Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Обзор состояния вопроса и основные положения теории временного анализа
1.1. Обзор по динамическим расчётам систем с учётом физически и кон структивно нелинейных свойств
1.1.1 Динамические расчёты диссипативных систем с учётом физической и конструктивной нелинейности 16
1.1.2 Аналитические методы расчёта конструкций, основанные на временном анализе реакции при нестационарном процессе 18
1.2. Основные положения теории временного анализа, связанные с исследо ванием матричного квадратного уравнения
1.2.1 Уравнение движения дискретной диссипативной системы и матрица внутренних динамических параметров 21
1.2.2 Свободные колебания диссипативной системы 23
1.2.3 Вынужденные колебания диссипативной системы 24
1.3. Частные случаи интеграла Дюамеля и полная система уравнений реак ции упругой ДДС 25
1.3.1 Действие внезапно приложенных сил 26
1.3.2 Действие одиночного полусинусоидального импульса 26
1.3.3 Полная система уравнений реакции упругой ДДС на этапе вынужденных и свободных колебаний при действии собственного веса 27
1.4. Общие положения и схема решения нелинейной динамической задачи на основе метода временного анализа 28
ГЛАВА II. Математическая модель нелинейных колебаний дискретных систем
2.1. Системы с физически и конструктивно нелинейными свойствами 32
2.2. Диаграмма деформирования дискретной системы
2.2.1 Физически нелинейная работа 34
2.2.2 Конструктивно нелинейная работа 36
2.3. Диаграмма деформирования системы при циклическом упругопластиче ском деформировании
2.3.1 Общий закон изменения k-й компоненты ДВС 36
2.3.2 Параметры пластического гистерезиса 40
2.4. Математическая модель нелинейных колебаний дискретных систем
2.4.1 Колебания упругих и упругопластических систем 41
2.4.2 Колебания нелинейно-упругих систем 42
2.5. Уравнения динамической реакции нелинейной дискретной диссипатив ной системы 44
2.6. Изменение параметров реакции в процессе нелинейной работы дискрет ной системы при переходе в промежуточное i-е состояние 46
2.6.1 Параметры реакции ДДС перед отказом несущего элемента 48
2.6.2 Параметры реакции ДДС после отказа несущего элемента 50
2.6.3 Невязки параметров реакции 51
2.7. Определение точек начала нелинейного деформирования в полуциклах диаграммы жёсткости системы 52
ГЛАВА III. Анализ упругих колебаний ферм при учёте конструктивной нелинейности 57
3.1. Вычисление параметров расчётной динамической модели фермы 58
3.1.1 Матрица жёсткости K 58
3.1.2 Матрица масс M 62
3.1.3 Матрица демпфирования C 62
3.1.4 Векторы статической и динамической нагрузок Q и P(t) 63
3.1.5 Матрица внутренних динамических параметров S 64
3.2. Алгоритм вычисления параметров реакции фермы в процессе упругого временного анализа при выключении несущих элементов 64
3.3. Временной анализ упругих колебаний фермы, вызванных внезапным выключением раскоса 70
3.3.1 Расчётная динамическая модель фермы 71
3.3.2 Временной анализ колебаний фермы при выключении раскоса 72
3.4. Временной анализ упругих конструктивно нелинейных колебаний фермы при действии импульсной нагрузки
3.4.1 Расчётная динамическая модель фермы 82
3.4.2 Временной анализ колебаний фермы при 2-х ступенчатом выключении её элементов 83
3.4.3 Временной анализ колебаний фермы при 6-ти ступенчатом выключении её элементов 93
3.5. Временной анализ упругих колебаний подкрановой фермы с учётом конструктивной нелинейности, вызванной аварийным воздействием вследствие обрыва стропа груза
3.5.1 Расчётная динамическая модель фермы 104
3.5.2 Динамическое воздействие на конструкцию и выбор опасного положения тележки мостового крана 106
3.5.3 Временной анализ колебаний фермы при 2-х ступенчатом выключении её элементов 108
3.5.4 Проверка несущей способности фермы методом предельного равновесия 119 3.6. Сравнительный анализ упругих конструктивно нелинейных колебаний
ферм на основе аналитического и численного решений 121
3.6.1 Колебания фермы при 2-х ступенчатом выключении её элементов 122
3.6.2 Колебания фермы при 6-ти ступенчатом выключении её элементов 125
3.6.3 Колебания подкрановой фермы при аварийном воздействии 128
ГЛАВА IV. Анализ упругопластических колебаний ферменной конструкции при учёте конструктивной нелинейности
4.1. Алгоритм определения параметров реакции фермы в процессе времен ного анализа при учёте физической нелинейности 132
4.2. Расчётная динамическая модель ферменной конструкции 138
4.3. Анализ упругопластических колебаний ферменной конструкции, вызван ных импульсным воздействием
4.3.1 Параметры упругопластического деформирования системы 139
4.3.2 Диаграмма жёсткости системы 143
4.3.3 Результаты временного анализа 144
4.3.4 Анализ нелинейных восстанавливающих сил 154
4.3.5 Сравнение результатов, полученных аналитическим и численным методами 156
4.4. Анализ конструктивно нелинейных упругопластических колебаний фер менной конструкции при импульсном воздействии
4.4.1 Расчётная динамическая модель конструкции и параметры временного анализа 161
4.4.2 Диаграмма жёсткости системы 165
4.4.3 Результаты временного анализа 167
4.4.4 Анализ нелинейных восстанавливающих сил 176
4.4.5 Сравнение результатов, полученных аналитическим и численным методами 178
4.5. Обеспечение живучести ферменных конструкций при запроектных воздействиях на основе данных временного анализа 183
Основные выводы по диссертации 188
Заключение 190
Библиографический список
- Аналитические методы расчёта конструкций, основанные на временном анализе реакции при нестационарном процессе
- Диаграмма деформирования дискретной системы
- Динамическое воздействие на конструкцию и выбор опасного положения тележки мостового крана
- Анализ конструктивно нелинейных упругопластических колебаний фер менной конструкции при импульсном воздействии
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Фермы и ферменные конструкции (далее - фермы) - это один из широко используемых типов несущих систем в современном строительстве. Они находят применение в покрытиях промышленных и гражданских зданий, ангаров, вокзалов, а также при изготовлении мачт, башен и т.д. По сравнению со сплошными балками фермы экономичны по затрате материала и относительно просты в изготовлении, им легко придать любые очертания.
Современные строительные конструкции работают в условиях постоянно усложняющихся и возрастающих динамических воздействий (включая запроектные и аварийные). В результате этого в несущих элементах появляются пластические деформации, а в ряде случаев происходит разрушение отдельных элементов или частей конструкции, что требует: а) проведения проверки несущей способности системы, работающей в повреждённом состоянии, и б) оценки последствий этих изменений (разрушений).
В процессе анализа повреждённых систем необходимо учитывать изменение их расчётной схемы, что порождает ряд сложных и труднодоступных для исследования проблем:
учёт дополнительного динамического эффекта, вызванного переходом системы в упругопластическую стадию работы или включением/выключением связи (однократным или циклическим);
анализ поведения конструкции при работе материала за пределом упругости с учётом накопленных остаточных деформаций.
Специалисты сходятся во мнении, что в этой области существует недостаток теоретических исследований и, как следствие, отсутствие надёжных методов расчёта, которые бы позволяли адекватно учитывать реальную работу конструкции. Развитие аналитических подходов для проведения исследований динамической проблемы при сложных постановках задачи, учитывающих нелинейный характер работы системы (физическая и конструктивная нелинейность), сложный характер демпфирования и динамического нагружения, является актуальным и перспективным направлением.
Одним из таких аналитических подходов является метод временного анализа (МВА) дискретных диссипативных систем (ДДС), разработанный д.т.н. А.Н. Потаповым (ЮУрГУ, г. Челябинск). МВА основан на исследовании характеристического матричного квадратного уравнения (МКУ) и позволяет получить уравнение квазилинейной реакции ДДС в замкнутой матричной форме интеграла Дюамеля. Преимущества данного метода состоят в возможности: а) использования произвольной модели демпфирования (однородного или неоднородного типа) и б) построения схемы нелинейного анализа (с физической и/или конструктивной нелинейностью) при моделировании свойств системы кусочно-линейной зависимостью.
Степень разработанности темы Проблеме расчета конструкций (ферм, в частности) при динамических воздействиях с учетом физической или конструктивной нелинейности посвящено значительное число работ отечественных авторов. Среди них следует отметить таких, как: А.М. Белостоцкий, Ю.В. Бондарев, ГГ. Гениев, ПГ. Еремеев, Н.В. Клюева, В.И Колчунов, В.Л Мондрус, АВ. Перельмутер, А.Н. Потапов, ИС Талантов, Ю.Т. Чернов и др.
В подавляющем большинстве нелинейный анализ выполняется численными методами. Использование аналитических или численно-аналитических подходов крайне незначительно (работы Ю.В. Бондарева, Ю.Т. Чернова и некоторых других). Анализ
колебаний строительных систем (ферм и др. конструкций) с учетом совместной физической и конструктивной нелинейности представлен в работе И.С. Талантова.
Настоящая работа посвящена совершенствованию метода временного анализа на примерах колебаний ферм и ферменных конструкций под действием одиночных импульсов при совместном учёте физической и конструктивной нелинейности.
Цель исследования – построение и изучение изменения динамической реакции и параметров НДС стержней статически неопределимых ферм, обладающих физически и конструктивно нелинейными свойствами, методом временного анализа при нестационарном процессе.
Задачи исследования:
-
построение математической модели физически и конструктивно нелинейных колебаний ферм с кусочно-линейной зависимостью между восстанавливающими силами и узловыми перемещениями;
-
разработка алгоритма нелинейного временного анализа и составление программы для ЭВМ для исследования динамической реакции ферм при нестационарном процессе;
-
выполнение динамических расчётов ферм при учёте: а) конструктивно нелинейной, б) упругопластической, в) комбинированной нелинейной работы;
-
сравнение результатов нелинейного расчёта ферм методом временного анализа с результатами на основе: а) метода разложения по собственным формам колебаний, б) метода конечных элементов (реализация в ПК ANSYS).
Объект исследования – плоская стальная статически неопределимая ферма, как дискретная диссипативная система с физически и конструктивно нелинейными свойствами.
Предмет исследования – параметры реакции фермы и параметры НДС её элементов в процессе нелинейных колебаний при действии динамических нагрузок.
Научная новизна состоит в следующем:
-
разработана математическая модель нелинейных колебаний ферм на основе кусочно-линейной диаграммы деформирования системы в осях «восстанавливающая сила ~ перемещение» при действии статической и динамической нагрузок;
-
установлена связь нелинейных составляющих (предельной и остаточной) вектора динамических восстанавливающих сил (ДВС) с параметрами пластического гистерезиса (высота и ширина петли) для произвольного полуцикла билинейной диаграммы деформирования системы;
-
получены аналитические выражения скачков параметров реакции фермы, учитывающие невязки матриц жёсткости и демпфирования, а также невязку нелинейной составляющей вектора ДВС.
Теоретическая и практическая значимость. Построенная математическая модель нелинейных колебаний ферм как дискретных систем позволяет в аналитическом виде и с большой точностью вычислять параметры реакции и параметры НДС стержней в ходе временного анализа при изменении внешних характеристик (жесткостных, демпфирующих и инерционных, нагрузки) расчётной динамической модели (РДМ).
Для расчёта ферм был разработан алгоритм нелинейного временного анализа, на основе которого на языке MATLAB были составлены три компьютерные программы.
Методы исследования. При решении задач колебаний ферм был использован метод временного анализа, основанный на исследовании характеристического МКУ.
Положения, выносимые на защиту:
-
математическая модель физически и конструктивно нелинейных колебаний плоских ферм c диаграммой деформирования системы в осях «восстанавливающая сила ~ перемещение» в виде кусочно-линейной зависимости;
-
алгоритм определения критических временных точек (ti) при переходе расчётной модели из одного квазилинейного состояния в другое;
-
схемы нелинейного временного анализа реакции ферм с оценкой несущей способности;
-
компьютерные программы (на языке MATLAB) для проведения временного анализа реакции ферм с учётом нелинейной работы.
Достоверность результатов исследования подтверждается:
использованием в диссертации теоретически обоснованных методов строительной механики в соединении с методами высшей математики и аппаратом матричной алгебры;
замкнутой формой вычисления интеграла Дюамеля на квазилинейных интервалах в процессе колебаний;
корректным применением математических моделей нелинейного расчёта как внутри квазилинейных интервалов, так и на их границах;
сравнением результатов, полученных с помощью МВА, с результатами на ос-нове апробированных аналитических и численных методов.
Личный вклад автора состоит в:
постановке задач теоретического исследования;
разработке математической модели нелинейных колебаний ферм;
разработке алгоритма нелинейного временного анализа и составлении программ для ЭВМ на языке MATLAB для проведения нелинейного временного анализа ферм на действие статических и динамических нагрузок;
обработке и анализе полученных результатов расчётов;
выполнении сравнительных расчётов с помощью МВА, метода разложения по собственным формам колебаний и МКЭ (реализация в ПК ANSYS).
Реализация результатов исследований. Результаты исследований внедрены в учебный процесс при проведении занятий по дисциплинам: «Динамика и устойчивость сооружений», «Нестационарные процессы», «Динамика повреждённых конструкций» и «Анализ колебаний с учётом физической и конструктивной нелинейности», а также внедрены в проектной организации ООО «Институт АльфаРегионПроект» (г. Челябинск) при расчёте ферм покрытия Кафедрального собора Рождества Христова в г. Челябинске.
Апробация диссертационного исследования. Основные результаты исследования докладывались и обсуждались на: 1) Международной научно-практической конференции «Теория и практика расчёта зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы» (г. Москва, МГСУ, июнь 2011 г. и декабрь 2014 г.); 2) XXIV Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформированных тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (г. Санкт-Петербург, СПбГАСУ, сентябрь 2011 г.); 3) Международной научной конференции «Интеграция, партнёрство и инновации в строительной науке и образовании» (г. Москва, МГСУ, октябрь 2011 г.); 4) 64-68-й научно-технических конференциях ППС Южно-Уральского государственного университета (г. Челябинск, ЮУрГУ, май 2012-2016 гг.); 5) III-й Всероссийской конференции
«Проблемы оптимального проектирования сооружений» (г. Новосибирск, НГАСУ (Сибстрин), апрель 2014 г.); 6) II-й Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы механики в современном строительстве» (г. Пенза, ПГУАС, июнь 2014 г.); 7) IV-м и V-м Международных симпозиумах «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (г. Челябинск, ЮУрГУ, июнь 2012 г.; г. Иркутск, ИрГТУ, июль 2014 г.); 8) I-й Международной научно-практической конференции «Строительство. Экология: теория, практика, инновации» (г. Челябинск, ЮУрГУ, март 2015 г.); 9) Международной научной конференции «Urban Civil Engineering and Municipal Facilities» (г. Санкт-Петербург, Институт Гражданского строительства, СПбПУ, март 2015 г.).
Публикации. По результатам исследований имеются 22 публикации, из них 6 в изданиях из списка ВАК и 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.
Структура и объём диссертации. Диссертация изложена на 240 страницах машинописного текста и состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка литературы из 280 наименований и 4-х приложений. В работе приведены 107 рисунков и 32 таблицы.
Аналитические методы расчёта конструкций, основанные на временном анализе реакции при нестационарном процессе
Метод временного анализа предполагает получение решения путём непосредственного интегрирования дифференциального уравнения движения дискретной диссипативной системы: M Y (t) + C Y (t) + K Y(t) = P(t). (а) Для систем, при расчёте которых проводится учёт трения, решение значительно усложняется, особенно в случае непропорционального демпфирования [204], т.к. работа реальных конструкций происходит в условиях именно такого трения. Поэтому наибольший интерес представляет разработка подходов, позволяющих выполнять решение в такой постановке. Существующие аналитические подходы, основанные на временном анализе реакции системы, можно условно разделить на два направления: к первому будут относиться подходы, не связанные с анализом характеристического МКУ: M S 2 + C S + K = 0, (б) ко второму – подходы, связанные с таким анализом.
Специалисты, не учитывающие отмеченные свойства, выходят в итоге на использование численно-аналитических методов, например, методов, основанных на использовании передаточных и импульсных переходных функций (функции Грина) [14, 40, 62, 225], или операторных методов, таких как: метод интегральных преобразований Лапласа [111, 112, 142, 226], метод интегральных преобразований Фурье [105, 116, 126, 127, 128, 212], метод конечных интегральных преобразований [70, 191, 192–194] и др.
В втором случае, когда учитывается анализ МКУ, открываются возможности для построения аналитического подхода, преимущество которого будет заключаться в том, что связь с характеристическим МКУ (б) позволит сохранить свойства исходной системы в постановке задачи, поскольку данное уравнение является алгебраическим аналогом дифференциального уравнения движения ДДС (а).
Учёт специальных свойств МКУ (б) позволяет построить реакцию системы в аналитическом виде для задач в упругой постановке. Среди отечественных учёных такой анализ проводили А.И. Ананьин [7, 9], А.Н. Потапов [157], В.Т. Рассказовский [176], Л.М. Резников [181], А.И. Цейтлин [224, 225]; среди зарубежных – K.A. Foss [240], Ю. Иноуэ и Т. Фудзикава [86].
В работе [8] автором для матрицы демпфирования, построенной на основе модели Фойхта, были получены алгебраические соотношения, вытекающие из анализа характеристического уравнения (б) и предложен численный итерационный алгоритм по нахождению корней МКУ. В статье отмечено, что сложность проводимых построений в значительной мере зависит от используемых моделей демпфирования. Так, при решении задачи для случая неоднородной модели Сорокина [203] анализ систем разрешающих уравнений, хотя и подчиняется общей предложенной схеме, но становится более громоздким.
В работе [181] предложен вариант построения интеграла Дюамеля через анализ МКУ (б). Для многомассовой системы получены уравнения эквивалентной упруго-вязкой модели. Построение системы разрешающих уравнений основано на переходе к вспомогательной алгебраической проблеме с матрицами удвоенной размерности в пространстве координат перемещений и скоростей. В аналитической форме получена матрица импульсных переходных функций (ИПФ), при этом выражение интеграла Дюамеля имеет достаточно сложный вид.
В работе [240] даётся описание метода комплексных собственных форм для случая произвольной матрицы демпфирования. При этом система n связанных уравнений движения распадается на 2n дифференциальных уравнений первого порядка с комплексными коэффициентами. Однако данные уравнения получены без учёта нормирования собственных векторов, т.е. не имеют чёткого соответствия обычным дифференциальным уравнениям второго порядка классического метода нормальных координат, что затрудняет исследование динамической задачи.
Приведённый обзор показывает, что существующие аналитические методы при общей постановке динамической задачи, когда не учитываются свойств характеристического МКУ, не обеспечивают в достаточной мере эффективного построения реакции системы.
Метод временного анализа (МВА), основанный на исследовании характеристического матричного квадратного уравнения, может быть применим как при расчёте упругих систем, так и при расчётах упругопластических систем, поведение которых моделируется, например, диаграммой Прандтля [157]. В работе [158] реализация упругопластической задачи была выполнена для диаграммы деформирования с двумя полуциклами. Нелинейно-упругие колебания на основе метода временного анализа были рассмотрены в работах [13, 162]. Приложение указанного подхода к задачам колебаний конструктивно-нелинейных систем рассматривается в работах [57, 163, 165, 166].
Возможность использования данного метода в расчётах систем с физической и конструктивной нелинейностью обусловлена его универсальностью и способностью к модификации и созданию таких расчётных схем, при которых исходная нелинейная задача сводится к последовательности линейных задач. МВА не требует спектрального разложения решения и может быть реализован при любом типе демпфирования в рамках модели вязкого трения материала.
Диаграмма деформирования дискретной системы
Рассмотрим физически нелинейный процесс, протекающий в одном из несущих элементов ДДС. Смоделируем динамическую восстанавливающую силу (ДВС) билинейной зависимостью от перемещений с учётом разгрузки. При этом будем полагать, что разгрузка проходит при первоначальной жёсткости. ЯР,к(1і) На рис. 2.4 показан один полуцикл диаграммы изменения компоненты вектора ДВС R(t) в координатах Rk(t) yk(t), которая определяет работу системы в направлении k-й степени свободы. Как видно из рисунка, с учётом допущения относительно разгрузки данная диаграмма имеет схожий характер с диаграммой, приведённой на рис. 2.2.
Диаграмма деформирования к-й компоненты вектора R(t) при нелинейной работе несущего элемента В общем случае величина ДВС Rk(t) содержит квазилинейную, предельную и остаточную составляющие, соответственно: Re,k(t), Ru,k(ti), Rp,k(ti). Данные компоненты формируются в зависимости от i-го состояния системы, определяемого нелинейной работой несущего элемента. Исходя из рис. 2.4, закон изменения k-й компоненты ДВС по участкам диаграммы будет иметь следующий вид: на участке О A Ri(t) = Re,i(t) = tg cukyi(t); // АВ Rk(f) = Re,k(f) + Ru,k(ti) = tg $kyk(f) + Ark-yu,k(ti); // ВС Ri(i) = Re,k(f) - Rp,k(ti) = tg akyi(t) - tg CLk yP,k(ti). (2.1) Здесь tg a ;, tg Pit - жёсткости ДДС в направлении к-й степени свободы, соответственно, при упругой и упругопластической работе (сс Р&); Ark = tg ад; tg Рд; - изменение жёсткости ДДС при переходе из упругой в упругопластическую стадию работы несущего элемента; tt - время, соответствующее началу нелинейной работы (точка А на диаграмме) или началу разгрузки (точка В) в некотором несущем элементе; yu.i(i) - предельное упругое перемещение в системе, определяемое в момент начала нелинейной работы и (точкам); УР.І(І) - пластическое (остаточное) перемещение, накопленное в системе к моменту начала разгрузки (точка В).
Рассмотрим случай внезапного выключения некоторого несущего элемента из работы, что приведёт к конструктивно-нелинейному характеру поведения системы вследствие внезапного изменения её жесткостных характеристик. Графически на диаграмме деформирования это представляется в виде ломаных линий ABCD, изображённых на рис. 2.3, б, в. В точках А и С графика имеются разрывы, возникающие в моменты выключения элемента из работы. RP,M yi(f) Ур,к При условии отсутствия в системе упруго-пластических (остаточных) деформаций} линия действия отрезка ВС на рис. 2.3, б будет проходить через начало координат, в противном случае системы в направлении к-й степени свободы при наличии остаточных перемещений ур - нет, что можно видеть на рис. 2.5 (точка В ). При рис 2 5 Диаграмма деформирования этом закон изменения k-й компоненты ДВС будет иметь схожую с системой (2.1) запись: на участке 0А ––––//–––– AB ––––//–––– CD Rk(t) = Re,k(t) = tg ak-yi(t); Rk(t) = tg $кУк(і) + Ru,k(ti); - (2.2) Rk(t) = tg кУк(() - RPyk(ti). Здесь tg k - жёсткость ослабленной ДДС после выключения несущего элемента.
Рассмотрим сценарий циклического упругопластического деформирования некоторого несущего элемента. При этом диаграмма деформирования данного стержня, а также и диаграмма деформирования системы для k-й степени свободы будут иметь гистерезисный характер с двумя и более полуциклами (рис. 2.6). Параметры петель гистерезиса (ширина В и высота Н) в этом случае будут зависеть от величин и знаков пластических деформаций, которые, в свою очередь, будут определяться конструктивной схемой сооружения, физико-механическими свойствами материала и характером нагрузки.
Далее в скобках верхним индексом т будем обозначать номер соответствующего полуцикла, индексом s - номер участка диаграммы. Данные параметры принимают следующие значения: m 1; s = 1 - для участка упругого нагружения, s = 2 - для участка упругопластического упрочнения, s = 3 - для участка разгрузки.
Процесс циклического упругопластического деформирования (рис. 2.6, а, в) во времени может носить сложный характер и сопровождаться как ростом и накоплением пластических перемещений (деформаций) (рис. 2.6, б), так и их уменьшением (рис. 2.6, г). При этом операции по определению и фиксации остаточных перемещений ур в процессе временного анализа выполняются в моменты начала разгрузки в системе, что соответствует точкам В, Е, Н, К, N и т.д. на диаграммах. Учитывая ломаный вид диаграммы деформирования, можно предвидеть, что в процессе временного анализа величинаур будет изменяться скачкообразно (рис. 2.6, б, г). Подтверждение данного факта будет показано ниже, в главе 4.
В соответствии в этим, компоненты вектора ДВС (2.1) на 2-м и последующих полуциклах диаграммы будут вычисляться с учётом накопленных остаточных перемещений y()( ) . Тогда закон изменения к-й компоненты ДВС в т-м полуцикле (рис. 2.7) будет иметь следующий вид:
Динамическое воздействие на конструкцию и выбор опасного положения тележки мостового крана
Практика моделирования конструкций при учёте физической и конструктивной нелинейности показывает, что между этими видами нелинейности нет принципиальной разницы. Для конструктивно нелинейных колебаний необходимо учитывать изменение жесткостных, демпфирующих и инерционных свойств конструкции, а для физически нелинейных колебаний – необходимо учитывать и изменение указанных параметров, и влияние возникающих остаточных деформаций и перемещений. Таким образом, физически нелинейные задачи более трудоёмки в плане реализации, чем конструктивно нелинейные.
В качестве одной из ключевых проблем при моделировании нелинейных задач можно выделить корректировку (пересчёт) параметров РДМ конструкции. Одним из самых важных параметров является матрица жёсткости, для построения которой существует большое количество известных методов строительной механики [55]. Однако, данная процедура является достаточно трудоёмкой и требует большой точности. Матрица масс конструкции строится естественным образом, например, когда при разбивке расчётной схемы на отдельные участки масса конструкции раскладывается пропорционально по узлам. После формирования матриц жёсткости и масс можно построить матрицу демпфирования, используя одну из известных моделей демпфирования колебаний. Кроме того, необходимо определить векторы внешних статических и динамических воздействий. Таким образом, указанные массивы составляют полный набор внешних динамических параметров РДМ.
В настоящей главе приводится краткое описание процедур формирования массивов указанных внешних динамических параметров – для исходного состояния и при переходе фермы в новое, изменённое состояние, а также приводится алгоритм упругого конструктивно нелинейного временного анализа динамической реакции ДДС.
Применение математических моделей, изложенных во 2-й главе, иллюстрируется примерами расчёта двух конструкций в указанной упругой конструктивно нелинейной постановке. В первом примере рассматриваются колебания плоской однопролётной стальной фермы, вызванные: 1) отказом одного из несущих элементов, 2) действием импульсной нагрузки. Во втором примере исследуются колебания двухпролётной подкрановой фермы, вызванные аварийным воздействием (в виде импульсов) от колёс крана вследствие обрыва стропа груза. Конструктивная нелинейность моделируется внезапным выключением несущих элементов вследствие их потери устойчивости при достижении критических сжимающих напряжений либо вследствие потери прочности при достижении расчётного сопротивления материала при растяжении. Полученные результаты сравниваются с результатами, вычисленными по известным аналитическим и численным методикам.
В соответствии с уравнением движения ДДС (2.10) и МКУ (2.12) построение полной реакции системы в процессе временного анализа связано в первую очередь с определением внешних и внутренних динамических параметров РДМ. К внешним параметрам относятся: матрицы жёсткости K, масс M и демпфирования C, а также векторы статической Q и динамической P(t) нагрузок. Матрица S содержит данные о внутренних динамических параметрах РДМ – коэффициентах демпфирования, частотах и формах собственных колебаний.
В первую очередь для РДМ формируются внешние динамические параметры. Такая процедура выполняется перед началом временного анализа для базовой (неповреждённой) модели фермы (БМФ), а также в процессе временного анализа при изменении состояния системы – для изменённой модели фермы (ИМФ) – вследствие проявления её нелинейных свойств или при изменении параметров нагруже-ния. Затем, на основе указанных параметров определяется или пересчитывается матрица внутренних динамических параметров S.
Ниже описаны процедуры формирования указанных массивов при проведении нелинейного временного анализа ферм при нестационарных процессах. 3.1.1 Матрица жёсткости K
Элементы ферменной конструкции – это элементы, работающие при действии узловой нагрузки только на осевое растяжение/сжатие, поскольку они имеют Z3 шарнирное соединение на концах. Следуя, например, [202], рассмотрим расчётную схему такого элемента - см. рис. 3.1, а. Каждый узел может иметь две локальных степени свободы - два линейных перемещения в горизонтальном и вертикальном Рис. 3.1. Шарнирный (ферменный) элемент: направлениях (рис. 3.1,6). а) расчётная схема; возможные локальные Зададим единичные горизонтальные перемещения концов элемента z1 = Z3 = 1 и вертикальные z2 =Z4 = 1 смещения узлов (рис. 3.2) и сформируем матрицу деформаций стержня, связывающую его удлинение или укорочение с заданными смещениями: Аэ = [ -cos -sin cos sin ] T.
Анализ конструктивно нелинейных упругопластических колебаний фер менной конструкции при импульсном воздействии
На осциллограммах узловых перемещений (рис. 3.20, а) до момента выключения 1-го элемента из работы можно видеть монотонное увеличение значений. Основной тон колебаний исходной РДМ составляет 1 = 18,23 с–1, ему соответствует период колебаний Т1 = 0,345 с. Как видно из рис. 3.20, а, к моменту времени выключения элемента верхнего пояса из работы (t1 = 0,1542 с) узлы системы успевают совершить колебания только в пределах половины периода 7/2. По этой причине асимптотический характер колебаний узлов просматривается слабо. Величины узловых статических перемещений при t t1 и при t t1 , соответственно, равны Yst = K–1Q и Yst 1 = K1–1Q. Здесь К и К1 - матрицы жёсткости, соответственно, неповреждённой и повреждённой РДМ фермы. Значения статических перемещений показаны на рис. 3.22 и приведены в таблице 3.6. Наибольшее изменение связаны с горизонтальным перемещением в узле 12 - на 409 %, и с вертикальным перемещением в узле 5 - на 175 %. Оба узла, как видно из рис. 3.18, а, принадлежат выключаемым элементам.
После момента времени t1 на кривых, соответствующих 17-й и 19-й горизонтальным степеням свободы, можно видеть значительное возрастание величин перемещений вследствие значительного снижения жёсткости системы. Эти степени свободы связаны с узлами 11 и 12 одного из выключенных элементов. Изменение величин перемещений для данных узлов составляет 9335 % и 120 %, соответственно. Табл. 3.6. Статические прогибы фермы № степени свободы(рис. 3.21, б) Статические прогибы yst,k, см До выключения элемента пояса После выключения элемента пояса
Осциллограммы скоростей (рис. 3.20, б) и ускорений (рис. 3.20, в) узлов, в отличие от осциллограмм перемещений, до момента времени t1 имеют выраженный колебательный характер (см. фрагм. 1 и 3). При t1 графики скоростей, связанные с узлами выключаемого элемента пояса, имеют переломы (фрагм. 2), а графики ускорений – разрывы (фрагм. 4), связанные с внезапным изменением жесткостных свойств системы. Величины скачков согласно (2.16) составляют, соответственно, 13463 см/с2 и 13557,7 см/с2. Осциллограммы параметров реакции для остальных степеней свободы не имеют характерных особенностей.
Осциллограммы силовых параметров (рис. 3.21) имеют характер поведения, схожий с осциллограммами кинематических параметров (рис. 3.20).
На графиках восстанавливающих сил можно видеть две ярко выраженные асимптоты, уровни которых соответствуют значениям вектора узловой статической нагрузки Q. До момента времени t1 осциллограммы сосредоточены преимущественно около этих асимптот, за исключением графика для вертикальной восстанавливающей силы в узле 12, поскольку в нём действует импульсная нагрузка (фрагм. 1).
В момент потери устойчивости элемента пояса 11-12 кривые восстанавливающих сил, связанные с его узлами, вследствие изменения жесткостных параметров модели терпят разрывы (фрагм. 2), величины которых согласно (2.16) составляют 949 кН. При t t1 = 0,1542 с характер поведения графиков заметно меняется – появляются гармоники более высокого порядка, что связано со значительным уменьшением значений спектра собственных частот системы.
Осциллограммы диссипативных и инерционных сил (рис. 3.25, б, в) схожи по характеру с осциллограммами, соответственно, скоростей и ускорений. В момент времени t1 на отдельных кривых диссипативных сил также можно видеть переломы, а на кривых, связанных с узлами 11, 12 выключаемого элемента, – и переломы, и разрывы (фрагм. 4). Указанные особенности связаны с переломами на осциллограммах скоростей и с изменением диссипативных свойств системы. Величины скачков (2.16) равны 0,2 кН. Кривые инерционных сил, как и кривые ускорений, в момент времени t1 терпят разрывы (фрагм. 6), величины которых в соответствии с (2.16) составляют 949,2 кН.
На рисунке 3.23 приведены осциллограммы продольных сил (а) и нормальных напряжений (б) в стержнях фермы. Пунктиром показаны кривые, соответствующие выключаемым из работы элементам.
На рис. 3.24 приведены осциллограммы напряжений в стержнях наиболее нагруженной 4-панели фермы. Согласно представленным данным, после отказа элемента 11-12 напряжения в остальных стержнях увеличиваются. Наибольшее возрастание происходит в элементе 4-12 (раскос в 4-й панели) и составляет 770 %. Nj (Y), кН
Проверка правильности решения задачи была выполнена аналогично предыдущему примеру. На рис. 3.25 показаны соответствующие значения векторной невязки уравнения движения ДДС (2.7) - Д/) (3.9). По рисунку можно видеть, что абсолютное значение /() не превышает величины 5,410–11 кН. Данный факт свидетельствует о высокой точности полученного решения. Конструкция в процессе колебаний находится в состоянии динамического равновесия.