Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА1. Состояние вопроса 13
1.1. Водные замечания 13
1.2. О предельных состояниях и методе предельного равновесия 13
1.2.1. Предельные состояния 13
1.2.2. Метод предельного равновесия 16
1.3. О развитии теории и назначении уровня надежности 20
1.3.1. Основные этапы развития теории надежности 20
1.3.2. Назначение уровня надежности 25
1.4. О методах оценки и показателях надежности технических систем 29
1.4.1. Методы оценки безотказности 29
1.4.2. Долговечность 34
1.5. О надежности железобетонных конструкций 35
1.5.1. Определяющие факторы надежности 35
1.5.2. Кривые распределения случайных величин 40
1.6. Оптимизация строительных систем 43
1.6.1. Этапы развития теории оптимизации строительных конструкций 43
1.6.2. Проблемы и направления развития теории оптимизации строительных систем 49
1.6.3. Методы и критерии оптимизации строительных систем . 53
1.7. Основные результаты раздела 68
ГЛАВА 2. Методы и методика исследования 70
2.1. Водные замечания 70
2.2. Метод предельных состояний 71
2.2.1. Условия образования пластических шарниров в упругопластических системах 71
2.2.2. Определение усилий в строительных системах 73
2.2.3. Особенности проведения вероятностных расчетов сечений железобетонных элементов с учетом требований предельных состояний 82
2.3. Метод статистических испытаний 85
2.3.1. Алгоритм метода 85
2.3.2. Исходные данные 89
2.4. Логико-вероятностные методы 90
2.4.1. Общие положения 90
2.4.2. Метод ортогонализации при оценке надежности строительных систем 93
2.4.3. Критерии анализа структурной надежности строительных систем 97
2.4.4. Структурные составляющие надежности строительных систем 105
2.5. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов при оптимизации железобетонных конструкций 109
2.6. Методы оценки долговечности железобетонных конструкций 119
2.7. Основные результаты раздела 127
ГЛАВА 3. Оптимизация балочных систем 129
3.1. Водные замечания 129
3.2. Надежность сечений 130
3.2.1. Сечения прямоугольные и тавровые со сжатой полкой с одиночным и двойным армированием 130
3.2.2. Сечения предварительно напряженных конструкций 146
3.3. Надежность статически неопределимых балок 147
3.3.1. Неразрезные балки с шарнирными опорами по краям 147
3.3.2. Консольные неразрезные балки 164
3.3.3. Многопролетные балки с жесткими опорами (защемлениями) по краям 166
3.4. Неразрезные балки при переменном нагружении 167
3.5. Оптимизация систем на основе анализа структурной надежности 174
3.5.1. "Вес" сечений в надежности системы 174
3.5.2. "Значимость" сечений в надежности системы 179
3.5.3. "Вклад" сечений в надежность системы 182
3.6. Оптимальное проектирование конструкций 183
3.7. Основные результаты раздела 198
ГЛАВА 4. Оптимизация рам и ферм 200
4.1. Водные замечания 200
4.2. Рамы 200
4.3. Фермы 210
4.3.1. Статически определимые фермы 210
4.3.2. Статически неопределимые фермы 213
4.4. Оптимизация внецентренно сжатых элементов 214
4.5. Совершенствование конструктивных решений технических систем методами динамического программирования 238
4.5.1. Использование модели распределения усилий 238
4.5.2. Использование модели оптимального выбора маршрута (задача коммивояжера) 241
4.6. Усиление конструкций на основе анализа структурной надежности технических систем 247
4.7. Основные результаты раздела 251
ГЛАВА 5. Оптимизация конструкций 122 серии 254
5.1. Водные замечания 254
5.2. Исходные данные 256
5.2.1. Панели перекрытий 256
5.2.2. Стеновые панели 258
5.3. Оптимизация панелей перекрытий 267
5.3.1. Метод решения задачи 267
5.3.2. Рекомендации по изменению армирования панелей 272
5.3.3. Технико-экономические показатели панелей перекрытий 273
5.4. Оптимизация стеновых панелей 275
5.5. Испытания наружных стеновых панелей 288
5.5.1. Приборы и приспособления 288
5.5.2. Испытательные нагрузки 290
5.5.3. Результаты испытаний 294
5.6. Испытания панелей перекрытий и лестничных маршей зданий 305
5.6.1. Испытания панелей перекрытий = 305
5.6.2. Испытания лестничных маршей ЛМ12-1 314
5.7. Основные результаты раздела 316
Заключение 318
Список литературы 327
- Проблемы и направления развития теории оптимизации строительных систем
- Особенности проведения вероятностных расчетов сечений железобетонных элементов с учетом требований предельных состояний
- Сечения прямоугольные и тавровые со сжатой полкой с одиночным и двойным армированием
- Использование модели оптимального выбора маршрута (задача коммивояжера)
Введение к работе
Актуальность исследования. Строительство является одной из самых материалоемких производственных отраслей. Вопросы надежности сооружений, конструкций и материалов, контроля качества производства работ, равно как и экономии материалов и трудозатрат, всегда были и остаются актуальными. Совершенствование проектных решений, в некоторой степени, позволит разрешить эту проблему.
В диссертации разработаны методы оптимизации строительных сооружений и конструкций по критерию надежности, позволяющие увеличить эффективность проектных решений. Проектирование и строительство сооружений с заданным уровнем надежности позволяет экономить значительные средства из-за снижения материалоемкости проектов, в одних случаях, и уменьшения риска разрушения, в других случаях.
Цель работы. Усовершенствовать методы и алгоритмы расчета строительных конструкций и сооружений с оптимальным уровнем их надежности.
Автор защищает следующие основные научные результаты:
алгоритмы использования логико-вероятностных методов при проектировании сооружений и конструкций с заданным уровнем надежности;
обоснование применения таких критериев анализа структурной надежности, как "вес", "значимость" и " вклад" сечений при оптимизации конструкций и алгоритмы проведения оптимизационных расчетов с использованием вышеназванных критериев;
обоснование возможности и учет в расчетах надежности при оптимизации технических систем двух групп предельных состояний, а также учет случайности нагрузок;
алгоритмы и методику оптимизации железобетонных конструкций, сформулированных на основе экстремальных энергетических принципов расчета стержневых систем и методов статистического планирования экстремальных экспериментов;
алгоритмы и методику расчета долговечности и ресурса мостовых железобетонных конструкций на основе теории массового обслуживания;
методику оптимизации армирования железобетонных конструкций на основе методов линейного и динамического программирования;
совершенствование серий 1.020-1/83 "Рамно-связевые каркасы зданий из железобетонных конструкций", 3.503-14 "Сборные железобетонные пролетные строения мостов" и 122 "Конструкции крупнопанельных зданий для города Магадана".
Практическое значение работы заключается в следующем: разработанная методика позволяет регулировать надежностью строительных систем, проектировать их более экономичными и удовлетворяющими требованиям предельных состояний с заданной вероятностью;
результаты вероятностных и оптимизационных расчетов железобетонных конструкций использованы при совершенствовании серии 122 для города Магадана; оптимизация конструкций позволила уменьшить стоимость зданий до 7%;
методика оптимизации по критерию надежности использовалась при разработке рабочей документации проекта месторождения "Лунное" Омсукчанского района Магаданской области, Золото-серебряного ГОК "Аместистовый" Корякского автономного округа; оптимизационные расчеты позволили уменьшить стоимость строительства по сравнению с общепринятыми решениями согласно нормам до 5%; методы оценки надежности статически неопределимых конструкций и сооружений были использованы при разработке проектов Магаданской области: Колымского аффинажного завода в п. Хасын, ГОК месторождения "Лунное"; вероятностные расчеты позволили оценить надежность несущих конструкций и принять оптимальные инженерные решения;
по программам для ЭВМ, реализующих метод статистического моделирования, на Хабаровском заводе ЖБИ-4 были выполнены вероятностные расчеты панелей перекрытий по первой и второй группам предельных состояний, что позволило улучшить" технические решения панелей и уменьшить стоимость каждой конструкции от 60 до 90 рублей в ценах 1990 года;
методика оптимизации по критерию надежности была использована при разработке проекта усиления стыка стеновых панелей здания 122 серии по Набережной р. Магаданки, 45; по сравнению с традиционным вероятностный расчет позволил снизить общие трудозатраты проекта усиления на 20%;
вероятностные расчеты были учтены при разработке проекта усиления цеха золотоизвлекающей фабрики рудника им. А. Матросова в пос. Омчак Магаданской области;
методы оценки долговечности мостовых конструкций и сооружений были использованы при разработке планов и графиков технологических осмотров, текущих ремонтов искусственных сооружений; методы расчета надежности железобетонных конструкций были использованы при оценке состояния зданий центральной части города Магадана; по результатам вероятностных расчетов была определена очередность выполнения работ по реконструкции зданий старой за-
стройки города; - разработанные в диссертации алгоритмы и программы для ЭВМ находят применение в проектной, научной и производственной деятельности ряда предприятий (завод ЖБИ № 4, г. Хабаровск; ГП "Ма-гаданмост"; Северный международный университет; ЦНИИЭП тор-гово-бытовых зданий и туристских комплексов; ЛЕНЗНИИЭП; ОАО "Горно-обогатительные технологии"; ООО "Магаданский экспертный центр" и др.).
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на международной конференции по проблемам научно-технического прогресса Дальневосточного региона (Хабаровск, 1991); на II и III Всероссийских семинарах по проблемам оптимального проектирования сооружений (Новосибирск, 1998, 2000); на региональных научно-практических конференциях по прогрессивным строительным конструкциям для условий Дальнего Востока (Хабаровск, 1994), "Научно-технический прогресс и политехническое образование на Северо-Востоке России" (Магадан, 1995), по проблемам науки и технического образования на Северо-Востоке России (Магадан, 1997), "Северо-Восток России: прошлое, настоящее, будущее" (Магадан, 1998), а также на координационных совещаниях и научных семинарах.
Научная концепция работы. В работе рассматриваются вопросы оптимизации конструкций и сооружений по критерию надежности. Условия обеспечения надежности, согласно общему определению, заключаются в том, чтобы расчетные значения нагрузок или вызванных ими усилий, напряжений, деформаций, перемещений, раскрытий трещин не превышали соответствующих им предельных значений, устанавливаемых нормами проектирования.
Принципиальным моментом при оценке надежности технических систем является то, что наступление любого из предельных состояний сопровождается образованием хотя бы одного совершенного или несовершенного пластического шарнира. Полагается, что сами предельные состояния состоят из совместных независимых событий.
Согласно положениям СНиП предельное состояние не наступает, если выполняется условие:
F
где F - расчетное усилие в конструкции, определенное при расчетных для предельного состояния значениях нагрузок; 5 - расчетное сопротивление конструкции, определенное при расчетных для предельного состояния сопротивлениях материалов.
В работе при реализациях случайных величин определяются случайные значения сопротивлений конструкции .?. Значение .? делятся на общий коэффициент надежности по нагрузкам у,„ который больше еди-
ницы,- получаем средние значения нагрузки F. Далее в вероятностных расчетах учитываем и случайность нагрузок F.
Временной фактор там, где это специально не оговорено, учитывается в неявном виде с помощью системы коэффициентов СНиП.
При определении минимальной стоимости для технических систем с заданной надежностью базовыми считались цены 1984 года, в основном, для Дальневосточного региона.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 542 наименований и 6 приложений. Всего содержит 435 с, в том числе 380 с. основного текста, 109 иллюстраций и 54 таблицы.
Проблемы и направления развития теории оптимизации строительных систем
При оценке надежности конструкций довольно широкое распространение получил метод линеаризации [74, 137, 385 - 388 и др.]. Подробно, с примерами метод линеаризации рассматривается в приложении 1. Достоинством метода является его простота. Метод предполагает формульную зависимость функции случайных аргументов, причем эта зависимость должна быть дифференцируемой. В то же время метод линеаризации тесно связан с методом Ньютона решения систем уравнений. Иногда приведенные выше условия не выполняются, и этот факт ограничивает применение метода линеаризации. Кроме того, успешное применение метода линеаризации на современном этапе невозможно без эффективного решения задач квадратичного программирования.
В.П. Чирков [155, 462, 463, 467] на основе анализа кривых распределений несущей способности железобетонных элементов, построенных с учетом совместного статистического разброса прочности арматуры, бетона и геометрических размеров, устанавливает расчетную несущую способность Ф с заданной обеспеченностью Р(0). Для прикладных расчетов предлагается формула: где - коэффициент несущей способности, определяемый на основе анализа кривых распределений несущей способности железобетонных элементов; Ф-несущая способность, вычисленная при средних значениях определяющих параметров (прочностей арматуры и бетона, геометрических размеров). Был сделан вывод: в связи с малой вероятностью одновременного совпадения минимальных прочностей бетона и арматуры несущая способность железобетонных элементов может быть увеличена на 2 - 12% по сравнению с расчетом по СНиП. Известно, что законы распределения несущей способности конструкции представляют собой функции п случайных аргументов. Интегрирование таких функций часто затруднительно. Поэтому В.П. Чирков предлагает функцию многих аргументов рассматривать поэлементно. Последовательно выделяются элементы в заданной функции, содержащие по два случайных аргумента. Распределения из каждых двух случайных величин заменяются п-1 раз законом распределения одной новой случайной величины. В результате последнего шага замены случайных аргументов будет найден дифференциальный закон распределения случайной функции.
Таким образом, чтобы рассчитать несущую способность элемента с заданной обеспеченностью, необходимо определить прочность сечения при средних механических и геометрических характеристиках и умножить ее на рекомендованный коэффициент кф. Такой метод расчета надежности получил название "способа последовательной замены случайных аргументов". Достоинством метода является то, что законы распределения случайных аргументов могут задаваться любыми непрерывными функциями.
Применение способа последовательной замены случайных аргументов требует сведений о статистических разбросах характеристик материалов. Таких данных у проектировщиков часто нет. Кроме того, метод довольно трудоемок и неудобен для автоматизации. Эти факторы ограничивают применение рассмотренного метода.
За рубежом [17] методы оценки надежности строительных конструкций подразделяются на четыре уровня. В расчетах первого уровня учитываются только средние величины и система коэффициентов надежности; второго - средние значения, средние квадратические отклонения случайных величин и коэффициенты надежности и не учитываются действительные распределения случайных величин; третьего - случайные величины со своими законами распределения; четвертого - случайные процессы. С увеличением номера уровня одновременно увеличиваются точность и трудоемкость вы числений. Наибольшее распространение получили методы второго уровня, сочетающие в себе инженерный подход и необходимую для оценки надежности точность.
Также примером использования методов второго уровня является работа Гудмана [506]. Им при оценке надежности конструкции рассмотрено два случая. В первом - области безопасности и отказов разделены поверхностью предельных состояний и не принимается во внимание неопределенность критерия разрушения. Во втором случае области безопасности и отказов разделены областью потенциально возможных отказов. Она может быть определена в следующих случаях: параметры случайности и неопределенности представляются смешанными распределениями. Оба вида параметров представлены средними значениями. Один из видов параметров представлен средним значением, а другой - распределением случайных величин. Отмечается, что с уменьшением области потенциальных отказов или лучшего изучения свойств конструкции достоверность результатов может быть увеличена.
Большое распространение сегодня при оценке надежности конструкций получил метод статистического моделирования. В приложении 1 дается сравнение этого метода с методом линеаризации. Главными достоинствами метода статистического моделирования являются его универсальность и высокая точность. К недостаткам можно отнести иногда возникающие процедурные сложности при вычислении малых величин, а также сравнительно высокая трудоемкость при отладке программ, требующих особой аккуратности и строгости от их разработчиков.
С. Мирза [518] отмечает, что статистическое моделирование является универсальным средством решения различных задач вероятностного расчета конструкций. С. Мирза определяет несущую способность коротких железобетонных колонн методом Монте-Карло. Случайными параметрами им принимаются геометрические размеры конструкции, прочности бетона и арма туры. Минимальные значения несущей способности, определенные при моделировании, оказались выше соответствующих значений, определенных по нормам Американского института бетона.
Особенности проведения вероятностных расчетов сечений железобетонных элементов с учетом требований предельных состояний
Обычно в теории оптимального проектирования конструкций предполагается, что внешние воздействия, условия закрепления и свойства материала конструкции известны точно. Ставится задача отыскания формы и внутренней структуры конструкции, доставляющих минимум (или максимум) заданному критерию качества. Естественным усложнением такой детерминированной постановки являются задачи, в которых внешние воздействия и свойства среды известны неточно. Возможны различные математические описания этих задач. При вероятностном подходе прикладываемые нагрузки и свойства среды предполагаются случайными величинами, а минимизируется математическое ожидание веса или другого критерия качества конструкции. При использовании минимаксного (или гарантированного) подхода, характерного для теории игр, считается заданным множество, содержащее все возможные реализации внешних сил, граничных условий и свойств материалов, из которых изготовляется конструкция. Разыскивается форма конструкции и ее внутренняя структура, оптимизирующие критерий качества и обеспечивающие удовлетворение прочностных и геометрических ограничений для всех возможных реализации сил и других указанных выше факторов [26]. Вопросы оптимизации в условиях неполноты информации рассматривались М.Б. Краковским, Н. Н. Красовским, А. Б. Куржанским, Ф. Л. Черно-усько [197, 207, 219, 455] и другими авторами. Подробное изложение теории и решенных конкретных задач содержится в монографиях [207, 219, 455].
Ряд исследований, выполненных в теории оптимального проектирования, посвящен вопросам многоцелевой оптимизации, в частности проектированию конструкций при подвижных нагрузках. Задачи оптимизации при подвижных нагрузках рассматривались в рамках предельного пластического проектирования А.А. Чирасом, М. Савом и В. Прагером [458, 459, 461, 530], а задачи многократного нагружения - А.А. Чирасом, Р. Шилдом [458, 460, 532]. В [249] отмечается, что основной особенностью большинства разрабатываемых универсальных методов оптимизации является их ориентация на автономное решение частных задач оптимизации вне рамок программ автоматизированного проектирования по двум схемам. По первой схеме выбор направления оптимального изменения переменных параметров осуществляется по результатам проверки их сечений по всем видам предельных состояний, что сопряжено с большой трудоемкостью.
Вторая, более традиционная, схема использования методов оптимизации основана на совместном или последовательном рассмотрении нескольких этапов автоматизированного проектирования и определения оптимальных параметров элемента путем решения задачи линейного или нелинейного математического программирования.
В [311] решена простейшая задача многоцелевой оптимизации для упругого трехслойного стержня, поочередно нагружаемого изгибающими и растягивающими усилиями. В проведенных исследованиях предполагалось, что перемещение нагрузок, а также их смена происходят в квазистатическом режиме, и тем самым динамические эффекты исключались из рассмотрения. Нетрудно заметить, что задачи многоцелевой оптимизации и оптимального проектирования при подвижных нагрузках эквивалентны некоторым задачам оптимального проектирования при неполной информации о внешних воздействиях, рассматриваемых в рамках минимаксного подхода. Так, к решению, полученному В. Прагером и Р. Шилдом [311], приходим, рассматривая задачу оптимального проектирования стержня в условиях, когда неизвестно, какая именно из указанных двух нагрузок реализуется, и, допуская к рассмотрению любую из возможностей. Аналогично в задаче с подвижной сосредоточенной нагрузкой [530] решение не изменится, если считать, что к проектируемой балке приложена постоянная сосредоточенная сила, но точка приложения неизвестна.
Разработке методов исследования и решению конкретных задач многоцелевой оптимизации упругих тел посвящены работы [2, 24, 66, 103, 115, 159, 170,223,253, 515 и др.].
Задача проектирования шарнирно-соединенных стержней, передающих нагрузку на опоры и имеющих минимальный вес, была поставлена уже давно [516] (задача Максвелла - Мичелла). Основные результаты по теории этой задачи получены в работах [311, 516]. Если возможные точки, определяющие расположение узлов, заданы (задача Леви), то задача относится к линейному программированию [524].
К более сложному классу задач минимизации объема относятся задачи проектирования стержней, которые подвергаются изгибу, кручению и растяжению. Такого рода задачи рассматривались многими авторами [1, 334, 373, 499].
Значительные трудности, возникающие при попытке решить многие практические задачи с высокой точностью методом штрафных функций, привели к необходимости создания нового класса численных методов, обес печивающих геометрическую и квадратичную скорости сходимости. Такой класс методов был создан Ю.Г. Евтушенко [147] на базе использования модифицированных функций Лагранжа. Уделяя основное внимание систематическому описанию алгоритмов решения задач нелинейного программирования и оптимального управления, он на модельных примерах приводит сравнительный анализ алгоритмов, где показывает, что наиболее высокую эффективность использования методов оптимизации можно получить путем последовательного применения разных алгоритмов.
Работы по созданию численных методов существенным образом опираются на основные результаты, полученные в области общей теории оптимального управления. Большим продвижением в этом направлении был высказанный Л.С. Понтрягиным [299, 300] "принцип максимума", позволивший дать каноническую формулировку необходимых условий оптимальности, заложить основу для формализации и развития нового раздела в вариационном исчислении, подготовить базу для дальнейших исследований.
Постановка задач оптимального проектирования в форме задач оптимального управления дает возможность получить необходимые условия в такой форме, которая позволяет непосредственно применить численные методы. При такой постановке можно систематически проводить численный анализ вариационных задач при наличии ряда ограничений. В частности, методы оптимального управления позволяют иметь дело непосредственно с ограничениями-неравенствами в случае, например, задачи о минимальной площади поперечного сечения.
Сечения прямоугольные и тавровые со сжатой полкой с одиночным и двойным армированием
Условно каждый оптимизационный расчет разбиваем на четыре этапа. На первом этапе проводятся расчеты сечений системы по первой и второй группам предельных состояний при расчетных механических характеристиках материалов. Определение усилий и расчет сечений железобетонных конструкций ведутся согласно положениям СНиП [396].
На втором этапе исследований используется метод статистического моделирования. С помощью этого метода оценивается надежность сечений технической системы. При этом учитываются требования двух групп предельных состояний: по несущей способности и нормальной эксплуатации.
Использование логико-вероятностных методов для оценки надежности системы - это третий этап. С помощью логико-вероятностных методов также проводится анализ структурной надежности системы. При этом используются такие критерии анализа, как "вес", "значимость" и "вклад" сечений в надежность системы.
На четвертом этапе методами статистического планирования экстремальных экспериментов при ограничении качества функцией надежности подбираются оптимальные параметры конструкций по критерию минимальной стоимости.
Изложение методов основывается на примерах из инженерной практики. Ниже раскрываются особенности применения указанных методов, описываются алгоритмы проведения вычислений. Методы оптимизации основываются на допущении образования пластических шарниров и перераспределении усилий в сечениях железобетонных конструкций, поэтому эти вопросы рассматривается вначале данной главы.
Расчет строительных систем в упругой постановке позволяет определять напряженно-деформированное состояние сооружения от заданных нагрузок, но не дает ответа на вопрос о предельных нагрузках, при которых система разрушается. Поскольку уже в расчетных формулах предполагаются предельные деформации бетонов и арматуры около двух промилей, разрушение железобетонных конструкций, как правило, сопровождается пластическими деформациями сечений. Очевидно, при расчете сооружений необходимо учитывать не только упругие, но и пластические свойства материалов конструкций. Отсюда и возникает понятие упругопластического расчета.
Пластическим механизмом будем считать такую кинематическую схему, при которой в системе происходят необратимые деформации, и она разрушается. Нагрузку, при которой возникает пластический механизм, будем считать предельной нагрузкой FQ. Очевидно, и в обычных, и в предварительно напряженных конструкциях перед их разрушением происходят указанные процессы.
Для упругопластической системы работу внешних сил можно разделить на три характерных этапа. Первый этап - это упругое состояние системы. Второй этап - это появление и накопление пластических деформаций до образования пластического механизма. Третий этап - это образование пластического механизма. Каждый раз при увеличении нагрузки жесткость системы все время уменьшается, а в стадии пластического разрушения она становится равной нулю. Расчет в стадии пластического разрушения - это задача предельного равновесия. В методе предельного равновесия искомыми величинами являются усилия, скорости деформаций и перемещений, а также предельная нагрузка или предельные усилия. Предельное усилие - это такая равнодействующая напряжений, когда для определенного вида деформаций напряжения в бетоне достигают значений Яь, а напряжения в арматуре достигают пределов текучести. При действии предельного усилия сечение может свободно деформироваться, так как оно теряет внутреннюю связь, отвечающую этому усилию. Таким образом, в сечениях с предельным моментом возможны повороты сходящихся элементов на угол любой величины. Такое сечение приобретает свойства шарнира, поэтому оно и является пластическим шарниром. Известно, что пластический шарнир полностью передает изгибающий момент и позволяет поворачиваться концам сходящихся в нем элементов на любой угол по направлению действия изгибающего момента.
Физические соотношения, определяющие условия пластического разрушения, как для отдельного сечения, так и для всей системы в целом, характеризуются условиями текучести. Условие текучести для рассматриваемого элемента выражает требование, чтобы определенные сочетания усилий в расчетных сеченияху не превышали предельного усилия. Так, для изгибаемого элемента это требование имеет вид:
Условие (2.1) означает, что изгибающий момент М; в сечении по своей абсолютной величине не должен превышать предельного момента Мщ. В математических моделях условия текучести имеют вид неравенств, которые сводятся к решению системы линейных алгебраических уравнений.
В стадии пластического разрушения возникающие усилия должны удовлетворять условиям статики, а скорости деформаций - геометрическим уравнениям.
А. А. Гвоздев сформулировал теорему [85]: При простом пластическом разрушении статически допустимому распределению усилий отвечает максимальное значение предельной нагрузки.
Использование модели оптимального выбора маршрута (задача коммивояжера)
Для любой технической системы, чтобы определить ее надежность, как мы уже отмечали, необходимо учитывать все варианты загружений. Задача существенно усложняется для много раз статически неопределимых систем. Не очень помогает приведение задач оптимизации к решениям в стадии предельного равновесия, направленным на оптимальное распределение моментов по элементам системы. Невозможно потребовать, чтобы решению экстремальных задач предшествовало всестороннее исследование как механизма процесса, так и свойств материалов. Например, для балки теоретическое значение надежности 0,99865. Поэтому необходимо было бы провести примерно 10000 испытаний однотипных конструкций, чтобы экспериментально подтвердить то или иное значение надежности.
Часто экстремальные задачи решаются при неполном знании механизма явления. Математическая теория экстремальных экспериментов позволяет выбирать оптимальную стратегию при неполном знании процесса. Существенным здесь является также то, что при таком подходе к решению экстремальных задач исследователь получает математическую модель процесса. Эффективность нового метода тем выше, чем сложнее изучаемая система.
Математически задача формулируется следующим образом. На каждом этапе исследования нужно выбрать оптимальное, в некотором смысле, расположение точек в факторном пространстве, для того чтобы получить некоторое представление о поверхности отклика rj: где х\, Х2, ...,Х]с- пластические моменты в к сечениях системы; у\, у2, ...,yi- I механических характеристик системы; z\,z2, ..., zm-m геометрических характеристик системы. Номера к, I и т могут как совпадать, так и не совпадать.
На первом этапе численного моделирования будем задачу формулировать так: нужно найти направление движения к той области, где условия протекания процесса оптимальны. Для решения этой задачи достаточно исследовать поверхность отклика на небольшом участке, ограничиваясь линейным приближением. Проведем небольшую серию опытов для локального описания поверхности отклика полиномом первой степени. Далее будем двигаться по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения. Если одного линейного приближения оказывается недостаточно, то ставим новую небольшую серию опытов и находим новое направление для движения по поверхности отклика. Такой шаговый процесс будем продолжать до тех пор, пока не попадем в "почти стационарную область", где линейное приближение оказывается уже недостаточным. Градиент функции отклика ср задается выражением где i, j, ..., к- единичные векторы (орты) в направлении координатных осей. Предполагается, что функция ср непрерывна, однозначна и не имеет особых точек. Такой метод известен под названием крутого восхождения. Для небольшого участка функции ср поверхность отклика может быть описана линейным уравнением. Тогда частные производные равны коэффициентам регрессии. Поэтому для движения по поверхности отклика в направлении крутого восхождения независимые переменные изменяем пропорционально величине соответствующих коэффициентов регрессии, с учетом их знака. При поиске оптимума обычным, традиционным методом поочередно варьируют то одну, то другую переменную. В задаче максимизации вначале исследователь фиксирует переменную Х\ и двигается в направлении переменной Х2 до тех пор, пока не достигнет некоторой точки Р, где прекращается прирост выхода. В точке Р фиксируется переменная х2 и начинается движение по направлению оси Х\. Движение продолжается до условной точки Q, где прирост прекращается. В этой точке снова фиксируется переменная JCI и начинается опять движение по переменной х2. Происходит блуждание по лабиринту, и лабиринт тем сложнее, чем больше число независимых переменных. Отметим, что направление градиента не инвариантно к изменению интервала варьирования независимых переменных. Если изменять масштаб для той или иной переменной, сжимая его или растягивая, то соответственно в направлении этой оси будет сжиматься или растягиваться поверхность отклика. Следовательно, будет изменяться составляющая градиента в направлении этой оси, являющаяся мерой крутизны поверхности отклика в данном направлении. Инвариантными к изменению интервала варьирования остаются только знаки составляющих градиента. Поэтому мы при исследовании строительных систем интервалы варьирования задаем жестко, автоматически снимая с рассмотрения вопрос о неоднозначности направления градиента.
Иначе формулируется задача после достижения той области, где находится оптимум. Здесь необходимо получить значительно более полное представление о поверхности отклика л. Для этого будем аппроксимировать г) полиномами второго, а иногда третьего и четвертого порядков. Хотя почти стационарную область обычно удается описать полиномами второго порядка. Для этого нужно иметь такую систему планирования, в которой каждая переменная будет принимать хотя бы три разных значения. В соответствии с общей идеей шагового эксперимента такое планирование может быть получено путем добавления некоторого количества специальным образом расположенных точек к "ядру", образованному планированием для линейного приближения. Такие планы, как известно, называются композиционными или последовательными. При этом будем считать оптимальным ротатабельное планирование, позволяющее получать симметричные информационные контуры. В этом случае информация, содержащаяся в уравнении регрессии, будет равномерно размазана по сферам. Такое планирование требует значительно меньшего числа опытов, чем полный факторный эксперимент типа Зк. Например, при количестве факторов к = 6 для полного факторного эксперимента потребуется количество опытов ТУ = 729. Для ротатабельного планирования можно будет ограничиться количеством опытов N = 2 + 2к + щ = 2 + 2x6 + 15 = 91, положив число параллельных опытов в центре эксперимента по = 15. Здесь 2к точек образуют вершины куба полного факторного эксперимента для почти стационарной области, 2к "звездных" точек с координатами (±а, 0, ..., 0; 0, ±а, ..., 0; 0, 0, ..., ±а). Величина звездного плеча а для центрального композиционного планирования определяется из условий ротата-бельности: а = 2т.
В таблице 2.1 приведены все данные, необходимые для построения матриц центрального композиционного ротатабельного планирования, вплоть до значений к = 7. Там же показано, как разбивать планы на ортогональные блоки. При к 7 значения нулевых точек щ можно определить по экстраполяции.
