Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математическая модель системы двухрежимного управления привязным спускаемым подводным объектом 16
1.1 Постановка задачи 16
1.2 Структура системы двухрежимного управления СПО 18
1.3 Линейные модели упруго–массового звена «трос–СПО»
1.3.1 Учет распределенности массы упругого кабель–троса 20
1.3.2 Учет трения троса о воду и действия присоединенной массы воды 23
1.3.3 Учет интервальной неопределенности параметров 24
1.3.4 Учет характерных особенностей звена «трос–СПО» в моделях систем управления СПО для различных режимов 27
1.4 Модели системы управления скоростью СПО в режиме спуска–подъема 28
1.4.1 Функциональная схема системы управления скоростью СПО 28
1.4.2 Структурные схемы системы с невесомым и тяжелым кабель –тросом 30
1.4.3 Предаточные функции систем управления скоростью СПО 35
1.5 Модель системы стабилизации положения СПО на заданной глубине 35
1.5.1 Функциональная схема системы стабилизации положения СПО 35
1.5.2 Структурная схема и передаточная функция системы 37
1.6 Основные результаты 41
ГЛАВА 2. Анализ робастного качества режимов управления спускаемым подводным объектом 42
2.1 Постановка задачи 42
2.2 Вершинно – реберный анализ робастного качества ИСУ при аффинной неопределённости коэффициентов ИХП 49
2.2.1 Свойства отображения ребер многогранника интервальных параметров
2.2.2 Алгоритм построения граничного вершинно– реберного маршрута 60
2.2.3 Методика определения корневых показателей робастного качества ИСУ 61
2.2.4 Анализ робастного качества режимов управления СПО 61
2.3 Анализ допустимых корневых показателей качества ИСУ с аффинной
неопределённостью коэффициентов ИХП 69
2.3.1 Робастное D–разбиение по ребрам граничного маршрута 69
2.3.2 Робастное D–разбиение по граням многогранника интервальных параметров ИСУ 71
2.3.3 Методика анализа допустимых корневых показателей робастного качества ИСУ 72
2.3.4 Анализ обеспечения допустимых показателей качества системы управления скоростью СПО 72
2.4 Анализ оценок робастного качества ИСУ при интервальной неопределённости коэффициентов ИХП 76
2.4.1 Коэффициентные оценки показателей робастного качества ИСУ 76
2.4.2 Алгебраические условия обеспечения допустимых корневых показателей робастного качества ИСУ 76
2.4.3 Количественные оценки корневых показателей робастного качества 80
2.4.4 Методика анализа оценок робастного качества ИСУ 81
2.4.5 Анализ оценок робастного качества системы стабилизации положения СПО 82
2.5 Основные результаты 85
ГЛАВА 3. Параметрический синтез линейных робастных регуляторов системы двухрежимного управления спускаемым подводным объектом 87
3.1 Постановка задачи 87
3.2 Коэффициентные условия для параметрического синтеза робастного регулятора ИСУ 90 3.2.1 Условия обеспечения квазимаксимальной степени робастной устойчивости ИСУ 90
3.2.2 Условия обеспечения квазиминимальной степени робастной колебательности ИСУ 92
3.2.3 Условие обеспечения допустимой добротности ИСУ 93
3.3 Максимизация степени робастной устойчивости ИСУ линейными регуляторами 94
3.3.1 Методика параметрического синтеза линейных регуляторов квазимаксимальной степени робастной устойчивости при ограничениях 94
3.3.2 Повышение квазимаксимальной степени робастной устойчивости 96
3.4 Параметрический синтез линейных робастных регуляторов системы двухрежимного управления СПО 98
3.5. Основные результаты 101
ГЛАВА 4. Программная реализация алгоритмов анализа и синтеза системы двухрежимного управления СПО 102
4.1 Постановка задачи 102
4.2 Программный комплекс для анализа и синтеза ИСУ
4.2.1 Структура программного комплекса 103
4.2.2 Методы, используемые в программном комплексе 104
4.3 Модули программного комплекса 106
4.3.1 Алгоритмы модуля анализа корневых показателей робастного качества ИСУ 106
4.3.2 Алгоритмы модуля синтеза линейного робастного регулятора ИСУ
4.4 Принцип работы программного комплекса 113
4.5 Применение программного комплекса для анализа и синтеза системы управления скоростью СПО 115
4.6 Основные результаты 115
ГЛАВА 5. Моделирование режимов управления привязным спускаемым подводным объектом 117
5.1 Постановка задачи 117
5.2 Моделирование внешних воздействий 118
5.2.1 Моделирование управляющего и возмущающего сигналов в режиме спуска–подъема СПО 118
5.2.2 Моделирование воздействия морской качки на СПО в режиме его стабилизации 120
5.3 Моделирование режимов управления СПО 121
5.3.1 Моделирование режима спуска – подъема СПО 121
5.3.2 Моделирование режима стабилизации положения СПО 126
5.4 Основные результаты 132
Заключение 134
Основные публикации по теме диссертации 136
Список литературы 140
- Учет характерных особенностей звена «трос–СПО» в моделях систем управления СПО для различных режимов
- Вершинно – реберный анализ робастного качества ИСУ при аффинной неопределённости коэффициентов ИХП
- Условия обеспечения квазимаксимальной степени робастной устойчивости ИСУ
- Алгоритмы модуля анализа корневых показателей робастного качества ИСУ
Введение к работе
Актуальность работы. В настоящее время с помощью привязных спускаемых подводных аппаратов, связанных кабель – тросом с судном-носителем, решаются различные практические задачи освоения Мирового океана: обзорно– поисковые, геологоразведочные, океанографические и др. Перспективным является их использование для увеличения ресурса работы автономных необитаемых подводных аппаратов (АНПА). Например, спускаемые зарядные станции способны заряжать аккумуляторные батареи АНПА без их подъема на судно; с помощью спускаемых контейнеров АНПА могут быть погружены на заданную глубину и подняты обратно на судно. Основная проблема при использовании различных привязных спускаемых подводных объектов (СПО) состоит в необходимости обеспечения их плавного движения и точной стабилизации на заданной глубине в условиях морской качки. Эта проблема вызвана тем, что под действием качки привязные СПО совершают вертикальные колебания, которые могут переходить в резонансные и приводить к обрыву троса и ударам СПО о грунт. Поэтому при проектировании систем управления СПО необходимо обеспечить демпфирование вертикальных колебаний СПО, вызванных качкой судна–носителя.
Для проектирования высококачественных систем управления привязными СПО необходимы математические модели, которые максимально учитывают свойства упругого звена «трос–СПО» (интервальную неопределенность параметров, распределенность массы длинного троса, его трение о воду и др.) и при этом достаточно удобны проектировщику для решения задач анализа и синтеза таких систем. Поскольку системы управления СПО должны обеспечивать допустимое качество работы при любых значениях интервально– неопределенных параметров, то в них предлагается использовать простое в реализации, в отличие от адаптивного, робастное управление СПО с помощью типовых линейных регуляторов. При этом, следуя принципу многорежимного управления, целесообразно раздельно управлять спуском (или подъемом) СПО и стабилизацией его положения. Такой подход предполагает разработку системы двухрежимного робастного управления, состоящей из системы управления скоростью СПО для его спуска–подъема и системы стабилизации положения СПО на заданной глубине.
Степень разработанности темы исследования. Решению задачи управления подводными аппаратами различных типов посвящены работы отечественных и зарубежных ученных (Г.Е Кувшинов, Л.А.,Наумов, В.Ф. Филаретов, А.Ф. Шербатюк, B.C. Чугунов, S. I. Sagatun, S.Rowe, U.A. Korde и другие). Результатами этих работ являются различные методы проектирования систем управления подводными аппаратами и разработанные требований к этим системам.
Вопросы анализа и синтеза автоматических систем с интервальными параметрами рассматриваются в работах отечественных (Цыпкин Я.З., Харитонов В.Л., Поляк Б.Т., Мееров М.В., Бесекерский В.А., Первозванский В.А., Римский Г.В., Несенчук А.А. и др.) и зарубежных (Soh Y.C., Barmish B.R., Bhattacharyya
S.P., Anderson B.D., Ackerman J., Doyle J.C., Barlett A.C., Henrion D., Kwakemaak H. и др.) ученых.
Цели и задачи. Целью работы является получение методик анализа и синтеза систем робастного управления СПО для режимов спуска-подъема и стабилизации в условиях морской качки. Для достижения данной цели решаются следующие задачи:
разработка математических моделей систем управления СПО, учитывающих свойства параметров звена «трос-СПО» в режимах спуска-подъема и стабилизации СПО для различных глубин;
разработка методик анализа робастного качества систем управления СПО в условиях интервальной неопределенности параметров звена «трос-СПО»;
разработка методик синтеза робастных регуляторов для режимов спуска-подъема и стабилизации положения СПО, обеспечивающих гарантированное качество управления в условиях морской качки;
разработка программного комплекса для автоматизированного анализа и синтеза систем управления СПО;
моделирование процессов двухрежимного робастного управления СПО на различных глубинах.
Научную новизну работы составляют:
-
Математические модели систем управления СПО, учитывающие интерваль-ность, распределённость и нелинейность параметров звена «трос-СПО» в режимах спуска-подъема и стабилизации положения СПО на малых и больших глубинах.
-
Алгоритм построения граничного вершинно - реберного маршрута многогранника интервальных параметров системы, отображение которого на корневую плоскость позволяет определить показатели ее робастного качества.
-
Достаточные условия для анализа корневых показателей робастного качества системы на основе интервальных коэффициентов характеристического полинома.
-
Достаточные условия для синтеза интервальной системы с квазимаксимальной степенью робастной устойчивости при ограничениях на её колебательность и добротность.
-
Методика параметрического синтеза робастного регулятора, обеспечивающего максимизацию квазимаксимальной степени робастной устойчивости интервальной системы на основе комбинированного использования интервальной и аффинной неопределенности коэффициентов интервального характеристического полинома (ИХП).
Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическую значимость работы составляют алгоритмы построения границ областей локализации полюсов интервальных систем управления (ИСУ) для определения робастных показателей качества, методики их оценки на основе интервального расширения коэффициентного метода, методики параметрического синтеза робастных регуляторов, обеспечивающих повышение быстродействия ИСУ.
Практическая значимость работы состоит в следующем:
– разработанные с учетом особенностей параметров звена «трос–СПО» математические модели систем управления СПО позволяют повысить точность настройки робастных регуляторов для эффективной компенсации влияния морской качки;
– разработанные методики анализа и синтеза систем управления СПО доведены до реализации в виде программного комплекса;
– практическая ценность работы подтверждена патентами на изобретения и свидетельствами о регистрации программ для ЭВМ.
Диссертационные исследования выполнены в рамках мегапроекта ТПУ «Телекоммуникационные системы мониторинга и управления для автономных подводных роботов», а также ряда грантов РФФИ: «Алгоритмы и программное обеспечение для анализа и синтеза интервальных систем», «Параметрический синтез робастных регуляторов для системы управления подводным объектом», «Синтез интервальных характеристических полиномов систем автоматического управления на основе коэффициентных показателей робастного качества», «Анализ и синтез робастных систем управления с аффинной и полилинейной неопределенностью коэффициентов характеристического полинома».
Методология и методы исследования. Для решения поставленных задач в работе применялись разделы интервальной математики, теории автоматического управления и робастной устойчивости, робастное расширение метода корневого годографа, методы операционного исчисления. Для реализации программного комплекса и экспериментальных исследований использовались программные средства С++, прикладные программы MatLAB и MathCAD.
Положения, выносимые на защиту.
-
Полученные математические модели систем управления СПО позволяют проводить анализ и синтез с учетом интервальной неопределенности параметров упругого звена «трос–СПО», распределенности массы длинного троса и его трения о воду.
-
Для нахождения степени робастной устойчивости и степени робастной колебательности систем управления СПО необходимо отобразить на плоскость корней вершинно–реберный маршрут многогранника интервальных параметров системы.
-
Количественные оценки корневых показателей робастного качества систем управления СПО определяются на основе достаточных условий, использующих интервальные коэффициенты характеристического полинома системы.
-
Для параметрического синтеза робастных пропорционально– интегральных (ПИ) и пропорционально–интегрально–дифференциальных (ПИД) регуляторов систем управления СПО получены аналитические зависимости настроек регуляторов от квазимаксимальной степени робастной устойчивости, допустимой степени робастной колебательности и минимальной добротности.
-
На основе комбинирования интервально расширенного коэффициентного метода, вершинно–реберного анализа и метода математического программирования определяются настройки робастных ПИ и ПИД–регуляторов максимальной степени робастной устойчивости.
Степень достоверности и апробация результатов. Степень достоверности результатов подтверждается адекватностью разработанных математических моделей систем управления СПО, близостью теоретических результатов с данными экспериментов, полученных путем численного моделирования.
Основные результаты работы обсуждены на Международных и Всероссийских научно-технических конференциях: 2nd International Conference on Systems and Computer Science, France, 2013; 2nd International Conference on Electronics, Mechatronics and Automation, Singapore, 2013; 15th International Conference on Automation, Robotics and Mechatronics, Spain, 2013; Всероссийская конференция молодых ученых «Навигация и управление движением», г. Санкт-Петербург, 2013; 18-ая Международная конференция «Системный анализ, управление и навигация», г. Евпатория, 2013; 6-ая Всероссийская мультикон-ференция по проблемам управления, г. Геленджик, 2013; Всероссийская конференция «XXXVIII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова», 2014; International Conference on Mechatronics Engineering and Electrical Engineering, China2014; 3th International Conference on Electronics, Mechatronics and Automation, Dubai, 2014; International Automatic Control Conference, Taiwan, 2014 и 2015; 27th Control and Decision Conference, China, 2015; IFAC Workshop on Navigation, Guidance and Control of Underwater Vehicles, Girona, Spain, 2015; 6-я Всероссийская научно-техническая конференция «Технические проблемы освоения Мирового океана», г. Владивосток, 2015, International OCEANS '16 Conference, Shanghai, 2016.
По теме диссертации опубликованы 64 основные научные работы, из них 12 статей в зарубежных изданиях, индексируемых в базах Scopus и Web of Science, и 9 статей в журналах, рекомендованных ВАК. Личное участие соискателя в получении результатов, изложенных в диссертации, состоит в разработке математических моделей системы двухрежимного управления СПО, получении методик анализа и синтеза систем с интервально – неопределенными параметрами, разработке реализующего эти алгоритмы программного комплекса, проведении теоретических и экспериментальных исследований.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 126 наименований, и приложений; содержит 152 страницы машинописного текста, 62 рисунка и 9 таблиц.
Учет характерных особенностей звена «трос–СПО» в моделях систем управления СПО для различных режимов
Способ управления скоростью СПО заключается в изменении длины составленной из двух частей гибкой механической связи между СПО и судном. Основное перемещение СПО по вертикали при его погружении осуществляется со стороны судна изменением длины первой части указанной связи, а дополнительное перемещение со стороны СПО – изменением длины второй части гибкой связи. При этом первое слагаемое усилия во второй части гибкой связи поддерживается равным весу СПО в воде, а дополнительное перемещение ограничивается пределами, которые определяются с учетом минимального и максимального допустимых значений длины второй части гибкой связи. Для дополнительного перемещения СПО, компенсирующего влияние морской качки в процессе его погружения, используется заданная скорость судовой лебедки и измеряемая скорость вертикального перемещения СПО. Указанные скорости сравниваются и на основе их разности формируется второе слагаемое усилия во второй части гибкой связи для компенсации влияния морской качки. Функциональная схема описанной выше системы управления скоростью СПО представлена на рисунке 1.9.
Для разработки структурной схема системы управления скоростью СПО запишем уравнения для отдельных элементов в случае стационарной системы. Уравнение вертикального движения СПО имеет вид тгпп — - = F . Инерция спо dt н СПО определяется передаточной функцией W (s) = . На основе закона спо т s СПО Гука получим уравнение для УЭ системы, представляющего собой последовательное соединение кабель-троса и каната сс F = удТ удК ,, + ч _ , + « + С I +С I ХудтХудк d((xKa4 +хсл)- (хАЛ + хспо )) Худт -к + Xydtch " Тогда передаточная функция упругого элемента имеет вид Wy3(s) = (z3Kes + C3Ke)/ s. Электропривод амортизирующей лебедки dcoАЛ г описывается уравнением Jn = Мдв + М , где Л - момент инерции 2 dt амортизирующей лебедки, соАЛ- угловая скорость вращения барабана амортизирующей лебедки, Мдв - управляющий момент привода амортизирующей лебедки, Мн - момент, создаваемый на амортизирующей лебедке силой натяжения троса. При этом Mдв=kм2(Up-Ue), где км2 коэффициент передачи привода амортизирующей лебедки по моменту, Up выходное напряжение регулятора амортизирующей лебедки, Uе = ke2co -напряжение противоЭДС двигателя амортизирующей лебедки, ке2-коэффициент противоЭДС двигателя амортизирующей лебедки, Мн = F , где R - радиус барабана амортизирующей лебедки. Передаточная функция электропривода амортизирующей лебедки имеет вид w (s) - v ) _ К-&. V ; Uр(s) J2s + ke2kм2
Математическое описание электропривода судовой лебедки аналогично описанию привода амортизирующей лебедки. При этом контур регулирования скорости судовой лебедки содержит отрицательную обратную связь по скорости соСЛ, напряжение которой определяется уравнением Uoc = коссо .
Входное напряжение Ux судовой лебедки определяется усилителем с коэффициентом кус на основании выражения Ux=kус{Uзс-Uос). Передаточная функция электропривода судовой лебедки имеет вид t ч V (s) к к ,R W (s) = СЛ = ус м . Напряжение Uр, поступающее на СЛУ U (s) J,s + k± ,+к к ,к ус 1 е\ м\ ус м\ ос амортизирующую лебедку, формируется линейным регулятором, входной сигнал которого равен разности U -/ . Сигнал U формируется ИПС зс ИПС измерительным преобразователем скорости СПО, передаточная функция которого имеет вид W (s) = k . ИПС V / ИПС При выборе передаточной функции Wрl(s) регулятора для системы управления скоростью СПО должно быть учтено следующее требование: в режимах спуска-подъема СПО при VKcn Ф 0 скорость Vcno должна определяться сигналом U3C (составляющая Vcno от действия возмущения VKm должна быть минимальна). Анализ полученных передаточных функций систем управления скоростью СПО по VKCl4 с тяжелым и невесомым кабель-тросом с различными типами регуляторов показал, что в режиме спуска-подъема для уменьшения влияния Ушч на Vcno достаточно использовать ПИ-регулятор, обеспечивающий в системе астатизм первого порядка. Передаточная функция ПИ-регулятора имеет вид w 1(ty) = 1 + . Данный р s регулятор содержит два параметра настройки к1 и к2, определяющие качество переходных процессов в системе.
Если в приведенном математическом описании системы учесть рассмотренные выше распределенность массы упругого кабель-троса, трение троса о воду, действие присоединенной массы воды и интервальную неопределенность параметров, то на основании таблицы 1.1 могут быть составлены структурные схемы систем управления скоростью СПО для малых и больших глубин. Данные схемы представлены соответственно на рисунках 1.10 и 1.11.
Вершинно – реберный анализ робастного качества ИСУ при аффинной неопределённости коэффициентов ИХП
Определим состав границы области S локализации комплексного корня, если (p-1(Sr) = Gj.. Очевидно, что если координаты Р являются единственным решением (2.10), то iuSf - единственная ветвь, которая проходит через sr. В этом случае границы Sr состоят из непересекающихся образов ребер GtJ. Если прообразом корня sr является прямая h, которая на грани GtJ отмечает отрезок РХР2 (точки Рх и Р2 принадлежат ребрам Gtj), тогда через sr (назовем его узлом пересечения U ) проходит множество ветвей корневых годографов по Tt и Т., которые лежат между двумя пересекающимися в sr реберными ветвями. В этом случае границы Sr будут состоять из пересекающихся образов ребер Gy .
Очевидно, что необходимым условием наличия узла пересечения и є Sr является присутствие прямой h хотя бы в одной из плоскостей Рт, имеющих общую вершину. Для установления линейной зависимости уравнений (2.10), свидетельствующей о наличии прямой h в пространстве параметров Тг и Т} и ее отображении в U (a, jfi), необходимо проверить справедливость равенств RQAi(a,f3)_ReAj(a,j3)_ ImА(а,0) \mA}{a,/3) Re ТкЫк(а,Р) + В(а,Р) ТкЫк(а,Р) + В(а,Р) (2.11) Из (2.11) получим следующую систему уравнений \ReA1(a,/3)lmAJ(a,/3)-ReAJ(a,/3)lmA1(a,/3) = 0; ReA.(a, )lm YTkqAk(a,/3) + B(a,/3) -lmAl(a,/3)Re УТкдАк(а,/3) + В(а,/3) [Ik J L (2.12) Если системы вида (2.12) при /ЗФО для всех сочетаний интервальных параметров не имеют решений, то в $г нет U и границы $г состоят из непересекающихся реберных ветвей.
Пусть Д (s) = Y,awisw, Aj (s) = JX . Установлено, что c=0 w=0 если степени z и и /полиномов Atys) и A.(s) при интервально-неопределенных параметрах Tt Т. не выше второго порядка, то для анализа возможности пересечения реберных ветвей RS? и RS] нет необходимости решать систему (2.12), а достаточно только проверить выполнение условий, полученных на основе следующих доказанных утверждений. Утверждение 2.1. Если A(s) и Aj(s) первого порядка, то нет пересечения образов ребер грани Gl}. Доказательство. Пересечения образов ребер грани Gij возможны, если уравнения (2.11) зависимы. На основе формулы Муавра запишем первое равенство (2.11) в тригонометрической форме 5X,- MW C0S(W(P) 2X14 cos(ccp) w=0 c=0 Y,aw, \s\w sin(w p) JX \s\ sin(c ) w=0 c=0 Из этого равенства получаем уравнение Z / Z / 2Х, \s\w cos(w0 )arcy. \s\ sin(c ) = arw. sw sin(w0 )arcy. sc cos(op), w=0 c=0 w=0 c=0 на основании которого может быть составлено уравнение z,l Z a acj \+С sin((с- w)(p)=0, w с. (2.13) wi cj w=0,c=0
Пусть z = 1; /=1, тогда ад7 f sin » - auaQJ \s{ sin » = 0. Так как sin(» 0, то, решая данное уравнение, получим а0іа = aua0J . Такой результат говорит о том, что при изменении Тг и Т. реберные ветви RS? и RSj выходят из образа вершины под одним углом и совпадают. Утверждение 2.2. Если ДО) и Aj(s) второго порядка, то нет пересечения образов ребер грани Gxj в случае выполнения для всех пар интервально- неопределенных параметров Тг и Т. неравенств (aha 2j - a 2i aXj )(а0іа . - aua 0j ) (a 0i a 2j - a 2i a 0j f; aha 2j - a 2i aXj 0; A{aQiaXj - aua0j)(aua2j - a2iaXj) 0. Доказательство. Пусть z = 2; / = 2. Тогда на основании (2.13) запишем amaX} \s\ sin(» - aba0j \sf sin(» + a0ia2J \sf sin(2 ?) - a2ia0j \sf sin(2 ?) + aba2j \sf sin(» -a2fl\j И sin(# ) = 0. После преобразования данного уравнения получаем ъш{ср)(аыах - аиа0 + аиа2 \s\ — a2iax \s\ ) + 2sin( )cos( )(a0/.a2. s -a2ja0. \s\ ) = 0. Решение этого уравнения 2cos((p)(a2ja0 -a0ja2 )±J4cos ( p)(aQia2 -a2ja0 ) -4(a0.a1 -aha0 )(aha2 -a2iax ) ; 1 [ У \ ; 1 [ У / ; 1 [ У / 2(aba2J -a2iaXj) будет вещественным и положительным при выполнении следующих условий. 1) aua2j -a2iaXj 0; 2) 4cos2( )(a0/. x,7. - a2ja0J)2 - 4(a0jaXJ - aXja0j)(aXja2J - a2jaXj) 0, откуда cos2 (ер) (а % "" JX- J - Л,) . Так, как C0S2( ) 1, то \a 0i a 2j a 2i a 0j ) h 0j h 2j 2 2l lj 1. Следовательно, второе условие (a 0i aXJ — aha 0J)(aha 2J — a 2i aXj ) (a 0i a 2J — a 2i a 0J)2. 3) 2cos(cp)(a2ia0j - a0ia2j)- 4 cos2(cp)(a0ia2j - a2ia0jf - 4(a0iaXj - aua0j)(aua2j) . yl-a2ialJ) 0, откуда после преобразования получаем 2cos2((p)(a0ja2 . - a2ja0J) (a0jaXJ — aXja0J)(aXja2J — a2jaXJ). Тогда cos2(ff) і Р і№Ргі аг&-і , а, следовательно, 2(a0ja2 —a2ja0 )2 1. Таким образом, третье условие имеет вид (a 0i aXJ - aXi a 0J)(aXi a 2J - a 2i aXJ) 2(a0ia2 — a2ia0 )2 (сг0іах. — aXia0J)(aXia2. — a2iaXj) 2{aQia2j — a2ia0 .)2. 4) 2cos{(p){a2ia0j-a0ia2j) + 4cos2{(p){a0ia2j -a2ia0Jf -4(a0iaXJ -aua0J)x Jx(aXla2J)-a2iaXj) 0. Тогда четвертое условие 4(a0iaXj -aXia0j)(aXia2j -a2iaX]) 0. Из утверждения 2.2 получены два следствия. Следствие 2.1. Если z = 1, / = 2, то нет пересечений образов ребер грани Gxj в случае выполнения для всех пар интервально- неопределенных параметров Т и Т. неравенств 4а1а2(а0іа1 a1a0j)п0Следствие 2.2. Если z = 2, / = 1, то нет пересечений образов ребер грани Gl} в случае выполнения для всех пар интервально- неопределенных параметров Т и Т. неравенств
Таким образом, методика анализа возможности пересечения образов ребер грани Gi} состоит из следующих этапов.
1. Записать ИХП. Если зависимости коэффициентов ИХП от интервальных параметров системы являются полилинейными или полиномиальными функциями, то их необходимо привести к аффинному виду (2.2) и определить граничные значения приведенных интервальных параметров.
2. Если степени всех полиномов при интервально-неопределенных параметрах не выше второго порядка, то необходимо проверить выполнение условий (2.14), (2.15), (2.16).
3. Если условия (2.14), (2.15), (2.16) не выполняются, то есть пересечения образов ребер грани Gi}.
4. Если среди полиномов при интервально-неопределенных параметрах есть полиномы третьего порядка и выше, то необходимо выбрать произвольную вершину V , qe1,2m и для всех сходящихся в ней граней решить системы уравнений (2.12). Анализ типа реберных ветвей
В соответствии с [114], если у реберной ветви ближайшим к мнимой оси является один из концов (рисунок 2.10 а), то такая реберная ветвь относится к первому типу. Если же ближайшим к мнимой оси является один из внутренних корней реберной ветви, то она относится ко второму типу (рисунок 2.10 б). Знание типа граничных реберных ветвей важно для определения корневых показателей качества. Так, если ветвь имеет первый тип, то для определения минимальной степени устойчивости и максимальной колебательности нет необходимости строить эту реберную ветвь, а достаточно найти корни на концах ребра. Из [71] известно следующее условие для определения типа реберных ветвей.
Условия обеспечения квазимаксимальной степени робастной устойчивости ИСУ
Задачей регуляторов систем управления СПО в режимах спуска -подъема и стабилизации положения является выработка сигналов управления для амортизирующей лебедки, под действием которых происходит компенсация вертикальных перемещений СПО от качки судна - носителя. Для решения этой задачи на основе концепций робастного и многорежимного управлений необходимо найти такие постоянные настройки регуляторов, которые обеспечивали бы гарантируемое качество функционирования СПО при изменении параметров упругого звена «трос - СПО» в указанных выше режимах.
Задача параметрического синтеза робастных регуляторов ИСУ рассматривается в работах отечественных (Харитонов В.Л., Цыпкин Я.З., Мееров М.В., Поляк Б.Т., Бесекерский В.А., Несенчук А.А., Римский Г.В., Первозванский В.А.и др.) и зарубежных (Soh Y.C., Barmish B.R., Bhattacharyya S.P., Anderson B.D., Ackerman J., Doyle J.C., Barlett A.C., Henrion D., Kwakernaak H. и др.) ученных. Предлагаемые ими методы синтеза основаны, например, на теории нечеткой логики [12, 27, 40], на методах оптимизации [22, 39, 119], методах линейных матричных неравенств (LMI) [6, 15], на применении Я -и #2-норм [16, 21] и ц- анализа [3, 11]. Недостатками этих методов являются: - вычислительная трудоемкость, вызванная сложными математическими расчетами; - высокая размерность синтезированных регуляторов и сложность получения желаемого качества при их аппроксимации регуляторами низкого порядка; - необходимость получения точной модели ИСУ с математическим описанием всех возмущающих факторов, влияющих на стабильность параметров системы.
При параметрическом синтезе линейных робастных регуляторов ИСУ можно рассматривать как множество стационарных систем, определяемых всеми возможными сочетаниями интервальных параметров. Такой подход применяется в работах [4, 57, 117].
Следует заметить, что существует большое число методов параметрического синтеза робастных регуляторов, обеспечивающих в ИСУ заранее заданные требования к устойчивости и качеству управления [1, 8, 9, 13, 23, 29, 33, 36, 41, 57, 57, 72, 80, 87, 91, 92, 98, 109]. Так, на основе применения полиномов Харитонова в [9, 13, 23, 36, 87] разработаны методы синтеза робастно устойчивых ИСУ, а на основе метода робастного D-разбиения в [57, 80, 91] синтезируются регуляторы, гарантирующие заданное качество. Среди методов синтеза линейных регуляторов следует выделить корневые методы, которые отличаются простотой и наглядностью [1, 8, 29, 33, 41, 72, 98, 109].
Одним из наиболее распространённых требований при параметрическом синтезе регуляторов является требование высокого быстродействия ИСУ [59, 73, 74, 124, 125]. Для его обеспечения при использовании корневого подхода следует выбирать критерий максимальной степени устойчивости. Такой выбор обоснован тем, что системы, синтезированные по этому критерию, обладают более высоким быстродействием, меньшим перерегулированием, большим запасом устойчивости [10, 19, 59, 60, 73, 74, 124, 125].
Очевидно, что при параметрическом синтезе робастного регулятора желательно иметь простые соотношения, связывающие его параметры с показателями качества ИСУ. Такие соотношения можно получить на основе коэффициентного метода [92]. Данный метод основан на достаточных условиях для показателей устойчивости Xi и колебательности Ъp [92], выраженных через коэффициенты характеристического полинома и прямые корневые показатели качества: степень устойчивости и степень колебательности системы. В свою очередь, в коэффициенты ИХП входят настройки регулятора и интервальные параметры ИСУ. Поэтому предлагается на основе уже интервальных коэффициентных показателей устойчивости [Л,] и колебательности [5 ] получить достаточные условия для настроек регулятора, обеспечивающих максимальную оценку снизу степени робастной устойчивости (квазимаксимальную степень робастной устойчивости) в условиях ограничений на колебательность.
При этом представляет интерес усиление найденных настроек регулятора с целью получения не квазимаксимальной, а максимальной степени а робастной устойчивости. Данный показатель, например, можно обеспечить методом математического программирования [110], применив к нему интервальное расширение.
Пусть объект управления описывается передаточной функцией с — w —- — Woy (s) = B(s) I A(s) = X h([T])s I X a ([T])sq, где [T] - вектор интервальных h=0 q=0 q параметров, s - оператор Лапласа. Астатический регулятор имеет передаточную функцию W (sJt\ = F(sJt)ls, которая зависит от вектора настраиваемых параметров к. Тогда ИХП системы может быть представлен в виде D(s,W\,k) = B(s,[T])F(s,k) + sA(s,\TJ) = 4([Т],у . (3.1) г=0
Пусть коэффициенты ИХП (3.1) линейно зависят от интервальных параметров, то есть имеют аффинную неопределенность. Если их привести к интервальной неопределенности, то ИХП может быть записан в виде D(s,k) = [4(Ж = Wn(ky\sn + [d ik s"1... + [d0(k)] . (3.2) Задачей синтеза регулятора является определение его настроек к, обеспечивающих в системе управления СПО максимальное быстродействие. Ее решение предлагается получить на основе использования ИХП вида (3.1) и (3.2) путем максимизации степени робастной устойчивости системы при условии ограничения ее допустимой степени робастной колебательности и добротности.
Алгоритмы модуля анализа корневых показателей робастного качества ИСУ
Заключительным этапом проектирования системы двухрежимного робастного управления СПО является её имитационное моделирование на основе разработанных математических моделей и синтезированных робастных регуляторов. Моделирование позволяет оценить качество динамических процессов и определить точность управления в различных режимах работы СПО. Исходя из того, что модели систем содержат изменяющиеся во времени в заданных интервалах параметры, для моделирования предлагается использовать метод замороженных коэффициентов [92]. В соответствии с данным методом все время управления разбивается на интервалы, внутри которых нестабильные параметры рассматриваются как постоянные. В результате такого замораживания интервальная система заменяется множеством стационарных систем. Заметим, что данный подход к моделированию систем управления СПО возможен, поскольку за время переходных процессов в системах интервальные параметры СПО изменяются незначительно [92].
Очевидно, что при моделировании необходимо задавать входные управляющие и возмущающие сигналы максимально приближенными к реальным условиям функционирования систем. Речь идет о моделировании сигнала управления для спуска–подъема СПО и возмущающего сигнала от воздействия морской качки. Так для моделирования режима управления скоростью СПО необходимо сформировать сигнал скорости судовой лебедки и сигнал скорости подъема и отпускания судна–носителя под действием морской качки. Для моделирования режима стабилизации положения СПО следует получить возмущающий сигнал, поступающий на верхний конец каната амортизирующей лебедки. Заметим, что он формируется в результате прохождения сигнала морской качки через кабель – трос, модель которого зависит от его длины.
В качестве инструмента моделирования выбрана подсистема Simulink Matlab, которая является интерактивной средой для расчета, моделирования и анализа различных систем, в том числе и систем автоматического управления [67, 76, 95, 122]. Основой моделирования систем управления в Simulink служат графические блок–диаграммы, являющиеся прямым отображением структурных схем. Используя эти блок–диаграммы, возможно исследование системы в различных областях (временной, частотной, корневой). При этом Simulink полностью интегрирован с Matlab, обеспечивая доступ к его инструментам. Таким образом, используя метод замороженных коэффициентов и моделирование в Simulink Matlab, необходимо исследовать работоспособность разработанных систем управления СПО в максимально приближенных к реальным условиях функционирования.
Согласно [81, 82] для плавного разгона и торможения судовой лебедки при спуске СПО сигнал задатчика скорости Uзс следует формировать в виде, показанном на рисунке 5.1, где Т – время спуска СПО на заданную глубину. Из рисунка 5.1 видно, что судовая лебедка имеет режим разгона с постоянным ускорением [и\ t2], режим работы с постоянной скоростью [t2; t3] и режим торможения с постоянным замедлением [ґз ; t4]. С момента времени U СПО переходит в режим стабилизации.
Относительно сигнала скорости вертикального перемещения судна-носителя под действием морской качки следует заметить, что реальные волны имеют хаотический характер и отличаются по форме, амплитуде и периоду. Качка на таких волнах получила название нерегулярной и ее можно рассматривать как случайный вероятностный процесс. Однако, если качка длится от нескольких десятков минут до нескольких часов, то ее правомерно рассматривать как стационарный эргодический процесс [81, 82, 102, 120, 121].
Для количественной оценки нерегулярной морской качки используется энергетический спектр волн, который математически описан в [53, 82, 82, 84, 106]. Согласно [81, 82], для реализации случайного процесса с заданной спектральной плотностью сигнал «белый шум» преобразуют с помощью фильтра, имеющего дробно-рациональную передаточную функцию. Один из таких аналоговых формирующих фильтров, моделирующий морскую качку, получен в [120, 121] и имеет следующую передаточную функцию
В режиме стабилизации положения СПО, когда судовая лебедка отключена, сигнал вертикальной скорости морской качки проходит через кабель – трос и воздействует на замковое соединение (ЗАМС), связывающее кабель–трос и канат амортизирующей лебедки. То есть, вертикальная скорость VЗАМС перемещения ЗАМС определяет скорость верхнего конца каната амортизирующей лебедки, являясь возмущающим сигналом для системы стабилизации положения СПО. Это возмущение измеряется датчиком отклонения натяжения каната и на его основе формируется сигнал управления амортизирующей лебедкой. Очевидно, что при таком представлении возмущения, действующего на систему стабилизации, следует учитывать динамические свойства упругого кабель–троса. Если кабель – трос короткий, то его можно рассматривать как невесомый с сосредоточенными параметрами жесткости и потерь упругости. В таком случае возмущающий сигнал может быть получен на основе структурой схемы, показанной на рисунке 5.4, где FнК – сила натяжения каната.