелинейный нестационарный подход требуется для решения многих традиционных задач СВЧ электроники, важных с практической точки зрения, таких как теория переходных процессов, возбуждение паразитных колебаний, усиление и генерация коротких импульсов, усиление сигналов со сложным спектральным составом. Причем в на стоящее время значение этих задач значительно возросло в связи с бурным развитием спутниковых систем связи и постоянным ужесточением требований к приборам, предназначенным для работы в подобных системах. Кроме того, в последние годы появились новые перспективы использования детерминированных хаотических колебаний в системах связи [8-14], обработки информации [15,16], радиолокации [17], радиоэлектронного противодействия и др. Действительно, многие свойства хаотических сигналов представляются весьма привлекательными для указанных приложений. Широкая полоса частот обеспечивает высокую помехоустойчивость, высокую электромагнитную совместимость и затрудняет обнаружение и подавление по сравнению с узкополосными сигналами. Хаотические сигналы являются случайными, что затрудняет предсказание сигнала по перехваченному фрагменту сообщения. Они также характеризуются быстро спадающей автокорреляционной функцией, следовательно, хаотические сигналы, порожденные двумя разными источниками, или даже два сигнала от одного и того же источника при несколько различных начальных условиях являются некоррелированными (ортогональными). Это позволяет использовать их в системах многопользовательских коммуникаций на основе кодового разделения (code division multiple access, CDMA). Кроме того, как показывают некоторые оценки [17], при использовании в системах радиолокации они могут обеспечить лучшее разрешение по дальности и скорости, чем традиционно использующиеся импульсные сигналы. Хотя многие из отмеченных выше достоинств собственно не связаны с тем, что колебания имеют детерминированную хаотическую природу, у генераторов хаоса есть преимущества по сравнению с шумовыми генераторами, обусловленные более богатыми возможностями управления характеристиками колебаний (что, например, позволяет реализовать различные способы их модуляции информационным сигналом), а также возможностью применять для обработки информации специфические методы нелинейной динамики. Таким образом, разработка мощных широкополосных источников хаотических колебаний СВЧ диапазона представляется весьма актуальной задачей.

В то же время, изучение сложной пространственно-временной динамики в электронно-волновых системах представляет интерес и для других областей физики. Например, некоторые результаты могут быть обобщены на гидродинамические задачи в силу известной плазменно-гидродинамической аналогии [18]. Недавно было указано на возможную аналогию между гиро-лампой обратной волны и некоторыми явлениями в магнитосфере Земли (так называемые космические циклотронные мазеры) [19-21].

Отметим, что, несмотря на то, что сложные режимы колебаний в системах СВЧ электроники изучаются уже почти тридцать лет, достаточно полная картина нелинейной динамики на сегодняшний день отсутствует. Общепризнанно, что по мере постепенного увеличения бифуркационного параметра, определяющего степень неравновесности (как правило, в качестве такого параметра выступает ток электронного пучка), режим стационарных одночастотных колебаний становится неустойчивым и сменяется многочастотным, т.е. возникает автомодуляция. Вначале автомодуляция является регулярной, затем она становится хаотической. Такое поведение присуще практически всем классическим приборам вакуумной СВЧ электроники: лампам бегущей волны (ЛБВ) с внешней запаздывающей обратной связью (ЗОС), лампам обратной волны (ЛОВ), лазерам на свободных электронах (ЛСЭ), гиротронам и т.д. Однако большинство работ ограничивается лишь констатацией факта наличия сложной динамики. В литературе редко встречаются результаты более подробного изучения сценариев перехода к хаосу в тех или иных приборах, причем утверждения различных авторов зачастую не согласуются между собой. Например, для ЛБВ-генератора с запаздыванием сообщалось об обнаружении всех известных сценариев, присущих конечномерным системам (удвоения периода, разрушение квазипериодического движения, перемежаемость). Остается неясным, почему в различных случаях наблюдаются те или иные сценарии. Более того, следует ожидать," что для столь сложных систем, которые являются распределенными и многопараметрическими, должен быть характерен не какой-то один сценарий, а сложная картина регулярных и хаотических режимов в пространстве параметров. Однако результаты подобного рода на сегодняшний день отсутствуют.

Как правило, явления пространственно-временного хаоса изучаются в активных средах, в которых развиваются различные неустойчивости (например, в РАС типа ЭП-ЭМП активной средой является электронный поток). Однако сложная динамика может возникать и в пассивных средах, которые не содержат никаких внутренних источников энергии, и распространение сигнала в них не сопровождается усилением. При определенных условиях регулярный сигнал от внешнего источника, распространяющийся в пассивной нелинейной среде, может обогащаться новыми независимыми компонентами и даже становиться хаотическим. Одним из основных механизмов, приводящих к сложной динамике в пассивных средах, является модуляционная неустойчивость (МН), которая играет важную роль в гидродинамике, радиофизике, нелинейной оптике, физике плазмы и др. [1,4,5,270]. Хотя изучению МН посвящено большое количество работ, в них, как правило, идет речь о неустойчивости в безграничных и консервативных средах, и исследуются различные вопросы, связанные с образованием на сильно нелинейной стадии солитонов огибающей. В то же время, для изучения сложного пространственно-временного поведения принципиальный интерес представляет рассмотрение ограниченных в пространстве систем с учетом внешнего источника и диссипации (например, за счет излучения энергии че рез границы). На языке теории колебаний данную ситуацию следует сопоставить не с автоколебаниями, а, скорее, с вынужденными колебаниями. Отметим, что отрезок нелинейной среды конечной протяженности, возбуждаемый на границе внешним сигналом, можно трактовать как распределенный нелинейный резонатор под внешним воздействием. Поскольку нелинейный осциллятор под внешним воздействием давно является одной из важнейших моделей в теории динамических систем с конечным числом степеней свободы [1,2,4,271], изучение аналогичных явлений в распределенных системах также представляет принципиальный интерес.

Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертации актуальной и важной для современной радиофизики и физической электроники в той части, которая связана с генерацией и усилением электромагнитного излучения СВЧ диапазона.

Цель диссертации состоит в развитии единого подхода к изучению режимов автомодуляции и хаоса в широком классе распределенных систем (автоколебательные системы с запаздыванием, системы типа электронный поток — электромагнитное поле, нелинейные волновые системы с модуляционной и параметрической неустойчивостью) и установлении общих закономерностей сложной пространственно-временной динамики в подобных системах.

Научная новизна. Все полученные в диссертации научные результаты являются новыми и получены впервые.

1. Построена детальная картина автоколебательных режимов для класса простых моделей автогенераторов с ЗОС, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка с запаздыванием (гл. 2);

2. Разработаны математические модели генераторов на основе двух- и многорезонатор-ных клистронов с запаздыванием, описывающие разнообразные нестационарные процессы, в том числе, режимы сложной динамики и хаоса (гл. 3). Предложена эффективная методика учета влияния сил пространственного заряда, основанная на нелинейной волновой теории (В.А. Солнцев, 1974). Построена подробная картина нелинейной динамики, которая оказывается близкой к простым моделям автогенераторов с ЗОС, рассмотренным в гл. 2. Впервые исследованы экспериментально режимы автомодуляции и хаоса в автогенераторе на основе многорезонаторного клистрона, показано достаточно хорошее качественное соответствие результатов теории и эксперимента;

3. Продемонстрирована возможность использования клистрона-генератора с ЗОС в схеме прямохаотической передачи информации на основе переключения хаотических режимов (гл. 3);

Описана «тонкая структура» режимов нелинейной динамики в различных моделях ЛОВ, в том числе с учетом релятивистских эффектов и отражений (гл. 4). Обнаружено, что имеет место сложная последовательность смены регулярных и хаотических режимов, причем наблюдаются переходы к хаосу по всем известным сценариям. Показано, что многократные переходы между различными автомодуляционными режимами обусловлены процессами формирования и разрушения пространственно-временных структур — электронных сгустков, т.е. связаны с распределенной природой системы;

Обнаружен сложный характер границ области автомодуляции в пространстве параметров в релятивистской ЛОВ (независимо от В.В. Ростова [186]). Показано, что такое поведение обусловлено процессами конкуренции двух принципиально различных автоколебательных режимов, отличающихся как пространственно-временными распределениями поля и тока, так и характерными частотами (гл. 4); Проведено подробное исследование нелинейной динамики релятивистской ЛОВ при помощи полностью электромагнитного кода MAGIC (гл. 4). Результаты моделирования хорошо согласуются с картиной, построенной на основе узкополосной нестационарной теории, и убедительно свидетельствуют в пользу ее справедливости. На основе этих результатов дано объяснение ряду особенностей автоколебательных режимов, наблюдавшихся в экспериментах, выполненных в ИПФ РАН (1998-2002); Предложен эффективный способ снижения порога перехода к развитому хаосу в ЛОВ за счет использования цепочки из двух связанных генераторов (гл. 4). Показано, что удается получить широкополосные хаотические колебания с достаточно однородным сплошным спектром, когда отношение тока пучка к пусковому в обеих системах существенно меньше (порядка 10), чем в одиночном генераторе (порядка 30), а автономные генераторы работают в режиме периодической автомодуляции или низкоразмерного хаоса;

Исследовано прохождение узкополосного хаотического сигнала через усилитель и генератор обратной волны (гл. 4). Установлено, что основные механизмы усложнения сигнала в целом те же, что и при прохождении через линейные фильтры, и определяются в основном видом амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик усилителя. Данные задачи применительно к активным распределенным нелинейным средам были поставлены и решены впервые;

Представлена подробная картина режимов сложной динамики и хаоса в системах параметрически взаимодействующих нелинейных волн (распределенные параметрические генераторы попутной и встречной волны, гл. 5). Выявлена аналогия поведения генератора встречной волны с рядом конечномерных динамических систем, прежде всего, с системой Лоренца;

10. Представлены детальные результаты исследования нелинейной динамики генератора на основе ЛБВ с запаздыванием, полученные при помощи нестационарной нелинейной теории для случая узкополосных сигналов (гл. 6). Впервые проведены расчеты нестационарных режимов для ЛБВ-генератора миллиметрового диапазона с ЗС типа «петляющий волновод», проведено сопоставление результатов численного моделирования и эксперимента. Сложная динамика ЛБВ-генератора в режиме больших пространственных зарядов также исследовалась впервые;

11. Впервые поставлена и решена задача о характере модуляционной неустойчивости, обнаружен новый нелинейный эффект смены характера неустойчивости с конвективной на абсолютную (гл. 7). Этот эффект имеет место в окрестности критической частоты и обусловлен расширением диапазона неустойчивых возмущений в область встречных волн, что приводит к возникновению внутренней распределенной обратной связи;

12. Выявлена связь режимов нелинейного туннелирования с характером модуляционной неустойчивости, и показано, что квазилинейное туннелирование, когда сигнал распространяется стационарным образом в виде волны с постоянной амплитудой, имеет место при конвективной неустойчивости, а солитонное туннелирование, когда сигнал разбивается на последовательность солитоноподобных импульсов — при абсолютной (гл. 7);

13. Исследованы явления автомодуляции и перехода к хаосу в моделях распределенных нелинейных резонаторов (модель кольцевого резонатора, модель одномерного резонатора с отражениями на границах), заполненных средой с конвективной МН, когда присутствует какой-либо механизм внешней обратной связи, превращающий неустойчивость в глобальную (гл. 7);

14. Представлена подробная картина сложной динамики кольцевого нелинейного резонатора, заполненного средой с кубичной фазовой нелинейностью, при двухчастотном воздействии (гл. 7). Предложен способ эффективного управления режимами колебаний в резонаторе изменением амплитуды и фазы одной из компонент входного сигнала.

Научная и практическая значимость результатов исследования сложной динамики распределенных автоколебательных систем связана с тем, что они являются моделями приборов, широко использующихся для генерации и усиления электромагнитных колебаний и применяющихся в системах связи, радиолокации и т.д. (клистроны, ЛОВ, ЛБВ, парамег рические генераторы). Изучение условий возникновения автомодуляции позволяет определить условия устойчивой работы этих приборов в режиме одночастотной генерации, в ряде случаев позволяет предложить способы подавления автомодуляции. Результаты исследований хаотических режимов представляют особый интерес для создания генераторов хаотического излучения СВЧ диапазона для систем связи, обработки информации и радиолокации на основе динамического хаоса.

Результаты исследования сложной динамики в системах типа распределенных нелинейных резонаторов представляют практический интерес в связи с перспективами использования подобных систем в качестве логических элементов вычислительной техники, в системах чисто оптического переключения, ограничения мощности, и т.д.

Результаты исследования процессов, в ходе которых происходит образование соли-тонов, представляют практический интерес для генерации ультракоротких импульсов. В особенности это касается исследований эффекта солитонного туннелирования и щелевых солитонов.

Вместе с тем, результаты диссертации имеют общенаучное значение для понимания основных закономерностей пространственно-временного хаоса (турбулентности) в средах самой различной природы, в первую очередь — гидродинамической и плазменной турбулентности. Автоколебательные системы с запаздыванием, рассмотренные в диссертации, также широко распространены и встречаются не только в радиофизике и электронике, но и в нелинейной оптике, биофизике, физике атмосферы, даже в моделях экологии, экономики и социальных наук.

Результаты исследований нелинейной динамики МН также представляют общефизический интерес, поскольку рассматривается ряд универсальных моделей (нелинейные уравнения Шрёдингера, Клейна-Гордона), которые описывают динамику огибающей волнового пакета в средах самой различной физической природы. Таким образом, эти результаты можно рассматривать как еще один возможный универсальный механизм возникновения турбулентности в распределенных средах.

Результаты диссертации используются в учебном процессе на факультете нелинейных процессов СГУ. Они также легли в основу курса лекций, прочитанных автором для студентов и аспирантов Сеульского национального университета (Корея) в 2004 г.

Результаты диссертации были получены при выполнении ряда НИР, в том числе поддержанных грантами CRDF (№REC-006), РФФИ (№№ 97-02-16546, 98-02-16541, 99-02-16016, 02-02-16315, 02-02-17317, 03-02-16192), ФЦП «Интеграция» (№ А0057), программой «Университеты России» (№№ 015.01.01.79, 01.01.021, 01.01.049), программой Минпромнауки РФ поддержки ведущих научных школ (НШ-1250.2003.2).

Достоверность результатов диссертации подтверждается тем, что:

• результаты численного моделирования и теоретического анализа (пороги самовозбуждения, характеристики стационарных режимов генерации, пороги автомодуляции) хорошо согласуются друг с другом;

• теоретические и численные результаты хорошо согласуются с результатами экспериментальных исследований, как выполненных при участии автора (клистроны и ЛБВ-генераторы с ЗОС, гл. 3 и 6), так и представленными в литературе (релятивистская ЛОВ, гл. 4.);

• для численного моделирования используются хорошо апробированные методы и разностные схемы;

• в качестве тестовых расчетов воспроизводятся многие результаты, известные из литературы;

• результаты, полученные на основе нестационарной нелинейной теории, подтверждаются результатами моделирования при помощи РІС-кода MAGIC (п. 4.6);

• ряд результатов был впоследствии независимо воспроизведен другими авторами.

Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались на многочисленных международных и всероссийских научных конференциях и семинарах, в том числе на:

• III IEEE International Vacuum Electronics Conference (IVEC 2002), Monterey, California, USA, 2002;

• IV IEEE International Vacuum Electronics Conference (IVEC 2003), Seoul, Korea, 2003;

• IV IEEE International Vacuum Electron Sources Conference (IVESC 2002), Саратов, 2002;

• II IEEE International Conference on Circuits and Systems for Communications (ICCSC 04), Москва, 2004;

• First International Workshop on the Noise Radar Technology (NRTW 2002), Ялта, Крым, Украина, 2002;

• International Conference on the Noise Radar Technology (NRT 2003), Харьков, Украина, 2003;

• International Symposium "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics", Ниж. Новгород-Москва-Ниж. Новгород, 2003;

• XI и XII Зимних школах по СВЧ электронике и радиофизике, Саратов, 1999, 2003.

• XI и XII Всероссийских школах по нелинейным волнам, Ниж. Новгород, 2002, 2004.

• Межвузовских конференциях «Современные проблемы радиофизики и электроники СВЧ», Саратов, 1997,2001;

• 5-й, 6-й и 7-й Международных школах «Хаотические автоколебания и образование структур», Саратов, 1998, 2001, 2004.

По результатам диссертации опубликованы два монографических учебных пособия, «Нелинейные волны» [270] и «Нелинейные колебания» [271], рекомендованные Министерством образования РФ для студентов физических специальностей вузов, 39 статей в ведущих научных журналах и сборниках трудов конференций [272-310].

Личный вклад соискателя. Научные взгляды и интересы автора сформировались под влиянием чл.-корр. РАН профессора Д.И. Трубецкова, который был инициатором и руководителем исследований нелинейной динамики распределенных автоколебательных систем электронной природы в Саратовском государственном университете. Диссертация представляет собой развитие идей Д.И. Трубецкова и его научной школы (Б.П. Безручко, А.П. Кузнецов, СП. Кузнецов, А.Г. Рожнёв, А.П. Четвериков и др.), сложившихся в 1970-80-е гг.

Большинство включенных в диссертацию результатов получены совместно с аспирантами и студентами, выполнявшими под руководством автора дипломные работы и кандидатские диссертации: В.Н. Титовым, А.А. Балякиным, Т.В. Дмитриевой, A.M. Ши-гаевым, А.Г. Зайцевой, К.К. Кижаевой. Вклад автора состоит в постановке всех задач, включенных в диссертацию, определении методов и подходов к их решению, написании части алгоритмов и программ численного моделирования, соучастии в проведении компьютерных экспериментов, обсуждении и интерпретации полученных результатов. Исследование клистронного генератора с ЗОС проводилось совместно с Б.С. Дмитриевым, Ю.Д. Жарковым, Д.В. Клокотовым (СГУ), которыми были получены экспериментальные результаты. Исследования ЛБВ-генераторов с ЗОС выполнены совместно с сотрудниками Сеульского университета (Корея) G.-S. Park, S.. Han, Y.-B. Kang, K.-H. Jang, Y.-M. Shin, J.-K. So и др., а также Висконсинского университета (США) J.H. Booske, S. Bhattacharjee, С. Marchewka, P. Larsen, которыми были разработаны макеты генераторов и проведены экспериментальные исследования. Результаты исследования прохождения хаотического сигнала через лампу обратной волны получены совместно с Л.В. Красичковым (СГУ). Вклад соавторов отмечается в соответствующих местах в тексте диссертации. В работах [272,288,290], носящих обзорный характер, автору принадлежат результаты, включенные в диссертацию.

Положения, выносимые на защиту

1. В распределенных автоколебательных системах типа «усилитель — резонансный полосовой фильтр — линия задержки» в центре зоны генерации при увеличении параметра неравновесности происходит переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, затем наблюдается многократное чередование периодических и хаотических режимов автомодуляции, причем имеются либо режимы, в которых доминирует основная мода, либо режимы, в которых доминируют две составляющие с примерно одинаковыми амплитудами, расположенные симметрично от основной, а основная мода подавлена (эффект «расщепления моды»).

2. Вблизи границ зоны генерации в системах типа системах типа «усилитель — резонансный полосовой фильтр — линия задержки» лежит область бистабильности, в которой сосуществуют режимы на базе двух соседних мод. На основной моде развивается каскад бифуркаций удвоения, однако наблюдается лишь конечное число бифуркаций: чем ближе к границе зоны, тем меньшее число бифуркаций удается наблюдать. На побочной моде переход к хаосу происходит через разрушение квазипериодического движения. Последовательность бифуркаций завершается объединением аттракторов на базе различных мод в единый аттрактор (либо предельный цикл, либо развитый хаотический аттрактор).

3. В распределенных автоколебательных системах типа широкополосных усилителей с запаздывающей обратной связью автомодуляция возникает по частотному механизму и обусловлена жестким возбуждением многих собственных мод, номера которых определяются временем запаздывания. Увеличение параметра неравновесности приводит к возбуждению новых собственных мод, которые ранее были подавлены, и разрушению режима самосинхронизации мод. Переход к хаосу происходит, главным образом, через разрушение квазипериодического движения, однако нелинейные эффекты вызывают переходы к режимам на базе других мод, которые, как правило, происходят через перемежаемость. Конкуренция между двумя указанными тенденциями приводит к сложной картине чередующихся квазипериодических и хаотических автомодуляционных режимов в пространстве параметров.

4. Сложная последовательность регулярных и хаотических автомодуляционных режимов, сменяющих друг друга по мере увеличения параметра неравновесности в распределенных волновых электронных автогенераторах, обусловлена процессами формирования и конкуренции пространственно-временных структур, приводящими к появлению новых динамических режимов с различной картиной пространственно-временной динамики полей.

5. Генераторы на базе пролетных клистронов с запаздывающей обратной связью демонстрируют разнообразные хаотические режимы генерации, включая режимы развитого хаоса, в широком диапазоне управляющих параметров. На их основе может быть реализована система прямохаотической передачи информации с переключением хаотических режимов, в которой используется воздействие внешним гармоническим сигналом для управления режимами хаотических колебаний.

6. Усложнение узкополосных хаотических сигналов при прохождении через активные распределенные системы типа электронный поток — электромагнитная волна характеризуется теми же основными механизмами, что и при прохождении через линейные фильтры, и определяется в основном видом амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик усилителя. Усложнение происходит либо путем многократного расслоения аттрактора на всех масштабах наблюдения, в результате чего он приобретает дополнительную фрактальную структуру, а его размерность возрастает, либо путем растяжения и складывания аттрактора, что ведет к усложнению лишь на больших масштабах наблюдения, а тонкая структура аттрактора сохраняется.

7. Сложная динамика в распределенных средах с модуляционной неустойчивостью возникает либо в случае, когда неустойчивость является абсолютной, либо когда неустойчивость является конвективной, однако присутствует какой-либо механизм внешней обратной связи, превращающий ее в глобальную. Абсолютная модуляционная неустойчивость может иметь место в окрестности критической частоты, когда диапазон неустойчивых возмущений захватывает область волновых чисел, для которых групповая скорость отрицательна. В обоих случаях по мере увеличения амплитуды сигнала возникает автомодуляция, а затем — переход к хаосу, причем доминирующим является сценарий разрушения квазипериодического движения.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и содержит 424 страницы текста, включая иллюстрации. Список литературы на 22 страницах включает 310 наименований.

Краткое содержание работы. Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цели, научная новизна, практическая значимость и положения, выносимые на защиту.

Глава 1 носит обзорный характер и посвящена применению идей и методов нелинейной динамики в СВЧ радиофизике и электронике. В п. 1.1 обсуждаются возможности практического применения генераторов хаотических колебаний СВЧ диапазона в системах связи и обработки информации, в радиолокации, для генерации помех. П. 1.2 содер жит обзор теоретических и экспериментальных исследований сложной динамики приборов вакуумной СВЧ электроники. Подробно анализируются результаты исследований генераторов с запаздывающей обратной связью на основе ЛБВ и клистронов, ЛОВ, ЛСЭ; указаны основные нерешенные вопросы. В п. 1.3 обсуждаются другие сферы приложений нестационарной теории, не связанные с генерацией хаотических колебаний: паразитное самовозбуждение, усиление и генерация ультракоротких импульсов, усиление сигналов со сложным спектральным составом.

В Главе 2 рассматривается сложная динамика ряда простых моделей автогенераторов с ЗОС, описывающихся дифференциальным уравнением с запаздыванием. В п. 2.1 рассматривается модель автогенератора с кубичной нелинейностью, в п. 2.2 — модель «однорезонаторного» клистрона, (нелинейная характеристика задается функцией Бесселя), в п. 2.2 — модель ЛБВ-генератора с узкополосным фильтром в цепи ОС (нелинейные амплитудная и фазовая характеристики получены аппроксимацией соответствующих характеристик для конкретной ЛБВ). Обнаружен ряд универсальных закономерностей сложной динамики подобных систем. В частности, дан подробный теоретический анализ условий самовозбуждения, стационарных режимов генерации и условий автомодуляции. Показано, что собственные моды (которых имеется бесконечное число, т.к. система распределенная) можно разделить на два класса: основные моды, которые возбуждаются от малых шумовых флуктуации, и паразитные автомодуляционные моды, которые возбуждаются лишь в присутствии достаточно интенсивных колебаний на одной из основных мод. Несмотря на бесконечное число степеней свободы, сложная динамика возникает на базе небольшого числа мод. При увеличении параметра неравновесности вначале возбуждаются колебания на основной моде, ближайшей к центру полосы усиления. Затем возникает автомодуляция, связанная с мягким возбуждением автомодуляционных мод, ближайших к основной. Она возникает по амплитудному механизму, т.е. вызвана наличием достаточно круто спадающего участка нелинейной характеристики. Порог самовозбуждения периодически зависит от фазы параметра ОС, т.е. данные системы характеризуются системой зон колебаний, дискретно расположенных в пространстве параметров. В центрах зон, где порог минимален, фаза сигнала за время прохождения по петле ОС изменяется на целое число 2л. С ростом параметра неравновесности зоны расширяются и начинают перекрываться, наблюдается мультистабильность и гистерезис.

В центре зоны генерации доминирует сценарий перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода. Удается уверенно наблюдать практически любое число бифуркаций удвоения (тем большее, чем больше точность вычислений) и приближенно подтвердить универсальные количественные закономерности, присущие этому сценарию. Однако, по сути, некорректно говорить о каком-то одном сценарии перехода к хаосу. В действительности реализуется сложная последовательность чередующихся периодических и хаотических режимов автомодуляции. Периодическим режимам в фазовом пространстве отвечают предельные циклы, геометрия которых постепенно усложняется. На базе каждого цикла вновь совершается переход к хаосу, который может происходить либо через удвоения периода, либо жестко.

Вблизи границ зоны генерации картина существенно усложняется, что обусловлено эффектами конкуренции двух близко расположенных мод. На основной моде развивается каскад бифуркаций удвоения. Однако наблюдается лишь конечное число бифуркаций, тем меньше, чем ближе мы к границе зоны. Для побочной моды переход к хаосу происходит через разрушение квазипериодического движения. Последовательность бифуркаций завершается слиянием аттракторов на базе различных мод. Происходит переход к так называемому высокоразмерному или развитому хаосу, характеризующемуся значительно более однородным сплошным спектром и отсутствием выделенной крупномасштабной структуры на проекции фазового портрета. После образования этого аттрактора временная реализация напоминает так называемую хаотическую перемежаемость.

Для модели «однорезонаторного» клистрона сложный характер нелинейности приводит к тому, что возможно множество стационарных режимов колебаний на одной и той же моде. С ростом параметра неравновесности все эти режимы теряют устойчивость, и далее происходит переход к хаосу через удвоения периода. В определенных областях параметров аттракторы, сформировавшиеся на базе различных стационарных состояний, сосуществуют, затем происходит их объединение и переход к развитому хаосу.

Развита нестационарная теория отражательного клистрона, показано, что он также может быть описан моделью «однорезонаторного» клистрона. Однако сделанные оценки показывают, что для типичных параметров отражательных клистронов наблюдать экспериментально режимы автомодуляции и хаоса затруднительно, так как отношение тока пучка к стартовому должно быть весьма значительным (например, для достижения автомодуляции оно должно составлять порядка 20).

Также выполнены расчеты для модели ЛБВ-генератора с узкополосным фильтром, нелинейные амплитудная и фазовая характеристики которого аппроксимируют характеристики реальной ЛБВ. Проведено сопоставление с результатами экспериментов, выполненных в Висконсинском университете (США), показавшее достаточно хорошее соответствие. Описан эксперимент по передаче информации по схеме с хаотическим подмешиванием (это первый пример применения прибора вакуумной СВЧ электроники в схеме хаотической передачи информации).

В Главе 3 рассматривается нестационарная теория генераторов на основе пролетных клистронов с ЗОС. Развиты математические модели двух- и многорезонаторных клистронов с ЗОС в виде систем дифференциальных уравнений с запаздыванием. В том числе, предложена эффективная методика учета влияния сил пространственного заряда, основанная на нелинейной волновой теории В.А. Солнцева [179]. Для предложенных моделей проведен теоретический анализ условий самовозбуждения, режимов стационарной генерации и условий автомодуляции. Построена подробная картина режимов сложной динамики, которая в целом оказывается близкой к описанной в гл. 2 для простых моделей автогенераторов с ЗОС.

Богатое разнообразие хаотических режимов представляется весьма выигрышным для использования клистронов с ЗОС для хаотической передачи информации. Представлены результаты численного моделирования, показывающие возможность управления хаосом в клистроне путем воздействия слабым внешним сигналом. Включение/выключение внешнего воздействия приводит к переключению между двумя различными хаотическими режимами. Впервые продемонстрирована возможность использования клистрона-генератора с ЗОС в схеме прямохаотической передачи информации с переключением хаотических режимов.

Описаны результаты экспериментальных исследований автогенератора на основе многорезонаторного клистрона 10-сантиметрового диапазона. В целом достаточно хорошо подтверждаются основные закономерности автомодуляционных и хаотических режимов, обнаруженные в ходе численных экспериментов. Тем не менее, имеется ряд количественных расхождений, особенно существенных в низковольтной области. Это связано, главным образом, с тем, что предложенные модели, основанные на системах дифференциальных уравнений с запаздыванием, не учитывают распределенный характер взаимодействия пучка с полем в зазоре резонатора.

Глава 4 содержит результаты исследования нелинейной динамики ЛОВ. Описаны основные уравнения нестационарной нелинейной теории ЛОВ в приближении узкополосных сигналов, подробно проанализированы физические допущения, сделанные при их выводе. Вначале рассматривается простейшая модель, характеризующаяся единственным бифуркационным параметром — безразмерной длиной системы L (п. 4.2). Впервые описана сложная последовательность смены регулярных и хаотических режимов с переходами к хаосу по всем известным сценариям. Первым происходит переход по сценарию Фейген-баума, что наиболее характерно для систем с амплитудным механизмом автомодуляции (ср. гл. 2,3). Обнаружено существование нескольких областей хаотических колебаний, в том числе и при значительно меньших уровнях тока, чем это предполагалось ранее. Пока зано, что многократные переходы между различными автомодуляционными режимами обусловлены процессами формирования и разрушения пространственно-временных структур — электронных сгустков, т.е. связаны с распределенной природой системы.

Далее рассматриваются последовательно усложняющиеся модели ЛОВ. В п. 4.3 подробно исследована нелинейная динамика ЛОВ при конечном значении параметра усиления Пирса (двупараметрическая модель ЛОВ). В п. 4.4 проводится учет релятивистских эффектов. Детально исследована зависимость порога автомодуляции от релятивистского масс-фактора, показано, что она носит более сложный характер, чем это предполагалось ранее. Существуют две области, которые естественно назвать слабо- и ультрарелятивистской; между ними имеется характерный «клюв», заходящий далеко вглубь области автомодуляции. Показано, что в этих областях реализуются два принципиально различных автоколебательных режима, отличающиеся как пространственно-временными распределениями поля и тока, так и частотами автомодуляции. Конкуренция этих двух режимов и приводит к возникновению «клюва» на линии границы автомодуляции.

В п. 4.5 проведено исследование влияния отражений излучения от границ замедляющей структуры на сложную динамику. Показано, что при слабых отражениях автомодуляция возникает в соответствии с амплитудным механизмом, характерным для нерезонансной ЛОВ. При сильных отражениях имеет место частотный механизм, связанный с жестким возбуждением сразу нескольких мод резонансной колебательной системы, частоты которых синхронизованы (режим самосинхронизации мод). На базе этого режима развивается переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения. Однако по мере роста L нелинейный эффект торможения пучка приводит к переходам к режимам на базе более низкочастотных мод. Эти переходы происходят либо жестко, либо через перемежаемость. Такое поведение связано с перестройкой пространственно-временных структур (сгустков) в электронном потоке. В результате наблюдать в чистом виде сценарий разрушения квазипериодического движения становится затруднительным. Реализуется сложная последовательность чередующихся регулярных и хаотических режимов автомодуляции.

В п. 4.6 представлены результаты моделирования нелинейной динамики релятивистской ЛОВ при помощи полностью электромагнитного кода MAGIC, хорошо согласующиеся с картиной, построенной на основе узкополосной нестационарной теории, что убедительно свидетельствует в пользу ее справедливости. В то же время, MAGIC позволяет уточнить эту картину, так как наиболее полно учитывает ряд важных физических факторов (пространственный заряд, поперечное движение, влияние попутной волны, частотная зависимость отражений). Проводится сопоставление с результатами экспериментальных исследований автомодуляционных режимов генерации в мощной ЛОВ, выполненных в ИПФ РАН (1998-2002).

Недостатком ЛОВ как генератора хаоса является то, что для получения высокоразмерных хаотических колебаний в ЛОВ ток пучка должен существенно (примерно в 30 раз) превосходить пусковой, что довольно затруднительно обеспечить на практике. В п. 4.7 предложен эффективный способ снижения порога перехода к развитому хаосу за счет использования цепочки из двух связанных генераторов. Показано, что удается получить широкополосные хаотические колебания с достаточно однородным сплошным спектром, когда отношение тока пучка к пусковому в обеих системах существенно меньше (порядка 10), а автономные генераторы работают в режиме периодической автомодуляции или низкоразмерного хаоса.

В п. 4.8 исследовано прохождение узкополосного хаотического сигнала через усилитель и генератор обратной волны. Данная задача применительно к активным распределенным нелинейным средам поставлена и решена впервые. Установлено, что основные механизмы усложнения сигнала в ЛОВ-усилителе в целом те же, что и при прохождении через линейные фильтры, и определяются в основном видом амплитудно-частотных и фа-зочастотных характеристик усилителя. Усложнение выражается в искажении структуры аттрактора и увеличении его размерности. Воздействуя несущим сигналом, модулированным узкополосным хаотическим колебанием, на синхронизованный ЛОВ-генератор, можно обеспечить большее усиление при существенно меньших искажениях. Однако если автономный генератор находится достаточно близко к порогу автомодуляции, обеспечить распространение детерминированного хаотического сигнала без существенных искажений не удается в принципе. По-видимому, это обусловлено тем, что хаотическое воздействие снижает порог возбуждения автомодуляционных сателлитов, стимулируя возбуждение новых частотных составляющих.

Глава 5 посвящена изучению сложной динамики и хаоса в системах параметрически взаимодействующих нелинейных волн. В п. 5.1 рассматривается распределенный параметрический генератор бегущей волны с запаздывающей внешней ОС: система трех параметрически взаимодействующих волн в резонаторе. Дан теоретический анализ условий самовозбуждения, проведено подробное численное моделирование различных автоколебательных режимов. Детально исследован механизм автомодуляции, показано, что генератор является типичным примером системы с частотным механизмом автомодуляции. После того, как превышен порог автомодуляции, переходный процесс завершается формированием солитоноподобиого импульса, который периодически распространяется вдоль системы. По мере увеличения интенсивности накачки возникают новые режимы пе риодической автомодуляции, характеризующиеся различной формой образующихся импульсов. Обнаружена аналогия с результатами экспериментальных исследований по параметрической генерации солитонов в кольцевом резонаторе с ферромагнитной пленкой, выполненных недавно Б.А. Калиникосом с соавторами [210].

Изучен сценарий перехода к хаосу. Показано, что имеет место переход через перемежаемость, что связано с разрушением синхронизации фаз при больших параметрах накачки. Выше границы перехода к хаосу имеются многочисленные «окна» регулярного поведения. Их появление обусловлено перестройкой пространственно-временной динамики системы, т.е. образованием новых когерентных структур, роль которых играют солитоны. В итоге реализуется сложная картина чередующихся регулярных и хаотических автомодуляционных режимов, причем переходы к хаосу происходят в основном через разрушение квазипериодического движения. Динамика данной системы имеет много общего с другими системами, где доминирует частотный механизм автомодуляции, в частности, с ЛОВ при больших отражениях (п. 4.5) и с ЛБВ-генератором с ЗОС (гл. 6).

Изучена сложная динамика распределенного параметрического генератора встречной волны (п. 5.2). Показано, что по мере увеличения накачки колебания становятся хаотическими, причем переход к хаосу происходит жестко. Как странный аттрактор, так и последовательность бифуркаций, предшествующая его появлению, демонстрируют глубокую аналогию с рядом конечномерных динамических систем, прежде всего, с системой Лоренца — одной из наиболее известных эталонных моделей нелинейной динамики.

В Главе 6 представлены детальные результаты исследования нелинейной динамики генератора на основе ЛБВ с запаздывающей обратной связью, полученные при помощи нестационарной нелинейной теории для случая узкополосных сигналов. Подробно исследован механизм возникновения автомодуляции, показано, что ЛБВ с ЗОС также является типичным примером системы, где автомодуляция возникает в соответствии с частотным механизму (в отличие от генератора с узкополосным фильтром в цепи ОС, п. 2.3). Она обусловлена жестким возбуждением большого числа собственных мод, номера которых в основном определяются параметром запаздывания. Увеличение параметра неравновесности (тока пучка, либо глубины ОС) приводит к разрушению режима самосинхронизации мод и переходу к хаосу. Доминирующим является сценарий разрушения квазипериодического движения. Однако по мере увеличения надкритичности наблюдается ряд переходов к режимам на базе все более высокочастотных мод, что обусловлено эффектом нелинейного торможения пучка. Как правило, эти переходы происходят через перемежаемость. Конкуренция между двумя указанными тенденциями приводит к сложной картине чере дующихся квазипериодических и хаотических автомодуляционных режимов в пространстве параметров.

Впервые проведены расчеты для конкретной ЛБВ Ка-диапазона с ЗС типа «петляющий волновод», которые в настоящее время представляют большой интерес для усиления и генерации колебаний миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов (возможно — вплоть до нескольких терагерц). Особенностью данной лампы является то, что она работает в режиме больших пространственных зарядов. Развита линейная нестационарная теория генератора, проведено подробное численное моделирование режимов од-ночастотной генерации, регулярной и хаотической автомодуляции. Результаты показывают, что можно реализовать различные режимы генерации с мощностью свыше 100 W в полосе частот 32-38 GHz. Однако для достижения режимов развитого хаоса требуется достаточно большая глубина ОС (порядка -3 dB). Проведено сопоставление с результатами экспериментального исследования ЛБВ-генератора, разработанного в Сеульском университете (Корея). В целом наблюдается достаточно хорошее соответствие между теорией и экспериментом, однако имеются определенные расхождения, связанные с тем, что модель не учитывает дисперсию групповой скорости и сопротивления связи.

Описанная картина режимов сложной динамики имеет много общего с распределенным параметрическим генератором с ЗОС (п. 5.1) и резонансной ЛОВ при больших отражениях (п. 4.5). Это позволяет утверждать, что обнаруженные особенности динамики являются универсальными для систем типа широкополосных усилителей с внешней запаздывающей обратной связью.

Наконец, Глава 7 посвящена сложной динамике при распространении волн в пассивных нелинейных средах с модуляционной неустойчивостью. Выделены две характерные ситуации, которые приводят к усложнению регулярного сигнала при распространении в подобных средах: когда МН является абсолютной и когда МН в безграничной среде является конвективной, однако в ограниченной системе присутствие внешней обратной связи (например, вызванной отражениями от границ) превращает ее в глобальную. Первая ситуация рассмотрена в п. 7.1. Здесь для среды, которую можно описать с помощью нелинейного уравнения Шрёдингера, впервые получен аналитический критерий характера неустойчивости и обнаружено, что по мере увеличения амплитуды внешнего сигнала наблюдается нелинейный эффект смены характера МН с конвективной на абсолютную. Этот эффект имеет место в окрестности критической частоты и обусловлен расширением диапазона неустойчивых возмущений в область встречных волн, что приводит к возникновению внутренней распределенной обратной связи. Проведено численное моделирование, которое полностью согласуется с теоретическими результатами. Показано, что при увсли чении амплитуды наблюдается переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения. На примере более реалистичной модели — комплексного нелинейного уравнения Клейна-Гордона, учитывающего уменьшение дисперсии при удалении от критической частоты, показано, что последовательное увеличение амплитуды приводит вначале к переходу от конвективной неустойчивости к абсолютной, а затем — обратно к конвективной. Более того, если частота сигнала достаточно далеко отстоит от критической частоты, может сложиться ситуация, когда абсолютная неустойчивость вообще возникать не будет.

Развитая теория применяется для интерпретации эффекта нелинейного туннелиро-вания, который заключается в том, что благодаря зависимости критической частоты от амплитуды, распространение сигнала возможно даже в том случае, когда его частота лежит в линейной полосе непрозрачности, если интенсивность достаточно велика. Показано, что квазилинейное туннелирование, когда сигнал распространяется в виде стационарной волны с постоянной амплитудой, имеет место при конвективной МН, а солитонное, когда он в процессе распространения разбивается на так называемые щелевые солитоны (gap solitons), — при абсолютной. Типичным сценарием является переход от непропускания к солитонному туннелированию, а затем — к квазилинейному по мере увеличения амплитуды входного сигнала. Далее полученные результаты обобщаются на случай периодических брэгговских структур. Рассматривается периодическая система, состоящая из чередующихся слоев нелинейного диэлектрика с различными показателями преломления. Нелинейность считается кубичной (керровской). На основании полученных результатов дана интерпретация результатов работ Д.Е. Пелиновского и соавторов [236-238], где была изучена возможность использования такой структуры для «чисто оптического» ограничения, основанная на взаимной компенсации нелинейных добавок к показателю преломления в соседних слоях.

В п. 7.2 и 7.3 исследованы явления автомодуляции и перехода к хаосу в моделях распределенных нелинейных резонаторов, заполненных средой с конвективной МН, когда присутствует какой-либо механизм внешней обратной связи, превращающий неустойчивость в глобальную. Рассмотрены модель кольцевого резонатора, которая описывается НУШ с запаздыванием, и модель одномерного резонатора с отражениями на границах, которая описывается системой связанных НУШ для прямой и отраженной волн. Обнаружено, что при увеличении амплитуды воздействия происходит переход к хаосу, причем основным механизмом является либо разрушение квазипериодического движения, либо жесткий переход, связанный с мультистабильностыо, которая обусловлена сложным видом передаточной характеристики резонатора.

В п. 7.4 подробно изучена сложная динамика распределенного нелинейного резонатора, образованного отрезком нелинейной радиотехнической линии передачи (LC-цепочки), которая на одной из границ возбуждается внешним гармоническим сигналом. Проведен теоретический анализ условий МН в цепочке, выполнено численное моделирование режимов сложной динамики. Рассмотрены случаи линии, согласованной в области низких частот, и сильно рассогласованной линии. Показано, что для согласованной цепочки при малых значениях частоты переход к хаосу вызван тем, что высшие гармоники сигнала, попадая в область частот, где отражения велики, приводят к жесткому возбуждению большого числа мод резонатора. В области высоких частот, когда имеет место МН, наблюдается мягкое возникновение автомодуляции и переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения. В промежуточной области наблюдается конкуренция этих сценариев. Для рассогласованной цепочки переход через разрушение квазипериодики происходит во всем диапазоне частот, так как в этом случае проявляется МН, обусловленная нелинейным взаимодействием прямой и отраженной волн. Также обнаружены характерные особенности динамики вблизи критической частоты, ранее изученные на примере простых модельных систем (п. 7.1): эффекты смены характера МН с конвективной на абсолютную и обратно, а также режимы солитонного туннелирования.

В п. 7.5 изучаются аналогичные эффекты в нелинейных диэлектрических резонаторах с помощью метода конечных разностей во временной области (FDTD), который основан на прямом численном решении уравнений Максвелла. Для двумерной диэлектрической структуры с кубичной (керровской) нелинейностью, на одну из границ которой падает монохроматический гауссов пучок, обнаружено, что по мере роста интенсивности внешнего воздействия режим стационарного распространения излучения становится неустойчивым и сменяется вначале квазипериодическими, а затем — хаотическими колебаниями. Однако переход к хаосу происходит при чрезвычайно высоких интенсивностях внешнего сигнала, когда нелинейная добавка к показателю преломления составляет более 10% по сравнению с линейной частью. Далее рассмотрена аналогичная задача для периодической нелинейной структуры. Показано, что в этом случае для достижения хаотических режимов требуются значительно меньшие интенсивности, что объясняется тем, что МН может быть абсолютной в окрестности критических частот. Результаты численного моделирования хорошо согласуются с теоретическими представлениями, развитыми в п. 7.1. Наблюдаются описанные эффекты перехода от конвективной МН к абсолютной и наоборот, режимы солитонного туннелирования, переход к хаосу по мере увеличения интенсивности падающего излучения.

В п. 7.6 изучена динамика кольцевого нелинейного резонатора, заполненного средой с кубичной фазовой нелинейностью, при воздействии двухчастотного сигнала. Получена система связанных отображений Икеды, описывающая поведение медленно меняющихся амплитуд спектральных компонент. Показано, что добавление второй компоненты входного сигнала дает возможность управления динамикой излучения: варьируя амплитуду и частоту второй компоненты, можно добиться либо появления хаотических колебаний в тех условиях, когда при гармоническом воздействии поведение регулярное, либо наоборот, осуществить подавление хаоса. Наблюдается новый (по сравнению со случаем одно-частотного воздействия) тип неустойчивости, который вызван эффектами фазовой кросс-модуляции, т.е. нелинейного взаимодействия различных спектральных компонент. Обнаружено, что переход к хаосу может происходить не только по сценарию Фейгенбаума, как в одиночном отображении Икеды, но и через разрушение квазипериодического движения. В Заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Нелинейная динамика взаимодействия ЭП — ЭМВ вблизи границы полосы пропускания

Подставляя получившееся соотношение в уравнения возбуждения Л.А. Вайнштей-на [68] и осуществляя обратное преобразование Фурье, можно получить нестационарное уравнение возбуждения [7,65-67] в следующем виде: комплексная амплитуда первой гармоники возбуждающего тока. Уравнение (1.13) записано здесь для случая возбуждения прямой пространственной гармоники. Отметим, что оно записано в простейшей форме, не учитывающей затухание и частотную дисперсию сопротивления связи. Если по какой-либо причине в разложении (1.11) нельзя ограничиться первым двумя членами (например, вблизи границы полосы пропускания ЗС, см. п. 1.2.3), в левой части (1.13) появятся члены с производными более высокого порядка.

Следующий важный шаг состоит в переходе к так называемым характеристическим координатам [66]. Если ввести новую временную переменную / = t-x/v0, т.е. фактически перейти в систему координат, движущуюся вместе с электронами, то нет необходимости знать координаты частиц вдоль всей длины системы. Достаточно ограничиться лишь частицами, влетевшими в пространство взаимодействия в течение одного периода несущей

Нелинейная динамика и задачи СВЧ электроники и радиофизики частоты, причем уравнения движения для них сохраняют ту же форму, что и в стационарной нелинейной теории приборов О-типа [7,69]. Более подробно, включая нормировку переменных, эти уравнения будут обсуждаться ниже в соответствующих главах, где излагаются оригинальные результаты.

Уравнения нестационарной теории были сформулированы для ЛОВ в [65,66], а для ЛБВ — в [28,70]. Однако численные расчеты нестационарных режимов проводились практически только для случая ЛОВ (см. п. 1.2.2). Взаимодействие с попутной волной изучалось в основном в связи с теорией ЛСЭ (см., например, [71-74]), поскольку при определенных приближениях уравнения нестационарной теории ЛСЭ с нефиксированной структурой поля принимают форму, аналогичную уравнениям ЛБВ с ЗОС. Мы отложим обсуждение этих результатов до п. 1.2.4, посвященного нелинейной динамике ЛСЭ. Укажем лишь, что в этих исследованиях наблюдались различные автомодуляционные и хаотические режимы генерации при больших значениях параметра неравновесности, пропорционального току электронного пучка. Была выявлена важная роль эффектов конкуренции мод. Поскольку в полосу усиления попадает большое число близко расположенных мод (это справедливо как для ЛСЭ, так и для широкополосной ЛБВ с ЗОС), их конкуренция приводит к чрезвычайно длительным и сложным переходным процессам. На основе этих результатов были предложены некоторые способы подавления паразитных мод и повышения стабильности режима одномодовой генерации [54,55,72-74]. Однако вопросы собственно нелинейной динамики, т.е. механизмы автомодуляции, сценарии перехода к хаосу и т.д. практически не рассматривались. Кроме того, следует заметить, что, несмотря на аналогию между уравнениями нестационарной теории ЛБВ и ЛСЭ, это все же разные типы приборов, и для них характерны разные значения параметров.

Существенное продвижение в теории ЛБВ с ЗОС было достигнуто в первой половине 90-х гг. в серии работ, выполненных в ХФТИ (Харьков, Украина) Ю.П. Блиохом с соавторами [75-79]. В этих работах был предложен интересный и плодотворный подход, основанный на методе функциональных отображений — своего рода обобщении метода точечных отображений. Концепция функционального отображения основывается на том, что возмущения от входа ЛБВ к выходу переносятся по существу двумя путями: вместе с электронным пучком (с характерной скоростью v0) и вместе с замедленной электромагнитной волной (с характерной скоростью vg). В результате связь между входным и выходным сигналами является нелокальной, т.е. сигнал на выходе в данный фиксированный момент времени определяется значением входного сигнала не в какой-то определенный Нелинейная динамика и задачи СВЧ электроники и радиофизики момент времени, а в интервале длительностью (l/vg -l/v0), и, таким образом, является не функцией, а функционалом входного сигнала [75,76] (см. также [28]). Здесь / — функционал, задающий связь между сигналами на входе и выходе усилителя, — решение линеаризованных нестационарных уравнений (амплитуда поля в точке с координатой \ в момент времени х ), найденное через функцию Грина g( ,t), Д, —амплитуда на входе усилителя, v(x) = -idz\kiGL Л(т)1 — мгновенная частота (вообще говоря, комплексная), L — длина пространства взаимодействия. Принципиальным моментом является то, что в модели (1.14) учитывается не только амплитудные, но и частотные характеристики усилителя. Разумеется, записать точное выражение для функции Грина (т.е. фактически решить аналитически линейные уравнения ЛБВ) в общем случае нельзя. Однако это можно сделать приближенно. В работе [75] функция g( ,"c) получена для простейшей однородной структуры (не содержащей локального поглотителя, участков с изменением фазовой скорости и т.п.) в случае, когда длина системы достаточно велика, так что из трех парциальных волн можно учитывать лишь одну волну, экспоненциально нарастающую в пространстве. Отметим, что принятые приближения автоматически означают, что глубина обратной связи должна быть мала, р s 1, так как только в этом случае имеется достаточно длинная «линейная стадия», 0 \ , на которой поле близко к экспоненциально нарастающему и может быть приближенно описано в рамках линейной теории. Как отмечается в [75], за счет этого в области Ґ L, где существенны нелинейные эффекты, спектр сигнала в основном содержит частоты, для которых инкремент нарастания близок к максимальному, независимо от того, каков был спектр сигнала, пришедшего на вход усилителя.

Что же касается функционала /, то его можно определить, например, путем численного решения нелинейных уравнений ЛБВ-усилителя или путем экспериментальных Нелинейная динамика и задачи СВЧ электроники и радиофизики измерений, а затем задать в виде таблицы или найти какую-либо аналитическую аппроксимацию.

В работе [75] подробно проанализирована задача об устойчивости стационарных режимов генерации, т.е. решений уравнения (1.14) вида Л(т) = аехр(/ут), где амплитуда а и частота v есть константы. Показано, что можно выделить два механизма автомодуляции. Первый обусловлен тем, что амплитудная характеристика усилителя имеет достаточно крутой падающий участок. Этот механизм назван в [75] амплитудным, он не содержит ничего нового по сравнению с точечным отображением (1.5), период автомодуляции при этом равен П (соответственно, частота равна я/Г). Второй механизм связан с особенностями амплитудно-частотной характеристики усилителя; он получил название частотного. Можно показать, что необходимое условие возбуждения автомодуляции за счет частотного механизма имеет вид т.е. амплитудно-частотная характеристика в окрестности частоты основного сигнала является вогнутой. При этом стационарный режим теряет устойчивость относительно одной из соседних собственных мод кольцевого генератора, т.е. частота автомодуляции равна (или кратна) межмодовому расстоянию 2п/Т.

Модель ЛБВ-генератора с узкополосным фильтром в цепи обратной связи: особенности хаотической динамики и использование в схеме передачи информации

Следует отметить, что возникновение автомодуляции наблюдалось экспериментаторами еще до работ [92-96]. Однако это явление традиционно связывали с возбуждением высших видов колебаний ЛОВ. В работе [97], появившейся на десять лет раньше, были выполнены расчеты двухчастотного режима генерации на основе стационарной многочастотной теории. Оказалось, что ни частота, ни значение стартового тока не совпадают с предсказаниями линейной теории для второго вида колебаний, однако близки к полученным в [92-96]. В действительности в [97] были приближенно рассчитаны характеристики режима периодической автомодуляции. Разумеется, автомодуляционный режим нельзя считать двухчастотным, так как в спектре появляется пара сателлитов, расположенных симметрично по обе стороны от основной частоты (см. рис. 1.10). Последовательное рассмотрение этих процессов возможно только в рамках нестационарной теории.

То, что хаотические колебания в ЛОВ имеют детерминированную природу и не связаны с усилением флуктуации, убедительно продемонстрировали работы [98,99] (см. также [28]), где численно и экспериментально оценено значение энтропии Колмогорова h, характеризующей степень неустойчивости фазовых траекторий [1,27,33-35,51]. Исследования показали, что при L 5.5 энтропия Колмогорова положительна и монотонно растет с ростом L, что свидетельствует о хаотическом поведении. Экспериментальная методика оценки величины h основывалась на анализе осциллограмм, полученных путем многократного (103 -104) наложения реализаций переходного процесса. При этом лабораторный макет ЛОВ работал в режиме следования прямоугольных импульсов тока. Для обеспечения одинаковых начальных условий для каждой реализации на вход ЗС подавался внешний гармонический сигнал, амплитуда которого на несколько порядков превышала уровень шумов, но была значительно меньше уровня стационарных автоколебаний. В тех случаях, когда устанавливался регулярный автоколебательный режим, осциллограммы оставались четкими на всем протяжении (рис. 1.10). Это говорит о том, что микроскопические различия в начальных условиях, неизбежно присутствующие благодаря микро-флуктуациям, не приводят к заметным различиям в характере переходного процесса. Если же устанавливался режим хаотических колебаний со сплошным спектром, различимым оставался лишь начальный участок осциллограммы, что свидетельствует о чувствительной зависимости от начальных условий. Поскольку хаотическим колебаниям в фазовом пространстве соответствует странный аттрактор, характеризующийся неустойчивостью траекторий, наложение большого количества реализаций приводит к «размазыванию» ос Нелинейная динамика и задачи СВЧ электроники и радиофизики циллограммы, что хорошо видно на рис. 1.14. По характерному интервалу времени от начала нелинейной стадии процесса до "размазывания" осциллограммы А/ можно оценить энтропию Колмогорова: где F — уровень начальных флуктуации. Предполагается, что на начальной стадии флуктуации нарастают экспоненциально. Полученные таким образом экспериментальные оценки достаточно близки к результатам численного эксперимента.

Дальнейшее развитие теоретических и экспериментальных исследований нелинейной динамики ЛОВ шло, в основном, по пути усложнения модели и учета различных факторов, важных с практической точки зрения (релятивистские эффекты, пространственный заряд, отражения и т.д.). Большой цикл работ был выполнен в 1980-е годы в СГУ [98-102] (Д.И. Трубецков, Б.П. Безручко, СП. Кузнецов и др.). Наиболее существенные результаты можно охарактеризовать следующим образом.

Учет влияния сил ПЗ позволил обнаружить эффект подавления автомодуляции пространственным зарядом [98]. Последовательное увеличение тока пучка (а, следовательно, параметра L) приводило вначале к возникновению автомодуляции. Однако затем в ограниченной области значений L генерация вновь становилась периодической. Это объясняется тем, с ростом тока пучка увеличивается влияние сил ПЗ, т.е. кулоновского взаимодействия между электронами. Эти силы, очевидно, препятствуют перегруппировке сгустков, которая является физической причиной автомодуляции. Эффект подавления автомодуляции пространственным зарядом представляет несомненный практический интерес, так как именно в этой области параметров имеют место наиболее эффективные режимы монохроматической генерации. В [98] представлены также экспериментальные результаты, находящиеся в хорошем согласии с численным моделированием.

Учет влияния отражений излучения от концов ЗС был проведен в работе [101]. Этот фактор особенно важен для релятивистских карсинотронов, где используется вывод излучения в сторону коллектора. Отражения формируют еще один механизм обратной связи, который во многом аналогичен внешней обратной связи в ЛБВ-генераторе. Действительно, в обоих случаях электронный пучок взаимодействует с полем резонансной колебательной системы с квазиэквидистантным спектром собственных мод. Как следствие, динамика ЛОВ при больших отражениях становится близкой к динамике ЛБВ-генератора. Характерное время ОС в данном случае равно и отличается от (1.27). Как показали расчеты [101], автомодуляция в сильно резонансном случае возникает по частотному механизму (см. п. 1.2.1). Она связана с возбуждением одной из соседних резонансных мод, причем этот возбуждение происходит жестко. На начальной стадии переходного процесса практически устанавливается режим стационарной генерации. Затем появляется медленно нарастающая модуляция амплитуды. В результате развивается режим, в котором выходной сигнал оказывается глубоко модулированным, причем период модуляции равен 7]. Примеры переходных процессов при больших отражениях приведены на рис. 1.11 [101]. Отметим, что бифуркационные значения параметра L (т.е. фактически значения токов пучка) снижаются по сравнению с нерезонансной ЛОВ, что обусловлено увеличением добротности колебательной системы.

Другой эффект, к которому приводят отражения, выражается в «волнистости» границ, разделяющих области различных режимов на плоскости параметров ток пучка — ускоряющее напряжение. Это, очевидно, объясняется резонансными свойствами колебательной системы. Особенно сильно изрезанной становится граница хаоса, на которой даже появляются «острова».

В работе [102] была теоретически и экспериментально исследована ЛОВ со связанными ЗС, и показана возможность подавления автомодуляции. В этой работе рассматривалось система, состоящая из двух идентичных электродинамических структур, связанных между собой распределенным образом. Через одну из структур пропускался электронный пучок. При определенной величине коэффициента связи наблюдается увеличение пуско Нелинейная динамика и задачи СЕЧ электроники и радиофизики вого тока и существенно повышается порог возникновения автомодуляции. Физическая причина этого в том, что отток энергии электромагнитного поля в пассивную ЗС (систему без пучка) разрывает обратную связь, приводящую к автомодуляции. Таким образом, можно улучшить выходные характеристики генератора в режиме одночастотных колебаний.

Управление хаосом в клистроне-генераторе внешним сигналом и применение в схеме прямохаотической передачи информации

В работе [128] была построена нестационарная теория клистрона бегущей волны (КБВ) с запаздыванием. Для описания динамики медленно меняющейся амплитуды выходного сигнала было получено уравнение где А — безразмерная амплитуда ВЧ сигнала, а —- коэффициент усиления КБВ-усилителя (вообще говоря, комплексный), J, — функция Бесселя 1-го порядка, т — время распространения сигнала по цепи обратной связи. В правой части уравнения (1.33) легко узнать выражение для 1-й гармоники тока, возникающее в теории клистронной группировки [7,91,113]. На основе этой модели нетрудно продемонстрировать возникновение сложной динамики. Действительно, рассматривая динамику амплитуды в дискретные моменты времени, разделенные интервалом т, можно перейти от (1.33) к одномерному отображению, для которого по мере увеличения а наблюдается последовательность бифуркаций удвоения периода [128] (ср. п. 1.2.1). Автомодуляция, очевидно, носит амплитудный характер и связана с наличием достаточно крутого падающего участка на амплитудной характеристике. Физически это обусловлено эффектами перегруппировки при большом входном сигнале. Следует, однако, отметить, что описание на основе уравнения с запаздыванием носит, скорее, качественный характер, поскольку, например, за порогом перехода к хаосу оно принципиально не способно описать установившиеся режимы генерации (см. обсуждение этого вопроса в [27]). Причина этого в том, что в уравнении (1.33) пренебрегается частотной зависимостью коэффициента усиления, и все собственные моды вырождены. Нестационарная теория двухрезонаторного гироклистрона с ЗОС была построена в работе [129]. В приближении, когда добротность входного резонатора мала, было получено единственное дифференциальное уравнение первого порядка с запаздыванием

Нелинейная динамика и задачи СВЧ электроники и радиофизики Здесь у — параметр диссипации, обратно пропорциональный добротности выходного резонатора, а параметр а можно представить в виде произведения двух величин: а = ре, где Р — глубина обратной связи, є — параметр усиления, который пропорционален току пучка и является аналогом параметра усиления Пирса в теории приборов О-типа с длительным взаимодействием. Отметим, что решения уравнения (1.34), в отличие от (1.33), пригодны для описания динамики генератора при любых значениях а. В [129] были теоретически проанализированы условия устойчивости стационарного режима колебаний и было обнаружено, что по мере увеличения а возникает амплитудная автомодуляция, причем ее период, вообще говоря, отличается от 2т. Было также проведено численное моделирование нестационарных режимов, обнаружены бифуркации удвоения периода и хаос. Хаотические режимы идентифицировались по спадающей автокорреляционной функции.

Понятно, что аналогичное уравнение можно получить практически для любого клистронного генератора с инерционной группировкой электронов в пространстве дрейфа. В частности, для пролетного клистрона О-типа это было сделано в работе [130]". В ней также был рассмотрен случай гироклистрона (без ссылки на более раннюю работу [129]) и затронуты некоторые другие типы генераторов, например, связанные клистроны. Было проведено численное моделирование процессов перехода к хаосу. Однако корректное исследование нелинейной динамики в [130] не было выполнено. Переход к хаосу был ошибочно связан с разрушением некоторой симметрии предельных циклов, соответствующих периодической автомодуляции. В действительности эта симметрия отсутствует, последовательность бифуркаций, описанная в [130], не реализуется, а переход к хаосу происходит по сценарию Фейгенбаума, что типично для систем с амплитудным механизмом автомодуляции (гл. 2).

Следует также отметить, что на практике приближение малой добротности входного резонатора представляется неоправданным. Хотя, как мы увидим далее, модель (1.34) позволяет выявить основные качественные закономерности, однако если поставить целью дать реалистичное описание динамики генератора и добиться соответствия с экспериментом, нужно использовать более строгие модели в виде системы двух уравнений, которые будут рассмотрены в гл. 3. Модель (1.34) правильнее называть моделью однорезонатор-ного клистрона. Под однорезонаторным клистроном понимают устройство с единственным двухзазорным резонатором, пронизываемым электронным потоком [ИЗ]. Запаздывание достигается за счет конечного времени пролета между зазорами. Кроме того, в гл. 2 будет показано, что аналогичное уравнение можно получить и для отражательного клистрона.

В литературе рассматривались и другие типы генераторов, в частности, такой перспективный прибор релятивистской СВЧ электроники, как виркатор-клистрон, где введение внешней обратной связи позволяет существенно повысить КПД генерации и осуществить эффективное управление ее спектром [131].

Отметим, что все указанные выше работы содержат результаты теоретических либо численных исследований. Среди экспериментальных работ можно указать лишь статью [132], где было обнаружено возникновение автомодуляции. Мощные клистроны с ЗОС, стабилизированные по частоте, находят применение в качестве задающих генераторов линейных ускорителей электронов (см., например, [133]). Как указано в [132], работа задающего генератора в режиме периодической автомодуляции может представлять определенный интерес, например, для получения пучка электронов, дополнительно промоду-лированного на более низкой частоте. Эксперимент проводился на усилительном клистроне КИУ-12 AM с цепью внешней ОС, в которую включались регулируемые фазовращатель и аттенюатор. При достаточно глубокой обратной связи были обнаружены режимы периодической автомодуляции. На рис. 1.17 приведены огибающая и спектр выходного сигнала. Длительность импульса составляла порядка 2p.s, период автомодуляции около 0.1 us, средняя импульсная мощность 10 MW, средняя частота 2804 MHz. Затем была проверена возможность использования модулированного сигнала для ускорения заряженных частиц. Эксперимент проводился на ускорителе электронов ЛУЭ-300 Харьковского физико-технического института на энергии до 300 MeV. Электронный пучок оказался практически полностью модулированным по плотности с частотой 10 MHz, т.е. фактически импульс тока представлял собой последовательность из примерно 20 коротких сгустков (макробанчей).

Моделирование нелинейной динамики релятивистской ЛОВ при помощи полностью электромагнитного кода MAGIC

Идеи и методы нелинейной динамики находят плодотворное приложение к задачам радиофизики и электроники СВЧ. В частности, источники широкополосных хаотических сигналов микроволнового диапазона представляют интерес для перспективных систем связи и радиолокации на основе динамического хаоса. Следует также упомянуть такие проблемы, как паразитное самовозбуждение, переходные процессы, усиление и генерация коротких импульсов, усиление сигналов со сложным спектральным составом.

Вместе с тем, изучение сложного поведения в системах типа ЭП-ЭМВ представляет собой трудную задачу. Подобные системы являются распределенными, т.е. размерность их фазового пространства бесконечна, и, как правило, характеризуются большим числом управляющих параметров. Они имеют довольно специфический тип нелинейности, вследствие чего традиционный подход теории колебаний и волн, когда прибегают к описанию при помощи слабонелинейных моделей с квадратичной или кубичной нелинейностью, становится неэффективным. Последовательное решение этих задач возможно только на основе нестационарной нелинейной теории. Основы такой теории были заложены еще в конце 70-х — начале 80-х годов, прежде всего, усилиями ученых Саратовской и Нижегородской радиофизических школ. Ее появление в корне изменило сложившиеся представления о характере установления колебаний в СВЧ генераторах, и вообще о том, что считать установившимся режимом. В настоящее время не вызывает сомнений, что общим свойством электронных автогенераторов является переход по мере увеличения неравновесности от одночастотных колебаний к многочастотным и далее к хаотическим. Однако целый ряд важных вопросов до сих пор остается без ответа. Прежде всего, недостаточно убедительных данных о сценариях перехода к хаосу в тех или иных конкретных приборах. Хотя результаты имеющихся работ свидетельствуют, по-видимому, в пользу того, что могут наблюдаться все «классические» сценарии, присущие конечномерным системам, СВЧэлектроники и радиофизики ясно, какие именно факторы ответственны за тот или иной тип динамики. Во-вторых, сложная динамика не исчерпывается критическими явлениями на пороге хаоса. Действительно, картина сложной динамики в даже сравнительно простых конечномерных моделях весьма разнообразна: окна периодичности в хаосе, кризисы вызывающие качественное изменение хаотического движения, и т.д. Следует ожидать, что такая же картина будет характерна и для систем типа ЭП — ЭМВ. Однако пока имеются лишь единичные примеры изучения подобных явлений. Наконец, следует отметить, что для понимания физики процессов в распределенных системах недостаточно ограничиваться только временными зависимостями каких-либо величин (например, выходного сигнала), а необходимо анализировать пространственно-временную динамику. Такой подход оказался исключительно плодотворным для построения физической картины возникновения автомодуляции в ЛОВ (п. 1.2.2). Однако в большинстве работ, как правило, методы исследования сводятся к анализу огибающих и спектров выходного сигнала.

Указанными выше обстоятельствами мотивирована необходимость последовательного и детального изучения картины сложного поведения в широком классе распределенных автоколебательных систем радиофизики и электроники СВЧ. Как уже отмечалось в гл. 1, многие автогенераторы вакуумной СВЧ электроники можно отнести к классу распределенных автоколебательных систем (РАС) с запаздывающей обратной связью (ЗОС). Подобные системы также играют важную роль во многих других областях физики: нелинейной оптике, биофизике, физике атмосферы и даже в моделях экологии, экономики и социальных наук [2,4,27,48], поэтому их изучение помогает лучше понять особенности нелинейной динамики систем с большим числом степеней свободы. В частности, в литературе обсуждался вопрос о моделировании некоторых свойств развитой турбулентности при помощи автогенераторов с запаздыванием [48,167].

Исследование сложной динамики распределенных систем представляет собой чрезвычайно трудоемкую задачу, что связано с бесконечным числом степеней свободы и наличием нескольких управляющих параметров. Поэтому представляется целесообразным начать с рассмотрения достаточно простых модельных систем, демонстрирующих основные особенности динамики РАС с ЗОС, которые можно было бы детально исследовать численными, а по возможности и аналитическими методами. Как известно (см. гл. 1), простейшая функциональная схема автогенератора с запаздыванием может быть представлена в виде замкнутых в кольцо нелинейного усилителя, резонансного фильтра и линии задержки (рис. 1.3). В настоящей главе приведены результаты исследования трех подобных моделей: автогенератора с кубичной нелинейностью (укороченное уравнение Ван дер Поля с запаздыванием), генератора, нелинейная характеристика которого описывается функцией Бесселя (модель «однорезонаторного клистрона»), и ЛБВ-генератора с узкополосным фильтром в цепи обратной связи. Изложение основывается на работах [273-278].

В п. 1.2.1 рассматривалась простая модель автогенератора с ЗОС, состоящая из безынерционного усилителя, полосового фильтра и линии задержки (рис. 1.3). При определенных предположениях для медленно меняющейся амплитуды колебаний А можно получить уравнение (1.8). В [273,274,276] исследован простейший случай, когда амплитудная нелинейность аппроксимируется кубическим полиномом, при этом уравнение принимает вид

Здесь а — параметр, пропорциональный коэффициенту усиления (точнее, произведению коэффициента усиления на глубину ОС), у — параметр диссипации, обратно пропорциональный добротности фильтра, \/ — набег фазы за время прохождения сигнала по цепи обратной связи. Правая часть уравнения (2.1) зависит от значений амплитуды в запаздывающий момент времени t -1 (всегда можно выбрать такую нормировку переменных, в которой время запаздывания равно единице).