Расчет стержневых и пластинчатых систем с использованием обыкновенных дифференциальных уравнений Трубаев Александр Сергеевич

Содержание к диссертации

Предисловие 4

Глава I. Расчет балок по методу начальных параметров 7

Введение 7

1.1 Вывод дифференциальных уравнений для сложных балок

и их решение 10

1.2 Примеры 21

Глава П. Решение задачи Коши для обыкновенного линейного, неод
нородного дифференциального уравнения с применением
интеграла Лапласа 30

1. Несобственные интегралы, функции Хэвисайда и Дирака, применение оператора Лапласа для решения дифференциальных уравнений 30

2. Пример решения начальной задачи для дифференциального уравнения 35

3. Примеры решения двухточечных задач, при действии равномерно распределенной нагрузки и при действии сосредоточенного момента и сосредоточенных сил 38

4. Пример решения многоточечной задачи 51

2.5. Построение матриц реакций 57

Глава III. Метод тригонометрических рядов. Построение матриц жест
кости с использованием дифференциальных уравнений 60

Введение 60

1. Построение матрицы реакций для плоской задача теории упругости 67

2. Построение матрицы реакций для пластинки, работающей на изгиб 82

Глава IV. Метод В.3. Власова 94

Введение 94

4.1. Дискретно-континуальная модель В.З. Власова 95

2. Построение функций

3. Вывод дифференциальных уравнений В.З. Власова * 12

4. Примеры ¹¹⁹

Основные результаты и выводы 161

Литература 162

Предисловие

Актуальность темы: В практике проектирования широко используются складчатые системы, для расчета которых В.З. Власовым разработан дискретно-континуальный метод. Этот метод в настоящее время не нашел широкого применения ввиду сложности решения большого количества обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

В настоящее время существует пакет Mathematica, в котором разработаны стандартные программы по решению обыкновенных, линейных, неоднородных дифференциальных уравнением с использованием преобразования Лапласа. С применением этих программ можно полностью автоматизировать дискретно-континуальный метод Власова. Это является актуальным в настоящий момент и способствует созданию более рациональных складчатых конструкций.

Цели и задачи исследования. Целью работы является:

1. Системный подход к записи уравнений В.З. Власова. Использование при их записи общих уравнений строительной механики (геометрических уравнений). Деление всех неизвестных, действующих в плоскости поперечного сечения оболочки, на зависимые и независимые.

2. Освоение пакета Mathematica по преобразованию Лапласа, применение данного пакета для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

3. Разработка общего алгоритма построения матриц жесткости по методу тригонометрических рядов.

4. Автоматизация применения метода начальных параметров для расчета сложных балок (балок на упругом основании, балок в условиях гармонических колебаний и в условиях продольно поперечного изгиба), построение матриц жесткости для этих балок (стержней).

5. Выявление связи между общими уравнениями строительной механики и условно-экстремальным принципом для расчета рам.

5 Обоснованность и достоверность научных положений. Работа основана на широком использовании основных положений сопротивления материалов и строительной механики, достоверность которых не вызывает сомнений. Научной новизной является:

6. Построение матриц реакций для сложных балок (балок на упругом основании, при гармонических колебаниях и при продольно-поперечном изгибе).

7. Дальнейшее развитие метода В.З. Власова, использование общих уравнений строительной механики (геометрических уравнений) при записи дифференциальных уравнений Власова (деление неизвестных на зависимые и независимые).

8. Широкое применение пакета программ Mathematica по решению дифференциальных уравнений операционным методом с использованием интеграла Лапласа.

4. Автоматизация метода тригонометрических рядов.
Практическая реализация. Программные комплексы широко

используются в учебном процессе. Они позволят включить метод Власова в курс строительной механики, что будет способствовать внедрению данного метода в учебный процесс и в практику расчета и проектирования широкого класса складчатых цилиндрических конструкций (мосты, здания и т.д.). Программные комплексы найдут большое применение в расчетах реальных строительных конструкций, в ближайшее время будут внедрены в проектных организациях Гипротрансмост и Гипростоймост.

Апробация работы. Основное содержание работы опубликовано в статье «Построение матрицы жесткости по методу тригонометрических рядов», опубликованной в сборнике трудов МАДИ 2008 г. и в двух пособиях, а также было доложено на международной конференции «Вычислительная механика деформируемого твердого тела» 2006 г. Материал диссертационной работы докладывался на заседании кафедр «Строительная механика» и «САПР транспортных конструкций и сооружений».

Каждая глава диссертации начинается с введения, в котором приводится её краткое содержание. Параграфы в диссертации имеют двойную нумерацию: первая цифра - номер главы, вторая цифра - номер параграфа. Аналогичные обозначения приняты для формул и рисунков.

Автор диссертации выражает глубокую благодарность своему научному руководителю член-корр. РААСН, профессору Шапошникову Н.Н.

Глава 1. Расчет балок по методу начальных параметров.

Введение к работе

История развития метода начальных параметров тесно связана с работами Коши. Движение динамической системы с п массами описывается с помощью системы дифференциальных уравнений второго порядка, при этом предполагается, что в начальный момент времени (t=0) известны перемещения всех масс и их скорости. Эта задача называется начальной задачей или задачей Коши.

Для построения эпюр силовых и деформационных факторов можно использовать решение дифференциального уравнения [70]

Наряду с начальной задачей в строительной механике встречается задача, когда часть граничных условий заданы в начальной точке, часть в промежуточных точках и часть в конечной точке балки. Эта задача носит название многоточечной задачи [51]. Примером многоточечной задачи является задача о построении эпюр деформационных и силовых факторов в многопролетных балках. В дальнейшем аналогичные многоточечные задачи будут рассмотрены и для цилиндрических складок с граничными условиями в промежуточных сечениях.

Особенностью дифференциального уравнения (1.1) является то, что его правая часть представляет собой разрывную функцию. Вследствие этого решение дифференциального уравнения также является разрывной функцией (эпюры силовых и деформационных факторов имеют различные аналитические записи в пределах каждого участка).

Для работы с такими функциями в математике разработан специальный математический аппарат, который называется теорией обобщенных функций (в основу этого аппарата положены специальные функции - функция Хевисайда и функция Дирака). Независимо от этого аппарата в строительной механике проф. Н.М. Герсевановым были построены функциональные прерыватели (по

8 существу те же функции, но записанные аналитически). В дальнейшем эти прерыватели широко использовалась при расчете балок на упругом основании (см. работы И.А. Симвулиди и др.).

Метод начальных параметров был впервые применён Н.П. Пузыревским [88] для расчёта балок на упругом основании. Чёткую форму методу начальных параметров дал Г.Д Дутов, однако широкую известность этот метод получил благодаря выходу в свет книги А.Н. Крылова [61]. Крылов записал решение в виде специальных функций, производные от которых вычисляются с использованием рекуррентных соотношений. Впоследствии он использовал этот способ для интегрирования уравнений динамики.

Н.К. Снитко и П.Г. Куликовским было предложено записать решение дифференциального уравнения в виде ряд Макларена и получить универсальное уравнение прогиба балки. Это уравнение получило название уравнения Куликовского-Снитко.

П.Ф. Папкович [77], Н.В. Корноухов [59] и в последующем Н.К. Снитко [ПО] использовали метод начальных параметров для нахождения кривой изгиба стержня при продольно-поперечном изгибе. Систематическое изложение метода начальных параметров применительно к сжато-изогнутому стержню содержится в курсе "Сопротивление материалов" М.М. Филоненко-Бородича. В.З. Власовым метод начальных параметров применялся для расчёта тонкостенных стержней открытого профиля и для расчета складчатых оболочек.

С появлением ЭВМ широко используются глобальные и локальные системы координат. Использование локальных систем координат с началом в конце предыдущего участка упрощает аналитическую запись эпюр деформационных и силовых факторов для всей балки. Такой подход является наиболее общим при построении эпюр. Если по методу Мора перемещения определяются только в отдельных точках, то метод начальных параметров дает уравнение кривой изгиба балки. При использовании метода начальных параметров производится построение сразу четырех эпюр v, ср, М, Q. Принцип

9 составления программ по методу начальных параметров соответствует тому, как это делается без использования ЭВМ, то есть данные вводятся не сразу, а по ходу решения задачи. Программа имеет простейший вид и построена так, чтобы смысловая часть оставалась за человеком, а компьютер выполнял арифметические операции. Программа может быть легко превращена в стандартную программу, но умышленно этого не сделано, т.к. основное ее назначение - освоение метода начальных параметров.

С помощью метода начальных параметров можно наглядно пояснить понятие критической силы и собственной частоты на примере балки. Далее аналогичные задачи будем решать для рамных стержневых систем, но это потребует более сложного специального программного комплекса (расчета стержневых систем по методу конечных элементов). В этой главе основной упор сделан на вычислительную часть метода начальных параметров. Рассматриваются различные варианты балок: балка на упругом основании, балка, при гармонических колебаниях и балка, работающая в условиях продольно-поперечного изгиба. Возможны комбинации, например, j гармонические колебания сжато-изогнутой балки на упругом основании. При написании главы использовался специальный курс строительной механики, разработанный проф. Киселевым В.А., в котором при решении задач не использовались ЭВМ. Применение ЭВМ резко упростило и расширило возможности курса, в котором логика сохраняется за человеком, а машине передаются сложные арифметические выкладки.

При применении программного комплекса Mathematica пропадает необходимость использования функций Крылова.

1.1 Вывод дифференциальных уравнений для сложных балок и их решение

Балка на упругом основании

Рассмотрим балку на упругом основании, характеризуемом одним коэффициентом постели - модель Э.Винклера. Это основание можно трактовать как бесконечное множество пружин, не связанных между собой. За физическую характеристику винклеровского основания принят коэффициент постели к, равный силе, которую надо приложить к штампу единичной площади при смещении поверхности штампа на единицу. Размерность коэффициента постели - Н/м (кГ/см ). Упругое основание характеризуется погонной жесткостью кЪ (жесткость основания, собранная с ширины балки Ь). При этом реакция упругого основания/?(х) будет р(х) = -kbv(x) Выделим из балки элемент длиной dx и приложим к нему положительные внешние и внутренние силы (рис. 1.1). _м,

Рис. 1.1 В соответствии с уравнениями равновесия элемента (т = 0,^у = 0) и рис. 1.1: ^dM =Q ^dQ ₌ V-^kbv /₁₂) dx dx EJ

Дифференцируя дважды уравнение (1.1) и используя (1.2), получим

Для удобства записи решения перепишем это уравнение + 4n,v dx⁴ ' EJ

Представим решение этого уравнения в виде п, =4 (1.3) (1.4) V = V , + V общ част

Найдем общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (1.3) (1.5) ⁺ ^у_о6щ=0

Для решения уравнения (1.5) воспользуемся подстановкой Эйлера у = се^та (1.6)

Подставим (1.6) в (1.5) и вынесем за скобку се'^х се^гх(г^А +4/т₁⁴)=0. се'^х ^0 т.к. в противном случае в соответствии с (1.5) v = 0 — тривиальное решение. Итак

И+4/іі =0, откуда _г = ^/-4/if =«! V2V-1.(1.7)

Подстановка Эйлера позволяет вместо решения дифференциального уравнения решать алгебраическое уравнение. Вычислим л/-1, для чего запишем (-1) как комплексное число в алгебраической форме и далее переведем его в тригонометрическую форму (рис. 1.2) Z = -l = -l + 0/ = l(cos;r + z'sm;r). (1.8)

Рис. 1.2

Для извлечения корня четвертой степени воспользуемся формулой Муавра lp(cos(p + ism _J) ( q> + 2Впp\ cos- — + /sm (р + 2/Зя .(1.9)

В нашем случае л/-Т = ^jlicosn + is\nn). j3 = 0 3/-1 = 1 /3 = \ $Рл = і /3 = 2 3/^1 = 1 _{р = ъ V}⁼_{T = 1} ( тг ж\ cos—h/sm— =-р 1+г; V 4 4 ^^{v У}

Г 7Г + 2тГ _k-i+0; . л + 2я^л+ z'sm V 4 4 . _{і (-i-O^-U+Ot} f 7Г + 4лг . . 7Г + 47Г cos bzsm V 4 4 _-A-* + zsm— тг + бл- . . ;г + 6яг

Корни уравнения (1.7) будут: rі =(l+i)ri], r₂=(-l+i)ni, r₃ =-(l+i)n_h г₄=(1-і)пі.(\.Щ Далее корни повторяются. В соответствии с (1.9) решение дифференциального уравнения (1.3) будет иметь вид п,х —ШчХ -ПіХ „ІЩХ ~П,Х —Ш\Х с,е '"є""* + с₂е "^,Ле^-' +с₃е "^,ле "' + с₄е"'^Ле Чтобы избавиться от і в показателе степени, воспользуемся формулами Эйлера є ' =cos/i₁x + zsm«₁x _е~ЩХ - _с08щ_Х - і _s[_nnix

Кбщ ^{= С}'\^Є"^Х (^{COS П}\^{Х +} І ^Si^{n П}1^Х) + ^С2^Є"* (^{COS П}\^Х + ' ^Sl^{n W}l^Х) +

С3Є^-"¹ (cos «[Д: - і sin ^х) + с'₄е"^х (cos «jjc — г sin л,х) = = (c{ + c₄)e'^a cosn,x + г'(с,' - c\]e^m sin «jX + (c₂ + c'₃ ]e~'^u cos щх + i(c'₂ - c'₃ ]e~^,ix sin л,х

Перейдем к новым постоянным с_х=(с[+с₂) c₂=i(c[-c'₂) с₃=(с'₄+с'₃) c₄=i(c'₄-c'₃)

Подставляя (1.13) в (1.12) (1.11) (1.12) (1.13)

13 V_oCm = c,e'^u cosn_lx + c₂e"^x sin«,x + c₃e~^,vc cos«,;e + c₄e~'" sinn^x (1.14)

Функции при коэффициентах c_h c₂, c₃, c₄ - действительные. По физическому смыслу решение дифференциального уравнения должно быть действительным, следовательно коэффициенты Сі, с₂, с_3> с₄ - действительные числа (но с[, с'₂, с'₃, с'₄ - комплексные числа) .

Далее найдем частное решение дифференциального уравнения (1.3), которое примем в виде

Подставим (1.16) в (1.15) An\EJ

Подставим (1.14) и (1.17) в (1.4)

Подставим (1.15) в (1.3) (1.15) (1.16) (1.17) ¹²³⁴ bn\EJ ^{V J} Banna при гармонических колебаниях

Рассмотрим вынужденные гармонические колебания при действии равномерно-распределенной нагрузки с интенсивностью, меняющейся во времени по закону q(t) = qcos0t, (1.19) где q - амплитудное значение интенсивности гармонической нагрузки.

Помимо внешней нагрузки на балку будет действовать инерционная нагрузка, интенсивность которой по второму закону Ньютона будет i = -mv, (1.20) .. d²v(x,t)- v = ^г—- - ускорение.

14 - m - погонная масса балки, т = -^, (1.21) где у - объемный вес материала балки, F - площадь поперечного сечения балки, g - ускорение свободного падения.

С учетом (1.21) интенсивность полной нагрузки на балку составит _т.&й. (,.22)

Очевидно, что дифференциальные зависимости между М, Q , q в балке при гармонических колебаниях будут теми же, что и в балке на упругом основании. Рассуждая по аналогии и учитывая (1.22), получим дифференциальное уравнение изгиба балки при гармонических колебаниях yF d²v(x,t) d*v(x,t) g dt *(')- dx⁴ EJ d*v(x,t) _ q(t) yF d²v(x,t) (1.23) ax⁴ ej g dt¹

При нагрузке меняющейся по гармоническому закону (1.19) прогиб также будет происходить по гармоническому закону v(x,t)=Vcos0t, (1.24) где V— амплитудное значение прогиба (функция отх).

Дифференцируя дважды (1.24) по времени и подставляя полученное выражение в (1.23), после сокращения на cos&t, получим дифференциальное уравнение для амплитудных значений прогиба V(x) \уРв^г

Внутренние силы во времени изменяются аналогично прогибу, поэтому после сокращения на cosOt выражения для амплитудных значений М и Q примут вид _е= dx² dx²

Найдем решение дифференциального уравнения (1.25). (1.26) d\ 4 _п lyFe* -~j-n₂ v = 0, где и₂=4—— . dx⁴ \ gEJ

Общее решение однородного уравнения (1.26) будем искать в виде v = ce^rx (1.27)

Подставим (1.27) в (1.26), сокращая на се^гх =0 получим характеристическое уравнение г⁴ -«₂⁴=0, откуда г = ф^ = п₂\!\ . (1.28)

Вычислим л/1, для чего запишем единицу в виде комплексного числа в алгебраической форме и далее переведем его в тригонометрическую форму (рис. 1.3)

I = l + z0 = l(cos0 + z'sin0) .

Рис. 1.3 Для извлечения корня четвертой степени из единицы воспользуемся формулой Муавра (1.9). И затем получим значения корней уравнения

4/г 2/ЗтГ . . 2/?Я" л/1 = cos—-—і-1 sin-^—;

0 = 0 ifl= cos(O) + і sin(O) = 1, n л 4/7 Л . . 71 . P = 1 л/1 = COS— + iSin— -I, /? = 2 лУЇ = cos яг + z sin я- = -1, r, 4/7 Зл" . . Ъп

В = 3 л/1 = cos и sin— = -i,

Далее корни повторяются. Решение однородного дифференциального уравнения имеет вид V = _С]е"^2Х + с'₂е^ІП2Х + с₃е~^П2Х + с'₄е-^ІП2Х. Перейдём к новым произвольным постоянным С₂ И С4 , выполняя замену (1.11): V = СіЄ^П2Х +c₂cosn₂x + c₃e~^nx +c₄sinn₂x , (1-29) где с₂=с'₂+с\, с₂ = i{c₂ -с\).

Далее найдем частное решение дифференциального уравнения (1.30), которое примем в виде ^Участ=(Щ- 0-31)

Подставим (1.31) в (1.30) .4 q „ _л „_ _} п₂щ = —, откуда ^{a =} ~~i (1-32) EJ n^EJ

Подставим (1.32) в (1.31) V = —^— (I 33^s) част 2 т-. т- ' ^ -'-') n₂EJ

Суммируя (1.30) и (1.33), получим общее решение V_o6ш=с_хе^ПгХ+с₂ cosпх + с_ъе "²* + c₄smn₂x + ~~—. (1-34) n₂EJ

Балка в условиях продольно-поперечного изгиба

В балках при действии продольной силы N помимо моментов, возникающих от поперечной нагрузки, будут дополнительные моменты от силы N. В гибких системах изгибные деформации существенно зависят от величины продольных сил - продольно-поперечный изгиб. Уравнения равновесия составляются с учётом перемещений, т.е. в деформированном состоянии. Будем считать, что справедлив закон Гука и перемещения малы по сравнению с основными размерами. При этом продольные перемещения по величине существенно меньше поперечных и ими можно пренебречь, поэтому момент от поперечной силы зависит только от координаты х. Ниже изображены элементы, выделенные из сжато-изогнутой балки (рис. 1.4,а) или растянуто-изогнутой балки (рис. 1.4, б).

Рис. 1.4 В табл. 1.1, приведены дифференциальные зависимости для М, Q и дифференциальные уравнения изгиба балки в условиях продольно-поперечного изгиба.

Таблица 1.1

Сжато - изогнутая балка

Дифференциальное уравнение в этом случае (1.35) id v q dx dx²

Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее уравнению (1.35), имеет вид

2d²v . . + «з —- = 0 , где п-. ^r n

, N-величина сжимающей силы. (1.36)

Решение однородного уравнения (1.80) будем искать в виде v = ce^rx. (1.37)

Подставляя (1.37) в (1.10) и сокращая на се^ч^О, получим характеристическое уравнение г⁴+л|г²=0 или г²(г²+п²)=0, (1.38) тогда

1,2 = 0, r_3A = ±_л/^|" = ±ш₃ . (1.39)

В соответствии с (1.39) решение однородного дифференциального уравнения примет вид v - с_х + с₂х + с₃с^ + с^"¹'"³. (1.40)

В соответствии с формулами Эйлера (1.6) с'_ъе^т*^х + с'_Ае~^1ПуХ = c'₃(cosn₃x + ismn₃x) + c'₄(cosn₃x - isinn₃x) = — (c₃ + c'₄)cosn₃x + i(c'₃ -c₄)sin«₃x.

Перейдем к новым произвольным постоянным с₃=с'₃+с₄, с₄=і(с'₃-с'₄). (1.42)

Решение (1.41) примет вид v = с_х +с₂х + с₃ cos«3-^ + ^4 sinn₃x . (1-43)

Далее определим частное решение дифференциального уравнения (1.43), которое в соответствии с правой частью будем искать в виде v = a^-. (1.44)

Подставим (1.44) в (1.35)

2 2q q _Л 1 qx^{2 ш}з ТГ7 = ТГ7' откуда а = —— и v_4acm = —^EJ (1.45) EJ EJ 2n₃ 2n₃

Общее решение равно сумме (1.44) и (1.45) V = Сі +С?Х + Ст, СОБП?Х + Сд smn-,x-\—~-— . (1.46)

2n\EJ

Растянуто - изогнутая балка

Дифференциальное уравнение в этом случае (табл. 1.2): ^{d v} ₂d²v q _Л [ , _{ґл Л}^ —Г-«з—т = — > ^{где п}з=л— (1-47) dx⁴ dx² EJ^{9 3} lEJ

Аналогично предыдущему, найдем решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (1.47) (v) и частное решение (v_4acm).

Характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению, имеет вид r⁴~_ny=o, r²{r²-n>)=0, тогда

1,2 = > /3 ₄ = ±/l, (1.48)

В соответствии с (1.48) решение однородного уравнения имеет вид v = с_г + с₂х + с₃е^п>^х +с₄е~"'^х. (1.49)

В соответствии с правой частью уравнения (1.49) частное решение будем искать в виде qx ~EJ (1.50) V = ОС ^v част ^

Подставим (1.50) в дифференциальное уравнение (1.91) EJ EJ откуда а =

2 ^участ

In^EJ (1.51)

Общее решение равно сумме (1.49) и (1.51) (1.52) V = q + с₂х + с₃е"^зХ + с₄е

2n\EJ

В табл. 1.2 приведены дифференциальные уравнения и выражения для М и Q для простой и сложных балок.

Балка на упругом основании

Гармонические колебания

Таблица 1.2 Дифференциальные уравнения для простых и сложных балок

Простая балка

Продольно поперечный изгиб _Ч_ EJ d v 4 q —- + n. v = dx* EJ d⁴V dx⁴ d\ ₂d²v dx dx

n, =} \ gEJ n-x = d²v dx² d\ dx³ d\ dx⁴ M = EJ dx² d\ Q = EJ q = EJ Q = EJ dx' rr^d*^v M = EJ Q = EJ q = EJ + n, V d²V dx² d³V dx^{3 f}d^AV ₄ dx^{4 2} M = EJ Q = EJ q = EJ d v 2 dv —т-^пз — _Kdx dxj d v 2 d v —4 з —J ydx dx j

1.2 Примеры Пример 1. Определение критических сил и частот собственных колебаний для балки на двух шарнирных опорах.

Определение критических сил Рассмотрим балку на двух опорах при действии на неё продольной силы. Будем предполагать, что в сечении х балка имеет перемещение v(x) (продольно поперечный изгиб), при этом в балке возникает момент от продольной силы. M=Pv(x). (1.53) 'У///////// Tzt^ZT?

Рис. 1.5 В соответствии с рис. 1.5

М = -Pv Дифференциальное уравнение изгиба балки имеет вид (1.54) d^lv _ М (1.55) подставляя (1.54) в (1.55) будем иметь: d^lv _ Pv d^lv Pv _Лили —- н = 0, EJ dx² EJ

Запишем (1.56) в виде, удобном для записи общего решения (1.56) (1.57) + п v = 0, dx² ' V EJ

Дифференциальное уравнение (1-57) является обыкновенным однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Для его решения используется подстановка Эйлера: v(x) = ce^kx . (1.58)

22 Подставим (1.58) в (1.57) и вынесем за скобки се ^0 се^ь(к²+п²)=0, откуда к² +п² = 0 . (1.59)

Решая алгебраическое уравнение (1.59), найдем его корни k_l2=±in. (1.60)

Решение дифференциального уравнения (1.55) примет вид _Л ІПХ . _, —ІПХ (Л /Г1\ V = С\Є + с₂е . (1-1)

Для определения произвольных постоянных с_ъс₂, запишем граничные условия х = 0, v(0) = 0; x = l, v(/) = 0. (1.62)

Подставим (1.62) в (1.61)

0 = _Cl+c₂; 0 = с_іЄ^іп1 +c₂e~^inl . (1.63)

Решим систему (1.63) с_х=-с₂\ c\e^inl -е~^ш)=0. (1.64)

Учитывая, что СіФО и используя формулы Эйлера, получим выражение (1.64) в виде

2zsinw/=0 или sin«/=0. (1.65)

Уравнение (1.65) имеет множество решений пі = я,2я...,кя ... (1.66)

Подставим п (1.55) в (1.66) / J— = я,2я...,кя,...

Откуда я²ЕЗ 4k²EJ 9я²ЕЗ к²я²ЕЗ ^к I^і ' /² ' /² ''' I^і

Первые три собственные формы, соответствующие этим критическим силам, будут иметь вид:

k=l P_kl = tt²EJ к =2 P_k2 = Att¹EJ k=3 P_k3 =

9k^zEJ

Рис. 1.6 Наибольший интерес представляет первая форма, т.к. остальные формы потери устойчивости являются неустойчивыми.

Критические параметры для балки на двух опорах _ч=1 определение критических сил пі = я_ь2я_щ Злг, 4/r, 5jt

1=3,1459 п=1,2,3,4,5

11=0.9999

24 n=1.0001

n=1.9999

n=1.0001

n=4.9999

10^J

25 11=5.0001

Рис. 1.7

В соответствии с рис. 1.7 критические силы получаются с высокой степенью точности. Признаком критической силы является изменение знака у эпюры прогибов.

Определение частот собственных колебаний Предположим, что на балку действует сосредоточенная сила, изменяющаяся во времени по гармоническому закону P(t) = Pcoset (1.67) где Р - амплитудное значение силы.

Дифференциальное уравнение в этом случае имеет вид (1.68) при

d^AV -n⁴V = 0, где п = (1.68) где V— амплитудное значение прогиба, у - объемный вес, F - площадь поперечного сечения, g - ускорение свободного падения, в - круговая частота колебаний.

Выпишем передаточную матрицу для случая гармонических колебаний: W(/):=

1 (и.ї) 1 . . 1 (-н.ї) 1-е -2sm(nx) + e-e ₊ 2--cos(nx)--e ,-- _л (nx) , (~nx) , (") . / ч , (-«)

1 e -2cos(«.x) + e 1-е + 2sin(«x) + e n² EJ л³/

, (илг) „ , _ч (-n x)

1 e +2cos(nx) + e -4

4 7я7

1 , (пх) . (-«-т)_ч 1 (лі) і . 1 (-пх) -я (-є +2sin(«A") + e )>7^е + -cos(hjc)+ -е (пл) (-пх) (пх) (-пх)

1-е — 2 sin(« х) + е 1 є - 2 cos( п х) + є я² 7

4 nEJ

1 -є +2sm(nx) + e

4 /7³/ --п EJ(e -2cos(nx) + e ),—rnEJ(-e +2sin(nx) + e ) (/ід) . . (-пх)

1 (пх) 1 . 1 (-и) і -є -2sm(nx) + e -є +^cos(nx) + -e ,-- ,

, (пх) , (-ял)

1 є -2 cos(« дг) + е п EJ{~e -2sm{nx) + e ) ,-п EJ{e -2cos(nx) + e ),

1 , (пх) . (-пх) І (пх) І _{ґ л} 1 (-n.t) —тп(-е +2sm(nx) + e )>~7^е +xcos(«x) + —є 1-е - 2 sm(rt х) + є > vek:=matrix(5,1, [О,phi,0,Q,О]); vek := >х:=1; >per:=evalm(W(x) &* vek); х ~ / per := * , (пі) _ . , ,_s (-л/). , _ , («/) _ . , (-л/К ^-,

1 (-V -2sinQ/) + g )ф 1 (-g +2sm(«/) + e )Q4 n 4 _n^EJ

1 (h/) 1 , ,. 1 (-n/)V 1 (g -2cos(«/) + g )(9 те +-cos(«/) + _Tg Ф + т~ \—

4 2 ^v ' 4 у 4 _n²EJ --nEJ(-e +2sm(///) + g )ф-т

1 ?„_т, (n/) „ , ,_s (-«/К , П («О 1 , ,. 1 (-л/)^ _л ~n²EJ(e ~2cos(n!) + e )ф+ -е + -cos(«/) + -g ' g > res:=genmatrix([per[1,1],per[3,1]3, [phi,Q]);

1 -g + 2 sin(« /) + g ~4 n ~4 _n з 7 (л /) . (-;i /)

1 («/) . _7Л (-«/) 1 -g -2sm(n/) + g -- n EJ(~e + 2 sm(n l) + e ) — —

4 ^{v v J J} 4 n

1 -g -2 sin(w /) + g >d:=det(res);

, _ 1 sm(« /) (g -g )

2 «<-

Определитель равен нулю в том случае, когда числитель равен нулю (п² *0).

У '> _ _в<-« '> * 0, тогда sin(« /) ₌₀

Значит пі = 7г,2тг..., кл (1.69)

Подставим п (1.82) в (1.81)

= ті,2.71... ,кп,...

Откуда І² І yF ' І² І yF ^:

9;r^z g/ k^An^L gEJ

I² V j**

Очевидно, что частоты собственных колебания будут получаться с такой же высокой точностью, как и критические силы.

Пример 2. Простая балка M = EJ^d-^ Q = EJ-~ q = EJ' EJ=dx EJ dx dx dx (1.70)

Эпюра прогибов

^ -і

Эпюра поперечных сил

рис. 1.8

Эпюра моментов

29 Программа решения задачи заняла 24 страницы машинописного текста, что является совершенно не удовлетворительным, поэтому в дальнейшем для решения этой задачи был использован интеграл Лапласа.

Похожие диссертации на Расчет стержневых и пластинчатых систем с использованием обыкновенных дифференциальных уравнений

Суперэлементный подход для расчета складчатых цилиндрических систем с использованием дискретно-континуальной модели В. З. ВласоваМайданов Антон Евгеньевич

Обобщенные уравнения метода конечных разностей в задачах расчета изгибаемых пластин средней толщины на динамические нагрузкиХоанг Туан Ань

Итерационные методы расчета систем с внешними и внутренними односторонними связямиАленин Виктор Петрович

Вероятностно-статистический расчет системы "сооружение-основание" на набухающих грунтахКузнецов Денис Григорьевич

Развитие метода конечных элементов для расчета систем, включающих тонкостенные стержни открытого профиляОсокин, Андрей Владимирович

Статистический метод расчета систем сейсмоизоляции зданий и сооруженийДавыдова Галина Вячеславовна

Применение смешанной формы МКЭ к расчетам пластинчатых системРекунов Сергей Сергеевич

Математические постановки и подходы к численному решению краевых задач строительной механики для расчета комбинированных системВоробьев Михаил Валериевич

Развитие и применение смешанной формы МКЭ в расчетах стержневых систем и пластинокИгнатьев Александр Владимирович

Применение смешанной формы МКЭ к расчетам стержневых системГабова, Виктория Викторовна