Содержание к диссертации
Введение
1 Параметры вращения Земли 9
1.1 Физика неравномерности вращения Земли и движения полюсов 9
1.2 Особенности глобальной атмосферной циркуляции 24
1.3 Озоновый слой Земли 27
1.4 Обзор методов исследования временных рядов 31
1.4.1 Тренд и его анализ 33
1.4.2 Анализ периодических колебаний 36
2 Анализ параметров вращения Земли, представляемых IERS 45
2.1 Методы исследований нестабильности вращения Земли 45
2.2 Обзор данных IERS по вращению Земли 56
2.3 Анализ точности прогноза IERS положения полюса Земли 61
2.4 Анализ точности прогноза IERS длительности суток 66
3 Исследование параметров вращения Земли 73
3.1 Анализ отклонения длительности суток от эталона 73
3.2 Анализ изменения координат полюса Земли 84
4 Прогноз параметров вращения Земли 92
4.1 Прогноз отклонения длительности суток от эталона 92
4.2 Прогноз координат полюса Земли 99 Выводы по диссертации 104
Список использованных источников 106
Приложения 120
- Особенности глобальной атмосферной циркуляции
- Тренд и его анализ
- Обзор данных IERS по вращению Земли
- Анализ отклонения длительности суток от эталона
Введение к работе
Актуальность темы. Глобальные навигационные спутниковые системы (ГНСС) предназначены для определения координат и скорости различных объектов. В настоящий момент существуют две глобальные системы: ГЛОНАСС (Россия) и NAVSTAR - GPS (США). Система ГЛОНАСС позволяет определить координаты объекта с точностью до 20 м. Система GPS в гражданском применении позволяет определить координаты объекта с точностью до 57-70 м. Используемый ВМФ США точный Р-код предоставляет возможности по позиционированию с точностью до 20 м. ARGOS - единственная всемирная спутниковая система, созданная для изучения природной среды согласно соглашению между Францией и Соединенными Штатами, определяет координаты объектов с точностью до 150 м.
При использовании спутниковых навигационных систем ГЛОНАСС, GPS, ARGOS требуется знать параметры орбит навигационных космических аппаратов (НКА). Эти параметры заблаговременно определяют наземными средствами и передают на борт НКА, откуда в составе навигационного сообщения поступают в навигационную аппаратуру пользователя. К числу навигационных параметров, кроме прочих, относят положение полюсов Земли в инерциальной системе координат и шкалу времени, так как для наземного наблюдателя смещение полюсов равносильно изменению положения орбиты НКА, а изменение шкалы времени равносильно изменению периода обращения НКА. Неучтенное смещение полюсов Земли на 1 м приводит к такой же погрешности в определении координат с помощью НКА. Неучтенное отклонение всемирного времени от эталона на 1 мс на широте Красноярска приводит к погрешности в определении долготы на 0,38 м в сутки, за 10 суток накопится погрешность в 3,8 м.
Исследованием и прогнозом параметров вращения Земли (ПВЗ) занимается Международная служба вращения Земли IERS (МСВЗ - IERS -International Earth Rotation Service), эти данные доступны в сети Интернет [1, 2]. В России исследует ПВЗ и дает прогноз Институт прикладной астрономии
РАН (ИЛА), работающий совместно с IERS. С 2005 г. данные ИПА также доступны в сети Интернет [3]. Хотя IERS дает прогноз на год, например, предсказание отклонения всемирного времени от эталона с погрешностью менее 1 мс достигается только при заблаговременности в нескольких дней. Такое же качество прогноза обеспечивает ИПА.
Повышение точности и заблаговременности прогноза ПВЗ является актуальной научной и практической задачей.
Ниже обозначено: 5Р = TAI-UT1 - разность между временем TAI, определяемым с помощью квантового эталона частоты и времени (атомным временем) и всемирным временем UT1.
Объект и задачи исследования. Объектом исследования являются временные ряды координат полюса Земли и величины 8Р по данным IERS и ИПА [1, 2, 3]. Кроме того, исследуются ежедневные и среднемесячные цифровые карты глобального распределения общего содержания озона (ОСО) в атмосфере по данным, полученным с помощью искусственных спутников Земли TOMS/ЕР и AURA [4].
Задачей исследования является анализ данных ПВЗ, а именно данных о координатах полюса и величине SP; анализ динамики стратосферы и атмосферы в целом по картам ОСО; поиск корреляционных зависимостей между 5Р и параметрами, характеризующими динамику атмосферы; анализ существующих методов прогноза координат полюса и величины 8Р\ создание эффективной независимой методики прогноза координат полюса и 8Р с использованием глобальных данных об ОСО как предиктора.
Использованный метод. Для анализа ПВЗ использован метод сингулярного спектрального анализа; анализ динамики стратосферы по картам ОСО осуществлялся методами теории случайных полей; связь между ПВЗ и динамикой стратосферы исследовалась методами математической статистики; для прогнозов использованы полиномиальные приближения, авторегрессионные схемы и нейросетевые технологии.
Основные цели работы
Исследовать точность прогноза координат полюса Земли и величины отклонения длительности суток от эталонных 8Р, публикуемого Международной службой вращения Земли IERS.
Исследовать временные ряды координат полюса Земли и величины отклонения длительности суток от эталонных SP с использование нового математического аппарата - сингулярного спектрального анализа.
Провести анализ связи ПВЗ и динамики атмосферы. Поиск корреляционных зависимостей между SP и параметрами поля общего содержания озона как индикатора динамики атмосферы.
Разработать методику прогноза данных ПВЗ, а именно данных о координатах полюса и величины отклонения длительности суток от эталонных SP с использованием нейросетевых технологий.
Положения, выносимые на защиту и научная новизна
Получен временной ряд SP, который, при исключении из него приливных членов, содержит тренд, интенсивную гармонику с периодом около 15 лет, годовую с периодом 365,1+0,02 дня, полугодовую с периодом 182,71+0,02 дня гармоники и ряд слабых квазигармонических колебаний с периодом от 2 до 8 лет.
Установлено, что ряды координат хну полюса содержат годовые гармоники с периодами 363,71+0,02 суток (х) и 364,57+0,02 суток (у), чандле-ровские гармоники с периодами 433,71+0,02 суток (х) и 433,78+0,02 (у), тренды и более слабые гармоники. Разработана уточненная модель движения полюса.
Существует высокая степень корреляции между годовой спектральной составляющей величины SP и средним ОСО в поясе 40 - 60 с.ш., причем изменения среднего ОСО в этом поясе опережают изменения годовой гармоники величины 5Р на пять месяцев. Период изменения ОСО в этом поясе равен также 365,1+0,07 дня. Это позволяет использовать данные о среднем ОСО как предиктор.
4. На основании нейросетевой технологии создана методика прогноза координат полюса и величины отклонения длительности суток от эталонных SP с использованием разработанных моделей и учебника. Методика позволяет обеспечить заблаговременность предоставления координат полюса с точностью 0,015 угловых секунд в среднем 70 дней при среднеквадра-тическом отклонении 21 день, заблаговременность предоставления прогноза 8Р с точностью 1 мс в среднем 18 дней при среднеквадратическом отклонении 2 дня.
Теоретическая и практическая значимость диссертационной работы
заключается в:
установлении новых закономерностей динамики ПВЗ;
нахождении взаимосвязи ПВЗ и параметров озонового слоя Земли;
повышении точности и заблаговременности прогноза ПВЗ для спутниковых навигационных систем.
Полученные результаты внедрены в ИРЭ Красноярском государственном техническом университете и в НИИ Радиотехники КГТУ.
Достоверность результатов работы подтверждается корректным использованием математических методов обработки и прогноза временных рядов и случайных полей; сравнением результатов прогноза с экспериментальными данными; сравнением с результатами, опубликованными в литературе.
Личный вклад. Автором впервые предложены и использованы методы анализа ПВЗ на базе сингулярного спектрального анализа, исследована связь ПВЗ и динамики озонового слоя Земли; разработана методика прогноза ПВЗ с использованием нейронных сетей.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:
1. X объединенный международный симпозиум «Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы» (Томск, 2003 г.);
Всероссийская конференция научно-практическая конференция «Достижения науки и техники - развитию сибирских регионов». (Красноярск, 2003 г.)
Всероссийская научно-техническая конференция молодых ученых и студентов «СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ», посвященная 108-й годовщине ДНЯ РАДИО (Красноярск, 2003 г.)
Всероссийской научно-технической конференции «Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий» (Улан-Удэ, 2003 г.)
Нейроинформатика и ее приложения: XI всероссийского семинар (Красноярск, 2003 г.);
Всероссийская научно-техническая конференция молодых ученых и студентов «СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ», посвященная 109-й годовщине ДНЯ РАДИО (Красноярск, 2004 г.);
Международная научно-практическая конференция "Сибирский авиакосмический салон" (САКС-2004) (Красноярск, 2004 г.);
VIII Всероссийская научная конференция с международным участием «Решетневские чтения». (Красноярск, 2004 г.);
II Всесибирский конгресс женщин-математиков (в день рождения Софьи Васильевны Ковалевской) (Красноярск, 2004 г.);
Ю.Всероссийская научно-техническая конференция молодых ученых и студентов «СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ», посвященная 111-й годовщине ДНЯ РАДИО (Красноярск, 2006 г.);
11 .Межрегиональная научно-практическая конференция «Инновационное развитие регионов Сибири» (Красноярск, 2006 г.);
12.ХШ объединенный международный симпозиум «Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы» (Томск, 2006 г.);
13.12-я Международная научно-практическая конференция «ПРИРОДНЫЕ И ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ СИБИРИ»(Томск, 2006 г.);
Н.Международная научно-техническая конференция и Российская научная школа молодых ученых и специалистов «СИСТЕМНЫЕ ПРОБЛЕМЫ НАДЁЖНОСТИ, КАЧЕСТВА, ИНФОРМАЦИОННЫХ И ЭЛЕКТРОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ИННОВАЦИОННЫХ ПРОЕКТАХ» (Сочи, 2006
г.);
15.ХШ Международный симпозиум «Сложные системы в экстремальных условиях» (Красноярск, 2006 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ.
Особенности глобальной атмосферной циркуляции
Под глобальной (общей) циркуляцией атмосферы понимают совокупность основных воздушных течений в тропосфере, стратосфере и мезо-сфере [19,20,21]. Общая циркуляция атмосферы есть совокупность основных видов движений, благодаря которым осуществляется обмен больших масс воздуха в горизонтальном и вертикальном направлениях в нижних трех сферах. К основным крупномасштабным атмосферным движениям относятся воздушные течения, обусловленные разностью температур между различными широтами, в том числе струйные течения и циркуляция воздуха в системе циклонов и антициклонов. К ним можно отнести также пассаты и муссоны.
Именно эти виды воздушных течений играют важную роль в формировании погоды и климата Земли. Более мелкие по своим масштабам движения, такие, как шквалы, смерчи, бризы, горно-долинные ветры и др., имеют местное значение и хотя характерны для определенных географических районов, однако не могут оказать существенного влияния на режим общей циркуляции атмосферы. Обычно эти мелкие по масштабам движения (бризы, горно-долинные ветры) нарушаются под влиянием крупномасштабной циркуляции или, наоборот, зарождаются под ее влиянием (смерчи, шквалы и др.) [22,23].
К сожалению, из-за недостатка данных наблюдений на больших высотах, при изучении общей циркуляции атмосферы главное внимание обычно сосредоточивается на тропосфере, где формируются погодообразующие процессы.
В многообразии видов атмосферных процессов трудно определить точные их аналоги или установить закономерности в последовательности смены одних процессов другими. Существуют различные принципы типизации процессов [24,25]. Одна из них предложена Г. Я. Вангеймером в последующем усовершенствованная совместно с А. А. Гирсом [26]. Типизация производилась ими с учетом характера процессов на всем северном полушарии с привлечением карт барической топографии.
Типизация макросиноптических процессов, разработанная Г. Я. Вангеймером (1932 - 1935 гг.) основана на понятии элементарного синоптического процесса (ЭСП), в течение которого в данном географическом районе сохраняются основные направления воздушных течений и, знак барического поля. Все виды процессов согласно преобладающему переносу в тропосфере умеренных широт были сгруппированы в три типа: один из них отражает западный (IV), другой — восточный (Е) и третий — меридиональный (С) перенос. При западной форме циркуляции W, характерны быстро движущиеся с запада на восток волны малой амплитуды. Типами циркуляции Си Е характеризуют меридиональную циркуляцию атмосферы. Они отличаются хорошо выраженными высотными гребнями и ложбинами. При форме С хорошо осуществляется макротурбулентный обмен. Тип Е отличается от С тем, что на месте основных гребней находятся ложбины и наоборот. Все три типа имеют разновидности, которые определяются положением высотных фронтальных зон, гребней и ложбин.
Н.С. Сидоренковым [5] рассмотрены многолетние колебания форм циркуляции С и W+E за период с 1891-1981 г., они сопоставлены с межгодовые изменения скорости вращения Земли. Автор сопоставил данные о вращении Земли с атмосферной циркуляцией. Показана существенная связь дол-гопериодической неравномерности вращения Земли с флуктуациями глобального водообмена.
Широкое применение находит также методы типизации макропроцессов, разработанных Б.Л. Дзердзеевским [27]. Типизация макропроцессов, разработанная Б.Л. Дзердзеевским, охватывает все северное полушарие и основана на учете меридиональных преобразований, сопровождающихся вторжениями холода из Арктики. Все многообразие форм циркуляции на северном полушарии выражено 13 типами. Средняя продолжительность про цессов, названных элементарными циркуляционными механизмами, колеблется в пределах 3-5 суток. В зависимости от повторяемости типов по месяцам определена их сезонная принадлежность. Одни типы чаще повторяются в зимние и весенние месяцы, другие летом и т.п. Рассмотренные способы типизации имеют качественный подход к определению типов, во всех случаях используются карты барической топографии. По принципу преобладающего переноса в тропосфере выделены следующие обобщенные группы циркуляции атмосферы: широтная западная (ШЗ), долготная северная (ДС), долготная южная (ДЮ), широтная западная и долготная южная (ШЗДЮ), широтная западная и стационарное положение (ШЗСП), долготная северная и стационарно положение (ДССП), долготная северная и широтная западная (ДСШЗ), долготная северная и долготная южная (ДСДЮ), долготная южная и стационарное положение (ДЮСП).
С конца февраля по май в средних широтах северного полушария и с конца августа по конец ноября в южном полушарии образуются циркумполярные вихри - устойчивые циклоны в тропосфере и нижней стратосфере [28,29]. Их формирование обусловлено наличием в полярной области очагов холода, а в тропической зоне - очагов тепла. Циркумполярное движение и его проявление - западный перенос представляют устойчивую и характерную особенность общей атмосферной циркуляции. Весной происходит перенос воздушных масс из высоких широт к средним широтам. Сила Кориолиса «закручивает» эти массы в кольцо - циркумполярный вихрь [30,31]. Циркумполярный вихрь вращается с запада на восток, а Земля - с востока на запад. Поэтому весной циркумполярный вихрь тормозит вращение Земли. Особенно это сказывается в Северном полушарии, где в средних широтах присутствуют материки с мощными горными хребтами. Ветер давит на горы, имеет место трение воздуха о поверхность Земли [12].
Тренд и его анализ
В ряде случаев, когда теория не может указать явный вид тренда как функции времени, тем не менее, бывает, возможно, приблизить тренд полиномом от t достаточно низкой степени. Тренд f(t) будет представлен следующим образом: f(t) = b0 + b,t + b2t2+... + bnt\ (1.4.1.1) где b0) blf..,bn - коэффициенты полинома, п - показатель степени полинома. Полиномиальный тренд есть в первую очередь средство описания. Он содержит в сжатой форме общие характеристики ряда. Для использования тренда в этом качестве полином должен иметь достаточно низкую степень. Во многих случаях коэффициентам полинома нельзя придать никакого реального смысла. Такой полином служит заменой гораздо более сложной (но неизвестной) функцией времени. Подобранный полином обычно может быть использован для интерполяции, однако использовать его для экстраполяции следует с осторожностью, поскольку вопрос о качестве приближения рассматриваемого тренда данным полиномом не может быть решен исходя из наблюденных значений.
Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяют следующие функции: а) линейный тренд: f(t) = а + Ы; б) полиномы различных степеней:/ =bo + bit + b2t2 +...+ bnf; в) гипербола: f(t) = a + b/f, г) экспоненциальный тренд: f(t) = еа+ы; д) тренд в форме степенной функции:/ = atk. Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным методом наименьших квадратов [60,62], использую в качестве независимой переменной время t=l,2,...,n, а в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного pnj\af(t).
Однозначного выбора того или иного семейства функций для анализа тренда не существует. Требуется предварительный анализ структуры исходных данных и задач, поставленных перед исследователем.
Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации. Часто тренд хоть и является гладкой функцией времени, все же невозможно представить простой функцией на всем рассматриваемом интервале, так как он флуктуирует на коротком интервале времени, хоть и незначительно. Это приводит к тому, что требуется процедура сглаживания. Сглаживание временного ряда означает представление тренда в данной точке посредством взвешенного среднего значений, наблюдаемых в окрестности этой точки. При этом считается, что наблюдаемые значения являются суммой тренда и случайной ошибки. Грубо говоря, взвешенное среднее тренда совпадает со значением самого тренда в данной точке, а взвешенное среднее случайных составляющих имеет тенденцию становить весьма малой величиной (предполагается, что случайные составляющие независимы и имеют нулевые математические ожидания). Поэтому взвешенное среднее наблюдаемых значений будет оценивать тренд. Оно определяется для каждого момента времени, за исключением нескольких первых и нескольких последних точек. Тем самым довольно нерегулярный график наблюдений заменяется гладким графиком скользящего среднего [54].
Одной из методик выделения трендов временных рядов является аппроксимация сплайн-функциями [63,64]. Используя метод наименьших квадратов, можно получить полином, наиболее хорошо (среди полиномов) отражающий эволюцию членов ряда (иначе говоря, осуществить "выравнивание" членов ряда методом наименьших квадратов). В то же время ясно, что для того, чтобы получить удовле творительную кривую тренда, мы должны взять полином весьма высокого порядка или даже несколько более сложную функцию, чем полином. В любом случае коэффициенты полинома, будучи основаны на моментах высокого порядка, были бы очень неустойчивы с точки зрения выборочных ошибок. Более практичное возражение, хотя никоим образом не маловажное, состоит в том, что добавление к ряду нового члена вновь влечет за собой работу по аппроксимации. Более того, характер тренда может меняться со временем.
Необходимость одновременного использования и полиномов низкой степени, и больших временных интервалов приводит к сплайновым моделям трендов временных рядов. Разобьем ось времени на непересекающиеся примыкающие друг к другу интервалы длины 7]. На каждом таком интервале представим тренд в виде отрезка прямой так, что конец предыдущего отрезка является началом следующего.
Очень часто эта форма оказывается более удобной. Графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретной периодической составляющей ряда принято называть спектральной диаграммой такой составляю щей. Существуют амплитудные и фазовые спектральные диаграммы. Очень часто больший интерес представляют амплитудные диаграммы, они позволяю судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре.
Новым методом анализа временных рядов является метод сингулярного спектрального анализа (ССА), позволяющий достаточно точно изучать как периодические составляющие, так и линию тренда. Метод ССА и пакет прикладных программ «Гусеница» CaterpillarSSA 3.30, разработан в Санкт-Петербургском государственном университете Д.Л. Даниловым, К.А. Брау-ловым, Н.Э. Голяндиной в 90-х годах XX века [65,66].
Обзор данных IERS по вращению Земли
Международная служба вращения Земли IERS со штаб-квартирой в Париже предоставляет своим пользователям информацию по нестабильно-стям вращения Земли через сеть Интернет. Информация, публикуемая IERS, сосредоточена в четырех бюллетенях: А, В, С и D [1,2].
Бюллетень А издается Обсерваторией ВМС США в рамках IERS и содержит в себе последние установленные ежедневные значения координат полюса, UT1-UTC, а также нутации Земли, основанные на результатах комбинированного анализа с использованием данных, полученных с радиоинтерферометров со сверхдлинными базами (РСДБ), лазерной локации спутников (ЛЛС), лазерной локации Луны (ЛЛЛ), системы глобального позиционирования (GPS). В данном бюллетене также публикуются предсказания параметров вращения Земли на год вперед, рассчитанные с использованием прогностических математических моделей. Последние выпуски данных обновляются еженедельно по четвергам. Устаревшие на данный момент времени выпуски сводятся в архив данных, который также представлен на сайте.
На страницах бюллетеня А представлены [2]: - основная информация, состоящая из даты и номера бюллетеня, а также основных формул и необходимых пояснений; - результаты комбинированного анализа значений UT1-UTC их, у координат полюса, на предыдущую неделю с абсолютной ошибкой анализа относительно реально данных; - примерные прогностические математические модели для параметров UT1-UTC их, у координат полюса; - предсказания параметров UT1-UTC их, у координат полюса на год, полученные с использованием моделей, сходных с публикуемыми, но точно им соответствующим (каждый новый выпуск пополняется новыми формулами, которыми предлагается воспользоваться для дальнейшего удлинения прогноза в будущее); - далее предоставляется информация об усовершенствованиях и нововведениях в расчетах и публикациях астрономических наблюдений, а также ссылки на необходимые источники.
Далее найденные коэффициенты {Aij, {Bij подставляются в уравнения и вычисляются значения x(t), y(t). Естественно, что на интервале [tO, t4J известные и вычисленные значения совпадают с хорошей точностью; на этапе прогноза при t t4 через некоторое время эти значения расходятся. Рассмотрим точности прогноза с использованием такой методики.
Прогноз координаты х IERS с точностью с 0,015 угловых секунды, или в дальнейшем - правильный прогноз представлен за 2005 г. на рисунке 2.3.1. По оси абсцисс отложено количество дней на котором прогноз координаты д; не превышает 0,015 угловых секунды, а по оси ординат - число таких прогнозов в течении года. (Всего IERS в 2005 году выдано 47 прогнозов [2]).
По полученным результатам можно отметить, что прогнозы, выданные в весенние и осенние месяцы, достигают требуемую точность на наименьших интервалах времени. Минимальный интервал продолжительности прогноза с требуемой точностью для координаты х полюса - 15 дней представлен прогнозом IERS от 03 ноября 2005 г (рисунок 2.3.1). Минимальный интервал продолжительности прогноза с требуемой точностью для координаты для координаты у полюса - 25 дней представлен прогнозом IERS от 23 ноября 2005 г. (рисунок 2.3.2). Максимальные интервалы прогноза с точность 0,015 угловых секунд для координат х ,у достигаются в прогнозах: х - прогноз от 2 июня 2005 г. (111 дней); у - прогноз от 18 августа 2005 г. (138 дней). Важно заметить нестабильность осенних прогнозов [101,102].
Анализ отклонения длительности суток от эталона
Для повышения точности прогнозирования параметров вращения Земли необходимы тщательный анализ рядов х, у, SP. Ранее такой анализ проводился с использованием дискретного преобразования Фурье [5]. В настоящей работе анализ проведен с новых позиций, с использованием сингулярного спектрального анализа. В качестве исходных данных отклонения длительности земных суток от эталонных использовались ежедневные величины ряда SP = (UTR - ТАГ) за период 1973 - 2006 гг., а также величины ряда 5Р = (С/77 - ТАГ) за тот же период. Второй ряд отличается от первого тем, что в нём присутствуют приливные гармоники с периодом короче 35 суток, т.е. гармоники, обусловленные влиянием Луны. В настоящей работе из первого ряда вычитались также приливные гармоники солнечного происхождения с периодами 0,5 года, 1 год, 9,3 года и 18,6 года, которые были вычислены по методике IERS [2]. Ниже рассмотрены результаты обработки первого ряда.
Для обработки рядов SP был использован пакет прикладных программ CaterpillarSSA 3.30 [103,104]. Во всех случаях длина «Гусеницы» выбиралась максимальной и равной половине длины исследуемого ряда. На рисунке 3.1.1 приведены графики ортогональных пар собственных векторов ряда 1997 -2005 гг. Эти векторы были использованы программой «Гусеница» как передаточные функции соответствующих фильтров [106,107].
На рисунке 3.1.1 А показаны собственные векторы, позволяющие выделять тренд. Эти векторы отвечают собственным числам А,) и А,2, на которые в сумме приходится 99,991% «общей информации». График на рисунке 3.1.1 Б показывает собственные векторы, позволяющие выделять годовую неприливную гармонику (период 365,25 года). На соответствующие собственные числа А-з и А»4 приходится около 0,006% информации.
График на рисунке 3.1.1В показывает собственные векторы, позволяющие уточнять концы тренда, на собственные числа Х5 и А.6 приходится около 0,002% информации. На рисунке 3.1.1 Г показаны собственные векторы - передаточные функции фильтров полугодовой неприливной гармоники.
Одной из проблем, возникающих при гармоническом анализе временных рядов с трендом при разрывах на концах, является эффект Гиббса [54,105]. Несмотря на наличие информации о концах тренда, «Гусеница» полностью не устраняет этот эффект. Влияние эффекта Гиббса можно видеть на рисунке 3.1.2 (искажение синусоиды в начале, в конце, а также и в середине графика).
Методами математического моделирования были исследовано влияние эффекта Гиббса при выделении тренда различными методами. Тренд выделялся полиномом некоторой степени по методу наименьших квадратов; скользящим окно косинусной формы; с использованием сингулярного спектрального анализа. Так как сглаживание модельного ряда с трендом в виде полинома второй степени полиномом этой же степени дало практически идеальный результат, в дальнейшем использовалась более сложная и реалистичная модель тренда - в виде отрезка синусоиды. На рисунке 3.1.3 показана модель ряда 8Р = (UTR - ТАГ), где тренд описывается отрезком синусоиды, присутствует сумма двух синусоидальных сигналов, моделирующих годовую и полугодовую гармоники. Амплитуды всех синусоид близки к реальным данным.
На рисункеЗ.1.4 приведены графики ошибки выделения тренда различными методами. Первоначально длина ряда составляла 3000 отсчетов. Выделение тренда полиномом второй и третьей степени привело к значительным ошибкам, лучший результат дал полином четвертой степени, но и этот результат неудовлетворительный. Неудовлетворительным оказался также результат сглаживания скользящим косинусным окном с апертурой, превосходящей в 2,5 раза длительность модельной годовой гармоники. Несколько лучший результат дал сингулярный спектральный анализ исходного ряда длиной в 3000 отсчетов, однако из-за эффекта Гиббса возникли выбросы в начале и в конце ряда и колебания в его середине. Далее рассматривается применение сингулярного спектрального анализа. Для минимизации влияния эффекта Гиббса был использован следующий прием. С помощью «Гусеницы» осуществлялся прогноз ряда на 1000 шагов вперед; возможно также продолжение ряда назад, но оно не использовалось. Точка начала продолжения ряда показана на рисунке 3.1.4. Как видно из рисунка 3.1.4, выброс из окрестности отсчетов 2700 - 3000 отодвинулся в конец ряда; амплитуда колебаний в середине ряда уменьшилась из-за того, что сузилась полоса пропускания при фильтрации. В пределах отсчетов от 1000 до 3000 амплитуда колебаний составляет не более 0,2 мс. Ниже обрабатывались реальные ряды наблюдений длиной 12324 дня, которые продолжались на 1000 дней вперед. На интервале времени в 11250 дней амплитуда колебаний составила менее 0,05 мс.
Выделение сезонных составляющих из модельного ряда Рассмотрим результаты анализа реального ряда SP = (UT1 - ТАЇ), в котором присутствуют все приливные гармоники. Был проведен гармонический анализ временного ряда величин дР с использованием дискретного быстрого преобразования Фурье, для оценки спектра мощности построены периодограммы. Периодограмма вычислялась как квадрат модуля дискретного преобразования Фурье от исходного ряда, деленный на длину ряда N. На рисунках 3.1.6 и 3.1.7 показаны периодограммы ряда величин 5Р, интервал с 1991 по 2006 год. На рисунке 3.1.6 отмечены номера лунных и солнечных гармоник. На рисунке 3.1.7 отмечены положение первой (годовая) и второй (полугодовая) солнечных гармоник, однако на эти гармоники накладываются годовая и полугодовая неприливные гармоники.
