Метод последовательных аппроксимаций в задачах изгибаемых плит средней толщины Мазурова, Светлана Валентиновна

Введение к работе

Актуальность темы. Применение плит средней толщины в качестве несущих элементов конструкций ведет к необходимости совершенствования методов их расчета. Зти вопросы возникают как в строительстве, так и в различных областях современной техники.

Исследование напряжекно-дефорї.щрованнего состояния шпхт на основе различных варпантов прикладных теорий позвачяет болев правильно оценить точность математических моделей. Ресе-ние этой проблемы достигается использованием новых эффективных численных методов. Ряд принципиальных вопросов, связанных с получением решений без специального сгущения сетки,появляется при расчете изгибаемых плит средней толщины с разрывными параметрами. Вместе с тем новые численные методы должны служить средство» подтверждения достоверности результатов, получаешх другими методами.

Развитие методов расчета указанных конструкции соответствует проблеме 2.І.І. Координационного плана научно-исследовательских работ All и Рузов СССР в области механики на 1965-90 гг., что подтверждает актуальность выбранной для исследования темы.

Целью диссертационной работы является:

1. Разработка методики и алгоритмов расчета изгибаемых плит средней толщины по-трем вариантам уточняющих теорий на основе разностной модификации чпслеішого метода последовательных аппроксимаций (МИ).

2. Решение задач с использованием ЭВМ на базе разработанной методики по расчету изгибаемых прямоугольных плит на действие непрериэных и разрывных нагрузок при разлігчяііх спираннях коьтура.

3. Анализ результагов и выбор оптимального варианта теории.

Научная новизна работы состоит в следующем: - разработан алгоритм и составлена прикладная программа статического расчета плит средней толщины на изгиб с произвольными граничнкмн условиями на осново разностной формы по-

4 тода последовательных аппроксимации;

с использованием варианта уточненной теорші Б.Ф.Власова получены в смешанной форме уравнения изгиба плит с учетом деформаций поперечного сдвига;

на основе разработанной методики исследованы ранее нерешенные задачи изгиба плит средней толщины (на действие разрывных нагрузок п с несимметричным закреплением краев);

составленная программа обобщена на случай свободно лежащей плиты средней толщины на упругом основании Винклера; с использованием этой программы получены численные решения при действии различных нагрузок;

- рассмотрен вопрос о выборе оптимального варианта уточ-
' непных теорий расчета при качественном анализе полученных ре
зультатов.

Лостоветаость результатов подтверждается сопоставлением с известными аналитическими и численными расчетам^ результатами классической теории и экспериментальными данными.

Практическая ценность диссертации заключается в том, что разработанные алгоритмы и программа для ЭВМ позволяют определять напрязенно-деформированяое состсяние в плитах средней толщины с различными условиями закрепления и нагружения, включая плиты на упругом основании. Полученные результаты доведены до возможности использования в практических расчетах на стадии инженерного проектирования конструкций. Составленная прикладная программа расчета с варьируемыми размерами сетки и толщины плит реализуется с помощью вычислительных средств системы ЕС. Результаты работы внедрены на кафедре "Автомобильные дороги, основания и фундаменты" Тверского политехнического института.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации доложены и обсуждены на XI Республиканской научно-технической конференции "Эффективные численные методы решения краевых задач механики твердого деформируемого тела" (Харьков, 1989), республиканской научно-технической конференции о роли науки и техники в решении народно-хозяйственных задач (Шевченко, 1990), ХУ Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Казань, 1990), научных семинарах кафедры Строительной механики МИСИ им. В.В.Куйбышева (1989 г., 1990 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в четырех печатных работах, наименования которых приводятся в списке трудов.

На зашиту выносятся:

методика и алгоритмы расчета пластин средней толщины, включая шшты на упругом основашш, разработанные по трем вариантам прикладных теорий на основе разностных уравнений численного метода последовательных аппроксимации;

результаты репения новых, имеющих практическое значение задач изгибаплпт средней толщины, полученные при различных условиях опирання и нагрузках-, включая разрывные.

Объем работы: Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, основных результатов и выводов, списка литературы и приложения; содержит 187 страниц маяинсписного текста, включая 41 рисунок и 47 таблиц. Библиография содержит ІЄб наименований, в том числе 52 зарубе:шых авторов.

Во введении обосновывается актуальность проблемы, излагаются цель работы п научная яовизна, формулируются задачи исследования.

Первая глава посвящена обзору работ по современному состоянию вопросов, связанных с численным решением краевых задач изгиба пластин средней толщины.

Изучение поведения плит как несущих элементов конструкций ведется по трем направлениям: теории толстых плит; классической теории тонких пластин и уточненным теориям изгиба плит средней толщины. В бшшгинстве работ, относящихся к расчету толстых плит, пространственная задача теории упругости сводится к двумерной задача теории пластин, либо решается со "шягченнкліп" граничными условиями.

Значительный вклад в развитие общей теории изгиба пластин и еэ приложений внесли: О.К.Аксентян, С.А.Алексеев, В.И. Блох, А.А.Бойм ,' Д.В.ВаЛнберг, П.М.Варвак, П.Н.Векуа, Б.^.Власов, З.З.Власов, А.!.!.Войн, И.И.Ворович, Е.Г.Галеркин, Ю.Л. Груздев, В.М.Деев, Л.И.Лурье, А.Ляв, Е.А.Рева я др.

Практические расчеты по трехмерной теории упругости значительно услот-яяются из-за необходчмостц учета пространст-

6 венной работы конструкции. Зто обстоятельство вызвало закономерный процесс построения приближенных двумерных теорий с привлечением упрощагацих гипотез статического или кинематического характера.

Классическая теория тонких пластин, представленная в известных работах ІІ.Г:Бубнова, Б.Г.Галеркина, А.И.Лурье, А.Лява, С.П.Тимошенко,вносит значительные упрощения в исследования процесса их деформирования. Несвободная от противоречий она допускает неполное удовлетворение условий на краю.

Отмеченные несовершенства теории тонких плит были устранены Э.Рейсснером. Исследования в этом направлении продолжили Л.Я.Айнола, С.А.Амбарцумян, А.Балле, Б.Ф.Власов, А.Л.Гольденвейзер, А.Кромм, Х.М.Муштари, П.Кагди, В.В.ПонятовскиЙ, И.Г. Терегулов и др.

При исследовании относительно толстых плит со сложными граничными условиями общая форма решения аналитическими методами получается настолько громоздкой, что преимущественное применение находят приближенные численные методы. К ним в первую очередь относятся метод конечных элементов (МКЭ) и конечных разностей (МКР). В работе достаточно подробно изложены их достоинства и недостатки.

Большими возможностями в расчетах различного рода конструкций обладает метод последовательных аппроксимаций (МПА), который получил обоснование и развитие в работах А.В.Александрова, М.Б.Вахитова, Р.Ф.Габбасова, Б.Я.Лащеникова, А.Ф.Смирнова, В.А.Смирнова. Применение МПА к расчету плит средней * толщины показало высокую точность, удобство формирования уравнений, быструю сходимость решений при учете разрывов без специального сгущения сетки.

Эффективные численные алгоритмы допускают единство подхода решению практических задач изгиба плит, в том числе и . на упругом основании. Теория изгиба на базе винклеровой модели основания очень удобна для рассмотрения различных усложняющих обстоятельств, вызванных уточнением схемы работы плиты.. Ряд задач о расчете неограниченных плит и плит конечных размеров, лежащих на-упругом основании, с учетом деформаций поперечного сдвига рассмотрен в работах В.С.Глазырина, П.П.Лав-риненко, П.М.Нагди, В.И.Парфенова, Д.Фредерика и др. В дис-

7 сертации такого типа задачи рассмотрены в качестве тестевых.

Обзор исследований по расчету плит среднел толщины на изгиб позволил констатировать следующее:

отсутствует универсальная модель, ориентированная на решение широкого класса практических задач;

анализ различных вариантов прикладных теорий, несмотря на их относительную простоту, осложняется отсутствием единого алгоритма построения решений;

- недостаточно изучен класс задач со сложными краозіс.ш усло-
' впями и при действии разрывных нагрузок.

Во второй главе на базе разностных уравнений ША составлен алгоритм расчета плит сроднеЛ толщины на изгиб с различными условиями на контуре и плит на упругом основании.

Разрешающие уравнения по РеЛсснеру приведены к системе трех дивйеренцкельных уравнениЛ второго поряд^гча относительно безразмерных неизвестных:

v² u) =- т )

^т-Р^^^^Р-г); ^ ^Ш

где. и) » ur(i,a)D/(^Q* ; 7²=э^а/э$^г+з'>|,^г

^-= і/а; т.-У/а; ]5 = М)/г;

иГ- прогиб; у - функция напряхеїшй; о - интенсивность нагрузки; а„ - интенсивность распределенной нагрузки в фиксированной точке пластины; а - характерный размер плиты; d -толщина; Т)"Е(1³/)2 (l_j-V^z) ; Е - модуль упругости; і -коэффициент Пуассона; Р - нормальная реакция основания;

l=C-u) - безразмерный отпор основания; С = K₀ttVT) ; . К₀ - коэффициент постели.

Разностные уравнения ША при заданных граничных услови
ях описываются системоЛ редуцированных формул без использова
ния законтурных точек. Они могут быть представлены в символи-'
ческой форме: '

где J2 и Р - двуїлернне разностные операторы,учитывающие разрывы и)к,Р и их производных, причем ц)_к-функция левой, Р -правой части уравнений (I); п - число неизвестных в левой части; в случае уравнениіі системы (I) п = к = I. При аппроксимации исходной задачи разностной схемой МПА численное решение сводится к отысканию вектор-функции Uj, = (u^\ lO^, ф ,

и) ) в узлах конечномерной сетки с последующим вычислением основных компонент налряженно-деформированного состояния; здесь и)М = з*и)/8$¹; и)^=Э*и)/эц^г- Наличие в уравнениях скачков производных дает возможность рассчитывать изгибаемые плиты на разрывные нагрузки без специального сгущения сетки вблизи разрывов.

Совместное решение алгебраических уравнений производилось итерационным методом Гаусса-Зейделя. Для повышения скорости сходимости использовался метод верхней релаксации. Реализация программы выполнялась с последовательным переходом от одной расчетной точки к другой на каждом шаге приближений. В целях обеспечения устойчивости и сходимости решение производилось на наборе вложенных одна в другую сеток.

Для выявления вычислительной эффективности разностной схемы метода последовательных аппроксимаций проведена реализация алгоритма на модельных задачах. Рассматривались подробно случаи симметричного и асимметричного свободного края, шарнирного и свободного опирання, жесткого защемления (рис.1). Расчеты проведены при различных значениях относительной тол-шины А/а , отношения сторон 6/о , постоянном коэффициенте Пуассона $ = 0,3 и следующих нагрузках: равномерно распределенной, синусоидальной, полосовой и локальной типа "крест"; последняя имитировала сосредоточенную силу. При этом использовался простой путь учета конечных разрывов нагрузки, связаач: ный со структурой разностных уравнений МПА.

Для оценки точности вычисления компонент НДС плиты в зависимости от типа граничных условий проводилось сопоставление данных МПА с результатами:классической теории, экспериментальных исследований, известных решений расчета пластин средней толщины и толстых'плит. Численные результаты, полученные по МПА₍практически совпадают с известными аналитическими, а при

_{2 fM'^w1}

і * » M 4

J/o_

Рис I. Расчетная схема плиты : I - шарнирное опирание;
2 - жесткое защемление; 3 - свободное опирание;
4 - свободный край. .^

Рио. 2. Распределением) прогибов и изгибапцих моментов в сечении ^ и 0,5; б) поперечных сил по контуру плиты ( i/a = 0,2).

6.ІЗ

(6.М)

Рис. 3. Поверхность прогибов свободно лежащей на упругом основании плиты по уточненной (dfa = 0,1) и классической теориям}в скобках значения по классической теории.

10 уменьшении толщины шщты ( d/a —0) в пределе совпадают с решениями тонких пластин. Для шарнпрно опертой плиты уточненная теория не вносит существенных поправок в величины изгибающих моментов. Отклонение полученных значений не превышает 1-2$ дане при достаточно большом значении параметра d/a . Однако по прогибам результаты больше отличаются от решения по классической теории: d/a = 0,1 - 4,2$; d/a ~= 0,2 - 17,4 (равномерно распределенная нагрузка).Расчеты показали, что в рассматриваемых случаях загрукения жесткое защемление пластины или свободный край вносят значительные поправки в налрягсеннс-деформирс— ванное состояние. Для квадратной плиты при d/a =0,2 отклонение результатов достигает &5% по прогибам и 32% - изгибающим моментам.

Таблица I-

В таблице І для квадратной, загруженной равномерно распределенной нагрузкой пластины с кестким защемлением продольных и шарнирным опиранием поперечных краев проведено сравнение результатов МПА с данными аналитического и численного (МКЭ) решения. В расчетах по МКЭ использована линейная аппроксимация внутри элемента и сетка 21 х 21 на четверти пластины (МПА - сетка 8x8). Точность расчетов МПА по перемещениям и моментам практически одинакова, в то время как МКЭ содержит

наибольшую погрешность по моментам.

Кроме того, в диссертации проведено сравнение решений, полученных на основе разработанной методики, с результатами экспериментального исследования Л.А.Гордона и др. Расчетные величины при і/а 0,25 удовлетворительно согласуются с данными эксперимента.-

В задачах на действие разрывных нагрузок с симметричным
и несимметричным закреплением краев значения прогиба в центре
получаются выше, чем в классической теории. Например, для пли
ты с жестким защемлением трех кромок и шарнирным опиранием чет
вертой (рис. 2а) при относительной толщине і/а =0,2 расхожде
ния составляют соответственно 15$ при действии нагрузки типа
"крест" и 22$ - для полосовой нагрузки. С увеличением ijx наи
большее отличие по моментам тлеет место при нагрузке, распре
деленной вдоль линии. Распределение поперечных сил по контуру
плиты представлено на рис. 26. Если на большей части границы
поворот невозможен, наблюдается уменьшение значений поперечных
сил. Аналогичный эффект получается с ростом относительной тол
щины л/а. ' —

По построеннному алгоритму выполнены расчеты: шарнирно опертой плиты на упругом основании на действие распределенной нагрузки; свободно спертой плиты при последовательном увеличении её размеров и нагружешш сосредоточенной силой в центре; также свободно лежащей на винклеровом основании пластины. Расчетная модель последней принята в соответствию! с данными работы Н.Н.Леонтьева в виде квадратной железобетонной плиты, лежащей на упругом основании постоянной жесткости с=256 и загруженной локальной нагрузкой. Результаты І.ША по классической теории практически не отличаются от данных, полученных обобщенным вариационным методом. Для выявления влияния деформаций сдвига выполнены расчеты системы "основание - плита" по уточненной теории для i/a = 0,1; 0,2. Полученные результаты сравнивались с решениями данной задача конечно-разностным методом повышен- . ной точности В.И.Парфенова. Приведенные результаты расчетов по прогибам (рис. 3) показывают различия значений и соответствие характера распределения по уточненной и классической теориям.

3 третьей главе кратко' излагаются основные положения двух вариантов теории изгиба плит средней толщины, предло-

женной Б.Ф.Власовым.

В первом варианте система уравнений равновесия приводит к постановке задачи в перемещениях, решение которой сводится к отысканию функций прогиба цГ и углов поворота У_х и y_s . Д$ш сравнения полученных соотношений с уравнениями изгиба Э.Рейсснера система дифференциальных уравнений приведена нами к смешанной форме. Разрешающие уравнения преобразованы к виду (I) при J = І. Дня дискретизации исходной задачи использована разностная схема МПА, аппроксимирующая уравнения (I) при jS = I в прямоугольнике с заданными краевыми условиями. Подробно рассмотрен случай наг^.ужения Pi*Conji . При этом в правую часть второго' уравнения Системы (I) введен лаплаои-ан от Р , который учитывается соответствующим разностным выражением.

В этой же главе рассмотрено построение второго варианта уточненной теории Б.Ф.Власова, основанного на допущениях: о прямолинейности поперечного элемента пластины в деформированном состоянии; нерастяжимости срединной плоскости и отсутствия надавливания продольных слоев пластины, друг на друга. Эти гипотезы внесли значительные упрощения в теорию и привели к линейному закону распределения перемещений по толщине пласти-, ны в отличие от первого варианта теории, где был принят куби-_ч ческий закон.

Краевая задача изгиба шшт по второму варианту сформулирована также на основе уравнений относительно (if, f_x и fy . Система дифференциальных уравнений записана в безразмерном виде: .''

d¹ Ц ц^г <-v э$*. Р? зщ IF* >

(3)

d^x п ц¹ М эц^г <-* ЧЧ Т^ )
^_[0__ЖЧ}_₁₁М .-

где V^=» VxU/a^Q³}^'-^/^^ - утлы поворота поперечного прямолинейного элемента в направлении осей I ,п соответственно;

Система дифференциальных уравнений (3) с введением новых неизвестных преобразуется Б.Ф.Власовым " к более компактному виду, удобному при построении аналитических решений. При

численном решении задачи, в частности по МПА, удобнее исходить непосредственно из уравнений (3). Для аппроксимации системы используются разностные уравнения МПА (2) при п = к - 3.

дифференциальные уравнения (3) также можно свести к смешанной форме и воспользоваться первым алгоритмом МПА, по которому составлена программа; следует лишь учесть, что в этом случае р_< = 5/6.^;

В четвертой главе на основе разностных уравнений МПА реализована вычислительная схема алгоритма по двум вариантам теории Б.Ф.Власова в смысле определения искомой вектор - функции ^(и^и)¹" Ф,и^ . Модельные задачи решались для квадратных пластин с тремя различными условиями на контуре при вышеназванных случаях загружения. В качестве одной из тестовых задач рассмотрена толстая квадратная плита (d/a = І/З) с шарнирно опертыми краями на действие синусоидальной нагрузки. Наибольшее расхождение по прогибам с пластиной Кирхгоффа составило 38$ в сторону завышения при решении по первому варианту теории. В указанной задаче расхождение результатов, полученных по Э.Рейс-снеру и первому варианту теории Б.Ф.Власова, по изгибающим мо-.. ментам достигает 8,1$.

Некоторые результаты вычислений по разработанному алгоритму сопоставлялись с известными аналитическими решениями А.В.Папуша, выполненными по второму варианту теории. Подобное сравнение проведено лишь для плит с симметричным закреплением сторон, что объясняется процедурой построения аналитического решения. Отклонение от аналитических решений составило не бо- лее 'і% по прогибам и моментам.

Далее в четвертой главе приводятся расчетные величины перемещений и усилий в характерных точках и сечениях плиты с несимметричным опиранием сторон по второму варианту теории на действие распределенной и разрывной нагрузок. Для пластин средней толщины эти результаты получены впервые.

На примере задачи жестко защемленной по контуру плиты (рис. 4) проведена оценка точности по ковпонентам напряженно- ' деформированного состояния. Решения с помощью МПА по классической и уточненной теориям сопоставлены с результатами Ю.Э. Михайличенко (табл;- 2), полученными методом начальных функций (МИФ). Установлено, что с увеличением параметра і/а наблюдаются сходные закономерности изменения прогибов и изгибающих моментов и удовлетворительное совпадение результатов.

н,

{(SM.M/J/

6/a =-(

////'//)

dfe

РИ

б/о

Рис. 4.

' МПА

«Он,- I0^d тХ-іо

Рассмотрен вопрос о выборе варианта уточненной теории при_чзаданных геометрических параїлетрах d/a. Установлены ори-энтировочлые границы применения теорий и класс задач, в которых математические.модели, учитывающие деформации поперечного сдвига, приближенно отражают поведение реальной конструкции.

Краевая задача уточненной теории пластин представляется в виде системы дифференциальных уравнений: .

UllU.jli.) =0-, (4)

с граничными условиями

. Fi(Ui,Ai) -fl|_r, , (5)

где Mi-вектор искомых функций, зависящий от типа используе
мой теории расчета; Ui= (иГ^при L = 1,2 (1=1- теория
Э.Рейсснера, 1=2- Б.Ф.Власова (I вариант)); и^^иГ^хДЛ
при 1=3- второй вариант теории Б.Ф.Власова; jlj - вектор
нагрузки. " - '_'

'Влияние характера'принимаемых кинематических гипотез на

7.0-

S.O

5.0

/

0.*

0.J

5.

Рис.

величину прогиба продемонстрировано на примере изгиба квадратных плит, находящихся под действием распределенной нагрузки, с тремя типами граничных условий при і = 1,2,3. На рис.5 проведено сравнение максимального прогиба с результатами решения задачи трехмерной теории упругости (ТТУ) Д.М.Коновалов, -В.И.Акимовой. Уточненная модель ( L = 2) дает ощутимое приближение к решению пространственной задачи при і/а.- 0,2+ 0,4.

Сопоставление результатов численного анализа с экспериментальными данными позволяет сделать вывод о том, что напряженно-деформированной состояние плиты в диапазоне изменения 0,05«;«I/a «0,20 удовлетворительно описывается моделями Э.Рейс-снера и Б.Ф.Власова (П вариант).