Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ математических моделей МПО 10
1.1. Особенности условий функционирования МПО 10
1.2. Математическая модель водоизмещающего надводного судна... 12
1.3. Математическая модель автономного подводного аппарата 16
1.4. Математические модели внешних возмущений 20
1.5. Обобщенная математическая модель МПО 23
1.6. Выводы по главе 1 26
2. Влияние параметрической неопределенности и внешних возмущений на процессы управления МПО 28
2.1. Качество процессов управления движением МПО 28
2.2. Линейная система управления движением МПО. Влияние нестационарности и параметрической неопределенности 32
2.3. Нелинейная система управления движением МПО. Влияние нестационарности и параметрической неопределенности 43
2.4. Влияние внешних возмущений на процессы управления МПО .55
2.5. Выводы по главе 2 60
3. Адаптивная идентификация параметров МПО 61
3.1. Метод скоростного градиента в задаче идентификации и управления 62
3.2. Идентификация параметров МПО с помощью настраиваемой модели 63
3.3. Влияние внешних возмущений на процесс идентификации 74
3.4. Система параметрической идентификации МПО с адаптацией к уровню внешних возмущений 83
3.5. Выводы по главе 3 89
4. Адаптивное управление МПО с эталонной моделью 90
4.1. Адаптивное управление МПО с явной эталонной моделью 90
4.2. Нелинейное управление МПО с неявной эталонной моделью 96
4.3. Нейросетевое управление МПО с неявной эталонной моделью .103
4.4. Выводы по главе 4 114
Заключение 116
Список литературы
- Математическая модель автономного подводного аппарата
- Линейная система управления движением МПО. Влияние нестационарности и параметрической неопределенности
- Влияние внешних возмущений на процессы управления МПО
- Нелинейное управление МПО с неявной эталонной моделью
Введение к работе
Морские подвижные объекты (МПО) представляют собой практически важный класс динамических систем, функционирующих в условиях значительного влияния внешней среды. К МПО относятся, в первую очередь, наиболее распространенные водоизмещающие суда, суда с динамическим принципом поддержания (на воздушной подушке, на подводных крыльях), подводные аппараты-роботы, поисково-разведочные комплексы и др. [1, 7, 21, 26, 27, 34-36, 53, 68, 69, 89, 93]. Одной из важнейших проблем, связанных с построением и эксплуатацией МПО, является создание высококачественных систем управления, обеспечивающих желаемую динамику переходных процессов и точность отработки программных траекторий движения.
Движение МПО по поверхности или в толще водной среды обладает рядом существенных особенностей, которые в значительной мере затрудняют построение системы автоматического управления его движением. К этим особенностям относятся:
нестационарность МПО;
нелинейность уравнений динамики;
многомерность и многосвязность;
структурно-параметрическая неопределенность;
наличие внешних возмущений.
Нестационарность МПО выражается в изменении его параметров с течением времени, связанных, например, с загрузкой судна, изменением характеристик обтекаемости поверхности судна (в частности, при обрастании корпуса) и другими факторами.
Нелинейность уравнений динамики МПО является следствием более общих уравнений движения твердого тела в пространстве, например, уравнений Лагранжа 2-го рода [9, 26, 39, 40, 41]. Кроме того, нелинейность моделей МПО в существенной мере связана с влиянием внешней среды, в
которой движется объект. Известно, что силы и моменты вязкого сопротивления представляют собой сложные нелинейные функции компонент вектора линейной и угловой скоростей МПО. Определение таких функциональных зависимостей, как правило, выполняется на основе дорогостоящих экспериментальных исследований и требует значительных временных ресурсов. Для практического использования наиболее привлекательными являются упрощенные линеаризованные модели МПО.
Многомерность и многосвязность МПО как объекта управления заключается в наличии нескольких взаимосвязанных каналов целенаправленного воздействия на его поведение. Так, например, при управлении курсом судна требуется одновременно обеспечить малый крен (стабилизировать относительно нуля). Построение системы управления МПО значительно упрощается, если взаимовлияние каналов незначительно или его можно компенсировать.
Структурно-параметрическая неопределенность динамики МПО связана с отсутствием достоверных данных о параметрах объекта и невозможностью получения абсолютно адекватных уравнений движения МПО. Примером параметрической неопределенности могут быть присоединенные массы и моменты инерции МПО, которые заранее невозможно вычислить. Функциональная неопределенность связана с неточным знанием аналитического вида зависимостей, входящих в уравнения движения МПО [26, 27, 35].
Наличие внешних возмущений - ветра, волн, течений — заметно снижает качество процессов управления МПО, и, следовательно, ухудшает безопасность плавания, надежность эксплуатации и другие важные характеристики судна или другого объекта.
Обзор и анализ теоретических исследований и практических разработок в рассматриваемой предметной области показал, что для дальнейшего совершенствования средств и систем управления движением
МПО требуется переход к новым методам синтеза управляющих устройств и
алгоритмов, опирающихся на более точные и сложные математические модели объектов.
Таким образом, в настоящее время актуальным является построение и изучение новых перспективных систем автоматического управления движением МПО, учитывающих специфику этих сложных динамических объектов.
В связи со сказанным, цель настоящей диссертационной работы состоит в разработке и исследовании систем автоматического управления движением МПО, эффективных в сложных условиях их эксплуатации.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе ставятся и решаются следующие задачи:
Анализ специфики условий функционирования МПО и их математических моделей.
Исследование влияния нестационарности параметров МПО и внешних возмущений на качество процессов управления при использовании типовых регуляторов.
Разработка и исследование систем и алгоритмов адаптивной идентификации параметров МПО при наличии внешних возмущений.
Разработка и исследование систем и алгоритмов адаптивного управления движением МПО.
Построение систем управления движением МПО на основе нелинейной модели.
Разработка нейросетевых систем управления движением МПО на основе нелинейной модели.
Основные результаты и положения, выносимые на защиту.
Анализ специфики линейных и нелинейных многомерных математических моделей МПО.
Анализ влияния нестационарности и неопределенности параметров МПО на качества переходных процессов в системах управления их
движением, при использовании типовых линейных регуляторов с фиксированными настройками.
Системы адаптивной идентификации параметров МПО, в том числе, с адаптивной подстройкой к уровню внешних возмущений.
Система адаптивного управления движением МПО с явной эталонной моделью.
Нелинейная система управления движением МПО с неявной эталонной моделью.
Нейросетевая система управления движением МПО с неявной эталонной моделью.
Методы исследования. При выполнении работы использовались методы современной теории автоматического управления - идентификации, адаптивного, нелинейного, неиросетевого управления, матричного и векторного исчисления, теории дифференциальных уравнений, математического моделирования, а также интенсивные численные эксперименты на компьютере.
Научная новизна.
Выявлены факторы нестационарности и структурно-параметрической неопределенности, специфические для морских подвижных объектов.
Показана работоспособность известных алгоритмов и систем параметрической идентификации для линеаризованных моделей МПО, а также предложены модификации систем (алгоритмов) параметрической идентификации МПО с адаптивной подстройкой к уровню внешних возмущений.
По обобщенной нелинейной модели МПО выполнен синтез системы управления движением с неявной эталонной моделью и предложено программное обеспечение для получения законов управления в символьной форме.
4. Предложены нейросетевые системы и алгоритмы управления,
основанные на обобщенной нелинейной модели МПО, а также новые
алгоритмы обучения многослойных нейронных сетей.
Достоверность результатов.
Достоверность результатов подтверждается корректным
использованием строгих математических методов исследования, применением экспериментально подтвержденных линейных и нелинейных математических моделей различных типов МПО,
Практическая ценность.
Практическая ценность разработанных систем и алгоритмов адаптивной идентификации состоит в том, что они могут быть непосредственно использованы для определения параметров МПО, в том числе, и в условиях внешних возмущений, по экспериментальным данным, хранящимся в виде файлов.
Применение предложенных адаптивных и нейросетевых систем управления позволяет уменьшить трудоемкость работ, связанных с ручной перенастройкой регуляторов.
Использование разработанного программного обеспечения для символьного синтеза позволяет ускорить процесс построения системы управления по нелинейным моделям МПО.
Апробация результатов.
Основные результаты диссертационной работы обсуждались и получили одобрение на регулярной конференции Международной федерации автоматического управления IF AC «Control Application in Marine Systems» CAMS'2007 («Применение управления в морских системах») (Bol, Croatia, 2007), Региональной научно-технической конференции «Знание-творчество-профессионализм». - МГУ им. адм. Г.И.Невельского, 2005, Международная научно-техническая конференция «Молодежь - наука — инновации». МГУ им. адм. Г.И.Невельского, 2007, 54-я Региональная научно-техническая
конференция «Молодежь — наука — инновации». МГУ им. адм.
Г.И.Невельского, 2006, на научно-технических конференциях университета, семинарах кафедры автоматических и информационных систем.
Публикации. По результатам исследования опубликовано 8 печатных работ, в том числе одна, входящая в перечень ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений, списка литературы, содержащего 94 наименования. Работа изложена на 127 страницах машинописного текста, содержит 80 рисунков и 3 таблицы.
Математическая модель автономного подводного аппарата
В отличие от линеаризованной модели водоизмещающего надводного судна, модель автономного подводного аппарата (АЛА) относится к разряду сложных нелинейных математических моделей. Основу модели АЛА составляют уравнения кинематики (6 дифференциальных уравнений), которые связывают угловые и линейные скорости АЛА с линейными и угловыми его координатами, а также уравнения динамики. Последние выражают зависимость угловых и линейных скоростей объекта управления от управляющих сил и моментом, создаваемых средствами управления МПО. Если в сравнении с процессами в МПО переходные процессы в средствах управления оказываются быстрыми, то их динамикой можно пренебречь. Это упрощает процесс построения системы управления МПО. В противном случае математическая модель должна быть дополнена также уравнениями управляющих устройств [1, 26, 27, 34, 53, 68, 69].
Рассмотрим математическую модель автономного подводного аппарата и выполним ее краткий анализ. Подводный аппарат, обладающий 6 степенями свободы, которым соответствуют три угловых и три линейных координаты. Кинематические уравнения вращательного движения АЛА, использующие углы Эйлера, имеют следующий вид [1, 26, 27, 34, 53]: d9 (covcosesm.ij/ + co,smws\ne) = 0)--—- : dt со у/ dcp __ {ay cosff + Q)z sinfl) dt cost// - — = o),cos0 + a)vsm0 dt .
При записи модели используются следующие переменные: О ср Ц/ - углы Эйлера, ((Dx,CQy,COz) - вектор угловой скорости, выраженной на проекциях на связанные оси координат. Кинематические уравнения переносного (линейного) движения АЛА имеют следующий вид: = Vx cos q cosy/ Vy cos ) cos sin + Vy sin sin# + dy dz dx dt + F2 cos #? sin у sin 0 + F, cos#sin# F,cosy/, + F ,cosi//xos#-F.,cosysin# (1-7) = -Vx cos #/ sin q + Vy cos # sin 0 + Vy cos в sin 7 sin + + F. cos p cos # - F2 cos sin sin в где кГ (x, jy, z)1 - координаты АПА в инерциальной системе, (VX,V ,VZ) — проекции вектора линейной скорости АПА на связанные с ним оси координат. Уравнения динамики АПА представляются следующей системой нелинейных дифференциальных уравнений 6-го порядка: {М + \,)УХ-Муса х+(М + )Vza y-(M + 0),+ + МусФхо)у + Р, sin y/ = Fx » (М + Vy + (М + 4i) , - (М + Лзз) , -Мус(&2 +( х ) + Pi cosy/cosd = Fy (M + Лзз)Гг + (M + ) , + Myca x -(М + Лі) ,+ + Myco)ycoz-Pl cosysinc9 = Fr » (1.8) ( + ) +(( +л44)-(./г+4)К«г +(Лі - зз) = Ч -Л Л НЛп-ЛнУУу +Mycgsm -Myc(yzcoy-VycDz) = Mz В модели (1.8) использованы следующие обозначения: М - масса АПА, JX,J ,JZ — главные моменты инерции АПА, Л і 21 Лзз присоединенные массы АПА, Л44, Л55, Л66 — присоединенные моменты инерции АПА FX,F FZ,MX,My,Mz — компоненты суммарного вектора силы и момента силы, действующие на АПА; Pt - плавучесть АПА, у с — метацентрическая высота. Математическую модель динамики МПО, представляющую собой уравнения Лагранжа, часто удобно записывать в виде [26]: D(q)q + B(q,q)q + G(q,q) = U , (5) где q - вектор обобщенных координат МПО, D — положительно-определенная матрица инерции МПО, составленная из массы и моментов инерции АПА, а также присоединенных масс воды и аналогичных моментов инерции, В — матрица, соответствующая центробежным и кориолисовым силам и моментам сил, G - вектор сил и моментов, определяемых весом и плавучестью МПО, а также вязким сопротивлением, U — вектор управляющих и других сил и моментов.
Очевидно, что математическая модель АПА относится к классу сложных динамических систем. Нелинейный характер уравнений выражается в наличии перекрестных произведений переменных, тригонометрических функций переменных состояния системы, нелинейностью сил и моментов, действующих на МПО как от органов управления (рулей), так и со стороны внешней среды.
В поведении АПА, как следует из приведенной математической модели, (1.6)-(1.8), имеется существенная взаимосвязь различных подсистем, особенно проявляющаяся при глубоком маневрировании. Таким образом, АЛА относится к классу многомерных управляемых динамических объектов. Другой особенностью АЛА является то, что его параметры имеют высокую степень неопределенности. Присоединенные моменты инерции, присоединенные массы, коэффициенты сил и моментов вязкого сопротивления зависят от множества факторов и теоретически могут быть оценены лишь грубо. Фактические их значения достоверно не известны вплоть до момента ввода МПО в практическую эксплуатацию. Между тем, для построения системы автоматического управления движением МПО информация о структуре и параметрах математической модели является чрезвычайно важной. Используемый в настоящей работе адаптивный подход к построению систем управления традиционно позволяет совместить во времени этапы исследования (идентификации) объекта и управления им. Преимущество адаптивного подхода к построению систем управления состоит также и в том, что в процессе эксплуатации управляемого объекта его характеристики могут изменяться непредсказуемым образом, например, с изменением условий плавания МПО, обрастанием корпуса, сменой загрузки и др. В связи с этим, адаптивный подход дает возможность в определенной мере сократить этапы проектирования систем автоматического управления МПО за счет отказа от построения слишком детальной математической модели МПО и части дорогостоящих экспериментальных исследований.
Линейная система управления движением МПО. Влияние нестационарности и параметрической неопределенности
Рассмотрим типовую систему автоматического управления движением по курсу водоизмещающего судна. Такие объекты относятся к важнейшим с практической точки зрения МПО. Для математического описания динамики судна использована модель Номото 2-го порядка, описанная в предыдущем разделе.
Как правило, закон управления, применяемый для управления курсом, реализуется ПИД-регулятором, имеющим передаточную функцию вида: Wp(s) = kn+kDs + ii-. (2.6) v s На рис. 2.1 показана структурная схема системы управления курсом судна. Сигнал рассогласования вычисляется как разница между программным значением курсового угла и его фактическим значением. Полученное значение преобразуется ПИД-регулятором и подается на вход рулевой машины. Здесь предполагается, что рулевая машина описывается линейными дифференциальными уравнениями (случай нелинейной рулевой машины рассмотрен далее). Рулевая машина поворачивает руль судна на угол 5. Передаточная функция объекта управления (судна) имеет вид: W (s) = k0(T0s + l) 2 7) 0 s(T,s + l)(T2s + l) Передаточная функция рулевой машины равна Wm(s) = -i—. (2.8) (TmS + 1)
Параметры рулевой машины являются известными и постоянными в отличие от параметров передаточной функции судна. В частности, параметр ко выражает момент силы, возникающий на руле и определяющий поворот судна вокруг вертикальной оси связанной системы координат. Из научно-технической литературы известно [1, 7, 26, 27], что зависимость момента, создаваемый рулем, от скорости движения судна (при прочих равных условиях) приблизительно квадратичная. Следовательно, с изменением скорости движения судна параметр ко будет изменяться в широких пределах.
Конкретные значения параметров передаточных функций судна, ПИД-регулятора и рулевой машины даны на структурной схеме (рис. 2.1), выполненной в среде математического моделирования Matlab Simulink. Здесь заданный курс обозначен как xd(t), фактическое значение курса судна — x(t). Положение руля 8(t) обозначено delta(t). Управляющее воздействие, формируемое регулятором — u(t).
На рис. 2.2 - 2.4 показаны графики переходных процессов в системе автоматического управления курсом при следующих номинальных значениях параметров судна ко Т0 ,Ti ,Т2 (табл.2.1):
Как видно из приведенных графиков, при номинальных значениях параметров и отработке программного курсового угла, равного 10 град., время переходного процесса приблизительно равно 75 с. Перерегулирование составляет около 38 %. Процесс достаточно хорошо демпфирован.
Максимальное отклонение руля составляет около 13 град. Максимальное значение выходного сигнала ПИД-регулятора составляет примерно 15 В. Все внутренние координаты системы управления быстро затухают. На рис. 2.5 - 2.7 показаны графики переходных процессов x(t), 5(t), u(t) в системе управления курсом при значении параметра Tm = 2. Это соответствует более инерционной рулевой машине. Скорость перекладки руля уменьшается. Рис. 2.2 — Курс судна при km=l. Как и следовало ожидать из физических соображений, время переходного процесса при отработке программного значений курса несколько увеличилось и составляет около 100 с.
При уменьшении скорости движения МПО эффективность действия рулей уменьшается. Это означает, что параметр математической модели судна ко является нестационарным. Более определенно, этот параметр уменьшается с уменьшением скорости судна. Рис. 2.8 - 2.10 дают примеры переходных процессов при уменьшении скорости судна вдвое. Из осциллограмм видно, что переходные процессы становятся затянутыми во времени.
При постоянных (фиксированных) параметрах ПИД-регулятора системы автоматического управления курсом судна его нестационарность существенно сказывается на качестве переходных процессов. Аналогичным образом влияет также параметрическая неопределенность объекта управления - МПО. На рис. 2.11 - 2.13 показано изменение (в сравнении с номинальными значениями параметров системы) характера переходных процессов при увеличении вдвое основной постоянной времени судна. Значение этого параметра определяется загрузкой судна, его геометрией и другими факторами. Априорное определение этого и других параметров МПО является затруднительным.
Влияние внешних возмущений на процессы управления МПО
Рассмотрим кратко вопрос влияния внешних возмущений на поведение автоматической системы управления движением МПО [51].
Как отмечалось в первом разделе, для морских подвижных объектов характерна работа в условиях ветровых и волновых возмущений. Из-за неидеальностеи корпуса судна, его асимметрии и других причин под воздействием, например, ветрового потока, на МПО может действовать момент силы, изменяющий курс судна. Такое возмущение можно привести к эквивалентному значению, к примеру, на руле.
В возмущающих воздействиях, как отмечалось, можно выделить регулярную составляющую (в частности, регулярное морское волнение) и нерегулярное возмущение. Последнее может быть представлено в виде белого шума, пропускаемого через некоторый формирующий фильтр.
На наш взгляд использование формирующего фильтра в рассматриваемом случае избыточно, поскольку МПО, традиционно обладающие значительными массогабаритными показателями, сами являются фильтром низких частот.
Действительно, исследование показывает, что высокочастотные нерегулярные составляющие внешних возмущений практически подавляются объектом управления. На рис. 2.29 показан пример возмущающего воздействия, приведенного к рулю судна.
Регулярная составляющая возмущающего воздействия представляла собой гармоническое колебание вида sin(0.31t). Нерегулярная составляющая -белый шум w(t) мощностью 0.1.
На рис. 2.30 - 2.32 приведены процессы, протекающие в системе управления курсом с нелинейной рулевой машиной. Из графиков видно, что с течением времени переходные процессы сводятся к периодическим колебаниям частоты регулярной составляющей внешнего возмущения.
Подобным же образом ведет себя и линейная система управления (с линейной рулевой машиной). Рис. 2.33 показывает сигнал рассогласования при отработке программной траектории e(t) и внешнее возмущение v(t)=sin0.31t+w(t). Видно, что устанавливаются периодические колебания с амплитудой, близкой к постоянной величине и частотой регулярной составляющей внешнего возмущения.
Исследование поведения традиционных систем автоматического управления движением на примере частного класса МПО — водоизмещающих судов и задачи управления курсом показало, что специфика этих управляемых динамических объектов существенно отражается на качестве переходных процессов.
Изменение режимов движения МПО ведет к нестационарности параметров математической модели управляемого объекта и при фиксированных коэффициентах настроек типовых регуляторов (ПИД-регуляторов, ПД- регуляторов и других) ведет к снижению качества управления и даже к потере устойчивости и работоспособности системы. Аналогичным образом на процессах управления сказывается нестационарность и параметрическая неопределенность МПО, которые связаны с отсутствием достоверной информации о массо-инерционных, геометрических характеристиках МПО, сложностью или даже невозможностью точного описания и учета влияния внешней водной среды, в том числе присоединенных масс и моментов инерции, сил и моментов вязкого сопротивления и др.
Ветро-волновые возмущения, действующие на МПО со стороны внешней среды, также снижают качество управления его движением. В силу инерционных свойств МПО высокочастотные нерегулярные составляющие внешнего возмущения в значительной мере подавляются объектом управления. Основное влияние оказывает низкочастотная регулярная часть внешнего возмущения, приводящая к возникновению гармонической компоненты в сигнале ошибки слежения за программной траекторией.
Рассмотренные выше математические модели морских подвижных объектов демонстрируют непостоянство, изменчивость их характеристик, которые отрицательным образом сказываются на динамике систем автоматического управления с традиционными видами регуляторов, которые реализуют ПИД, ПД и другие классические виды законов формирования управляющих воздействий. Как правило, параметры управляющих устройств являются постоянными, в связи с чем оказывается невозможным поддержание высокого качества переходных процессов в системе из-за изменения параметров МПО при его движении.
Современная теория и практика автоматического управления предлагает ряд подходов к обеспечению высокого качества систем (процессов), которые целесообразно применять и развивать применительно к МПО. К числу основных направлений, перспективных для решения рассматриваемых задач, относится, в первую очередь, адаптивное управление. Теория и практические приложения адаптивного управления активно развивались и продолжают развиваться в работах отечественных и зарубежных исследователей [2, 5, 9, 13—17, 30, 31, 43-46, 61-63, 71, 72].
Сущность адаптивного управления заключается в одновременном изучении динамического объекта и формировании воздействий на него. При этом в ходе движения системы параметры управляющего устройства (алгоритма) изменяются таким образом, чтобы обеспечить желаемое качество переходных процессов. Последнее может задаваться с помощью (явной или неявной) эталонной модели (примеры эталонных моделей даны в разделе 2).
Близким к адаптивному управлению оказывается направление, связанное с применением нейронных сетей для управления динамическими объектами [11-13, 16-19, 24, 25, 32, 33, 42, 54, 57-60, 64, 70, 73, 75-86, 88, 90-92, 94].
Нелинейное управление МПО с неявной эталонной моделью
Построение системы управления МПО базируется на принятой модели. Как показывает обзор литературы, математические модели современных МПО характеризуются высокой степенью сложности, к факторам которой относятся многомерность, нелинейность, большой порядок модели и др. Для подобных объектов аналитический синтез закона управления связан со значительными трудностями вычислительного характера.
Перспективными методами синтеза подобных сложных систем являются такие, которые допускают практически полную формализацию и, в перспективе, автоматизацию процесса построения управления. Примером подобного хорошо формализованного метода синтеза систем является линеаризация с помощью нелинейных обратных связей (nonlinear feedback linearization, NFL) [8, ЗО, 55, 74]. К достоинствам этого метода следует отнести возможность построения законов управления, обеспечивающих желаемую эталонную динамику процессов, назначаемую разработчиком системы управления, и декомпозицию системы на независимые подсистемы.
Целью настоящего раздела является анализ возможности создания специального программного обеспечения, для автоматизации процесса построения системы управления движением МПО, которое позволяет на основе метода NFL по модели нелинейного многомерного динамического объекта, заданной аналитически, получать закон управления в символьной форме и, при необходимости, выполнять математическое моделирование полученной системы управления.
Рассмотрим кратко суть метода NFL [74]. Математическая модель стационарного динамического объекта управления представлена следующими уравнениями x = f(x) + g(x)u, У = h{x), где х = (хх,...хп) , и = (wlv..wm) , У = (Уі,—Ут) — соответственно векторы состояния, управления, и выхода, f(x), h(x), g(x) — гладкие вектор — функции и матрица размерностью п, ШЙЙХ/Й соответственно. Согласно методу NFL [74], закон управления вида и = А х 0)0 - Г(х)) (4.8) обеспечивает линеаризацию исходной системы относительно выхода у и нового управления w.
Матрица декомпозиции А(х) и вектор Г(х) в (4.8) вычисляются следующим образом: где r = (rlv..rm) - вектор так называемых относительных степеней, w = (wx,...wm) - новое управление, Lfhj{x) - производная функции hj(x) вдоль векторного поля f(x), определенная как ы\ дх( Суть линеаризации состоит в том, что управление с обратной связью вида (4.8) преобразовывает нелинейную систему (4.7) в т цепочек ri последовательно соединенных интеграторов. Входом /-й цепочки является W;, а выходом - у.. Таким образом, вход и выход системы удовлетворяют простейшему дифференциальному уравнению: у,= ,. (i=l,...m) (4.11) Обозначим yd (t) и e(t) = yd (t) — y(t) соответственно желаемую траекторию движения системы и ошибку слежения. Выбор нового управления w в виде / = yJr,) + V,(r _1) +...+V- (4Л2 и надлежащих коэффициентов кг, очевидно, позволяет обеспечить асимптотическое стремление ошибки слежения к нулю.
Уравнения (4.11) - (4.12) определяют неявную линейную эталонную модель движения (в частности, МПО).
С увеличением сложности МПО «ручное» получение закона управления в соответствии с приведенными соотношениями становиться чрезвычайно трудоемким или даже фактически не выполнимым. Использование современных пакетов символьных вычислений, позволяет существенно облегчить решение этой задачи. В данной работе для выполнения аналитического (символьного) синтеза нелинейного управления была использована среда Maple. Созданный программный комплекс [65] состоит из набора модулей, запускаемых последовательно, и обеспечивает поэтапное решение следующих задач: 1. Ввод в символьной форме модели динамического объекта управления; приведение модели к виду (1); формирование вектора f(x) и матрицы g(x) (параметризация); 2. Задание программной траектории yd {f); 3. Вычисление вектора относительных степеней; 4. Символьное вычисление матрицы декомпозиции А(х) и вектора Дх); 5. Символьное вычисление управления и; 6. Символьное вычисление нового управления w; 7. Подстановка полученного символьного выражения для закона управления в модель системы; построение набора matlab-файлов для последующего моделирования системы в среде Matlab; 8. Ввод числовых параметров модели, задание коэффициентов, определяющих эталонную динамику ошибки слежения; моделирование полной системы; графический вывод результатов.
