Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор методов прогнозирования динамики экономических показателей 10
1.1. Стохастические модели прогнозирования динамики ценных бумаг 11
1.2. Детерминированный подход к прогнозрованию динамики ценных бумаг 16
1.3. Технический анализ 19
1.4. Выводы 20
2. Исследование правомерности применения теории детерминированного хаоса к описанию фьючерсных рынков 21
2.1. Тесты для проверки стационарности 22
2. 1. 1 . Критерий серии 25
2. 1.2. Критерий инверсий 26
2. 2. Тесты для проверки случайности 27
2. 3. Тесты для проверки нормальности 28
2. 3. 1. Критерий согласия 28
2. 4. Вычисление спектральной плотности и автокорреляционной функции 31
2. 4. 1 . Спектральная плотность 31
2. 4. 2. Автокорреляционная функция 35
2. 5. Меры фрактальной размерности 37
2. 6. Исследование временных рядов реальных фьючерсных рынков на наличие хаотической компоненты 40
2.7. Выводы 41
3. Математическое обоснование модели 466
3.1. Восстановление фазового портрета системы по одномерному временному ряду 46
3.2. Оценка размерности хаотического процесса. 49
3.3. Нелинейная модель динамики фьючерсных рынков 54
3.4. Исследование модели качественными методами теории дифференциальных уравнений 58
3.5. Выводы 61
4. Схемы построения прогноза и применение модели 62
4. 1. Постороение точечного прогноза 62
4. 2. Схемы адаптации модели 67
4. 3. Построение интервального прогноза 76
4.4. Применение модели 79
4.5. Прогноз изменения тренда на основе анализа поведения точек равновесия 82
4. 6. Исследование качества модели 83
4.7. Выводы 89
Заключение 90
Литература 92
Приложения 102
- Детерминированный подход к прогнозрованию динамики ценных бумаг
- . Критерий серии
- . Спектральная плотность
- Оценка размерности хаотического процесса.
Введение к работе
Актуальность диссертационной работы
Исследования фондовых рынков в настоящее время помимо теоретического интереса приобретают все большее практическое значение. Это объясняется тем, что финансовые рынки, представляющие собой основу рыночных отношений, являются важными индикаторами состояния экономики в целом.
В странах с развитыми рыночными отношениями уже давно осознана практическая важность исследований данной области. И в России в последнее время, в связи с включением ее в систему мирового финансового рынка, появилась острая необходимость в изучении ценовой динамики на различных сегментах фондового рынка. Именно поэтому последние годы ознаменовались растущим интересом к поиску новых моделей нерегулярного поведения на финансовых рынках.
К моделированию динамики показателей фондовых рынков существует несколько альтернативных подходов. Традиционные модели являются стохастическими1. Другой подход к анализу нерегулярности и сложности финансовых данных основан на теории детерминированного хаоса2. В частности, детерминированный хаос предлагает объяснение нерегулярного поведения в системах, которые не являются стохастическими, как результат сложных нелинейных взаимодействий внутренних параметров данных систем. Согласно теории хаоса введение в модель теоретически
' Franses PH.. Time series models for business and economic forecasting. - Cambridge University Press, 1993. -280 p.
Milts T.C The econometric modelling of financial time series. - Cambridge University Press, 1993.-247 p.
Ширяев АН. О некоторых понятиях я стохастических моделях финансовой математики // Теория вероятностей и ее применение. -1994, -Т.39,-вып. 1.-С.5-22,
Ширяев Ail Стохастические проблемы финансовой математики // Обозрение прикладной н промышленной математики. -1994, - Т. I, - sun, S. - С. 780 -820.
'Дмитриева Л.А., Куперин ЮЛ, Сорока И. В. Методы теории сложных систем в экономике [Электронный ресурс] - Режим доступа: I .icape.nifthesis/7.htm 1. свободный.
Никульчаев Е.В.. Волович М,Ь Модели хаоса для процессов изменения курса акций {Электронный
ресурс] // Exponenta-Pro. Математика в приложениях. - 2003. - №1.]- 'JneppcS.TegHOBbieJiajL j ill
КомпыотсрПресс.-2003.-№3.- 1 электрон, опт, диск (CD-RON*. ^^nutst**! I
ПстерсЭ.Хаос и порядок на ринках капитвла.-М.:Ммр,2000.-1332о. ЬИЬЛИОІЬИЛ 1
1 0^
оправданных нелинейностей может объяснить экономические флуктуации
более успешно, нежели введение случайных переменных. Данная теория представляет совершенно новые концепции, и алгоритмы, для анализа временных рядов, что может привести к более полному пониманию природы сигнала.
В диссертационной работе представляются результаты, применения теории детерминированного хаоса к моделированию динамики фьючерсных контрактов на финансовых рынках.
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является создание адекватной математической модели динамики фьючерсных контрактов на финансовом рынке. В связи - с этим в работе поставлены следующие задачи:
-
Доказать наличие детерминированной хаотической компоненты в динамике исследуемого экономического объекта.
-
Построить нелинейную математическую модель динамики фьючерсных контрактов.
-
Исследовать модель методами качественной теории дифференциальных уравнений.
-
Разработать схемы построения прогноза и адаптации модели.
-
Провести исследование временных рядов различных фьючерсных рынков.
Методы исследования. Для решения поставленных задач использовался ряд методов. Например, для определения наличия детерминированной хаотической компоненты в анализируемом временном ряде использовались методы спектрального и корреляционного анализа. При разработке модели динамики фьючерсных контрактов на финансовом рынке решалась обратная задача нелинейной динамики. При построении точечного и интервального прогнозов, а так же схем адаптации модели использовались широко известные экономико-статистические методы. В ходе исследования,
5 для реализации поставленных задач, был разработан комплекс программ в
пакете инженерных расчетов MatLab.
Так же в работе применялись методы, специфичные именно для фьючерсных рынков - методы технического анализа. Для проведения исследования выбраны следующие данные: фьючерсные контракты на Coffee Continuous, Coca-Cola и фьючерсные контракты на валюту (доллар, немецкая марка).
Научные положения выносимые на зашиту.
-
Результаты исследования правомерности применения методов теории детерминированного хаоса к описанию динамики фьючерсных контрактов.
-
Нелинейная модель динамики фьючерсных контрактов на финансовом рынке.
-
Схемы построения прогноза и схемы адаптации модели.
-
Комплекс программ, реализующих построение прогноза по представленной модели и схемам ее адаптации.
-
Результаты исследования фьючерсных рынков на основе разработанной модели.
Научная ценность и новизна.
1. Проведенные в работе исследования показали наличие детерминированной хаотической компоненты в динамике исследуемого процесса, и следовательно целесообразность применения теории детерминированного хаоса к моделированию динамики параметров финансового рынка.
2. В результате проведенной работы построена теоретически оправданная нелинейная модель динамики фьючерсных контрактов на финансовом рынке. Структура модельных уравнений выбрана из содержательных экономических соображений, и ее параметры имеют экономический смысл.
-
Представлены схемы построения прогноза динамики фьючерсных контрактов с помощью приведенной модели.
-
Принимая во внимание факт гиперчувствительности хаотических систем к малым возмущениям, разработаны схемы адаптации модели, позволяющие учитывать временную ценность информации.
Практическая значимость. Представлена нелинейная модель динамики фьючерсных контрактов, позволяющая прогнозировать рыночные характеристики в режиме «реального времени» не имея богатого ретроспективного материала. Предложены методы практического применения разработанной модели в рамках теории технического анализа. Разработан комплекс программ, реализующих поставленные задачи, в пакете инженерных расчетов Mat Lab.
Публикации и апробация результатов работы. Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в 10 работах.
Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на: Всероссийской научно-практической конференции «Математическое моделирование экономических систем и процессов». - Чебоксары, 2000; IV Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов». - Ульяновск, 2001; Региональной конференции молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике. - Новосибирск, 2001; III Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». - Новочеркасск, 2003.
Внедрение результатов диссертационной работы. Ряд результатов, выводов и рекомендаций настоящей диссертации использован в работе «ПК «Норд-Инвест».
Личный вклад автора. Изложенные в диссертации результаты получены на равных правах с к.т.н., доцентом каф. ПМ, АВТФ, ТПУ Козловских А.В. Эти результаты являются следствием множества численных
7 экспериментов, для проведения которых автором создано программное
обеспечение. Совместно с научным руководителем д.ф.-м. н., проф., зав.
каф. ПМ, АВТФ, ТПУ Григорьевым В.П. проведена интерпретация и
экономическая трактовка полученных результатов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,
четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Материал
изложен на 130 страницах, содержит 5 таблиц, 39 рисунков.
Детерминированный подход к прогнозрованию динамики ценных бумаг
Современная методология анализа нелинейных динамических систем оформилась в новое научное направление, называемое синергетикой. Эта междисциплинарная наука нацелена на выявление общих принципов эволюции и самоорганизации сложных систем в различных областях знания на основе построения и исследования нелинейных динамических математических моделей [31, 51, 63].
Фундаментальным отличием синергетической экономики от традиционной является то, что она придает особое значение нелинейным аспектам экономического эволюционного процесса. Она трактует нелинейность и неустойчивость как источник многообразия и сложности экономической динамики, а не шумов и случайных возмущений, как это делает экономика традиционная. Другими словами, синергетика объясняет экономические флуктуации как результат сложных нелинейных взаимодействий внутренних переменных системы.
Главными понятиями синергетики являются «нелинейность», «неустойчивость», «детерминированный хаос». Согласно данной теории динамику экономических показателей нужно воспринимать как хаотическое движение.
Метод восстановления динамических систем по хаотическим временным рядам. Основной подход к решению проблемы восстановления динамических уравнений процессов из временных рядов, известный также как обратная задача нелинейной динамики, состоит в «подгонке» дифференциального уравнения определенного класса к экспериментальным данным.
Алгоритм восстановления динамики выглядит следующим образом: 1. Выбор вектора состояния. Предположим, что наблюдаемая величина у порождается некоторой динамической системой и является либо одной из ее переменных состояния, либо скалярной функцией от них. Набор переменных, характеризующих состояние динамической системы в данный момент времени, называется вектором состояния. Задача состоит в том, чтобы по одномерному временному ряду восстановить фазовый портрет изучаемой системы. Для решения этой задачи существует несколько методов один из них, так называемый, метод задержки, предложен Такенсом [14]. Кроме упомянутого метода, имеются и другие возможности введения, вектора состояния. Например, выбор в качестве вектора состояний совокупность производных исследуемого процесса или интегралов [12, 36 - 37]. 2. Оценка размерности хаотического процесса.
Важным элементом восстановления динамических уравнений по экспериментальным данным является оценка размерности исследуемого процесса, то есть оценка эффективного числа степеней свободы (N), вовлеченных в динамический процесс. Как известно, хаотические аттракторы характеризуются фрактальной размерностью. Вычислению фрактальной размерности непосредственно из экспериментальных данных посвящена обширная литература, представление о которой дают работы [5, 13, 58]. Располагая фрактальной размерностью можно оценить размерность N. 3. Восстановление динамических уравнений.
По известной размерности системы приступаем к подгонке модельного уравнения или системы уравнений к временным рядам. При такой подгонке очень хорошо воспользоваться априорными данными о структуре системы, но если таковые отсутствуют, то полиномиальное приближение выступает, как разумное начальное приближение, которое может быть уточнено или даже заменено в процессе подгонки. Конечным результатом подгонки является определение коэффициентов при нелинейных слагаемых в уравнении определенного класса. Таким образом, решение обратной задачи нелинейной динамики сводится, в сущности, к параметризации модельного уравнения заданного класса путем наилучшего согласования модели с экспериментальными данными.
Хаотические системы гиперчувствительны к малым возмущениям. Эта особенность данных систем получила название локальной неустойчивости, но, не смотря на это хаотические системы, все же допускают восстановление динамических уравнений на основе стратегии подгонки. Разумеется, свойство локальной неустойчивости не может не отразиться на качестве предсказания моделируемых явлений. Поэтому для краткосрочного прогнозирования данных процессов необходимо использовать схемы адаптации разработанных моделей к реальным данным.
. Критерий серии
Рассмотрим последовательность N наблюденных значений случайной величины х(к) - цена контракта (в данной работе по умолчанию под ценой контракта понимается цена закрытия торговой сессии, которая составляет один день). Каждое наблюденное значение отнесем к одной из двух взаимно исключающих категорий, которые можно обозначить просто знаками плюс (+) и минус (-). Каждое наблюденное значение х( х (+) либо xt х (-), где х - среднее значение. Последовательность наблюдений, имеющих знак плюс или минус, может выглядеть следующим образом:
Серией назовем последовательность одинаковых наблюденных значений, перед которыми или после которых расположены наблюденные значения другой категории или наблюдения отсутствуют вообще. Число серий, которое встречается в последовательности наблюдений, позволяет определить, являются ли результаты независимыми случайными наблюдениями над одной и той же случайной величиной.
Введем в рассмотрение гипотезу об отсутствии тренда, т.е. предположим, что последовательность N наблюденных значений представляет собой независимые значения одной и той же случайной величины. Полагая теперь, что число наблюденных значений со знаком (+) равно числу значений со знаком (-), можно считать, что число серий в последовательности будет иметь выборочное распределение, представленное в справочных таблицах [26 — 28]. Гипотезу можно подвергнуть проверке при любом требуемом уровне значения а путем сопоставления наблюденного числа серий с граничными значениями r„.j_a/ и гп-а/, где п = N/2. Если наблюденное число серий выходит за границы этого интервала, гипотезу следует отвергнуть при уровне значимости а. В противном случае ее можно принять.
Критерий инверсий Рассмотрим последовательность N наблюденных значений случайной величины х(к) — цена контракта. Обозначим эти значения х,-, где і = I, 2, 3, ..., N. Подсчитаем теперь число случаев, когда х,- х,- при / j. Каждое такое неравенство называется инверсией. Общее число инверсий обозначим символом А. Гипотезу об отсутствии тренда можно подвергнуть проверке при любом требуемом уровне значения а путем сопоставления наблюденного числа инверсий с граничными значениями An.j_a/ и Ап.а/, где п = N/2. Если m наблюденное число инверсий выходит за границы этого интервала, гипотезу следует отвергнуть при уровне значимости а. В противном случае ее можно принять. Критерий инверсий можно использовать, в сущности, так же, как и критерий серии. Вообще говоря, он имеет большую мощность, чем критерий /ф серий, при выявлении монотонного тренда в последовательности наблюденных значений. Однако критерий инверсий обладает малой мощностью при выявлении колебательного тренда. 2. 2. ТЕСТЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ СЛУЧАЙНОСТИ Если случайный процесс удовлетворяет критерию стационарности, то проверка случайности сводится к проверке процесса на наличие гармоник, обусловленных существованием в процессе периодических или почти ф периодических составляющих [26 - 28]. Гармонические составляющие, энергия которых велика, обычно заметны сразу. Однако наличие гармонических составляющих с малой энергией может быть не столь очевидным. Наиболее эффективны при обнаружении периодических составляющих методы, применяемые для исследования других свойств случайных процессов. Поэтому практический критерий случайности обычно основан на методах анализа, которые применяются в предположении случайности процессов. В частности, наличие гармонических составляющих в случайном в прочих отношениях процессе часто можно обнаружить при " просмотре графиков спектральной плотности, плотности вероятности и (или) автокорреляционной функции, полученных для стационарного процесса. Наиболее мощный метод выделения гармонических колебаний в случайном в прочих отношениях процессе - это построение автокоррелограммы. При чисто случайном процессе автокорреляционная функция с увеличением сдвига всегда приближается к величине, равной т I квадрату среднего значения. С другой стороны, автокорреляционная функция гармонического процесса или суммы гармоник продолжает осциллировать независимо от того, насколько велико значение сдвига.
. Спектральная плотность
Для упрощения следующих расчетов и выкладок желательно преобразовать процесс таким образом, чтобы среднее его значение было равно нулю. Определим новую реализацию в виде x(t) = u(t) - и. Тогда последовательность {хп} значений функции x(t) определяется в виде хп = x(t0 + nh) = ип -и, п = 1,2, ..., N, где выборочное среднее значение находится в виде - J N N п=1 где N— число отсчетов; аг/„- значение отсчетов.
Рассчитываемая по этой формуле величина и представляет собой несмещенную оценку истинного среднего значения /лп. В последующих формулах будет использоваться именно эта преобразованная последовательность. Спектральная плотность Существует три эквивалентных способа определения спектральной плотности [27]: 1.
С помощью корреляционных (ковариационных) функций. 2. С помощью финитного преобразования Фурье. 3. С помощью фильтрации, возведения в квадрат и усреднения. В данной работе использовался второй метод оценки спектральной плотности, как наиболее экономичный.
Оценки спектральной плотности, полученные на основе преобразования Фурье реализации случайного процесса, заданного на конечном интервале времени: Sx(f,T) = {;\X(f,T)\2, Т X(f,T)= \x(t)e j2 dt, (2.4.1.1.) О где X(f, Т) - финитное преобразование Фурье реализации x(t). Учитывая, что Sx (f) - четная функция, вместо оценки двусторонней спектральной плотности Sx(f) вычисляют одностороннюю, только для положительных частот Gx(f) = \X(f,T)\\f 0. Для вычисления по этим формулам применяются реализованные на ЭВМ алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Предположим, что функция x(t) представлена ./V эквидистантными наблюдениями с интервалом дискретности At, который выбран таким образом, что частота Найквиста достаточно высока [27]. хп =x(nAt), n = 0,l,2,...,N-l. Дискретная аппроксимация выражения (2.4.1.1.) при произвольном значении /есть X(f,T) = At I xne-J2 nAt. п=0 Для расчета Х(/,Т) обычно выбираются дискретные значения частоты r к к Jk=- = Т NAt k = 0,l,2,...,N-l. Преобразованная последовательность дает на этих частотах составляющие Фурье х = Xihl = Nf]Xn expf-jMEj, (2.4.1.2.) А п=0 N k = 0,l,2,...,N-l.
Заметим, что преобразование однозначно только до значений к = Ц-, поскольку этой точке соответствует частота Найквиста. Упростив выражение (2.4.1.2.), получаем N-1 Х(к)= Zx(n)W(kn),k = 0,l,2,...,N-l, п=0 Х(к) = Хк, х(п) = хп, W(u) = exp[-jlf]. Идея быстрого преобразования Фурье [271. БПФ основывается на представлении величины N в виде ряда (отличных от единицы) сомножителей и в выполнении обычного преобразования Фурье для более коротких последовательностей, число членов в которых определяется соответствующими сомножителями.
Если N может быть представлено в виде произведения р целых и больших единицы чисел: р N= Пп=Пг2 гЗ і» 34 то X(k) может быть найдено итеративно путем расчета суммы р слагаемых: N/ - преобразований
Фурье, каждое из которых требует 4г7 операций с действительными числами; N/ - преобразований Фурье, каждое из которых требует 4rl операций с (ф действительными числами; N/ - преобразований Фурье, каждое из которых требует 4гр операций с Р действительными числами;
Оценка размерности хаотического процесса.
Введем следующее векторное обозначение: Х( обозначает точку фазового пространства с координатами {X0(tj), . . . , X0(tj + (п - 1))т}. Таким образом, устанавливается начало отсчета Xt для всех имеющихся данных, и можно вычислить расстояние от этой точки до остающихся N — 1 точек; \Xt -Xj\. Это позволяет сосчитать число точек в фазовом пространстве, отстоящих от ХІ на расстояние, не превышающее некоторую заданную величину г. Повторяя этот процесс для всех значений /, можно вычислить следующую величину:
Отклонение С(г) от нуля служит мерой влияния точки ХІ на положение других точек. Поэтому функцию С (г) можно рассматривать как интегральную корреляционную функцию аттрактора [72].
Зафиксируем некоторое малое є и воспользуемся им в качестве своеобразного метра для «зондирования» структуры аттрактора. Если последний представляет собой линию, то очевидно, число пробных точек, расстояние которых до заданной точки не превышает г, должно быть пропорционально г/е. Если же аттрактор представляет собой поверхность, то число таких точек должно быть пропорционально (г/є)2 . В более общем случае, если аттрактор представляет собой d - мерное многообразие, то число точек должно быть пропорционально (r/e)d. Поэтому можно ожидать, что при сравнительно малых г функция С (г) должна изменяться как СМ-г . Иными словами, размерность аттрактора d дается наклоном зависимости 1пС(г) от Inr в определенном диапазоне г. lnC(r) = dlnr. (3.2.2.) Алгоритм вычисления корреляционной размерности [72]: р 1. Исходя из данной временной последовательности, построить корреляционную функцию (З.2.1.), рассматривая последовательно возрастающие значения размерности фазового пространства п. 2. Получить наклон d вблизи начала координат, согласно (3.2.2.), и посмотреть, как этот результат изменяется при возрастании п. 3. Если величина d в зависимости от п выходит на плато выше некоторого относительно небольшого п, то представленная данной временной последовательностью система должна иметь аттрактор. Вышедшую на насыщение величину d следует рассматривать как размерность аттрактора, представленного временной последовательностью.
По размерности аттрактора — d можно определить N - минимальное число дифференциальных уравнений первого порядка необходимых для (jj качественного описания исследуемой динамики. Согласно теореме Такенса [14] N 2d +1. Необходимо отметить, что число N вычисленное по данной формуле, как правило, оказывается завышенным [24, 74]. Поэтому, на практике, часто число N находят, округляя d до целого числа сверху [24]. В работе проводились однофакторные эксперименты по вычислению корреляционной размерности (поочередное варьирование любого из факторов, в то время как остальные факторы стабильные на одном уровне). Изменению подвергались общее число используемых точек N, предполагаемая размерность вложения п и значение запаздывания по времени т. Численные значения полученных размерностей представлены в таблицах 3.1.-3.3.
Анализируя представленные в таблицах результаты, отмечаем, что при изменении общего числа используемых точек значение корреляционной размерности растет и насыщается при использовании 2500-3000 точек и при дальнейшем увеличении их числа имеет тенденцию к медленному спаду. Это связано с методикой нахождения размерности. В формуле для вычисления корреляционной размерности одинаково важны все непустые кубики (см. п. Ш 2.5.), которыми заполняется пространство. Это представляет серьезный недостаток для странных аттракторов, так как они пространственно неоднородны, то есть некоторые области аттрактора посещаются чаще других. Поэтому, требуется знание очень длинной траектории, чтобы гарантировать посещение даже очень маловероятных кубиков. В литературе накладывается следующее ограничение на число N, оно должно составлять
