Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ состояния вопроса и цели работы 10
1.1. Обзор развития теории тонкостенных стержней 10
1.2. Обзор по колебаниям тонкостенных стержней и балок 12
1.3. Оптимизация конструкций из тонкостенных стержней 14
1.4. Выводы по первой главе, постановка цели и задач исследования 18
2. Применение теории тонкостенных стержней с учетом вторичных сдвигов для исследования прямолинейных стержней 20
2.1. Исходные положения теории тонкостенных стержней с учетом вторичных сдвигов и уравнения движения тонкостенного прямолинейного стержня 20
2.2. Исследование напряженно-деформированного состояния тонкостенной балки 29
2.3. Определение геометрических характеристик сечений 37
2.4. Выводы по второй главе 46
3. Исследование собственных колебаний тонкостенных стержней и балок на их основе 47
3.1. Решение дифференциальных уравнений движения тонкостенного прямолинейного стержня 47
3.2. Уравнения движения многопролетной балки 69
3.3. Оценка влияния учета вторичных сдвигов на значения собственных частот неразрезной балки 75
3.4. Выводы по третьей главе 81
4. Оптимизация параметров многопролетной балки с ограничениями по прочности и частотам собственных колебаний 83
4.1. Постановка задачи оптимизации 83
4.2. Алгоритм оптимизации много пролетной балки с ограничениями по прочности и частотам колебаний 84
4.3. Выводы по четвертой главе 94
Выводы 95
Литература 97
- Обзор по колебаниям тонкостенных стержней и балок
- Исследование напряженно-деформированного состояния тонкостенной балки
- Уравнения движения многопролетной балки
- Алгоритм оптимизации много пролетной балки с ограничениями по прочности и частотам колебаний
Обзор по колебаниям тонкостенных стержней и балок
Тонкостенные стержни впервые применили в 1840 году при строительстве мостов, где они использовались в виде балок двутаврового сечения из сварочного железа [101]. Первые работы, посвященные теории тонкостенных стержней появились позднее. Они принадлежат L. Prandtl [138] и A. Michell [133], которые в 1899 году рассмотрели задачу об устойчивости плоской формы изгиба прямоугольной полосы.
Однако основой современной теории стесненного кручения тонкостенных стержней стали работы СП. Тимошенко [103, 104]. Он впервые отметил непригодность теории кручения Сен-Венана [92] для тонкостенных стержней открытого профиля, учел эффект депланации в двутавровых балках и решил задачу об изгибно-крутильных формах потери устойчивости изгибаемой двутавровой балки. Эта теория впоследствии была обобщена Н. Wagner [146] для стержней с произвольным открытым профилем. Дальнейшие исследования принадлежат немецким ученым В. Bach [119-122], С. Weber [147] и другим. Как правило, в этих работах рассматривалась задачи о стесненном кручении конкретных профилей.
В дальнейшем вопросами стесненного кручения занимались многие ученые, но наиболее выдающихся результатов добились профессор В.З. Власов [18, 19, 20] для стержней открытого профиля и А. А. Уманский [106, 107] для стержней с замкнутым контуром.
В.З. Власов положил в основу своей теории тонкостенных стержней несколько упрощающих гипотез, что позволило создать до вольно простой и удобный расчетный аппарат. А.А. Уманский, учитывая, что эффекты стесненного кручения в стержнях с замкнутым контуром меньше, чем в стержнях с открытым контуром, ввел новую функцию для меры депланации, которая не совпадает с производной от угла закручивания, как это было принято В.З. Власовым.
С момента создания указанных выше теорий расчета тонкостенных стержней возник вопрос о правомерности гипотез, положенных в их основу. Определению величин погрешностей, вносимых в расчет принятыми допущениями, было посвящено большое количество экспериментальных и теоретических работ.
Вслед за основополагающими работами В.З. Власова и А.А. Уманского появились многочисленные исследования, посвященные анализу исходных гипотез В.З. Власова, среди которых работы Ю.Н. Работнова [90], К.Д. Туркина [105] и Е.Д. Кондрашева [49], а также решению конкретных вопросов. В настоящее время количество публикаций по теории тонкостенных стержней и ее приложениям велико. Здесь следует указать на обзоры литературы Я.Г. Пановко и Е.А. Бей-лина [83], В.А. Рыбакова, О.С. Гамаюновой [91] и других. При этом наиболее полно разработана теория недеформационного расчета. Результаты этой теории освещены в различных справочниках [97, 98], а также в учебниках по сопротивлению материалов и строительной механике [3, 14, 28].
Наиболее актуален в настоящее время расчет тонкостенных стержней по деформационной схеме. Влияние деформаций сдвига срединной поверхности на напряжения оценивали в своих работах В.З Власов [21], А.К. Мрощинский [76], Р.А. Ададуров [1], П.Д. Мищенко [71, 72], В.Б. Мещеряков [31, 32, 33], Т.А. Воронцова [26], В.П. Юзи ков [117] и другие. Из работ зарубежных ученых следует отметить статьи Е. Chwalla [124], F. Meissner [132], R. Schmied [143], H. Nylan-der [134] и 0. Pettersson [136].
Большое количество работ посвящено конечно-элементному анализу напряженно-деформированного состояния тонкостенных стержней [39, 56, 81, 128, 141].
Для тонкостенных стержней открытого профиля с прямолинейной осью гипотеза о недеформируемости контура дает удовлетворительные результаты даже при больших (по сравнению с размерами поперечного сечения) расстояния между диафрагмами, препятствующими искажениям сечений в их плоскостях. Справедливость предположения об отсутствии деформаций сдвига в срединной поверхности для стержней открытого контура ограничена стержнями достаточно большой длины. Для стержней замкнутого профиля пренебрежение искажениями контура может привести к значительным погрешностям.
Хотя теории стесненного кручения стержней открытого и замкнутого профиля развивались независимо друг от друга, однако расчетный аппарат обеих теорий довольно близок по структуре друг другу. Это объясняется тем, что основные допущения и гипотезы обеих теорий практически одинаковы. На аналогию между упомянутыми теориями обращали внимание Г.Ю. Джанилидзе и Я.Г. Пановко [37], В.И. Урбан [108], ОБ. Лужин [57] и другие.
Исследование напряженно-деформированного состояния тонкостенной балки
В рассматриваемом случае, вследствие введенных гипотез изгиба и стесненного кручения, в опасных точках сечения реализуется частный случай ПНС. Согласно энергетической теории прочности эквивалентные напряжения равны:
В дальнейшем задача расчета балки на прочность сводится к определению значений усилий в опасных сечениях балки, а далее - к определению эквивалентных напряжений в опасных точках сечений и проверке условий прочности. Для решения данной задачи необходимо рассмотреть стесненное кручение балки и ее изгиб.
Уравнение для депланации по длине стержня получено из системы (2.15) в виде: д _к2д = щ dt3 dt EJ3(Jkk33+\) где к = J - изгибно-крутильная характеристика. Учитывая, что исходная система является статически неопределимой, для определения значений бимоментов в опорных сечениях сформулировано уравнение трех бимоментов: В,_а2 (/,) + 2Bt (х, {l,) + Z2 (//+l)) + Bl+lZl (/г+1) = GJk (t + м), (2.17) где Bl_l,Bl,Bl+l - значения бимоментов в опорных сечениях, 1г.,/.+1 длины соседних пролетов, i//ni//1+l - выражения для депланации, зависящие от внешней нагрузки в пролетах,
Число уравнений (2.17) равно (п-\). При решении полученной системы определяются опорные бимоменты. Разрешающее матричное выражение, соответствующее решению (2.16), для г-го пролета балки имеет вид: где M3i(z) - полный крутящий момент в сечении, Л = \Jkk33 +1). Последнее слагаемое выражения (2.18) представляет собой вектор, элементы которого - функции влияния внешней нагрузки. Углы закручивания на опорах равны нулю, бимомент в опорных сечениях определены ранее, в, (о) = в, {і,), В, (о) = В,, В, (/) = Вм.
Применение уравнений (2.18) для всех пролетов позволяет получить функцию бимомента и полного крутящего момента по длине балки. Из уравнения видно, что наличие коэффициента формы к33, а, следовательно, и учет вторичных сдвигов влияет на состояние сечений стержня.
Для решения уравнения (2.19) применим подход, аналогичный решению уравнения (2.16), то есть последовательно составим уравнения трех моментов и уравнения состояния каждого пролета.
Для балки, состоящей из п пролетов, можно составить (п-\) уравнений вида (2.20). При этом следует учесть, что при шарнирном закреплении моменты на концах равны нулю. Результирующая система позволит определить изгибающие моменты в опорных сечениях. Решение уравнения (2.19) для / пролета балки удобно представить в матричном виде: EJtfXz) Mu{z)
Первое слагаемое правой части (2.21) соответствует решению однородного дифференциального уравнения. Второе слагаемое соответствует частному решению неоднородного дифференциального уравнения (2.19) и отражает влияние внешней нагрузки на состояние балки.
Уравнение (2.21) позволяет определить состояние сечений балки в зависимости от координаты сечения и значений параметров т]і(о), Д.(о), Мь(о), Q2i(о) на левой опоре для участка балки. Наличие коэффициента формы кц приводит к тому, что угол поворота сечения не пропорционален производной от прогиба, и расчет становится более точным. Прогибы на опорах равны нулю, изгибающие моменты в опорных сечениях были определены ранее с помощью (2.20). Следовательно: TJ, (о) = rli (/,.), Ми (о) = Мь ,М1г (/) = М1(г+1).
В результате, применение уравнений (2.21), с учетом статических и кинематических условий на границах участков, позволяет получить функции изгибающего момента и поперечной силы по длине балки для каждого пролета. Р=30кН
В качестве примера рассматривалась трехпролетная неразрезная балка (рисунок 2.5). Сосредоточенная сила и распределенная нагрузка приложены с эксцентриситетом. При решении были получены эпюры распределения ВСФ, определены составляющие напряжения в точках сечения. Результаты представлены в виде эпюры эквивалентных напряжений для опасных точек сечений балок открытого (рисунок 2.5а) и комбинированного (рисунок 2.56) профиля. Номера линий соответствую опасным точкам соответствующего сечения (рисунки 2.6а, б).
Анализ распределения напряжений по длине балки показывает, что для стержней открытого профиля большое влияние оказывает стесненность кручения - значения нормальных напряжений от действия бимомента в сечении больше, чем от изгибающего момента. При наличии замкнутого контура в сечении балки крутильная жесткость увеличивается, и основной вклад в значение эквивалентного напряжения вносит изгибающий момент. Дополнительно построены эпюры прогибов балки и угла закручивания (рисунки 2.5в, г).
Таким образом, представленный подход позволяет получить уравнения состояния неразрезной тонкостенной балки в аналитической форме вне зависимости от числа ее пролетов и определить, соответствуют ли выбранные размеры сечения задаваемой нагрузке. Ре зультирующие выражения применяются для оценки прочности. Учет вторичных сдвигов при этом позволяет уточнить значения перемещений точек сечения и внутренних силовых факторов как при изгибе, так и при кручении.
Для тонкостенных профилей используется допущение [57], позволяющее существенно упростить вычисление геометрических характеристик сечения: интеграл по площади заменяется криволинейным интегралом вдоль периметра контура сечения. То есть dF = dxxdx2 заменяется на Ssds. В особенности, данное допущение облегчает определение характеристик при изучении стесненного кручения.
Расчетные формулы для части характеристик сечений подробно рассмотрены и представлены в справочной литературе. Среди них площадь сечения, осевые, секториальный, полярный моменты инерции и статические моменты:
Уравнения движения многопролетной балки
Применение полученных выражений рассматривалось на примере изгибных колебаний стержня, как более наглядных.
При исследовании колебательных процессов в тонкостенных стержнях, как правило, определяются частоты собственных колебаний. Данные частоты позволяют исследовать возможность возникновения резонанса и соответствующих ему амплитуд колебаний. Тем не менее, в процессе колебаний стержни могут разрушиться не только вследствие резонансных явлений, но и в связи с их недостаточной прочностью. После снятия внешних нагрузок, стержень продолжает колебаться. Изменение формы говорит о наличии в сечениях стержня внутренних силовых факторов, а, следовательно, и напряжений, вызванных колебаниями. Если данные напряжения превысят допускаемые значения, то произойдет разрушение стержня.
В дальнейшем определялись главные формы свободных изгибных колебаний тонкостенного стержня, исходя из обеспечения желаемой жесткости, и внутренних силовых факторов. Рассмотренный подход может применяться и при изучении крутильных колебаний. Определялись максимальные напряжения в сечениях стержня и проводилась проверка условия прочности.
Уравнение (3.24) для изгибных колебаний стержня может быть записано в безразмерных величинах: значения значений прогиба, угла поворота сечения, изгибающего момента и поперечной силы в сечении на левом конце стержня; A (z) - элементы матрицы (3.24).
Дальнейшее решение будет зависеть от способа закрепления стержня. Условий закрепления достаточно для определения частоты свободных колебаний, но для определения форм колебаний необходимы дополнительные условия. Такими условиями могут быть требования, предъявляемые к жесткости конструкции, в частности, при изгибе - ограничения по допускаемому прогибу. осихі; 8 - толщина стенки стержня. Для рассматриваемых сечений в соответствии с формулами (3.32) распределение напряжений происходит таким образом, что максимальные нормальные напряжения находятся в верхней и нижней точках сечения, а максимальные касательные - на оси xi (рисунок 3.1). Фактическое напряженное состояние стержня заменяется эквивалентным ему линейным напряженным состоянием. сг(х2)
Определяются касательные, нормальные и эквивалентные напряжения. Эпюры распределения безразмерных напряжений (напряжений отнесенных к модулю Юнга) по длине стержня в точках 1, 2 и 3 сечения (рисунок 3.1) приведены на рисунке 3.3.
В связи с тем, что влияние касательных напряжений незначительно, в качестве опасной точки выступит точка 1 сечения с координатой z=l/2. Эквивалентное напряжение в этой точке аэкв = 0,243 -10 . ажв = Е сгжв = 51,2 МПа. Таким образом, рассматриваемый стержень соответствует условиям прочности и жесткости.
Были рассмотрены колебания стержня с теми же параметрами сечения, закрепленного жестко одним концом и шарнирно - другим. Отличием от предыдущего примера является несимметричность эпюр внутренних силовых факторов относительно середины стержня.
Выражение (3.30) позволяет определить максимальное значение прогиба т7тах. Оно будет соответствовать первой главной форме колебаний. Полученное значение позволит использовать условие жесткости и, в совокупности с (3.27), определить оставшиеся неизвестные граничные условия: M ,(0) a (0)= Эпюры распределения напряжений по длине стержня в точках 1, 2 и 3 сечения (рисунок 3.1) приведены на рисунке 3.5. В качестве опасной точки выступит точка 1 сечения с продольной координатой z=0,58/. Эквивалентное напряжение в этой точке 5\ =
Таким образом, рассмотренный подход позволяет на стадии проектирования стержневых тонкостенных конструкций, работающих на изгиб, обеспечить одновременно их прочность и жесткость
Алгоритм оптимизации много пролетной балки с ограничениями по прочности и частотам колебаний
Разработаны алгоритм и программный модуль расчета и оптимизации по массе тонкостенной неразрезной балки при ограничениях по прочности и частотам собственных колебаний. Выполнен анализ влияния ограничений по частотам собственных колебаний на оптимальный проект. Проведенный анализ свидетельствует о высокой степени влияния ограничений по собственным частотам колебаний на оптимальный проект - при наличии ограничений материалоемкость, в некоторых случаях, возросла на 30%. Использование балок комбинированного профиля позволило снизить материалоемкость на 10-15% по сравнению с балками открытого профиля.
С использованием двухуровневого алгоритма впервые решены задачи оптимизации трехпролетных балок открытого и комбинированного профилей при дополнительном варьировании положений опор. Материалоемкость оптимального проекта оказалась ниже на 20,3% для балок с открытым профилем и на 19,7% для балок с комбинированным профилем, чем в решениях без варьирования положения опор. Полученные оптимальные проекты были качественно оценены по дополнительному критерию, дающему суммарную оценку степени отклонения собственных частот от частот возбудителей колебаний. Результаты расчетов показали, что при дополнительном варьировании положений опор этот критерий улучшается на 17%и21% для балок с открытым и комбинированным профилем соответственно. выводы
В результате решения уравнений для напряженно-деформированного состояния неразрезной тонкостенной балки с учетом вторичных сдвигов получены аналитические выражения для характеристик НДС балок открытого, замкнутого и комбинированного сечений при изгибе и стесненном кручении. Проведенный анализ показал, что учет сдвигов от изгиба и стесненного кручения позволяет уточнить значения перемещений и внутренних силовых факторов для стержней открытого и комбинированного профилей на 3%.
Получены аналитические выражения в виде новых уравнений трех моментов и трех бимоментов для определения собственных частот изгибных и крутильных колебаний неразрезной многопролетной балки тонкостенного бисиммертичного сечения, имеющего как отрытые, так и замкнутые участки с учетом вторичных сдвигов; разработана методика определения собственных частот колебаний. Получены выражения для главных форм изгибных и крутильных колебаний для прогибов, углов поворота и закручивания сечения, функции депланации, бимомента, изгибного момента, моментов чистого и стесненного кручения неразрезной балки с учетом вторичных сдвигов. Оценка влияния вторичных сдвигов на собственные частоты показала, что это влияние существенно и увеличивается для высоких форм колебаний. Для стержней открытого профиля разница частот с учетом и без учета сдвигов составила 3%, для стержней замкнутого и комбинированного сечений - до 24%. Сравнение значений частот, полученных при расчете по предложенной методике, с результатами, полученными с использованием специализированных программных систем моделирования балки на основе объемных конечных элементов, дало результаты, отличающиеся на 1-3%, что подтверждает возможность использования предлагаемой методики.
Разработаны алгоритм и программный модуль расчета и оптимизации по массе тонкостенной неразрезной балки при ограничениях по прочности и частотам собственных колебаний. Впервые решены задачи оптимиза ции для тонкостенных балок открытого, замкнутого и комбинированного профилей при варьировании размеров сечений. Выполнен анализ влияния ограничений по частотам собственных колебаний на оптимальный проект. Проведенный анализ свидетельствует о высокой степени влияния ограничений по собственным частотам колебаний на оптимальный проект - при наличии ограничений материалоемкость, в некоторых случаях, возросла на 30%. Использование балок комбинированного профиля позволило снизить материалоемкость на 10-15% по сравнению с балками открытого профиля.
С использованием двухуровневого алгоритма впервые решены задачи оптимизации трехпролетных балок открытого и комбинированного профилей при дополнительном варьировании положений опор. Материалоемкость оптимального проекта оказалась ниже на 20,3% для балок с открытым профилем и на 19,7% для балок с комбинированным профилем, чем в решениях без варьирования положения опор. Полученные оптимальные проекты были качественно оценены по дополнительному критерию, дающему суммарную оценку степени отклонения собственных частот от частот возбудителей колебаний. Результаты расчетов показали, что при дополнительном варьировании положений опор этот критерий улучшается на 17% и 21% для балок с открытым и комбинированным профилем соответственно.