Введение к работе
Актуальность темы. Пластинки, как элементы несущих конструкций, находят широкое применение в различных областях современной техники. Требование рациональности конструирования пластинок обусловливают необходимость расчета их как на прочность, так и на устойчивость. В ряде случаев расчет на устойчивость является определяющим при оценке несущей способности пластинок. Основы теории расчета упругих пластинок были заложены в XIX веке, широкое их использование в инженерном деле началось в начале XX столетия в связи с появлением новых строительных материалов, в частности, железобетона.
Одним из основных направлений в совершенствовании методов расчета пластинок является разработка приближенных методов, обладающих максимальной простотой, разумной точностью и возможность получения двусторонних оценок. Изопериметрический метод также относится к приближенным методам. Основные его закономерности в задачах строительной механики пластинок получаются с помощью известного в вариационном исчислении модифицированного метода Релея-Ритца. При этом возможность выделения из интегро-дифференциальных зависимостей теории пластинок величины, характеризующей форму контура замкнутой области, делает во многих случаях изопериметрический метод предпочтительнее другк вариационных методов, так как отпадает необходимость в решении систем большого числа алгебраических уравнений. Решение при этом сводится к двусторонней оценке изучаемой физической величины.
Изопериметрический метод нашел широкое применение в задачах поперечного изгиба и колебаний пластинок, их оптимального проектирования и предельного равновесия, получено большое количество оценок для пластинок различной конфигурации. Однако в задачах, устойчивости пластинок изопериметрический метод применяется недостаточно, сформулированы только самые общие изопериметрическпв теоремы, найдены решения для ограниченного класса задач (при частных случаях напряженного состоя- -ния, контурных условий и форм пластинок). Поэтому представляется весьма актуальным как с практической, так и с научной точек зрения, исследования, направленные на разработку и со-
вершенствованяе изопериметрического метода решения задач устойчивости пластинок произвольной формы. Цель работы заключалась в следующем :
-
Обоснование изопериметрического подхода к проблеме устойчивости пластинок. Разработка теории расчета и математического аппарата исследования поставленной проблемы на основе выделения из интегро-дифференциальных зависимостей теории устойчивости величины, характеризующей форму контура пластинки.
-
Анализ влияния величины коэффициента формы пластинок на изменение критического усилия равновеликих пластинок.
-
Графическое представление границ изменения критического усилия как для всего множества пластин выпуклой в плане формы, так и для отдельных видов пластинок (треугольные, четырехугольные, ромбические, параллелограммные и т.д.).
-
Исследование способа симметризации пластинок и вывод на его основе изопериметрических неравенств для оценки критического усилия пластинок.
-
Разработка графоаналитического способа исследования задачи устойчивости и получение аналитических выражений для приближенного определения критического усилия пластинок.
-
Определение взаимосвязи между задачами устойчивости и поперечного изгиба пластинок и использование этой закономерности для получения приближенных значений критического усилия пластинок.
-
Разработка, обоснование и применение некоторых геометрических способов расчета устойчивости пластинок равномерно и всесторонне сжатых по контуру.
-
Исследование свойств некоторых геометрических характеристик, связанных с конформным отображением области пластинок на единичный круг и их использование для получения оценок критического усилия пластинок.
Метод исследования : использован изопериметрический метод исследования задачи устойчивости пластинок.
Достоверность научных положений и полученных численных результатов подтверждается сравнением с результатами, найденными с помощью фундаментальных методов строительной механики пластинок.
Научная новизна работы состоит в следующем.
-
Исследованы возможности применения изопериметрическо-го метода к решению задачи устойчивости пластинок.
-
На основе выделения из основных интегро-дифференци-альных зависимостей теории устойчивости пластинок геометрической величины - коэффициента формы, получено выражение, дающее представление исследуемой проблемы в изопериметрическом виде.
-
На основе известного в математической физике геометрического преобразования плоской области - симметризации Штей-нера и его свойств разработана прикладная теория построения двусторонних оценок критического усилия пластинок с выпуклым шарнирно опертым контуром.
-
На основе полученных изопериметрических оценок, а также известных точных и приближенных решений границы изменения критического усилия представлены графически как для всего множества выпуклых шарнирно-опертых и жестко защемленных пластинок, так и для отдельных их видов (треугольные, параллелог-раммные и т. п.).
-
На основе графического представления границ изменения критического усилия получены приближенные выражения для определения величины критического уситая некоторых видов пластинок.
-
Исследованы свойства комТюрмных радиусов выпуклой области и разработана прикладная теория построения оценок критического усилия с помощью свойств конформного отображения области пластинки на внутренность и внешность единичного круга.
-
Предложены некоторые геометрические приемы получения оценок критического усилия пластинок : способ, основанный на использовании леммы "о включении'', способ вписанной и описанной пластинок.
> 8. Установлена взаимосвязь задач продольного и поперечного изгиба пластинок и показана возможность использования этой закономерности для приближенного определения величины критического усилия полигональных шарнирно опертых пластинок. Практическая ценность работы состоит в том, что разработанная в диссертации методика может быть использована при проектировании элементов конструкций в виде пластинок.
На защиту выносится обоснование изопериметрического под-
хода и методика решения задач устойчивости пластинок с помощью изопериметрического метода.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 научных работ.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, представлялись и докладывались на научно-технических конференциях преподавателей Ставропольского политехнического института (Ставрополь, 1989, 1990, 1991 г.г.); ХХУШ Всесоюзной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1990) ; научно-технической конференции "Надежность и эффективность нетрадиционных систем сейсмо-защиты зданий и сооружений" (Севастополь, 1991) ; научно-технической конференции "Динамика конструкций при вибрационных и сейсмических нагрузках" (Севастополь, 1991).
Структура -работы. Диссертация, основное содержание которой изложено на 175 страницах машинописного текста, состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы 121 наименования. Работа иллюстрирована 23 рисунками, содержит 36 таблиц.