Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Дифференциальные уравнения, описывающие замкнутую цилиндрическую оболочку 19
Глава 2. Расчет замкнутой цилиндрической оболочки на различные нагрузки 27
2.1 Расчет замкнутой цилиндрической оболочки, на которую действует тангенциальная нагрузка 27
2.1.1. Расчет замкнутой цилиндрической оболочки на тангенциальную нагрузку, действующую по всей поверхности оболочки 33
2.1.2. Расчет замкнутой цилиндрической оболочки, на которую действует локальная тангенциальная нагрузка 34
2.1.3. Расчет замкнутой цилиндрической оболочки, на которую действует тангенциальная нагрузка, равномерно распределенная по отрезку образующей 37
2.1.4. Расчет замкнутой цилиндрической оболочки, на которую действует тангенциальная нагрузка, сосредоточенная вдоль образующей 39
2.1.5. Расчет замкнутой цилиндрической оболочки, на которую действует сосредоточенная тангенциальная нагрузка 43
2.1.6. Расчет замкнутой цилиндрической оболочки, на которую действует тангенциальная нагрузка по технической теории 45
2.2 Расчет замкнутой цилиндрической оболочки, на которую действует нагрузка, направленная вдоль образующей 56
2.2.1. Расчет замкнутой цилиндрической оболочки, на которую действует нагрузка на части длины оболочки з
2.2.2. Расчет замкнутой цилиндрической оболочки, на которую действует нагрузка, сосредоточенная по длине оболочки и распределенная в кольцевом направлении 61
2.3 Расчет замкнутой цилиндрической оболочки, на которую действует радиальная нагрузка 63
2.3.1. Расчет замкнутой цилиндрической оболочки при действии равномерно распределенной радиальной нагрузки 63
2.3.2. Расчет замкнутой цилиндрической оболочки при действии радиальной нагрузки, сосредоточенной в кольцевом направлении и равномерно распределенной вдоль образующей 64
2.3.3. Расчет замкнутой цилиндрической оболочки на сосредоточенную радиальную нагрузку 67
Выводы по главе 74
Глава 3. Расчет тонкостенных пространственных систем, состоящих из двух замкнутых цилиндрических оболочек, соединенных одной промежуточной связью ... 76
3.1. Пространственная система, на которую действует равномерно распределенная радиальная нагрузка.. 76
3.2. Пространственная система при действии сосредоточенной нагрузки 85
3.3. Пространственная система при действии нагрузки, которая сосредоточена в кольцевом направлении и равномерно распределена вдоль образующей 93
Выводы по главе... 103
Глава 4. Расчет тонкостенных пространственных систем, состоящих из двух замкнутых цилиндрических оболо чек, соединенных двумя промежуточными связями 105
4.1. Пространственная система, на которую действует равномерно распределенная радиальная нагрузка.. 105
4.2. Пространственная система при действии сосредоточенной нагрузки 110
4.3. Пространственная система при действии нагрузки, которая сосредоточенна в кольцевом направлении и равномерно распределена вдоль образующей . 115
Выводы по главе... 120
Глава 5. Расчет тонкостенных пространственных систем, состоящих из двух замкнутых цилиндрических оболо чек. Оболочки скреплены между собой по образующей 122
Основные результаты и выводы 129
Литература
- Расчет замкнутой цилиндрической оболочки, на которую действует локальная тангенциальная нагрузка
- Расчет замкнутой цилиндрической оболочки при действии радиальной нагрузки, сосредоточенной в кольцевом направлении и равномерно распределенной вдоль образующей
- Пространственная система при действии нагрузки, которая сосредоточена в кольцевом направлении и равномерно распределена вдоль образующей
- Пространственная система при действии нагрузки, которая сосредоточенна в кольцевом направлении и равномерно распределена вдоль образующей
Введение к работе
Актуальность темы. Тонкостенные пространственные системы, в
состав которых входят замкнутые цилиндрические оболочки, находят
широкое применение в современной технике: в промышленном и
гражданском строительстве, машиностроении, судостроении,
авиастроении, ракетно-космической отрасли, нефте-газовой
промышленности и т. д. Такие системы используются в виде силосных корпусов для переработки и хранения различных материалов, в конструкциях реакторов, в гидротехнических сооружениях и т. д.
В литературе имеется незначительное число работ, которые посвящены расчету таких систем, и отмечается, что их расчет представляет сложную научную проблему, потому как надо знать характер изменения реакций по длине каждой линии контакта и при переходе от одной оболочки к другой.
В настоящем времени нет ни расчетных схем, которые как можно точно отражают работу таких пространственных систем, ни методов расчета таких систем. Поэтому необходимо вместе с поисками новых конструктивных решений разрабатывать новые методы их расчета.
Пространственные системы представляют собой сложные
сооружения, как по конструктивным решениям, так и по характеру различных нагрузок, которые действуют на них. В состав внешней нагрузки для каждой оболочки такой системы необходимо включать реактивное давление, которое возникает в местах их контакта с соседними оболочками.
В зависимости от конструктивного решения сочленения оболочек получаются различные расчетные схемы реактивных давлений: в виде локальной нагрузки; в виде сосредоточенной силы; в виде полосовой нагрузки; в виде нагрузки, которая сосредоточенна в кольцевом направлении и неравномерно распределена на участке контакта оболочек.
Таким образом, отдельная оболочка с одной стороны является
предметом самостоятельного исследования, с другой стороны,
исследование отдельной оболочки следует рассматривать как исходный этап при рассмотрении тонкостенной пространственной системы, в состав которой входят связанные между собой замкнутые цилиндрические оболочки.
Расчету замкнутых оболочек посвящено большое число работ в основном при действии радиальных нагрузок. На оболочку могут действовать как радиальные нагрузки, так и нагрузки, направленные в тангенциальном направлении, вдоль образующей.
Таким образом, несмотря на известные достижения в данной области, в настоящее время есть еще много нерешенных вопросов. В связи с этим задача создания точных и эффективных методов расчета, которые будут доступны инженеру-проектировщику, как отдельных оболочек, так и
пространственных систем, в состав которых входят связанные между собой замкнутые цилиндрические оболочки, продолжает сохранять свою актуальность. Решению этой проблемы и посвящено диссертационное исследование.
Цель диссертационного исследования:
расширение базового комплекса аналитических выражений, с помощью которых можно рассчитать замкнутую цилиндрическую оболочку при действии различных нагрузок (радиальных, тангенциальных, вдоль образующей), а также для тестирования результатов численных расчетов по программным комплексам, реализующих численные методы;
разработка и совершенствование методов расчета тонкостенных пространственных систем, в состав которых входят связанные между собой замкнутые цилиндрические оболочки.
Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:
-
Получить новые аналитические решения, с помощью которых можно рассчитать замкнутую цилиндрическую оболочку при действии произвольной нагрузки по приближенной теории оболочек, по моментной технической теории оболочек В.З. Власова при разных вариантах граничных условий.
-
Разработать методику расчета тонкостенных пространственных систем, в состав которых входят связанные между собой замкнутые цилиндрические оболочки.
-
Выполнить численные расчеты тонкостенных пространственных систем.
4. Провести исследование влияния геометрических параметров
оболочек на реактивное давление при различных нагрузках.
Методы исследований. Отличительной особенностью данной работы является построение точных аналитических решений с применением в качестве основного математического аппарата операционного исчисления, которое связано с преобразованиями Лапласа.
При решении пространственных систем использовался метод сил.
Научная новизна. Автором получены следующие новые научные результаты:
-
Получены новые аналитические решения в общем виде для замкнутых цилиндрических оболочек при действии радиальных, тангенциальных и нагрузок, действующих вдоль образующей.
-
Разработана на основе аналитических решений и метода сил строительной механики методика расчета тонкостенных пространственных систем, в состав которых входят связанные между собой замкнутые цилиндрические оболочки.
-
Выполнены по предложенной методике численные расчеты тонкостенных пространственных систем.
-
Проведено исследование влияния геометрических параметров
оболочек, места расположения сосредоточенной нагрузки, места расположения промежуточной опоры на величину реактивного давления.
5. Построены графики распределения неизвестного реактивного давления в тонкостенной пространственной системе по линии соприкосновения оболочек.
Достоверность результатов диссертации определяется корректным применением математических методов, обеспечивается проводимым в работе сравнением аналитических результатов с теоретическими и экспериментальными данными, приведенными в научной литературе.
Теоретическая значимость. Полученные результаты исследования расширяют уровень знаний в теории и методах расчета оболочек.
Практическая значимость. Полученные аналитические выражения позволяют инженеру решать широкий класс практических задач в области расчёта, как пространственных систем, в состав которых входят замкнутые цилиндрические оболочки, так и отдельные замкнутые цилиндрические оболочки. Выражения можно использовать при проектировании емкостей для переработки и хранения различных материалов, для проектирования резервуаров, для расчета магистрального трубопровода, для расчета различных конструкций, в которых в качестве конструктивного элемента используется замкнутая цилиндрическая оболочка, а так же для тестирования пакетов программ, реализующих численные методы.
Предлагаемые подходы к решению пространственных систем позволяют рассчитать пространственные системы, которые состоят из любого количества замкнутых цилиндрических оболочек с разными геометрическими параметрами оболочек, при действии различных нагрузок из различных материалов.
Практический расчет оболочек по полученным аналитическим выражениям не вызывает трудности, так как сводится при малых значениях аргумента к вычислению гиперболо-тригонометрических функций (когда значение аргумента невелико) и к вычислению тригонометрических и показательных функций (когда значение аргумента большое).
Полученные аналитические решения способствуют повышению качества исследования рассматриваемых объектов. Полученная с их помощью картина напряженно-деформированного состояния развивает интуицию инженера-проектировщика, понимание работы конструкции, а также позволяет изучить влияние различных факторов на конструкцию.
На защиту выносятся следующие результаты и положения:
Новые аналитические решения для замкнутой цилиндрической оболочки, полученные на основе операционного исчисления, которое связано с преобразованиями Лапласа. Аналитические решения для замкнутой цилиндрической оболочки по приближенной теории оболочек, по технической моментной теории оболочек В. З. Власова при действии
радиальных, тангенциальных и нагрузок, действующих вдоль образующей.
Методика расчета тонкостенных пространственных систем, в состав
которых входят связанные между собой замкнутые цилиндрические
оболочки, разработанная на основе базового комплекса аналитических
решений.
Некоторые результаты распределения реактивного давления по
линиям контакта оболочек.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались:
- Международная научно-практическая конференция «Техника и
технологии: роль в развитии современного общества» (Краснодар:
«Научно издательский центр Априори», 2013);
XIV Международная научно-техническая конференция «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (Тула: ТулГУ, 2013);
XV Международная научно-техническая конференция «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (Тула: ТулГУ, 2014);
2-я Международная научно-практическая конференция «Ресурсо- и энергоэффективные технологии в строительном комплексе региона» (Саратов: СГТУ, 2014);
XVI Международная научно-техническая конференция «Актуальные проблемы строительства, строительной индустрии и промышленности» (Тула: ТулГУ, 2015).
В полном объеме диссертация докладывалась на научных семинарах кафедры «Теория сооружений и строительных конструкций» под руководством академика РААСН доктора технических наук профессора В.В. Петрова и на межкафедральном семинаре ФГБОУ ВПО «СГТУ имени Гагарина Ю.А.»
Публикации. По теме диссертации опубликовано 18 печатных работ, в том числе 5 в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендуемых ВАК.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, основных результатов и выводов, списка использованной литературы, включающего 156 наименований. Общий объем диссертации составляет 149 страниц, содержит 53 рисунка и 22 таблицы.
Расчет замкнутой цилиндрической оболочки, на которую действует локальная тангенциальная нагрузка
Таким образом, отдельная оболочка с одной стороны является предметом самостоятельного исследования, с другой стороны, исследование отдельной замкнутой цилиндрической оболочки следует рассматривать как исходный этап при расчете тонкостенной пространственной системы, в состав которой входят связанные между собой замкнутые цилиндрические оболочки.
Расчету цилиндрических оболочек посвящено большое число работ. Основной теоретический результат, который получен в классической теории оболочек, можно найти в монографиях А.Л. Гольденвейзера [19], В.З. Власова [13], С.П. Тимошенко [85], В.В. Новожилова [66], А.И. Лурье [53].
Краткий очерк развития теории оболочек можно прочесть в работах [5, 15, 16, 45, 65]. Краткие обзоры исследований по расчету оболочек за различные временные периоды можно отыскать в работах [73, 74, 78, 87]. С исследованиями, проводимыми иностранными учеными можно ознакомиться в работах [135, 147-149]. Основные положения классической теории приводятся в научных пособиях и монографиях [30, 32, 70, 79, 95-97, 141].
Значительное количество работ, посвященных данной области, и наличие большого числа интересных исследований не могут позволить в достаточной мере осветить наиболее важное из сделанного учеными.
Поэтому в диссертации ограничимся только теми работами, авторы которых исследуют напряженно-деформированное состояние изотропных цилиндрических оболочек, на которые действуют статические нагрузки. Существенный вклад в разработку методов расчета цилиндрических оболочек на сосредоточенные нагрузки сделал В.З. Власов [13]. В.З. Власов, применил для интегрирования дифференциальных уравнений двойной тригонометрический ряд, получил аналитические выражения для перемещений, усилий и моментов, которые возникают при действии радиальной сосредоточенной нагрузки в оболочках со свободным концом. Значительные исследования напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек, когда действует сосредоточенная и локальная нагрузка принадлежат В.М. Даревскому [26, 28, 29, 31]. В.М. Даревский вывел решения дифференциальных уравнений, которые соответствуют элементарной нагрузке, то есть когда нагрузка равномерно распределена по прямоугольному элементу. Для получения решения, которое соответствует сосредоточенной нагрузке, был использован предельный переход.
Исследованиями напряженно-деформированного состояния оболочек, на сосредоточенную и локальную нагрузку, занимались Гольденвейзер А.Л. [18], Нерубайло Б.В. [59-61], Жигалко Ю.П. [37-42], Григолюк Э.И. и Толкачев В.М. [21], Новожилов В.В. и Черных К.Ф. [64], Мамон В.П. и Ольшанский В.П. [54], Григоренко Я.М. [23], Христенко А.С. [90-92], Гурьянов Н.Г. [24], Цурков И.С. [93], Передерий С.К. [75], Бейлард П.А. [137], Скопинский В.Н. [81], Купер P.M. [140], Шаринов И.Л. [130-132], Хофф Н. Кемпнер Ж. и Пол Ф. [142], Лукасевич С. [52], Ting L. and Youn S.W. [154, 156], Bieger K.W. [136], Schiffner Klaus [152], Cannata P. [139], Morley L.S.D. [146], Witt F.J., Maxwell R.W. [155] и др.
Отдельный класс определяют контактные задачи. В книге Э.И. Григолюка и В.М. Толкачева [20] рассмотрено как взаимодействуют оболочки и пластины с жесткими телами, с упругими подкреплениями, а также взаимодействие оболочек друг на друга. Специально контактным задачам в теории оболочек и стержней посвящены книги В.И. Моссаковского [56,57], в которых представлены результаты исследования напряженно-деформированного состояния и несущая способность тонкостенной оболочечной системы на локальную нагрузку и контактные взаимодействия. Приводятся решения большого числа задач контактного взаимодействия оболочечной конструкции с упругим и нелинейно-упругим опорным основанием.
Обстоятельные библиографии, посвященные различным аспектам теории и расчету тонкостенной оболочечной конструкции на сосредоточенную, локальную нагрузку и контактные взаимодействия приведены в работах [20, 27, 40, 42, 56, 57, 60, 68]. Контактным задачам посвящены многочисленные исследования: С.А. Видюшенкова [12], И.Г. Емельянова [32-36], Н.K. Ивченко [43], В.П. Ольшанского [71, 72], Ю.В. Соболева [82-84] и др.
Большое значение в развитии теории и методов расчета оболочек имеют Абовский Л.В. [1], Баженов В.А. [8], Григоренко Я.М. [23], Енджиевский Л.В., Амиро И.Я. [6], Игнатьев В.А. [44], Колкунов Н.В. [45], Крысько В.А.[49], Образцов И.Ф. [67,69], Моссаковский В.И. [56,57], Огибалов П.М. [70], Прокопович И.Е. [79], Петров В.В. [76], Чернина В.С. [95], Пикуль В.В. [77], Филин А.П. [87], Черных К.Ф. [96,97] и др.
Наряду с теоретическими исследованиями ведутся экспериментальные исследования, которые направлены на определение прочности тонких оболочек на различную нагрузку.
Среди работ, которые посвящены экспериментальным исследованиям напряженно-деформированного состояния оболочек, можно отметить: Гурьянова Н.Г и Коноплева Ю.Г. [25], Выборнова В.Г. [17], Коноплева Ю.Г. [46, 47], Нерубайло Б.В. [60], Моссаковского В.И. [58], Никулина М.В. [63], Шепелевича Н.И. [133], Шагивалеева К.Ф. [103, 107, 122], Штерна Б.М. [134], Sharma S.P. [153], Pauchard Ludovic [150] и др.
Обзоры с экспериментальным исследованием можно прочесть в работах И.Я. Амиро [6] и В.И. Моссаковского [58].
Современное состояние, перспективы развития теории оболочек, библиографии новых работ можно прочесть в работах [2, 55] и в статье В.В. Пикуля [78]. Результаты многочисленных исследований дают возможность определять напряженно-деформированное состояние в месте, где приложена сосредоточенная сила, в центре площадки нагружения (на локальную нагрузку) в основном для оболочек по концам, имеющим шарнирное закрепление.
Вследствие постоянного возрастания требований к надежности, экономичности, долговечности и к снижению массы конструкций расчет на прочность становится все более сложным. Он должен учесть различные режимы работы конструкции, свойства материала, из которого она изготовлена, а также условия нагружения. Нагрузки оказывают влияние на оболочку не раздельно, а в сочетании друг с другом. Из-за того, что заранее нельзя сказать, при каких комбинациях нагрузок напряжения в оболочке получат наибольшую величину, то по результатам расчетов оболочки необходимо составить несколько комбинаций усилий. В связи с этим немалое значение при вычислении прочности оболочки занимает учет всех составляющих напряженно-деформированного состояния. Описанное можно отнести и к напряжениям, которые вызываются краевым эффектом, различными концентраторами, температурным воздействием и т.д.
На оболочку могут действовать как радиальные нагрузки, так и нагрузки, направленные в тангенциальном направлении, вдоль образующей. В пространственных системах в местах сопряжения оболочек могут возникать кроме радиального реактивного давления реактивное давление в тангенциальном направлении. При общем изгибе оболочек в местах сопряжения оболочек возникают сдвигающие усилия. Влияние сдвигающих усилий на величину радиального реактивного давления незначительно, но при определении напряженно-деформированного состояния оболочек их необходимо учитывать.
Расчет замкнутой цилиндрической оболочки при действии радиальной нагрузки, сосредоточенной в кольцевом направлении и равномерно распределенной вдоль образующей
Широко используеются в инженерной практике уравнения полубезмоментной теории оболочек. Простым вариантом моментной технической теории оболочек является разработанная В. З. Власовым полубезмоментная теория оболочек [13, 14]. При немного другом подходе к упрощению уравнений А. Л. Гольденвейзер получил еще один вариант полубезмоментной теории [19]. Сравнивая результаты, полученные при расчете по полубезмоментной теории оболочек с результатами, которые получены при расчете по точным уравнениям общей теории оболочек, по уравнениям В.З. Власова, по уравнениям Л. Доннелла [41, 60, 88, 89, 113, 122], а также сравнивая с экспериментальными данными [14, 59, 113, 122] можем наблюдать, что уравнения полубезмоментной теории оболочек достаточно точно описывают напряженно-деформированное состояние оболочек средней длины и длинных.
Из упрощенных вариантов теории оболочек в данной работе будем использовать приближенную теорию оболочек в форме А. Л. Гольденвейзера [19]. Уравнения теории оболочек в форме А. Л. Гольденвейзера имеют вид:
Основное разрешающее уравнение в случае, когда действует тангенциальная нагрузка, то есть при X = Z = 0 и Y Ф0 принимает следующий вид:
Основное разрешающее уравнение в случае, когда действует осевая нагрузка, то есть при Х(а,Р)Ф0 и Y = Z = 0 принимает следующий вид:
Отличительной особенностью данной работы является построение точных аналитических решений с применением в качестве основного математического аппарата операционного исчисления, которое связанно с преобразованиями Лапласа [7].
Под операционным исчислением будем понимать метод решения задачи, основанный на таких этапах [7]:
1. От искомой функции переходим к некоторой другой функции - изображению.
2. Над изображением выполняем операции, которые соответствуют заданным операциям над самой функцией.
3. Выполнив действия над изображением и получив результат, возвращаемся обратно от изображения к оригиналу - искомой функции.
В данной работе в качестве преобразования, которое позволяет перейти от искомой функции к ее изображению и наоборот, применяются преобразования Лапласа.
Основная идея использования преобразований Лапласа заключается в следующем, оно устанавливает соответствие между оригиналом f{a) и его изображением F{p): где f(a) - функция действительного переменного; F(p) - функция комплексного переменного. F{p) определяется по формуле: F(p)=\f(a)e-pada. (1.13) Определенному действию, которое производится над оригиналом, соответствует некоторое действие, которое производится над его изображением. Хотелось бы отметить, что действие над изображением будет гораздо проще, чем над оригиналом. Например, вместо дифференциального уравнения относительно оригинала будет получаться простое алгебраическое уравнение относительно изображения. Решив последнее и перейдя от изображения назад к оригиналу, мы получаем решение исходного дифференциального уравнения.
Формула, которая позволяет по заданному изображению F{p) отыскать оригинал f(a), имеет вид: Зависимости, которые надо применить к функции f{a), чтобы несобственный интеграл (1.13) сходился и действительно определял некоторую функцию F(p) описываются свойствами операционного исчисления и приводятся в специальной литературе [7].
При решении огромного числа задач нет необходимости каждый раз вычислять интеграл Лапласа (1.13) и интеграл (1.14), так как в справочной литературе [7,9] имеются подробные таблицы с формулами, которые позволяют перейти от оригинала к изображению и наоборот от изображения к оригиналу.
Применение операционного исчисления, которое связано с преобразованиями Лапласа, дало ряд преимуществ по сравнению с другими методами. Граничные условия при а= О выполняются автоматически, поэтому вдвое сокращается определение произвольных постоянных. Метод можно использовать, когда правая часть уравнения на различных интервалах задается разными аналитическими выражениями и имеет точки разрыва.
Для определения выражения для расчета оболочки, на которую действует сосредоточенная нагрузка, применялись методы строительной механики [86]. Расчет замкнутой цилиндрической оболочки, на которую действует тангенциальная нагрузка Рассмотрим замкнутую цилиндрическую оболочку, на которую действует нагрузка , равномерно распределенная на участке осх вдоль образующей, а в кольцевом направлении по sinnf5 ( рис. 2.1 ) [120]: Решение уравнения (2.2) найдем при следующих граничных условиях: оболочка по концам имеет шарнирные закрепления Исходя из принятых граничных условий, имеем: при ос = 0 и а = а0 : Ф = 0; —i = 0- (2.5)
Пространственная система при действии нагрузки, которая сосредоточена в кольцевом направлении и равномерно распределена вдоль образующей
Значения, приведенные на рис. 2.17 и рис.2.18, необходимо умножить на F ER Из графиков видно, что при определении радиального перемещения W в точке приложения сосредоточенной силы F достаточно в тригонометрическом ряду (2.46) удерживать 100 членов ряда, а при определении радиального перемещения W в точках на образующей р = ж - 40 членов ряда.
Далее были взяты 11 точек приложения внешней сосредоточенной радиальной нагрузки F (т= а0/12 ... т= 11а0/12) и 11 точек, в которых определялась величина радиального перемещения w при /? = 0 и при р = ж. Полученные результаты сведены в таблицу 2.3.
Далее были взяты 11 точек по длине оболочки, в которых определялась величина радиального перемещения W при /? = 0 … /3 = 2ж с шагом л-/36. Полученные результаты представлены на рис. 2.19. На рис. 2.19 показаны картины распределения радиальных перемещений W в шести поперечных сечениях оболочки.
Посмотрим, как изменяется величина радиального перемещения w при изменении геометрических параметров оболочки. Проделав аналогичные операции, был выполнен расчет замкнутой цилиндрической оболочки со следующими геометрическими параметрами: длина оболочки L=30 м, радиус R=6 м, a0=L/R=5, толщина стенки /2=0,24 м, коэффициент Пуассона v=0,2. Оболочка нагружена сосредоточенной радиальной нагрузкой F, расположенной на расстоянии т. Оболочка по концам шарнирно закреплена.
В работе [113] приводится сравнение результатов численных расчетов замкнутой цилиндрической оболочки по полученным аналитическим выражениям с результатами полученными численными методами: методом конечных разностей (Десятова А.С.) и методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях (Савельева Н.Е.). Показано хорошее совпадение результатов расчета оболочки по аналитическим выражениям и результатов, полученных численными методами. При этом видно, что для получения приемлемых результатов необходимо для оболочки с ЫR = \2 и длине участка нагружения равным взять по методу конечных разностей 120 разбиений. При уменьшении длины участка нагружения, а также при уменьшении длины оболочки количество разбиений по методу конечных разностей увеличивается. В то же время видим, что вычисления по аналитическим выражениям не зависят ни от длины участка нагружения, ни от длины оболочки. По методу Бубнова-Галеркина хорошие результаты имеем при 11 приближениях.
В работе [63] приведены результаты эксперимента для замкнутой цилиндрической оболочки со следующими геометрическими параметрами: длина оболочки L=600 мм, радиус Д=200 мм, 0=L/R=3, толщина стенки h=2 мм, R/h=\00. Оболочка нагружена сосредоточенной радиальной нагрузкой Б=1,5кН. Оболочка изготовлена из листового материала Я1Т.
Результаты замера радиального перемещения W в точке приложения сосредоточенной радиальной нагрузки 0,78 мм. Результаты теоретического расчета по аналитическим выражениям, приведенным в работе [113] величина радиального перемещения W составляет 0,744 мм при условии, что в тригонометрическом ряду (2.46) удерживать 100 членов ряда. Погрешность составляет 4,62%. Выводы по главе
В этой главе, на основе операционного исчисления, которое связано с преобразованиями Лапласа, и известных приемов строительной механики получены новые аналитические выражения, с помощью которых можно рассчитать замкнутую цилиндрическую оболочку, на которую действуют тангенциальные нагрузки и нагрузки, направленные вдоль образующей.
Использование операционного исчисления, которое связано с преобразованиями Лапласа для решения дифференциальных уравнений дало ряд преимуществ по сравнению с другими методами. Этот метод обладает наглядностью, включает в себя все достоинства метода начальных параметров, но в отличие от него является более общим. Начальные граничные условия выполняются автоматически, поэтому вдвое сокращается определение произвольных постоянных. Метод можно использовать, когда правая часть уравнения на различных интервалах задается разными аналитическими выражениями и имеет точки разрыва. 1. Полученные аналитические выражения позволяют определить перемещения, усилия и моменты в любой точке оболочки, при любом расположении локальной, сосредоточенной и других видов нагрузок на поверхности оболочки. 2. Практический расчет оболочек с использованием полученных выражений не вызывает трудности, так как сводится к вычислению гиперболо тригонометрических функций (когда значение аргумента невелико) и к вычислению показательных и тригонометрических функций (когда значение аргумента большое). 3. Анализ результатов выполненных расчетов показал, что при расчетах оболочки по полученным формулам при действии локальных и сосредоточенных нагрузок получается более быстрая сходимость решений и значительно уменьшается вычислительная работа по сравнению с ранее применяемыми методами. 4. Полученные в работе новые аналитические выражения позволяют решать разнообразные задачи теории оболочек (неразрезные оболочки, контактные задачи и т д.).
Пространственная система при действии нагрузки, которая сосредоточенна в кольцевом направлении и равномерно распределена вдоль образующей
Для расчета пространственной системы воспользуемся методом сил. Для того чтобы получить основную систему, разрежем горизонтальные стержни, заменяя их действием реактивных сил FR1 и FR2 (рис.4.6). Реактивные силы FR1 и FR2 являются неизвестными величинами. В рассматриваемом случае реактивная сила представляет собой сосредоточенную нагрузку, возникающую в месте контакта оболочек.
Таким образом, для расчета искомой пространственной системы необходимо выполнить расчет отдельно для каждой замкнутой цилиндрической оболочки.
На одну оболочку будет действовать радиальная нагрузка р, которая сосредоточенна в кольцевом направлении и равномерно распределена вдоль образующей и неизвестные реактивные силы FR1 и FR2. На вторую оболочку будут действовать только неизвестные реактивные силы FR1 и FR2. Неизвестные реактивные силы FR1 и FR2 будем искать из условия, что радиальные перемещения в точке контакта оболочек одинаковы.
Для примера был произведен расчет пространственной системы, в состав которой входят две замкнутые цилиндрические оболочки с одинаковыми геометрическими параметрами: длина оболочек L=30 м, радиус R=3 м, o=L/R=\0, толщина стенки /2=0,16 м, коэффициент Пуассона v=0,2. На одну из оболочек действует радиальная нагрузка р. Оболочки по концам шарнирно закреплены и соединены между собой двумя промежуточными связями, расположенными на расстоянии ї и 2.
Используя результаты расчетов, приведенные в разделе , были определены радиальные перемещения в одной и второй оболочках в точках контакта оболочек.
Радиальные перемещения в первой оболочке (при расположении связи в точке = 3о/12) от радиальной нагрузки р, которая сосредоточенна в кольцевом направлении и равномерно распределена вдоль образующей w1 р(3a0 /12; 0 = тг) = 1066,584 1р/Е Радиальные перемещения в первой оболочке (при расположении связи в точке = 3о/12) от действия реактивной силы FR1 w1Fm (3а0/12;/3 = 0) = 864,3855Fm / ER Радиальные перемещения в первой оболочке (при расположении связи в точке т = За0/12) от действия реактивной силы FR2 W1FR2 (3а0 /12;/? = 0) = 172,8003 FR2 / ER Радиальные перемещения во второй оболочке (при расположении связи в точке т = За0/12) от действия реактивной силы FR1 w2Fm (3а0 /12; J3 = 0) = 864,3855FA1/ ER Радиальные перемещения во второй оболочке (при расположении связи в точке т = За0/12) от действия реактивной силы FR2 W2FR2 (3а0 /12;/3 = 0) = 172,8003Ffl2 / ER Радиальные перемещения в первой оболочке (при расположении связи в точке т = 9(Х0/12) от радиальной нагрузки р, которая сосредоточенна в кольцевом направлении и равномерно распределена вдоль образующей w2р(9a0 /12;/3 = ж) = 1066,584 1 р/E Радиальные перемещения в первой оболочке (при расположении связи в точке т = 9а0/12) от действия реактивной силы FR1 W1Fm (9cr0 /12;/3 = 0) = 172,8003/ / ER Радиальные перемещения в первой оболочке (при расположении связи в точке т = 9а0/12) от действия реактивной силы FR2 W1FR2 (9а0/12;/3 = 0) = 864,3855 Д2 / ER Радиальные перемещения во второй оболочке (при расположении связи в точке т = 9а0/12) от действия реактивной силы FR1 W2FR1 (9a0 / 12;/3 = 0) = 172,8003Fm / ER Радиальные перемещения во второй оболочке (при расположении связи в точке т = 9а0/12) от действия реактивной силы FR2 w2F (9а0 /12; /3 = 0) = 864,3855FR2 / ER При определении радиальных перемещений в оболочках от действия радиальной нагрузки р, которая сосредоточенна в кольцевом направлении и равномерно распределена вдоль образующей и неизвестных реактивных сил FR1 и FR2 нагрузки раскладывались в тригонометрические ряды по переменной и удерживалось 300 членов тригонометрического ряда. Из условия, что радиальные перемещения в точках контакта оболочек одинаковы, были определены неизвестные реактивные силы FR1 и FR2. (w1p(3a0/12;/3 = X) + W1PR1 (3а0/12;/3 = 0) + W1PR2 (3а0/12;/3 = 0) = -W2PR1 (3а0/12;/3 = 0)-W2PR2 (3а0 /12;/3 = 0) [w2p(9a0/12;/3 = X) + W1PR1 (9a0/12;/3 = 0) + W1PR2 (9a0/12;/3 = 0) = -W2PR1 (9a0/12;/3 = 0)-W2PR2 (9a0/12;/3 = 0) J1066,5841p/E + 864,3855FR1 / ER +172,8003 FR2/ER = -864,3855FR1 / ER-172,8003FR2/ER [1066,5841р/ + 172,8003 /ER + 864,3855FR2/ER = -172,8003/ /ER -864,3855і 2 /ER Отсюда: FR1 = -0,5142pR и FR2 =-0,5142pR Зная FR1 и FR2, можно вычислить напряженно-деформированное состояние каждой оболочки [113].
Посмотрим, как изменяется реактивное давление FR1 и FR2 при изменении геометрических параметров оболочек.
Проделав аналогичные операции, были выполнены расчеты пространственной системы при следующих параметрах оболочек: длина оболочек L=30 м, радиус R=6 м, 0=L/R=5, толщина стенки /2=0,24 м, коэффициент Пуассона v=0,2. На одна из оболочек действует радиальная нагрузка р. Оболочки по концам шарнирно закреплены и соединены между собой двумя промежуточными связями, расположенными на расстоянии 1 и 2.
Радиальные перемещения в первой оболочке (при расположении связи в точке = 3 0/12) от радиальной нагрузки р, которая сосредоточенна в кольцевом направлении и равномерно распределена вдоль образующей w1p(3a0 /12; J3 = TT) = 1 13,5792р/Е Радиальные перемещения в первой оболочке (при расположении связи в точке = 3 0/12) от действия реактивной силы FR1 119 w1Fm (3а0 /12;/? = 0) = 1083,0226Fi?1/ ER Радиальные перемещения в первой оболочке (при расположении связи в точке т = За0/12) от действия реактивной силы FR2 W1FR2 (3а0 /12;/? = 0) = 205,1506 Д2 / ER Радиальные перемещения во второй оболочке (при расположении связи в точке т = За0/12) от действия реактивной силы FR1 W2FR1 (3а0 /12;/3 = 0) = 1083,0226 Л1/ER Радиальные перемещения во второй оболочке (при расположении связи в точке т = За0/12) от действия реактивной силы FR2 W2FR2 (3а0 /12;/? = 0) = 205,1506FR2 /ER Радиальные перемещения в первой оболочке (при расположении связи в точке т = 9(Х0/12) от радиальной нагрузки р, которая сосредоточенна в кольцевом направлении и равномерно распределена вдоль образующей w1 р(9a0 /12;/? = тг) = 1 13,5792р/F Радиальные перемещения в первой оболочке (при расположении связи в точке т = 9а0/12) от действия реактивной силы FR1 W1FR1 (9а0 /12;/? = 0) = 205,1506FR1/ ER Радиальные перемещения в первой оболочке (при расположении связи в точке т = 9а0/12) от действия реактивной силы FR2 W1FR2 (9а0 /12;/? = 0) = 1083,0226F 2 / ER Радиальные перемещения во второй оболочке (при расположении связи в точке т = 9а0/12) от действия реактивной силы FR1 W2FR1 (9а0 /12;/? = 0) = 205,1506FiJ1/ ER Радиальные перемещения во второй оболочке (при расположении связи в точке т = 9а0/12) от действия реактивной силы FR2 w2F (9а0 /12; /? = 0) = 1083,0226FiJ2 / ER 120 При определении радиальных перемещений в оболочках от действия радиальной нагрузки р, которая сосредоточенна в кольцевом направлении и равномерно распределена вдоль образующей и неизвестных реактивных сил FR1 и