Введение к работе
Актуальность темы. Как известно, в классической теории равновесных флук-зуаций шум является слабо возмущающим фактором, приводящим лишь к незначительным отклонениям некоторой физической величины от своего среднего, равновесного значения. Подобная ситуация имеет место лишь при достаточно малой интенсивности шума и для систем, имеющих единственное устойчивое состояние равновесия. Однако, в достаточно широком круге задач (см., напр., P.Hanggi, P.Talkner, M.Borkovek, Rev.Mod.Phys. -1990. -V.62. -P.251) нелинейные динамические системы могут иметь несколько локально устойчивых и неустойчивых состояний равновесия и под воздействием шума возможен переход из одного состояния равновесия в другое, распад метаста-бильного или нестабильного состояния и т. д. В этом случае воздействие шума на нелинейные системы становится причиной существенных изменений в поведении таких систем, и можно сказать, что возникают индуцированные шумом переходные процессы. Исследование индуцированных шумом переходов в нелинейных системах представляет в настоящее время значительный интерес (см.,. напр., В.Хорстхемке, Р.Лефевр, Индуцированные шумом переходы. -М.: "Мир", 1987).
Вместе с этим, эффективной моделью для анализа поведения подобных нелинейных систем под дейсгвием шумов является одномерное броуновское движение частиц в сильно-вязкой среде в потенциальном поде сил или, Другими словами, модель броуновской диффузии. При этом координата броуновской частицы x(t) подчиняется уравнению Ланжевена следующего віща:
r/ctx где U(x) — потенциал, характеризующий систему, tj — коэффициент эквивалентной вязкости, %(t) — белый гауссоный шум. <,(!)>—Q, <$(t) (t+ 0)>-DS(0), D — интенсивность шума, обычно принимаемая про-порционалной некоторой эквивалентной температуре D-2kT/r].
Эта модель возникает при описании множества различных переходных процессов в таких областях физики как лазерная физика , динамический хаос,
радиотехника, обработка сигналов, физика диэлектриков, динамика солнто-нов, фазовые переходы, геофизика, физика джозефсоновских переходов, днф-фузия в твердом теле, физика плазмы и пр. Кроме того, модель броуновской диффузии широко используется в химии и биофизике.
Несмотря на большое число физических приложений, в которых возникает модель броуновской диффузии, временные и спектральные характеристики индуцированных шумом переходов в подавляющем большинстве случаев определяются приближенно, при малой интенсивности флуктуации. Это объясняется тем. что проблема определения точных временных и спектральных характеристик переходных процессов в рамках данной модели связана с решением линейного уравнения в частных производных параболического типа с переменными коэффициентами — так называемого уравнения Фоккера-Планка (УФП) для плотности вероятности координаты броуновской частицы W(x,t), точное нестационарное решение которого в случае произвольного потенциального профиля Lf(x) неизвестно.
В то же время, хорошо известное ненулевое стационарное решение УФП есть, фактически, распределение Больцмана
которое определяется соответсгвугощим потенциальным профилем. Это дает возможность находить временные и спекгральные характеристики индуцированных шумом переходов через потенциальный барьер в приближении малой интенсивносги флуктуации но сравнению с высотой барьера. В этом случае поток броуновских частиц через потенциальный барьер настолько слаб и незначителен, что распределение вероятностей в добарьерной области можно аппроксимировать больцмановским распределением. Используя это предположение, удается получить приближенное значение времени перехода. В этом и заключается суть пшрокоисполъзуемого метода Крамерса для определения приближенных временных характеристик броуновской диффузии, который приводит к следующему характерному времени перехода частиц через потенциальный барьер:
г«0ехр[^] = 0ехр(|;)> 0 = const, (2)
где E — высота потенциального барьера. Таким образом, выражение (2) получено Крамерсом только при условии кТ«Е.
Если же интенсивность шума будет настолько высокой, что кТ будет иметь порядок высоты потенциального барьера Е, то поток броуновских частиц через барьер будет слишком большим и квазистационарное больцма-новское распределение в добарьерной области не будет успевать устанавливаться. В такой ситуации приближение Крамерса неприменимо, и для определения временных характеристик индуцированных шумом переходов необходимо получать точное нестационарное решение УФП.
В последние десятилетия усилия многих авторов были направлены на то, чтобы найти точное нестационарное решение УФП и соответствующие ему точные временные характеристики индуцированных шумом переходов. Для решения УФП использовались различные подходы. Среди них широкое распространение получил метод модельных потенциальных профилей, заключающийся в том, чтобы подбирать такие потенциальные профили U(x), для которых можно тем или иным способом найти решение УФП, и, тем самым, получить какую-то информацию о переходных процессах, протекающих в потенциальных профилях характерных для реальных систем. К модельным потенциальным профилям относятся, например, различные кусочно-линейные профили.
К сожалению, несмотря на многочисленные попытки, точное решение УФП даже для модельных потенциальных профилей удалось получить лишь для некоторых случаев, а найти нз этих решений точные временные и спектральные характеристики индуцированных шумом переходов — еще для меньшего числа потенциальных профилей.
Таким образом, проблема определения точных временных и спектральных характеристик индуцированных шумом переходных процессов является существенным препятствием на пути исследования большого числа различных фи-
зических систем, процессов и явлений, которые могут быть описаны в рамках модели броуновской диффузии. І Іелью диссертации является:
разработка универсального метода для получения любых точных временных и спектральных характеристик нестационарной броуновской диффузии в произвольном кусочно-линейном потенциальном профиле;
получение и анализ этих временных характеристик индуцированных шумом переходов в кусочно-линейных потенциальных профилях различной формы. Выявление общих закономерностей нестационарных переходных процессов при произвольной интенсивности флуктуации и высотах потенциальных барьеров;
— применение полученных результатов для анализа и решения конкретных
физических задач.
Научная новизна работы заключается в разработке нового метода получения точных временных характеристик нестационарной броуновской диффузии. С помощью этого метода в настоящей работе впервые удалось решить проблему определения точных временных и спектральных характеристик индуцированных шумом переходов для целого класса потенциалов — кусочно-линейных потенциальных профилей.
Кроме того, точные результаты полученные при помощи этого метода впервые позволили теоретически выявить и исследовать новые эффекты характерные для реальных систем: эффект влияния формы потенциального профиля на зависимость времен жизни метаегабильных состояний от интенсивноста флуктуации и эффект задержки распада нестабильных состояний дина' мических систем внешним шумом.
Проведенное впервые подробное исследование эффекта влияния формь потенциальных профилей на времена выхода частиц из метаегабильных «> стояний позволило разработать новый теоретический подход к объяснении экспериментально-наблюдаемых отклонений температурной зависимости ко эффициента диффузии в твердых телах от закона Аррениуса.
В дополнение к этому, впервые теоретически показано, что при учете флуктуации в хорошо и давно известной модели вещеста Ван дер Ваальса можно получить изотермы этого вещества не содержащие неустойчивых ветвей, н, в то же время, непротиворечиво описать возникновение метастабнль-ных состояний вещества с конечным временем жизни.
Практическая значимость. Полученные в работе результаты могут бьпъ использованы при анализе временных и спектральных характеристик для широкого круга физических (а также химических и биологических) нелинейных систем, поведение которых может быть описано на основе модели броуновской диффузии в потенциальных полях. В частности, полученные результаты могут быть применены для анализа явления стохастического резонанса, или для исследования кинетики фазовых. переходов в различных средах (например в жидких кристаллах), при разработке физических моделей фликкерного шума, а также для изучения различных аспектов задачи о влиянии флуктуации на возбуждение автоколебаний и на другие переходные бифуркационные процессы в нелинейных системах.
Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались: на семинарах кафедры бионики и статистической радиофизики ННГУ, а также на семинарах в НИИ ПМК , ИФМ РАН и МГУ, на ежегодных научных конференциях по Радиофизике в ННГУ, на международной школе-семинаре "Динамика волновых процессов" (Н.Новгород-Москвл, 1994), на ежегодных европейских конференциях "Physique en Herbe", 1994, 1995, Франция), на международных конференциях . "Noise in Physical Systems and l/f Fluctuations" (1993, США) "Experimental Chaos Conference"(1993, США; 1995 Великобритания) и "International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos" (1996, Саратов).
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [1-Ю], а также в тезисах докладов конференций [11-21].
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения. Общий объем работы - 187 страниц печатного текста, включая 57 рисунков и список литературы из 120 наименований.
