Содержание к диссертации
Введение
1 Математическое моделирование транспортных потоков 6
1.1 Развитие математического моделирования 6
1.2 Транспортные модели
1.2.1 Модели расчета коммуникаций 19
1.2.2 Модели распределения потоков. Модель оптимальных стратегий 27
1.2.3 Математическое моделирование транспортных потоков 30
1.3 Выводы, цель и задачи исследования 37
2 Разработка методики построения и анализа модели УДС (на примере г.Тулы). 41
2.1 Предварительные замечания 41
2.2 Выбор программных средств 43
2.3 Подготовка исходных данных для моделирования 45
2.4 Типы задач, решаемых на модели УДС 52
2.5 Выводы по главе 54
3 Решение задачи о загрузке УДС на примере г. Тулы 55
3.1 Методы и алгоритмы решения задачи 55
3.2 Оценка точности полученных результатов 57
3.3 Анализ полученных результатов 59
3.4 Выводы по главе
4 Разработка и использование методики прогнозирования эффективности функционирования автомобильной транспортной системы и анализ нелинейной динамической модели поведения АТС 67
4.1 Оценка экономической составляющей задержек времени в транспортных системах городов РФ 67
4.2 Экспериментальное исследование влияния капитальных вложений на характеристики транспортных процессов 75
4.3 Применение нелинейной динамической модели для описания АТС 80
4.4 Выводы по главе 89
Основные результат и выводы 90
Библиографический список
- Модели расчета коммуникаций
- Подготовка исходных данных для моделирования
- Оценка точности полученных результатов
- Экспериментальное исследование влияния капитальных вложений на характеристики транспортных процессов
Введение к работе
Актуальность исследования. Транспортные проблемы современных городов России имеют сложный спектр причин и разнообразные проявления, что приводит к необходимости теоретического осмысления и широкомасштабных практических исследований. Эти проблемы тесно примыкают к сферам градостроительства, землепользования, экологии и др. Одним из наиболее серьезных обстоятельств является то, что для подавляющего большинства пользователей улично-дорожной сети (УДС) последняя не является областью, позволяющей самостоятельно регулировать затраты времени и бюджетов различного уровня (начиная с семейного и заканчивая региональным). Среди очевидных причин данного обстоятельства является сложный характер коллективного влияния участников улично-дорожного движения на совокупные параметры транспортного потока, а также отсутствие в настоящее время учета затрат времени, проведенного в транспортном потоке, на экономическую эффективность региона.
В настоящее время для решения транспортных проблем применяют самые разнообразные методы и средства. Большинство из них имеет долговременный характер и значительную стоимость. В этом смысле математическое моделирование транспортных потоков и процессов также не является слишком дешевым средством. Тем не менее, оно чрезвычайно широко применяется и имеет серьезное научное основание.
Несмотря на прогресс в области теории транспортных потоков, моделирования транспортных систем и внедрения систем управления транспортными потоками, остается нерешенным круг вопросов, разработка которых поможет продвинуться в направлении более глубокого понимания природы транспортных потоков в крупных населенных пунктах, развития автотранспортных систем (АТС), построения многоуровневых интеллектуальных технологий управления потоками. Среди таких нерешенных задач построение математического описания, способного прогнозировать многовариантные сценарии развития, стратегии управления, фазовые переходы в АТС, включая потоки городского автотранспорта, на основе обработки реальной информации, сводимой к динамическим моделям, отражающим возможность указанных переходов и сценариев. Все это и обусловило необходимость проведения настоящего исследования и подтверждает актуальность выбранной темы.
Среди методов математического моделирования транспортных потоков традиционно выделяются методы микро-, мезо- и макромоделирования, последнее из которых очень часто связывают, в частности, с созданием моделей улично-дорожной сети, позволяющими определять загрузку УДС, решать вопросы организации дорожного движения, транспортной планировки городов, строительства крупных объектов инфраструктуры городской среды и т.д. В последнее время широко развиваются методы нелинейной динамики, которые позволяют строить и исследовать такие модели транспортных систем, которые способны учитывать коллективный характер функционирования, фазовые переходы (например, трехфазная теория транспортных протоков Б.С. Кернера), динамику АТС в среднесрочной или долгосрочной перспективе.
Диссертационная работа нацелена на применение разных типов моделей из перечисленных, таким образом, ее актуальность обосновывается как областью приложения исследований, так и комплексом используемых математических моделей.
Целью исследования является повышение эффективности городского автомобильного транспорта на основе разработанных сетевых и нелинейных динамических моделей.
Для достижения данной цели необходимо решить следующие основные задачи:
1. Построить и откалибровать сетевую модель УДС, на примере г. Тулы.
2. Решить задачу о загрузке УДС, на примере г. Тулы.
3. Выполнить серию вычислительных экспериментов, проектируя варианты реализации решений генерального плана (ГП), и установить характеристики транспортных процессов для каждого.
4. Выявить закономерность влияния инвестиций в развитие УДС на транспортные процессы.
5. Разработать и реализовать методику расчета эксплуатационных затрат автомобильного транспорта.
6. Выполнить анализ нелинейной динамической модели развития АТС.
Объект исследования: АТС, содержащая УДС, грузовой, пассажирский и индивидуальный транспорт (на примере г. Тулы).
Предмет исследования: транспортные процессы и совершенствование организации УДС.
Теоретической и методологической основой исследования являются научные труды российских и зарубежных ученых по проблемам повышения эффективности городского автомобильного транспорта, моделирование АТС, методы решения задачи загрузки УДС, обработки результатов эксперимента, статистической обработки данных, нелинейные динамические модели, теории макросистем.
Научная новизна заключается в разработке следующих теоретико-методических положений, научных и практических методов, математических моделей, которые выносятся на защиту:
- выявлении закономерностей влияния стоимости инфраструктурных изменений в УДС на характеристики транспортных процессов (время, транспортную работу, скорость, интенсивность движения, дальности поездок);
- анализе нелинейной динамической модели АТС, учитывающей взаимосвязь между эксплуатационными затратами, задержками времени, транспортной работой и служащей для прогнозирования состояния АТС;
- разработке методики повышения эффективности функционирования городского автомобильного транспорта (на примере г. Тулы), учитывающей выявленные закономерности и нелинейные динамические свойства АТС.
Практическая значимость работы заключается в построении, калибровке сетевой модели УДС г. Тулы и решении задачи загрузки УДС г. Тулы, определении характеристик транспортных процессов для серии вычислительных экспериментов, выявлении закономерности, устанавливающей связь между инвестициями в развитие УДС и транспортными процессами, разработке и выполнении методики расчета эксплуатационных затрат автомобильного транспорта, разработке методики повышения эффективности функционирования городского автомобильного транспорта (на примере г. Тулы).
Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на 10-ой Всероссийской научно-технической конференции студентов, магистрантов, аспирантов и молодых ученых «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов» (Тула, 2010), 9-ой международной научно-технической выставке «Expo-SciencesEurope» (Тула, 2012), 5-ой Всероссийской конференции молодых ученых и специалистов «Будущее машиностроения России» (Москва, 2012), 7-ой региональной молодёжной научно-практической конференции Тульского государственного университета «Молодёжные инновации» (Тула, 2013), 7-ом всероссийском форуме «Наука и инновации в технических университетах» (Санкт-Петербург, 2013).
Реализация результатов работы. Результаты исследования реализованы в рамках выполнения НИОКР №147 от 05.05.12 г. «Внедрение автоматизированной транспортной системы моделирования транспортных потоков в г. Туле с помощью системы программно-аналитического комплекса (ПАК) «TransNet» ver.1.1 заказчика», в которой проведено исследование транспортных потоков для построения математической модели УДС г.Тулы. Выполнено определение прогнозной максимальной часовой (часы «пик») интенсивности транспортного движения по проезжим частям улиц и в транспортных узлах (развязках), с разделением по направлениям движения. Была получена откалиброванная модель УДС г. Тулы – расхождение по данным интенсивности на основных улицах составило в целом не более 20%.
Личный вклад автора заключается в разработке и калибровке модели УДС г. Тулы, расчете матрицы трудовых корреспонденций для утренних и вечерних часов «пик», анализе генерального плана г. Тулы, позволившего сформировать серию вычислительных экспериментов, анализе и обработке результатов вычислительных экспериментов, а также в разработке и реализации части положений методики повышения эффективности работы городского автомобильного транспорта.
Публикации. Основные положения диссертации отражены в 11 печатных изданиях, четыре из которых – в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и результатов, списка литературы и приложения. Текст диссертации изложен на 158 страницах, включая 14 рисунков, 1 таблицу. Библиографический список включает 121 наименования российских и зарубежных авторов.
Модели расчета коммуникаций
На практике этот процесс осуществляется поочередным умножением строк / / /"» Dj и Qj Qj , где D,— суммы по столбцам; а цу - суммы по строкам для матрицы, полученной на предыдущем шаге. Это и есть процесс балансировки, который при необходимости можно применить к матрице поездок в модели конкурирующих возможностей. Далее рассмотрим получение модели конкурирующих возможностей, исходя из принципов максимизации энтропии.
Энтропийная модель. Проблему определения корреспонденции рц можно ставить как задачу максимизации энтропии в транспортной системе.
Пусть задано фиксированное пространственное распределение населения по зонам, порождающим потоки, как и ранее, назовем такие зоны источниками и объединим их в множество S, и по зонам, поглощающим потоки, назовем их стоками и объединим в множество D. Источниками, например, могут служить районы жилых массивов, стоками места приложения труда. Индивидуумы в транспортной системе перемещаются от источников к стокам. Предположим, что все индивидуумы имеют уникальный идентификатор, например, номер паспорта. Состояние транспортной системы определяется распределением УА помеченных индивидуумов между парами источник-сток.
При определении объемов корреспонденции значимым является только общее количество индивидуумов без детализации по составу их идентификаторов. Поэтому каждой паре источник-сток соответствует величина корреспонденции ри - количество индивидуумов, выезжающих из источника і Є S и прибывающих в сток j Є D. Очевидно, что существует множество состояний, приводящих к одной и той же матрице корреспонденции р = (ру : і Є S, j Є D}. Следуя принципу максимизации энтропии, будем искать значения ру доставляющие максимум функции Р(р), определяющей вероятность реализации состояния системы, соответствующего матрице корреспонденции [53-55].
Загрузка транспортной сети определяется количеством транспортных средств или пассажиров, использующих для движения каждый элемент сети (дугу, поворот, перегон на маршруте общественного транспорта). Моделирование загрузки состоит в распределении межрайонных корреспонденции по конкретным путям, соединяющим пары районов. Входом к модели загрузки является матрица корреспонденции или в общем случае набор матриц, относящихся к передвижениям разных видов или разных пользовательских классов. Целью моделирования является определение для каждой пары районов прибытия-отправления набора путей, которые используются для передвижений между этими районами; коэффициентов расщепления (долей) корреспонденции между этими путями. Существующие модели загрузки транспортной сети могут быть разбиты на классы по следующим основным признакам: модели, основанные на нормативном и дескриптивном подходе; статические и динамические модели.
В нормативных моделях распределение корреспонденции осуществляется на основе оптимизации некоторого глобального критерия эффективности работы транспортной сети. Таким критерием могут служить, например, суммарные затраты времени всеми участниками движения, суммарный пробег (авт км или пасс км) и др. При дескриптивном подходе предполагается, что структура транспортных потоков формируется в результате индивидуальных решений участников движения, основанных на оптимизации ими их личных критериев. Традиционно считается, что для моделирования загрузки реальных транспортных сетей следует применять дескриптивный подход. Нормативные модели могут применяться при планировании передвижений в тех случаях, когда планирующий орган имеет возможность директивного влияния на выбор маршрутов (например, при планировании централизованных грузовых перевозок). В последние годы, однако, интерес к нормативным моделям возрос в связи с началом разработки проектов о централизованном управлении движением частных автомобилей с использованием бортовых компьютеров и спутниковой связи.
Модель относится к классу статических, если загрузка моделируется в терминах усредненных характеристик движения на выбранный период моделирования (например, утренний час пик). В частности, если некоторая доля aFjj корреспонденции использует выбранный маршрут движения, то предполагается, что эта доля дает вклад aF,j в загрузку каждого элемента маршрута на протяжении всего периода моделирования. Такое предположение оправдано, если среднее время всех маршрутов не превышает характерное время, за которое сама корреспонденция успеет заметно поменяться. В случае, если динамика выезда меняется достаточно быстро, а маршруты достаточно длинные, необходимо учитывать, что представители той или иной корреспонденции загружают каждый участок избранного маршрута в разное время. При этом как сама корреспонденция, так и объемы прибытия-отправления в каждом районе должны задаваться как функции времени. Модели, в которые явно введен фактор времени и явно описывается динамика расчетных величин в течение периода моделирования, называют динамическими [79].
Модель оптимальных стратегий. Модель, определяющая загрузку транспортной сети на основе расчета стратегий поведения, называется моделью оптимальных стратегий. Она в полной мере учитывает фактор взаимного влияния пользователей и основывается на поиске равновесного распределения. Для моделирования транспортной сети Владивостока Д.В. Лютаев использует эту модель [49]. Математически сложность задачи поиска равновесного распределения связана с отсутствием глобального критерия, который бы подлежал оптимизации (максимизации либо минимизации). Однако при некоторых упрощающих предположениях эта задача все же сводима к задаче оптимизации некоторого специально сконструированного глобального критерия.
В работе Д.В. Лютаева приводится один из вариантов построения модели равновесного распределения транспортных потоков.
Задача рассматривается для распределения пользователей одного класса. Вводятся следующие обозначения: / - множество узлов сети; V - множество дуг сети; Vt - множество дуг, входящих в узел /; VI -множество дуг, выходящих из узла Г,Р — множество источников; Q -множество стоков; щ - суммарный поток по дуге (/ , j) Є V; щрч— поток по дуге (/, j) Є V представителей корреспонденции u[(ij)i(ij)2Pq- поток на повороте с дуги 1(у) Є V на дугу 2 Є V представителей корреспонденции pq\ Fpq - величина корреспонденции да
Подготовка исходных данных для моделирования
Определение категорий дорог и основных выездов из города (шоссе), магистральных и улиц внутрирайонного значения происходило на основании существующих нормативных актов: ГОСТ Р 51256-99, ГОСТ Р 52289-2004, ГОСТ Р 52398-2005, ГОСТ Р 52399-2005, ГОСТ Р 52577-2006, ГОСТ Р 52290-2004, СНиП 2.05.02-85, СТО 03.2013, а так же программы «Видеобанк» для определения геометрических характеристик проезжих частей с применением компьютерных технологий. Для построения УДС были выбраны:
1. Основные выездов из города (шоссе) - Московское шоссе, Алексинское шоссе, улица Чмутова (Старокалужское шоссе), Одоевское шоссе, Калужское шоссе, Щекинское шоссе, Новомосковское шоссе, Епифанское шоссе, Веневское шоссе. Критериями отбора были: связь с автомобильными дорогами федерального значения, наличие асфальтового покрытия, интенсивность транспортного потока.
2. Магистральные улицы - улица Октябрьская, улица Карпова, улица Пузакова, улица М. Горького, улица Демидовская плотина, улица Мосина, Павшинский мост, Красноармейский проспект, улица Дм. Ульянова, улица Путейская, Лихвинский проезд, улица Болдина, улица Первомайская, улица 9 Мая, проспект Ленина, улица Рязанская, улица Советская, улица Староникитская, улица Оборонная, улица Пролетарская, улица Ложевая, улица Металлургов, улица Кирова, улица Кутузова, улица Каракозова, улица Доктора Гумилевской, улица Новотульская, улица Металлистов, улица Менделеевская. Критериями отбора являлись: категория улицы - ширина проезжей части, количество полос движения, наличие межрайонных связей.
3. Улицы внутрирайонного значения - было отобрано порядка 210 улиц по следующим параметрам: интенсивность (определенная с помощью экспертной оценки при обследовании УДС), свободная скорость, количество полос движения, наличие точек притяжения и возможности осуществления перемещений к социально-значимым объектам.
В соответствии с полученными параметрами была введена ценовая функция - это показатель, характеризующий «привлекательность» перегона (дуги) и пересечения (узла) графа УДС, выраженная в количестве затраченного для проезда по данному перегону времени в минутах. Она позволила сравнивать и выбирать определенные перегоны с лучшими характеристиками для создания оптимальных маршрутов в «Transnet»: -60 где Р] - пропускная способность; Р2 - свободная скорость; N - число полос движения (в одном направлении); L - длина дуги (перегона); F - поток автотранспорта.
Свободная скорость назначалась путем экспертных оценок и с использованием известных из теории транспортных потоков зависимостей. Разделение графа УДС на транспортные районы происходило с использованием описанных выше допущений.
Разделение графа УДС на условные транспортные районы: для каждого района определяется его центр и связи, по которым сеть насыщается потоками автотранспорта. Так же как и дугам сети, связям назначены параметры длины, скорости и пропускной способности.
Для визуализации, на граф УДС была наложена растровая маска разделения агломерации на транспортные районы. Для каждого полученного условного транспортного района определялись с помощью экспертной оценки, находящиеся в нем улицы. Некоторую сложность представляло разделение транспортных районов улицами внутрирайонного значения, поэтому для каждого района приводилась конкретизация по входящим в улицы домам. Для учета проезда через город транзитного транспорта, были введены дополнительные транспортные районы 101-109, представляющие собой входящие и выходящие потоки на выездах из города. Точками притяжения для данных районов стали начальные узлы въездов в город.
Все транспортные районы были сгруппированы по зонам, по принадлежности к фактическим районам г. Тулы.
Одним из основных этапов подготовки к решению задачи загрузки УДС является создание 3 матриц: матрица межрайонных расстояний - данные этой матрицы отражают в километрах кратчайшие длины маршрутов между районами, вычисляется программно в «Transnet»; матрица межрайонных дальностей обобщенных цен - каждая ячейка отражает данные о затраченном времени в минутах на преодоление пути между районами, вычисляется программно, основана на матрице межрайонных расстояний и ценовых функциях каждого узла и перегона; матрица межрайонных корреспонденции - общий объем передвижений из одного района в другой (независимо от конкретных путей передвижения); создается вне программы Transnet, экспортируется как поэлементный список.
Расчет матрицы корреспонденции проводился с помощью запросов, построенных на языке SQL, для базы данных с информацией о проживании и местах работы жителей г. Тулы. Получение информации происходило в несколько этапов: 1) унификация данных для каждого столбца базы; 2) создание справочников улиц и районов, присвоение каждой записи справочника своего уникального номера; 3) присвоение каждой записи таблицы с данными жителей двух номеров согласно названию улицы и принадлежности к району проживания; 4) присвоение каждой записи таблицы с данными жителей двух номеров согласно названию улицы и принадлежности к району места работы; 5) построение запросов для получения данных о количестве проживающих и количестве работающих в районах; 6) построение запросов взаимосвязей районов (получение данных о местах работы жителей одного района) - 91 итерация; 7) построение на основе полученных данных матрицы корреспонденции. Матрицы представляют собой таблицы, размерность которых 91x91. Каждая ячейка отражает информацию о параметрах (длина, время, объем) сообщений между районами прибытия и отправления.
Оценка точности полученных результатов
Существуют различные подходы к определению оценки экономии времени передвижения пассажира Св. При этом авторы исходят из: 1) созданной за 1 человеко-час величины национального дохода (чистого продукта) или валового национального продукта; 2) среднечасовой заработной платы; 3) субъективной оценки пассажиром своего времени при выборе средств передвижения. Встречаются также попытки исходить из размера дополнительных капитальных вложений, требуемых на 1 час дополнительного свободного времени.
Основываясь на рекомендациях по расчету экономической эффективности капитальных вложений в дорожном строительстве [1], можно предложить учитывать сокращение времени как положительный с точки зрения народного хозяйства фактор при оценке экономической эффективности и определять как время, проводимое людьми в поездке, и затраты времени на транспортировку грузов можно рассматривать как потери, величина которых будет обозначаться как затраты времени.
Расчет затрат времени производится следующим образом: Kc=Kcp+Kcw, (4.6) где: Кс - общие потери, связанные с затратами времени, выраженные в денежной форме; Кср - потери, связанные с затратами времени людей, выраженные в денежной форме; Kcw - потери, связанные с затратами времени на транспортировку грузов.
Для исследуемой УДС обычно имеются данные учета движения, определяющие среднегодовую суточную интенсивность движения с подразделением на характерные типы транспортных средств (легковые автомобили, мотоциклы, автобусы, грузовые автомобили). Поэтому целесообразно определять время, проводимое людьми в пути, для каждого типа транспортных средств. Одновременно может быть определено также время, затрачиваемое на перевозку грузовыми автомобилями среднего количества грузов. После определения времени можно вычислить величину затрат времени на перевозки за определенный период времени (например, один год)для каждого типа транспортных средств, а после этого, суммируя их, - величину затрат времени на всех перевозках. Величину экономии времени можно вычислить как разность величин общих затрат времени по сравниваемым вариантам.
Затраты времени транспортных средств находятся в прямой зависимости от пройденного пути и в обратной - от скорости. Следовательно, необходимо знать среднюю скорость отдельных типов транспортных средств приданных дорожных условиях и условиях движения. Эти данные можно получить, рассчитав характеристики моделей транспортной системы.
В этом случае нужно знать распределение транспортных средств по типичным видам и интенсивность движения. Тогда величину среднечасовых затрат можно определить следующим образом: Np-Kcp+Nm-Kcm+Nb-Kcb ксе = с4- /; где Np, Nm, Nb - интенсивность движения по типам транспортных средств в шт. (Np - легковой автомобиль, Nm - мотоцикл, Nb - автобус); Кср, Кст, КсЬ - стоимость одного часа для отдельных типов транспортных средств; Величина Кср определяется по формуле: Ке U (4-8) СЄ V" ( L V где N - среднесуточная интенсивность движения в приведенных автомобилях; Ксе - стоимостная оценка одного часа в пересчете на приведенные легковые автомобили; hce - затраты времени, связанные с остановкой приведенного легкового автомобиля. Величины Ксе и hce для типичного распределения транспортных средств на практике могут быть вычислены предварительно, а при расчетах взяты из таблиц.
Затраты времени при проектируемом состоянии дороги можно определить аналогичным образом, учитывая в этом случае скорость VH, характеризующую новое состояние дороги, затраты времени hCH и изменившуюся суммарную протяженность участков дороги LH. По сравнению с величиной экономии затрат времени, связанных с перевозкой людей, эта величина менее значительна и встречается в расчетах лишь в исключительных случаях. В том случае, если учет ее все же желателен, это можно выполнить следующим образом.
Для расчета необходимо знать экономию затрат времени на транспортировку грузов и стоимостную оценку часа сэкономленного времени. Количество грузовых автомобилей, ежедневно проходящих на участке дороги, в случае необходимости с разбивкой на несколько категорий, известно из результатов учета движения. Требуется найти среднюю скорость движения грузовых автомобилей для двух состояний дороги. Тогда величина экономии затрат времени равна: f L \VM J (4.9) Kcw =365-Nw-Kw где Nw - интенсивность грузового движения, авт./сутки; Kcw — стоимостная оценка экономии затрат времени, приходящаяся на 1 автомобиль, перевозящий грузы; L -первоначальная протяженность участка дороги в км; Vw - скорость движения грузовых автомобилей в первоначальном состоянии в км/час; hcw - время простоев грузовых автомобилей в первоначальном состоянии в ч.
Величину Kcw можно определить по приводимой ниже формуле (4.10). Необходимо знать среднее перевозимое количество грузов (по весу) и оценку стоимости единицы груза в денежном выражении, а также количество часов работы автомобиля в год и учитывать фактор замораживания средств. Тогда формула удельной экономии затрат времени будет иметь вид: Kcw= -r, (4.10) где W - среднее количество (по весу) транспортируемых грузов; tw - оценка стоимости единицы грузов; Sj - количество часов работы грузового автомобиля в год; у - фактор замораживания средств (0,08 - 0,15).
Рассмотрев данные методики, предполагается использовать оценку затрат времени, описанную в рекомендациях по расчету экономической эффективности капитальных вложений в дорожном строительстве [1], используя допущение, что затраты времени - исключительно потери, связанные с затратами времени людей, выраженные в денежной форме.
Экспериментальное исследование влияния капитальных вложений на характеристики транспортных процессов
Наиболее сложное уравнение запишем для величины инвестиций, направленных на развитие транспортной системы. Будем иметь в виду наличие инвестиций постоянных, направленных на поддержание текущего состояния; плановых, направленных на развитие, и экстренных, направленных на ликвидацию проблемных ситуаций. Введем пороговые значения для переменной у: Y\ - неравенство у Y} означает наступление экстренной проблемы; 72 неравенство y Y2 соответственно означает наступление этапа плановой модернизации. При этом будем считать, что 7, 72. Текущие инвестиции на поддержание требуемого состояния транспортной системы определим, с одной стороны, пропорциональными самой стоимости транспортной системы, зависящей от z, а с другой стороны, пропорциональными износу. Тогда имеем: dz — = k6(z-k7x)z + k8y(y-YO + k9x(y-Y2). (4.18) at
Интегрирование системы уравнений (4.16)—(4.18) требует, как правило, аппроксимации решения различными линейными функциями на последовательных малых отрезках времени (шагах) длительности т. Самым распространенным методом такой аппроксимации является метод Рунге-Кутта 4-го порядка, дающий при малых т разностные уравнения, аппроксимирующие решения с точностью 0(т) [50]. Выбор метода интегрирования представляется важным элементом. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой, но именно Кутта сформулировал общую схему того, что теперь называется методом Рунге-Кутты.
Формально, методом Рунге-Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, оба они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD) стандартная схема четвёртого порядка. Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями. Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, в схему восьмого порядка входит 11 стадий. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения этого порядка точности. Аналогичная задача существует для схем десятого и более высоких порядков.
В ходе выполнения вычислительного эксперимента ставилась задача обнаружения в модели (4.16)—(4.18) различных типов динамического поведения и выявления закономерностей взаимного влияния переменных модели.
Так, в ходе проведения эксперимента был получен аттрактор (сингулярный предельный цикл,) при следующих значениях коэффициентов системы к\ = 9,0, к2=1,0, к3=1,2, к4=5,0, к5=6,0, к6=7,0, к7=\0,0, ks=0,5, &9=2,0, 10=4,0, кп=6,0.
Интегрируя систему уравнений (4.16)—(4.18) методом Рунге-Кутта 4-го порядка, было установлено, что при росте положительных значений параметра при фиксированном значении остальных параметров системы сначала реализуется каскад бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода, родившегося устойчивого предельного цикла, а затем - субгармонический каскад бифуркаций рождения устойчивых циклов любого периода в соответствии с порядком Шарковского.
С практической точки зрения важной является адекватность построенной модели. При проведении эксперимента была исследована зависимость поведения переменных модели на временном отрезке, на которой можно выполнить анализ их взаимного влияния и сравнить с реальными данными (Агуреев И.Е. Богма А.Е., Пышный В.А. Динамическая модель транспортной макросистемы).
При проведении эксперимента можно выделить три области. В первой области (I) наблюдается нарастание потерь времени при выполнении транспортной работы. Притока инвестиции на этом участке нет. Поэтому происходит значительное сокращение выполненной транспортной работы. Во второй области (II) можно наблюдать резкий приток инвестиций, направленных в инфраструктуру транспортной систем, происходит рост количества выполненной транспортной работы при снижении суммарных потерь времени при выполнении данной работы.
Так как приток инвестиций носит краткосрочный характер, то и в конце данного периода можно наблюдать снижение транспортной работы и прирост суммарных потерь времени на её выполнение.
В третьей области (III) наблюдается то же самое, что и в первой, когда притока инвестиций нет, а транспортная работа сокращается пропорционально прироста потерь времени при выполнении данной работы. Происходит завершение периода изменения динамических характеристик.
Рассмотренная математическая модель соответствует ожидаемым результатам в части взаимного поведения исследуемых переменных, так как на практике при увеличении инвестирования какой-либо отрасли происходит увеличение количества выполняемой работы, в нашем случае транспортной.
С математической точки зрения найденные в модели регулярные и нерегулярные аттракторы представляют собой траектории, наблюдаемые в результате каскада бифуркаций удвоения периода, субгармонического, гомоклинического и других, более сложных каскадов.
Рассмотренная математическая модель соответствует ожидаемым результатам в части взаимного поведения исследуемых переменных, так как на практике при увеличении инвестирования какой-либо отрасли происходит увеличение количества выполняемой работы, в нашем случае транспортной. С математической точки зрения найденные в модели регулярные и нерегулярные аттракторы представляют собой траектории, наблюдаемые в результате каскада бифуркаций удвоения периода, субгармонического, гомоклинического и других, более сложных каскадов.
Таким образом, данная модель может служить инструментом для оценки состояния реальной системы и принятия решения при управлении транспортными макросистемами. Подобная методика может заключаться в исследовании какоголибо из выбранных вариантов (рис. 5). Если известно начальное состояние системы (произвольная точка, выделенная знаком «ромб»), то дальнейшая ее эволюция может быть изучена с помощью модели (4.16)—(4.18). При этом необходимо сделать оценку коэффициентов, выполнить постановку соответствующей задачи Коши и дальнейший численный анализ - построение кривых, аналогичных представленным на рисунке 7. Результаты анализа могут быть использованы для принятия решений о сроках и величине последующего инвестирования в инфраструктуру АТС.
