Содержание к диссертации
Введение
1 Модели дробной диффузии 13
1.1 Случайное время 13
1.2 Свойства функции Qp{r) 16
1.3 Аномальная диффузия 19
1.4 Дробный снос 22
1.5 Уравнение субдиффузии 23
1.6 Аномальное случайное блуждание 26
1.7 Законы диффузии 31
1.8 Дробное уравнение Колмогорова-Феллера 33
1.9 Уравнение Ланжевена 36
2 Аномальная субдиффузия 42
2.1 Одномерный случай 42
2.1.1 Статистика случайных блужданий 43
2.1.2 Обобщенное дробно-экспоненциальное распределение 44
2.1.3 Переходные диффузионные уравнения 46
2.1.4 Сравнение точного и асимптотического решений уравнения Монтролла-Вейсса 47
2.1.5 Обобщенный процесс Орнштейна-Уленбека 53
2.2 Многомерный случай 58
2.2.1 Многомерная субдиффузия 58
2.2.2 Случайные блуждания 60
2.2.3 Асимптотические уравнения для плотности вероятностей блужданий X(t) 61
2.2.4 Решение уравнения многомерной аномальной диффузии 63
2.2.5 Проверка асимптотических следствий уравнения Монтролла-Вейсса 64
2.2.6 Дисперсия скачкообразного процесса 69
3 Аномальная супердиффузия 72
3.1 Кинематика диффундирующей частицы 73
3.2 Статистика диффундирующей частицы 74
3.3 Независимые столкновения 75
3.4 Асимптотические законы супердиффузии 76
3.5 Дробное диффузионное уравнение 79
3.6 Решение уравнения супердиффузии 80
3.7 Ускоренные блуждания 80
3.8 Статистика диффундирующей частицы 82
3.9 Уравнения аномальной супердиффузии 84
3.10 Плотность вероятностей аномально-супердиффузионного процесса 86
Заключение 89
Литература
- Аномальная диффузия
- Законы диффузии
- Переходные диффузионные уравнения
- Асимптотические законы супердиффузии
Введение к работе
Диффузионные процессы привлекают к себе неослабевающее внимание исследователей в различных областях науки. В последнее время интенсивно изучаются аномальные суб- и супердиффузия лучей и частиц в случайно-неоднородных и турбулентных средах. Высокий интерес к подобным процессам вызван несколькими причинами: во-первых, подобного рода задачи возникают на практике в самых различных областях науки и техники, во-вторых, физические явления, обусловленные теми или иными диффузионными процессами, имеют сходную природу, несмотря на различную специфику в каждом отдельном случае (напр. явление переноса и диффузия лучей в случай но-неоднородной среде). С математической точки зрения, уравнения, описывающие различные аномальные диффузионные процессы, а также способы их решения и анализа оказываются аналогичными. Рассматриваемому вопросу посвящена достаточно обширная литература физического, математического, биологического, экономического характера.
Довольно полное представление о состоянии развития исследований аномальной диффузии применительно к различным физическим задачам могут дать обзоры [1, 2]
Стохастическая формулировка явления переноса с точки зрения процессов случайного блуждания, также как описание с помощью стандартного уравнения диффузии [3], являются двумя фундаментальными концепциями теории нормальной и аномальной диффузии.
Слабое дрожание частиц угольной пыли на поверхности спирта наблю-
далось голландским физиком Ингенхаузом еще в 1785 году, В 1827, шотландский ботаник Броун наблюдал похожее нерегулярное движение пыльцы под микроскопом. Примерно в то же время, в 1822 году, Фурье получил уравнение теплопроводности, на основе которого в 1855 году Фик вывел уравнение диффузии. Позже, детальные эксперименты Гоува подтвердили объяснение кинетической теории, данное К. Винером в 1863г.
После попыток найти стохастические основания диффузии (такие как модель столкновений Стратта и Рэлея) Эйнштейн в 1905 объединил стохастический и диффузионный подходы в его научных трудах по броуновскому движению. Надо заметить, что похожее описание диффузии было представлено французским математиком Башелье в его тезисах 1900 года, правда, с точки зрения биржевых операций, а не физических величин [4, 5].
Важным приложением результатов Эйнштейна были независимые измерения числа Авогадро Перреном, Вестгреном и Капплером [6, 7, 8], совпавшие с достаточно высокой точностью. Некоторые результаты Перрена по этой проблеме явились частью работы, за которую в 1926 году он получил Нобелевскую премию.
Случайное блуждание, наблюдаемое экспериментально, представляет собой некий мост между микроскопической динамикой малых атомов, бомбардирующих большие частицы, и макроскопическими наблюдаемыми величинами, такими как коэффициент диффузии или число Авогадро. Идеи Эйнштейна также открыли дорогу теории Ланжевена броуновского движения под действием внешней случайной силы [3], теориям Фоккера-Планка, Смолуховского и Клейна-Крамерса, в дальнейшем развитым в трудах Орн-штейна, Уленбека, Чандрасекара и других, а в затем в работах Монтролла и др- [9, 10].
Математическая модель броуновского движения, в основном, было разработано Н. Винером. Он доказал, в частности, что траектория броуновской частицы практически везде непрерывна, но нигде не дифференци-
руема. Эти наблюдения полностью отвечают фрактальной природе диффузионного процесса, чья результирующая пространственная траектория подобна самой себе в любом микроскопическом отрезке [3, 11-17].
Аномальная диффузия, чьей отличительной особенностью является нелинейный рост среднего квадрата процесса во времени, была известна еще из работ Ричардсона по турбулентной диффузии 1926 года. В рамках теории переноса она изучалась с конца 1960-х. Тогда же Леви предложил свою модель аномальных блужданий (Levy flights). В большой степени теоретическое исследование аномальной диффузии было спровоцировано Ше~ ром и Монтроллом в их описании дисперсионного переноса в аморфных полупроводниках, системе, для которой традиционные методы не работают. Их подход к непрерывным во времени случайным блужданиям очень отличался от его броуновского аналога и был призван объяснить многие физические явления [18]. В 1970-е годы Татарский, Кравцов, Рытов, Апресян и Кляцкин (см. [19] и библиографию) подошли к аномально-диффузионным и близким к ним явлениям при исследовании диффузии и рассеяния лучей и волн в статистически неоднородных, слоистых и турбуленьных средах средах, используя различные методы, такие как решение стохастических дифференциальных уравнений, метод возмущений, теория многократного рассеяния волн и др.
Весомый вклад также внесли Вайсе и Шлезингер. ІКроме описания случайных блужданий, были получены обобщения диффузионного уравнения, объяснявшие статистику аномального переноса.
Сегодня диапазон разнообразных явлений физической, биологической и другой природы, проявляющих аномальный характер, довольно широк [20-28] и постоянно растет. В числе прочих, следующие системы носят субдиффузионный характер:
перенос носителей заряда в аморфных полупроводниках [18, 29-33],
диффузиометрия ядерного магнитного резонанса в фильтрующих [34,
35] и пористых системах [36],
динамика полимеров [37-41],
геометрия фракталов [42]. Супердиффузия и статистика Леви наблюдается в
специальных видах вихревых потоков [43],
коллективной скользящей диффузии на твердых поверхностях [44],
полупроводниках [45, 46],
турбулентной диффузии, наблюдавшейся еще Ричардсоном [27, 47, 48],
квантовой оптике [49, 50],
контролируемой динамике объемно-поверхностного взаимодействия жидкостей и пористого стекла [51-53],
переносе в системах мицелл (биол.) [54-56],
в движении бактерий [57-59].
Аномальная диффузия в присутствии или отсутствии внешнего поля скоростей или силы моделировалась различными способами, такими как:
(і) дробное броуновское движение, введенное Мандельбротом [11, 12, 14, 16, 17],
(її) обобщенные уравнения диффузии [60],
(ііі) модели непрерывных во времени случайных блужданий [18, 27, 61-64], (iv) уравнения Ланжевена [65], (v) обобщенные уравнения Ланжевена [55, 66-68], (vi) обобщенные кинетические уравнения [69],
(vii) обобщенная термодинамика и статистика [70-74],
(viii) стохастические уравнения переноса волн в хаотических средах, теория многократного рассеяния волн [75-77].
Для аномальной диффузии, только (iii) и (v) подходы учитывают память системы и специфическую форму, ожидаемую для функции плотности вероятностей. Недостатком же этих подходов является отсутствие прямого пути учета силовых полей, проблемы постановки граничных условий, или анализа динамики в фазовом пространстве.
Альтернативный подход к аномальной кинетике основан на уравнениях дробного порядка. В работах Вайсса и Балакришнана было замечено, что замена локальной временной производной в уравнении диффузии на дробный оператор приводит к проявлению эффектов запоминания, которые присутствуют во множестве комплексных систем.
Спустя всего десятилетие с первого упоминания, такие дробные кинетические уравнения привлекли к себе большой интерес. В наше время они широко изучаются и признаны действенным инструментом описания аномальных процессов переноса, как в отсутствии, так и в присутствии внешних полей скоростей или силы.
В последние годы было опубликовано огромное число работ на тему дробных уравнений релаксации [78], дробных диффузионных уравнений [78-93], дробных диффузионно-сдвиговых уравнений [94, 95] и дробных уравнений Фоккера-Планка [65, 88, 94-105], в которых были задействованы различные обобщения дробного порядка. Иными словами, были введены новые дробные операторы для замены временной или пространственной производных или их обеих.
В первых попытках обобщения стандартного уравнения диффузии для описания процессов диффузии дробного порядка были предложены коэффициенты, зависящие от расстояния. О'Шонесси исследовал обобщенное диффузионное уравнение с коэффициентом диффузии, зависящим от рас-
стояния, и получил субдиффузионный процесс [60]. Дальнейшие исследования показали, что асимптотическая форма зависимости при субдиффузии является "расширенной" гауссовой. Дробные диффузионные уравнения переноса на дробных структурах имеют общие основные свойства, такие как среднеквадратическое отклонение и немарковская природа [106]. В дальнейшем было показано, что дробные уравнения естественным образом всплывают в диффузионном пределе определенных схем случайных блужданий.
Однако, хотя статистике аномальной диффузии и дробным диффузионным уравнениям было уделено много работ, пока еще нет полного понимания свойств аномальной диффузии и ее связей с поведением реализаций диффундирующих частиц. Данная работа посвящена, в основном, конструированию некоторых модельных процессов аномальной диффузии и анализу их вероятностных свойств; построению моделей аномально субдиффузионных и супердиффузионных случайных процессов, вероятностные распределения которых удовлетворяют диффузионным уравнениям в частных дробных производных; описанию типичных диффузионных процессов случайных блужданий частицы с постоянной скоростью между столкновениями. Основываясь на асимптотических свойствах характеристической функции различных процессов, получены их статистические характеристики, а также выведены макроскопические уравнения, описывающие их кинетику. Сконструирован вспомогательный процесс "дробного сноса", при помощи которого удается решить выведенные уравнения дробной диффузии. Показано, что процессы, подчиняющиеся на больших временах классическому закону диффузии, на малых временах, в свою очередь, могут иметь аномально диффузионный характер.
Положения, выносимые на защиту:
1. Сконструированы модельные процессы аномальной диффузии, помогающие понять природу аномальной субдиффузии и супердиффузии.
Решено дробное диффузионное уравнение при помощи сконструированного в диссертации процесса "дробного сноса".
Произведен ряд обобщений классических процессов и уравнений на дробный порядок, а также аномального диффузионного процесса на многомерный случай. Сделан вывод о наличии статистической зависимости между координатами аномального диффузионного процесса в пространстве.
Введено модельное обобщенное дробно-экспоненциальное распределение, при помощи которого прослежен переход аномальных диффузионных процессов к классическому нормальному виду.
На примере процесса со скачкообразным изменением ускорения продемонстрировано возникновение супердиффузии даже в случае быстро спадающего распределения интервалов между скачками.
Диссертация состоит из трех глав, введения, заключения, трех приложений и списка литературы, В первой главе вводятся основные понятия дробно-диффузионного анализа, характерные распределения и процессы, являющиеся базовыми для всей диссертации, В параграфах 1.1, 1.2 на основе теории безгранично-делимых процессов вводится ключевой элемент в построении процессов аномальной диффузии - случайное время, проводится анализ его вероятностных свойств. Дается краткое описание специальных функций Миттаг-Лефлера. Параграф 1.3 посвящен изучению статистических свойств непрерывного во времени аномально- диффузионного процесса. В параграфе 1.4 вводится модельный процесс "дробного сноса", при помощи которого в дальнейшем удается решить диффузионные уравнения дробного порядка. Параграф 1.5 содержит описание непрерывного субдиффузионного процесса, вывод уравнения для его плотности вероятностей. Параграф 1.6 вводит понятие аномального случайного блуждания. На основе различных статистик случайных интервалов между скач-
ками блуждающей частицы выводятся уравнения для характеристической функции процесса. Вероятностные свойства аномального случайного блуждания обсуждаются в параграфе 1.7. В параграфах 1.8 и 1.9 обобщаются на дробный порядок такие широко используемые в теории случайных процессов уравнения, как уравнение Колмогорова-Феллера и уравнение Лан-жевена, выводятся некоторые стационарные характеристики удовлетворяющих им процессов.
Вторая глава содержит описание более конкретных аномальных субдиффузионных процессов с выводом уравнений для их характеристических функций и плотностей вероятностей. Исследуются некоторые их статистические характеристики. Производится аналитическое и численное решение полученных уравнений. Демонстрируется различное поведение сконструированных диффузионных процессов в зависимости от времени. В параграфе 2.1 рассматриваются одномерные субдиффузионные процессы. В пункте 2.1.2 обобщается хорошо известное дробно-экспоненциальное распределение, обсуждаются его свойства в различных временных асимптотиках. В пункте 2.1.5 естественным образом, на основе уравнения Ланже-вена, обобщается один из ключевых диффузионных процессов - процесс Орнштейна-Уленбека. Параграф 2.2 содержит обобщение полученных результатов на случай многомерных случайных блужданий. На основе обобщенного дробно-экспоненциального распределения выводятся и решаются многомерные уравнения аномальной субдиффузии. В пунктах 2.2.5 и 2.2.6 производится численное сравнение полученных асимптотических результатов с точным решением упомянутых уравнений и вероятностных характеристик.
Третья глава посвящена аномальным супердиффузионным процессам. В параграфе 3.1 описывается кинематика процесса, его статистические свойства обсуждаются в параграфе 3.2. В параграфе 3.3 приведен краткий вывод уравнения Монтролла-Вейсса, а параграф 3.5 содержит уравнение
для плотности вероятностей, решение которого обсуждается в параграфе 3.6. Параграф 3.4 посвящен обсуждению некоторых асимптотических вероятностных закономерностей супердиффузии. В параграфах 3.7, 3.8, 3.9 вводится супердиффузионный процесс ускоренных блужданий, обсуждаются его свойства, выводится уравнение для плотности вероятностей, анализируется решение полученного уравнения. Сама плотность вероятностей найдена в параграфе 3.10, где обсуждаются ее свойства на разных временных асимптотиках.
В приложениях А и В приведены часто используемые в диссертации сведения о безгранично-делимых и устойчивых распределениях, а также безгранично-делимых процессах. Приложение С содержит необходимые сведения из теории восстановления. Объясняется парадокс, связанный с выбором начала наблюдений, заключающийся в бесконечности времени ожидания следующего скачка блуждающей частицы.
Основные результаты опубликованы в работах [107-122].
Аномальная диффузия
Выше обсуждались законы аномальной диффузии непрерывного субдиффузионного процесса X{t) (1.36). Для приложений характерны процессы, скачком меняющие значения в случайные моменты времени. Обсудим свойства простейших скачкообразных процессов, выяснив заодно, при каких условиях непрерывный процесс (1.36) адекватно описывает их свойства.
Для наглядности будем трактовать X(t) как координату частицы в одномерном пространстве, а процесс X(t) назовем процессом случайного блуждания.
Из уравнения видно, что X(t) скачком меняет значение на величину hk моменты &. Ниже будем полагать, что последовательность {&} образует стационарный поток событий, описанный в Приложении С, а скачки {hk} статистически независимы и имеют одинаковую плотность вероятностей w(h). Пусть начальный момент времени t = 0 выбран сразу после очередного скачка, а начальное положение частицы совпадает с началом координат. Тогда решение уравнения (1.41)
Пусть среднее время между скачками и их дисперсия бесконечны. Назовем такой процесс X(t) (1.42) аномальным блужданием. Установим, каким асимптотическим законам подчиняется в этом случае плотность вероятностей f(x;t): полагая распределение интервалов между скачками /(г) безгранично-делимым. Тогда вероятность числа скачков R(m;t) задается формулой (С19). Если распределение Q(g;t) плавно зависит от д, то равенство (С19) можно заменить приближенным one безгранично-делимое распределение, порождающее зависящее от непрерывного параметра д распределение w(x;g), такое, что wm(x) = w(x; д = т). Если распределения Q(g;t) и w(x; д) мало меняются при изменении д на единицу, сумму в (1.44) можно аппроксимировать интегралом, что дает
Это уже знакомый интеграл (1.20) для плотности вероятностей непрерывного без гранично-делимого процесса X{t) (1.19). Применим к равенству (1.2) преобразование Лапласа. Это дает Q{Q\ З) - -і = -і / {з) Щз), Ще) = ln/(S). (1.49) Напомним, если логарифм Лаплас образа плотности вероятностей интервалов между скачками обладает асимптотикой Ф(а) -- s0 (7 0 , 0 /? 1), (1.50) то (г) = оо. Заменив в (1.49) Ф(в) ее асимптотикой (1.50), придем к асимп-тотике Лаплас образа распределения Q(g; і) Применив обратное преобразование Лапласа к обеим частям равенства, и имея ввиду, что _ ехр(-м/) , получим окончательно Аналогично, если логарифм характеристической функции плотности вероятностей w(x\ д) обладает асимптотикой lnu)(n; )--crQua ; (1.52) то сама плотность вероятностей w(x\ Q) сходится, при д — со, к симметричному устойчивому распределению (В7) (при г = /у — 1). Подставив асимптотики (1.50), (1.52) в (1.48), придем к решению (1.27) дробного диффузионного уравнения (1.26). Таким образом, уравнение дробной диффузии описывает асимптотику плотности вероятностей случайного блуждания на больших временах и больших масштабах.
Найдем теперь уравнение, которому удовлетворяет f(x;t) (1.43). Применим к (1.43) преобразование Фурье по х. В итоге имеем Полученный ряд отличается от производящей функции вероятностей 7l(t, z) (С20) лишь заменой z на характеристическую функцию величины скачка w(u). Соответственно, Лаплас образ ряда (1.53) задается выражением (С22):
После обратных Фурье и Лаплас преобразований, это равенство превращается в интегральное уравнение для плотности вероятностей f(x;t) (1-43) случайного блуждания. Пусть, к примеру, интервалы между скачками имеют экспоненциальное распределение. Его Лаплас образ равен Применив к обеим частям этого равенства обратное преобразование Лапласа, и полагая, что @(и; t = 0) = 0, придем к дифференциальному уравнению для характеристической функции случайного блуждания
Применив далее обратное преобразование Фурье, обнаружим, что плотность вероятностей случайного блуждания удовлетворяет уравнению df(x;t) известного как уравнение Колмогорова-Феллера. Пусть теперь при малых s и и справедливы асимптотики
Законы диффузии
Кроме "чисто" аномально-диффузионных процессов, для многочисленных приложений представляют интерес, до сих пор практически неизученные, "квази-аномальные" случайные процессы, подчиняющиеся на очень больших временах закону больших чисел и центральной предельной теореме, а на больших "промежуточных" временах демонстрирующие универсальные асимптотики, характерные для аномально-диффузионных процессов. В данной главе исследуются подобные "квази-аномальные" процессы случайных блужданий, проявляющие промежуточный аномально-диффузионный характер, и подчиняющиеся линейному закону диффузии при t —У со. Именно на таких процессах и будет сконцентрировано наше внимание.
Основываясь на конструкции конкретных специфических процессов проведем изучение и анализ их статистических свойств. Для начала остановимся на более простых одномерных процессах.
Рассмотрим уже приведенный выше типичный процесс случайных блужданий X(t), подчиняющийся простейшему стохастическому уравнению Будем интерпретировать процесс X(t) как координату частицы, совершающей скачки hk в случайные моменты времени tk- Допустим, что случайные величины hk и т& tk — tk-i взаимно независимы, причем hk имеют одинаковое распределение w(x), а интервалы между скачками 7 распределены по закону /(г). Очевидно где N(t) - число скачков к моменту t. Это функция, обратная времени п-го скачка Т{п). Иными словами N(t) и Т(п) связаны соотношением эквивалентности
Выведем уравнение для плотности вероятностей W(x;t) процесса X(t). Начнем вывод с обсуждения характеристической функции
Вычисление последнего среднего затруднено тем, что усредняемая сумма содержит случайное число N(t) слагаемых. Поэтому удобно перейти от функции п = N(t) к более изученной обратной случайной функции t = Т(п). Для этого используем следующее разбиение единицы где x{z) - единичная функция Хевисайда. Соответственно искомая характеристическая функция принимает вид
Выразив, с помощью соотношения (2.1), функции Un(N(t)) через случайные времена Т(п), будем иметь
Применив к обеим частям равенства преобразование Лапласа, и просумми-ровав полученную геометрическую прогрессию, для Лаплас-образа О (u; s) характеристической функции, имеем так называемое уравнение Монтролла-Вейсса [88]:
Здесь f(s) - Лаплас-образ распределения времени между скачками, a w{u) - характеристическая функция величины скачков. Из последнего равен-ства видно, что 9(u;s) удовлетворяет уравнению
Ниже это уравнение при разных видах распределений /(т) и ад (ж) используется для вывода как классического уравнения Колмогоров а-Феллера, так и кинетических уравнений аномальной диффузии. Кроме того, на основе данного уравнения прослеживается трансформация аномальной диффузии в линейную для квази-аномальных случайных блужданий.
С точки зрения физиков упомянутая в Приложении С бесконечность среднего времени ожидания между скачками процесса X(t) снижает ценность дробно-экспоненциального распределения, поскольку наблюдаемые случайные интервалы -7 как правило обладают конечным средним. С другой стороны, именно бесконечность среднего ведет к нарушению закона больших чисел и возникновению аномальной диффузии. Ниже мы покажем, что и в случае ограниченного среднего физические системы могут проявлять аномально-диффузионный характер. При этом будем опираться на распределение р(т) с Лаплас-образом
Легко показать, что распределение с Лаплас-образом (2.4) выражается через дробно-экспоненциальное соотношением
Все его (в дальнейшем р(т)) моменты ограничены, а при 5 — 0 оно переходит в дробно-экспоненциальное распределение (СЮ). Отметим, что такие распределения до сих пор не встречались в работах по аномальной-диффузии. Хотя, например, Чукбар и др. [45, 124], рассматривая случай расходящихся моментов смещения и времени ожидания, оговаривают, что "...в случае их конечности эффективное уравнение переноса асимптотически (т.е. на макроскопических временах t (t) и пространственных масштабах \х\ ;з у{%2}) переходит в классическое уравнение диффузии." Очевидно, оно эквивалентно дробному уравнению диффузии (1.26). Выражение (1-54) и вытекающее из него уравнение (1.55) справедливы, если начало отсчета времени і = 0 выбрано сразу после скачка. При наугад выбранном начальном моменте t = 0 функция Q(u;s) задается выражением (С23), где надо заменить z на w(u):
Его также можно записать в аналогичной (1.55) форме эквивалентной интегральному уравнению относительно плотности вероятностей /(ее; t) случайного блуждания. В частности, подставив сюда Лаплас образ (1.56) экспоненциального распределения, снова приходим к уравнению Колмогорова-Фелл ер а.
ругими словами, в соответствии со сказанным в Приложении С, блуждающая частица всегда остается неподвижной {X(t) = 0). Выражения (1.54), (1.58), удобны для анализа законов диффузии блуждающих частиц. А именно, разложение правых частей (1.54), (1.58) в ряд Тейлора по степеням и дает Лаплас образ моментов процесса X(t). Пусть, к примеру, асимптотика w(u) при и — 0 имеет вид: w(u) 1 — - т2 и2 (и — 0). Подставив ее в (1.54) и разлагая полученное выражение в ряд Тейлора по и, получим 0(u;s) -о2 и2 JV J в[1-/( )] Первое слагаемое в правой части последнего равенства ответственно за выполнение условия нормировки. Второе слагаемое позволяет установить закон диффузии случайного блуждания. А именно, отсюда следует, что Лаплас образ среднего квадрата случайного блуждания равен
Переходные диффузионные уравнения
Теперь обобщим рассуждения, проведенные в первом параграфе текущей главы. А именно, сконструируем и исследуем многомерный случайный процесс, подчиняющийся аномально-диффузионным закономерностям.
Рассмотрим типичный процесс случайных блужданий, подчиняющийся простейшему стохастическому уравнению
Без ограничения общности предположим, что случайные интервалы ожидания скачков Тк = tk — tk-i и сами случайные скачки h взаимно независимы, а также имеют одинаковые распределения /(т) и w(x) соответственно. Очевидно где N(t) и Т{п) - число скачков к моменту t и обратная к нему функция, введенные в пункте 2.1.1. Используя соотношение эквивалентности (2.1) для этих функций и разбиение единицы, введенное ранее, получим уравнение для характеристической функции рассматриваемого процесса
Применим к обеим частям равенства преобразование Лапласа и просуммируем полученную геометрическую прогрессию:
Найденное выражения для Лаплас-образа Q(u;s) характеристической функции представляет собой многомерный аналог уравнения Монтролла-Вейсса [88]. Здесь /(s) - Лаплас-образ распределения интервалов между скачками, a w(u) - характеристическая функция скачков. Из последнего равенства видно, что G(u; s) подчиняется уравнению 1 ё(«;в)-й(ы)0(и;я) = / . (2.18)
Применив к нему обратные преобразования Фурье и Лапласа, легко получить, в зависимости от вида распределений /(г) и w(x), как классическое уравнение Колмогорова-Феллера, так и кинетические уравнения аномальной диффузии. Асимптотические уравнения для плотности вероятностей блужданий X(t)
Как уже было отмечено выше, вид уравнения для плотности вероятностей И (ж; ) зависит от вида распределений /(т) и ги(х), а точнее - их Лаплас-образа f(s) и характеристической функции w(u). Далее будут получены асимптотические уравнения для W{x\ t), справедливые на различных временных масштабах, в случае распределения /(т) с Лаплас-образом где 5 - малый параметр. Как уже отмечалось выше, все моменты /(т) ограничены, что делает его физически более корректным, нежели родственное ему дробно-экспоненциальное распределение [123, 107, 111] (отвечающее значению S = 0), являющееся одним из ключевых в теории аномальной диффузии. Опять же, подробнее остановимся на случае, когда параметр 5 мал настолько, что временной интервал между 1 и 1/S достаточно велик. Напомним, что тогда процесс X(t) проходит последовательно три стадии (см. пункт 2.1.2).
Подставим f(s) (2.19) в уравнение (2.18) и обсудим его асимптотику при 5 ; 1, что соответствует вероятностным свойствам скачкообразного процесса на больших временах.
Применительно к Лаплас-образу распределения /(т) выделим случай s І 1, соответствующий поведению скачкообразного процесса X(t) при t — со; а также случай 5 s 1, ответственный за "промежуточный" режим 1 -С і С 1/(5. В первом из них
Применяя к полученным равенствам обратное преобразование Фурье и Лапласа, придем к уравнению Колмогорова-Феллера
Будем считать для определенности, что распределение величины скачков w(x) обладает следующей асимптотикой Фурье-образа характерной, например, для многомерного нормального распределения с независимыми координатами и одинаковой дисперсией а по всем осям. Тогда, из приведенных выше уравнений, вытекают, соответственно, уравнения линейной и аномальной диффузии для разных временных асимптотик где п - размерность пространства случайного процесса. Решение второго уравнения приведено в следующем разделе.
Решение уравнения многомерной аномальной диффузии Для того, чтобы решить уравнение (2.21), воспользуемся вспомогательным векторным процессом в n-мерном пространстве (2.12) Многомерная характеристическая функция процесса выражается через функцию Миттаг-Лефлера (детали приведены в [1]):
Таким образом, его функция плотности вероятностей подчиняется уравнению дробной диффузии [107] Решая это уравнение при помощи модельного процесса "дробного сноса", обнаружим, что решение многомерного уравнения выражается через решение одномерного (см., например, [88, 123, 107]), и может быть записано в следующем виде:
Асимптотические законы супердиффузии
Таким образом и поведение среднего квадрата на больших временах будет полностью определяться характером распределения случайных интервалов. (Использованное здесь обозначение f IV (s) соответствует четвертой производной от функции f(s) по S.)
Интересующая нас аномальная супердиффузия возникает, если упомянутое распределение имеет медленно спадающую, степенную асимптотику
При этом первые два момента распределения могут и существовать (если /3 2), что немаловажно при описании реальных физических процессов. Примером функции с подобной асимптотикой может служить где го - некий характерный временной масштаб случайных интервалов, в данном случае явно выражающийся через среднее время ожидания для значений (3 1, при которых это среднее существует:
Возвращаясь к среднему квадрату, заметим, что в зависимости от значения параметра (3 его асимптотики будут различны. Это происходит из-за того, что качественно различаются разложения Лаплас образа f(s) в случаях 0 /? 1и1 /3 4.
Отметим, что полученные соотношения полностью согласуются с аналогичными в уже исследованных ранее частных случаях случайного скачкообразного процесса [107] и случайных блужданий со скачкообразным изменением скорости полета частицы [109]. Уравнения аномальной супердиффузии
Заметим однако, что хотя средний квадрат довольно информативен, более детальное представление о свойствах аномально диффузионного процесса дает его вероятностное распределение. Выведем уравнения для плотности вероятностей координаты аномально диффундирующей частицы. С этой целью подставим в уравнение для Лаплас-образа характеристической функции (3.24) выражение (3.26). В общем случае решение уравнения (3.33) удается найти в интегральном виде. Выразив для этого Лаплас образ характеристической функции процесса, применим к нему обратное преобразование Фурье ?"/2д VD Найдя обратное преобразование Лапласа от полученной функции, получим что соответствует обратному преобразованию Фурье от функции Миттаг-Лефлера Evj2(iu). В случаях і/ 1и1 і/ 2 искомая функция F(z) принимает форму уже исследованных ранее [107, 109] суб- и супердиффузионного распределений (рис.3.1,3.2).
Таким образом, в данной главе удалось расширить класс степенных функций распределения случайных интервалов, при которых наблюдается аномальная диффузия. Однако для этого требуется, чтобы соответствующие случайные процессы подчинялись несколько иной кинетике, нежели ранее рассматриваемые. Теперь случайным образом изменяется ускорение движения частиц, что может соответствовать изменению силового поля, часто упоминаемого в работах других авторов [95, 129].
В заключении приведем основные результаты и выводы по работе:
1. Сконструированы модельные процессы аномальной диффузии, помогающие понять природу аномальной субдиффузии и супердиффузии, а также процесс "дробного сноса", при помощи которого удается решать диффузионные уравнения в дробных частных производных [107, 109, 111-113, 115, 116].
2. Основываясь на аномальной кинематике и исходя из вида конкретных физических распределений, произведен ряд обобщений классических процессов и уравнений на дробный порядок. Выведены дробное уравнение Колмогорова-Феллера, обобщенный процесс Орнштейна-Улен-бека [107, 111, 118].
3. Введено модельное обобщенное дробно-экспоненциальное распределе ние, при помощи которого удается проследить переход аномальных на промежуточных временах диффузионных процессов к классическому нормальному диффузионному виду на больших временах [108, 114, 117, 121, 122].
4. Произведено многомерное обобщение аномального субдиффузионного процесса. Сделан вывод о наличии нового, по сравнению с линейным случаем, эффекта - статистической зависимости координат аномального диффузионного процесса [110, 119].
