Содержание к диссертации
стр.
Введение 3
1. дискретные динамические модели 7
-
Асимптотические свойства оценок параметров в моделях авторегрессии-скользящего среднего .. 7
-
Особенности представления временных рядов обобщенными схемами авторегрессии и постановки задач II
-
Существование и измеримость оценок 23
2. Оценивание параметров в обобщенных авторегрессионных
схемах 24
-
Устойчивый случай 24
-
Неустойчивый случай (состоятельность) ....... 29
-
Неустойчивый случай (предельное распределение) 34
-
Доказательство вспомогательных утверждений 41
3. Асимптотическая эффективность оценок и прогноз при
нормальных шумах 51
-
Асимптотическая эффективность оценок ........ 52
-
Асимптотическая эффективность прогноза ...... 61
-
Доказательство вспомогательных утверждений .. 68
4. Оценивание параметров в нелинейной авторегрессии . 73
-
Неустойчивый случай 75
-
Устойчивый случай 77
-
Доказательство вспомогательных утверждений .. 81
Заключение 92
Литература 93
*« з —
Введение к работе
Актуальность проблемы. Параметрические модели находят широкое применение при решении различных задач, связанных в временными рядами, главным образом, для прогнозирования и автоматического регулирования. Как отмечалось в [4,5] , примерами таких задач могут быть оценивание передаточной функции линейного фильтра, выработка стратегии оптимального управления, проектирование простых схем управления с прямой и обратной связью.
Одними из наиболее часто используемых для анализа временных рядов параметрическими моделями являются модели авторегрессии-сколь-зящего среднего (АРСС), т.е. линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами и случайной правой частью (шумом). Однако применение этих моделей ограничено следующими обстоятельствами. Во-первых, на всем интервале наблюдения реальная система описывается одной и той же моделью. Во-вторых, наблюдения проведены в равноотстоящие моменты времени. В-третьих, параметры разностного уравнения не связаны с параметрами шума.
На многие модели, в том числе и на модели АРСС, можно смотреть как на дискретные динамические системы, подвергающиеся случайным воздействиям (шумам), В[задачах, возникающих, например, в эконометрике, естественно предполагать, что на разных интервалах наблюдения эти динамические системы различны, а их параметры связаны с параметрами шума. К таким моделям приводят, например, наблюдения над объектами, описываемыми стохастическими дифференциальными уравнениями в дискретные моменты времени, модели авторегрессионного типа при пропущенных и неравноотстоящих наблюдениях.
Модели, о которых шла речь выше - линейные. В практических задачах часто приходится сталкиваться с временными рядами, описывае- мыми нелинейными моделями. Общего математического аппарата для решения подобных задач в настоящее время не существует. При изучении этих моделей вид нелинейности предполагается известным 21,36,39] С другой стороны бывает естественным предположение о малости, в том или ином смысле, случайных возмущений. Задача изучения малых случайных возмущений динамических систем ставилась в работах [3,15]
Эффективность использования параметрических моделей для описания динамических систем в значительной мере зависит от уровня разработанности методов оценивания и исследования статистических свойств оценок их параметров.
В связи с вышесказанным, актуальными являются рассматриваемые в настоящей работе проблемы.
Обоснование и описание нового, более широкого по отношению к моделям АРСС, класса линейных параметрических моделей.
Исследование асимптотических свойств оценок параметров этих моделей, а именно, состоятельности, предельного распределения, асимптотической эффективности.
Прогнозирование временного ряда, порожденного введенным классом моделей.
Получение и исследование статистических свойств оценок параметров нелинейных динамических систем, подвергающихся малым случайным воздействиям.
Предмет исследования - оценивание параметров и прогноз при зависимых наблюдениях авторегрессионного типа.
Дель исследования состоит в развитиии раздела теории статистического оценивания в дискретных динамических системах, подвергающихся случайным воздействиям. Теоретической и методологической основой работы служат: анализ временных рядов, асимптотические методы математической статистики.
Научная новизна. Рассмотрен новый класс линейных параметрических моделей для анализа временных рядов. Для оценивания параметров этих моделей предложено использовать широко распространенные методы: метод наименьших квадратов (МНК) и гауссовы оценки [38,52J . Доказана состоятельность этих оценок и найдено предельное распределение.
Доказано, что предложенные оценки являются асимптотически наилучшими (эффективными) среди всех оценок и найдена нижняя граница для предельного риска при условии, что вектор наблюдений распределен нормально.
Рассмотрен вопрос о прогнозировании временного ряда, порожденного введенным классом моделей. Доказано, что предложенный в работе прогноз является асимптотически наилучшим среди всех прогнозов при условии, что вектор наблюдений распределен нормально.
Для нелинейных стохастичнских разностных уравнений предложена оценка их параметров и доказана её состоятельность в предположении малости шума.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах ВНЙИСИ IKHT и АН СССР, на Советско-французском симпозиуме по прикладной математической статистике / г. Сочи, 1982 г./, на 7-ой Всесоюзной конференции по планированию эксперимента в научных исследованиях / г.Москва, 1883 г./, на 5-ой конференции молодых ученых ВНИИСИ / г; Москва, 1982 г./, на семинаре "Многомерный статистический анализ и моделирование реальных процессов" в ЦЭМИ АН СССР, на семинаре "Планирование эксперимента и анализ данных", проводимом совместно МГУ им. М.В.Ломоносова и Научным советом по комплексной ~ 6 - проблеме "Кибернетика" АН СССР.
Апробация диссертации в целом проводилась на семинаре направления "Математические методы в системных исследованиях" ВНИИСИ ГКНТ и Ш СССР. По материалам диссертации опубликованы 3 научные работы [11,12,13] .
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка, включающего 61 наименование. Текст изложен на 92 страницах машинописного текста. В первой главе работы приведен обзор публикаций, близких к теме диссертации, предложен новый класс параметрических моделей - обобщенных авторегрессионных схем - для анализа временных рядов, введены понятия устойчивости и неустойчивости этих моделей и сформулированы постановки задач диссертации.
Во второй главе диссертации рассматривается задача оценивания неизвестных параметров в обобщенных авторегрессионных схемах (ОАС).
Исследованы асимптотические свойства (состоятельность, предельное распределние) гауссовых оценок устойчивых и МНК-оценок неустойчивых ОАС.
В третьей главе диссертации рассмотрен вопрос об асимптотической эффективности оценки максимального правдоподобия параметров неустойчивой ОАС и исследована задача прогнозирования временного ряда, порожденного этой моделью.
Четвертая глава работы посвящена применению результатов главы 2 к задаче оценивания неизвестных параметров нелинейных стохастических разностных уравнений в предположении малости случайных возмущений.
