Содержание к диссертации
Введение
1 Основы теории дескрипторных систем и анизотропийного анализа 16
1.1 Дескрипторные системы 16
1.2 Средняя анизотропия и анизотропийная норма 21
2 Анализ дескрипторных систем с центрированными входны ми возмущениями 26
2.1 Анизотропийная частотная теорема для дискретных дескрип-торных систем: уравнения Риккати 28
2.2 Частотная теорема для анизотропийной нормы: ЛМН 35
2.3 Модифицированная анизотропийная частотная теорема 45
2.4 Выводы к главе 2 53
3 Синтез субоптимального управления для дескрипторных систем 54
3.1 Решение задачи субоптимального анизотропийного синтеза с помощью выпуклой оптимизации 55
3.2 Решение задачи синтеза субоптимального анизотропийного управления на основе обобщенных уравнений Риккати
3.2.1 Синтез субоптимального анизотропийного управления в виде обратной связи по состоянию 58
3.2.2 Синтез субоптимального анизотропийного управления по вектору полной информации 63
3.3 Выводы к главе 3 67
Анализ дескрипторных систем с нецентрированными входными возмущениями 68
4.1 Основные понятия анизотропийной теории для стационарных гауссовских последовательностей с ненулевым матема тическим ожиданием 69
4.1.1 Анизотропия случайного m-мерного вектора 69
4.1.2 Средняя анизотропия нецентрированной последовательности гауссовских случайных векторов 70
4.1.3 Анизотропийная норма дескрипторной системы с нецен-трированными входными возмущениями
4.2 Вычисление анизотропийной нормы дескрипторной системы с нецентрированными возмущениями 81
4.3 Выводы к главе 4 89
Заключение 90
Литература
- Средняя анизотропия и анизотропийная норма
- Частотная теорема для анизотропийной нормы: ЛМН
- Решение задачи синтеза субоптимального анизотропийного управления на основе обобщенных уравнений Риккати
- Средняя анизотропия нецентрированной последовательности гауссовских случайных векторов
Средняя анизотропия и анизотропийная норма
Математические модели объектов управления не всегда могут быть описаны только дифференциальными или разностными уравнениями, также они могут содержать алгебраические уравнения. Такие системы, называемые дифференциально-алгебраическими или алгебро-разностными, существенно отличаются от обыкновенных систем. В иностранной литературе системы такого типа также называют дескрипторными, т.е. описательными. Смысл понятия “дескрипторные системы” заключается в том, что переменные состояния имеют физический (описательный) характер. Из-за наличия алгебраических связей между переменными состояния, модель приобретает свойства, не характерные для обыкновенных систем. К таким свойствам можно отнести невозможность разрешить систему относительно производной, необходимость подачи на вход системы достаточно гладких сигналов, а также непричинное в дискретном случае (импульсное в непрерывном случае) поведение.
В этом разделе даны основные определения теории дескрипторных систем, а именно понятие регулярности, устойчивости, причинности и допустимости. Обобщены понятия норм обыкновенных дискретных систем на класс дискретных дескрипторных систем. Приведены выражения для эквивалентных форм (первой и второй). Рассмотрены понятия причинной управляемости и стабилизируемости. Более подробную информацию мож но найти в [52, 77].
Модель дискретной линейной дескрипторной системы в пространстве состояний имеет вид где х(к) Є М.п - вектор состояния, f(k) Є Ш171 и у (к) Є Шр - входной и выходной сигналы соответственно, А, В, С, D - постоянные матрицы соответствующих размерностей, Е Є Шпхп - вырожденная матрица, то есть rankE = г п.
Одним из ключевых понятий теории дескрипторных систем является понятие регулярности системы. Регулярность является необходимым и достаточным условием существования и единственности решения системы (1.1). Будем предполагать, что все рассматриваемые дескрипторные системы являются регулярными.
В соответствии с леммой 1.1, уравнение состояния (1.1) может быть представлено в следующем виде: xi(k + 1) = AiXi(k) + Bif(k), (1.4) Nx2(k + 1) = X2{k) + B2f(k), (1.5) где x\{k) Є W, X2(k) Є Mn_r, [Bj B2] = Q\B. Определение 1.2. Систему (1.4)–(1.5) называют первой эквивалентной формой системы (1.1) [52]. Дескрипторные системы имеют решения не при любых начальных условиях. Определение 1.3. Начальные условия х(0), при которых регулярная де-скрипторная система (1.1) имеет решение, называют согласованными. Согласованные начальные условия удовлетворяют следующему равенству: /ii [О /] Л1 х(0) = У NlB2f(i). г=0 Определение 1.4. Система (1.1) (пара (Е, А)) называется причинной, если ее решение х(к) при согласованных начальных условиях зависит только от f{k), ..., /(0) и х(к — 1), ..., х(0). Это имеет место, если индекс нильпотента N равен 1. Теорема 1.1. Система (1.1) является причинной тогда и только тогда, когда degdet(zE-A) = rank Е1 или N = 0, т.е. система не имеет полюсов на бесконечности. Введем теперь понятия устойчивости и допустимости линейной дискретной дескрипторной системы. Определение 1.5. Систему (1.1) (пару (Е, А)) называют устойчивой, если р(Е,А) 1, где р(Е,А) = max AArzCdet/z;_ =0j - спектральный радиус пары (Е,А). Определение 1.6. Дескрипторная система (1.1) (пара (Е, А)) называется допустимой, если она регулярная, причинная и устойчивая. Для регулярной системы (1.1) существуют две невырожденные матрицы Q2 и i?2 такие, что [52]
При решении задач управления для дескрипторных систем необходимо не только обеспечить устойчивость динамической подсистемы, но также исключить нежелательное непричинное поведение. Поэтому для дескрипторных систем различают причинную управляемость и стабилизируемость. Рассмотрим их подробнее. Примем f(k) за управление и выберем его в виде обратной связи по состоянию f(k) = Fcx(k) + h(k), (1.10) где Fc Є Mmxn — постоянная матрица, h(k) — новый входной сигнал. Тогда замкнутая система примет вид Ех{к + 1) = (А + BFc)x(k) + Bh(k). (1.11) Определение 1.8. Система (1.1) называется причинно управляемой, если существует обратная связь вида (1.10) такая, что замкнутая система (1.11) является причинной. В большинстве реальных систем непричинное поведение является достаточно редким, но может создавать множество проблем при решении задач управления. Причинная управляемость дает возможность обеспечить причинность с помощью обратной связи по состоянию вида (1.10).
Стабилизируемость дескрипторной системы представляет возможность управлять неустойчивыми модами динамической подсистемы.
Определение 1.9. Система (1.1) называется стабилизируемой, если существует закон управления в форме обратной связи по состоянию вида f(k) = Fstx(k) такой, что система (1.1), замкнутая этим законом управления, является устойчивой.
Определим теперь передаточную функцию дескрипторной системы и ее 7І2 - и 1-Loo -нормы. Определение 1.10. Под передаточной функцией дескрипторной системы (1.1) будем понимать комплекснозначную функцию, определяемую выражением P(z) = C(zE — А) В + D, z Є С. тт рхгат-і -1-і Пусть 1І, (1) (под 1 будем понимать окружность единичного радиуса на комплексной плоскости) - пространство матричнозначных функций Р : Г — Срхт, которые имеют конечную L2 т(Г)-норму. Подпространство пространства \12 т(Г), которое состоит из всех рациональных передаточных функций, не имеющих полюсов вне единичного круга, обозначим Н,2рхт. Определение 1.11. ТІ2 -норма передаточной функции P(z) Є 7І2рхт определяется выражением
В этом разделе приведены основные понятия анизотропийной теории линейных дискретных систем. Изложенные здесь результаты соответствуют работам [15, 68], где были впервые введены основные понятия анизотропийной теории такие, как анизотропия случайного вектора, средняя анизотропия случайной последовательности и анизотропийная норма линейной системы. Пусть W = {w(k)}k o - стационарная последовательность интегрируемых с квадратом m-мерных случайных векторов. Составим из элементов последовательности W на интервале времени к Є О, N — 1 случайный вектор
Частотная теорема для анизотропийной нормы: ЛМН
В этой главе сформулирована и доказана частотная теорема, представляющая собой необходимые и достаточные условия ограниченности анизотро-пийной нормы линейной дискретной стационарной дескрипторной системы заданным числом. Предполагаем, что система находится под воздействием случайного возмущения в виде последовательности гауссовских векторов с нулевым средним и скалярной ковариационной матрицей1. Статистическая неопределенность входного воздействия характеризуется уровнем средней анизотропии. Проверка ограниченности анизотропийной нормы дескрипторной системы сводится к нахождению допустимого решения алгебраического уравнения Риккати, удовлетворяющего неравенству специального вида. Достаточные условия ограниченности также получены в терминах линейных матричных неравенств (ЛМН). На основе новой частотной теоремы будет разработан алгоритм вычисления анизотропийной нормы методами выпуклой оптимизации.
Чтобы решить задачи синтеза, требуется получить условия ограниченности анизотропийной нормы. В последнем разделе данной главы полученное условие в виде ЛМН будет преобразовано для того, чтобы избежать появления нелинейных неравенств при синтезе управления.
Модель линейной дискретной стационарной дескрипторной системы в Под скалярной ковариационной матрицей будем понимать матрицу вида S = т1т, где т - заданный положительный скаляр. пространстве состояний имеет вид Ех{к + 1) = Ах (к) + Bw(k), (2.1) у (к) = Сх(к) + Dw(k), (2.2) где х(к) Є М.п - вектор состояния, w(k) Є Ш171 - случайная стационарная последовательность с ограниченным уровнем средней анизотропии A(W) а (а 0), у (к) Є Шр - измеряемый выход, Е1, Д В, О и D - известные матрицы соответствующих размерностей. Е - вырожденная матрица, rank Е = г п.
Здесь и далее будем предполагать, что для системы вида (2.1) справедливо ранговое условие
Пусть система Р является допустимой. Предполагается, что входная последовательность W есть стационарная последовательность гауссовских случайных векторов с ограниченной средней анизотропией A(W) а, т.е. W производится из т-мерного гауссовского белого шума V с нулевым средним и единичной ковариационной матрицей неизвестным устойчивым формирующим фильтром G, принадлежащим множеству Ga = {G Є %2тхт : A(G) a} .
Задача 1. Для заданной системы Р вида (2.1)–(2.2), известного уровня средней анизотропии входного возмущения а 0 и числа 7 0 тре III 7 )lll
буется получить условия ограниченности анизотропийной нормы \\\Р\\\а заданным числом 7. 2.1 Анизотропийная частотная теорема
для дискретных дескрипторных систем: уравнения Риккати
Прежде чем сформулировать условия ограниченности анизотропийной нормы, приведем некоторые известные результаты, необходимые для доказательства. Следуя [11], введем понятие системы полного пропускания и сформулируем условия, необходимые и достаточные для того, чтобы де-скрипторная система вида (2.1)–(2.2) была системой полного пропускания.
Определение 2.1. Система с передаточной функцией P(z), удовлетворяющая условию Р Р = 1т, называется системой полного пропускания.
Сформулируем теперь анизотропийную частотную теорему для дескрипторных систем. Теорема 2.1. Пусть Р Є rH.O0v m - допустимая система с реализацией в пространстве состояний (2.1)–(2.2). Для известных скалярных величин а 0 и7 0 а-анизотропийная норма системы ограничена сверху числом тогда и только тогда, когда существует стабилизирующее решение R = RT алгебраического уравнения Риккати 2
Под стабилизирующим решением уравнения Риккати (2.4) подразумевают такое решение R, при котором пара [Е, А + BL) является допустимой. где q Є [0,min(7 2, -Роо2)) удовлетворяет неравенству
Indetffl — 7 )E) a. (2.7) Доказательство. Отношение РСІ2/СІ2 из формулы (1.18) и средняя анизотропия A(G) из (1.17) являются инвариантными относительно операций умножения на ортогональные матрицы и ненулевое число. Для системы Р они полностью задаются нормированной спектральной плотностью [61]
Отметим, что квадратичный функционал is2(ТІ) является линейным по переменной П( х ). Строгая выпуклость а(ТГ) следует из строгой вогнутости функции lndet(-), рассматриваемой на выпуклом конусе положительно определенных матриц [60]. Строгая выпуклость а(ТГ) может быть установ лена напрямую из положительной определенности второй вариации: полученной подстановкой (2.14) в (2.8). Исключая из предположения вырожденный случай, когда Л в (2.11) - постоянная матрица, обе функции A(q) и J\f(q) являются монотонно возрастающими по q (см. [53, 76]). Это позволяет вычислять минимум требуемой средней анизотропии в (2.13) через A(J\f l( )), где Л/"_1(7) означает обратную функцию Af(q). Следовательно, неравенство -Ра 7 эквивалентно неравенству Л.(Л/"_1(7)) сь. Из (2.14) следует, что Л( х ) = (Im — Sq{uj) l)/q и
Важность этого свойства для представления критерия ограниченности анизотропийной нормы объясняется тем, что из (2.20) следует эквивалентность между выполнением условия A(J\f l( )) )ои существованием параметра q Є [0, Ц-РЦ о2), удовлетворяющего 21( ,7) а, т.е. -Ра 7, если Щян) а для некоторого q Є [0, Р Свойство (2.20) проверяется дифференцированием функции 2l(g,7), заданной выражением (2.19), по первому аргументу:
Решение задачи синтеза субоптимального анизотропийного управления на основе обобщенных уравнений Риккати
Так как блок Z33 = A22ST + SA22 0 матрицы Z 0, то обе матрицы УІ22 и 5 являются невырожденными. Система (2.1) является причинной, поэтому ее вход-выходной оператор можно свести к эквивалентному вход-выходному оператору в форме обыкновенной системы Т с представлением
Теперь докажем, что матрица А является шуровской, и Та 7. Так как SA22 и A22ST являются обратимыми, а также A22ST 0 и SA22 0, то, применяя лемму Шура к (2.60), получаем
Согласно теореме 2.4 для обыкновенных систем имеем р(А) 1 и Та 7. Теорема доказана. Замечание 2.4. Введем обозначение = 72. Для вычисления а-анизотро-пийной нормы дескрипторной системы необходимо решить следующую задачу оптимизации: найти = inf на множестве {L, Q, Я, 5 , Ф, ту, }, которое удовлетворяет неравенствам (2.57), (2.58) и (2.59). Если минимальное значение найдено, то а-анизотропийная норма системы Р может быть приближенно вычислена по формуле
Легко проверить, что система является причинной и устойчивой. Результаты вычисления а-анизотропийной нормы на основе частотной теоремы представлены на рис. 2.4. На рис. 2.5 показана абсолютная ошибка вычисления анизотропийной нормы относительно значений, полученных по алгоритму на основе Риккати-подхода [41]. Рис. 2.4: a-Анизотропийная норма дескрипторной системы
В этой главе сформулированы и доказаны анизотропийные частотные теоремы для дескрипторных систем в терминах линейных матричных неравенств и обобщенных алгебраических уравнений Риккати. Полученные результаты применимы для проверки ограниченности анизотропийной нормы дескрипторной системы заданным положительным числом и для вычисления анизотропийной нормы с наперед заданной точностью.
Достаточные условия состоят из уравнения Риккати (или линейного матричного неравенства) и неравенства относительно определителя положительно определенной матрицы и скалярного параметра. Частотная теорема в терминах уравнений Риккати является базовым результатом для синтеза субоптимального управления по состоянию, о котором будет говориться в следующей главе. Условия в виде линейных матричных неравенств применительно к задаче построения управления преобразуются к матричные неравенства с нелинейностями, что осложняет решение. Модифицированные же условия позволяют решить задачу синтеза прямой подстановкой. Глава 3
Синтез субоптимального управления для дескрипторных систем
В этой главе решена задача построения субоптимального анизотропийного управления в форме обратной связи по состоянию для линейных стационарных дискретных дескрипторных систем. Требуется найти такой закон управления, чтобы замкнутая система была допустимой, а ее анизотропий-ная норма была ограничена заданным положительных числом.
Аналогичная задача для обыкновенных дискретных систем была решена в [37]. Условия ограниченности анизотропийной нормы дескриптор-ной системы, связанные с существованием решения обобщенного уравнения Риккати (или ЛМН) и неравенства специального вида получены в главе 2. Однако обобщение этих результатов для решения задачи синтеза является нетривиальной задачей.
Существует ряд работ по построению субоптимального H -управления по состоянию. Например, в [79] необходимые и достаточные условия существования регулятора сформулированы в виде обобщенного дискретного алгебраического неравенства Риккати с одной матричной переменной; в [56, 49] получены необходимые и достаточные условия в терминах строгих линейных матричных неравенств. Пользуясь методами, предложенными в указанных работах, сформулируем и решим задачу анизотропийного субоптимального синтеза для дескрипторных систем. является причинной и устойчивой, а ее анизотропийная норма \\\В \\\а ограничена заданной величиной 7 0.
Решение задачи субоптимального анизотропийного синтеза с помощью выпуклой оптимизации В этом разделе будет решена задача построения субоптимального анизотропийного управления по состоянию для системы (3.1)–(3.2) в предположении, что D2 = 0. Система (3.1) является регулярной, поэтому существуют две матрицы Q 2 и і?2, преобразующие систему (3.1)–(3.2) к эквивалентной форме вида (1.7)–(1.9). Введем следующие обозначения: Теорема 3.1. Пусть для системы (3.1)–(3.2) выполнено дополнительное ранговое условие rank ЕТ = rank [ЕТ Ст]. Для заданного скаляра 7 0 и ограниченного уровня средней анизотропии возмущающего воздействия A(W) а (а 0) замкнутая система P F вида (3.3)-(3.4) является допустимой, и выполнено неравенство l\P F\\а 1, если существуют матрицы L є Wxr, L 0, Q Є Wxr, R є гх(п_г); S Є ] (n-r)x(n-r) Z Є Knxmi; ф G Mmixmi; о- также скаляр г] 72 и достаточно большой скаляр а 0; для которых справедливы неравенства
Предположим, что неравенства (3.5)-(3.7) выполнены. Тогда из блока (1,1) следует, что матрица Q является обратимой. Также предположим, что матрица S является обратимой. В противном случае можно выбрать такое є Є (0,1), что для переменной S = S + eln-r неравенство (3.5) остается верным. Тогда можно было бы выполнить замену S на S. в (3.5), получим условия частот Заменяя переменную Z на FJ ной теоремы 2.5 для системы, двойственной к (3.1)–(3.2). Следовательно, замкнутая система (3.1)–(3.2) является допустимой, и а-анизотропийная норма передаточной функции ограничена заданным числом 7.
Если задача синтеза решаема, то условия теоремы 2.5 выполнены для замкнутой системы (3.1)–(3.2). Эти же условия выполнены и для двойственной системы. Используя линейную замену переменных
Средняя анизотропия нецентрированной последовательности гауссовских случайных векторов
Таким образом, существование решения R приведенных в лемме неравенств обеспечивает существование решения R уравнений Риккати, использующихся для проверки ограниченности сверху анизотропийной нормы. Более подробная информация в [36].
Применяя изложенные результаты к задаче проверки условий ограниченности анизотропийной нормы в случае нецентрированного внешнего возмущения, получим следующую теорему. Теорема 4.4. Пусть Р Є rH.O0v m - допустимая дескрипторная система с реализацией в пространстве состояний (4.8)-(4.9), где поступающее на вход нецентрированное внешнее возмущение W = {w(k)}k 0 вида (4.11) имеет ограниченную среднюю анизотропию A(W) а, причем известны значения \Л4\ и СІ2, т.е. выполнено условие
Доказательство. Условия леммы 4.1 позволяют утверждать, что для дескрипторной системы неравенство -Ра 7 будет выполнено, если найдется пара (q, R) решения следующей системы матричных неравенств:
Правая часть неравенства (4.32) отличается от правой части (4.30) наличием слагаемого q\PAA\2 — -М2, стоящим под логарифмом. Это связано с наличием ненулевой детерминированной составляющей во внешнем возмущении {w(k)}k Q, поступающем на вход системы. Проследить появление этих выражений в неравенстве (4.30) несложно, если принять во внимание формулу (4.27). В силу положительной определенности матрицы
Замечание 4.3. Для получения интервала принадлежности ц достаточно принять во внимание интервал для переменной q, полученный в замечании 4.2, и учесть зависимость ц = q Ограничения теоремы 4.4, которым должна удовлетворять пара (ту, Ф), имеют вид матричных неравенств. Значит, возможно вычисление ани-зотропийной нормы линейной системы с нецентрированным внешним возмущением методом выпуклой оптимизации. А именно, анизотропий-ная норма системы Р может быть приближенно вычислена как \В\а л/ , где есть решение следующей задачи выпуклой оптимизации: = inf на множестве {г]} Ф, }, = 72. Полученный метод вычисления анизотропийной нормы обладает большей вычислительной простотой по сравнению с методами, решающими перекрестно связанные
В этой главе теория анизотропийного анализа для обыкновенных систем с нецентрированными возмущениями обобщена на случай линейных дискретных дескрипторных систем. Приведены определения основных понятий анизотропийного анализа: анизотропии случайного вектора с ненулевым средним, средней анизотропии нецентрированной стационарной гаус-совской последовательности, анизотропийной нормы дескрипторной системы с нецентрированным входным сигналом. Получена формула вычисления средней анизотропии нецентрированной гауссовской последовательности в пространстве состояний с использованием техники приведения де-скрипторной системы ко второй эквивалентной форме. Показано, что в случае нецентрированного входного сигнала функции, задающие СККУ системы и среднюю анизотропию сигнала в частотной области, становятся немонотонными. В данном случае для нахождения значения анизотропий-ной нормы системы необходимо определить супремум функции, задающей СККУ, при ограниченном уровне средней анизотропии входной последовательности.
При дополнительных ограничениях на H2 -норму формирующего фильтра и математическое ожидание входного сигнала функции СККУ и средней анизотропии остаются монотонными. Для такого случая найдены условия ограниченности анизотропийной нормы системы в терминах уравнений Риккати и ЛМН, а также разработан алгоритм вычисления анизотропий-ной нормы.
Полученные в данной главе результаты могут быть полезными при решении задачи синтеза субоптимального управления для дескрипторной системы с нецентрированным входным сигналом. Заключение
Сформулируем основные выводы и результаты данной диссертационной работы.
Получены условия ограниченности анизотропийной нормы дескрип-торной системы с центрированным входным воздействием. Эти условия сформулированы в форме анизотропийных частотных теорем. Проверка ограниченности анизотропийной нормы сводится к нахождению допустимого решения алгебраического уравнения Риккати (или ЛМН), удовлетворяющего неравенству специального вида. Полученные результаты применимы для вычисления анизотропийной нормы в пространстве состояний с наперед заданной точностью и для решения задачи синтеза субоптимального регулятора.
Решена задача синтеза субоптимального анизотропийного регулятора по состоянию и вектору полной информации в классе линейных дискретных дескрипторных систем. Задача построения требуемого закона управления сводится к решению обобщенного алгебраического уравнения Риккати (или ЛМН) и неравенства специального вида, гарантирующего заданный уровень средней анизотропии входной последовательности. В отличие от обыкновенных систем, в случае дескрипторных прямое использование условий частотной теоремы в терминах ЛМН при решении задачи синтеза невозможно: из-за наличия дополнительных алгебраических связей линейное матричное неравенство трансформируется в нелинейное, численное решение которого является довольно трудоемким.
Обобщена теория анизотропийного анализа для обыкновенных систем с нецентрированными возмущениями на случай линейных дискретных дескрипторных систем. Получена формула вычисления средней анизотропии нецентрированной гауссовской последовательности в пространстве состояний с использованием техники приведения де-скрипторной системы ко второй эквивалентной форме. Показано, что в общем случае нецентрированного входного сигнала функции, задающие СККУ системы и среднюю анизотропию сигнала в частотной области, становятся немонотонными.
При дополнительных ограничениях на H2 -норму формирующего фильтра и математическое ожидание входной последовательности функции СККУ и средней анизотропии сохраняют монотонность. Для такого случая были получены условия ограниченности анизотропий-ной нормы в пространстве состояний и разработан алгоритм вычисления анизотропийной нормы.