Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Постановка научной задачи. Вопросы корректности решений в случае систем с многозначными операторами 16
1.1. Введение 16
1.2. Изучаемые системы с многозначными операторами и их прикладная направленность 17
1.3. Содержательная постановка основных задач 19
1.4. Исследование общих свойств систем с многозначными операторами... 19
1.4.1. Определения основных понятий 19
1.4.2. Аккретивные операторы в одномерном евклидовом пространстве...22
1.4.3. Свойства монотонных операторов в гильбертовом пространстве.26
1.4.4. Монотонные операторы в пространствах измеримых функций и пространствеR 32
1.5. Анализ системы, описываемой дифференциальным включением с аккретивным оператором 48
1.5.1. Экспоненциальная формула аккретивного оператора 48
1.5.2. Существование решения 57
Выводы по первой главе 66
Глава 2 Исследование устойчивости систем с многозначными операторами 68
2.1.Введение .68
2.2. Анализ устойчивости системы, описываемой дифференциальным включением с монотонным оператором, в одномерном евклидовом пространстве 68
2.3. Качественные исследования систем с монотонными операторами 72
2.4. Качественный анализ экосистемы трех взаимосвязанных популяций, описываемой дифференциальным включением 86
2.5. Исследование устойчивости обобщенной экосистемы взаимодействия популяций 92
Выводы по второй главе 96
Глава 3 Анализ специальных классов управляемых и неуправляемых систем с многозначными операторами 97
3.1. Введение 97
3.2. Постановка задачи исследования управляемой системы с монотонным оператором 97
3.3. Анализ управляемости системы перемещения объекта, описываемой дифференциальными включениями 99
3.4. Построение и анализ модели теплообменника с регулируемым тепловым потоком 107
3.4.1. Алгоритм решения задачи компьютерного моделирования динамической системы, описываемой уравнением теплопроводности с обобщенно монотонным оператором в правой части 107
3.4.2. Описание компьютерной программы регулирования теплового потока 116
3.4.3. Анализ и обоснование рекомендаций использования программы 124
Выводы по третьей главе 126
Заключение 128
Литература 129
- Определения основных понятий
- Экспоненциальная формула аккретивного оператора
- Анализ устойчивости системы, описываемой дифференциальным включением с монотонным оператором, в одномерном евклидовом пространстве
- Анализ управляемости системы перемещения объекта, описываемой дифференциальными включениями
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена разработке методики, позволяющей провести качественный и количественный анализ устойчивости и управляемости систем с многозначными операторами.
В диссертации проводится исследование устойчивости, качественного поведения и управляемости систем, описываемых дифференциальными уравнениями и системами дифференциальных уравнений с правой частью в виде аккретивного (монотонного) оператора, который в общем случае является нелинейным и многозначным.
Такие системы используются при изучении разнообразных проблем физики, химии, биологии, экологии, экономики, в частности процессов переноса тепла, колебательных процессов, процессов диффузии, а также при изучении многочисленных технических задач.
В диссертационной работе системность прослеживается в решении следующих взаимосвязанных задач:
исследование устойчивости системы, описываемой дифференциальным включением с монотонным оператором;
исследование устойчивости экосистем, описываемых дифференциальными уравнениями с многозначными правыми частями;
анализ управляемости системы перемещения объекта с выходом в вертикальное положение, описываемой дифференциальными включениями;
построение и анализ модели теплообменника с регулируемым тепловым потоком, которая описывается уравнением теплопроводности с обобщенно аккретивным оператором в правой части.
Использование качественных методов исследования систем с многозначными операторами осуществляется на основе функций Ляпунова, при этом широко используются методы системного анализа, теории управления, методы теории полугрупп непрерывных операторов, методы качественной теории и теории устойчивости.
Перейдем к краткому обзору известных результатов и литературы по тематике диссертационной работы.
Пусть X— банахово пространство с нормой |.|. Нелинейный многозначный оператор А: X —>2Х, где 2х есть множество всех непустых подмножеств из X, с областью определения >(А)::={хеХАхФ0} и множеством значений Im(A)::=^jxeD(Ay4x называется [87] аккретивным, если для любых х, уеЩА) и любых х*єАх,у*єАу выполняется неравенство
VA>0, \\х + Хх*-у- Ху *\\х > \\х - у\\х.
Согласно современной терминологии, в отечественной литературе [42,43,48] вместо термина аккретивный предлагается использовать термин монотонный, но точного определения монотонного оператора ни в одной из указанных выше работ нет, хотя термин «монотонный» обычно относится только для функций вида f.R—>R . Поэтому будем вводить термин «монотонный» по мере появления аккретивных операторов, которые можно доопределить как монотонные или обобщенно монотонные. В частности, в «-мерном случае обобщенно монотонными операторами будем называть действительнозначные функции f:R—>Rn, и действительнозначные функции со значениями в гильбертовых пространствах f-R—^R00, у которых все компоненты возрастающие или невозрастающие, или убывающие или неубывающие всюду.
Обобщенно возрастающие и неубывающие операторы f:R—>Rn,l
после этого доказать, что для таких операторов выполняется условие аккре-тивности. В диссертации замена понятия аккретивности на понятие монотонность используется только для случаев, для которых понятия аккретивности и монотонности, возможно обобщенные, уже определены. Например, оператор Лапласа Д по определению не является аккретивным, но оператор -А ак-кретивен. Поэтому считаем А обобщенно аккретивным оператором, и А можно называть монотонным оператором.
Понятие монотонного оператора и первые публикации по теории монотонных операторов принадлежат М.М.Вайнбергу [10]. Он определял понятие монотонности как обобщение на нелинейный случай свойства неотрицательной определенности линейного оператора.
Дальнейшее развитие монотонные операторы получили в работах V.Barbu [52,53], T.Kato [88], Y.Komura [93]. В частности, T.Kato [88] ввел понятие максимально аккретивного и локально максимально аккретивного операторов, V.Barbu [52] доказал, что если АХ-+Х нелинейный многозначный максимально аккретивный оператор и ВХ-+Х непрерывный, всюду определенный нелинейный аккретивный оператор, то оператор А+В максимально аккретивный в банаховом пространстве X, a H.Brezis [56] сформулировал необходимое и достаточное условие аккретивности операторов в гильбертовом пространстве.
Однако, несмотря на большое количество работ по монотонным и аккретивным операторам (например, работы [56], [59], [72], [63], [66], [73], [88], [89]), систематическое изложение данного круга вопросов впервые было дано в монографии Ю.В.Трубникова и А.И.Перова [43]. Авторы изучили условия монотонности различных классов отображений (в частности многочленов, линейных операторов, дифференцируемых операторов), ввели понятие
{/-монотонного, (t/,x)-MOHOTOHHOro» (/,х>а)"монотонного операторов и доказали ряд важных теорем о существовании решений краевых задач с нелинейными краевыми условиями.
В диссертации продолжена классификация аккретивных операторов на более широкие классы операторов и функций. Введены обобщенные понятия аккретивности и монотонности, а также обобщенной монотонности в евклидовых и гильбертовых пространствах, основные из которых перечислены ниже.
Пусть R — одномерное евклидово пространство со скалярным произведением (а,Ъу.:=аЪ.
Функция f:R->2 называется обобщенно неубывающей (невозрас-
тающей), если для любых xyeR и любых х*єДх), у*ц/(у) при хФу выполняется неравенство: (х-у, лс*->>*)>0 (соответственно (х-у, х*-у*)<0).
Если еп, п — 1, 2, ... , есть ортонормированный базис гильбертово пространства X, то многозначный сепарабельный оператор
л=1
называется неубывающим (невозрастающим) в X, если при каждом п многозначная функция fn:R-+2R обобщенно неубывающая (невозрастающая).
все такие операторы названы в диссертации монотонными.
Обобщенно монотонными (обобщенно аккретивными) функциями называются кусочно-монотонные функции f.R->R, область определения которых разбивается на счетное число интервалов, в каждом из этих интервалов функция не убывает и непрерывна, или не возрастает и непрерывна, и в каждой граничной точке между двумя интервалами имеются конечные пределы и слева, и справа.
Монотонные (аккретивные) операторы часто используются в системах в виде дифференциальных уравнений или включений, включения используются, когда операторы в некоторых или во всех точках имеют значением многоэлементные множества. Среди работ по дифференциальным включениям в пространстве Rn следует отметить работы А.Ф.Филиппова [44], В.И.Благодатских [9], а в общих банаховых пространствах вопросы сущест-
вования решений рассмотрены А.А.Толстоноговым [41]. В монографии Ю.Н.Меренкова [26] установлены теоремы о свойствах решений неавтономных дифференциальных включений с допустимой правой частью, обобщающие работы De Glas [85], полученные для автономного случая. Дифференциальные включения изучаются в последнее время, в частности, в связи с приложениями к теории управления. Большой вклад в развитие оптимального управления внесли Р.В.Гамкрелидзе [14], Л.С.Понтрягин [29], В.И. Зубов [19], В.И.Благодатских [8], которые стояли также в начале исследований дифференциальных включений. Отметим, что на практике включения с ак-кретивной правой частью можно заменить на дифференциальное уравнение, если в точке с многозначным значением выбирать одно из значений, а другие включения с регулярной правой частью (например, с локально допустимой правой частью и выпуклым значением) можно заменить на однозначную реализацию [44], по крайней мере в евклидовом пространстве.
В данной диссертации проведен анализ управляемости транспортной системы, описываемой дифференциальными уравнениями в контингенциях. Многозначность в правых частях дифференциальных уравнений возникает ввиду сопротивления разреженной среды, которое в первом приближением не учитывается (учитывается только масса объекта, сила тяги по вертикали и горизонтали и постоянное ускорение свободного падения). Для исследованной транспортной системы для однозначных параметров определено управление, определяющее оптимальный маршрут. Для многозначных параметров указан неформальный алгоритм коррекции движения с помощью датчиков для возвращения на оптимальный маршрут.
Среди систем с многозначными операторами следует отметить экологические системы. Большой вклад в развитие математического подхода к изучению изменений в составе биологических сообществ внес В.Вольтерра [13]. В работе [5] А.Д.Базыкиным проведен анализ режимов динамического поведения в системах нескольких взаимодействующих популяций и их качест-
венных перестроек при изменении условий. Автором предложена биологическая интерпретация выявленных режимов. Среди работ по устойчивости биологических сообществ следует отметить Ю.М.Свирежева и Д.О.Логофет [37,38], В.Д.Горяченко [16]. В отличие от этих работ, в диссертации проведено исследование на устойчивость и качественный анализ экосистемы с тремя взаимодействующими популяциями, описываемой дифференциальными уравнениями с многозначными правыми частями, и получены достаточные условия устойчивости обобщенной экосистемы.
В работе рассматриваются также вопросы существования решения дифференциального включения — є -А и, и(0}=х, описываемого систему с моноид
тонным оператором А: Х—>2Х, где u:R+-+X(R+ есть множество всех неотрицательных действительных чисел). J.M.Ball [50] доказал, что если оператор А линейный, то данное включение имеет единственное решение, названное слабым и определенное с помощью сопряженного оператора Л*. В общем же случае, когда оператор А нелинейный, решение определяется другим способом, используя теорию нелинейных полугрупп, изложенную в работах V.Barbu [52], M.Crandall [73].
В диссертации доказано существование решения указанного включения методом аппроксимации в виде экспоненциальной формулы
u(t)::=S(t)x::=lim(I+ —A)~nx=exp(-tA)x. Показано, что множество S(t) обра-
л—>оо у1
зует непрерывную полугруппу. Экспоненциальная формула для аккретивного оператора А+ю/, где g>gR, была разработана в работе [76]. Условия существования указанного выше предела получили H.Brezis и A.Pazy [58], F.Browder [62, 63], T.Kato [90, 92].
Дальнейшее изучение систем с аккретивными (монотонными) операторами связано с понятием функции Ляпунова для аккретивного оператора. Определение функции Ляпунова для аккретивного оператора привел A.Pazy [100,101] и на основании ее свойств исследовал поведение решения u(t) диф-
ференциального уравнения —=-Аи с монотонным оператором A: D(A)czX-*X
при ґ-»оо. A.Pazy получил критерий, по которому полунепрерывная снизу
функция ср: X-+R является функцией Ляпунова. Этот критерий основан на
теории полугрупп и результатах действия оператора А на резольвенту
Jx::=(I+XAyl. Изложенные в диссертации результаты являются продолжением
перечисленных выше исследований.
Также в диссертационной работе проведен анализ перспективных примеров аккретивных операторов из M.G.Crandall и T.Liggett [68, 76], которые находят применение при построении многих моделей математической физики и их приложений в различных отраслях народного хозяйства.
В данной диссертации мы остановились на построении модели регулируемого теплообменника, которая описывается монотонным оператором. Построение соответствующих моделей требует составления уравнений движения - для этой модели таким является одномерное уравнение теплопроводности, у которого правая часть есть оператор Лапласа, который является частным случаем аккретивного оператора.
Таким образом, актуальность вопросов, рассмотренных в диссертационной работе, следует из возрастающего потока теоретических работ по теории устойчивости и управляемости различных систем с многозначными операторами и их технических реализаций и из перспективности использования аккретивных операторов для построения и анализа этих систем.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы состоят из параграфов, в каждом параграфе используется самостоятельная нумерация определений, теорем и формул. При ссылках на формулы и теоремы, не входящие в текущий параграф, даются указания на соответствующие главы и параграфы. Первый параграф каждой главы является вводным.
Актуальность темы исследования. В настоящее время развитие системного анализа динамики управляемых и неуправляемых систем с многозначными операторами обусловлено как широким кругом прикладных задач, среди которых основными являются задачи управления сложными техническими объектами и технологическими процессами, так и бурным развитием компьютерной техники. Появляющиеся все новые возможности использования компьютеров, развитие их аппаратной части и программного обеспечения, систем сбора данных на базе микропроцессорных систем в задачах управления приводят к необходимости пересматривать существующие и создавать новые, имеющие большую практическую направленность, аналитические и качественные методы исследования систем с многозначными операторами. Эти методы позволяют осуществлять более точное прогнозирование функционирования этих систем.
Одним из математических аппаратов описания процессов динамики и управления системами являются дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений с правой частью в виде аккретивного (монотонного) оператора, который в общем случае является нелинейным и многозначным. Поэтому задачи современной компьютеризованной автоматики, то есть задачи создания новых эффективных приемов управления различными технологическими объектами, обуславливают развитие средств анализа систем с многозначными операторами, описывающих динамику функционирования управляемых и неуправляемых систем.
Диссертационная работа посвящена разработке методики, позволяющей провести качественный и количественный анализ устойчивости и управляемости систем с многозначными операторами.
Вопросы исследования монотонных операторов и качественного поведения систем, описываемых дифференциальными уравнениями с многозначными операторами, изучались, начиная с работ М.М.Вайнберга и V.Barbu, в работах русских и иностранных ученых: Ю.В.Трубникова, А.И.Перова,
В.К.Кириакиди, Ph.Benilan, H.Brezis, F.Browder, M.Crandall, PJ.P.Egberts, T.Kato, Y.Konishi, T.Liggett, A.Pazy, G.F.Webb и других ученых.
Вопросы управляемости систем изучались в работах Л.С.Понтрягина, В.И.Благодатских, В.И.Зубова, Е.Ф.Мищенко, А.А.Воронова, Дж.Варга, Р.В.Гамкрелидзе, Ф.Чаки, К.Негойцэ и других ученых.
Цель работы состоит в исследовании устойчивости, качественного поведения и управляемости систем, описываемых дифференциальными уравнениями с многозначными операторами в правой части.
Методы исследования. В диссертации использованы методы системного анализа, теории управления, качественной теории систем с многозначными операторами, первый и второй метод Ляпунова.
Научная новизна диссертации состоит в следующих результатах, полученных диссертантом. В диссертационной работе:
доказаны новые теоремы об аккретивности для выделенного класса операторов в различных банаховых пространствах;
описан новый класс обобщенных монотонных (аккретивных) операторов в евклидовых и гильбертовых пространствах, представляющий собой обобщение и конкретизацию исследований, проведенных А.И.Перовым и Ю.В.Трубниковым;
3) доказаны новые теоремы уточняющие исследования H.Brezis и
W.Strauss об аккретивности оператора Лапласа в банаховых пространствах
l)Q и l}Q, состоящих из интегрируемых и интегрируемых с квадратом функ
ций, определенных на измеримой области Q пространства Rn;
построена модель теплообменника, которая отличается от известных в литературе алгоритмом вычисления приближенного значения решения, меняющимися начальными и граничными значениями и регулируемым тепловым потоком;
предложен алгоритм для системы управления по перемещению объекта к цели в трехмерном пространстве; в отличие от известных в литературе ал-
горитмов система описывается дифференциальным включением, что позволяет выделять из множества возможных движений устойчивое единственное движение при условии, что цель перемещается произвольно с ограниченной скоростью на плоскости;
7) исследовано качественное поведение экосистемы с тремя взаимодействующими популяциями, описываемой дифференциальным включением, которое обобщает результаты Дж. Смит, В.Д. Горяченко, В. Вольтерра, А.Д. Базыкина на системы с многозначной правой частью.
Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании свойств устойчивости и качественного поведения колебательных систем, экосистем, систем теплообмена, систем автоматического регулирования, а также в задачах управления движением тела в конкретных или нечетких условиях.
Результаты диссертации могут быть использованы при чтении курсов по теории устойчивости и качественной теории динамических систем, по теории управления, а также по теории нелинейных многозначных операторов.
Достоверность и обоснованность научных результатов основана на корректности постановок задач, строгом и обоснованном использовании методов системного анализа, теории управления, качественной теории и теории устойчивости дифференциальных уравнений с многозначными операторами, на сравнении с результатами, полученными с помощью других методов, на обсуждениях на научных семинарах и конференциях. Для теорем даны строгие и корректные доказательства.
Личный вклад автора в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые принадлежат лично диссертанту. В совместно опубликованных работах научному руководителю Ю.Н. Меренко-ву принадлежат постановки задач.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1*]-[11*] (см. список литературы к диссертации).
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на научно-практических конференциях Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина (Елец, 1999, 2000, 2001, 2002, 2003,2004, 2005 гг.); на научном семинаре по качественной теории и теории устойчивости динамических систем Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (Москва, 2004, 2005 гг.); на IV региональной научно-практической конференции «Информационные и коммуникационные технологии в образовании» (Борисоглебск, 2003 г.); на второй Российской научно-практической конференции «Математика и механика в современном мире» (Калуга, 2004 г.); на межвузовской научно-практической конференции «Информатика: концепции, современное состояние, перспективы развития» (Елец, 2004, 2005 гг.); на научно-исследовательском семинаре кафедры ВМиИ ЕГУ им. И.А.Бунина «Спектральная теория дифференциальных операторов и актуальные вопросы компьютерной математики» (Елец, 2004, 2005 гг.); на двенадцатой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2005г.); на научно-исследовательском семинаре по методам нелинейного анализа Вычислительного центра им. А.А.Дородницына РАН (Москва, 2005 г.).
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.
Сформулированы и доказаны теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости решений системы, описываемой дифференциальным включением с аккретивным оператором.
Доказаны теоремы об аккретивности операторов, действующих в евклидовых и гильбертовых пространствах.
Сформулированы и доказаны теоремы об аккретивности оператора Ла-
пласа в пространствах L Q и LQ функций, интегрируемых и интегрируемых с квадратом на измеримой области Q пространства Rn.
При изучении систем с многозначными операторами описан класс обобщенных монотонных и аккретивных операторов в евклидовых и гильбертовых пространствах.
Предложена модель теплообменника с регулируемым тепловым потоком при различных начальных и граничных условиях. Создана компьютерная программа на языке Паскаль для персонального компьютера для получения приближенных решений с заданной точностью вычислений.
Проведен анализ управляемости транспортной системы, описываемой дифференциальными включениями, для которой определено для однозначных параметров управление, определяющее оптимальный маршрут. Для многозначных параметров указан неформальный алгоритм коррекции движения с помощью датчиков для возвращения на оптимальный маршрут.
Проведен качественный анализ и выяснены условия устойчивости в экосистемах, описываемых уравнениями с многозначными правыми частями.
Обозначения. Приведем список некоторых обозначений, часто используемых в диссертации.
::= равно по определению; := знак присваивания;
R, R+, R — множество всех действительных чисел, всех неотрицательных
действительных чисел и всех неположительных действительных чисел;
Rn — w-мерное евклидово пространство;
{а\ Р(а)} — множество элементов вида а, для которых верно условие Р(а);
D(A) — область определения отображения или оператора А;
1т(А) — область значения отображения или оператора А;
А—замыкание множества А;дА — граница множества А;
АхВ — декартово произведение множеств А и В;
dx ,
х = — или х— производная от х по переменной t; dt
(х,у) или х-у -скалярное произведение векторов х и у.
Определения основных понятий
Также в диссертационной работе проведен анализ перспективных примеров аккретивных операторов из M.G.Crandall и T.Liggett [68, 76], которые находят применение при построении многих моделей математической физики и их приложений в различных отраслях народного хозяйства.
В данной диссертации мы остановились на построении модели регулируемого теплообменника, которая описывается монотонным оператором. Построение соответствующих моделей требует составления уравнений движения - для этой модели таким является одномерное уравнение теплопроводности, у которого правая часть есть оператор Лапласа, который является частным случаем аккретивного оператора.
Таким образом, актуальность вопросов, рассмотренных в диссертационной работе, следует из возрастающего потока теоретических работ по теории устойчивости и управляемости различных систем с многозначными операторами и их технических реализаций и из перспективности использования аккретивных операторов для построения и анализа этих систем.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы состоят из параграфов, в каждом параграфе используется самостоятельная нумерация определений, теорем и формул. При ссылках на формулы и теоремы, не входящие в текущий параграф, даются указания на соответствующие главы и параграфы. Первый параграф каждой главы является вводным. Актуальность темы исследования. В настоящее время развитие системного анализа динамики управляемых и неуправляемых систем с многозначными операторами обусловлено как широким кругом прикладных задач, среди которых основными являются задачи управления сложными техническими объектами и технологическими процессами, так и бурным развитием компьютерной техники. Появляющиеся все новые возможности использования компьютеров, развитие их аппаратной части и программного обеспечения, систем сбора данных на базе микропроцессорных систем в задачах управления приводят к необходимости пересматривать существующие и создавать новые, имеющие большую практическую направленность, аналитические и качественные методы исследования систем с многозначными операторами. Эти методы позволяют осуществлять более точное прогнозирование функционирования этих систем.
Одним из математических аппаратов описания процессов динамики и управления системами являются дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений с правой частью в виде аккретивного (монотонного) оператора, который в общем случае является нелинейным и многозначным. Поэтому задачи современной компьютеризованной автоматики, то есть задачи создания новых эффективных приемов управления различными технологическими объектами, обуславливают развитие средств анализа систем с многозначными операторами, описывающих динамику функционирования управляемых и неуправляемых систем.
Диссертационная работа посвящена разработке методики, позволяющей провести качественный и количественный анализ устойчивости и управляемости систем с многозначными операторами.
Вопросы исследования монотонных операторов и качественного поведения систем, описываемых дифференциальными уравнениями с многозначными операторами, изучались, начиная с работ М.М.Вайнберга и V.Barbu, в работах русских и иностранных ученых: Ю.В.Трубникова, А.И.Перова, В.К.Кириакиди, Ph.Benilan, H.Brezis, F.Browder, M.Crandall, PJ.P.Egberts, T.Kato, Y.Konishi, T.Liggett, A.Pazy, G.F.Webb и других ученых.
Вопросы управляемости систем изучались в работах Л.С.Понтрягина, В.И.Благодатских, В.И.Зубова, Е.Ф.Мищенко, А.А.Воронова, Дж.Варга, Р.В.Гамкрелидзе, Ф.Чаки, К.Негойцэ и других ученых.
Цель работы состоит в исследовании устойчивости, качественного поведения и управляемости систем, описываемых дифференциальными уравнениями с многозначными операторами в правой части.
Методы исследования. В диссертации использованы методы системного анализа, теории управления, качественной теории систем с многозначными операторами, первый и второй метод Ляпунова.
Экспоненциальная формула аккретивного оператора
В первой главе введен класс монотонных (аккретивных) и обобщенно монотонных (аккретивных) операторов. Это позволяет различные по своим свойствам операторы объединить в один класс, закрыть имеющиеся пробелы в анализе подобных операторов и расширить класс задач, в которых целесообразно использовать аккретивные операторы.
В этой главе определено новое понятие обобщенно неубывающей (невоз-растающей) многозначной функции. Разработаны теоретические основы по обоснованию условия аккретивности многозначных функций в одномерном евклидовом пространстве. Это условие получено в виде теоремы о связи неубывающих многозначных функций и монотонных операторов в одномерном евклидовом пространстве.
Полученные результаты по аккретивным операторам в одномерном пространстве позволяют изобразить аккретивные операторы в виде графика многозначного отображения, по которым способом обобщения можно перейти к изучению многомерных аккретивных операторов, для которых наглядность затруднительна.
Также в первой главе определено новое понятие неубывающего (невоз-растающего) многозначного оператора. Разработаны теоретические основы по обоснованию условия аккретивности многозначных операторов в гильбертовом пространстве. Это условие получено в виде теоремы о связи между неубывающими многозначными операторами и монотонными операторами в гильбертовом пространстве.
Здесь доказывается ряд теорем об аккретивности оператора -А в про-странствах LQ и LQ функций, интегрируемых и интегрируемых с квадратом на неограниченной измеримой области Q и-мерного пространства, введено понятие обобщенно монотонного {обобщенно аккретивного) оператора в гильбертовом пространстве, при этом резольвента такого оператора вычисляется по формуле Jx .i I-XA) 1, и показано, что оператор А в пространствах l}Q будет обобщенно аккретивным оператором с резольвентой Jx::=(I-\A) l. Значимость этих результатов заключается в получении доказательства аккретивности монотонных операторов в метрических пространствах интегрируемых и интегрируемых с квадратом функций в ограниченных и неограниченных подмножествах из l)Q и L2Q и в возможности использования оператора Лапласа, который является частным случаем аккретивного оператора, в построении модели теплообменника, рассмотренной в третьей главе. Кроме того, данный оператор используются при изучении физических процессов: процессов распространения тепла, колебательных процессов.
В этой главе проведено исследование на устойчивость систем с многозначными операторами. изложены результаты об устойчивости решения системы, описываемой дифференциальным включением с аккретивным оператором в одномерном евклидовом пространстве. Показано, что в изучаемых в диссертации пространствах включения с аккретивной правой частью равносильны дифференциальным уравнениям с однозначной правой частью. В 2.3 проведено качественное исследование решения системы, описываемой монотонным оператором, с помощью функций Ляпунова для монотонного оператора и теории нелинейных полугрупп. В параграфе 2.4 первым методом Ляпунова проведено исследование на устойчивость состояний равновесия в экосистеме взаимодействия трех популяций. Также построена модель системы в виде дифференциального включения, заменяя постоянные параметры на многозначные. В 2.5 получены достаточные условия устойчивости в обобщенной экологической системе.
Анализ устойчивости системы, описываемой дифференциальным включением с монотонным оператором, в одномерном евклидовом пространстве
В этой главе в параграфах 3.2 и 3.3 проведен анализ управляемости системы перемещения груза из начальной точки в конечную с выходом в вертикальное направление, которая описывается монотонным оператором. Здесь используется дифференциальное включение, многозначная часть которого заменяется однозначной реализацией.
Также в третьей главе построена система теплообменника с автоматической регуляцией температуры. Эта система описывается одномерным уравнением теплопроводности с монотонным оператором в правой части, являющимся обобщенно аьскретивным оператором. Для этой системы построена компьютерная программа, с помощью которой можно найти приближенные решения при различных режимах работы теплообменника.
В параграфе 3.4 приводится алгоритм решения задачи компьютерного моделирования системы с монотонным оператором с целью получения приближенных решений с заданной точностью вычислений и для экспериментирования с различными режимами регулирования, а также при различных начальных и граничных условиях. Также в 3.4 описана компьютерная программа регулирования движения теплового потока, и дается анализ и обоснование рекомендаций по использованию разработанной программы.
Результаты настоящей главы вошли в работы автора [3 , 4 , 6 , 10 , 11 ]. с монотонным оператором
В этом параграфе рассматривается задача оптимального управления, в которой управляемый объект перемещается в вертикальной плоскости хоу из точки 0(0,0) в точку Д/,0) с промежуточной точкой H(0,h). Подобные задачи рассматривались в работах [8], [14], [19], [29], но в данном исследовании используется система дифференциальных уравнений в контингенциях, что позволяет провести анализ устойчивости номинального движения (это движение определяется критерием оптимальности). Многозначность в правых частях дифференциальных уравнений возникает ввиду сопротивления разреженной среды, которое в первом приближением не учитывается (учитывается только масса т объекта, сила тяги по вертикали и горизонтали и постоянное ускорение свободного падения g).
Перемещение объекта на плоскости хоу разбивается на два этапа. На первом этапе объект движется из точки 0(0,0) с постоянным ускорением вверх и вперед, этап заканчивается достижением точки H(0,h). На втором этапе объект движется из точки Н с постоянным ускорением вниз и вперед, этап заканчивается достижением точки Ц/,0) оси ох. Предполагается, что во время движения масса объекта т не меняется.
На первом этапе движение происходит с постоянной векторной тягой (p q); на втором этапе — с постоянной тягой (-r,s), причем, в отличие от исследований других авторов [8, 14], значения положительных параметров р, q, г, s выбираются из интервалов (рирг), (ЯиЯ2), (rifi), С іЛ) соответственно. На объект действует также сила тяготения с постоянным ускорением gy а сопротивлением среды пренебрегаем, как будто движение проводится в вакууме. Движение будет допустимым, если х координаты х, у объекта удовлетворяют условиям: JC(/) растет от 0 до /, y(f) возрастает на первом этапе до высоты h и y(t) убывает до нуля на втором этапе. При этом в момент приземления /2, то есть когда y(t2y=0, получаем х(/2)=/. Движение будет оптимальным, если на перемещение объекта тратится меньше топлива. В качестве критерия качества берется условие: Задача оптимального управления заключается в нахождении параметров р, q, г, s и значений t\ t2i чтобы движение объекта из начальной точки О(0;0) в конечную /,(/,0) с промежуточным достижением точки H(0,h) осуществлялось с минимальным расходом топлива. На рис. 1 множество всех решений краевой задачи изображено сплошными тонкими линиями; множество всех допустимых решений — штриховыми линиями, а жирным выделено оптимальное движение. Из графического изображения видно, что решения представляют собой неубывающие и невозрастающие функции на первом и втором этапах соответственно и являются обобщенно монотонным оператором. Все решения будут устойчивыми, так как они определены на компактном множестве — временном отрезке [0,f2].
Анализ управляемости системы перемещения объекта, описываемой дифференциальными включениями
Рассмотренную задачу можно использовать для решения более сложной задачи, в которой перемещаемому объекту необходимо поразить движущуюся цель, перемещающуюся в плоскости xoz со скоростью v в произвольном направлении. Этой целью может быть хищник, а в качестве объекта можно рассматривать мини ракету с радиусом поражения г. На рисунках 2 и 3 зона поражения изображается черным крутом, а множество возможных положений цели до встречи с объектом выделяется крутом с текущим радиусом R.
Предлагается следующий алгоритм решения поставленной задачи. Шаг 1. На первом этапе движение объекта происходит из точки 0(0,0,0) с постоянным ускорением вверх и вперед до точки //(ОДО), как и в первой задаче. За время движения t = t2i цель перемещается в точку круга (круга положений), указанного на рисунке 2. Шаг 2. Из всех возможных траекторий движения объекта выбираем ту, которая ведет в точку нахождения цели в момент t\. За оставшееся время, как и в первой задаче (если тягу по вертикали оставить), объект достигнет плоскости xoz, направляясь в центр круга положений. Движение по этой траектории будем проводить за время t/2, при этом устанавливаем новый круг положений, показанный на рисунке 3, в котором окажется цель. Выбираем ту траекторию, которая ведет в центр круга положений. Если этот круг не больше радиуса поражения г, то оставшееся время t/2 тратим на движение в центр этого крута с поражением цели. Шаг 3. Если радиус этого круга больше радиуса поражения, то повторяем шаг 2, где время движения tIA (уменьшается вдвое), за которое объект проходит половину маршрута в центр круга положений. Если радиус этого круга не больше радиуса поражения г, то оставшееся время t/4 тратим на движение в центр этого круга с поражением цели. Если это не так, то повторяем второй шаг 2 с уменьшенным вдвое временем и так далее. Так как каждый раз время движения уменьшается вдвое на каждом шаге, то и круг положений каждый раз уменьшается в два раза, и поэтому через несколько повторений шага 2 получим круг положений с радиусом меньше, что позволяет далее двигаться в центр круга положении с гарантированным уничтожением цели. Данный алгоритм может быть реализован в виде компьютерной программы. Теория аккретивных и монотонных операторов может эффективно использоваться в тепловых системах для задач регулирования движения теплового потока. В этом параграфе рассматривается динамическая система, в которой происходит контроль температуры с помощью регулируемого теплообменника в закрытом помещении. Предполагается, что ширина и высота помещения незначительны по сравнению с длиной. Моделью помещения будет отрезок [0,,4]. Считаем, что на границе помещения (в точках х=0 и х=А) заданы значения температуры hXf) и / /(/), которые определяются внешними причинами. Начальное значение температуры задается функцией g(x), причем в каждой точке поперечного сечения помещения температура практически совпадает в каждый момент времени. В середине помещения размещается регулируемый теплообменник, который при средней температуре больше величины 30 уменьшает тепловой поток вплоть до отрицательных значений, при уменьшении температуры ниже 10 увеличивает тепловой поток, а в интервале от 10 до 30 тепловой поток оставляет без изменения. Распределение тепла описывается одномерным уравнением теплопроводности 0 x .A, 0 t T,c начальным условием U(x,0) = g(x), с граничными значениями U(0,t) = h,(t) и U(A,t) = hr(t) соответственно, где U(x,t) - температура в точке (x,t). Здесь g(x), fiJJjcj), hfa) и hr(t) — заданные функции. Предполагается, что начальные и граничные условия согласованы, то есть U(0,0)=hi(0)=g(0) и U(A,0)=hr(A)=g(A) соответственно. Замечание 1. Уравнение (1) можно записать в виде абстрактного диффе ренциального уравнения U BU+fJJyXj) на множестве G: :={ 0 л: Д 0 t T}, где обобщенно аккретивный оператор В:G— Химеет областью определения ЩВ) пространство функций, определенных на отрезке [0 4], которые непрерывны вместе с двумя первыми производными; множе ство ЩВ) будет плотно определенным в банаховом пространстве X интегри руемых с квадратом на отрезке [0 4] функций, из которого получаются все решения уравнения. Оператор определяется равенством BUv.-Uxx, и аккре тивность этого оператора доказана в пункте 1.4.4 главы 1.
