Введение к работе
Актуальность работы. В теории и практике автоматического управления центральное место занимает проблема анализа. Этой проблеме посвящено огромное количество исследований как отечественных, так и зарубежных учёных. Однако, несмотря на это, отдельные аспекты этой проблемы до сих пор не изучены. Среди них отметим следующие.
1. Проблема анализа грубости математических моделей при преобразованиях структурных схем. Эта проблема возникла из исторически первого способа описания объектов управления посредством структурных схем. Исторически первым способом упрощения этих схем с целью последующего анализа стали методы преобразования структурных схем, при которых происходит изменение порядка преобразованной схемы по сравнению с исходной. И если случай, когда порядок преобразованной системы понижается, может быть формализован методами теории сингулярных возмущений, то применительно к случаю, когда порядок преобразованной системы повышается по сравнению с исходной, какие-либо исследования практически неизвестны.
2.Проблема анализа таких особенностей нелинейных управляемых систем, как предельные циклы. Эта проблема хорошо известна, но основные результаты в её решении связаны с фазовой плоскостью, когда размерность пространства состояний п=2. Обобщение понятия предельного цикла на случай п=3 выполнено В.П.Жуковым. Однако необходимые и достаточные условия существования предельных циклов в многомерном пространстве практически неизвестны.
3.Проблема анализа собственно предельных циклов и их обобщений в многомерном пространстве, состоящая в ответе на вопрос: являются ли эти предельные циклы аттракторами, репеллерами или полуустойчивыми предельными циклами. Какие-либо конструктивные результаты, позволяющие ответить на эти вопросы, также практически неизвестны.
Объектом исследований в работе являются стационарные линейные и нелинейные управляемые системы с сосредоточенными параметрами.
Работа выполнена в рамках основного направления научных исследований Саратовского государственного технического университета - АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ при частичной финансовой поддержке базового финансирования фундаментальных исследований СГТУ по единому заказ-наряду по темам СГТУ-115 за 1998 год «Разра-
ботка алгоритма анализа предельных циклов с использованием производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова» и СГТУ-194 за 1999 год «Исследование эффекта сингулярных возмущений при преобразованиях математических моделей систем автоматического управления».
Целью работы являются:
-
анализ структурных возмущений при преобразованиях структурных схем;
-
обобщение понятия предельных циклов на случай многомерного пространства, получение необходимых и достаточных условий существования пространственных предельных циклов с использованием математического аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова;
-
качественный анализ плоских и пространственных предельных циклов вторым методом А.М.Ляпунова.
Достижение поставленных целей предполагает решение следующих основных задач:
формализация структурных преобразований (структурных возмущений) на языке элементарных преобразований Ф.Р.Гантмахера для полиномиальных матриц;
формализация эффектов, связанных со структурными возмущениями структурных схем, при которых происходит повышение порядка математической модели управляемой системы, как эффектов, обратных эффекту сингулярных'возмущений;
анализ и уточнение классических правил преобразования структурных схем с учётом эффекта повышения порядка математической модели для правил преобразования структурных схем, порождающих такое повышение;
обобщение понятия плоского предельного цикла на многомерное пространство как замкнутой гиперповерхности и применение математического аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова для получения необходимых и достаточных условий существования пространственных предельных циклов;
адаптация второго метода А.М.Ляпунова применительно к качественному исследованию плоских и пространственных предельных циклов с точки зрения ответа на вопрос: являются ли они аттракторами, репеллерами или полуустойчивыми предельными циклами?
Методы исследований. Поставленные задачи решаются с привлечением методов теории автоматического управления, теории устойчивости, теории сингулярных возмущений, теории «эквивалентных» преобразований Ф.Р.Гантмахера над многочленными матрицами, аппаратов линейной алгебры, аналитиче-
ской и дифференциальной геометрии, качественной теории динамических систем.
Научную новизну работы составляют следующие результаты, которые выносятся на защиту.
1.С использованием понятия «элементарного» преобразования Ф.Р.Гантмахера формализовано понятие структурного преобразования (структурного возмущения) структурных схем.
2.Структурное возмущение, повышающее порядок преобразованной системы, формализовано как возмущение, обратное сингулярному возмущению.
3.Исследованы условия, при которых исходная и структурно преобразованная система (эквивалентные в смысле классических правил преобразования структурных схем) были бы эквивалентны в смысле асимптотической устойчивости (либо неустойчивости) как по входу, так и по выходу (с введением соответствующих определений).
4.Введено обобщение предельного цикла как замкнутой гиперповерхности и получены необходимые и достаточные условия существования пространственных предельных циклов с использованием математического аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова.
5.Предложен метод построения функций А.М.Ляпунова, основанный на понятии кривизны кривой в дифференциальной геометрии, для ответа на вопрос: является ли плоский или пространственный предельный цикл аттрактором, репеллером или полуустойчивым предельным циклом?
Практическую ценность работы составляют:
-
уточнение классических правил преобразования структурных схем, основанных на допущении о сокращении одинаковых нулей и полюсов в эквивалентной передаточной функции, что приводит к неверным заключениям относительно свойств асимптотической устойчивости (либо неустойчивости) исходной и преобразованной систем как по входу, так и по выходу, поскольку в реальной динамической системе, описываемой посредством лагранжева формализма (уравнениями в форме вход-выход) сокращения одинаковых сомножителей в левой и правой частях (понижения порядка системы) не происходит;
-
развитие математического аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова в качестве инструмента анализа существования пространственных предельных циклов;
-
интерпретация понятия кривизны кривой в дифференциальной геометрии как естественной математической интерпретации функции А.М.Ляпунова для анализа неточечных особенностей нелинейных динамических систем.
Внедрение результатов работы. Материалы диссертационной работы внедрены и использованы в учебном процессе Саратовского государственного технического университета и Саратовского филиала военного артиллерийского университета, о чём имеются соответствующие акты внедрения.
Получен акт внедрения результатов исследований соискателя при проведении НИОКР в ОАО КБ «Электроприбор» .
Апробация работы: основные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались на
-Межреспубликанской конференции «Управление в социальных, экономических и технических системах* в г. Кисловодске. 1998.
-Международной конференции «Нелинейные науки на рубеже тысячелетий» в г. Санкт-Петербурге. 1999.
Публикации. По результатам исследований автором лично и в соавторстве опубликовано 5 научных работ, из них: статей - 3, тезисов докладов - 2. Опубликованные материалы полностью отражают содержание диссертации.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх разделов, заключения, списка литературы, содержащего 59 наименований, и приложения, в которое вынесены акты внедрения и использования и одна таблица. Работа изложена на 173 страницах машинописного текста и содержит одну таблицу.
