Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор основных результатов в области дробного исчисления и теории оптимального управления динамическими системами дробного порядка . 10
1.1. Краткий исторический очерк 10
1.2. Основные определения и свойства операций дробного порядка 14
1.3. Элементы теории дифференциальных уравнений и включений дробного порядка 19
1.4. Элементы теории оптимального управления динамическими системами дробного порядка 23
1.5. Выводы 32
2. Исследование применимости метода моментов для динами ческих систем дробного порядка с сосредоточенными пара метрами . 33
2.1. Постановка задач оптимального управления для линейной стационарной системы дробного порядка 34
2.2. Проблема моментов: общие замечания 35
2.3. Проблема моментов для линейной сосредоточенной стационарной системы дробного порядка
2.3.1. Одномерный случай 38
2.3.2. Многомерный случай 42
2.4. Выводы 47
3. Исследование задач оптимального управления системами дробного порядка с сосредоточенными параметрами 48
3.1. Задача оптимального управления для одномерных линейных стационарных систем дробного порядка 50
3.1.1. Одиночный интегратор дробного порядка 50
3.1.2. Одномерная система общего вида 54
3.2. Задача оптимального управления для двумерных линейных систем дробного порядка 60
3.2.1. Двойной интегратор дробного порядка 60
3.2.1.1. Случай u(t) Є Ьоо[0,Т] 61
3.2.1.2. Случай u(t) Є L2[0,T] 66
3.2.1.3. Результаты расчётов 67
3.2.2. Маятник дробного порядка 74
3.3. Выводы 80
4. Исследование задач оптимального управления распреде лёнными системами дробного порядка с помощью метода моментов . 82
4.1. Проблема моментов для линейной распределённой системы дробного порядка 83
4.1.1. Общие замечания 83
4.1.2. Представление задачи оптимального управления в форме проблемы моментов
4.2. Исследование корректности и разрешимости проблемы моментов 90
4.3. Пример расчёта граничного управления для системы, описываемой уравнением переноса 92
4.4. Выводы 101
Практические рекомендации 104
Заключение 106
Библиография 110
- Элементы теории дифференциальных уравнений и включений дробного порядка
- Проблема моментов для линейной сосредоточенной стационарной системы дробного порядка
- Одномерная система общего вида
- Представление задачи оптимального управления в форме проблемы моментов
Элементы теории дифференциальных уравнений и включений дробного порядка
На протяжении XVIII-XIX вв. исследователи использовали для представления операций дробного порядка формализм интегральных операторов: обобщение операции интегрирования строилось на базе обобщения формулы Коши, позволяющей сводить кратный интеграл к одиночному (т.е. дробное интегрирование вводится здесь фактически как интеграл нецелого порядка), а обобщение операции дифференцирования строится на основе композиции оператора дифференцирования целого порядка с оператором интегрирования нецелого порядка. В середине XIX века получил развитие другой, конечно-разностный, подход к определению операций интегрирования и дифференцирования нецелого порядка. Идея такого подхода высказывалась ещё в работах Ж. Лиувилля, но его масштабная проработка была проведена позднее в работах А. Грюнвальда и А.В. Лет-никова [42,115].
Н. Абелю приписывается [153, р. 3] первое применение дробных операций как вычислительного инструментария, сделанное им в 1823 г. при решении задачи о таутохроне. В работе Ж. Лиувилля [138], опубликованной в 1832 г., впервые дан систематический перечень приложений дробного ин-тегродифференцирования в различных задачах геометрии и механики. Во второй половине XIX - начале XX вв. наблюдается переход от абстрактных математических задач, связанных с развитием фундаментальных основ ДИ, к приложениям. Развиваются попытки использования ДИ для описания различных физических систем, в основном в области электромагнетизма и механики сплошных сред. На рубеже веков появляется работа О. Хе-висайда, в которой он показывает, что однородная резистивно-ёмкостная линия передачи (полубесконечный RC-кабель) является простейшим примером дифференциатора порядка 1/2 [119]. Позднее эти вычисления были более строго обоснованы в работах Т. Бромвича [83].
В XX веке тенденция развития прикладных аспектов ДИ, наряду с продолжением фундаментальных математических исследований, всё более крепнет. Расширяется круг приложений и происходит переход от более абстрактных физических систем, в отношении которых ДИ используется как метод описания и качественного прогнозирования, к более конкретным физико-техническим системам, для которых ДИ используется уже как инструмент не только качественного, но и количественного моделирования и прогнозирования. Так, проводятся масштабные исследования процессов релаксации вязкоупругих сред сложной структуры: экспериментально демонстрируется, что в таких средах релаксация носит степенной, а не экспоненциальный характер [24,51,55,112,114,147,158-160], что подтверждается результатами теоретических исследований [24, 51, 55, 77-79, 88, 89,112,114, 147,177], учитывающими наличие в среде эффектов памяти, описываемых в терминах интегро-диффернциальных операторов, сводящихся к операторам дробного порядка. Наблюдение и теоретическое описание аналогичных процессов степенной релаксации в экспериментах с диэлектриками, начатое в экспериментах по изучению эффекта Кюри-фон Швайдлера [101,180], в XX веке развилось в мощное направление по изучению процессов неде-баевской релаксации и законов универсального отклика [55,128,129,193]. В области математических исследований рассматриваются уже не только дробные, но и иррациональные и комплексные значения порядка дифференцирования или интегрирования. В связи с этим появляются более уместные, но до сих менее используемые термины «интегро-дифференциальное исчисление произвольного порядка», «интегро-дифференциальное исчисление нецелого порядка» или «обобщённое интегро-дифференциальное исчисление» [52,153,173].
В середине XX века появляются первые работы по применению ДИ в теории систем (в том числе, систем автоматического управления). Появляется ряд работ, посвященных аппаратной реализации операций дробного интегрирования и дифференцирования на электрических [149,150] и электрохимических [14,15,46-48] элементах. Во второй половине XX века публикуется ряд полноценных монографий (первая из них вышла в 1974 году), посвященных проблемам ДИ и его приложений [52,133,153,163,171], проводятся международные конференции по данной тематике. Продолжается расширение сферы приложений ДИ и начинается активное исследование проблемы интерпретации (физической, а позднее геометрической и вероятностной) дробных операторов, которое до сих пор далеко от завершения [19,31,45,53,55,145,156,172,178].
В конце XX века зарождается векторное обобщение ДИ, обусловленное как продолжающимся развитием фундаментальных математических исследований в данной области, так и развитием приложений ДИ (в основном, в области электродинамики неоднородных сред) [181]. Также в 90-е гг. XX века появляются первые работы по дробным контроллерам, их аппаратной реализации и методикам настройки [143,164-167,170,175]. Продолжается развитие исследований по аппаратной реализации операций дробного порядка на электрических элементах [11,20,25,134]. В связи с развитием оптических технологий и тенденциями поиска альтернативной элементной базы для реализации вычислительных устройств, появляется ряд работ по оптической [20,130,141] и оптоволоконной [20,98-100] реализации дробных операций.
В XXI веке исследователи, работающие в области ДИ, уделяют большое внимание развитию векторного обобщения ДИ и поиску интерпретации дробных операторов, аналогичной той, что существует для операторов целого порядка. Развивается новый раздел теории динамических систем -«дробная динамика», изучающая поведение динамических систем, описываемых уравнениями, содержащими дробные интегро-дифференциальные операторы [135,182,195]. В области математических исследований таких уравнений, помимо постоянно нарастающего потока публикаций по поиску и проверке единственности решений, появляются работы по теоретико-групповым или симметрийным свойствам данных уравнений [22, 23, 27, 84, 109-111,118,122,123,192,194].
В последние 10-15 лет наблюдается устойчивый рост числа публикаций по использованию аппарата ДИ не только в задачах моделирования различных физических и технических систем, но и в задачах управления такими системами. Сформулированы базовые определения основных понятий теории систем и теории управления для систем, описываемых в терминах дробных операторов [20, 31, 87, 102, 146, 154, 157] (см. далее, раздел 1.4). В области прикладных исследований всё большую актуальность приобретают исследования дробных контроллеров различного типа [20, 61, 81, 82, 87, 97, 102, 131, 154, 169-171, 184]. Исследуются методики настройки таких устройств, их возможные архитектуры и свойства при использовании в системах управления системами нецелого и целого порядков. В частности, есть целый ряд примеров, демонстрирующих большую эффективность дробных контроллеров при управлении системами не только нецелого, но и целого порядка.
Проблема моментов для линейной сосредоточенной стационарной системы дробного порядка
Постановка проблемы моментов (2.6)-(2.7) имеет смысл, если для функций Qi{t) и u{t) определена норма в соответствующем функциональном пространстве. Для функции u{t) норма в пространстве Lp[0,T] определена по построению. Функции же Qi{t) возникают при приведении задачи оптимального управления к виду проблемы моментов (2.6) и, как будет продемонстрировано ниже, для этих функций нельзя заранее гарантировать существование нормы функций в сопряжённом пространстве Zy[0,T]. В связи с этим введём следующее определение.
Определение 2.1. Проблема моментов в форме задачи 2.3 корректна, если в сопряжённом пространстве В определена норма функций fji(t). Для разрешимости проблемы моментов (2.6)-(2.7) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие XN 0, (2.14) или, что эквивалентно, функции Qi{t) были линейно независимы (или часть из них образовывала линейно независимую систему функций) [12,17,29,30]. Также будем подразумевать, в соответствии с постановкой задачи 2.3, что хотя бы одно из чисел С{ отлично от нуля (иначе условие (2.10) не будет выполняться 2.3. Проблема моментов для линейной сосредоточенной стационарной системы дробного порядка.
Общее решение уравнения (2.1) в одномерном случае записывается в виде выражения (1.18), приведённого в главе 1, с учётом того, что вместо функции fit) в выражении (1.18) должна стоять сумма функций bu(t) + fit). Как отмечалось в главе 1, данное решение получено в предположении, что неоднородность в уравнении 2.1 является непрерывной функцией [103,132]. В то же время, решение (1.18) остаётся справедливым и для кусочно-непрерывных функций, имеющих счётное число интервалов непрерывности. Именно такими функциями представляются оптимальные управления (2.11) и (2.12), получаемые в результате решения задачи 2.3. Более того, управления (2.11) и (2.12), полученные для различных случаев в настоящей работе (глава 3), имеют конечное число интервалов непрерывности. Соответственно, они имеют и конечное число точек переключения, являющихся разрывами. Следовательно, это множество конечного числа точек имеет меру нуль. Кроме того, решение (1.18) остаётся справедливым и в случае, когда управление является функцией из пространства Lp[0,T], 1 р оо. Случай, когда само решение уравнения (2.1) ищется в классе функций Lp[0,T], 1 р оо, рассмотрен в работах [76,85].
Таким образом, задача оптимального управления (в смысле задач 2.1 и 2.2) для одномерной системы (2.1) с начальным условием (2.4) и конечным условием (2.5) может быть представлена в форме проблемы моментов (2.6)-2.7) с функцией (2.16) и моментом (2.17).
Исследуем теперь, при каких условиях одномерная проблема моментов (2.6)-(2.7), (2.16-2.17) корректна и разрешима.
Из полученного выражения видно, что норма функции g(t) будет определена тогда, когда выражение в правой части больше нуля и ограничено. При Ь т 0 это условие выполняется У а Є (0,1). В этом случае будет выполняться и условие Л 0: из (2.9)—(2.10) при N = 1 видно, что выражение для ?()1 с точностью до множителя 1/с равно величине 1/Л, т.е. в этом случае проблема моментов для одномерной линейной стационарной системы корректна и будет разрешима. Следует иметь в виду также, что условие ограниченности и неравенства нулю момента, в данном случае налагает соответствующие ограничения на функцию fit).
Пусть теперь u(t) Є Lp[0,T], 1 р оо. Корректность и разрешимость проблемы моментов в данном случае, как оказывается, выполняется не для всех значений а.
Теорема 2.1. Пусть дана одномерная система (2.1) с начальным условием (2.4) и конечным условием (2.5). Пусть u(t) Є Lp[0}T], 1 р оо и Ь т 0. Проблема моментов (2.6)-(2.7) с функцией (2.16) и моментом (2.17) для данной системы корректна и разрешима тогда, когда выпол няется следующее условие:
Доказательство. Используем представление функций Миттаг-Лефлера в виде степенного ряда (1.19) [132, р. 42]. Ряд в формуле (1.19) при положительных значениях а и (3 сходится абсолютно на всей числовой прямой, в чем можно убедиться непосредственным вычислением. При этом Функция Миттаг-Леффлера на отрезке t Є [0,Т] как целая функция определена в каждой точке и ограничена.
По условию теоремы Ь т 0. Тогда для нормы функций g{t) Є Zy[0,T] в соответствии с (2.16) и (1.19) и общими свойствами нормы [28, гл. 3, 3] будет справедлива следующая оценка: \Ш\\Р \\ЪЕа,а[а (t - т)а]\\р1 \\{Т - t)a l\\p, (2.19) Первый множитель будет при а 0 определён в силу отмеченных выше свойств функции Миттаг-Лефлера, представимой в виде (1.19). Для второго множителя будет справедливо выражение:
Одномерная система общего вида
Причём, данный эффект выражен тем сильнее, чем меньше (і\. В принципе, можно рассматривать такое поведение как проявление диссипативной природы систем дробного порядка [182]. В случае (Х\ = 1 (рис. 3.16) при разных значениях a i наблюдается только сдвиг точки переключения в сторону правой границы временного интервала, отмечавшийся выше. Поведение системы в этом случае в большей степени соответствует "классическому что, по-видимому, обусловлено классической связью фазовых координат — одна из них является первой производной (или фазовой скоростью) другой координаты. Такую систему, вообще говоря, можно рассматривать как соответствующую систему целого порядка под воздействием некоторого модифицированного управления (модификация в данном случае осуществляется через свёртку со степенным ядром).
Аналогичное поведение демонстрируют и фазовые траектории, соответствующие режиму оптимального управления в задаче Б.
Следует отметить, что при (і\ = (І2 = 1 полученные формулы переходят в аналогичные для двойного интегратора первого порядка. 3.2.2. Маятник дробного порядка
Двумерная система (2.1) представляет собой аналог маятника дробного порядка при 2ц = 222 = 0, Ьц = &12 = &21 = 0, а\2 = 1, 221 = — 1, Ь22 = 1, В случае u{t) Є L2[0,T] решение задачи А может быть получено явно (в квадратурах). Будем считать выполненными условия теоремы 2.2, в соответствии с которой проблема моментов для рассматриваемой системы корректна и разрешима при а 1/2. В соответствии с (2.9, (2.10) величина Х2 будет определяться выражением [35]: с начальным условием (2.4)- Пусть u(t) Є L2[0,T]7 1 р оо. Предположим, что соответствующая проблема моментов для данной систе мы корректна и является разрешимой (т.е., выполнены условия теоремы 2.2). Тогда: управлением, переводящим рассматриваемую систему из заданного начального состояния (2.4) в заданное конечное состояние (2.5) с минимальной нормой (т.е., решением задачи 2.1 или задачи А) является управление (3.38). управлением, переводящим рассматриваемую систему из заданного начального состояния (2.4) в заданное конечное состояние (2.5) за минимальное время при заданном ограничении на норму управления (т.е., решением задачи 2.2 или задачи В) является управление (3.39).
На рис. 3.17 приведена зависимость нормы управления (в случае задачи А) от показателя а для нескольких значений начальной координаты q . Видно, что зависимости имеют максимум при а Є (0.7,0.8). Также видно, что норма управления растёт с ростом q: обусловливающим рост момента С\. На рис. 3.18 приведена зависимость нормы управления от времени управления при различных значениях показателя а. Видно, что норма управления уменьшается при увеличении времени управления (как и в 0 5 10 15 20 т случае одиночного и двойного интеграторов, см. выше), особенно в области малых значений Т. При этом в области малых Т норма управления растёт с ростом а, а при больших Т наблюдается обратная тенденция. Для а 0.8 зависимость демонстрирует колебательный характер, выраженность которого усиливается с ростом а. На рис. 3.19 представлены зависимости ми нимального времени перехода в конечное состояние от а при различных значениях /. Видно, что зависимости имеют возрастающий характер.
Исследуем теперь фазовые траектории маятника дробного порядка. Граничные траектории данной системы определяются из уравнения (2.1) при u{t) = ±/ [18]. Для случая маятника непосредственным вычислением можно получить:
В данной главе проведено подробное исследование ряда частных случаев одномерных и двумерных систем. В качестве одномерных систем рассмотрены одиночный интегратор дробного порядка и одномерная линейная стационарная система общего вида. В качестве двумерных систем рассмотрены двойной интегратор дробного порядка и маятника дробного порядка.
Для всех рассматриваемых систем получены решения задачи оптимального управления в различных случаях. Для одиночного интегратора явное аналитическое решение получено для u{t) Є L O T] и u{t) Є Lp[0,T] при произвольном р, 1 р оо. Для одномерной системы общего вида получено явное аналитическое решение для u{t) Є L O T] и общий вид решения в квадратурах для u{t) Є Lp[0,T]. Для двойного интегратора дробного порядка получено аналитическое решение в квадратурах для u{t) Є L2[0,T]. В случае u{t) Є Ьоо[0,Т] для двойного интегратора продемонстрирована невозможность получения явного решения в общем случае. При этом получено базовое алгебраическое уравнение, позволяющее строить решение для конкретных значений показателей дробного дифференцирования в обоих звеньях интегратора. Также продемонстрировано, что получить явное решение удаётся для u{t) Є L O T] в ряде частных случаев. Для маятника дробного порядка получено аналитическое решение в квадратурах для u(t) Є L2[0}T].
Для всех обсуждаемых систем разобраны численные примеры и проанализировано поведение нормы управления в зависимости от показателей дробного дифференцирования и времени управления, а также минимального времени перехода в конечное состояние от показателей дифференцирования. Выявлены основные закономерности.
Изучены особенности качественной динамики рассматриваемых систем. Вычислены граничные траектории изучаемых систем. Рассчитаны законы движения и фазовые траектории систем в режиме оптимального управления. Показано, что в случае систем нецелого порядка граничные траек тории ограничивают на фазовой плоскости область, которая оказывается уже, чем в случае аналогичных систем целого порядка. Продемонстрировано, что в случае а = 1 уравнения, описывающие граничные траектории систем, переходят в известные уравнения для границ интегральной воронки соответствующих дифференциальных включений. Для двойного интегратора продемонстрировано наличие эффекта перерегулирования в случае, когда показатель дифференцирования в первом звене интегратора отличен от единицы.
Представление задачи оптимального управления в форме проблемы моментов
Изложенные в диссертационной работе результаты могут использоваться на практике при расчёте конкретных систем управления и исследовании общих закономерностей динамики систем дробного порядка с управлением.
Как уже отмечалось, в целом метод моментов даёт единую вычислительную процедуру исследования и решения ЗОУ. В диссертационной работе обоснована применимость метода моментов к системам дробного порядка и выведены условия, определяющие корректность и разрешимость соответствующей проблемы моментов. Тем самым, полученные результаты дают основания и методическую основу для практического использования метода моментов при решении прикладных задач расчёта динамики систем дробного порядка с управлением. Применение этого метода и развитых в настоящей работе подходов позволяет для данной системы сначала исследовать вопрос о корректности и разрешимости проблемы моментов, а затем произвести синтез оптимального управления либо с использованием явных формул, либо с помощью некоторой алгоритмической процедуры (как в случае с поиском оптимального управления в пространстве Ь О Т] для двойного интегратора). Это имеет важное практическое значение, поскольку позволяет, в принципе, автоматизировать синтез оптимального управления для систем дробного порядка.
Приведённые в работе результаты об исследовании зависимости нормы управления и миимального времени перехода системы в конечное состояние от показателя дробного дифференцирования позволяют проводить дополнительную подстройку параметров системы в тех случаях, когда имеется возможность изменять показатель дробного дифференцирования. Например, можно дополнительно уменьшить норму управления, выбирая по возможности меньший показатель дифференцирования. Результаты анализа качественной динамики систем также позволяют, в принципе, изменением показателей дифференцирования регулировать пределы, в которых могут изменяться фазовые координаты системы. Аналогичным образом можно выбирать минимальное время перехода системы в конечное состояние, дополнительно изменяя порядок дробного дифференцирования.
Полученные в данной работе результаты относительно систем дробного порядка с распределёнными параметрами имеют практический интерес как с общих позиций, так и с точки зрения оценки влияния показателя дробного дифференцирования на свойства изучаемых систем. В первом случае, как и выше, речь идёт об обосновании возможности и построении вычислительной процедуры для расчёта оптимального управления и анализа динамики таких систем. Во втором случае имеется в виду возможность варьирования и целевого выбора для конкретной системы показателя дробного дифференцирования, обеспечивающего дополнительное снижение нормы управления или необходимое изменение других величин. Кроме того, как следует из разобранного примера граничного управления, для распределённых систем, описываемых уравнением типа уравнения диффузии, более эффективным оказывается управление не непосредственно распределением на границе, а управление распределением на границе через интегрирующее звено дробного порядка (в гл. 4 этот тип назван нелокальным управлением). Эта закономерность, хотя и выявленная на примере, может иметь большой практический смысл при построении систем управления диффузионными и тепловыми процессами.
Динамика систем дробного порядка является относительно новой областью исследований, особенно это касается систем с управлением. Несмотря на то, что дробное исчисление берёт своё начало в конце XVII века, изучение динамических систем дробного порядка, вопросов устойчивости и управляемости таких систем началось лишь во второй половине XX века. Работы, связанные с проблематикой оптимального управления системами дробного порядка, появились лишь в последние 10 лет. При этом на сегодня не построено формальных процедур синтеза оптимального управления, особенно в случаях разрывного управления и явных ограничений на норму управления. В то же время, потребность в построении таких процедур усиливается не только в связи с развитием научных исследований в области систем дробного порядка, но и развитием прикладных научно-практических исследований. Всё чаще в различных прикладных задачах объектом исследования становятся системы нецелого порядка, выступающие как в роли объекта управления, так и в роли управляющей системы. Всё это является сильной мотивацией к исследованиям, имеющим целью создание научно обоснованных алгоритмизуемых методов анализа динамики и расчёта оптимального управления для систем дробного порядка как с сосредоточенными, так и с распределёнными параметрами.
В диссертационной работе изложены результаты изучения возможности применения метода моментов к исследованию задачи оптимального управления (ЗОУ) динамическими системами дробного порядка. Рассмотрено две постановки ЗОУ: перевод системы в конечное состояние с минимальной нормой управления при заданном времени управления и перевод ситсемы в конечное состояние за минимальное время при заданном ограничении на норму управления. Показано, что в обоих случаях ЗОУ может быть сведена к некоторой проблеме моментов.