Содержание к диссертации
Введение
I. Краткий исторический обзор по геометрии поверхностей и методам расчета тонкостенных конструкций 15
II. Геометрия поверхностей с семейством плоских координатных линий и конструирование оболочек 34
2.1 Поверхности с семейством плоских координатных линий кривизны 42
2.2. Нормальные поверхности с семейством плоских координатных линий 44
2.3. Резные поверхности Монжа 46
2.4. Линейчатые и развертывающиеся поверхности 51
2.5. Плоскопараллельные поверхности. Поверхности переноса 58
2.6. Циклические поверхности 63
2.6.1. Каналовые поверхности 68
2.7. Поверхности с системой плоских координатных линий в плоскостях пучка. 85
2.7.1. Циклические оболочки с окружностями в плоскостях пучка 94
2.7.2. Линейчатые поверхности с образующими в плоскостях пучка.. 97
2.7.3. Винтовые поверхности 102
2.7.4. Уравнение поверхности с образующими в плоскостях пучка в сферической системе координат 106
2.7.5. Поверхности Иоахимсталя 107
2.8. Каналовые поверхности Иоахимсталя 108
2.8.1. Циклиды Дюпена 118
III. Методы расчета оболочек сложной формы по безмоментнои теории 131
3.1. Система уравнений безмоментнои теории оболочек 133
3.2. О приведении системы равновесия безмоментнои теории оболочек к одному разрешающему уравнению 136
3.2.1, Приведение системы уравнений равновесия безмоментнои теории оболочек к одному разрешающему уравнению ме тодом введения функции напряжений..,,,, 138
3.2.2. Приведение системы уравнений равновесия безмоментнои теории оболочек к одному разрешающему уравнению ме тодом исключения неизвестных 145
3.3. Разрешающее уравнение безмоментной теории оболочек в перемещениях 148
3.4. О применимости метода разделения переменных в безмоментной теории оболочек 153
3.5. Возможность приведения системы уравнений безмоментной теории оболочек со срединными поверхностями с семейством плоских координатных линий к одному разрешающему уравнению 157
3.6. Примеры расчета оболочек сложной геометрии по безмоментной теории 160
3.6.1 Расчет отсека эпитрохоидальной оболочки по безмоментной теории 161
3.6.2 Расчет трубчатой оболочки с плоской линией центров по безмоментной теории 183
3.6.3 Пример расчета трубчатой оболочки с линей центров в форме эвольвенты круга на собственный вес 194
IV. Вариационно-разностный метод расчета тонкостенных пространственных конструкций 204
4.1. Основные соотношения линейной моментной теории оболочек 209
4.2. Матричная форма записи основных соотношений моментной теории оболочек 213
4.3. Разностные производные функционала потенциальной энергии деформаций 219
4.4. Граничные условия опирання оболочки 228
4.5. Работа внешних сил 230
4.6. Минимизация разностного функционала полной энергии де- формаций. Система канонических уравнений 233
4.7. Расчет внутренних усилий оболочки 239
4.8. Расчет оболочек с отверстиями и оболочек сложного очертания 243
4.9. Расчет сопряженных отсеков оболочек 248
4.10. Возможности расчета тонкостенных пространственных конструкций вариационно-разностным методом 256
V. Расчет тонкостенных пространственных конструкции сложной геометрии 264
5.1. Программный комплекс по расчету тонкостенных пространственных конструкций сложной геометрии и формы 264
5.2. Формообразование оболочек на основе параболо-синусо-идальных резных поверхностей 267
5.3. Исследование напряженно деформированного состояния полуволновых параболо-синусоидальных оболочек в форме резных поверхностей 276
5.3.1. Параболо-синусоидальная оболочка положительной Гауссовой кривизны. 276
5.3.2. Параболо-синусоидальная оболочка отрицательной Гауссовой кривизны 290
5.4. Исследование напряженно-деформированного состояния многоволновых параболо-синусоидальных оболочек в форме резных поверхностей 301
5.4.1. Расчет многоволновой оболочки с двумя плоскостями симметрии 301
5.4.2. Расчет многоволновой синусоидальной оболочки на параболо-трапециевидном плане 313
5.5. Расчет параболо-синусоидальной оболочки с отверстием 317
Заключение ... 322
Литература 329
Приложения 358
- Краткий исторический обзор по геометрии поверхностей и методам расчета тонкостенных конструкций
- Нормальные поверхности с семейством плоских координатных линий
- О приведении системы равновесия безмоментнои теории оболочек к одному разрешающему уравнению
- Матричная форма записи основных соотношений моментной теории оболочек
Краткий исторический обзор по геометрии поверхностей и методам расчета тонкостенных конструкций
Пространственные конструкции в виде сводов и куполов культовых и общественных зданий начали применяться еще в древние времена. И хотя, выполненные из дерева, камня и кирпича, они часто имели значительную толщину и их трудно было назвать тонкостенными, они обладали архитектурной выразительностью и законченностью форм. Вероятно, наиболее широкое и раннее распространение тонкостенные конструкции нашли в судостроении, где водная и морская стихия требовали создания обтекаемых форм, а ограниченность в пространстве при желаемом наибольшем внутреннем пространстве к созданию тонкостенных конструкций. Широкое развитие применение тонкостенные пространственные конструкции получили с появлением бетона и железобетона. Развитие транспорта, авиа и ракетостроения, создание резервуаров для хранения больших объемов жидкостей и газов, развитие современных технологий, строительство спортивных и общественных зданий и сооружений, все это потребовало создания новых тонкостенных конструкций сложных форм с использованием различных материалов - стали, алюминия, бетона и железобетона, пластмасс и композиционных материалов. Необходимость создания и использования тонкостенных конструкций привела к необходимости исследований в области геометрии пространственных конструктивных форм и создания и развития методов расчета тонкостенных конструкций.
В классических трудах по геометрии поверхностей Г. Монжа [157], Г. Дарбу [43, 244], П. Дюпена [249, 250], Ф. Иоахимсталя [257], в монографиях и трудах ученых В.Ф. Кагана [103], Выгодского М.Я. [31], В.И. Ми-линского [149], А.П. Нордена [169], СП. Финикова [220], В.И. Шуликов-ского [226], Форсайта [252], Гильберта Д., Кон-Фоссена С. [35] и др., кроме общей теории поверхностей, рассматривается геометрия многих частных видов поверхностей, вводится понятие различных классов поверхностей. Хорошо изучена геометрия поверхностей вращения, линейчатых и развертывающихся поверхностей, поверхностей второго порядка. Много работ посвящено резным поверхностям Монжа, циклидам Дюпена.
Однако в работах по теории поверхностей не всегда освещаются вопросы, необходимые для решения вопросов конструирования, технологии возведения и методов расчета напряженно деформированного состояния оболочек. Уравнения поверхностей используемые в работах по геометрии не всегда удобны для получения характеристик, используемых в расчетах. Работы по геометрии неканонических форм не всегда содержат необходимые в расчетной практике тонкостенных конструкций характеристики поверхностей. Поэтому при создание новых конструктивных форм приходится начинать с изучения геометрии срединных поверхностей оболочек, исследованию процессов их формообразования, вывода уравнений. В процессе работы над диссертацией выявлено ряд ошибок и неточностей в как уравнениях поверхностей, так и в формулах геометрических характеристик.
В программной статье В.Г. Рекача и Н.Н. Рыжова «Некоторые возможности расширения круга задач по конструированию и расчету оболочек» (1970 г) [186] ставятся проблемы по расширению круга задач по конструированию и расчету оболочек. В частности, обращается внимание на использования при конструировании оболочек в форме торсовых поверхностей, циклид Дюпена, циклических поверхностей, резных поверхностей Монжа, поверхностей Иоахимсталя. Ставится задача по конструированию оболочек на заданных сложных планах, по разработке новых и совершенствованию существующих методов расчета оболочек сложной геометрии. Ряд вопросов по развитию методов расчета оболочек поднимаются в работе В.Г. Рекача [185].
Одними из первых работ, посвященных геометрии и разработке методов расчета оболочек сложной геометрической формы, вероятно, являются - статья Рекача В.Г. [184] « Расчет пологих винтовых (геликоидальных) оболочек», монография Лебедева В.А. «Тонкостенные зонтичные оболочки» [137] и работы болгарского ученого Бранкова Г.Й. [19,20]. В работах Бранкова Г.И. рассматриваются оболочки со срединными поверхностями, выполненными в форме волнистых сфероидальных, эллипсоидальных и конусоидальных поверхностей. Методика расчета таких оболочек в работах основывается на отображении сложной поверхности на сферу или конус, по аналогии с отображением геометрии пологих оборочек на плоскость. Это позволяет автору использовать в расчете метод разделения переменных и построить решение на основе тригонометрических рядов.
Начиная с середины 60-х годов в Университете дружбы народов под руководством д.т.н., профессора В.Г. Рекача выполняется и защищается ряд кандидатских диссертаций по конструированию и расчету оболочек сложной геометрии: Кришна Редди [132] (циклиды Дюпена, 1966 г.), Юханио Маруланда [228] (1970 г.), Фареса Мелада Ж. (1974 г.) (резные поверхности Монжа) [219], Иванова В.Н. [59] (циклические поверхности, 1971 г.), Козлова А. Т. (Эллиптический параболоид, 1974) [111], Басова Ю.К. (гипар, 1976) [13], Кривошапко СИ. [127, 128] (торсовые поверхности, дисс. к.т.н. 1980г., дисс. д.т.н. 1995 г.). В эти же годы на кафедре начертательной геометрии УДН под руководством д.т.н., профессора Рыжова Н.Н. выполняется серия работ по геометрии сложных поверхностей. Особенно следует отметить работы Якубовского A.M. [229, 230] по геометрии циклид Дюпена. Геометрия циклид Дюпена рассматривается также в работе Бойкова И.К. [18].
Нормальные поверхности с семейством плоских координатных линий
Нормальными поверхностями будем называть поверхности, система плоских образующих координатных линий которых лежит в нормальных плоскостях направляющей линии. К этому классу поверхностей относятся, например, поверхности вращения и резные поверхности Монжа. Для таких поверхностей нормаль секущей плоскости совпадает с касательной направляющей линии й = т, и, следовательно, Полученное условие существенно зависит от видов направляющей и образующей кривых и характера изменения образующей кривой при движении вдоль направляющей кривой. Очевидно, условие (2.2.3) может существенно упроститься, если характер изменения образующих кривых будет зависеть только от одного параметра и или V. Г. Монж ввел в рассмотрение поверхности, образованные движением плоской кривой, лежащей в касательной плоскости некоторой развертывающейся поверхности, которая катится без скольжения по развертывающейся поверхности [157]. Поверхности названы резными поверхностями. а в литературе часто используется название резные поверхности Монжа. Любая точка, лежащая в касательной плоскости развертывающейся поверхности, совершает при качении плоскости движение ортогональное положению касательной плоскости в каждый момент движения. Следовательно, плоская образующая кривая лежит в нормальной плоскости кривой, описываемой любой точкой, лежащей в той же касательной плоскости, что и образующая кривая. Следовательно, резная поверхность Монжа является нормальной поверхностью. Так как образующая кривая резной поверхности не изменяется в процессе движения вдоль направляющей кривой - R = R(y), /? = /? = R = 0, ф2=0. Рассмотрим условие, при выполнении которого образующие кривые поверхности будут линиями главных кривизн поверхности. Используя формулу (2.2.3), получим Очевидно, чтобы выполнялось (2.3.1), достаточно приравнять нулю множитель ( ?о -go). Так как вектор ё0 лежит в нормальной плоскости направляющей кривой, то ёо=(ё0.у).у+(ё0.Д).Д; (g0-)=-fo-v); (g0 v) = (ё0 Д); (ё0.7)2+(ё0.Д)2=1; (e0j) =-(e0.v) . . Учитывая эти соотношения, имеем где Q(u) = -jxsdu + Q0, в о - начальный угол (и = 0) между вектором ё0 и вектором нормали v направляющей кривой (константа интегрирования). Таким образом, при движении плоской образующей кривой вдоль пространственной направляющей кривой резной поверхности Монжа угол между нормалью направляющей кривой и координатной системой ё0, g0 образующей кривой изменяется. В случае плоской направляющей кривой (лг = 0 ) этот угол остается постоянным 0 = в0.
О приведении системы равновесия безмоментнои теории оболочек к одному разрешающему уравнению
Для решения и анализа системы уравнений равновесия их целесообразно привести к одному разрешающему уравнению. Это делается либо путем введения функции напряжений - функции, с помощью которой внутренние определяются на основе некоторых дифференциальных операций от функции напряжений. Функции напряжений подбираются так, чтобы два уравнения системы (3.1.1) удовлетворялись тождественно. Тогда функция напряжений определяется из разрешающего уравнения, получаемого при подстановке функции напряжений в последнее оставшееся уравнение. Второй способ сведения системы уравнений к одному разрешающему уравнению - метод исключения неизвестных. Этот метод заключается в дифференцировании системы уравнений, с целью последовательного исключения одного или нескольких неизвестных. Обычно, функции напряжений вводились для уравнений равновесия конкретной оболочки.
Целесообразно рассмотреть эту проблему в общем виде. Такую задачу ставил перед собой Кришна Редди в работе [133]. Однако при этом он ввел ряд условий, которые удовлетворяли оболочкам в форме циклид Дюпена, которыми он занимался, но не являются обязательными для оболочек произвольной геометрии. В общем виде, задача по введению функций напряжений безмоментной теории оболочек произвольной геометрии впервые была решена Рекачем В.Г. в статье [204]. Однако, форма записи внутренних усилий через функцию напряжений и разрешающего уравнения с помощью функции напряжений, предложенная В.Г. Рекачем, оказалась чрезвычайно громоздкой и неудобной для использования. Анализ этих результатов показал, что, используя уравнения Гаусса-Кодацци, формулы внутренних усилий и разрешающего уравнения можно записать в более компактной и удобной формой. Кроме того, в работе В.Г. Рекача рассмотрен только один вариант введения функций напряжений, в то время как, возможны и другие варианты. Не рассматривался в этой работе и вопрос о приведении системы уравнений равновесия методом исключения неизвестных, который может быть применен в случаях, когда введение функций напряжений невозможно.
Система уравнение (3.1.1) приводится к системе двух уравнений. Для этого, используя третье уравнение равновесия (2.1.1), запишем и, подставляя полученную зависимость в первые два уравнения (3.1.1) и используя 1-е условие Гаусса-Кодацци (3.1.4) , получим:
Отметим, что рассматриваются уравнения безмоментной теории оболочек двойной кривизны. Для оболочек нулевой кривизны, как показано в монографии А.Л. Гольденвейзера [36], уравнения равновесия безмоментной теории интегрируются в явном виде, и вопрос здесь состоит лишь в возможности проведения интегрирования в явном виде и удовлетворения граничных условий.
Матричная форма записи основных соотношений моментной теории оболочек
Из рис. 4.5 видно, что в одно уравнение системы канонических уравнений вариационно-разностного метода входит не более 31 одного неизвестного. Ширина же ленты матрицы жесткости может быть значительно больше. Таким образом, ленточная матрица жесткости включает также промежуточные нулевые компоненты. Из матрицы жесткости конструкции исключаются компоненты закрепленных узловых перемещений в зоне пластинки, так как они не входят в состав глобальных переменных. Перемещения законтурных точек при жестком закреплении края оболочки также исключены из списка глобальных переменных, но они учитываются при формировании матрицы жесткости конструкции. При дифференцировании по глобальным перемещениям узлов, в матрицу жесткости которых входят коэффициенты при перемещениях законтурных точек, эти коэффициенты при жестком защемления края оболочки плюсуются к коэффициентам соответствующих перемещений предконтурных точек. Производится и дифференцирование функционала полной энергии деформаций по нормальным перемещений законтурных точек. В случае жесткого защемления края оболочки получаемая матрица жесткости законтурного узла суммируется с коэффициентами строки матрицы жесткости при аналогичных перемещениях, получаемой при дифференцировании функционала по соответствующему предконтурному перемещению. Аналогично строится матрица жесткости и вдоль линии сопряжения замкнутой по одной из координат оболочки. Матрица жесткости вариационно-разностного метода является симметричной и положительно определенной, что обычно обеспечивает ус- тойчивость решения системы алгебраических уравнений. Правая часть системы уравнений, зависящая от вида нагрузки действующей на оболочку, формируется проще. В соответствии с формулами (4.5.3) при дифференцировании по узловому перемещению и (т = 1,2,3) значение интенсивности распределенной по поверхности оболочки нагрузки q умножается на площадь окрестности узла ij и добавляется (суммируется) в правую часть к -го уравнения, где к - номер глобального неизвестного, соответствующего перемещению и 1. Аналогично, значение интенсивности нагрузки, распределенной вдоль координатной линии, умножается на длину отрезка окрестности узла в направлении распределения нагрузки, и суммируется с правой частью соответствующего уравнения. При узловой нагрузке проекции нагрузки на направление узлового перемещения, по которому производится дифференцирование функционала полной энергии деформаций, добавляется в правую часть соответствующего уравнения. При действии ни поверхности оболочки изгибающих моментов, значения узловых моментов (или значения интенсивностей моментов, умноженных на длины окрестностей узлов) распределяются между правыми частями уравнений с коэффициентами, определяем разностными отношениями углов поворота (4.5.5), соответствующего узла. Решение системы канонических уравнений вариационно-разностного метода определяет узловые перемещения оболочки. Для вычисления внутренних усилий предварительно вычисляются тангенциальные и из-гибные деформации с использоваїїием разностных производных и далее внутренние усилия по формулам (4.1.4,а), (4.1.4,6). Для вычисления производных по узловым перемещениям в окрестности узла if используется квадратичная аппроксимация вдоль координатных линий разностной сетки:
Похожие диссертации на Геометрические исследования, формообразование, разработка методов расчета и численный анализ напряженно-деформированного состояния тонкостенных оболочек сложной формы с системой плоских координатных линий
